DRAF

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Cantera de ejercicios 3

EJERCICIO 1.14. Dada una funcion f : X Y , pruebe:a) f1(f(A)) A para todo A X .b) f es inyectiva si y solamente si f1(f(A)) = A para todo A X .

Demostracion. Sea A un subconjunto cualesquiera de X .

a) Elija un elemento arbitrario a A, entonces por definicion de imagen de un con-junto se tiene que f(a) f(A). Luego, por definicion de imagen inversa se tieneque a f1(f(A)). Por tanto, A f1(f(A)).

b) En primer lugar suponemos que f es inyectiva. De la parte (a) ya se sabe quef1(f(A)) A. Luego solo queda demostrar que f1(f(A)) A. Sea a f1(f(A)) entonces f(a) f(A). De acuerdo a la definicion de imagen de unconjunto, existe algun a A tal que f(a) = f(a). La inyectividad de f implicaque a = a y, por tanto, a A. Luego f1(f(A)) A.Recprocamente, supongamos que f1(f(A)) = A para todo A X . Sean loselementos x, x X tales que f(x) = f(x). Esto implica que x f1(f(x)) =x. Luego, f es inyectiva. z

El Ejercicio 1.14 asegura que una funcion no es inyectiva si existe algun subconjuntoA X tal que f1(f(A)) 6 A.

Considere por ejemplo la funcion f : R R definida por f(x) = x2. Esta funcionno es inyectiva, pues si consideramos el conjunto A = [0, 1] entonces f(A) = [0, 1]mientras que f1(f(A)) = [1, 1]. As pues se tiene que f1(f(A)) 6 A.

O. Santamaria S.