Docente: MSc. Joanny Ibarbia Pardo

Módulo 7: Cálculo II

Pensamientos

“Las matemáticas son uno de los descubrimientos de la humanidad. Por lo tanto no pueden ser más complicadas de lo que los hombres son capaces de comprender.”

Richard Phillips Feynman

“Lo que oyes, lo olvidas; lo que vez, lo recuerdas; lo que haces, lo entiendes”. Proverbio popular

“Las matemáticas son una ciencia exacta salvo cuando te equivocas.”

Jaume Perich

Pensamientos

Pensamientos¿Qué es una ecuación diferencial (ED)?

Es una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes, con respecto a una o más variables independientes.

Pensamientos¿Dónde se utilizan?

¿Dónde se utilizan?Las ecuaciones diferenciales se pueden aplicar en diferentes ramas y aplicaciones cotidianas y no tan cotidianas o más bien un poco más científicas.

Problema de aplicación con ecuaciones diferenciales

Cierta ciudad tenía una población de 25000 habitantes en 1960 y una población de 30000 habitantes en 1970, suponiendo que su población continúe creciendo exponencialmente con un índice constante. ¿Qué población tendría esta ciudad en el año 2011?

Separando variables:

Aplicando propiedades de logaritmos, quedaría de esta forma:

Pensamientos

Notación de Leibniz: dy/dx, d2y/ dx2,...

Notación primada: y', y'', y'''… y(n),...

Notación de Newton:

Notación de subíndice: ux , uy , uxx , uyy , uxy , …

Notaciones

...,,,......xxx

En la notación de Leibniz localizamos rápidamente cuál es la variable dependiente y la independiente:

5 ey dxdy x

PensamientosLas ecuaciones diferenciales se clasifican por:

•Tipo

•Orden

•Linealidad

PensamientosEcuación diferencial ordinaria (EDO):

Una ecuación que contiene sólo derivadas ordinarias de una o más variables dependientes de una sola variable independiente.

Ejemplo de EDO:

Una EDO puede contener más de una variable dependiente:

Clasificación por tipo:

PensamientosEcuación diferencial parcial (EDP):

Una ecuación que contiene derivadas parciales de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes.

Ejemplos:

PensamientosClasificación según el orden:

El orden de una ecuación diferencial (ya sea EDO o EDP) es el orden mayor de la derivadas involucradas en la ecuación.

Ejemplo:

Luego, es una EDO de segundo orden.

Clasificación según el orden (continuación)

PensamientosClasificación según el grado:

El grado de una ecuación diferencial es el grado algebraico de su derivada de mayor orden, es decir, el grado de una ecuación diferencial es la potencia a la que esta elevada la deriva que nos dio el orden de la ecuación diferencial.

EjemploLa siguiente ecuación diferencial:

Es de tercer grado, dado que la primera derivada, que nos da el orden de la EDO, está elevada cubo.

Clasificación según el grado (continuación)

PensamientosClasificación según la linealidad:

Se dice que una EDO de orden n es lineal si F (en la forma general) es lineal en y, y’, y”, …, y(n).

Una ecuación diferencial es lineal si todos sus términos son lineales con respecto a la variable dependiente y sus derivadas, en caso contrario es no lineal.

Ecuación lineal

PensamientosClasificación según la linealidad (continuación)

Lineal homogénea: El término independiente g(x) es cero.

Lineal con coeficientes constantes: Los coeficientes a0(x),...,an(x) son constantes.

Lineal con coeficientes variables: Enfatiza el hecho de que al menos uno de los coeficientes a0(x),...,an(x) No es constante.

PensamientosClasificación según la linealidad (continuación)

PensamientosClasificación según la linealidad (continuación)

La ecuación diferencial tiene la propiedad

de que su solución es la suma de las dos soluciones y = yc + yp,

Donde:

yc es una solución de la ecuación homogénea afín

yp es una solución particular de la ecuación no homogénea.

Propiedades de ecuaciones diferenciales lineales

)()( xfyxPdxdy

0 yxPdxdy )(

).()( xfyxPdxdy

Propiedades de ecuaciones diferenciales lineales

Observe que:

)()()(])[(][

)(

xfyxPdxdy

yxPdxdyyyxPyy

dxd

xf

pp

cc

pcpc

0

La ecuación es separable. 0 yxPdxdy )(

Este hecho permite encontrar yc al escribir la ecuación como: 0 dxxPy

dy )( e integrar.

Resolviendo para y se obtiene

Resolviendo para (y) se obtiene: dxxP

c cey)(

Por conveniencia se escribirá y=cy1(x)

Valores posibles de las incógnitas de una ecuación que verifiquen su igualdad. Función que verifica una ecuación diferencial. Existe la solución general y la solución particular. Solución general: una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes. La solución general es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc). En caso de que la ecuación sea lineal, la solución general se logra como combinación lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuación) de la ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no dependiente de y(x) ni de sus derivadas igual a 0) más una solución particular de la ecuación completa. Solución particular: Si fijando cualquier punto P(X0,Y0) por donde debe pasar necesariamente la solución de la ecuación diferencial, existe un único valor de C, y por lo tanto de la curva integral que satisface la ecuación, éste recibirá el nombre de solución particular de la ecuación en el punto P(X0,Y0), que recibe el nombre de condición inicial. Es un caso particular de la solución general, en donde la constante (o constantes) recibe un valor específico.

Solución de ecuaciones diferenciales

Interpretación geométrica de la diferencial

Geométricamente la diferencial representa el incremento de la variable dependiente, pero no hasta la curva si no hasta la tangente.

PensamientosResolución de ecuaciones diferenciales ordinariasEcuación diferencial separable

Se tiene una ecuación diferencial ordinaria de primer orden:

Se dice que ecuación diferencial de primer orden es separable si se puede expresar esa ecuación diferencial de la siguiente manera:

Donde F (x, y) se lo expresa como una multiplicación de dos funciones, una que depende de la variable “x” y otra de la variable “y”. En este caso se obtiene la siguiente solución de esta ecuación diferencial:

Donde la solución de esta ecuación diferencial separable tiene la siguiente forma:

Resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias (ejemplos)ECUACIONES DIFERENCIALES CON VARIABLES SEPARABLESEncuentre la solución general de la ecuación diferencial siguiente:

Resolución:

Resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias (ejemplos)Soluciones Particulares

Resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias (ejemplos)ECUACIONES LINEALESResolver la siguiente ecuación lineal:

Solución:

Es una ecuación lineal en "y"

1) 2)

3) 4)

Resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias (ejemplos)

Graficando para un valor arbitrario de c= 1

5) 6)

PensamientosEjercicios

1-Diga si las ecuaciones diferenciales dadas son lineales o no lineales. Indique el orden de cada ecuación:

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

2-Encuentre la solución general de las ecuaciones diferenciales siguientes:

Trabajo Final del Módulo ( continuación)

a) b)

c) d)

joanny.ibarbia@gmail.com

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