1.2. Pruebas de Hipótesis de una

muestra.

UNIDAD I. ESTADÍSTICA BÁSICA.

Hipótesis Estadística

Es una proposición sobre los parámetros de una o más poblaciones.

Hipótesis nula, 𝐻0.

Hipótesis alternativa, 𝐻1.

Hipótesis alternativa bilateral.

Hipótesis alternativa unilateral.

Procedimiento general para la prueba de hipótesis

Es recomendable utilizar los siguientes pasos para aplicar la metodología de prueba de hipótesis:

1. Del contexto del problema, identificar el parámetro de interés.

2. Establecer la hipótesis nula, 𝐻0.

3. Especificar una apropiada hipótesis alternativa, 𝐻1.

4. Seleccionar el nivel de significancia α.

5. Establecer un estadístico de prueba apropiado.

6. Establecer la región de rechazo para el estadístico.

7. Calcular todas las cantidades muestrales necesarias, sustituirlas en la ecuación para el estadístico de prueba y calcular el valor correspondiente.

8. Decidir si se debe o no rechazar 𝐻0 y notificar esto en el contexto del problema.

Los pasos 1 a 4 deben completarse antes de examinar los datos muestrales.

Desarrollo del procedimiento de prueba de hipótesis

Desarrollo del procedimiento de prueba de hipótesis

Desarrollo del procedimiento de prueba de hipótesis

Prueba de hipótesis sobre la media, varianza conocida

Prueba de hipótesis sobre la media, varianza conocida

Prueba de hipótesis sobre la media, varianza conocida

Prueba de μ = 50 vs. ≠ 50

La desviación estándar supuesta = 2

Error

estándar

de la

N Media media IC de 95% Z P

25 51.300 0.400 (50.516, 52.084) 3.25 0.001

Decisión: Rechazar 𝐻𝑜 porque 𝛼 ≥ 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑃 considerando que 𝛼 = 0.05

Desarrollo del procedimiento de prueba de hipótesis

Desarrollo del procedimiento de prueba de hipótesis

Uso de valores P en la prueba de hipótesis

El valor P es el nivel de significancia más pequeño que conduce al rechazo de la hipótesis nula 𝐻𝑜

Decisión: Rechazar 𝐻𝑜 si 𝛼 ≥ 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑃 considerando que 𝛼 = 0.05

Error tipo II y selección del tamaño de la muestra

Prueba Z de 1 muestra

Probando la media = nula (vs. ≠ nula)

Calculando la potencia para la media = nulo + diferencia

α = 0.05 Desviación estándar asumida = 2

Tamaño

de la

Diferencia muestra Potencia

1 25 0.705418

Esto es, si el verdadero valor de la rapidez promedio de combustión es 𝜇 =

51𝑐𝑚

𝑠, entonces existe una

posibilidad del 29.45% de que esto no sea detectado por la prueba con 𝑛 = 25.

Error tipo II y selección del tamaño de la muestra

Esto es, que el tamaño necesario que debe tener la muestra es, 𝑛 = 43.

Prueba Z de 1 muestra

Probando la media = nula (vs. ≠ nula)

Calculando la potencia para la media = nulo + diferencia

α = 0.05 Desviación estándar asumida = 2

Tamaño

de la Potencia Potencia

Diferencia muestra objetivo real

1 43 0.9 0.906375

Prueba de hipótesis sobre la media de una distribución normal, varianza desconocida

211815129

7

6

5

4

3

2

1

0

C8

Fre

cu

en

cia

Histograma de C8

Variable Media Desv.Est. Varianza

C8 13.714 3.554 12.628

Prueba de μ = 10 vs. > 10

Error

estándar Límite

de la inferior

Variable N Media Desv.Est. media de 95% T P

C8 22 13.714 3.554 0.758 12.410 4.90 0.000

Decisión: Rechazar 𝐻𝑜 porque 𝛼 ≥ 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑃 considerando que 𝛼 = 0.05

Error tipo II y selección del tamaño de la muestra

Por lo tanto, la probabilidad de rechazar 𝐻0: 𝜇 = 10 si la media verdadera excede el valor propuesto por 1 Mpa es 0.3571 = 1 − 𝛽, donde 𝛽 = 0.6429, con lo que se concluye con un tamaño de muestra 𝑛 = 22 no es adecuado para proporcionar la sensibilidad adecuada.

Prueba t de 1 muestra

Probando la media = nula (vs. > nula)

Calculando la potencia para la media = nulo + diferencia

α = 0.05 Desviación estándar asumida = 3.55

Tamaño

de la

Diferencia muestra Potencia

1 22 0.357103

Error tipo II y selección del tamaño de la muestra

El tamaño de muestra correspondiente es 𝑛 = 80.

Para determinar el tamaño de la muestra necesario para tener el grado de sensibilidad deseada, utilizar 𝛽 = 0.2 o 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = 0.8

Prueba t de 1 muestra

Probando la media = nula (vs. > nula)

Calculando la potencia para la media = nulo + diferencia

α = 0.05 Desviación estándar asumida = 3.55

Tamaño

de la Potencia Potencia

Diferencia muestra objetivo real

1 80 0.8 0.803167

Prueba de hipótesis sobre la varianza

Método

Hipótesis nula σ-cuadrado = 0.01

Hipótesis alterna σ-cuadrado > 0.01

El método de chi-cuadrada sólo se utiliza

para la distribución normal.

El método de Bonett no se puede calcular con

datos resumidos.

Estadísticas

N Desv.Est. Varianza

20 0.124 0.0153

95% Intervalos de confianza unilaterales

Límite Límite

inferior inferior

para para

Método Desv.Est. varianza

Chi-cuadrada 0.098 0.0096

Pruebas

Estadística

Método de prueba GL Valor p

Chi-cuadrada 29.07 19 0.065

Error tipo II y selección del tamaño de la muestra

Por lo tanto, la probabilidad de rechazar 𝐻0: 𝜎 = 0.1 si la 𝜎 verdadera excede el valor propuesto por un 25% ( es decir, 𝜎 = 0.125) es 0.4382 = 1 − 𝛽, donde 𝛽 = 0.5618, con lo que se concluye con un tamaño de muestra 𝑛 = 20 no es adecuado para proporcionar la sensibilidad solicitada.

Prueba de una desviación estándar

Probando la Desv.Est. = nula (versus > nula)

Calculando la potencia para (Desv.Est. / nula) = relación

α = 0.05

Tamaño

de la

Relación muestra Potencia

1.25 20 0.438262

Error tipo II y selección del tamaño de la muestra

El tamaño de muestra correspondiente es al menos 𝑛 = 61.

Para determinar el tamaño de la muestra necesario para tener el grado de sensibilidad deseada, utilizar 𝛽 = 0.2 o 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = 0.8

Prueba de una desviación estándar

Probando la Desv.Est. = nula (versus > nula)

Calculando la potencia para (Desv.Est. / nula) = relación

α = 0.05

Tamaño

de la Potencia Potencia

Relación muestra objetivo real

1.25 61 0.8 0.800805

Prueba de hipótesis sobre una proporción

Prueba de p = 0.05 vs. p < 0.05

Límite

superior Valor p

Muestra X N Muestra p de 95% exacto

1 4 200 0.020000 0.045180 0.026

Error tipo II y selección del tamaño de la muestra

Por lo tanto, la probabilidad de rechazar 𝐻0: 𝑝 = 0.05 si la verdadera 𝑝 = 0.05 es 0.3287 = 1 − 𝛽, donde 𝛽 = 0.6712.

Prueba para una proporción

Probando p = 0.05 (versus < 0.05)

α = 0.05

Tamaño

p de de la

comparación muestra Potencia

0.03 200 0.328725

Error tipo II y selección del tamaño de la muestra

Prueba para una proporción

Probando p = 0.05 (versus < 0.05)

α = 0.05

Tamaño

p de de la Potencia Potencia

comparación muestra objetivo real

0.03 833 0.9 0.900135