Resumen-- Una secuencia que surge en la ecología como un

modelo de crecimiento de la población está definida por la

ecuación logística en diferencia: Pn+1 = kPn(1 - Pn), donde Pn, mide

el tamaño de la población de la enésima generación de una sola

especie.

La forma de esta sucesión es similar a la ecuación diferencial

logística: dP/dt = kP(1 - P/k). El modelo discreto -con sucesiones

en lugar de una función continua- es preferible para modelar las

poblaciones de insectos, donde el apareamiento y la muerte se

presentan de una manera periódica.

Por medio de una modelización con MATLAB, se ha logrado que

la sucesión logística actúe como un modelo con bifurcaciones que

muestran el comportamiento de un sistema caótico.

Palabras clave. Ecuación logística, sistema caótico, bifurcación.

Abstract. A sequence that arises in ecology as a model for

population growth is defined by the logistic difference equation:

Pn+1 = kPn(1 – Pn), where Pn, measures the size of the population of

the nth generation of a single species.

The form of this sequence is similar to the logistic differential

equation: dP/dt = kP(1 – P/k). The discrete model –with sequences

instead of continuous function– is preferable for modeling insect

populations, where mating and death occur in a periodic fashion.

By means of the modeling with MATLAB, it has been that the

logistic sequence acts as a model with bifurcations that show the

behavior of a chaotic system.

KeyWords: Logistic equation, chaotic system, bifurcation.

1 INTRODUCCIÓN

En el transcurso de muchos años, en el estudio que varias

ciencias han hecho de diferentes fenómenos se han hallado

situaciones que no ha sido posible describir de manera

satisfactoria. Por ejemplo, en el caso de la meteorología: un

problema importante es poder predecir el clima, no sólo del

día siguiente, sino en una semana, un mes, o un año después.

Sin embargo, a pesar de que esta ciencia se ha desarrollado

con celeridad y muchos científicos han trabajado en ella

durante más de un siglo, esta clase de predicciones no han

podido llevarse a cabo de manera satisfactoria [3].

H.Pabón, Docente de la Universidad De Cundinamarca, Ingeniería de Sistemas, Fusagasugá, Colombia.

hipa2450@yahoo.com

Se puede mencionar el fenómeno de la turbulencia en física.

Cuando un fluido se mueve a lo largo de un tubo, en

determinadas condiciones, el fluido lo hace de manera muy

tranquila y regular. Se dice entonces que el flujo es laminar y

que sus propiedades han podido ser determinadas. Sin

embargo, en otras circunstancias, el flujo se vuelve turbulento:

empiezan a aparecer primero pequeños remolinos, después

remolinos más y más grandes y el movimiento del fluido se

vuelve muy irregular. Se dice que el flujo ha entrado en

turbulencia. Este efecto no se había podido entender en más de

cien años de estudio de la hidrodinámica [3].

Tampoco se han podido entender en economía los motivos por

los cuales en cierto momento el índice de la Bolsa de Valores

empieza a subir y luego baja. En diferentes ocasiones parece

ser un fenómeno del azar.

Los anteriores casos ilustran algunos de los problemas que

habían quedado sin solución. Sin embargo, con el

advenimiento de la Teoría del Caos se han podido entender

diferentes aspectos de estos fenómenos, antes incomprensibles

[3].

Algo importantísimo, común a diferentes fenómenos, es la

posibilidad de que se puedan hacer predicciones. Por ejemplo,

si dado que hoy está lloviendo, sería bueno predecir si lloverá

mañana o si lloverá un día después. Es decir, una cuestión

interesante es poder predecir lo que ocurrirá en el futuro, si se

sabe cuál es la situación actual.

Hace no más de veinte años que se ha desarrollado una

novedosa forma de abordar este tipo de situaciones. Resulta,

que muchos fenómenos completamente distintos, como la

turbulencia, el clima, el índice de la bolsa de valores, las

señales electrónicas, ciertas reacciones químicas y muchas

situaciones más, tienen comportamientos que, vistos desde

perspectivas apropiadas, son muy parecidos. Debido a este

hecho, se tratará un caso muy especial para ilustrar el

fenómeno del así llamado caos. Se va a considerar un

problema importante en ecología, a saber: cómo evoluciona en

el transcurso del tiempo una población determinada, por

ejemplo de insectos. Si se conoce el número de individuos este

ciclo de reproducción, cabe preguntar: ¿Cuántos insectos

habrá el próximo periodo, el siguiente, y subsiguientes? [3]

2 FENÓMENO LINEAL

En el desarrollo de este trabajo, se desea encontrar un modelo

que exprese el crecimiento de una población de insectos según

las observaciones hechas por un investigador anotadas en la

siguiente tabla (Tabla 1).

Modelamiento De Un Sistema Dinámico Caótico Con

Matlab: La Ecuación Logística

H. Pabón

ENGI Revista Electrónica De La Facultad De Ingeniería Vol. 1 No. 1 Julio Año 1 ISSN 2256-5612

Tabla 1. Observación de número de insectos durante cuatro

periodos (años)

Fuente: el autor

Si se puede descubrir la relación anterior (Tabla 1), entonces

aplicándola para un determinado periodo n se podrá conocer la

población de insectos en cualquier periodo futuro. En

matemáticas, una regla de este tipo se llama función. ¿De qué

depende dicha función? Pues, debería hacerlo de las

consideraciones en que vive la población. No dará lo mismo si

se trata de un lugar desértico o de una selva o de si la

población dispone de muchos alimentos o más bien son

escasos. Es decir, de alguna manera en la función tiene que

aparecer esta información. Además, la población que vaya a

haber el periodo siguiente dependerá de la población que

existe este en este período. Encontrar esta función se llama

hacer o construir el modelo [11].

La función más sencilla es la siguiente. Supóngase que la

población en el año 2005 empezó con 10000 insectos y que en

2006 transcurrido un año se observó una población de 12000

insectos, y así en los demás períodos, hasta el año 2008 como

se ve en la Tabla 1.

Utilizando regresión lineal con MATLAB se obtienen los

siguientes resultados [9].

>> x=[5 6 7 8]; % años 2005, 2006, 2007 y 2008

>> y=[10 12 14.4 17.28]; % observaciones de los años 2005,

2006, 2007 y 2008 en miles

>> p1=polyfit(x,y,1) % obtiene coeficientes de función lineal

p1 = 2.4240 -2.3360 % coeficientes de la función lineal

>> y1=2.4240*x-2.3360 % función lineal

y1 = 9.7840 12.2080 14.6320 17.0560 % función lineal

calculada para los cuatro años o periodos

>> p2=polyfit(x,y,2) % obtiene coeficientes de función

cuadrática

p2 = 0.2200 -0.4360 6.6840 % coeficientes de función

cuadrática

>> y2=0.2200.*x.^2-0.4360.*x+6.6840 % función cuadrática

y2 = 10.0040 11.9880 14.4120 17.2760 % función

cuadrática calculada para los cuatro años

>> plot(x,y1,'-*',x,y2,'-o',x,y,'o'), grid % grafica la función

lineal, cuadrática y los valores observados

Fig. 1. Funciones lineal y cuadrática para la población de

insectos entre los años 2005 y 2008

Se ha podido representar la información contenida en las

expresiones y1 (lineal) y y2 (cuadrática) de manera gráfica.

En las abscisas se miden los valores del periodo n, y en el otro

eje (ordenadas) los valores de y1 y y2 en Fig. 1. Debido a que

la gráfica de la función y1 es una línea recta se dice que dicha

función es lineal o que el fenómeno está representado por un

modelo lineal.

Por lo que se acaba de hacer, se puede observar que si se

conoce la función, entonces es posible determinar con

precisión la población en cualquier período futuro, lo cual se

llama extrapolación. Con MATLAB se ejecutan las siguientes

instrucciones [9]:

>> polyval(p1,15) % evalúa la función lineal en el año 2015

ans = 34.0240

>> polyval(p2,15) % evalúa la función cuadrática en el año

2015

ans = 49.6440

Se observa que hay una diferencia para este ciclo de más de

15000 insectos, que es una diferencia considerable. Se puede

notar también que la función cuadrática describe mejor el

fenómeno ya que coincide en todos los puntos dados, con los

valores observados como se ve en la Fig. 1, de manera que

posiblemente el modelo lineal no sea el más adecuado para

representar dicho fenómeno.

5 5.5 6 6.5 7 7.5 89

10

11

12

13

14

15

16

17

18

Nº AÑO Nº INSECTOS INCREMENTO TOTAL

0 2005 10000 2000 12000 1 2006 12000 2400 14400 2 2007 14400 2880 17280 3 2008 17280 3456 20736

MODELAMIENTO DE UN SISTEMA DINÁMICO CAÓTICO CON MATLAB: LA ECUACIÓN LOGÍSTICA

Fig. 2. La población de insectos y1 determinada para el

período dado.

Una consecuencia de la aplicación de esta función es que, al

transcurrir el tiempo, la población crecerá de manera

indefinida, llegará un momento en que sería tan grande que el

número de individuos de la especie no cabría en el planeta

Tierra. Está claro que un modelo como el que se acaba de

presentar -lineal o cuadrático- no puede describir de manera

correcta las variaciones reales de una población. Si esta crece

mucho, llegará un momento en que los alimentos escaseen y

no alcancen para todos los individuos y, por tanto, la

población empezará a decrecer. Este efecto debe considerarse,

por lo que la función dada en mención se deberá modificar

para que tome en cuenta que una población puede crecer, pero

hasta cierto límite, más allá del cual deberá reducirse. Por otro

lado, si la población es pequeña, entonces tendrá mucho

alimento disponible y crecerá aceleradamente.

3 FENÓMENO NO LINEAL

Las consideraciones anteriores significan que la Fig. 2 deberá

ser reemplazada por otra en la que para valores pequeños de p,

o sea de la población, la curva ascienda, mientras que para

valores muy grandes de p la curva descienda. Esta gráfica se

deberá ver como se muestra en la Fig. 3. Para que la curva

descienda, necesariamente tendrá un máximo, es decir, la

curva deberá tener la forma de una parábola invertida. El

lector se dará cuenta de que esta curva ya no es una línea

recta. Por tanto, a esta situación se le llama no lineal.

La construcción de modelos matemáticos para describir la

dinámica de una población puede ser valiosa, tanto para

predecir el comportamiento de la población durante períodos

de tiempo largos o cortos, como para ver el resultado de

manipulaciones artificiales de la población, y para descubrir

principios biológicos que pueden ser hasta ahora

desconocidos.

A fin de tratar de predecir el futuro de poblaciones se puede

introducir una función matemática que permite calcular la

población de insectos en cierto período, a partir de la existente

en el período anterior de forma secuencial discreta como debe

ser. Para tal caso se tiene:

Pn+1 = kPn (1)

Donde Pn+1 es la población del próximo período y Pn es la

población actual o del período n. También, k representa la tasa

de crecimiento y el subíndice n representa la iteración n-ésima

de la función o la generación de turno n-ésimo.

Por ejemplo, al cabo del primer período (2005), la población

de insectos se ha incrementado en un 20%, o sea la población

ahora es de 12,000 insectos que se obtiene de multiplicar la

población inicial P0 por k = 1.2. Para el período siguiente

(2006), se toma de la misma manera, multiplicando 12000 por

1.2 y al cabo del segundo período (2007) se tiene una

población de insectos de 14400 y así sucesivamente.

Fue P. Verhulst (1804–1849), matemático y biólogo belga

quien, en 1845, interesado en cómo describir

matemáticamente el crecimiento demográfico, introdujo un

nuevo e ingenioso término (1–Pn) a la ecuación anterior y dio

origen a una nueva ecuación hoy conocida como la ecuación

logística [11].

Pn+1 = kPn (1–Pn) (2)

Donde Pn+1 representa la población del siguiente periodo (o

año); Pn representa la población del período actual (o en

mención) y k la tasa de natalidad.

Pn es una medida del tamaño de la población de la n-ésima

generación de una sola especie de insectos. Con el propósito

de que los números sean manejables, Pn es una fracción del

tamaño máximo de la población, de modo que 0 Pn 1. Para

elaborar un modelo de la población de insectos, es preferible

el modelo discreto, con sucesiones como (2), en vez de

funciones continuas como en la Fig. 2.

La anterior sucesión representa un modelo matemático para

predecir a largo plazo el comportamiento de una población de

tal manera que dependa de la totalidad del ambiente. Este

término (1–Pn), vuelve no lineal a la sucesión y deja que se

afecte por las consecuencias de estar en un medio cerrado. En

el lado derecho de la sucesión, los términos Pn y (1–Pn), son

contrarios en la forma cómo actúan, pues el primero intenta

expandir la población mientras que el segundo intenta

reducirla (Fig. 3)[11].

Los valores de la población para 20 períodos consecutivos

son:

Tabla 2. Valores de la población de insectos para 25 períodos

consecutivos con k = 2.5 y P0 = 0.7

0.7000 0.5250 0.6234 0.5869 0.6061

0.5968 0.6016 0.5992 0.6004 0.5998 0.6001 0.6000 0.6000 0.6000 0.6000 0.6000 0.6000 0.6000 0.6000 0.6000

Fuente: el autor

5 10 15 205

10

15

20

25

30

35

40

45

50

periodos

mile

s d

e insecto

s

PABÓN

Fig. 3. Modificación del modelo de la Fig. 2. La población no

puede crecer indefinidamente.

Esta sucesión implica que, dado el valor de la población en el

presente período Pn, se obtendrá el valor Pn+1 de la población

para el periodo siguiente. Por conveniencia se han tomado Pn y

Pn+1 como la fracción entre los valores cero y uno, por tanto 0

Pn 1 . El valor 0 representa la extinción de la población y

el valor 1 el valor máximo posible de la población.

Estos resultados muestran que a partir de cierto momento la

población llega a un valor que ya no cambia con el tiempo. En

este caso, la población llega al valor de 0.6000 y se estabiliza.

En el caso que se acaba de tratar, se empezó con la población

inicial de Pn = 0.7 y se terminó con 0.6000. Si en lugar de

haber empezado con 0.7 se hubiera empezado con el valor

inicial de Pn = 0.25 (para el mismo valor de k = 2.5), siguiendo

el mismo procedimiento iterativo se habrían obtenido los

siguientes valores:

Tabla 3. Valores de la población de insectos para 20 periodos

consecutivos con k = 2.5 y P0 = 0.25

0.2500 0.4688 0.6226 0.5874 0.6059

0.5970 0.6015 0.5992 0.6004 0.5998 0.6001 0.6000 0.6000 0.6000 0.6000 0.6000 0.6000 0.6000 0.6000 0.6000 Fuente: el autorSe llega al mismo valor final de 0.6000.

O sea, si se empieza con otra condición inicial se llega al

mismo valor final. Así se comience con el valor que sea, para

este caso de k = 2.5, siempre se llegará al mismo resultado

final de 0.6000.

Este resultado indica varias cosas acerca de la sucesión de la

Tabla 3. En primer lugar, la población no crece

indefinidamente por más iteraciones que se hagan. En segundo

lugar, después de algunos períodos se alcanza un valor que

NO depende de cuál haya sido el valor de la población

escogido inicialmente. Es decir, el valor 0.6000 no depende de

la condición inicial. Se logra así una población estacionaria: la

misma, período tras período [11].

Si se vuelve a repetir este procedimiento pero para otro valor

de k en (2) se obtendrá otro valor final. Por ejemplo, si se usa

para k el valor de 2.7, el valor final que se obtiene es 0.6296.

Nótese que para k = 2.5 se obtuvo como valor final 0.6000

Tabla 4. Para k = 2.7 y Po = 0.7 se obtiene como valor final

0.6296

0.7000 0.5670 0.6629 0.6034 0.6431

0.6173 0.6378 0.6237 0.6337 0.6267 0.6316 0.6282 0.6306 0.6289 0.6301 0.6293 0.6299 0.6295 0.6297 0.6295 0.6297 0.6296 0.6297 0.6296 0.6296 0.6296 0.6296 0.6296 0.6296 0.6296

Fuente: El autor

Fig. 4. Representación gráfica de los valores de la tabla 4.

A medida que k aumenta de valor, el valor final también

aumenta su valor. Tómese otro valor extremo, para k pequeño,

por ejemplo 0.4. Si se empieza con un valor de población de

0.3, entonces los valores de la población que se van

obteniendo son los siguientes:

Tabla 5. Valores iniciales de k = 0.4 y Po = 0.3

0.3000 0.0840 0.0308 0.0119 0.0047

0.0019 0.0007 0.0003 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

Fuente: el autor

El valor final al que se llega es cero. ¡La población se

extingue! De hecho, para los valores de k menores o iguales

que 1, la población se extingue con el tiempo, sin importar

cuál sea su valor inicial.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.52

0.54

0.56

0.58

0.6

0.62

0.64

0.66

0.68

0.7

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.56

0.58

0.6

0.62

0.64

0.66

0.68

0.7

MODELAMIENTO DE UN SISTEMA DINÁMICO CAÓTICO CON MATLAB: LA ECUACIÓN LOGÍSTICA

Figura 5. Representación gráfica de la tabla 5

Ahora tómese el extremo de valores grandes de k. Por

ejemplo, se puede usar para k el valor 3.3 y el inicial de la

población de 0.6. Así se obtienen los siguientes valores:

Tabla 6. Valores iniciales de k = 3.3 y Po = 0.6

0.6000 0.7920

0.5436 0.8187 0.4898 0.8247 0.4772 0.8233 0.4801 0.8237 0.4792 0.8236 0.4795 0.8236 0.4794 0.8236 0.4794 0.8236 Fuente: el autor

Fig. 6. Representación gráfica de los valores de la Tabla 6

Ahora no se obtiene un solo valor final que se vaya repitiendo

período tras período, sino que tiene dos tendencias que se

observan claramente en Tabla 6: los valores 0.8236 y 0.4794.

Es decir, ahora la población en un período tendrá el valor de

0.4794 y el período siguiente el de 0.8236 y así

sucesivamente. Esto significa que ahora se tienen dos

tendencias finales posibles y que el valor 0.4794 se alcanza no

cada período sino cada dos períodos. Lo mismo ocurre con el

otro valor de 0.8236. Es decir, el ciclo ahora dobló su valor de

un período a dos, o sea, aparece ahora una secuencialidad de

dos períodos. Nótese que los valores 0.8236 y 0.4794 no

dependen del valor inicial que se escogió para P0. Si en lugar

de 0.6 se hubiera tomado otro valor, se llegaría a los mismos

valores finales 0.8236 y 0.4794; esto siempre y cuando se

mantenga el mismo valor de k, o sea 3.3. Se dice entonces que

se está en condiciones de período dos.

Para el valor de k = 3.5, con la condición inicial de P0 = 0.6 se

obtienen, después de varias iteraciones, no dos valores finales

sino cuatro, ver Tabla 7 [11].

Tabla 7. Valores iniciales de k = 3.5 y Po = 0.6

0.6000 0.8400 0.4704 0.8719

0.3908 0.8333 0.4862 0.8743 0.3846 0.8284 0.4976 0.8750 0.3829 0.8270 0.5008 0.8750 0.3828 0.8269 0.5009 0.8750 0.3828 0.8269 0.5009 0.8750 0.3828 0.8269 0.5009 0.8750

Fuente: El autor

Estos cuatro valores se van repitiendo, en el orden dado.

Ahora esta secuencia corresponde al período 4 como se

muestra en Fig. 7.

Fig. 7. Representación gráfica de los valores de la Tabla 7.

Si se sigue aumentando el valor de k, se obtienen ocho valores

finales. Para k = 3.55 por ejemplo, éstos se muestran en la

Tabla 8 [11].

Tabla 8. Valores iniciales de k = 3.55 y Po = 0.6

0.600

0

0.852

0

0.447

6

0.877

8

0.380

9

0.837

1

0.484

0

0.886

6

0.356

9

0.814

8

0.535

6

0.883

0

0.366

8

0.824

5

0.513

8

0.886

8

0.356

3

0.814

2

0.537

1

0.882

6

0.367

8

0.825

4

0.511

5

0.887

0

0.355

7

0.813

6

0.538

3

0.882

3

0.368

7

0.826

3

0.509

5

0.887

2

0.355

3

0.813

2

0.539

3

0.882

0

0.369

4

0.826

9

0.508

0

0.887

3

0.355

1

0.812

9

0.539

8

0.881

9

0.369

8

0.827

4

0.507

1

0.887

3

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.45

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

PABÓN

0.354

9

0.812

8

0.540

2

0.881

8

0.370

1

0.827

6

0.506

5

0.887

3

0.354

9

0.812

7

0.540

3

0.881

7

0.370

2

0.827

7

0.506

3

0.887

4

0.354

8

0.812

7

0.540

4

0.881

7

0.370

3

0.827

8

0.506

1

0.887

4

0.354

8

0.812

7

0.540

4

0.881

7

0.370

3

0.827

8

0.506

1

0.887

4

Fuente: El autor

Esta situación corresponde al período 8 como se muestra en

Fig. 8. Para k = 3.651, ahora los valores finales serán 16, que

ya no se anotarán (ejercicio para el lector). Al seguir

aumentando k se obtienen, sucesivamente, 32, 64, 128, ...

tendencias finales.

Si ahora se escoge para k el valor de 3.6, resulta que por más

iteraciones que se hagan no se llega a un valor final, en el

sentido de que este valor (o valores) se repita como en los

casos mencionados anteriormente. Ahora se encuentra una

sucesión de números que no se repiten y que tienen toda la

apariencia de una sucesión escogida al azar. Si se cambia la

condición inicial, pero se mantiene el valor de k = 3.6, se

obtiene otra sucesión con números distintos a los anteriores y

que tampoco adquiere valores finales que se repiten

constantemente.

Fig. 8. Representación de los valores de la Tabla 8.

Estos resultados pueden observarse haciendo la siguiente

gráfica (Fig. 9). En el eje horizontal se medirán los valores de

k; en el eje vertical se medirá(n) el (los) valor(es) final(es) que

se obtenga(n) para el correspondiente valor de k. Así:

Tabla 9. Valores iniciales de Pn = 0.6; k varía entre 0.1 y 4.06

0.1 0.0000 0.2 0.0000 0.3 0.0000 0.4 0.0000

0.5 0.0000 0.6 0.0000 0.7 0.0000 0.8 0.0000 0.9 0.0000 1.0 0.0000 1.1 0.0909 1.2 0.1666 1.3 0.2308 1.4 0.2857 1.5 0.3333 1.6 0.3750 1.7 0.4118 1.8 0.4444 1.9 0.4737 2.0 0.5000 2.1 0.5238 2.2 0.5454 2.3 0.5652 2.4 0.5830 2.5 0.6000 2.6 0.6154 2.7 0.6296 2.8 0.6429 2.9 0.6552 3.0 0.6502 3.0 0.6823 3.1 0.5580

3.1 0.7646 3.2 0.5130 3.2 0.7995 3.3 0.4794 3.3 0.8236 3.4 0.4520 3.4 0.8422 3.5 0.3828 3.5 0.5009 3.5 0.8269 3.5 0.8750 3.55 0.3548

3.55 0.3703 3.55 0.5405 3.55 0.8127 3.55 0.8278 3.55 0.8817 3.55 0.8874 3.56 8 val. 3.57 16 val. 3.58 32 val. 3.59 ¿? 3.60 64 3.61 ¿? 3.62 6?!val. 3.63 ¿? 3.64 ¿? 3.65 ¿? 3.66 ¿? 3.67 ¿? 3.68 ¿? 3.69 ¿? 3.70 ¿? 3.71 ¿? 3.72 ¿? 3.73 ¿? 3.74 5?!val. 3.75 ¿? 3.76 ¿? 3.77 ¿? 3.78 ¿? 3.79 ¿? 3.80 ¿? 3.81 ¿? 3.82 ¿? 3.83 3?!val. 3.84 5?!val. 3.85 12?val. 3.86 ¿? 3.87 ¿? 3.88 ¿? 3.89 ¿? 3.90 ¿? 3.92 ¿? 3.93 ¿? 3.94 ¿? 3.95 ¿? 3.96 ¿? 3.97 ¿? 3.98 ¿? 3.99 ¿? 4.00 ¿? 4.01 …. 4.02 …. 4.03 …. 4.04 …. 4.05 …. 4.06 ….

Fig. 8. Modelo de Mandelbrot dado por la sucesión logística

Pn+1 = k Pn(1 - Pn) con el valor inicial P0= (0.1, 0) en el área

rectangular definida por xmin = -2.5, xmax = 4.5, ymin = -

2.5, ymax = 2.5

Fuente: http://www.willamette.edu/~sekino/fractal/gallery.htm

En la Fig. 8 se puede observar que:

- Si 0 < k < 1 entonces Pn converge a 0, o sea hay extinción de

la población.

- Si 1 k <3 entonces Pn converge a 1 – 1/k, y tiende a un

sólo valor estacionario.

- Si 3 k < v entonces Pn eventualmente se vuelve periódico

con periodo 2.

- Si v < k < w entonces Pn eventualmente se vuelve periódico

con un período de la forma 2k, y cada vez que k crece, el

periodo crece de una forma ordenada de 22, 2

3, 2

4 , etc. sin

acotamiento; así, de k = 1 hasta cerca de 3.58, el

comportamiento de Pn muestra el fenómeno llamado

bifurcación.

- Si w < k < 4 entonces el comportamiento de Pn llega a ser

caótico y totalmente impredecible como en la Fig. 9.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

MODELAMIENTO DE UN SISTEMA DINÁMICO CAÓTICO CON MATLAB: LA ECUACIÓN LOGÍSTICA

Fig. 9. Valores iniciales de k = 3.8 y Pn = 0.8 unidos los

puntos con segmentos de recta.

Como se puede apreciar en la Fig. 10, dentro de la región

caótica aparecen regiones que sí tienen valores fijos. Estas son

las regiones blancas. En efecto, para k alrededor del valor 3.84

aparece una región con valores finales bien determinados.

Ahora se obtienen tres tendencias: 0.1494, 0.4879 y 0.9594.

Al seguir aumentando k hay una bifurcación y por ejemplo,

para k = 3.846, ahora hay seis tendencias finales. Al seguir

aumentando k siguen bifurcaciones, hasta que se llega a una

nueva región caótica [11].

Fig. 10. Valores iniciales de k = 3.84 y Pn = 0.8 señalados los

puntos con asteriscos

Se puede entonces afirmar que al ir aumentando k, se pasa por

los siguientes estadios:

Extinción Un solo valor final Secuencial, con

periodicidades de 2n, n = 1, 2, 3,... Caótico Secuencial

con periodicidades 3, 6, ... caótico ...

4 CONCLUSIONES

- El modelo matemático lineal de reproducción y muerte de

una especie de insectos bajo condiciones dadas no es el

modelo que describe este fenómeno, porque la población de

insectos crecería en forma lineal y tendería a ser infinita.

- El modelo matemático de la sucesión logística describe

adecuadamente el ciclo de reproducción y muerte de una

especie de insectos bajo condiciones limitadas de espacio y

alimento.

- Se analizó que si el valor del parámetro k de (2) es

suficientemente pequeño, entonces, sea cual sea el valor

inicial de la población, después de cierto número de

iteraciones se llega a un valor final que ya no cambia al seguir

iterando. Recordando que cada iteración da el valor de la

población un período después, se concluye que si k es

suficientemente pequeño, después de cierto tiempo se llega a

una población final que ya no varía en el transcurso del

tiempo.

- Si k aumenta, ocurre que después de ciertas iteraciones la

cantidad Pn adquiere dos valores. En una iteración adquiere el

primero, y en la siguiente, el segundo, y estos valores suceden

alternadamente. Esto significa que después de cierto tiempo,

en un período la población tiene un valor y al siguiente el

segundo valor. En el tercero la población vuelve a tener el

primer valor, en el cuarto el segundo valor, y así

sucesivamente. Por lo tanto, el primer valor final lo adquiere

la población cada dos períodos; lo mismo ocurre con el

segundo valor, la población lo va adquiriendo cada dos

períodos. Éste es el régimen que se llama periodicidad dos.

- Al seguir aumentando el valor de k se llega a un régimen

final en el que hay cuatro posibles valores finales de la

población, que se van alternando. Por tanto, cada uno de estos

valores se va adquiriendo cada cuatro períodos. Se está en el

caso de la periodicidad cuatro.

- Se puede continuar así, hasta que se llegue al régimen

caótico, en que cada período la población va adquiriendo

cierto valor que ya no se repite.

- Ahora bien, antes de entrar en el régimen caótico, el período

va aumentando de 1 a 2 períodos, de 4 a 8 períodos, etc., a

medida que el valor de k va aumentando. Llega un cierto

momento en que ya no se puede hablar de periodicidad, se ha

entrado en el régimen caótico.

APÉNDICE

Archivo .M de MATLAB, para calcular la convergencia o

divergencia de la sucesión estudiada.

% Laboratorio de Matematicas Especiales con MATLAB

% Tema: sucesiones logísticas

clc

k=input('Entre un valor de k, del intervalo abierto (0,4): ');

disp(' ')

pn=input('Entre el valor de p0, del intervalo cerrado [0,1]: ');

disp(' ')

n=input('¿Cuantos terminos de la sucesion quiere calcular? ');

disp(' ')

x=linspace(1,n,n);

p=ones(size(x));

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1ECUACION LOGISTICA EN DIFERENCIAS

n

Sn

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1ECUACION LOGISTICA EN DIFERENCIAS

n

Sn

PABÓN

p(1)=pn;

for i=1:n-1

pn1=k*pn*(1-pn);

p(i+1)=pn1;

pn=pn1;

end

format rat

%p %si se habilita escribe el vector de valores calculados

%plot(x,p,'*');grid %marca asteriscos

plot(x,p,'-o'); grid %habilita linea poligonal con puntos

title('ECUACION LOGISTICA EN DIFERENCIAS')

xlabel('n')

ylabel('Sn')

REFERENCIAS

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First Edition, Cambridge: Cambridge University Press. 2003.

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and Social Systems. First Edition, New York: OXFORD

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Edición, México D. F. Fondo de Cultura Económica. 2003.

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New Delhi. 2008.

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[11] Maldonado, Carlos Eduardo. Termodinámica y

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humanas. Primera Edición, Bogotá: Universidad Externado de

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Edición, México D. F. Pearson Educación. 2007.

[13] Pérez,César. Matlab y sus Aplicaciones en las Ciencias y

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[14] Rubiano, Gustavo. FRACTALES para Profanos. Primera

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[15] Smith, David M. Engineering Computation with

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[17] Tung, K. K. Topics in Mathematical Modeling. First

Edition, Princeton N. J.: Princeton University Press. 2007.

[18] http://www.villamette.edu/~sekino/fractal/

index.html/#stories En: Stories about Fractal Plotting

[19] http://www.willamette.edu/~sekino/fractal/ gallery.html

AUTOR

Hector Jose Pabón Ángel. Docente Ingeniera de Sistemas,

Universidad de Cundinamarca, Seccional Ubate – Colombia.

hipa2450@yahoo.com

Fecha Recepción: 30 de Noviembre 2011

Fecha Aprobación: 21 de Marzo 2012

MODELAMIENTO DE UN SISTEMA DINÁMICO CAÓTICO CON MATLAB: LA ECUACIÓN LOGÍSTICA