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DRAFT Cantera de ejercicios 3 EJERCICIO 1.14. Dada una funci ´ on f : X → Y , pruebe: a) f -1 (f (A)) ⊃ A para todo A ⊂ X. b) f es inyectiva si y solamente si f -1 (f (A)) = A para todo A ⊂ X. Demostraci´ on. Sea A un subconjunto cualesquiera de X. a) Elija un elemento arbitrario a ∈ A, entonces por definici´ on de imagen de un con- junto se tiene que f (a) ∈ f (A). Luego, por definici´ on de imagen inversa se tiene que a ∈ f -1 (f (A)). Por tanto, A ⊂ f -1 (f (A)). b) En primer lugar suponemos que f es inyectiva. De la parte (a) ya se sabe que f -1 (f (A)) ⊃ A. Luego s´ olo queda demostrar que f -1 (f (A)) ⊂ A. Sea a ∈ f -1 (f (A)) entonces f (a) ∈ f (A). De acuerdo a la definici´ on de imagen de un conjunto, existe alg´ un a 0 ∈ A tal que f (a)= f (a 0 ). La inyectividad de f implica que a = a 0 y, por tanto, a ∈ A. Luego f -1 (f (A)) ⊂ A. Rec´ ıprocamente, supongamos que f -1 (f (A)) = A para todo A ⊂ X. Sean los elementos x, x 0 ∈ X tales que f (x)= f (x 0 ). Esto implica que x ∈ f -1 (f (x 0 )) = x 0 . Luego, f es inyectiva. ❚ El Ejercicio 1.14 asegura que una funci´ on no es inyectiva si existe alg´ un subconjunto A ⊂ X tal que f -1 (f (A)) 6⊂ A. Considere por ejemplo la funci ´ on f : R → R definida por f (x)= x 2 . Esta funci ´ on no es inyectiva, pues si consideramos el conjunto A = [0, 1] entonces f (A) = [0, 1] mientras que f -1 (f (A)) = [-1, 1]. As´ ı pues se tiene que f -1 (f (A)) 6⊂ A. O. Santamaria S.
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Cantera de ejercicios 3
EJERCICIO 1.14. Dada una funcion f : X Y , pruebe:a) f1(f(A)) A para todo A X .b) f es inyectiva si y solamente si f1(f(A)) = A para todo A X .
Demostracion. Sea A un subconjunto cualesquiera de X .
a) Elija un elemento arbitrario a A, entonces por definicion de imagen de un con-junto se tiene que f(a) f(A). Luego, por definicion de imagen inversa se tieneque a f1(f(A)). Por tanto, A f1(f(A)).
b) En primer lugar suponemos que f es inyectiva. De la parte (a) ya se sabe quef1(f(A)) A. Luego solo queda demostrar que f1(f(A)) A. Sea a f1(f(A)) entonces f(a) f(A). De acuerdo a la definicion de imagen de unconjunto, existe algun a A tal que f(a) = f(a). La inyectividad de f implicaque a = a y, por tanto, a A. Luego f1(f(A)) A.Recprocamente, supongamos que f1(f(A)) = A para todo A X . Sean loselementos x, x X tales que f(x) = f(x). Esto implica que x f1(f(x)) =x. Luego, f es inyectiva. z
El Ejercicio 1.14 asegura que una funcion no es inyectiva si existe algun subconjuntoA X tal que f1(f(A)) 6 A.
Considere por ejemplo la funcion f : R R definida por f(x) = x2. Esta funcionno es inyectiva, pues si consideramos el conjunto A = [0, 1] entonces f(A) = [0, 1]mientras que f1(f(A)) = [1, 1]. As pues se tiene que f1(f(A)) 6 A.
O. Santamaria S.
