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EJERCICIO NUMERO 2
METODO DE LOS TRES MOMENTOS
Teniendo esta estructura, los empotramientos serán cambiado por tramos ficticios de longitudes 0.
Posteriormente teniendo esta estructura ya se podrá aplicar el metodo de los tres momentos simplificado.
M°A LA+2M °B (LA+LB )+M°C L2+6× A A×aA
LA+6× AB×bB
LB=6EI (
δALA
+δBLB
)
Como los apoyos son simples en estos puntos no existirán los desplazamientos lineales, por lo tanto la ecuación se reducirá a:
M A LA+2MB (LA+LB )+MCL2+6× AA×aA
LA+6× AB×bB
LB=0
0-1-2
M 0(0)+2M 1 (0+5.65 )+M 2 (5.65 )+ 8.023×5.653
4=0
1-2-3
M 1×5.65+2M 2 (5.65+3.955 )+M 3 (3.955 )+8.023×5.653
4+ 7.91×3.955
3
4=0
2-3-4
M 2×3.955+2M3 (3.955+3.955 )+M 4 (3.955 )+ 7.91×3.9553
4+8.475×3.955
3
4=0
3-4-5
M 3×3.955+2M 4 (3.955+9.04 )+M 5 (9.04 )+8.475×3.9553
4
+6.78×5.65×(9.042−5.65¿¿2)
9.04+7.91×
3.39×(9.042−3.39¿¿2)9.04
=0¿¿
4-5-0’
M 4×9.04+2M 5 (9.04 )+M 0' (0 )+6.78× 3.39×(9.042−3.39¿¿2)9.04
¿
+7.91×5.65×(9.042−5.65¿¿2)
9.04=0¿
Desarrollaremos las ecuaciones anteriores y las ordenaremos de la siguiente manera para luego formar matrices
11.3M 1+5.65M 2=−361.761
5.65M 1+19.21M 2+3.955M3=−484.098
3.955M 2+15.82M 3+3.995M 4=−253.411
3.955M 3+25.99M 4+9.04M 5=−550.417
9.04M 4+18.08M 5=−424.753
La matriz sería:
[11.3 5.65 0 0 05.65 19.21 3.955 0 0000
3.95500
15.823.9550
3.95525.999.04
09.0418.08
]×[M 1
M 2
M 3
M 4
M 5
]=[−361.761−484.098−253.411−550.417−424.753
]El resultado de la ecuación de matrices anterior es :
M 1=−23.768Tn .mM 2=−16.492Tn .mM 3=−8.343Tn .mM 4=−14.208M 5=−16.389
METODO DE PENDIENTE Y DEFLEXION
Hallamos las rigideces relativos
K12=I12L12
= I5.65
=0.177 I=K21
K23=I 23L23
= I3.955
=0.253 I=K32
K34=I 34L34
= I3.955
=0.253 I=K43
K45=I 34L34
= I9.04
=0.111 I=K54
Cálculo de momentos de empotramiento perfecto
M°12=−w l2
12=−8.023×5.652
12=−21.343 Tn.m
M°21=w l2
12=−8.023×5.652
12=21.343 Tn.m
M°23=−w l2
12=−7.91×3.9552
12=−10.311Tn.m
M°32=w l2
12=−7.91×3.9552
12=10.311 Tn.m
M°34=−w l2
12=−8.475×3.9552
12=−11.047Tn .m
M °34=w l2
12=−8.475×3.9552
12=11.047 Tn .m
M° 45=−Pab2
L2− Pab
2
L2=−6.78×3.39×5.652
9.042−7.91×5.65×3.39
2
9.042
¿−15.263Tn.m
M °54=Pba2
L2+Pba
2
L2=6.78×5.65×3.39
2
9.042+7.91×3.39×5.65
2
9.042
¿15.861Tn.m
Remplazamos las rigideces y momentos, en las ecuaciones generales
M ij=E K ij (2θ i+θ j±3δL)±M °ij
M ji=E K ji(2θi+θ j±3δL)±M ° ji
Como en los apoyos no existen desplazamientos angulares el elemento 3δL
es nulo, quedando:
M ij=E K ij (2θ i+θ j)±M °ij
M ji=E K ji(θ i+2θ j)±M ° ji
M 12=0.177 EI (θ2)−21.343
M 21=0.177 EI (2θ2 )+21.343
M 23=0.253 EI (2θ2+θ3)−10.311
M 32=0.253 EI (θ2+2θ3 )+10.311
M 34=0.253 EI (2θ3+θ4)−11.047
M 43=0.253 EI (θ3+2θ4 )+11.047
M 45=0.111EI (2θ4)−15.263
M 54=0.111 EI (θ4 )+15.861
Análisis
Para poder plantear las 5 ecuaciones analizaremos la estructura:
Apoyo 1, es un empotramiento; M 12≠0
Apoyo 2, es un apoyo simple; M 21+M 23=0
Apoyo 3, es un apoyo simple;M 32+M 34=0
Apoyo 4, es un apoyo simple;M 43+M 45=0
Apoyo 5, es un empotramiento; M 54≠0
Incógnitas
M 12, θ2 , θ3 ,θ4 yM 54; son las cinco incógnitas, por lo tanto debemos tener 5 ecuaciones
Condicionando las expresiones y reduciendo
Se sacará de factor común EI
−M 12+0.177θ2+0+0+0=21.343
0+0.86θ2+0.253θ3+0+0=−11.032
0+0.253θ2+1.012θ3+0.253θ4+0=0.736
0+0+0.253θ3+0.728θ4+0=4.216
0+0+0+0.111θ4−M 54=−15.861
Conversión a matriz
La matriz sería:
[−1 0.177 0 0 00 0.86 0.253 0 0000
0.25300
1.0120.2530
0.2530.7280.111
00
−1]×[M 12
θ2θ3θ4M 54
]=[21.343
−11.0320.7364.216
−15.861]
El resultado de la ecuación de matrices anterior son :
M 1=−23.768Tn .mθ2=−13.6992θ3=2.9616θ4=4.762θ5=16.389
Reemplazando obtenemos:
M 12=0.177 EI (θ2)−21.343=23.768Tn .m
M 21=0.177 EI (2θ2 )+21.343 =16.493
M 23=0.253 EI (2θ2+θ3 )−10.311=−16.493Tn
M 32=0.253 EI (θ2+2θ3 )+10.311=8.344Tn
M 34=0.253 EI (2θ3+θ4 )−11.047=−8.343Tn
M 43=0.253 EI (θ3+2θ4 )+11.047=14.206Tn
M 45=0.111 EI (2θ4 )−15.263=−14.209
M 54=0.111 EI (θ4 )+15.861=16.389
Arreglar errores:
8.344−8.3432
=0.0005 M 3=8.344
14.206−14.2092
=0.0015 M 3=14.208
Entonces los momentos son:
M 1=−23.768Tn .mM 2=−16.493Tn .mM 3=−8.344Tn .mM 4=−14.208M 5=−16.389
METODO CROSS
Calcular los coeficientes de distribución
α 12=0
α 21=
I5.65I
3.955+I5.65
=717
α 23=
I3.955I
3.955+I5.65
=1017
α 32=
I3.955I
3.955+
I3.955
=12
α 34=
I3.955I
3.955+
I3.955
=12
α 43=
I3.955I
3.955+I9.04
=1623
α 45=
I9.04I
3.955+I9.04
=723
α 54=0
Calcular los momentos de empotramientos perfectos
M°12=−w l2
12=−8.023×5.652
12=−21.343 Tn.m
M°21=w l2
12=−8.023×5.652
12=21.343 Tn.m
M°23=−w l2
12=−7.91×3.9552
12=−10.311Tn.m
M°32=w l2
12=−7.91×3.9552
12=10.311 Tn.m
M°34=−w l2
12=−8.475×3.9552
12=−11.047Tn .m
M °34=w l2
12=−8.475×3.9552
12=11.047 Tn .m
M ° 45=−Pab2
L2− Pab
2
L2=−6.78×3.39×5.652
9.042−7.91×5.65×3.39
2
9.042
¿−15.263Tn.m
M °54=Pba2
L2+Pba
2
L2=6.78×5.65×3.39
2
9.042+7.91×3.39×5.65
2
9.042
¿15.861Tn.m
Calcular los momentos por CROSS
5 40 7/17 10/17 1/2 1/2 16/23 7/23 0
-21.343 21.343 -10.311 10.311 -11.047 11.047 -15.263 15.8610-2.2713 -4.5426 -6.4894 -3.245 1.467 2.9329 1.2831 0.6416
0.629 1.2571 1.2571 0.629-0.1294 -0.2588 -0.3698 -0.185 -0.219 -0.4373 -0.1913 -0.0957
0.101 0.2018 0.2018 0.101-0.0208 -0.0415 -0.0594 -0.030 -0.035 -0.0702 -0.0307 -0.0154
0.016 0.0324 0.0324 0.016-0.0034 -0.0067 -0.0095 -0.005 -0.006 -0.0113 -0.0049 -0.0025
0.003 0.0053 0.0053 0.003-0.0006 -0.0011 -0.0016 -0.001 -0.001 -0.0019 -0.0008 -0.0004
0.0009 0.0009
-23.769 16.492 -16.492 8.344 -8.344 14.208 -14.208 16.389
3 21
M 1=−23.769Tn .mM 2=−16.492Tn .mM 3=−8.344 Tn.mM 4=−14.208Tn.mM 5=−16.389Tn .m