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02 b Ajuste de Modelos Identificación.doc 1
1. Ajuste de los Modelos 1. Ajuste de los Modelos ____________________________________________1
1.1. Introducción_________________________________________________________________________________________________________ 2 1.2. Obtención Experimental del Modelo _____________________________________________________________________________________ 2
1.2.1. Modelado en Lazo Abierto _______________________________________________________________________________________________________ 4 1.3. Otros Métodos______________________________________________________________________________________________________ 11 1.4. Obtención Estadística de los Parámetros del Modelo______________________________________________________________________ 12
1.4.1. Método de Identificación por Mínimos Cuadrados ____________________________________________________________________________________ 13 1.4.2. Forma Recursiva:_____________________________________________________________________________________________________________ 16 1.4.3. Inclusión del Factor de Olvido.___________________________________________________________________________________________________ 20 1.4.4. Características Estadísticas de la Estimación _______________________________________________________________________________________ 22
1.5. Referencias ________________________________________________________________________________________________________ 38
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1.1. Introducción Métodos usuales: - basado en las leyes físicas - experimental - estadístico
1.2. Obtención Experimental del Modelo Muchos sistemas en la práctica pueden describirse aproximadamente con un mode-lo muy simple, de primer o segundo orden. A menudo estos modelos simples son suficientes para realizar un primer diseño de control. Estos modelos simples pueden obtenerse mediante ensayos experimentales sobre el sistema. La idea es proponer la estructura apropiada, por ejemplo un primer orden con retardo
( )1
sTKeG ssτ
−
=+
, [1.1]
y luego inferir los valores de los parámetros K, T y τ de la respuesta del sistema a lazo abierto del sistema. Es común emplear la respuesta al escalón u otra señal simple de excitación. escalón – rampa – senoide - aleatoria
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Puede aplicarse en lazo abierto o cerrado (automático o manual) Es más conveniente en lazo abierto para evitar la complicación de la realimentación Muchas veces no se puede. Plantas inestables o críticas.
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1.2.1. Modelado en Lazo Abierto
- Sistema de Primer Orden
0u
fu
fy
0T
0y
63T 0
0
ˆ f
f
y yK
u u−
=−
, 63 0ˆ T Tτ = − [1.2]
( )ˆˆ
ˆ 1KG ssτ
=+
, [1.3]
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- Sistema de Primer Orden con Retardo
0u
fu
fy
0T
0y
Tδ 63T 0
0
ˆ f
f
y yK
u u−
=−
, 63ˆ T Tδτ = − , 0d̂T T Tδ= − [1.4]
( )ˆˆˆ
ˆ 1
dsTKeG ssτ
−
=+
, [1.5]
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- Sistema Oscilante de Segundo Orden
0u
fu
fy
0y
Tω
1A nA
0
0
ˆ f
f
y yK
u u−
=−
,
11
1
nn
rAdA
− =
,2
2
1lnˆ
14 ln
r
r
d
d
ξ
π
=
+
,
2ˆ1ˆ2n
TT ω ξ
π−
= , 1ˆ ˆnnT
ω = [1.6]
( ) 2 2
ˆˆˆˆ ˆ2 1n n
KG sT s T sξ
=+ +
, [1.7]
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- Sistema de Segundo Orden Sobreamortiguado
0u
fu
fy
0y
73T0T T ′
y′
y′ valor de la salida en el tiempo 73 00 2,6
T TT T −′ = +
calcular:
0
0
ˆ f
f
y yK
u u−
=−
, 0
0fr
f
y yyy y′ −
=−
[1.8]
73 01 2ˆ ˆ ˆ
1,3totalT Tτ τ τ −
= + = , 1̂ ˆ ˆr totalτ τ τ= , 2 1ˆ ˆ ˆtotalτ τ τ= − [1.9]
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( ) ( )( )1 2
ˆˆˆ ˆ1 1
KG ss sτ τ
=+ +
, [1.10]
Relación entre constantes de tiempo
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.2
0.22
0.24
0.26
0.28
0.3
0.32
0.34
0.36
0.38
0.4
Tau r
Yfr
si 0,26 0,39fry> > , la respuesta es de un sistema subamortiguado o de mayor orden.
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- Efecto del factor de amortiguamiento - 0ξ < inestable
- 1ξ < subamortiguado
- 1ξ = amortiguamiento crítico
- 1ξ > sobreamortiguado
g=tf(1,[.3^2 2*.3*xi 1])
0 1 2 3 4 5 60
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
.1
.25
.5
.71
1
1.5
2
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- Plantas con Integradores
0u
fu
fy
0y
fT0T
( ) ( )0
0 0
ˆ f
f f
y yK
u u T T−
=− −
[1.11]
( )ˆˆ KG ss
= , [1.12]
-
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1.3. Otros Métodos Modelado Físico Identificación estadística Existen técnicas más avanzadas de estimación de modelo mediante ensayos expe-rimentales, conocidas como técnicas de identificación de sistemas. Para un tratamiento actualizado de identificación de sistemas ver por ejemplo
- Lennart Ljung, System Identification, 2nd edn. Prentice Hall, 1999. y el toolbox de identificación de MATLAB.
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1.4. Obtención Estadística de los Parámetros del Modelo ajuste automático de parámetros = Identificación de Sistemas
Excitación
-
+
Planta
Modelo
Salida de la Planta
Salida del Modelo
Error de Estimación
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1.4.1. Método de Identificación por Mínimos Cuadrados Se considera, a los efectos del análisis, la siguiente planta real:
1 10
n mT
i i k kk i k kk k-ii=1 i=
= + u y ya b xε εθ−+ + + = +∑ ∑ [1-13]
kε perturbación o incertidumbre.
modelo:
1 10
ˆ ˆˆ ˆn m
Ti k-i kk k-i ki
i=1 i=
= + = y ya u xb θ+ +∑ ∑ [1-14]
donde
1
0 0
1 1 1 11 1
ˆ
ˆˆˆ
ˆ
11 k
nn k-nk kk
k
m k-mmN n m N n mN n m
yaa
yaa = = = xb ub
b ub
θ θ+
× = + + × = + +× = + +
[1-15]
Para cada instante k habrá un error o diferencia entre ambas salidas: 1 1 1ˆk k ke y y+ + += − [1-16]
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tomando todas las muestra, 1
11
1
ˆk
kk k
eE = - Y
eθφ
+
++
=
[1-17]
con
1
1
1
k
k
y =Y
y
+
+
,
1
0
ˆ
ˆˆ
ˆ
ˆ
n
m
a
a
b
b
θ
=
,
1
00 1
Tk k k-mk k-n
kT0 -m-n
y yx u u = =
y yx u uφ
+
… …
… … [1-18]
02 b Ajuste de Modelos Identificación.doc 15
Se puede minimizar el error respecto a θ̂ . J T
k k kE E= [1-19]
ˆˆJ 0T T
p p = 2 Y - 2 = | φθφ φ∇ [1-20]
el valor de θ̂ que hace mínimo J es:
1*ˆ T Tk k k k kYθ φ φ φ
− = [1-21]
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1.4.2. Forma Recursiva: Analicemos una forma más cómoda de expresar la ecuación [1-21]. Primero defina-mos la matriz P como sigue:
[ ]Tk-N k-N
T T T-1 -1k k-1k-N 0 i i k kk
i=0T0
x = + x x x x x xP P
x
φφ = = =
∑… [1-22]
Del mismo modo el vector b será:
[ ]k-N k-N
Tkk k-N 0 i k-1 kk i k
i=00
y = = = + y yb x x x b xY
yφ
=
∑… [1-23]
Entonces [1-21] se expresará
ˆ k kk = bPθ [1-24]
La inversa de la matriz P en un instante k puede expresarse en función de su valor anterior más otra matriz
T-1 -1k k-1 k k = + x xP P [1-25]
Si la premultiplicamos por kP
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-1 T-1k-1 k kk k kkP P I = P + P x xP= [1-26]
y luego, posmultiplicando por 1kP − resulta: T
k-1 k k k-1k k = + x xP P P P [1-27]
o lo que es lo mismo T
k-1 k k k-1k k - = x xP P P P [1-28]
Posmultipliquemos [1-27] por kx T T
k-1 k k k-1 k k-1k k k k k k k k = + = 1 + x x x x x x x xP P P P P P [1-29]
y agrupemos. -1T
k-1 k-1 kk k k k 1 + = x x x xP P P [1-30]
Ahora, reemplazando [1-30] en [1-28] T
k-1 k-1k kk-1 k T
k-1k k
x xP P - = P P 1 + x xP [1-31]
o su equivalente T
k-1 k-1k kk k-1 T
k-1k k
x xP P = - P P 1 + x xP [1-32]
Haremos lo mismo con el vector θ . Por la ecuación [1-30] tenemos
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[ ]ˆT
k k-1k kk-1 k-1 k kk T
k-1k k
x xP P - + yb xP 1 + x xPθ
=
[1-33]
[ ]ˆ ˆT
k-1 k-1k kk-1k-1 k kk kk k-1 T
k-1k k
x xP P - + + y yb x xP1 + x xPθ θ= [1-34]
por [1-30] sabemos que: k-1 k
k k Tk-1k k
xP = xP 1 + x xP [1-35]
reemplazando en la anterior ˆ ˆ T T
k k-1 k k-1 k-1k k k-1 k k k kk kk k-1= - - + y yx x b x x x xP P P P Pθ θ [1-36]
ˆ ˆ ˆT Tk k-1 k k-1k k k k k kk k-1 k-1 - - yx x x x xP P P Pθ θ θ= + [1-37]
de [1-28] resulta T
k k-1 k k-1k k = - x xP P P P [1-38]
quedando ˆ ˆ ˆT
k k k kk k-1 k-1= - - yx xPθ θ θ [1-39]
02 b Ajuste de Modelos Identificación.doc 19
en resumen el algoritmo está formado por las dos ecuaciones siguientes:
[ ]ˆ ˆ ˆk k k kk k-1
Tk-1 k-1k k
k k-1 Tk-1k k
- - y yxP x xP P = - P P 1 + x xP
θ θ =
[1-40]
Otra forma equivalente que se suele utilizar en la bibliografía es
1
1
ˆ ˆ ˆ
k kk T
k k kT
k k k k k
Tk k kk k-1 k-1
P xKx P x
P K x PP K y xθ θ θ
+
= + = − = + −
[1-41]
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1.4.3. Inclusión del Factor de Olvido. En el algoritmo anterior pesamos de igual manera las medidas muy viejas y las nue-vas. J T
k k = Q e e⋅ ⋅ [1-42]
donde 1 0 0
0
0 0
k
k-N
0Q
α
α
=
[1-43]
La matriz Q pondera las muestras dándole más o menos importancia a la historia con respecto al último valor según el parámetro α el cual se llama factor de olvido. Igual que antes derivamos J para obtener el mínimo.
ˆˆ2 2 0T TJ QY Qθ θ
φ φ φθ∇ = − = [1-44]
resultando 1*ˆ T T
k k k k kk kYQ Qθ φ φ φ−
= [1-45]
02 b Ajuste de Modelos Identificación.doc 21
Algoritmo recursivo con factor de olvido:
[ ]1 1
11
ˆ ˆ ˆ
1
k k k kk k-1
Tk k k k
k k Tk k k
- - y yxP
P x x PP Px P x
θ θ
α α− −
−−
=
= − +
[1-46]
o lo que es lo mismo
( )11
ˆ ˆ ˆ
k kk T
k k k
Tk k k k k
Tk k kk k-1 k-1
P xKx P x
P K x PP
K y x
α
α
θ θ θ
+
= + = − = + −
[1-47]
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1.4.4. Características Estadísticas de la Estimación 0
11 1
000 1
k
k k-mk k-nT k-n -nk k
k-m-n
k-m -m
y y
y y u uy y
u u y y u u
u u
φ φ+
+
= ⋅
…
… ………
… …
…
[1-48]
autocovarianza o covarianza cruzada
( )2 2 20
00
kT
k i yki
[1,1] = y y = y rφ φ=
+ + =∑ [1-49]
02 b Ajuste de Modelos Identificación.doc 23
La matriz total se llama matriz de covarianza del algoritmo y será: y y uy uy
uy uyTk k
uy uy u u
uy uy u u
(o) (n - 1) (n - m - 1) (n - 1)r r r r
(n - 1) (n - m - 1)r r (n - m - 1) (n - 1) (0) (m)r r r r
(n - 1) (n - m - 1) (m) (0)r r r r
φ φ
=
… …
…… …
… …
[1-50]
media de θ̂ .
[ ]
[ ]
ˆ ˆlim lim
lim
lim lim
-1T Tkk kk k kk k
-1T Tkk k k kk
-1T Tkk k kk k
E E EY
E + e
E E e
θ θφ φ φ
θφ φ φ φ
θ φ φ φ
→∞ →∞
→∞
→∞ →∞
= = =
= +
[1-51]
[ ]ˆ lim lim-1T T
kk k k kk kE E E eθ θ φ φ φ
→∞ →∞
= + [1-52]
Por lo tanto la media de la estimación coincidirá con el valor real de θ si el error e es incorrelado con
-1T T φφ φ . En cualquier otro caso existirá un sesgo en la estimación.
02 b Ajuste de Modelos Identificación.doc 24
También debemos notar que para que exista solución la matriz T φφ 1debe ser inverti-ble o sea det T 0φφ ≠ [1-53]
Observando la ecuación 0 podemos inferir que esto se puede lograr si el sistema está persistentemente excitado.
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Ejemplo 1.1. Sistema de Primer Orden. Sea un sistema de primer orden cuya ecuación en diferencias es:
k-1k k-1 = a + b y y u [1-54]
con 0,5a = y 1b =
k ky ku
0 0 1 1 1b = 1 2 ( )1 1,5b a+ = 1
3 ( )21 1,7b a a+ + =
1
4 ( )2 31b a a a+ + +
1
02 b Ajuste de Modelos Identificación.doc 26
El vector φ será, para tres muestras, 1,75 11,5 11 1
= φ
1 1 11,75 1,5 1
T = φ
[1-55]
el vector de medidas de la salida, 1,8751,751,5
k =Y
[1-56]
la matriz de covarianza y P:, 6,3125 4,25
4.25 3T = φφ
3.4286 -4.8571-4.8571 7.2143
-1T =φφ
[1-57]
7,4063
5,125T Y =φ
[1-58]
Estimación de los dos parámetros del sistema: 0,5ˆ1
-1T T Yθ φφ φ = =
[1-59]
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Ejemplo 1.2. Medición de una Resistencia Se mide Tensión y Corriente sobre una resistencia
mk k uk
mk k ik
u u ei i e
= += +
(1.60)
la medición de la resistencia es
mkmk
mk
ur i= [1.61]
por mínimos cuadrados
J ( ) ( )TTk k = U rI U rIE E = − − (1.62)
J 2 ( ) 0r
T = I U rI∂− − =
∂ (1.63)
T
mc T
I Ur =I I
(1.64)
02 b Ajuste de Modelos Identificación.doc 28
Cálculo de r n=1000; vi=1; vu=1; i=1+vi*(rand(n,1)-.5); u=1+vu*(rand(n,1)-.5); r=zeros(n,1); for k=1:n r(k)=u(1:k)'*i(1:k)/(i(1:k)'*i(1:k)); end plot(r);grid axis([0 n -.5 1.5]) cov(i);
02 b Ajuste de Modelos Identificación.doc 29
0 200 400 600 800 1000-0.5
0
0.5
1
1.5
plot(u./i);grid; axis([0 n -.5 1.5])
02 b Ajuste de Modelos Identificación.doc 30
0 200 400 600 800 1000-0.5
0
0.5
1
1.5
[mean(r) mean(u./i) cov(r) cov(u./i)]
ans = 0.9011 1.0616 0.0021 0.2293
02 b Ajuste de Modelos Identificación.doc 31
Sesgo
2
( ) ( )( )( ) ( )
( ) ( ) 1
T Tm m r i r u
mc T Tm m r i r i
Tr r
Tir i r i
Tr r
I U I e U eE r = E = EI I I e I e
I U r= EI e I e
I Iσ
+ + + +
= + + +
(1.65)
Método de mínimos cuadrados es 1ˆ T TYθ φ φ φ−
= (1.66)
{ }1ˆ( ) ( )T TE = E eθ φ φ φ φθ−
+ (1.67)
el error está en la salida. No hay error en la entrada
02 b Ajuste de Modelos Identificación.doc 32
Variables instrumentales rvi=zeros(n,1); L=2; ivi=i; ivi(1:length(i)-L)=i(L+1:length(i)); for k=1:n rvi(k)=u(1:k)'*ivi(1:k)/(i(1:k)'*ivi(1:k)); end
0 200 400 600 800 10000.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
02 b Ajuste de Modelos Identificación.doc 33
Ejemplo 1.3. Generador Diesel Se mide velocidad del Motor/generador Primer Ensayo: Código y=w(1:20:length(w))'-w(1); u=ones(size(y)); u(1)=0; model = pem([y u],[0 1 0 0 2 3]) yh = idsim(u,model); figure(2); plot([y yh])
02 b Ajuste de Modelos Identificación.doc 34
La gráfica muestra la diferencia entre salida real y estimada
0 50 100 150 200 250-50
0
50
100
150
200
250
300
02 b Ajuste de Modelos Identificación.doc 35
Los datos del modelo son: >> Discrete-time IDPOLY model: y(t) = [B(q)/F(q)]u(t) + e(t) B(q) = 0.737 q^-3 F(q) = 1 - 1.917 q^-1 + 0.9204 q^-2 Estimated using PEM Loss function 227.695 and FPE 233.46 Sampling interval: 1 Su fórmula es
3
1 2
0,7371 1,917 0,9204k k
qy uq q
−
− −=− +
o
3 2 11,917 0,9204 0,737k k k ky y y u+ + += − +
02 b Ajuste de Modelos Identificación.doc 36
Segundo Ensayo
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180-160
-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
02 b Ajuste de Modelos Identificación.doc 37
Modelo: >> Discrete-time IDPOLY model: y(t) = [B(q)/F(q)]u(t) + e(t) B(q) = -0.6807 q^-20 F(q) = 1 - 1.839 q^-1 + 0.8461 q^-2 Estimated using PEM Loss function 226.097 and FPE 234.683 Sampling interval: 1
02 b Ajuste de Modelos Identificación.doc 38
1.5. Referencias i. Ljung, Lennart : System Identification: Theory for the User, 2nd Edition, Prentice
Hall, Englewood Cliffs, N.J.,1999. p 313 ii. Goodwin, G. Sin: Adaptive Filtering, Prediction and Control, Prentice Hall –
1984. p 52 iii. Äström, K., Wittenmark: Adaptive Control, Prentice Hall – 1989. p 69 iv. Landau, Ioan Doré. System Identification and Control Design – Prentice Hall
–1990 v. Isermann, R.: Digital Control Systems, Springer Verlag – 1981. p 380