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28/12/2015
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1º BACH MATEMÁTICAS I
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas Trigonometría Vectores Nº complejos Geometría Funciones. Límites. Continuidad. Derivadas
Repaso en casa
• Potencias • Radicales. Racionalización. (pag. 18-19) • Polinomios. Operaciones. Identidades notables. Ruffini. Raíces y
factorización de un polinomio (pag.36-37-38-39) • Fracciones algebraicas (pag. 42-43)
Ejercicios para repasar.
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Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
• Definiciones • Resolución de ecuaciones polinómicas:
• 1º grado • 2º grado • bicuadradas • grado > 2º
• Ecuaciones racionales • Ecuaciones radicales • Ecuaciones logarítmicas • Ecuaciones exponenciales • Sistemas lineales
• De 2 ecuaciones con 2 incógnitas • De 3 ecuaciones con 3 incógnitas (Gauss)
• Sistemas no lineales • Inecuaciones • Sistemas de inecuaciones • Resolución de problemas
Definiciones
• Una expresión algebraica es una combinación de números y letras relacionadas entre sí por las operaciones aritméticas.
• Un monomio es una expresión algebraica en la que solo aparecen multiplicaciones y potencias de exponente natural.
• Un polinomio es la suma de varios monomios no semejantes.
• Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas.
• Solución de una ecuación es cualquier conjunto de valores de las incógnitas que al sustituirlo en la ecuación hace cierta la igualdad.
• Una ecuación polinómica es aquella en que las expresiones algebraicas que contiene son polinomios.
• Resolver una ecuación es dar todas sus soluciones
Expresión algebraica Monomio Polinomio grado
32ab
y
x3
223 xyxy 24xy
yxxy 223
xxx 6315 23
Sí No 4
No No ___
Sí No 3
No Sí
No Sí 3
3
32ab3ba Ecuación
132 2 xxxxx 6315 23 Ecuación polinómica
xx 2512
01
1
2
1 2
xx
x x
2log3log)2log( xx
5052 1 xEcuación exponencial
Ecuación Radical
Ecuación racional
Ecuación logarítmica
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Resolución de ecuaciones polinómicas (1º grado)
83
5
5
16
4
3
xxx
60
480
60
10020
60
1212
60
360
60
4515
xxx
4801002012123604515 xxx
1236045480100201215 xxx
18717 x
1117
187
x
Resolución de ecuaciones polinómicas(2º grado)
acb 42
a
acbbx
2
42
acb 42 > 0
<0
=0
2 soluciones reales
1 solución real
No existe solución real
Resolución de la ecuación completa
02 cax
02 bxax
Resolución de la ecuación incompleta • despejamos la x al cuadrado • Tomamos la raíz cuadrada de ambos miembros( cuidado (+ -). • Extraemos factor común • Igualamos a cero cada factor.
acb 42
02 cbxax Resolución de ecuaciones polinómicas (Bicuadradas)
024 cbxax
Cambio de variable : tx 2 02 cbtat
Ecuación de 2º grado
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Resolución de ecuaciones polinómicas grado> 2
6x
1x
_______________________________________________
2x
2/1x
2x
3x
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas • Definiciones • Resolución de ecuaciones polinómicas:
• 1º grado • 2º grado • bicuadradas • grado > 2º
• Ecuaciones racionales • Ecuaciones radicales • Ecuaciones logarítmicas • Ecuaciones exponenciales • Sistemas lineales
• De 2 ecuaciones con 2 incógnitas • De 3 ecuaciones con 3 incógnitas (Gauss)
• Sistemas no lineales • Inecuaciones • Sistemas de inecuaciones • Resolución de problemas
Ecuaciones racionales Ecuaciones radicales
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Aislamos una raíz
Elevamos al cuadrado ambos miembros de la ecuación
Operamos
Elevamos al cuadrado ambos miembros de la ecuación
Aislamos la otra raíz
Operamos
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas • Definiciones • Resolución de ecuaciones polinómicas:
• 1º grado • 2º grado • bicuadradas • grado > 2º
• Ecuaciones racionales • Ecuaciones radicales • Ecuaciones logarítmicas (repaso logaritmos) • Ecuaciones exponenciales • Sistemas lineales
• De 2 ecuaciones con 2 incógnitas • De 3 ecuaciones con 3 incógnitas (Gauss)
• Sistemas no lineales • Inecuaciones • Sistemas de inecuaciones • Resolución de problemas
Logaritmo de un número real
• Si b es un número positivo y distinto de 1, el logaritmo en base b de un número N es el exponente al que hay que elevar la base b para obtener N
xNb log Nb x
log28 3
23 8
Ejemplo
Repaso
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• Si la base es 10, el logaritmo se llama decimal y se escribe omitiendo la base;
• Si la base es el número e, el logaritmo se llama neperiano y se escribe;
log10N logN
NN lnlog
Propiedades de los logaritmo de un número real
1log bb
01log b
logb(M N) logb M logb N
logbM
N
logb M logb N
logb (Mr) r logb M
logb (A) loga A
loga bCambio de base
01log
110log
2100log
31000log
.
.
.
110log10
1log 1
.
.
.
210log100
1log 2
310log1000
1log 3
Propiedades de los logaritmos decimales Ecuaciones logarítmicas
Tenemos que aplicar las propiedades de los logaritmos
Tenemos que llegar hasta que haya un solo logaritmo en cada miembro de la ecuación
Ahora podemos aplicar la propiedad anterior
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Ecuaciones, inecuaciones y sistemas • Definiciones • Resolución de ecuaciones polinómicas:
• 1º grado • 2º grado • bicuadradas • grado > 2º
• Ecuaciones racionales • Ecuaciones radicales • Ecuaciones logarítmicas (repaso logaritmos) • Ecuaciones exponenciales • Sistemas lineales
• De 2 ecuaciones con 2 incógnitas • De 3 ecuaciones con 3 incógnitas (Gauss)
• Sistemas no lineales • Inecuaciones • Sistemas de inecuaciones • Resolución de problemas
Ecuaciones exponenciales
22 ∙ 2𝑥 = 22 2𝑥2+1
22+𝑥 = 24𝑥2+2
2 + 𝑥 = 4𝑥2+2
𝑙𝑜𝑔32𝑥−3 = 𝑙𝑜𝑔2
(2𝑥 − 3)𝑙𝑜𝑔3 = 𝑙𝑜𝑔2
(2𝑥 − 3) =𝑙𝑜𝑔2
𝑙𝑜𝑔3
2𝑥 − 3 = 𝑙𝑜𝑔32
2𝑥 = 3 + 𝑙𝑜𝑔32
𝑥 =3 + 𝑙𝑜𝑔32
2
3𝑥 + 2 ∙3𝑥
32 =11
𝑡 + 2 ∙𝑡
32 =11
𝑡 +2𝑡
9=11
9𝑡 + 2t = 99
11t = 99
t = 9
3𝑥 = 𝑡
𝑡 = 3𝑥 3𝑥 = 9 = 32
𝑥 = 2
Cambio de variable
c.v
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9
22𝑥 ∙ 24 − 5 ∙ 2𝑥 ∙ 23 = −9
2𝑥 2 ∙ 24 − 5 ∙ 2𝑥 ∙ 23 = −9 𝑡2 ∙ 24 − 5 ∙ 𝑡 ∙ 23 = −9
𝑡2 ∙ 16 − 5 ∙ 𝑡 ∙ 8 = −9
16𝑡2 − 40𝑡 = −9
16𝑡2 − 40𝑡 + 9 = 0
2𝑥 = 𝑡 Cambio de variable
𝑡 =9
4
𝑡 =1
4
𝑡 = 2𝑥
𝑡 =9
4
2𝑥 =9
4
𝑡 =1
4
𝑡 = 2𝑥 2𝑥 =
1
4
Prueba( ecuaciones)
Nombre:____________________nº Lista:________Fecha:_________
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas • Definiciones • Resolución de ecuaciones polinómicas:
• 1º grado • 2º grado • bicuadradas • grado > 2º
• Ecuaciones racionales • Ecuaciones radicales • Ecuaciones logarítmicas • Ecuaciones exponenciales • Sistemas lineales
• De 2 ecuaciones con 2 incógnitas • De 3 ecuaciones con 3 incógnitas (Gauss)
• Sistemas no lineales • Inecuaciones • Sistemas de inecuaciones • Resolución de problemas
Sistemas lineales De 2 ecuaciones con 2 incógnitas
Repasar en casa
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Sistemas de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas . Método de Gauss
Ejemplo
PROBLEMAS DE SISTEMAS
• LIBRO
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Ecuaciones, inecuaciones y sistemas • Definiciones • Resolución de ecuaciones polinómicas:
• 1º grado • 2º grado • bicuadradas • grado > 2º
• Ecuaciones racionales • Ecuaciones radicales • Ecuaciones logarítmicas (repaso logaritmos) • Ecuaciones exponenciales • Sistemas lineales
• De 2 ecuaciones con 2 incógnitas • De 3 ecuaciones con 3 incógnitas (Gauss)
• Sistemas no lineales • Inecuaciones • Sistemas de inecuaciones • Resolución de problemas
Sistemas no lineales
casa
casa
3𝑥
3− 7𝑦 ∙ 72 = −340
3𝑥 + 7𝑦 = 16
3𝑥
3− 49 ∙ 7𝑦 = −340
3𝑥 = 𝑡
7𝑦 = 𝑤
t+w = 16
𝑡
3− 49w = −340
𝑡 = 9 𝑤 = 7
𝑡 = 9 𝑤 = 7
3𝑥 = 𝑡 7𝑦 = 𝑤 3𝑥 = 9 7𝑦 = 7
x= 2 y= 1
casa
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Inecuaciones
Repaso Desigualdades e inecuaciones Desigualdades
ba
ba
ba
ba
a es menor que b a es mayor que b
a es menor o igual que b a es mayor o igual que b
Inecuaciones
Las relaciones algebraicas con desigualdades se llaman inecuaciones
Inecuaciones
13 x xx 315 2
Ecuaciones
13 x xx 315 2
13 x
13 x
13 x
xx 315 2
xx 315 2
xx 315 2
Inecuaciones polinómicas de 1º grado
28 2228
2228
2228
• Sumar 2
2228 • Restar 2
• Multiplicar por 2
• Multiplicar por (-2)
2228
2228 ::
2228 ::
• Dividir por 2
• Dividir por (-2)
2228 ::
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• Multiplicar por nº negativo
• Dividir por nº negativo
Cambia la desigualdad en una inecuación
Para resolver una inecuación polinómica de 1º grado, se resuelve igual que las ecuaciones de 1º grado, excepto si tenemos que: xx
x2634
3
1215
xxx 663121215
xxx 672361215
127263615 xxx
6015 x
15
60
x
4x
xxx
26343
1215
xxx 663121215
xxx 672361215
127263615 xxx
6015 x
15
60
x
4x
Inecuaciones 1º grado
Ecuaciones 1º grado
Divides por un nº negativo
[,] 4
Inecuaciones polinómicas de grado superior
234 812 xxxx
0128 234 xxxx
0232 xxx
3º Estudio del signo de los factores
223 xxx+ + + -
0,3
Menor que cero
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3𝑥2 − 2𝑥 − 2𝑥2 − 15 ≥ 0
𝑥2 − 2𝑥 − 15 ≥ 0
Descomposición de
𝑝 𝑥 = 𝑥2 − 2𝑥 − 15
𝑝 𝑥 = (𝑥 + 3) ∙ (𝑥 − 5) (𝑥 + 3) ∙ (𝑥 − 5)≥ 0
(𝑥 + 3)
(𝑥 − 5)
(𝑥 + 3) ∙ (𝑥 − 5)
,53,
MAYOR O IGUAL QUE CERO
INECUACIONES POLINÓMICASDE 1º GRADO
INECUACIONES POLINÓMICAS GRADO SUPERIOR
Inecuaciones racionales
03
2
x
x
3 , 2
xx
xx
2723
312
Sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita
5
2723
2723
x
xx
xx
4
132
312
x
xx
xx
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Sistemas de inecuaciones de primer grado con DOS incógnita
xy
4x2y4x2y:r1
xy:r2
(0,4)
(2, 0)
A(x,y)
(1,1)
(0,0)
Para calcular el punto A
Calculamos el sistema de ecuaciones
3
4,
3
4A
3
4y
3
4x
xy
4x2y
A(x,y)
(0,4) 0y3x4:r2
0y3x4
30y5x6 30y5x6:r1
R 1
R 2
A(x,y)
Calculamos el punto A
19
60,
19
45A
0y3x4
30y5x6
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0yx:r1
0y
10yx2
02y
0yx
10yx2:r2
2y
0y
y≤ 2
y≤0
R 1
R2
R 1
A(2,2) B(4,2)
O(0,0) C(5,0)
0yx:r1
0y
0x
3yx
2y 2y
0y
y≤ 2
0x
0x
0y
R 1
O(0,0)
A(0,2) B(1,2)
C(3,0)
6yx:r1
0x
xy2
6yx
)a
0x
xy2:r2
Ejercicio 35
R 2
R 1
A(4,2)
0y
3y0
2x1)b
Ejercicio 35 1x
2x
x≥-1 x≤2
y≤3
y≥0
3y
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17
5y
y3
06x
04x
)c
Ejercicio 35 4x
6x
3y
5y
12y4x3:r1
04x
4y4x3
12y4x3
)d
4x
4y4x3:r2
Ejercicio 35
R 2
A(4/3 , 2)
B(4,4)
C(4,0)
R 1
5y
y3
06x
04x
)c
Ejercicio 35 4x
6x
3y
5y
0y
3y0
2x1)b
Ejercicio 35 1x
2x
x≥-1 x≤2
y≤3
y≥0
3y
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12y4x3:r1
04x
4y4x3
12y4x3
)d
4x
4y4x3:r2
Ejercicio 35
R 2
A(4/3 , 2)
B(4,4)
C(4,0)
R 1
Región factible
Función objetivo ( máximo)
Región factible
0y
0x
120y2x3
80y2x
Función objetivo ( máximo)
A(20,30) C(0,40)
O(0,0)
B(40,0)
Función objetivo ( máximo)
A(20,30) C(0,40)
O(0,0) B(40,0)
0y
0x
120y2x3
80y2x Región factible
00*1500*200)0,0(B
000.640*1500*200)40,0(B
000.80*15040*200)0,40(B
500.830*15020*200)30,20(BA(20,30)
C(0,40)
B(40,0)
O(0,0)
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