UNIDAD II: ESTUDIO DE FUNCIONES

TEÓRICO – FUNCIONES

EXPONENCIAL-LOGARÍTMICA Y

TRIGONOMÉTRICAS

ANALISIS MATEMATICO I – AÑO 2016

UNIDAD II: ESTUDIO DE FUNCIONES

FUNCIÓN EXPONENCIAL

ANALISIS MATEMATICO I – AÑO 2016

Hallar la expresión analítica que represente el Monto que se obtiene de colocar un capital, C, a una tasa de interés compuesto del 10% anual.

HABLEMOS DE INVERSIONES

¿SERÁ POSIBLE UTILIZAR LA FUNCIÓN EXPONENCIAL PARA MODELAR

LA SIGUIENTE SITUACIÓN?

Estudiemos entonces la FUNCIÓN EXPONENCIAL y luego retomemos la situación aquí planteada.

𝒙𝒃𝒚=𝒇 (𝒙)¿ el exponentees la variable independiente ()

b > 10 < b < 1

La base es una constante, siendo y

Llamamos función exponencial a toda función de la forma:

2.3. FUNCIÓN EXPONENCIAL

UNIDAD II: ESTUDIO ANALÍTICO DE FUNCIONES

COMPORTAMIENTO GRÁFICO DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

0 1

1 2

2 4

3 8

4 16

-1

-2

-3

-4

𝒚=𝒃𝒙 𝑺𝒊𝒃>𝟏 Ejemplo

𝒚=𝟐 𝒙

x420-2-4

30

25

20

15

10

5

11 3

CARACTERÍSTICAS DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

x420-2-4

30

25

20

15

10

5

1

2) Puntos notables

• La función es Creciente

1) Dominio e Imagen

3) Intervalos de crecimiento ó decrecimiento

5) Ecuación de la Asíntota Horizontal:

•Corte con eje

𝒚=𝟐 𝒙𝑰𝒎 𝒇 =¿𝑫𝒐𝒎 𝒇 =¿

Cuando x tiende a tomar valores muy pequeños, la función tiende a anularse. Se escribe:

4) Intervalos de positividad 𝒚=𝒃𝒙>𝟎 ∀ 𝒙∈𝑹

𝑺𝒊𝒃>𝟏

•Corte con eje y:

𝑹 ; 𝑹+¿=(𝟎 ,+∞ ) ¿

punto (0; 1),

(puesto que para todo =1)

No presenta

(puesto que para cualquier valor real de , siempre)

CRECIMIENTO DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

• La función es Creciente . Su crecimiento es creciente, se dice que presenta un crecimiento exponencial.

Si

• Cuanto mayor es la base , más empinada es la gráfica.

• La gráfica asciende de izquierda a derecha, al aumentar x se incrementa y.

DESPLAZAMIENTO VERTICAL DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

x420-2-4

30

25

20

15

10

5

1

2) Puntos notables •Corte con eje y: punto (0; 10), (puesto que para todo

•La función es Creciente

1) Dominio e Imagen

3) Intervalos de crecimiento ó decrecimiento

5) Ecuación de la Asíntota Horizontal:

•Corte con eje x: No presenta(puesto que para cualquier valor real de , y = , pues c > 0)

y = 2 x

𝑰𝒎 𝒇 =(𝟗 ,+∞ )𝑫𝒐𝒎 𝒇 =𝑹 ;

)

9+2=y x

9=y

Función desplazada

𝒚=(𝒃𝒙+𝒄 )>𝟎 ∀ 𝒙∈𝑹4) Intervalos de positividad:

𝒚=𝒃𝒙+𝒄 ,𝒄𝒐𝒏𝒄>𝟎 𝑦=2𝑥+9

DESPLAZAMIENTO HORIZONTAL DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

2) Puntos notables •Corte con eje y: punto (0;)

•La función es Creciente

1) Dominio e Imagen

3) Intervalos de crecimiento ó decrecimiento

5) Ecuación de la Asíntota Horizontal:

•Corte con eje x: No presenta

𝑰𝒎 𝒇 =(𝟎 ,+∞ )𝑫𝒐𝒎 𝒇 =𝑹 ;

4) Intervalos de positividad y negatividad:

𝒚=𝒃𝒙 −𝒄=𝒃−𝒄 .𝒃𝒙

𝑦=2𝑥+3=23 .2𝑥=8. 2𝑥Ejemplo

𝑦=2𝑥−3=2−3 .2𝑥=18 2𝑥

Ejemplo

COMPORTAMIENTO GRÁFICO DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

0 1

1

2

3

4

-1 2

-2 4

-3 8

-4 16

𝒚=𝒃𝒙𝑺𝒊𝟎<𝒃<𝟏 Ejemplo

CARACTERÍSTICAS DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

x420-2-4

30

25

20

15

10

5

1

2) Puntos notables •Corte con el eje y: punto (0; 1) (puesto que para todo y=

•La función es Decreciente

1) Dominio e Imagen

3) Intervalos de crecimiento ó decrecimiento

5) Ecuación de la Asíntota Horizontal:

•Corte con el eje x: No presenta(puesto que para cualquier valor real de , siempre)

𝑰𝒎 𝒇 =𝑹+¿=(𝟎 ,+∞ ) ¿𝑫𝒐𝒎 𝒇 =𝑹 ;

pues lim𝑥→+∞

𝑓 (𝑥 )=0

y =

4) Intervalos de positividad 𝒚=𝒃𝒙>𝟎 ∀ 𝒙∈𝑹

𝑺𝒊𝟎<𝒃<𝟏

DECRECIMIENTO DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

y = b x 𝒔𝒊𝟎<𝒃<𝟏

• Cuanto menor es la base b , más empinada es la gráfica.

• La gráfica desciende de izquierda a derecha, al aumentar x disminuye y.

• La función es Decreciente . Presenta un decrecimiento exponencial.

RESUMEN CARACTERÍSTICAS FUNCIÓN EXPONENCIAL

• Cortan al eje de ordenadas en el punto ( 0 ; 1)

• No cortan el eje de abscisas

𝐼𝑚 𝑓 =𝑅+¿=( 0 ,+∞ ) ¿𝐷𝑜𝑚 𝑓 =𝑅 ;

• Ecuación de la Asíntota Horizontal:

COMUNES

, b > 1 y 0 < b < 1

DIFERENCIAS

• Si 0 < b < 1, la función es decreciente

• Si b >1, la función es creciente

• Intervalos de positividad y negatividad:

EJEMPLO DE UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL

• Corta al eje de ordenadas en el punto:

• No corta el eje de abscisas

𝐼𝑚 𝑓 =¿𝐷𝑜𝑚 𝑓 =¿

• Ecuación de la Asíntota Horizontal:

, b > 1

• Como b > 1, la función es

• Intervalos de positividad:

> 1

¿ANALIZAMOS SUS CARACTERÍSTICAS?

𝑅 𝑅+¿= (0 ,+∞ )¿

( 0 ; 1)

𝒚=𝟎

creciente

Primer año:

Segundo año:

t = x años

Si C = 1

M=C+ I=C+0,1C=C (1+0,1 )=C .1,1

M=C .1,1𝑥

y=M=1. 1,1𝑥=1,1𝑥

Sacando C factor común

Llamemos y = M: Monto, x = t: tiempo transcurrido (medido en años).

Hallar la expresión analítica que represente el Monto que se obtiene de colocar un capital, C, a una tasa de interés compuesto del 10% anual.

¿RESOLVEMOS EL EJEMPLO DE INVERSIÓN?

y=1,1𝑥

EJEMPLOS DE FUNCIONES EXPONENCIALES

UNIDAD II: ESTUDIO DE FUNCIONES

FUNCIÓN LOGARÍTMICA

ANALISIS MATEMATICO I – AÑO 2016

𝒚=𝒇 (𝒙) = el argumentoes la variable independiente ()

b > 10 < b < 1

La base b es una constante, siendo b > 0 y

2.4. FUNCIÓN LOGARÍTMICA

UNIDAD II: ESTUDIO ANALÍTICO DE FUNCIONES

Llamamos función logarítmica a toda función de la forma:

COMPORTAMIENTO GRÁFICO DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA

y = Si b > 1 Ejemplo

1/4 -2

1/2 -1

1 0

2 1

4 2

8 3

16 4

CARACTERÍSTICAS DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA

2) Puntos notables •Corte con eje x: punto (1; 0). Para

•La función es Creciente

1) Dominio e Imagen

3) Intervalos de crecimiento ó decrecimiento

5) Ecuación de la Asíntota Vertical:

•Corte con eje y: No presenta

• ; 𝑰𝒎 𝒇 =𝑹

)

4) Intervalos de positividad y negatividad

y = Si b > 1

• y = • y =

CRECIMIENTO DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA

• La función es Creciente . A medida que x aumenta, el crecimiento es más lento.

• Cuanto mayor es la base b , más lento es el crecimiento de la función

y = Si b > 1y=log 2𝑥y=log 3𝑥y=log 4𝑥

COMPORTAMIENTO GRÁFICO DE LA FUNCIÓN

LOGARÍTMICA

1/4 2

1/2 1

1 0

2 - 1

4 - 2

8 - 3

16 - 4

y = 𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨 𝐲=𝒍𝒐𝒈𝟏𝟐𝒙

CARACTERÍSTICAS DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA

2) Puntos notables •Corte con el eje x: punto (1; 0)

•La función es Decreciente

1) Dominio e Imagen

3) Intervalos de crecimiento ó decrecimiento

•Corte con el eje y: No presenta

• ; Im

y = Si 0 < b < 1

4) Intervalos de positividad y negatividad• y = • y =

5) Ecuación de la Asíntota Vertical: )

DECRECIMIENTO DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA

• La función es Decreciente . A medida que x aumenta, el decrecimiento es más lento, la curva se hace menos empinada.

si 0 < b < 1

• Cuanto menor es la base b , más lento es el decrecimiento de la función

y =

y=log 14

𝑥y=log 1

3

𝑥y=log 1

2

𝑥

RESUMEN CARACTERÍSTICAS FUNCIÓN LOGARÍTMICA

• Cortan al eje de abscisas en el punto ( 1 ; 0)

• No cortan el eje de ordenadas

𝑫𝒐𝒎 𝒇 =𝑰𝑹+¿=(𝟎 ,+∞ ) ¿

𝑰𝒎 𝒇 =𝑰𝑹

• Ecuación de la Asíntota Vertical:

COMUNES

DIFERENCIAS

y = Si b >1 ; Si 0 < b < 1

y = , si b >1 y = , si 0 < b < 1

la función es creciente la función es decreciente

y = y =y = y =

UNIDAD II: ESTUDIO DE FUNCIONES

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

ANALISIS MATEMATICO I – AÑO 2016

Cateto O

puesto

Cateto Adyacente

hipotenusaopuesto catetoα)( sen

hipotenusaadyacente catetoα)cos(

adyacente catetoopuesto catetoα)( tg

a

Definimos las razones trigonométricas Seno, Coseno y Tangente de un ángulo agudo con las siguientes fórmulas:

Hipote

nus

a

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO

xp

yp P

Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera.

Las definiciones de las razones trigonométricas de ángulos agudos se pueden extender para cualquier ángulo.Consideremos el ángulo a en el plano cartesiano y marcamos en su lado terminal un punto que se encuentra a una distancia del origen de coordenadas.Y definimos así: r

ysen p)(a

rxp)cos(a

p

p

xy

tg )(a 0px

ax

y

r

Unidades de Medida de un Angulo

Equivalencias

Grado Radián

0

1/4

1/2

3/2

2

=𝟑 ,𝟏𝟒𝟏𝟓𝟗𝟐𝟔𝟓𝟑𝟔…≅ 𝟑 ,𝟏𝟒𝟏𝟔

RECORDEMOS

+0°

90°

180°

270°

360°

Grado

45°

+0

1/2

3/2

2

Radián

1/4

radianes

Grado Sexagesimal Radián

radianes: mide la longitud del arco que corresponde al

ángulo de 360°. Si el radio de la circunferencia es , la

longitud de toda la vuelta de la circunferencia es

simplemente ; es un número real ya que es el resultado

de multiplicar 2 por el irracional (3,1415...).

¿CÓMO SE MIDEN LOS ÁNGULOS?

LA CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICAPodemos ver gráficamente el seno, el coseno y la tangente de un ángulo en un sistema cartesiano si consideramos un punto P sobre una circunferencia de radio (), a la que llamamos circunferencia trigonométrica o circunferencia unidad.

En la figura, como el radio es 1 () , tenemos que:

ppp yy

ry

1

αsen El segmento azul está asociado al

ppp xx

rx

1

αcos

p

pxy

αtg

El segmento rojo está asociado al

El segmento verde está asociado a la

xp

Pyp

a

-1

x1-1

1

o

Cuadrante

Signo

1er. Cuadrante

2do. Cuadrante

3er. Cuadrante

4to. Cuadrante

+ + - -

+ - - +

+ - + -

SIGNOS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS POR CUADRANTE

x0

Py0

-1

x1-1

1

o

xxf senFUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA

1

0.5

0

-0.5

-1

2 2

23

·Crece en:

2;

23

2;0

·Nula: 2;;0

·Función impar·Dom f: · Im f: [-1; 1] ·Período: 2

23;

2·Decrece en:

;0·Positiva:

2;·Negativa:

xxf senFUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA

xxf cosFUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA

1

0.5

0

-0.5

-1

2 2

23

·Nula:

23;

2

·Función par· Im f: [-1; 1] ·Período: 2

·Crece en:

2;

;0·Decrece en:

·Positiva:

23;

2·Negativa:

xxf cosFUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA

·Dom f:

[0 ; 𝜋2 )∪( 3𝜋2;2𝜋 ]

FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA xxf tg

·Nula: 2;;0

·Función impar

· Im f:IR ·Período:

·Crece en:

2;

23

23;

22;0

·No decrece en ningún intervalo del dominio

23;

2;0·Positiva:

2;

23;

2·Negativa:

·Dom f: -

22

32 0

10

5

-5

-10

FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA xxf tg

Los egipcios dieron solución de lo que puede considerarse el germen del cálculo trigonométrico en el llamado papiro RHIND, al resolver el problema del ángulo de inclinación de una pirámide

FIN