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Introducción

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Introducción

• Objetivos:– Introducir algunos conceptos básicos de la Teoría

de la complejidad.• Resumen:

– Algunos problemas clásicos– Tiempo de ejecución– Reducciones– … y más…

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El problema “Crazy Tea Party”Problema sentar a todos los comensales alrededor de una mesa, de forma que todos se encuentren rodeados de amigos.

Alice

Alice

Jane

Bob

Mary

John

JaneBobMaryJohn

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Solución para este ejemplo

Alice

Bob

Jane

John

Mary

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Algoritmo• Por cada orden posible de los comensales

alrededor de la mesa– verificar que cada comensal tiene amigos a

ambos costados.

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¿Cuál es el coste en tiempo? (caso peor)

comensales pasos

n (n-1)!

5 24

15 87178291200

100 ≈9·10155

Si nuestra máquina es capaz de realizar 1010

instrucciones por segundo, tardaría ≈

¡3·10138 años!

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ViajesProblema Planear un viaje que visite cada lugar una sola vez.

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Solución para este ejemplo

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Algoritmo (Backtracking)

• Por cada sitio– Elige visitar un lugar accesible desde donde

estás que no hayas visitado– Márcalo a visitado y continúa por

backtrackingTermina el proceso cuando hayas visitado todo

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¿Cuánto tiempo tarda?pasos

n!

120

1307674368000

≈9·10157

Si nuestro ordenador realiza 10,000

instrucciones por segundo, tardaría

¡cuatro años!

lugares

n

5

15

100

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¿Un problema es tratable?a) ¡SI! y aquí está un algoritmo

eficiente para resolverlo

b) ¡NO! y puedo probarlo

¿Qué ocurre si no estás ni en el caso a) ni en el caso b)

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Para pensar…

• ¿Podrías diseñar un algoritmo eficiente para el problema del viaje, si la conexión entre los sitios a visitar no contuviera ciclos?

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Grado de crecimiento

10n

n2

2nn! =2O(n lg n)tiempo

Longitud de la entrada

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El mundo según la Teoría de la complejidad

Tratable = Eficiente

Intratable = Ineficiente

exponencial ≡ 2nO(1)polinómico ≡ nO(1)

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¿Puede ser un problema (intrínsecamente) más difícil

que otro?

ViajesTea party

?

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Relación entre problemas

Suponiendo que existe un procedimiento eficiente para resolver el problema A, entonces existe un procedimiento eficiente para resolver el problema B

El problema B no puede ser (intrínse_ camente) más difícil que el problema A

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Reducciones

≤pB A

El problema B no puede ser (intrínsecamente) más difícil que el problema A

En otras palabras: A es al menos tan difícil como B

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¿Cuál es más difícil?

ViajesTea party

?

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Reducción de Viajes a Tea PartyPrimera observación: Los problemas no son muy diferentes

lugar comensal

“directamente conectada a…” “amigo de…”

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Reducción de Viajes a Tea PartySegunda observación: Completando el círculo

• Invita a la fiesta a una persona muy popular,• Es decir, es amiga de todo el mundo.

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Reducción de Viajes a Tea Party

• Si existe un circuito entre lugares, hay una forma de sentar a todos los comensales alrededor de la mesa.

Comensal popular

. . . . . .

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Reducción de Viajes a Tea Party

• Si existe una forma de sentar a los comensales, podemos encontrar un circuito entre los lugares

Comensal popular

. . . . . .

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Línea divisoria

El problema “Tea Party” es, al menos,tan difícil como el problema “Viajes”.

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Discusión

• Aunque no podamos encontrar algoritmos eficientes para determinados problemas,

• ni probar que no existan tales algoritmos,• aprenderemos una herramienta que nos

permitirá relacionar los problemas atendiendo a su grado de dificultad.

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Discusión

• Es interesante adelantar que podemos reducir el problema “Viajes” al problema “Tea Party”.

• Más aún, existe una clase de problemas de forma que todos son reducibles entre ellos.

• Desde el punto de vista de la complejidad, todos los problemas de esta clase son “equivalentes”.

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Para pensar…

• ¿Sabes reducir el problema “Tea party” al problema “Viajes”?

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NPC

NPCContiene centenares de

problemas distintos

algoritmos exponenciales

algoritmos polinómicos?

Todos son reducibles entre ellos

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¿Cómo hacerse millonario estudiando Teoría de la Complejidad?

• P vs. NP es la cuestión abierta más importante en ciencias de la computación .

• Resolver esta cuestión sería un gran honor• … y supondría una gran fortuna…

www.claymath.org/prizeproblems/pvsnp.htm• Filosóficamente: Si P=NP

– El ingenio humano es innecesario– ¡No se necesitan matemáticos!

• ¿Es la naturaleza no determinista?

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¿Qué más?

• Algunas otras cuestiones que se estudiarán en este curso.

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El problema de los viajes generalizado

• Añade costes entre los lugares a visitar• Encuentra el circuito de menor coste

$8

$10$13$12

$19

$3$17

$13

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Aproximación

• ¿Se puede encontrar una aproximación del circuito de mínimo coste?

$8

$10$13$12

$19

$3$17

$13

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¿Es el tiempo de ejecución el único recurso a tener en

cuenta?• ¿Y la memoria usada (espacio)?• ¿Hay otros recursos?

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Juegos• Cada jugador debe encontrar una palabra

que comience con la misma letra con la que terminaba le palabra anterior. No pueden repetir.

Arroz ZorroOasis SillónNieto OllaAlas Salón

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Diccionario

Arroz

Zorro Oasis

Nieto

Zarzal

Sillón

Lesión

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Árbol de juego

Zorro Oasis NietoArroz Zarzal SillónLesión

OasisZorro ZarzalNieto NietoSillón Oasis Lesión

Sillón Sillón

Nieto

Nieto

Oasis

Sillón

Nieto Oasis

Sillón

Oasis Oasis Lesión Sillón Nieto Sillón Nieto Oasis

Arroz

Zorro Oasis

Zarzal

SillónNieto

Lesión

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Estrategias ganadoras• ¿Cómo podemos encontrar una estrategia

ganadora para este juego?• ¿Cuánto espacio es necesario para calcular

el árbol de juego?

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Resumen

• Hemos introducido dos problemas:– Crazy Tea party (Circuito Hamiltoniano)– Viajes (Camino Hamiltoniano)

• Aunque no sabemos mucho de ellos podemos asegurar que la dificultad computacional de ambos está relacionada.

• Aún más: sabemos que ambos pertenecen a la clase de complejidad denominada NPC.

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Resumen

• También hemos mencionado dos asuntos que se tratarán en este curso:– Algoritmos de Aproximación– Computación acotada en espacio