Post on 28-May-2020
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
1. Factoriza los siguientes polinomios e indica las raíces en cada caso:
a) )4(282 −=− xx }4{=Raíz
b) )3(5155 −−=+− xx }3{=Raíz
c) )5(5255 −=− xx }5{=Raíz
d)
+=+4
134134 aa
−=
4
13Raíz
e)
−=−3
113113 xx
=
3
11Raíz
f)
+=
+=+2
56
6
156156 xxx
g)
−−=
−−=+−3
89
9
249249 xxx
h)
+=+6
12
3
12 xx
−=
6
1Raíz
i)
−−=+−20
18
5
28 xx
=
20
1Raíz
j) )2(363 2 −=− xxxx 0{=Raíces
k) )4(282 2 −−=+− xxxx Raíces
l) )3(5155 223 −=− xxxx =Raíces
m) ( )93273 2 −−=+− xxxx Raíces
n) ( )55255 334 −=− xxxx =Raíces
o) ( )27147 2 +=+ xxxx {=Raíces
p) ( )66366 2 +=+ xxxx {=Raíces
q) )4(3123 223 −−=+− xxxx Raíces
r) )6(2122 223 −−=−− xxxx Raíces
s) )1(3
1
3
1
3
1 334 +=+ xxxx Raíces
IES Juan García Valdemora TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOSDepartamento de Matemáticas
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS . SOLUCIONES
Factoriza los siguientes polinomios e indica las raíces en cada caso:
4
13
−=
2
5Raíz
3
8
=3
8Raíz
20
1
}2,0
}4,0{=
}3 , (doble) 0{=
{ }9,0=Raíces
{ }5 (triple), 0=
{ }2 , 0 −
{ }6,0−
}4 , (doble) 0{=Raíces
}6 , (doble) 0{=Raíces
} 1 (triple), 0 { −=Raíces
TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 3º ESO
1
. SOLUCIONES
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
2. Factoriza los siguientes polinomios e indica las raíces en cada caso:
a) 1072 +− xx
1º) Hallamos las raíces del polinomio
⋅−−±
=⇒=+−12
4)7(70107
22 xxx
2º) Factorización: 5(1072 −=+− xxx
b) 1872 −− xx
1º) Hallamos las raíces del polinomio
⋅−−±
=⇒=−−12
4)7(70187
22 xxx
2º) Factorización: 9(1872 −=−− xxx
c) 963 2 −− xx
1º) Extraemos factor común 33 2 −⇒ x
2º) Hallamos las raíces del polinomio (
)1)(3(32
12
14)2(2032
2
22
+−=−−⇒
⋅⋅−−±
=⇒=−−
xxxx
xxx
3º) Factorización: (3963 2 −=−− xxx
d) 253 2 +− xx
1º) Hallamos las raíces del polinomio
⋅−−±
=⇒=+−32
4)5(50253
22 xxx
2º) Factorización: −=+− 1(3253 2 xxx
IES Juan García Valdemora TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOSDepartamento de Matemáticas
Factoriza los siguientes polinomios e indica las raíces en cada caso:
=±=±=−±=⋅⋅
2
37
2
97
2
40497101
x
x
)2)(5 −x }2,5{=Raíces
±=±=+±=−⋅⋅
2
117
2
1217
2
72497)18(1
)2)(9 +x }2,9{ −=Raíces
)32(396 2 −−=−− xxx
)32( 2 −− xx
2
42
2
162
2
1242)3(1
=±=±=+±=−⋅
x
x
)1)(3 +x }1,3{ −=Raíces
=
==±=±=−±=
⋅⋅6
15
6
15
6
2425523
x
x
−3
2)1 x
=
3
2 , 1Raíces
TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 3º ESO
2
=⇒−=
=⇒+=
22
37
52
37
x
x
−=⇒−=
=⇒+=
=2
2
117
92
11711
xx
xx
12
42
32
42
⇒
−=⇒−=
=⇒+=
xx
xx
=⇒=−=
=⇒+=
3
2
6
4
6
15
16
15
x
x
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
e) 32 2 ++ xx
1º) Hallamos las raíces del polinomio
22
)1(1032
22
⋅−±−
=⇒=++ xxx
2º) Factorización: )32( 2 ++ xx es irreducible
f) 202 −+ xx
1º) Hallamos las raíces del polinomio
⋅⋅−±−
=⇒=−+12
14)1(1020
22 xxx
2º) Factorización: )(4(202 −=−+ xxx
g) 16 2 −+ xx
1º) Hallamos las raíces del polinomio
⋅⋅−±−
=⇒=−+62
64)1(1016
22 xxx
2º) Factorización:
−=−+3
1616 2 xxx
h) 1572 2 −− xx
1º) Hallamos las raíces del polinomio
⋅−−±
=⇒=−−22
4)7(701572
22 xxx
2º) Factorización: −=−− (21572 2 xxx
IES Juan García Valdemora TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOSDepartamento de Matemáticas
tieneno4
231
4
2411324=−±−=−±−=
⋅⋅−
es irreducible
±−=±−=+±−=−⋅
2
91
2
811
2
8011)20(1
)5)( +x }5,4{ −=Raíces
=±−=±−=+±−=−⋅
12
51
12
251
12
2411)1(6
+
2
1
3
1x
−=
2
1 ,
3
1Raíces
±=±=+±=−⋅⋅ 7
4
1697
4
120497
2
)15(24
+−2
3)5 x
−=
2
3 , 5Raíces
TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 3º ESO
3
realsolución tiene
−=⇒−−=
=⇒+−=
=5
2
91
42
91
xx
xx
−=⇒−=
=⇒==
2
1
12
6
3
1
12
4
xx
xx
−=⇒−=
=⇒==±
2
3
4
6
54
20
4
13
xx
xx
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
i) 234 862 xxx ++−
1º) Extraemos factor común 22x−
2−
2º) Hallamos las raíces y factorizamos el polinomio
)1)(4(43
12
14)3(3043
2
22
+−=−−⇒
⋅⋅−−±
=⇒=−−
xxxx
xxx
3º) Factorización: 862 234 =++− xxx
j) xxx 4113 23 −−
1º) Extraemos factor común “x ”
2º) Hallamos las raíces y factorizamos el polinomio
⇒
−=⇒−=
=⇒+=
=±=
⋅−−±
=⇒=−−
3
3
1
6
1311
46
1311
6
1311
32
)11(1104113
22
xx
xx
xxx
3º) Factorización: =−− (4113 23 xxxx
−=
3
1 , 0,4Raíces
k) 345 45396 xxx −−−
1º) Extraemos factor común “ 33x− ”
6 5− x
IES Juan García Valdemora TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOSDepartamento de Matemáticas
)43(2862 22234 −−−=++ xxxxxx
y factorizamos el polinomio )43( 2 −− xx
2
53
2
253
2
1693)4(1
=±=±=+±=−⋅
x
x
)1)(4(2)43(2 222 +−−=−−− xxxxxx Raíces
)4113(4113 223 −−=−− xxxxxx
) Hallamos las raíces y factorizamos el polinomio )4113( 2 −− xx
+−=−−
=±=+±=−⋅⋅−
3
1)4(34113
6
16911
6
4812111
3
)4(34
2 xxxx
−=
+−⋅⋅=−− (33
1)4(3)4113( 2 xxxxxxx
)15132(34539 23345 ++−=−− xxxxx
TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 3º ESO
4
12
53
42
53
⇒
−=⇒−=
=⇒+=
x
x
}1,4 (doble), 0{ −=Raíces
+−3
1)4 x
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
2º) Hallamos las raíces y factorizamos el polinomio
⇒
−=⇒−−=
−=⇒+−=
=±−=
±−=⇒=++
54
713
2
3
4
713
4
713
2
)13(13015132
22
xx
xx
xxx
3º) Factorización: −−− 45396 345 xxx
−−=
2
3 , 5 (triple), 0Raíces
l) xxx7
6
7
1
7
1 23 −+
1º) Extraemos factor común “x7
1”
2º) Hallamos las raíces y factorizamos el polinomio
)3)(2(6
12
14)1(106
2
22
+−=−+⇒
⋅⋅⋅−±−
=⇒=−+
xxxx
xxx
3º) Factorización: 7
1
7
6
7
1
7
1 23 =−+ xxx
IES Juan García Valdemora TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOSDepartamento de Matemáticas
) Hallamos las raíces y factorizamos el polinomio )15132( 2 ++ xx
++=++⇒
±−=−±−=⋅
⋅⋅−
2
3)5(215132
4
13
4
12016913
22
)15()2(4
2
2
xxxx
+⋅⋅−=++−= )5(23)15132(3 323 xxxxxx
)6(7
1
7
6
7
1
7
1 223 −+=−+ xxxxxx
y factorizamos el polinomio )6( 2 −+ xx
2
51
2
251
2
2411)6(=±−=±−=+±−=
−⋅
)3)(2(7
1)6(
7
1 2 +−=−+ xxxxxx
TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 3º ESO
5
=49
++−=
+2
3)5(6
2
3 3 xxx
32
51
22
51
⇒
−=⇒−−=
=⇒+−=
xx
xx
}3,2 ,0{ −=Raíces
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
2−
1−
3. Factoriza los siguientes polinomios
a) 863 23 +−− xxx
Posibles raíces enteras = {divisores de 8
8 6 3 1 +−− 8 10 2 −+−
0 4 5 1 +− ⇒
Finalmente, para buscar las raíces y factorizar
irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:
2
2550452 −±=⇒=+− xxx
Luego, el proceso que hemos seguido ha sido,
45()2(863 223 +−⋅+=+−− xxxxxx
SOLUCIÓN
)1)(4)(2()( −−+= xxxxP
}1,4,2{−=Raíces
b) 1256 23 ++− xxx
Posibles raíces enteras = {divisores de 12
12 5 6 1 ++− 12 7 1 −+−
0 12 7 1 +− ⇒
Finalmente, para buscar las raíces y factorizar
irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:
IES Juan García Valdemora TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOSDepartamento de Matemáticas
Factoriza los siguientes polinomios e indica las raíces en cada caso:
{divisores de 8} = }8,4,2 ,1{ ±±±±
yfactor es )2( raíz es 2 +⇒−⇒ x ()( = xxP
y factorizar )45( 2 +− xx (en caso de que las tenga, porque podría ser
irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:
45
12
2
42
8
2
3516 2 =+−⇒
==
===±=−
xx
x
x
el proceso que hemos seguido ha sido,
)1()4()2()4 −⋅−⋅+= xxx
{divisores de 12} = }12,6,4,3,2 ,1{ ±±±±±±
factor es )1( raíz es 1 +⇒−⇒ x ()(y += xxP
y factorizar )127( 2 +− xx (en caso de que las tenga, porque podría ser
irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:
TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 3º ESO
6
grado 2º de polinomio
2 )45()2 +−⋅+ xx
(en caso de que las tenga, porque podría ser
)1)(4( −−= xx
grado 2º de polinomio
2 )127()1 +−⋅+ xx
(en caso de que las tenga, porque podría ser
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
2
2
49701272 ±=⇒=+− xxx
Luego, el proceso que hemos seguido ha sido,
7()1(1256 223 +−⋅+=++− xxxxxx
SOLUCIÓN
)3)(4)(1()( −−+= xxxxP
}3,4,1{−=Raíces
c) 1834 23 −−+ xxx
Posibles raíces enteras = {divisores de
18 3 4 1 −−+ 18 12 2 +++
0 9 6 1 ++ ⇒
Finalmente, para buscar las raíces y factorizar
irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:
2
2
366096
±−=⇒=++ xxx
Para factorizar )96( 2 ++ xx también podemos ut
Luego, el proceso que hemos seguido ha sido,
223 6()2(1834 ++⋅−=−−+ xxxxxx
SOLUCIÓN
2)3)(2()( +−= xxxP
} (doble) 3,2{ −=Raíces
IES Juan García Valdemora TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOSDepartamento de Matemáticas
127
32
6
42
8
2
174849 2 +−⇒
==
===±=−
xx
x
x
el proceso que hemos seguido ha sido,
)3()4()1()12 −⋅−⋅+= xxx
divisores de – 18} = }18,9,6,3,2 ,1{ ±±±±±±
factor es )2( raíz es 2 −⇒⇒ x )2()(y −= xxP
y factorizar )96( 2 ++ xx (en caso de que las tenga, porque podría ser
irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:
2
32
6
32
6
2
063636 +⇒
−=−=
−=−==±−=−
x
x
x
también podemos utilizar las identidades notables: 2x
el proceso que hemos seguido ha sido,
2)3()2()9 +⋅−=+ xx
TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 3º ESO
7
)3)(4(12 −−= xx
grado 2º de polinomio
2 )96() ++⋅ xx
(en caso de que las tenga, porque podría ser
2)3(96 +=+ xx
2)3(96 +=++ xx
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
2
2
d) 61132 23 −−+ xxx
Posibles raíces enteras = {divisores de
6 11 3 2 −−+ 6 14 4 +++
0 3 7 2 ++ ⇒
Finalmente, para buscar las raíces y factorizar
irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:
−±−=⇒=++4
244970372 2 xxx
Luego, el proceso que hemos seguido ha sido,
+⋅−=−−+ 72()2(61132 223 xxxxxx
SOLUCIÓN
++−=2
1)3)(2(2)( xxxxP
−−=
2
1,3,2Raíces
e) 1243 23 −−+ xxx
Posibles raíces enteras = {divisores de
12 4 3 1 −−+ 12 10 2 +++
0 6 5 1 ++ ⇒
Finalmente, para buscar las raíces y factorizar
irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:
IES Juan García Valdemora TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOSDepartamento de Matemáticas
{divisores de 6− } = }6,3,2 ,1{ ±±±±
factor es )2( raíz es 2 −⇒⇒ x 2()(y −= xxP
y factorizar )372( 2 ++ xx (en caso de que las tenga, porque podría ser
irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:
++⇒
−=−=
−=−==±−= 72
34
122
1
4
2
4
57 2 xx
x
x
el proceso que hemos seguido ha sido,
+−=
++⋅−=+ )(2(22
1)3(2)2()3 xxxxxx
{divisores de – 12}= }12,6,4,3,2 ,1{ ±±±±±±
factor es )2( raíz es 2 −⇒⇒ x 2()(y −= xxP
y factorizar )65( 2 ++ xx (en caso de que las tenga, porque podría ser
irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:
TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 3º ESO
8
grado 2º de polinomio
2 )372()2 ++⋅ xx
(en caso de que las tenga, porque podría ser
++=+2
1)3(23 xx
++2
1)3 x
grado 2º de polinomio
2 )65()2 ++⋅ xx
(en caso de que las tenga, porque podría ser
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
3−
2
242550652 =−±−=⇒=++ xxx
Luego, el proceso que hemos seguido ha sido,
5()2(1243 223 ++⋅−=−−+ xxxxxx
SOLUCIÓN
)3)(2)(2()( ++−= xxxxP
}3,2,2{ −−=Raíces
f) 18693 23 −−+ xxx
Sacamos factor común “3” 3(3 3 +→ xx
Ahora continuamos factorizando el polinomio
Posibles raíces enteras = {divisores de
6 2 3 1 −−+ 6 0 3 +−
0 2 0 1 − ⇒
Finalmente, para factorizar )2( 2 −x util
Luego, el proceso que hemos seguido ha sido,
23(318663 2323 −−+=−−+ xxxxxx
SOLUCIÓN
)2)(2)(3(3)( +−+= xxxxP
}2,2,3{ −−=Raíces
IES Juan García Valdemora TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOSDepartamento de Matemáticas
65
32
6
22
4
2
15 2 =++⇒
−=−=
−=−==±−= xx
x
x
el proceso que hemos seguido ha sido,
)3)(2)(2()6 ++−=+ xxx
)622 −− xx
polinomio 623)( 23 −−+= xxxxP
{divisores de – 6} = }6,3,2 ,1{ ±±±±
factor es )3( raíz es 3 +⇒−⇒ x ()(y += xxP
utilizamos las identidades notables, en concreto
)2)(2()2( 2 +−=− xxx
el proceso que hemos seguido ha sido,
)(2)(3(3)2)(3(3)6 2 +−+=−+=− xxxxx
TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 3º ESO
9
)3)(2( ++= xx
grado 2º de polinomio
2 )2()3 −⋅+ x
concreto, 22))(( BABABA −=+−
)2
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
3−
5−
g) 122332 23 +−− xxx
Posibles raíces enteras = {divisores de 12
12 23 3 2 +−− 12 27 6 −+−
0 4 9 2 +− ⇒
Finalmente, para buscar las raíces y factorizar
irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:
=−±=⇒=+−4
328190492 2 xxx
Luego, el proceso que hemos seguido ha sido,
−⋅+=+−− 92()3(122332 223 xxxxx
SOLUCIÓN
−−+=2
1)4)(3(2)( xxxxP
−=
2
1,4,3Raíces
h) 1538236 23 −−+ xxx
Posibles raíces enteras = {divisores de
15 38 23 6 −−+ 15 35 30 ++− 0 3 7 6 −− ⇒
Finalmente, para buscar las raíces y factorizar
irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:
=+±=⇒=−−12
724970376 2 xxx
IES Juan García Valdemora TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOSDepartamento de Matemáticas
{divisores de 12} = }12,6,4,3,2 ,1{ ±±±±±±
factor es )3( raíz es 3 +⇒−⇒ x ()(y += xxP
y factorizar )492( 2 +− xx (en caso de que las tenga, porque podría ser
irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:
=+−⇒
==
===±
(2492
2
1
4
2
44
16
4
79 2 xxx
x
x
el proceso que hemos seguido ha sido,
+=
−−⋅+=+ )(3(22
1)4(2)3()49 xxxxxx
{divisores de – 15} = }15,5,3,1{ ±±±±
factor es )5( raíz es 5 +⇒−⇒ x ()(y += xxP
y factorizar )376( 2 −− xx (en caso de que las tenga, porque podría ser
irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:
−⇒
−=−=
===±=±= 6
3
1
12
42
3
12
18
12
117
12
1217 2x
x
x
TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 3º ESO
10
grado 2º de polinomio
2 )492()3 +−⋅+ xx
(en caso de que las tenga, porque podría ser
−−2
1)4 xx
−−2
1)4 xx
grado 2º de polinomio
2 )376()5 −−⋅+ xx
(en caso de que las tenga, porque podría ser
+
−=−−3
1
2
3637 xxx
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
1−
Luego, el proceso que hemos seguido ha sido,
−⋅+=−−+ 6()5(1538236 223 xxxxx
SOLUCIÓN
+
−+=3
1
2
3)5(6)( xxxxP
−−=
3
1,
2
3,5Raíces
i) 65 234 −−++ xxxx
Posibles raíces enteras = {divisores de
6 1 5 1 1 −−++
6 7 2 1 ++++
0 6 7 2 1 +++
6 1 1 −−−
0 6 1 1 ++ −⇒
Finalmente, para buscar las raíces y factorizar
irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:
2
2411062 −=−±−=⇒=++ xxx
Luego, el proceso que hemos seguido ha sido,
2()1(65 3234 +⋅−=−−++ xxxxxxx
SOLUCIÓN
)6)(1)(1()( 2 +++−= xxxxxP
}1,1{ −=Raíces
1
IES Juan García Valdemora TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOSDepartamento de Matemáticas
el proceso que hemos seguido ha sido,
+=
+
−⋅+=−− 5(63
1
2
36)5()37 xxxxx
= {divisores de – 6} = }6,3,2 ,1{ ±±±±
factor es )1( raíz es 1 −⇒⇒ x 1()(y −= xxP
factor es )1( raíz es 1 +⇒− x )1()(y −= xxP
y factorizar )6( 2 ++ xx (en caso de que las tenga, porque podría ser
irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:
( realsolución tieneno 2
231 2 +⇒⇒−±
xx
el proceso que hemos seguido ha sido,
)6)(1)(1()67 22 +++−=++ xxxxxx
TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 3º ESO
11
+
−3
1
2
3)5 xx
)672()1 23 +++⋅ xxx
grado 2º de polinomio
2 )6()1( ++⋅+⋅ xxx
(en caso de que las tenga, porque podría ser
)6+x es irreducible
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
2
3−
j) 18911 234 ++−− xxxx
Posibles raíces enteras = {divisores de 18}
18 9 11 1 1 ++−−
18 9 2 1 −++−
0 18 9 2 1 +−−
18 0 2 −+
0 9 0 1 − ⇒
Finalmente, para factorizar )9( 2 −x util
Luego, el proceso que hemos seguido ha sido,
()1(18911 3234 −⋅+=++−− xxxxxx
SOLUCIÓN
)3)(3)(2)(1()( +−−+= xxxxxP
}3,3,2,1{ −−=Raíces
k) 65 234 −+−+ xxxx
Posibles raíces enteras = {divisores de
6 1 5 1 1 −+−+
6 2 6 2 ++++
0 3 1 3 1 +++ ⇒
3 0 3 −−
0 1 0 1 +
Finalmente, para buscar las raíces y factorizar
resolvemos la ecuación de 2º grado:
101 22 ⇒−=⇒=+ xx
1−
2
IES Juan García Valdemora TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOSDepartamento de Matemáticas
= {divisores de 18} = }18,9,6,3,2 ,1{ ±±±±±±
factor es )1( raíz es 1 +⇒−⇒ x ()(y = xxP
factor es )2( raíz es 2 −⇒⇒ x 1()(y += xxP
utilizamos las identidades notables, en concreto
)3)(3()9( 2 +−=− xxx
el proceso que hemos seguido ha sido,
()9)(2)(1()1892 22 +=−−+=+−− xxxxxx
= {divisores de – 6} = }6,3,2 ,1{ ±±±±
factor es )2( raíz es 2 −⇒⇒ x 2()(y −= xxP
factor es )3( raíz es 3 +⇒−⇒ x ()(y = xxP
y factorizar )1( 2 +x (en caso de que las tenga, porque podría ser irreducible)
)1( realsolución tieneno 1 2 +⇒⇒−= xx
TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 3º ESO
12
)1892()1 23 +−−⋅+ xxx
grado 2º depolinomio
2 )9()2()1 −⋅−⋅ xx
concreto, 22))(( BABABA −=+−
)3)(3)(2)(1 +−−+ xxx
)33()2 23 +++⋅ xxx
grado 2º depolinomio
2 )1()3()2 ++⋅− xxx
(en caso de que las tenga, porque podría ser irreducible)
es irreducible
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
4−
Luego, el proceso que hemos seguido ha sido,
)(3)(2(65 234 +−=−+−+ xxxxxxx
SOLUCIÓN
l) 4119 234 −+−+ xxxx
Posibles raíces enteras = {divisores de
4 11 9 1 1 −+−+
4 7 2 1 +−++
0 4 7 2 1 +−+ ⇒
4 8 4 −+−
0 1 2 1 +− ⇒
Finalmente, para buscar las raíces y factorizar
irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:
20122 ±=⇒=+− xxx
Para factorizar )12( 2 +− xx también podemos utilizar las identidades notables:
Luego, el proceso que hemos seguido ha sido,
)4()1(
2)(1(41193
3234
+−=+−=−+−+
xx
xxxxxx
SOLUCIÓN
)4()1()( 3 +−= xxxP
}4,(triple) 1{ −=Raíces
)1)(3)(2()( 2 ++−= xxxxP
}3,2{ −=Raíces
1
IES Juan García Valdemora TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOSDepartamento de Matemáticas
el proceso que hemos seguido ha sido,
)12 +
= {divisores de – 4} = }4,2 ,1{ ±±±
factor es )1( raíz es 1 −⇒⇒ x 1()(y −= xxP
factor es )4( raíz es 4 +⇒−⇒ x ()(y −= xxP
y factorizar )12( 2 +− xx (en caso de que las tenga, porque podría ser
irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:
2
1
1
2
02
2
02
2
44 2 −⇒
=
==±=±=−±
xx
x
x
también podemos utilizar las identidades notables: 2 −x
el proceso que hemos seguido ha sido,
()12)(4)(1()472 22 =+−+−=+− xxxxxxx
TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 3º ESO
13
)472()1 23 +−+⋅ xxx
grado 2º de polinomio
2 )12()4()1 +−⋅+⋅− xxx
(en caso de que las tenga, porque podría ser
)1(1 2−=+ xx
2)1(12 −=+− xx
)1)(4)(1 2 =−+− xx
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
5
m) xxxx 206122 234 ++−
1º) Extraemos “2x” factor común y tenemos:
2º) Ahora tenemos que factorizar el polinomio
Posibles raíces enteras = {divisores de
10 3 6 1 ++− 10 5 5 −−+
0 2 1 1 −− ⇒
Finalmente, para buscar las raíces y factorizar
irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:
2
1
2
811022 ±=+±=⇒=−− xxx
Luego, ()1036()( 23 =++−= xxxxQ
3º) Por tanto,
6(2206122 23234 −=++− xxxxxxx
SOLUCIÓN
)1)(2)(5(2)( +−−= xxxxxP
}1,2,5,0{ −=Raíces
n) 2345 2222 xxxx ++−−
1º) Extraemos “ 22x− ” factor común y tenemos:
2º) Ahora tenemos que factorizar el polinomio
Posibles raíces enteras = {divisores de
IES Juan García Valdemora TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOSDepartamento de Matemáticas
factor común y tenemos: (2206122)( 234 ⋅=++−= xxxxxxxP
el polinomio )1036()( 23 ++−= xxxxQ
visores de 10}= }10,5,2 ,1{ ±±±±
factor es )5( raíz es 5 −⇒⇒ x 5()(y −= xxQ
y factorizar )2( 2 −− xx (en caso de que las tenga, porque podría ser
irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:
(2
12
2
22
4
2
319 2 −=−−⇒
−=−=
===±= xxx
x
x
)1)(2)(5( +−− xxx
)1)(2)(5(2)103 +−−=++ xxxxx
factor común y tenemos: 2222)( 2345 −=++−−= xxxxxP
el polinomio )1()( 23 −−+= xxxxQ .
= {divisores de – 1}= }1{±
TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 3º ESO
14
)1036 23 ++− xxx
grado 2º de polinomio
2 )2()5 −−⋅ xx
(en caso de que las tenga, porque podría ser
)1)(2 +− x
)1(2 232 −−+⋅− xxxx
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
1
1 1 1 1 −−+ 1 2 1 +++ 0 1 2 1 ++ ⇒
Finalmente, para buscar las raíces y factorizar
irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:
2
2
442012
−=−±−=⇒=++ xxx
Otra forma de factorizar )12( 2 ++ xx es darnos cuenta que es una identidad notable
Luego, 23 1()1()( −=−−+= xxxxxQ
3º) Por tanto,
322345 (22222 +−=++−− xxxxxxx
SOLUCIÓN
22 )1)(1(2)( +−−= xxxxP
} (doble) 1 1, (doble), 0{ −=Raíces
o) xxxx5
6
5
11
5
6
5
1 234 −−−−
1º) Extraemos “ x5
1− ” factor común y tenemos:
5
1)( 4−= xxP
2º) Ahora tenemos que factorizar el polinomio
Posibles raíces enteras = {divisores de
IES Juan García Valdemora TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOSDepartamento de Matemáticas
factor es )1( raíz es 1 −⇒⇒ x )1()(y ⋅−= xxQ
y factorizar )12( 2 ++ xx (en caso de que las tenga, porque podría ser
irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:
2 2
12
2
12
2
2
02
2
02 +⇒
−=−=
−=−==±−=±−
xx
x
x
es darnos cuenta que es una identidad notable
2)1)(1 +x
222 )1)(1(2)1 +−−=−− xxxxx
factor común y tenemos:
116(5
1
5
6
5
11
5
6 2323 +++⋅−=−−− xxxxxxx
el polinomio )6116()( 23 +++= xxxxQ .
= {divisores de 6} = }6,3,2 ,1{ ±±±±
TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 3º ESO
15
grado 2º de polinomio
2 )12( ++⋅ xx
(en caso de que las tenga, porque podría ser
2)1()1)(1(1 +=++=+ xxxx
es darnos cuenta que es una identidad notable 22 )1(12 +=++ xxx
)6+
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
1−
5
6 11 6 1 +++ 6 5 1 −−−
0 6 5 1 ++ ⇒
Finalmente, para buscar las raíces y factorizar
irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:
2
242550652 =−±−=⇒=++ xxx
Luego, ()6116()( 23 =+++= xxxxQ
3º) Por tanto,
(5
1
5
6
5
11
5
6
5
1 3234 +−=−−−− xxxxxx
SOLUCIÓN
)3)(2)(1(5
1)( +++−= xxxxxP
}3,2,1,0{ −−−=Raíces
p) 2345 303110 xxxx −+−
1º) Extraemos “ 2x ” factor común y tenemos:
2º) Ahora tenemos que factorizar el polinomio
Posibles raíces enteras = {divisores de
30 31 0 1 1 −+− 30 25 5 +−+
0 6 5 1 +− ⇒
Finalmente, para buscar las raíces y factorizar
irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:
IES Juan García Valdemora TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOSDepartamento de Matemáticas
factor es )1( raíz es 1 +⇒−⇒ x ()(y += xxQ
y factorizar )65( 2 ++ xx (en caso de que las tenga, porque podría ser
irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:
5
32
6
22
4
2
15
2
15 2 +⇒
−=−=
−=−==±−=±−= x
x
x
)3)(2)(1( +++ xxx
)3)(2)(1(5
1)6116 2 +++−=+++ xxxxxx
factor común y tenemos: 303110)( 22345 ⋅=−+−= xxxxxxP
el polinomio )303110()( 23 −+−= xxxxQ
= {divisores de – 30}= }30,15,10,6,5,3,2,1{ ±±±±±±±±
factor es )5( raíz es 5 −⇒⇒ x 5()(y −= xxQ
y factorizar )65( 2 +− xx (en caso de que las tenga, porque podría ser
irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:
TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 3º ESO
16
grado 2º de polinomio
2 )65()1 ++⋅+ xx
(en caso de que las tenga, porque podría ser
)3)(2(65 ++=+ xxx
)303110( 23 −+− xxx
grado 2º de polinomio
2 )65()5 +−⋅ xx
(en caso de que las tenga, porque podría ser
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
4−
5
2
242550652 =−±=⇒=+− xxx
Luego, )303110()( 23 =−+−= xxxxQ
3º) Por tanto,
10(303110 322345 −=−+− xxxxxxx
SOLUCIÓN
)3)(2)(5()( 2 −−−= xxxxxP
}3 ,2 ,5 , (doble) 0{=Raíces
q) 23456 2414132 xxxxx +−−+
1º) Extraemos “ 2x ” factor común y tenemos:
132)( 56 −+= xxxP
2º) Ahora tenemos que factorizar el polinomio
Posibles raíces enteras = {divisores de 24}
24 14 13 2 1 +−−+
24 10 3 1 −−++
0 24 10 3 1 −−+
24 4 4 ++−
0 6 1 1 −− ⇒
Finalmente, para buscar las raíces y factorizar
irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:
2
1
2
2411062 ±=+±=⇒=−− xxx
1
IES Juan García Valdemora TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOSDepartamento de Matemáticas
(65 2
2
4
32
6
2
15
2
15 2 =+−⇒
==
===±=±
xx
x
x
)3)(2)(5( −−−= xxx
)3)(2)(5()3031 22 −−−=−+ xxxxx
factor común y tenemos:
14132(241413 2342234 −−+⋅=+− xxxxxxx
el polinomio )2414132()( 234 +−−+= xxxxxQ
= {divisores de 24}= }24,12,8,6,4,3,2 ,1{ ±±±±±±±±
factor es )1( raíz es 1 −⇒⇒ x ()(y −= xxQ
factor es )4( raíz es 4 +⇒− x 1()(y −= xxQ
y factorizar )6( 2 −− xx (en caso de que las tenga, porque podría ser
irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:
)(3(6
2
3
2
51
2
25 2 −=−−⇒
−=
==±= xxx
x
x
TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 3º ESO
17
)3)(2( −− xx
)2414 +x
)24103()1 23 −−+⋅− xxx
grado 2º de polinomio
2 )6()4()1 −−⋅+⋅ xxx
(en caso de que las tenga, porque podría ser
)2)( +x
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
2−
Luego, el proceso que hemos seguido ha sido,
1()6)(4)(1(
(2414132222
4223456
−=−−+−==+−−+
xxxxxxx
xxxxxxx
SOLUCIÓN
)2)(3)(4)(1()( 2 +−+−= xxxxxxP
}2,3 ,4,1, (doble) 0{ −−=Raíces
r) xxxxx 164163284 23456 −−+++
1º) Extraemos “x ” factor común y tenemos:
63284)( 456 +++= xxxxP
2º) Ahora tenemos que factorizar el polinomio
Posibles raíces enteras = {divisores de
16 41 63 28 4 −+++
10 46 40 8 +−−−
6 5 23 20 4 −−++
6 2 24 8 ++−− 0 3 1 12 4 −−+
3 0 12 +−
0 1 0 4 −
grado 2º depolinomio
22 4()3()2()( Luego, −⋅+⋅+= xxxxQ
Finalmente, para buscar las raíces y factorizar
irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:
⇒=− 014 2x
2
14)3()2()(Luego, 2
−⋅+⋅+= xxxxQ
3−
2−
IES Juan García Valdemora TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOSDepartamento de Matemáticas
el proceso que hemos seguido ha sido,
)2)(3)(4)(1
3)(1()2414132 32234
+−++−=+−−+
xxx
xxxxxxx
x12−
factor común y tenemos:
63284(121641 34523 +++⋅=−−+ xxxxxxx
el polinomio 4163284()( 2345 −+++= xxxxxQ
= {divisores de – 12}= }12,6,4,3,2 ,1{ ±±±±±±
12 −
12 10 +
0
gradopolinomio
)1−
y factorizar )14( 2 −x (en caso de que las tenga, porque podría ser
irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:
+
−=−⇒±=⇒=2
1414
2
1
4
1 22 xxxxx
)3()2(2
1
2
14
2
1
2
1 2 ++
+
−=
+
xxxxx
TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 3º ESO
18
)24102 =−− xx
)121641 2 −−+ xx
)1216 −x
(en caso de que las tenga, porque podría ser
+2
1
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
1−
3º) Por tanto,
()( ⋅= QxxP
SOLUCIÓN
3()2(2
1
2
14)( 2 ++
+
−= xxxxxxP
−−−= 3doble),(2,
2
1,
2
1,0Raíces
s) 47655017 23456 −−−−+ xxxxxx
Posibles raíces enteras = {divisores de
65 50 17 1 1 −−−+
33 17 0 1 ++−
32 33 17 0 1 −−−
17 16 1 1 +++− 15 17 16 1 1 −−−−
15 20 20 5 ++++
0 3 4 4 1 +++
3 3 3 −−−
0 1 1 1 ++
2 )3()5()1()( Luego, +⋅−⋅+= xxxxP
Finalmente, para buscar las raíces y factorizar
irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:
1
2
411012 −=−±−=⇒=++ xxx
SOLUCIÓN
)1)(3)(5()1()( 22 +++−+= xxxxxxP
}3,5, (doble) 1{ −−=Raíces
3−
5
1−
IES Juan García Valdemora TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOSDepartamento de Matemáticas
)3()2(2
1
2
14)( 2 ++
+
−= xxxxxx
)3
15−x
= {divisores de 15− } = }15,5,3 ,1{ ±±±±
15 47 −−
15 32 ++
0 15 −
15 + 0
grado 2º depolinomio
2 )1( ++ xx
y factorizar )1( 2 ++ xx (en caso de que las tenga, porque podría ser
irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:
1)x( realsolución tieneno2
3 2 ++⇒⇒−±
x
)
TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 3º ESO
19
(en caso de que las tenga, porque podría ser
eirreducibl es 1)
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
2−
t) 34567 18012025305 xxxxx −−++
1º) Extraemos “ 35x ” factor común y tenemos:
25305)( 67 ++= xxxP
2º) Ahora tenemos que factorizar el polinomio
Posibles raíces enteras = {divisores de
36 24 5 6 1 −−++
36 42 16 2 ++++
0 18 21 8 1 +++
18 12 2 −−− 0 9 6 1 ++
grado 2º depolinomio
2 6()2()2()( Luego, +⋅+⋅−= xxxxxQ
Finalmente, factorizamos )96( 2 ++ xx
2)3()2()2()(Luego, +⋅+⋅−= xxxxQ
3º) Por tanto,
35)( ⋅= xxP
SOLUCIÓN
23 )3)(2)(2(5)( ++−= xxxxxP
{ }doble)( 3,2,2, (triple) 0 −−=Raíces
u) xxxxx 16812102 2345 +−−+−
1º) Extraemos “ x2− ” factor común y tenemos:
102)( 5 +−= xxxP
2º) Ahora tenemos que factorizar el polinomio
Posibles raíces enteras = {divisores de
2
IES Juan García Valdemora TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOSDepartamento de Matemáticas
3
factor común y tenemos:
56(518012025 2343345 −++⋅=−− xxxxxxx
el polinomio )362456()( 234 −−++= xxxxxQ
= {divisores de –36}= }36,18,12;9,6,4,3,2 ,1{ ±±±±±±±±±
gradopolinomio
)9+x
) . Se trata de una identidad notable, 2 6( + xx
23 )3)(2)(2(5)( ++−=⋅ xxxxxQ
factor común y tenemos:
65(216812 234234 ++−⋅−=+−− xxxxxxx
el polinomio )8465()( 234 −++−= xxxxxQ
= {divisores de – 8}= }8,4,2 ,1{ ±±±±
TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 3º ESO
20
)3624 −− x
2)3()9 +=+ x
)84 −+ x
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
2
8 4 6 5 1 −++−
8 0 6 2 +−+
0 4 0 3 1 +−
4 2 2 −−+
0 2 1 1 −− ⇒
Finalmente, para buscar las raíces y factorizar
irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:
2
11022 ±=⇒=−− xxx
3º) Luego, el proceso que hemos seguido ha sido,
(2)2)(2)(2(2
(2168121022
2345
−=−−−−−=−=+−−+−
xxxxxxx
xxxxxx
SOLUCIÓN
)1()2(2)( 3 +−−= xxxxP
}1, (triple) 2,0{ −=Raíces
v) )44()4( 22 ++⋅− xxx
Los dos polinomios son identidades notables.
� )2)(2(42 +−=− xxx
� 22 )2(44 +=++ xxx
Por tanto,
22 )(2)(2()44()4( +−=++⋅− xxxxx
w) )76()2510( 22 −+⋅++ xxxx
� 22 )5(2510 +=++ xxx
� ±−
=⇒=−+6(6
0762 xxx
)7)(1(762 +−=−+⇒ xxxx
2
IES Juan García Valdemora TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOSDepartamento de Matemáticas
factor es )2( raíz es 2 −⇒⇒ x ()(y −= xxQ
factor es )2( raíz es 2 −⇒⇒ x ()(y −= xxQ
y factorizar )2( 2 −− xx (en caso de que las tenga, porque podría ser
irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:
2
1
2
2
31
2
91
2
81 2 −−⇒
−=
==±=±=+
xx
x
x
el proceso que hemos seguido ha sido,
)1()2(2)1)(2)(2)(2
3)(2(2)8465(3
3234
+−−=+−−−−−−=−++−
xxxxxxx
xxxxxxx
Los dos polinomios son identidades notables.
32 )2)(2()2)( +−=+ xxx 2 ,2{ −=Raíces
±−=+±−=⋅
−⋅⋅−2
646
2
28366
12
)7(14)6 2
TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 3º ESO
21
)43()2 23 +−⋅− xx
grado 2º de polinomio
2 )2()2()2 −−⋅−⋅− xxx
(en caso de que las tenga, porque podría ser
)1)(2( +−= xx
)1
)43 2 =+x
} (triple)
⇒
−=
==±−=
7
1
2
86
x
x
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
Por tanto,
)5()76()2510( 22 +=−+⋅++ xxxxx
x) )43()23( 22 +−⋅++ xxxx
� ±−
=⇒=++)3(3
0232 xxx
)2)(1(232 ++=++⇒ xxxx
� −±
=⇒=+−2
)3(30432 xxx
)43( 2 +−⇒ xx es irreducible
Por tanto,
)(1()43()23( 22 ++=+−⋅++ xxxxxx
y) )1()36( 22 ++⋅+ xxx
Los dos polinomios son irreducibles
z) )352()25()42( 22 −+⋅+⋅− xxxx
� )2(2)42( −=− xx
� )25( 2 +x es irreducible
� ±−
=⇒=−+5(5
0352 2 xxx
)3(2
12352 2 +
−=−+⇒ xxxx
Por tanto,
2)352()25()42( 22 =−+⋅+⋅− xxxx
−= 3,
2
1,2Raíces
IES Juan García Valdemora TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOSDepartamento de Matemáticas
)7)(1(2 +− xx }7 ,1, (doble) 5{ −−=Raíces
−=±−=−±−=⋅
⋅⋅−2
3
2
13
2
893
12
)2(14)3 2
=−±−=⋅
⋅⋅−solución tieneno
2
1693
12
)4(14)2
)43)(2 2 +−+ xx }2, 1{ −−=Raíces
Los dos polinomios son irreducibles
±−=+±−=⋅
−⋅⋅−4
495
4
24255
22
)3(24)5 2
(4)3(2
12)25()2(2 2 −=+⋅
−⋅⋅+⋅−⋅ xxxxx
TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 3º ESO
22
}
⇒
−=
−==±
2
1
2
1
x
x
⇒realsolución
⇒
−=
==±−=
3
2
1
4
7549
x
x
)25)(3(2
1)2 2 ++
−− xxx
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
4. Factoriza los siguientes polinomios extrayendo factor común y
notables e indica las raíces en cada caso
a) 22 )8(6416 −=+− xxx =Raíces
b) 223 168(580405 ++=++ xxxxxx
c)
−=
+
−=−10
4
10
4
100
162 xxxx
d)
−=
−=−3
49
9
169169 22 xxx
e) (5)16(5805 22224 =−=− xxxxxx
f) 223 12(272242 +−=−−− xxxxxx
g) 23345 6(218122 +−=+− xxxxxx
h) 23345 6(7
1
7
9
7
6
7
1 −=+− xxxxxx
i) 2()2)(2(4 224 −=+−=− xxxx
j) (9)25(92259 24226 =−=− xxxxx
}5,5(doble), 0{ −=Raíces
k) 22234 (15606015 −=−+− xxxxx
l) 22
4
5)12(
4
5
4
5
2
5
4
5 =+−=+− xxxx
m) 22 (3)12(3363 =+−=+− xxxxx
n) 223 8(348243 ++−=−−− xxxxxx
o) 5)81(54055 45 −=−−=+− xxxxx
p) )(2()4)(4(16 224 −=+−=− xxxx
q) )(2(5
3)4(
5
3
5
12
5
3 244 −=−=− xxx
r) 5)64(53205 45 −=−−=+− xxxxx
s) )(1()1)(1(1 224 −=+−=− xxxxx
t) ()16)(16(256 2448 =+−=− xxxx
u) (2)25(2502 22224 =−=− xxxxxx
v) 22234 (5125505 +−=−−− xxxxx
w) )16(2322 23 +=+ xxxx =Raíces
IES Juan García Valdemora TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOSDepartamento de Matemáticas
Factoriza los siguientes polinomios extrayendo factor común y/o con ayuda de las identidades
e indica las raíces en cada caso:
}(doble) 8{=
2)4(5)16 += xx }(doble) 4,0{ −=Raíces
+
−5
2
5
2x
−=
5
2,
5
2Raíces
+3
4x
−=
3
4,
3
4Raíces
)4)(4 +− xx }4,4(doble), 0{ −=Raíces
2)6(2)36 +−=+ xxx (doble) 6, 0{ −=Raíces
23 )3(2)9 −=+ xx (doble) 3(triple), 0{=Raíces
23 )3(7
1)9 −=+ xx
(doble) 3(triple), 0{=Raíces
)2)(2)(2 2 ++ xx }2,2{−=Raíces
5)(5)(5(9)5)(5( 2222 ++−=+− xxxxxx
22 )2(15)44 −−=+− xxx (doble), 0{=Raíces
2)1(4
5 −x
}(doble) 1{=Raíces
2)1− }(doble) 1{=Raíces
2)4(3)16 +−=+ xx (doble) 4, 0{ −=Raíces
)9)(3)(3(5)9)(9( 222 ++−−=+− xxxxxxx
)4)(2)( 2 ++ xx }2,2{ −=Raíces
)2)(2)(2(5
3)2)( 22 ++−=+ xxxx
Raíces
)(8)(8(5)8)(8( 222 ++−−=+− xxxxxxx
)1)(1 2 ++ x }1,1{ −=Raíces
4)(2)(2()16)(4)(4 2422 ++−=++− xxxxx
)5)(5 +− xx }5,5(doble), 0{ −=Raíces
22 )5(5)2510 +−=++ xxx (doble), 0{=Raíces
}0{=
TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 3º ESO
23
con ayuda de las identidades
}(doble)
}(doble)
}(doble)
)5
}(doble) 2(doble),
}(doble)
}3,3, 0{ −=Raíces
}2,2{−=Raíces
)8 }8,8,0{ −=Raíces
)16)(4 4 +x }2,2{ −=Raíces
}(doble) 5(doble),−
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
5. Factoriza completamente los siguientes polinomios
a) )1()2510()16( 222 +⋅+−⋅− xxxx
Los dos primeros polinomios son identidades notables y el tercero es irreducible
}5(doble),4,4{ −=Raíces
b) )22()45( 32 xxxx +−⋅+−
� ±
=⇒=+−2
)5(5045
22 xxx
)1)(4(452 −−=+−⇒ xxxx
� (2)1(222 23 −=−−=+− xxxxx
Por tanto,
)(4()22()45( 32 −=+−⋅+− xxxxx
}1,4(doble),1 ,0{ −=Raíces
c) =−⋅+−⋅− )25()168()1( 422 xxxx
)(5()4)(1)(1( 2 +−−+−= xxxxx
Para factorizar los tres polinomios utilizamos las identidades notables.
}5,5(doble), 4,1,1{ −−=Raíces
d) )87()4()4( 222 −+⋅+⋅− xxxx
� )2)(2(42 +−=− xxx
� 42 +x
Es irreducible
� ±−
=⇒=−+7(7
0872 xxx
)8)(1(872 +−=−+⇒ xxxx
Por tanto,
()87()4()4( 222 =−+⋅+⋅− xxxxx
}8,1,2,2{ −−=Raíces
IES Juan García Valdemora TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOSDepartamento de Matemáticas
Factoriza completamente los siguientes polinomios e indica las raíces en cada caso
)1()5)(4)(4( 22 +−+−= xxxx
primeros polinomios son identidades notables y el tercero es irreducible
=±=±=−±=⋅
⋅⋅−2
35
2
95
2
16255
12
)4(14
)1)(1( +− xx
)(4()1(2)1)(1)(2)(1)( 2 −−−=+−−− xxxxxxx
=+−−+−= )5)(5()4)(1)(1( 222 xxxxx
)5)(5 2 ++ x
Para factorizar los tres polinomios utilizamos las identidades notables.
±−=+±−=⋅
−⋅⋅−2
817
2
32497
12
)8(14)7 2
)8)(1)(4)(2)(2 2 +−++− xxxxx
TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 3º ESO
24
e indica las raíces en cada caso:
primeros polinomios son identidades notables y el tercero es irreducible
⇒
=−=
=+==
12
35
42
35
x
x
)1+x
⇒
−==
=±−=8
1
2
97
x
x
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
e) 96()56()1( 222 +−⋅+−⋅+ xxxxx
� )1( 2 +x
es irreducible
� −±
=⇒=+−2
)6(60562 xxx
)5)(1(562 −−=+−⇒ xxxx
� 22 )3(96 −=+− xxx
Identidad notable
Por tanto,
222 )96()56()1( +−⋅+−⋅+ xxxxx
}(doble) 3,5, 1{=Raíces
f) )49()753( 435 −⋅+− xxx
� )25(3753 2335 =−−=+− xxxx
� ()7)(7(49 224 −=+−=− xxxx
Por tanto,
5(3)49)(753( 3435 −−=−+− xxxxx
}7,7,5,5(triple), 0{ −−=Raíces
g) )25()1()84( 22 xxxx −⋅++⋅+−
� )2(484 −−=+− xx
� 12 ++ xx
Es irreducible
12
)1(101
22
⋅±−
=⇒=++ xxx
� )25(2525 222 −−=−−=− xxx
Por tanto,
)25()1()84( 22 −=−⋅++⋅+− xxxx
}5,52,{ −=Raíces
h) )5()16()16( 242 xxx −⋅−⋅−
� )16(1616 222 −−=−−=− xxx
� ()4)(4(16 224 −=+−=− xxxx
IES Juan García Valdemora TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOSDepartamento de Matemáticas
)9
±=±=−±=⋅
⋅⋅−2
46
2
166
2
20366
12
514)2
Identidad notable
22 )3)(5)(1)(1() −−−+= xxxx
)5)(5(3 3 +−− xxx
)7)(7)(7 2 ++− xx
)7)(7)(7)(5)(5 2 ++−+ xxxx
tieneno 2
31
2
411
1
114⇒
−±−=−±−=⋅⋅−
)5)(5() +−−= xx
2(4)]5)(5()[1)(2(4 2 −=+−−++−− xxxxxx
)4)(4( +−−= xx
)4)(2)(2 2 ++− xx
TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 3º ESO
25
⇒
==
=1
5
x
x
realsolución tiene
)5)(5)(1)(2 2 +−++ xxxx
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
� )5(55 222 −=−−=+−=− xxx
Por tanto,
)(4)(2)(2)(4)(4(
()5()16()16(2
242
++−+−=
−−=−⋅−⋅−
xxxxx
xxxx
}5,5,2,2,4,4{ −−−=Raíces
i) )363()4914( 22 −+−⋅+− xxxx
� 22 )7(4914 −=+− xxx
� 22 )12(3363 +−−=−+− xxxx
Por tanto,
22 ()363()4914( =−+−⋅+− xxxxx
}(doble)1(doble), 7{=Raíces
j) )66()1213()5( 22 +⋅++⋅− xxxx
� )5)(5(52 +−=− xxx
� ±−
=⇒=++13
012132 xxx
)12)(1(12132 ++=++⇒ xxxx
� )1(666 +=+ xx
Por tanto,
()66()1213()5( 22 =+⋅++⋅− xxxxx
}12,(doble)1,5,5{ −−−=Raíces
IES Juan García Valdemora TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOSDepartamento de Matemáticas
)5)(5( +−− xx
)5)(5)(
)(5()[4)(2)(2)(4)(4 2
+−
+−−++−+−
xx
xxxxxx
2)1(3 −−= x
2222 )1()7(3)1)(3()7 −−−=−−− xxxx
±−=−±−=⋅
⋅⋅−2
1113
2
4816913
12
1214)13( 2
(6)1(6)12)(1)(5)(5 −=++++− xxxxxx
TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 3º ESO
26
)]5 =+
⇒
−=
−==
12
111
x
x
)12()1)(5)(5 2 +++ xxx
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
a
a−
� ++−=−= aaxxaxaxxP )(()( 233
0 0 1 3a− 32 aaa +++ 0 1 2aa ++ ⇒
2
40
2222 aaa
xaaxx−±−=⇒=++
Luego, )(()()( 233 xaxaxxP +−=−=
� +−+=+= aaxxaxaxxP )(()( 233
0 0 1 3a+
32 aaa −+− 0 1 2aa +− ⇒
2
40
2222 aaa
xaaxx =−±=⇒=+−
Luego, )(()()( 233 xaxaxxP −+=+=
k) )1)(1(1 23 ++−=− xxxx Raíces
l) )1)(1(1 23 +−+=+ xxxx Raíces
m) )42)(2(8 23 ++−=− xxxx Raíces
n) )42)(2(8 23 +−+=+ xxxx Raíces
o) )42)(2(2 33233 ++−=− xxxx
p) )255)(5(5 33233 +−+=+ xxxx
q) )(1()1)(1(1 2336 −=+−=− xxxxx
r) )(2()8)(8(64 336 −=+−=− xxxx
s) (2)125(22502 34 =+=+ xxxxxx
IES Juan García Valdemora TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOSDepartamento de Matemáticas
+ℜ∈aa con )2
factor es )( raíz es axa −⇒⇒ ()(y xxP −=
realsolución 2
3 222
axxaa +⇒∃/⇒
−±−=
)2aax++
+ℜ∈aa con )2
factor es )( raíz es axa +⇒−⇒ ()(y xxP +=
realsolución 2
3 22
aaxxaa +−⇒∃/⇒
−±=
)2aax+−
}1{=Raíces
}1{−=Raíces
}2{=Raíces
}2{ −=Raíces
}2{ 3=Raíces
) }5 { 3−=Raíces
)1)(1)(1 22 +−+++ xxxx }1,1{−=Raíces
)42)(2)(42)( 22 +−+++ xxxxx =Raíces
)255)(5 2 +−+ xx }5,0{ −=Raíces
TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 3º ESO
27
grado 2º de polinomio
22 )() aaxxa ++⋅
eirreducibl es 2aax+
grado 2º de polinomio
22 )() aaxxa +−⋅+
eirreducibl es 2a
}2,2{−=