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Desigualdades e Inecuaciones
Ing. José Silva C.115
CAPÍTULO VIIIDESIGUALDADES E INECUACIONES
8.1. DESIGUALDAD.- Es la relación que establece que dos cantidades tienen diferente valor.
Los signos que se utiliza para designar desigualdades, son:
> que se lee : “ mayor que ” ; < que se lee : “ menor que ” que se lee : “ mayor o igual que ” ; que se lee : “ menor o igual que ”
Las desigualdades que no incluyen el signo igual se determinan estrictas y las que lo incluyen sedenominan no estrictas.
Por lo tanto una desigualdad es una expresión que indica que un número es mayor o menor que otro.
8.1.1. PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
Axiomas de orden
1) cyb,a se cumple una y solo una de las siguientes proposiciones:
ba,ba,ba Ley de tricotomía
2) Si abba
3) Si ba y cb ca
4) Si cbcaba ; Si dbcadcba
5) Número positivo: 0a ; Número negativo: 0a
6) 02 aa
7) Si 01
001
0 a
aóa
a
8) Siba
baóab
ba11
0011
0
9) Siba
baóab
ba11
011
00
10) Si ba yc
b
c
aóbcacc 0
11) Si ba yc
b
c
aóbcacc 0
12) Si dbcadcba 000
Desigualdades e Inecuaciones
Ing. José Silva C.116
8.1.2. DESIGUALDADES ABSOLUTAS.- Son aquellas que se verifican para cualquier valor que se den ala variable.
05 2 x , desigualdad absoluta verdadera Solución: x
05 2 x , desigualdad absoluta verdadera Solución: 5 x
05 2 x , desigualdad absoluta falsa Solución:
En los tres casos el resultado del paréntesis siempre va a ser un número positivo para cualquier valor quele asignemos a la variable x .
8.2. INECUACIÓN O DESIGUALDAD CONDICIONAL.- Es una desigualdad que se verifica paradeterminados valores que se den a la variable.
Ejemplo:
172 x ; 82 x ; 4x ; se verifica para todos los valores mayores que 4
Al resolver inecuaciones, a veces se pueden simplificar los términos que contienen la variable y quedarcomo resultado una inecuación absoluta verdadera o falsa en cuyo caso la solución será por ejemplo:
1) x:SolV;xx;xx 032324842
132
2) :SolF;xxx;xxx 102102322042
132
El objeto de estudiar inecuaciones, es porque se aplican: para acotar funciones; para hallar el dominio y rango
de relaciones de en y de funciones.
8.3. CONJUNTO SOLUCIÓN DE UNA INECUACIÓN
Resolver una inecuación significa encontrar su conjunto solución C.S.; es decir, hallar el intervalo ointervalos donde están los valores que puede tomar la incógnita para que verifique la inecuación.
8.4. INTERVALOS
Un intervalo se define como el subconjunto de números reales que está comprendido entre dos números a yb llamados extremos.
8.4.1. TIPOS DE INTERVALO.
INTERVALO CERRADO. Incluyen a los extremos
bxa , se denota por: b,ax
INTERVALO ABIERTO. Excluye a los extremos
bxa , se denota por: b,ax ó b,ax
a b
a b
Desigualdades e Inecuaciones
Ing. José Silva C.117
INTERVALO SEMIABIERTO. Combinación de los anteriores
bxa , se denota por: b,ax
bxa , se denota por: b,ax
INTERVALOS INFINITOS
ax , se denota por: ,ax
ax , se denota por: a,x
x , se denota por: x
8.5. OPERACIONES CON INTERVALOS
Como los intervalos representan un conjunto de números, se pueden realizar las mismas operaciones queexisten entre conjuntos numéricos.
Ejemplos:
1) Determine el complemento del intervalo 53 ;
Complemento: ,,x 53
2) Hallar la unión e intersección de los siguientes intervalos
a) 15213204 x;,,;,,
Unión = ,,x 104 ; Intersección = 52 ,x
a b
a b
a
a
- ∞ + ∞
-3 5
Desigualdades e Inecuaciones
Ing. José Silva C.118
b) 0x ; 4224 xx ; 21 x
Unión = 4,x ; Intersección =
8.5.1. APLICACIONES DEL BUEN USO DE LOS INTERVALOS
Los siguientes ejemplos ilustran la manera correcta de aplicar las definiciones de los intervalos y de laspropiedades de las desigualdades.
1) Si 52 ,x , ¿ a qué intervalo pertenece la expresión x23 ?
Si 52 ,x entonces a partir de 52 x formamos el término x23Multiplicar por 2 : 1024 x
Sumar 3 : 7237 x
Ordenar : 7237 x
Conclusión 7723 ,x
2) Si 2742 ,x , a qué intervalo pertenece la expresión23
12
x
x?
Para hacer más sencillo el cálculo se divide:
12 x 23 x
3
42 x
3
2
3
7
Si 2742 ,x entonces a partir de 2427 x , hallamos una desigualdad para “ x ”
Sumar 2 : 449 x
Multiplicar por4
1 : 1
4
9 x
Ordenar :4
91 x , a partir de la desigualdad formamos 1
Multiplicar por 3 :4
2733 x
Sumar 2 :4
35235 x
Invertir :5
1
23
1
35
4
x
Multiplicar por3
7 :
15
4
233
7
15
7
x
123
37
3
2
23
12
xx
x
Desigualdades e Inecuaciones
Ing. José Silva C.119
Sumar3
2:
15
6
233
7
3
2
15
3
x
Simplificar :5
2
233
7
3
2
5
1
x
Conclusión
5
2
5
1
23
12,
x
x
3) Si 1681
12,
x
x
, hallar el mayor valor m y el menor valor n , tal que n,mx
Si 1681
12,
x
x
entonces 161
128
x
x
161
328
x
Sumar 2 : 141
36
x
Invertir :6
1
3
1
14
1
x
Multiplicar por 3 :2
11
14
3 x
Sumar 1 :2
3
14
17 x nxm
Conclusión :2
3
14
17 n;m
4) Si
2
1
2
5
2
3,
x, ¿ a qué intervalo pertenece “ x ” ?
Si
2
1
2
5
2
3,
xentonces
2
1
2
3
2
5
x
Invertir :5
2
3
22
x
Multiplicar por 3 :5
626 x
Sumar 2 :5
44 x
Conclusión
5
44 ,x
NOTA: Sólo se invierte cuando los extremos de una desigualdad son negativos o positivos
Desigualdades e Inecuaciones
Ing. José Silva C.120
5) Si 03 x , ¿ a qué intervalo pertenece la expresión 293
2x ?
Si 03 x
Multiplicar por 1 : 03 x ( 1 )
Elevar al cuadrado : 09 2 x
Multiplicar por 1 : 09 2 x
Sumar 9 : 990 2 x
Extraer raíz cuadrada : 390 2 x
Multiplicar por3
2: 29
3
20 2 x
Conclusión : 2093
2 2 ,x
6) Si 24 ,x , ¿ a qué intervalo pertenece la expresión algebraica3
22 x
?
Si 24 ,x entonces 24 x
Multiplicar por 1 : 24 x ( 1 )
Elevar al cuadrado : 416 2 x
Sumar 3 : 1313 2 x ( 2 )
Extraer raíz cuadrada : 1313 2 x
Invertir : 13
1
13
12
x
Multiplicar por 2 : 23
2
13
22
x
Conclusión :
2
13
2
3
22
,x
NOTA: Sólo se puede elevar al cuadrado, cuando los extremos son positivos o cero ( 1 )
NOTA: Sólo se extrae la raíz cuadrada cuando los extremos son positivos ( 2 )
7) Si 52 ,x , ¿ a qué intervalo pertenece la expresión 242 xx ?
242 xx completando cuadrados equivale a 62 2 x
Si 52 ,x , entonces a partir de 52 x formamos el término 62 2 x
Sumar 2 : 720 x
Elevar al cuadrado : 4920 2 x
Sumar 6 : 43626 2 x
Conclusión : 436242 ,xx
Desigualdades e Inecuaciones
Ing. José Silva C.121
8) Si x , ¿ a qué intervalo pertenece la expresión algebraica52
32 x
?
x 02 x ; 02 2 x ; 552 2 x ;5
1
52
10
2
x;
5
3
52
30
2
x
Conclusión :
5
3,0
52
32x
EJERCICIOS PARA RESOLVER EN EL AULA
Exprese la desigualdad como un intervalo y dibuje su gráfica:
1) x3
4) 105 x
2) 4x
5)2
63 x
3) 74 x
6) 50 x
Utilice desigualdades para describir los siguientes conjuntos:
1) 50 , 2) 13 , 3) ,8 4) 531 ,,
Efectúe las siguientes operaciones entre intervalos:
1) ,,, 2021 2) 0101 ,,,
3) 3104 ,, 4)
3
2
34212 ,,, 5) 855 ,,
EJERCICIOS DE REFUERZO
1) Si 2131 ,x , a qué intervalo pertenece la expresión 23 x ?
2) Si 532
,x , a qué intervalo pertenece la expresión 13 x ?
3) Si 105 ,x , hallar el menor valor n y el mayor valor m , tal que nx
xm
23
12
4) Si 31712 2 ,x , a qué intervalo pertenece x ?
5) Si 851
4,
x
, a qué intervalo pertenece la expresión 12 x ?
6) Si 20102
23,
x
x
, hallar los valores de m y n tal que nxm
7) Si x , ¿ a qué intervalo pertenece la expresión algebraica4
52 x
?
8) Si se sabe que 3x y además que: bx
xa
5
469, hallar el valor de ba .
Respuestas:
1) 41 ,x 2)
1
5
1,x 3)
32
19
17
9 n;m 4) 4224 ,,x
5)
5
132 ,x 6)
7
22
17
42 n;m 7)
4
5,0x 8)
2
25
Desigualdades e Inecuaciones
Ing. José Silva C.122
8.6. INECUACIONES DE PRIMER GRADO O LINEALES
Son de la forma: 0000 bxaóbxaóbxaóbxa , donde a y b son constantes
y 0a
Para su resolución se considera si la desigualdad es estricta o no estricta para determinar el tipo de intervalosen la solución de la siguiente manera:
> < significa intervalos abiertos ; significa intervalos cerrados
EJERCICIOS RESUELTOS
Resolver las siguientes inecuaciones:
1)5
21
3
12
xx
5
25
3
12
xx , 22613321510 x,x,xx : 2,.. xSC
2) )x()x( 2610332
1261066 xx , 80124 , )( F .S.C
3)
xxx)x(x
3
2
323
2
1
32
32
2
3
2
1 xxxx , 3
2
1
2
3
2
1 xx , 0
2
93
2
3 , )(V xSC ..
4)4
1
2
7
4
121
2
1 32
x
x]x)x([
4
1
4
3
2
7
4
123
2
1
xx]xx[ ,
4
1
4
3
2
7
2
1
44
3
2
1
xx
xx ,4
1
2
7
41 x
x
4
11
42
7
xx ,
3
1515515 x,x,x
3
1,.. xSC
EJERCICIOS PARA RESOLVER EN EL AULA
Resuelva las siguientes inecuaciones lineales:
1)3
212
xx 2)
4
13
2
1132
x
x
3)
7
13
3
75
7
12
3
2
xxxx4) xxx 82
4
1
2
1462
3
1
Respuestas:
1)5
1x 2)
24
1x 3)
9
4x 4) x
8.7. SISTEMA DE INECUACIONES LINEALES CON UNA VARIABLE
20
10
22
11
Solbxa
Solbxa
Desigualdades e Inecuaciones
Ing. José Silva C.123
La solución de un sistema de inecuaciones está dada por: 21 SolSolSol Ejemplos:
Resolver los siguientes sistemas:
1)
1453
642
x
x
1453642 xx
35 xx , entonces: ,x.S.C 5
2)
932
754
3
xx
x
182628203 xxx
2416 xx , entonces: 2416 ,x.S.C
8.7.1. INECUACIONES SIMULTÁNEAS
Representan un sistema de inecuaciones que pueden ser resueltas simultáneamente aislando la variable en lamitad cuando es posible, caso contrario se resuelve el sistema:
Ejemplos:
Resolver las siguientes inecuaciones:
1) 2426 x
4244246 x , 622 x
)()x()( 62
12
2
12
2
1 , 31 x , ];]x.S.C 31
2) 12
345
x
)(x
)( 122
34252
, 23410 x , 42344410 x
2314 x , )()x()( 23
13
3
114
3
1
,
3
2
3
14 x
3
14
3
2 x ,
3
14,
3
2.. xSC
3) 123 x , 212223 x , 35 x ; absurdo : :Sol
EJERCICIOS PARA RESOLVER EN EL AULA
Resuelva los siguientes sistemas lineales:
1) 2331 x 2) 225 x 3) 42
323
x
4) 8281025 xxx 5) 884532 xxx
Desigualdades e Inecuaciones
Ing. José Silva C.124
Respuestas:
1)
3
5
3
2,x 2) 3)
2
3
2
5,x 4) 5) ,x 4
8.8. INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO O CUADRÁTICAS
Son de la forma:00
0022
22
cbxaxócbxax
cbxaxócbxax
Donde 0a y c,b,a
Para su resolución se aplica el método del diagrama de signos o de los puntos referenciales.
8.8.1. MÉTODO DEL DIAGRAMA DE SIGNOS O PUNTOS REFERENCIALES
1) Factorizar el polinomio.
2) Igualar a cero cada factor, para obtener los puntos referenciales y ubicarlos en la recta real.
3) Determinar el signo de cada factor en los distintos intervalos que se originan mediante la siguienteregla:
Si la variable es positiva, “del punto referencial a la derecha se pone signo positivo,sentido contrario negativo”.
Si la variable es negativa, “del punto referencial a la derecha se pone signo negativo,sentido contrario positivo”.
4) Determinar que signo le corresponde el producto de los factores en cada uno de los intervalosanteriores mediante la ley de los signos de la multiplicación.
5) Seleccionar los intervalos donde el signo del producto satisfaga la desigualdad.
Signo (+) tiene relación con el sentido de la desigualdad > ó Signo (-) tiene relación con el sentido de la desigualdad < ó Si la desigualdad es estricta, los intervalos de la solución son cerrados b,a
Si la desigualdad es no estricta, los intervalos de la solución son abiertos b,a
El conjunto solución es la unión de todos los intervalos con el mismo signo.
Ejemplos:
Resolver las siguientes inecuaciones:
1) 032 2 xx , 0321 )x()x(
Puntos referenciales:2
3032101 xxxx
Se elabora el diagrama de signos.
INTERVALO1x - + +32 x - - +
321 xx + - +
1
2
3
Desigualdades e Inecuaciones
Ing. José Silva C.125
Como el sentido de la desigualdad es “ < ”, seleccionamos el intervalo con signo negativo, siendo entoncesel conjunto solución de la inecuación el intervalo:
2
31 ;x.S.C
2)3
8
3
21
2
21
)x()x(
03
8
3
122
2
122
)xx(xx , 06
1612221223
)xx()xx(
016242363 22 xxxx , 01522 xx , 035 xx
Puntos referenciales: 303505 xxxx
Elaboramos el diagrama de signos.
INTERVALO5x - - +3x - + +
325 xx + - +
Como el sentido de la desigualdad es “ ” se seleccionan los intervalos con signo positivo.
;;x.S.C 53
3) 0832 2 xx ; 0832 2 xx
El polinomio de segundo grado no admite raíces reales, lo cual se comprueba calculando su discriminantecuyo valor es negativo.
558242342 cab
Por lo tanto la inecuación dada es de la forma 02 cbxxa , siendo 0a ; lo que significa que para
cualquier valor que demos a “ x ” en el polinomio, este dará como resultado siempre una cantidad positiva ,
x , 0832 2 xx V x.S.C
8.8.2. MÉTODO DE LOS INTERVALOS
Sirve para resolver inecuaciones polinómicas de cualquier grado y lo que se debe hacer es lo siguiente:
1) Descomponer en factores el polinomio.
2) Determinar las raíces o puntos referenciales y ubicar en la recta numérica.
3) Aplicar la siguiente regla: “ De la raíz mayor a la derecha signo positivo, luego van alternados”,esto siempre y cuando en todos los factores la variable “ x ” tenga signo positivo.
4) Si existe un número impar de factores donde la variable “ x ” tiene signo negativo, en ese caso seaplica la siguiente regla: “ De la raíz mayor a la derecha signo menos y luego van alternados”
Por ejemplo si la desigualdad polinomial fuese: 0 cxbxax , la solución sería:
3
5
Desigualdades e Inecuaciones
Ing. José Silva C.126
Raíces o puntos referenciales: cx,bx,ax 321 Asumamos que bc
..SC ;; bca
Ejemplos:
Resolver las siguientes inecuaciones:
1) 062 xx , 023 )x()x(
Puntos referenciales: 202303 xxxx
,,x.S.C 23
2) 0132 2 xx , 0121 )x()x(
Puntos referenciales:2
1012101 xxxx
1
2
1,x.S.C
3) 0142 xx No es fácil factorar, en este caso completamos cuadrados
014442 xx , 032 2 x , 03232 xx
Puntos referenciales: 3232 xx
,,x.S.C 3232
8.8.3. PRINCIPIO DE ABSORCIÓN
Para todo factor positivo:
1) Zn,bxabxa n 00 22
x.S.C
00
2) 00 22 cxbxacxbxa ; Para ambos casos se tiene qué:
040 2 acba:Si
00 22 cbxaxocbxax,x siempre va hacer positivo, por lo tanto tenemos
una desigualdad absoluta verdadera y la solución será : x.S.C
Ejemplos:
1) 035 2 )x()x( Por principio de absorción se reduce a:
03 )x( , 3x , ,x.S.C 3
2-3
1
2
1
32 3-2
c-a b
Desigualdades e Inecuaciones
Ing. José Silva C.127
El punto referencial 5x si satisface la desigualdad.
2) 035 2 )x()x( Por principio de absorción se reduce a:
03 )x( ; 53 ,x.S.C
El punto referencial 5x no satisface la desigualdad.
Nota: Cuando se absorbe algún factor, hay que verificar si el punto referencial de ese factor satisface o no ladesigualdad.
3) 0512 )x()xx( Por principio de absorción se reduce a:
05 x , ya que para 012 xx,x
5x ; 5,x.S.C
EJERCICIOS PARA RESOLVER EN EL AULA
Resuelva las siguientes inecuaciones cuadráticas:
1) 42 x 2) 03 2 x 3) 03 2 x 4) 03 2 x
5) 03 2 x 6) 022 x 7) 072 x 8) 030132 xx
9) 01062 xx 10) 0126 2 xx 11) 01262 xx
12) 012 xx 13) xxx 44882
Respuestas:
1) 22 x 2) x 3) 3x4) 5) 3x 6) 7) x 8) 103 xx 9)
10)3
4
2
3 x 11) x 12) 13) 2x
8.9. INECUACIONES POLINÓMICAS
Para resolver una inecuación polinómicas a más del método del diagrama de signos se puede utilizar elmétodo de los intervalos.
Ejemplos:
Resolver las siguientes inecuaciones:
1) 05323 xxx
03523 xxx
,,x.S.C 2
5
33
2) 027351 xxxxx
027351 xxxxx
2
5
3-3
Desigualdades e Inecuaciones
Ing. José Silva C.128
75321 ,,,x.S.C
Regla:a) Si se cambia el signo a un número par de factores, no cambia el sentido de la desigualdad.
b) Si se cambia el signo a un número impar de factores, cambia el sentido de la desigualdad.
8.9.1. RAÍCES DE MULTIPLICIDAD PAR O IMPAR
Al descomponer en factores el polinomio puede darse el caso de que algunos factores se repitan (raízmúltiple), en cuyo caso se debe considerar la siguiente regla:
a) Si se repite un número par de veces (multiplicidad par), los signos en los intervalos situados a ambosde la raíz o puntos críticos son iguales.
b) Si se repite un número impar de veces (multiplicidad impar) los signos en los intervalos situados aambos lados de la raíz son diferentes.
Ejemplos:
Resolver las siguientes inecuaciones:
1) 035 2 xx
Raíces o puntos referenciales: 51 x de multiplicidad par y, 3x de multiplicidad impar
Sol: ,x 3
2) 02 2 x ; 2x es una raíz de multipliciad par
Se podría haber considerado también que 22x para cualquier valor asignado a “x”el resultado es siempre
positivo y como un cantidad positiva es mayor que cero se concluye que la solución es todos los valores.
02 2 x ; 0 (verdad) Sol: x
3) 023 23 xxx
0232 xxx ; 012 xxx ; Raíces: 210 ,,x de multiplicidad impar
Sol: ,,x 210
4) 0935 3456 xxxx
0935 233 xxxx ; 031 23 xxx
Raíces: 0x multiplicidad impar , 1x multiplicidad impar , 3x multiplicidad par
32-1 75
5-3
2
10 2
Desigualdades e Inecuaciones
Ing. José Silva C.129
Sol: 01 ,x
Si la inecuación hubiese sido de la forma 0)x(P la solución sería: Sol: 301 ,x
EJERCICIOS PARA RESOLVER EN EL AULA
Resuelva las siguientes inecuaciones polinómicas:
1) 0673 xx 2) 365 24 xx
3) 0842 23 xxx 4) 24 9124 xxx
5) 063422 2345 xxxxx 6) 024503510 234 xxxx
7) 0161210116 2345 xxxxx 8) 02111 33 xxxx
9) 05312 342 xxxx
Respuestas:
1) ,,x 213 2) ,,x 22 3) 22 ,x
4) 231 ,x 5) 211 ,,x 6) 4321 ,,x
7) ,,x 411 8)
,,,x 1
2
101 9) 3215 ,,x
EJERCICIOS DE REFUERZO
Resolver las siguientes inecuaciones:
1) 543
4224
3
2 xxx 2)
15
92
124
5
3
3
xxx
3) 022 xx 4) 016 2 xx
5) 0994 2 xx 6) 054 2 xx
7) 03103 2 xx 8) 24 xx
9) 0321 42 xxx 10) 0822 22 xxxx
11) 01249 24 xxx 12) 24 9124 xxx
13) 03019153 234 xxxx 14) 081227 235 xxxx
15) 02564 23456 xxxxxx
Respuestas:
1)11
10x 2) 3x 3) 20 ,x
4)2
1
3
1 xx 5) 6)
4
51 ,x
7)
3
3
1,x 8) 01,1 x 9) 3,2 x
0-1 3
Desigualdades e Inecuaciones
Ing. José Silva C.130
10) ,24,x 11) ,31,x 12) 231 ,x
13) 5213 ,,x 14) 2x 15) 112 x
Resolver las siguientes inecuaciones continuas:
1) 42
323
x2) 0
3
24
x3) 1
2
312 x
xx
4) 421054 xxx 5) 114718 2 x
6) Hallar el conjunto de enteros que satisfacen la inecuación: xxx
583
22
3
5
2
152
7) Si 11432 ,x hallar el menor valor de m que satisface la siguiente desigualdad: mx
x
2
4
8) Para todo x , halle el valor de k en la siguiente inecuación: 21
23
2
2
xx
xkx
Respuestas:
1)2
3
2
5 x 2) 3) 2x 4)
5) 115511 ,,x 6) 432 ,, 7)5
9m 8) 21 ,k
8.10. INECUACIONES RACIONALES ( FRACCIONARIAS )
Sean xP y xQ polinomios. Son inecuaciones racionales:
0
)x(Q
xP,
0
)x(Q
xP,
0
)x(Q
xPy
0
)x(Q
xP
Para su resolución se puede aplicar el método de diagrama de signos ó el método de los intervalos.
RECOMENDACIONES
1)2
32
5
23
xx, 325232 xx correcto
2) En la inecuación 53
2
x, no hacer 352 x ; porque el signo de 3x no se conoce,
puede ser positive o negativo.
3) En la inecuación41
2 x
x
, no hacer 18 xx ; porque el signo de 1x no se conoce.
4) En 51
23
x, no invertir; porque los extremos 3 y 5 tienen signos opuestos.
5) En 51
23
x, no multiplicar así: 15213 xx ; porque el signo de
1x no se conoce.
6)32
2
23
5
xx, 232325 xx incorrecto
7)32
2
23
5
xx, 0
32
2
23
5
xxcorrecto
8) Si hace: 242 xx es incorrecto. Lo correcto es: 044 22 xx
Desigualdades e Inecuaciones
Ing. José Silva C.131
9) Hacer: 3294 2 xx es incorrecto.
Lo correcto es: 9494 222 xxx
0904 22 xx
8.10.1. RESTRICCIÓN DEL DENOMINADOR:
En las inecuaciones racionales no estrictas deben excluirse en la solución, los valores referencialescorrespondientes al denominador para evitar de esta manera al sustituir dichos valores en la inecuación, estase transforme en una indeterminación. En las inecuaciones estrictas, los extremos de los intervalos de lasolución son abiertos, por lo tanto no es necesario hacer la restricción de los puntos referenciales deldenominador.Ejemplos:
Resolver las siguientes inecuaciones:
1) 032
5
xx
x; 32 xx
,,x.S.C 523
2) 0
31
32
xxx ; 0x ; 1x ; 3x
30 ,x.S.C
3)
0345
22
xx
x
El factor 32 x no tiene raíces reales, para cualquier valor asignado a x el resultado va a ser siempre
una cantidad positiva, al omitir dicho factor no se altera el comportamiento de la inecuación.
04
2
x
x; 4x
,,x.S.C 42
4) 0
25
524
xx
xx; 52 xx
El factor 5x se puede simplificar, pero se debe tomar en cuenta que dicha raíz o punto referencial, no
debe considerarse en la solución.
02
2
x
x; 5x
522 ,,x.S.C
2-3 5
0-1 3
4-2
2-2
Desigualdades e Inecuaciones
Ing. José Silva C.132
EJERCICIOS PARA RESOLVER EN EL AULA
Resuelva las siguientes inecuaciones racionales:
1) 03
8
x2)
0
7
52
x3) 0
1
82
x4) 0
2
3
x
x5) 0
5
122
x
x
6)3
5
3
92
xx
xx 7)
01
12124
32
x
xx8) 0
21
1
23
1
xxx
9)x
x
1
11 10)
0
51
2 2
xx
x11) 0
34
811
2
xx
x
12)1
1
2
122
x
x
x
x13) 0
6
7151
2
xx
x14) 2
1
8332
2
xx
xx
15)1
8
1
2
1 2
xxx
x16) 0
152
4241
2
xx
x17)
1
1
1
223
2
x
x
x
x
18)2
2
1
14
5
4
5
x
x
x
x
Respuestas:
1) 3x 2) 7x 3) 4) 23 xx 5)
5
2
1,x
6) ,,x 431 7) 12
1
,x 8) 21 ,x
9) 01 ,x 10) 2,15, x11) 213 ,x 12) x 13) 323 xx
14) ,,x 32 15) 3112 ,,x 16) 353 ,,x
17) 11,x 18) 1 ,x
EJERCICIOS DE REFUERZO
Resolver las siguientes inecuaciones racionales:
1) 02
x
x2)
2
1
13
4
x
x3)
43
3
12
2
xx4) 0
21
1
33
1
xxx
5)x
x
1
11 6)
1
1
3
3
x
x
x
x7)
22
282
ax
a
ax
a
ax
x
8) xxxx
x
3572
11
7253
9) xx
x
xxx
x
13
2
2
2
652
10)4
2
44
422
x
x
xx
x
11) Un padre dispone de $ 300 para ir al estadio con sus hijos. Si compra entradas de $ 50 le falta dinero,si compra entradas de $ 40 le sobra dinero. ¿Cuántos hijos tiene?
12) En un gallinero había cierto número de gallinas. Se duplicó el número y se vendieron 27 queda dandomenos de 54. Después se triplicó el número de gallinas que había al principio y se vendieron78quedando más de 39. ¿Cuántas gallinas había al principio?
Desigualdades e Inecuaciones
Ing. José Silva C.133
13) Se compra igual cantidad de lapiceros de dos colores: al venderse la cuarta parte quedan menos de 118por vender; si se vendiera la sexta parte quedarían más de 129 por vender. ¿Cuántos lapiceros secompraron?
14) Un comerciante disponía de una cantidad de dinero para comprar un cierto número de objetos igualesentre sí. Pensaba comprarlos al precio de $ 50 cada uno y la faltaban más de $ 48, y después pensócomprar los de $ 40 y le sobraban más de $ 152; y por último los compro al precio de $ 30 cada uno yle sobraron menos de $ 372. ¿Cuál fue el número de objetos comprados?
Respuestas:
1) 2,0x 2)5
9
3
1 xx 3)
3
4
2
1 x 4) ,32,1x
5) 0,1 x 6) 3,01, x
7) ,3,2, aaaax 8)
2
7,32,
3
5x
9) 3,2,1 x 10) 2x 11) 6 hijos
12) Habían 40 gallinas 13) Total 156 lapiceros 14) 21 objetos
8.11. VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto del número real “ x ” que se denota por x , se define por la siguiente regla:
0
0
xsi;x
xsi;xx
Ejemplos:
33 , 222 )( , 00 El valor absoluto de cualquier número real x será siempre
positivo.
8.11.1. PROPIEDADES:
1) x , se cumple: 0x
2) 00 xx
3) 2222xxóxx, x
4) aa, x 2
5) x-x, x
6) ba;abba
7) ba;baba
8) 0 b;b
a
b
a
9) axaxaxSi ó 222axaxax Si 2
10) a- xax aax 0
11) y, x ;yxyx Desigualdad triangular
12) axaaax 0
13) a,axaxax
14) 2222a xaxax
Desigualdades e Inecuaciones
Ing. José Silva C.134
EJERCICIOS RESUELTOS
Resolver las siguientes ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto:
1) 02 xx
Por propiedad 2): 00 22 xxxx
01 xx , 010 xx
10 xx , 10 ,.S.C
2) 834 x
Por propiedad 10) tenemos que: 08 834834 xx
3
4x 4x ,
4
3
4,.S.C
3) 0942 x
Por propiedad 2): 94094 22 x,x Por propiedad 10) :
09 9494 22 xx
513 22 xx
1313 xx , 13,13.. SC
4) 021 xx
21 xx Por propiedad 9): 2121 xxxx
2121 xx
2
1 xFalso
2
1 x ,
2
1.S.C
Igual resultado obtenemos si aplicamos: 222axax 2
5) 322 xx Por propiedad 9) tenemos:
322322 xxxx
135 xx
3
15 xx ;
3
15 ,x.S.C
Otra manera de resolver, aplicando la otra equivalencia de la propiedad 9) tenemos:
22322 xx
22 322 xx ; 29124164 22 xxxxx ; 05163 2 xx
513 xx ; 05013 xx ; 53
1 xx ;
3
15 ,x.S.C
Desigualdades e Inecuaciones
Ing. José Silva C.135
6) 09 x
Por definición del valor absoluto este es siempre positivo y para cualquier valor que asignamos a x alefectuar el valor absoluto nos dará una cantidad positiva con lo que concluiremos siempre en un absurdo,consecuentemente no tendrá solución la desigualdad.
Por lo tanto la desigualdad no tiene solución , .S.C
7) 0x 92 , Por la condición de la desigualdad, los únicos valores que satisfacen la condición
son 3 y 3 . 33 ;.S.C
Si la desigualdad fuera 092 x , se cumpliría para cualquier valor que demos a x, en cuyo caso
diremos que la solución está dada por: x.S.C
8) 13 xx Por propiedad 12) tenemos:
13101 xxxx
13311 xxxxx
22311 xx
11 xx Intersecando los intervalos tenemos como solución:
1 ,x.S.C
9) 25
32
x
25
32
x; 1032 x Por propiedad 13) tenemos:
xx
xx
xx
xx
3
84
83123
83123
10321032
;4
3
8;.. xSC
10) 0152222 xx
22
11422114
0152244015222
22
22
xxx
,xxx
xxx,xx
2
1142
2
xxx Por propiedad 12) tenemos:
43
8
Desigualdades e Inecuaciones
Ing. José Silva C.136
BA
xxxxxx
xxxxx
xxxxxxxx
xxxx
xxxx
xxx
xxxx
017-0350152152
07601520152
02
114420
2
421141544
02
114202
2
1140114
2
1142
2
1140
2
114
222
222
222
222
A)
Sol A: ,,x 152152
B)
Sol B ;73;x
Sol: Sol A Sol B ,73,
11) xx 234 Por propiedad 15) tenemos:
072034129816234 22222 xx;xxxx;xx
0713 xx
;;x.S.C
3
17
1 53 7
5-3
152 15-2
7-1
3
1-7
3 152 152 7
Desigualdades e Inecuaciones
Ing. José Silva C.137
12) Resolver 422 xx por definición.
2022
20222
x;xSi;x
x;xSi;xx
4220242202 xx,xSixx,xSi
23262 x,xx,x
3
2262 x,xx,x
3
2x
3
2
3
2.S.Cx
13) Resolver 312
x
xpor definición.
312
012312
012x
x,xSi
x
x,xSi
0312
2
103
12
2
1
x
xx
x
xx
0312
2
10
312
2
1
x
xxx
x
xxx
015
2
10
1
2
1
x
xx
x
xx
BA
x
xx
x
xx 0
15
2
10
1
2
1
A)
2
1x
,xA.Sol
2
1
B)
2
1x
2
1
5
10 ,;xB.Sol
B.SolA.Sol.S.C ,
,,x.S.C
5
10
1 0
2
1
0-1
5
10
5
1
2
10
Desigualdades e Inecuaciones
Ing. José Silva C.138
8.11.2. MÉTODO DE LAS REGIONES
Este método es útil cuando se tiene dos o más valores absolutos lineales y no se puede aplicarpropiedades:
PROCEDIMIENTO:
1) Se determina las raíces o puntos referenciales de cada valor absoluto.
2) Se coloca los puntos referenciales en una recta, la misma que queda dividida en regiones opartes.
3) Se determinan los signos de cada valor absoluto en las respectivas regiones con los mismoscriterios del método del “Diagrama de Signos” para resolver inecuaciones.
4) Se resuelve la ecuación o inecuación tomando en cuenta los signos de cada región:
Signo + ; se elimina el valor absoluto y se conservan los signos de la expresión algebraica.
Signo - ; se elimina el valor absoluto y se cambian los signos de la expresión algebraica.
5) La solución de la inecuación se obtiene realizando la “unión” de las soluciones de cada una delas regiones.
...SolSolSolSol 321
Ejemplos:
Resolver las siguientes ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto:
1) 18334 xxx
Puntos referenciales:3
834 xx,x
4x - + + +3x - - - +83 x - - + +
44 xx 44 xx 44 xx 44 xx
33 xx 33 xx 33 xx 33 xx
8383 xx 8383 xx 8383 xx 8383 xx
Región I : 4 ,x
18334 xxx
18334 xxx , 18334 xxx
8x Este valor se encuentra en el intervalo 4 ,x , por lo tanto 81 x:Sol
43
8
3
I II III IV
Desigualdades e Inecuaciones
Ing. José Silva C.139
Región II :
3
84 ,x
18334 xxx
18334 xxx , 18334 xxx , 163 x
3
16x Este valor no se encuentra en el intervalo
3
84 ,x , por lo tanto :Sol 2
Región III :
3
3
8,x
18334 xxx
18334 xxx , 18334 xxx
0x Este valor se encuentra en el intervalo
3
3
8,x , por lo tanto 03 x:Sol
Región IV : ,x 3
18334 xxx
18334 xxx , 18334 xxx
6x Este valor no se encuentra en el intervalo ,3x , por lo tanto :4Sol
4321.. SolSolSolSolSC ; 0,8:.. xSC
2) 623 xx
Puntos referenciales: 20 xx
x - + +2x - - +
xx xx xx
22 xx 22 xx 22 xx
Región I : 0,x
144623623
623
x,x,xx,)x(x
xx
011 ,xSol
Región II : 20 ,x
242623623
623
x,x,xx,)x(x
xx
202 ,x:Sol
0 2
I II III
1
0
0
2
Desigualdades e Inecuaciones
Ing. José Silva C.140
Región III : ,x 2
284623
623
x,x,xx
xx
23 x:Sol
321 SolSolSol.S.C ; 21 ,x.S.C
EJERCICIOS PARA RESOLVER EN EL AULA
Resuelva las siguientes inecuaciones con valor absoluto:
1) 35 x 2) 32 x 3) 21
13
x
x
4) 321
94
x
x5) 15 xx 6) 4325 xx
7) xx 623 8) 121 xx 9) 232 x
10) 12
4
x
x11) 012 x 12) 11 23 xxx
13) 14
46 2
x
xx14)
24
222
x
x
x
x15) 321 xx
16) xxx 5252 17) xxx 334 18) 0372 2 xx
19) 01
1
x
xx20) 1
4
112 2
xxx 21) 42 x
Respuestas:
1) 82 xx 2) 15,x 3)
3
5
1,x 4)
2
16
5
3,x
5) 2x 6)
3
4
1,x 7) 22,x 8) 2x
9) ,73,13,x 10) 11) x
12) 2,0x 13) 07,54,4 x 14) x
15) 21 xx 16)
2
3
4,x 17) x
18)
,3
2
1,
2
13,x 19)
,1
2
1,1x
20)2
3
2
1 x 21) 4,4x
2
Desigualdades e Inecuaciones
Ing. José Silva C.141
EJERCICIOS DE REFUERZO
Resolver las siguientes ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto.
1) 5x 2) 422 2 xxx 3) 572 xx
4) 1213 xx 5) 512 xx 6) 7523 xx
7) 35 x 8) 15 xx 9) 232 x
10)
04
253
xx
xx11) 1322 xxx 12) 1
2313
xx
13) 18334 xxx 14) 22 4291144 xxxx
15)x
xx
x
xx 823 22
16) 112 22 xxx 17) 3312 xx
18)x
xx1
3 19) 11
42
x
x20)
x
x
x
x
3
12
12
2
21) 62121 2 xxxxx 22) 342262 xxxx
23) 111 22 xxxx 24) 6 xx
25) 21
410
x
xxx26) 0
272
xx 27) 3
2
1132
x
xx
28) 13 xx 29) 0152222 xx 30) 0652 xx
31) 021 xx 32)2
2
1
xx
x33) 2192 2 xx
34)x
xx
31 35) 0
1
54
2
2
x
xx36) 0
31
213
xx
xx
37) 825416
254016 2
xx
xx38) 421 x
Respuestas:
1) 55 , 2) 21 , 3) 4) 11 ,
5) 26 , 6) 7) ,82,
8) ,2x 9) x 10) 3,42
5,0
x
11) ,12,x 12)
2
7
6,x 13) 08 ,x
Desigualdades e Inecuaciones
Ing. José Silva C.142
14)
,
4
51,x 15) 05, x 16) 2,0x
17)
3
57 ,x 18) 19)
,
2
131
2
131,x
20)
2
1,
2
62
2
62,x 21) ,31,x
22)
,
2
5x 23)
,
2
1x 24) 3x 25) 41 xx
26) 6,10 x 27) 15 ,x 28) 22 ,x 29) 73 xx
30) 3223 ,,, 31)
2
132) 21 ,x
33)
2
7
4
1371,x 34) 30 ,x 35) 5,1x
36)
2
1,x 37)
4
47
20
17,x 38) 6,31,2 x
8.12. INECUACIONES IRRACIONALES
Para su resolución debe tomarse en cuenta las siguientes consideraciones:
1) Si n es un entero positivo par
i) 0)(0)(,0)( xPxPxP n
ii) )x(Q)x(P)x(Q)x(P nn 0
2) 2) Si n es un entero positivo impar
i) 0(x)P)x(Pn 0
ii) 00 )x(P)x(Pn
iii) )x(Q)x(P)x(Q)x(P nn
PARA INECUACIONES IRRACIONALES DE LAS FORMAS:
1) )x(Q)x(P
a) )x(Q)x(P)x(Q)x(P 200
b) )b)a:;)x(Q)x(P SolSolSol 00
2) )x(Q)x(P)x(Q)x(P:,)x(Q)x(P 200 Sol
3) 2000 )x(Q)x(P:,)x(Q)x(P Sol
4) 000 )x(Q)x(P:,)x(Q)x(P Sol
5) 2000 )x(Qk)x(P)x(Q)x(P:;k,k)x(Q)x(P Sol
Desigualdades e Inecuaciones
Ing. José Silva C.143
6) Si n es un entero par positivo:
000
000
000
000
)x(R
)x(P)x(Q
)x(R)x(Q
)x(P
)x(R
)x(P)x(Q
)x(R)x(Q
)x(P
)x(Q)x(P)x(Q)x(P
)x(Q)x(P)x(Q)x(P
n
n
n
n
7) Si n es un entero impar positivo:
)x(Q)x(P)x(Q)x(P
)x(Q)x(R
)x(P
)x(Q)x(R
)x(P
)x(R
)x(Q)x(P
)x(R
)x(Q)x(P
nn
n
n
00
00
OBSERVACIÓN
Cuando en una expresión existan n radicales se deben calcular los intervalos de existencia para cada radical..EC (condición de existencia).
Para poder elevar al cuadrado debemos garantizar que los dos miembros de la desigualdad sean positivos.
EJERCICIOS RESUELTOS
Resolver las siguientes inecuaciones:
1) 37 x
,x:,x,x:C.E 7707 SolPara todo el intervalo se cumple la desigualdad.
2) x 04
4x,4x;04-x:C.E no se cumple la desigualad ya que 0 )F(
Si 4x , se cumple la desigualdad 00 ; por lo tanto la solución es: Sol: 4x
3) 010 x1010010 x,x,x:C.E no se cumple la desigualdad
)F(0 entonces :Sol
4) 2954 x
5
445054 x,x,x:C.E , podemos elevar al cuadrado ya que ambos
miembros son positivos, entonces: 52552954 x,x;x
La solución se obtiene:
5
455
5
4,xx x:Sol
Desigualdades e Inecuaciones
Ing. José Silva C.144
5) xx 546
46460406 ,xx;xx:C.E x:Sol
La suma de dos cantidades positivas va hacer siempre mayor que un número negativo.
6) 03 x
303 x,x:C.E Como la raíz tiene signo negativo entonces para cualquier
valor de la condición de existencia el resultados será siempre un número negativo es decir: F,0- :Sol
7) 6512 22 xxxx
6512065012 2222 xxxxxxxx
184023034 x)x()x()x()x(
2
93243 xxxxx
Teniendo como resultado:
2
943 ;];]x:Sol
8) 228112 xxx Es de la forma )x(Q)x(P ó
)b
)a
a) )x(Q)x(P)x(Q)x(P 200 222 228110202811 )x(xxxxx
4428112047 22 xxxxx)x()x(
7
24274 xxxx
Teniendo como resultado:
7
242 ,x:a)Sol
b) 00 )x(Q)x(P
02028112 xxx
2047 x)x()x(
274 xxx
Teniendo como resultado: 2,x: b)Sol
)bSol)aSol TotalSol ;
7
24;xTotalSol.
9) 16 xxx 2 Es de la forma
b)-
a)óxQ)x(P
a) )x(Q)x(P)x(Q0)x(P 20 222 160106 )x(xxxxx
1261023 22 xxxxx)x()x(
3
2132 xxxx
Teniendo como resultado: ,x: 3a)Sol
El literal b) no existe ya que un número positivo nunca es menor que un número negativo.
Desigualdades e Inecuaciones
Ing. José Silva C.145
10) 0532 xx
:xx,xx Sol52
305032
11) 0623 xx
33306203 :xx,xx lSo
EJERCICIOS PARA RESOLVER EN EL AULA
Resolver las siguientes inecuaciones irracionales:
1) ` 723 x 2) 23 x 3) 212 xx
4) xx 53 5) 464 xx 6) 4 51 xx
7) 31522 xx 8) xxx 43 2 9) xx 3161
10) 0113 xx 11) 55 xx 12) 3273 xx
13) 125 2 xx 14) 034
445 2
32
xx
xx15) xxx 23
Respuestas:
1)
3
47
3
2,x 2) 3x 3)
5,
2
1x
4) 4,3x 5) ,208,4x 6) 11,x
7) ,53,x 8) 30,x 9)
6
1
3
4,x
10) 11) 4,0x 12) ,63,2x
13) 5,43,5 x 14) 3,24, x 15)
3
2
3,x
EJERCICIOS DE REFUERZO
Resolver las siguientes inecuaciones irracionales:
1) 213 x 2) 752 x 3) 13 xx
4) xx 392 5) 21 xx 6) 5824 x
7) 242133 xxx 8) 11522 xxx 9) xxx 2224
10) 69242 xxx 11) 056932 22 xxxx
12) xx 723 13) 5393 2 xxx 14) 01
13
x
x
Desigualdades e Inecuaciones
Ing. José Silva C.146
15) xx
x
2
416) xxx 2224 17) 0
1
5
2
93
x
x
x
x
18) 1224 2
x
xx19) 0
51
3
54 2
3
xx
x20) x.xxx 21232
21) 11 2 xx 22)1
1
1
1
x
x
x
x23) 11 2 xx
24) 44 xx 25) 12322 xxx 26) xx 6
27) xx 12 28) 11 xx 29) 26443
2 2
2
2
xx
x
xx
30) 03
122
x
xx31) 5134 xx 32) 0
14
162
xx
x
33) 11
xx
x.x34) 0
34
44
5 2
32
xx
x.x35) 0
3
5
1
82
x
x
x
x
36) 5612 22 xxxx 37) 1123 xx 38) 32
2
x
x
39) 052425
420 2
xxxx
x40) 5
2
34
3
26
2
1
2
1
x
x
x
x
Respuestas:
1)3
5x 2)
2
5x 3) 3x 4)
5) 1x 6) 4x 7) 1,2x 8) 3x
9) 4,3x 10)2
1x 11) 3,1
2
3,6
x 12) 3,2x
13) 2x 14) 1;1x 15) 4,2x 16) 4,3x
17) 53 ,x 18) 4,30,6 x 19) 3115 ,,x
20) 21 ,x 21) ,,x 11 22) 1 ,x
23) 102 ,,x 24) 44 ,x 25) ,x 1
26) 62 ,x 27) 1x 28) 211 ,,x
29) 212 ,x 30)
63
2
1,x 31) 34 ,x
32) 4,x 33) 2,1x 34) 3,24, x
35) 5,41,3 x 36) 3x 37) 12x
38) 22
5
5
8
,x 39)
,31,
4
7x 40)
1,
3
11x
Desigualdades e Inecuaciones
Ing. José Silva C.147
Resolver los siguientes sistemas de inecuaciones:
1)
01892
251
2
2
xx
xx
2)
05194
02
3
2 xx
x
x
3)
114
1
322932
2
22
x
x
xxxx
4)
0621343
4
2
44
4
42
22
22
xxxx
x
x
xx
x
x
4)
09
13
05312
424
2
342
2
x
xx
xxxx
xx
Respuestas:
1) 5,4x 2) 2,0x 3)
4
5,
2
171x
4) 242
1
,x 5) 0,3x
8.13. SISTEMA DE INECUACIONES CON DOS VARIABLES
Una solución de una desigualdad en "" x y "" y es un par ordenado b,a , que produce una aseveración
cierta si se sustituye en x y y por a y b respectivamente. Resolver una desigualdad en x y y quiere
decir determinar todas las soluciones. La solución de un sistema con dos variables se determina en formagráfica, determinando el conjunto de todos los puntos b,a en el plano yx que corresponden a las
soluciones. Geométricamente, cada uno de estos conjuntos describe un semiplano R.
8.13.1. PROCEDIMIENTO PARA TRAZAR LA GRÁFICA DE UNA DESIGUALDAD EN x y y
1) Reemplazar el signo de desigualdad por el signo igual, y trazar la gráfica de la ecuación resultante. Siel signo de la desigualdad es o bien , usar línea discontinua para indicar que ningún punto de lagráfica produce una solución. Si el símbolo es o bien , use una línea continua para indicar que lassoluciones de la ecuación son soluciones de la desigualdad.
2) Si R es una región del plano yx determinada por la gráfica del paso 1) , y si un punto de prueba
q,p en R produce una solución de la desigualdad, entonces todo punto en R produce una solución,
no sombrear R para indicarlo. Si q,p no es solución, entonces ningún punto en R produce una
solución, en este caso sombreamos R. Por lo general se realiza la prueba con el punto de coordenadas 00 , .
3) La gráfica de la solución del sistema de inecuaciones está determinada por la parte no sombreada de laintersección de las gráficas de cada una de las desigualdades.
Desigualdades e Inecuaciones
Ing. José Silva C.148
EJERCICIOS RESUELTOS
Determine la solución de los siguientes sistemas de desigualdades:
1)
32
6
xy
yx
Primero graficamos la desigualdad 6 yx mediante la ecuación 6 yx
Tomando el punto 00 , del plano de la
región que se encuentra bajo la recta yreemplazando éstos valores en ladesigualdad tenemos: 6 yx ;
600 , 60 V ; lo que
significa que todos los puntos que seencuentra en la región inferior de la rectasatisfacen la desigualdad, por lo tanto nosombreamos dicha región
Procediendo de manera igual en la desigualdad 32 xy , el gráfico resultante luego de realizar la prueba
del 00 , es decir: 300 , 30 , V es:
La solución está determinada por la parte sin sombrear. Al intersecar los gráficos anteriores tenemos lasolución del sistema.
Desigualdades e Inecuaciones
Ing. José Silva C.149
2)
4
22xy
xy
Siguiendo los pasos del ejercicio anterior, el gráfico resultante es:
3)
2052
2447
0
0
yx
yx
y
x
El gráfico resultante es:
EJERCICIOS PARA RESOLVER
EJERCICIOS PARA RESOLVER EN EL AULA
Trace la gráfica de los siguientes sistemas de desigualdades:
1)
42
4
xy
xy2)
82
6
4
0
0
yx
yx
x
y
x
Desigualdades e Inecuaciones
Ing. José Silva C.150
Respuestas:
1) 2)
EJERCICIOS DE REFUERZO
Trace la gráfica de los siguientes sistemas de desigualdades:
1)
2
4
y
x2)
3
2054
x
yx3)
2
2
xy
yx4)
42
2 2
xy
xy
5)
yx
yx
1
12
6)
3
2
y
x7)
1
2
y
x8)
2
12
y
x
9)
53
12
y
x10)
3
2
xy
xy11)
0
2
4
y
x
yx
12)
0
2
43
x
yx
yx
13)
0
1
632
74
y
x
yx
yx
14)
0
103
52
1
y
yx
yx
yx
15)
2
2
6
2424
y
x
yx
yx
16)
0
0
4 2
y
x
xy
xxy
Respuestas:
1) 2)
Desigualdades e Inecuaciones
Ing. José Silva C.151
3) 4)
5) 6)
7) 8)
9) 10)
Desigualdades e Inecuaciones
Ing. José Silva C.152
11) 12)
13) 14)
15) 16)