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MATEMÁTICA IV. ECUACIONES DIFERENCIALES PARA
ESTUDIANTES DE INGENIERÍA,
CIENCIA Y TECNOLOGÍA.
CAPÍTULO 3: SOLUCIÓN DE
ECUACIONES DIFERENCIALES EN
SERIE DE POTENCIAS.
PRELIMINARES. SOLUCIÓN EN
TORNO A PUNTOS ORDINARIOS.
Ing. Willians Medina.
Maturín, Julio de 2015.
Capítulo 3. Solución en serie de potencias. Preliminares. Solución en torno a puntos ordinarios.
Matemática IV. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 2
PRESENTACIÓN.
La presente es una Guía de Ejercicios de Matemática IV (Ecuaciones diferenciales)
para estudiantes de Ingeniería, Ciencia y Tecnología dictada en las carreras de Ingeniería
Ambiental, Civil, de Computación, Eléctrica, Electrónica, Industrial, Mecánica, de
Petróleo, de Sistemas y Química de reconocidas Universidades en Venezuela.
El material presentado no es en modo alguno original, excepto la inclusión de las
respuestas a ejercicios seleccionados y su compilación en atención al contenido
programático de la asignatura y al orden de dificultad de los mismos.
Dicha guía ha sido elaborada tomando como fuente las guías de ejercicios y
exámenes publicados en su oportunidad por Profesores de Matemática IV en los núcleos de
Monagas y Anzoátegui de la Universidad de Oriente, además de la bibliografía
especializada en la materia y citada al final de cada capítulo, por lo que el crédito y
responsabilidad del autor sólo consiste en la organización y presentación en forma
integrada de información existente en la literatura.
Adicionalmente es conveniente mencionar que este trabajo ha sido realizado con
fines estrictamente académicos y su uso y difusión por medios impresos y electrónicos es
libre, no representando ningún tipo de lucro para el autor.
Finalmente, se agradece infinitamente la dispensa y atención a esta modesta
contribución en la enseñanza y aprendizaje de la Matemática, así como las sugerencias que
tengan a bien para mejorar este trabajo, las cuales pueden hacer llegar directamente a través
de los teléfonos: +58-424-9744352 ó +58-426-2276504, PIN: 2736CCF1 ó 7A264BE3,
correo electrónico: medinawj@udo.edu.ve ó medinawj@gmail.com, twitter: @medinawj ó
personalmente en la sección de Matemáticas, Universidad de Oriente, Núcleo de Monagas.
Ing. Willians Medina.
Capítulo 3. Solución en serie de potencias. Preliminares. Solución en torno a puntos ordinarios.
Matemática IV. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 3
ACERCA DEL AUTOR.
Willians Medina es Ingeniero Químico, egresado de la Universidad de Oriente,
Núcleo de Anzoátegui, Venezuela. Durante el transcurso de su carrera universitaria se
desempeñó como preparador docente en el área de Laboratorio de Química I y
Termodinámica Aplicada de la carrera de Ingeniería Química de la referida Universidad.
En el año 1996 ingresó a la Industria Petrolera Venezolana, Petróleos de Venezuela
(PDVSA), desempeñando el cargo de Ingeniero de Procesos en la Planta de Producción de
Orimulsión, en Morichal, al sur del Estado Monagas hasta el año 1998, momento en el cual
comenzó su desempeño en la misma corporación como Ingeniero de Manejo de Gas en el
Complejo Operativo Jusepín, al norte del Estado Monagas hasta finales del año 2000.
Durante el año 2001 formó parte del Plan Integral de Adiestramiento (PIA) en San Tomé,
Estado Anzoátegui, donde recibió cursos de preparación integral en las áreas de producción
y manejo de petróleo y gas, pasando finalmente a la Gerencia de Manejo de Gas del Norte
del Estado Monagas, en la localidad de Punta de Mata, siendo responsable del tratamiento
químico anticorrosivo de gasoductos de la zona de producción de petróleo y gas hasta
finales del año 2002. Desde el año 2006, forma parte del Staff de Profesores de
Matemáticas, adscrito al Departamento de Ciencias, Unidad de Cursos Básicos del Núcleo
de Monagas de la Universidad de Oriente (UDO), cargo en el cual ha dictado asignaturas
tales como Matemáticas I (Cálculo Diferencial), Matemáticas II (Cálculo Integral),
Matemáticas III (Cálculo Vectorial), Matemáticas IV (Ecuaciones diferenciales), Métodos
Numéricos, Termodinámica y Fenómenos de Transporte para estudiantes de Ingeniería. Es
autor de compendios de ejercicios propuestos y formularios en el área de Matemáticas,
Física, Química, Mecánica Vectorial, Métodos Numéricos, Termodinámica, Estadística,
Diseño de Experimentos, Fenómenos de Transporte, Mecánica de los Fluidos e Ingeniería
Económica. Es miembro del Colegio de Ingenieros de Venezuela.
Capítulo 3. Solución en serie de potencias. Preliminares. Solución en torno a puntos ordinarios.
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3.1.- SERIE DE TAYLOR1 Y SERIE DE MACLAURIN2.
Serie.
Una función matemática que se expresa como la suma de varios términos se llama serie, y
una función que se expresa como la suma de un número infinito de términos se llama serie
infinita.
Serie de potencias.
Una serie de potencias en )( cx es una serie infinita de la forma
0
)(n
n
n cxa . También,
se dice que esa serie es una serie de potencias centrada en cx .
El símbolo griego sigma en la notación de serie de potencias
0
)(n
n
n cxa significa
sumatoria, y n denota el índice de sumatoria que sirve como contador, el cual es un
parámetro ficticio y da igual si lo representamos como m, n, i, j o k.
Serie de Taylor.
Si una función f admite un desarrollo en serie de potencias
...)()()()( 3
3
2
210 cxacxacxaaxf
entonces los coeficientes vienen dados por !
)()(
n
cfa
n
n y
0
)(32 )(
!
)(...)(
!3
)()(
!2
)()()()()(
n
nn
cxn
cfcx
cfcx
cfcxcfcfxf
donde
c es un valor fijo de x.
!n es el factorial de n y
)()( cf n es la n-ésima derivada de f para el valor c de la variable respecto de la cual se
deriva.
1 Brook Taylor (1685-1731). Matemático y humanista británico. Su obra más importante, publicada bajo el
título Methodus incrementorum directa et inversa (Método directo e inverso de los incrementos, 1715) dio a
conocer la serie o teorema de Taylor. La importancia de este revelador teorema suyo no fue reconocida hasta
1772. 2 Colin McLaurin (1698-1746). Matemático escocés. En 1742 publicó Treatise of fluxions, donde introduce la
llamada serie de McLaurin, que permite evaluar funciones.
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El punto cx se llama centro.
Si una función es infinitamente derivable en el punto c, su serie de Taylor existe en ese
punto.
Las series de Taylor tienen tres ventajas importantes:
1. La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término,
que resultan operaciones triviales.
2. Se pueden utilizar para calcular valores aproximados de la función.
3. Es posible demostrar que, si es viable la transformación de una función a una serie de
Taylor, es la óptima aproximación posible.
En cada uno de los ejercicios siguientes, determine la serie de Taylor en torno al punto c
para la función dada. Determine también el radio de convergencia de la serie.
1. x , 1c 2. 2x , 1c 3. x1
1, 2c
4. xln , 1c
Serie de McLaurin.
Si la serie de Taylor está centrada en x = 0, entonces se denomina serie de McLaurin.
0
)(32
!
)0(...
!3
)0(
!2
)0()0()0()(
n
nn
xn
fx
fx
fxffxf
En cada uno de los ejercicios siguientes, determine la serie de McLaurin para la función
dada. Determine también el radio de convergencia de la serie.
5. xe 6. xex 7. xsen 8.
x1
1
9. x1
1
Serie de potencias de funciones básicas elementales.
Muchas funciones elementales familiares tienen representaciones bien conocidas en forma
de series de potencias. Algunas de éstas son:
...)1()1(...)1()1()1()1(11 432 nn xxxxxx
20 x
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...)1(...11
1 5432
nn xxxxxxx
11 x
...)1()1(
...5
)1(
4
)1(
3
)1(
2
)1()1(ln
15432
nn
xn
xxxxxx 20 x
...!
...!5!4!3!2
15432
n
xxxxxxe
nx x
...!)12(
)1(...
!9!7!5!3sen
1219753
n
xxxxxxx
nn
x
...!)12(
...!9!7!5!3
senh129753
n
xxxxxxx
n
x
...!)2(
)1(...
!8!6!4!21cos
28642
n
xxxxxx
nn
x
...!)2(
...!8!6!4!2
1cosh28642
n
xxxxxx
n
x
...12
)1(...
9753arctan
1219753
n
xxxxxxx
nn
11 x
...)12()!2(
!)2(...
9.8.6.4.27.6.4.25.4.23.2arcsen
2
129753
nn
xnxxxxxx
n
n
11 x
...,!4
)3()2()1(
!3
)2()1(
!2
)1(1)1(
432
xkkkkxkkkxkk
xkx k 11 x
...,!4
)3()2()1(
!3
)2()1(
!2
)1(1)1(
432
xkkkkxkkkxkkxkx k
11 x
Convergencia y divergencia de una serie de potencias.
La representación de una serie se dice que converge a la función que representa si el valor
de la serie para un valor específico de x tiende al valor de la función cuando se incluyen
más términos en la serie.
Al tratar series, un asunto de suma importancia es la convergencia. Una representación en
serie de una función es de poca utilidad si la serie no converge hacia la función.
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Serie geométrica.
Definición de serie geométrica.
La serie ......2
0
raraaran
n ( 0a ) se denomina serie geométrica de razón r.
Convergencia de una serie geométrica.
Las series geométricas ......2
0
raraaran
n verifican:
1. Si 1r , divergen.
2. Si 1r , convergen y tienen por suma r
ara
n
n
10
, donde “a” es el primer término
de la serie.
Series armónicas.
Definición de series armónicas.
La serie ...4
1
3
1
2
1
1
11
1
pppp
npn
se denomina serie armónica de orden p.
Convergencia de una serie armónica de orden p.
Las series armónicas ...4
1
3
1
2
1
1
11
1
pppp
npn
verifican:
1. Si 10 p , diverge. 2. Si 1p , converge.
3.2.- CRITERIOS DE CONVERGENCIA DE SERIES.
Criterio del término enésimo para la divergencia.
Dada una serie convergente
1n
na , entonces 0lim
nan
. De forma equivalente, si
0lim
nan
, entonces la serie diverge.
Criterio del cociente.
La serie
1n
na :
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1. Converge si 11lim
n
n
a
a
n
2. Diverge si 11lim
n
n
a
a
n
3. Criterio no concluyente: 11lim
n
n
a
a
n
Ejercicios propuestos.
En los ejercicios siguientes, aplicar el criterio del cociente para determinar la convergencia
o divergencia de la serie.
1.
1 1
11
n nn
2.
1 2cos
n
n
3.
1 1
1
n nn
4.
0 1
1
n n
5.
12 3
2
)1(n n
n 6.
02)12(
1
n n
7.
1
2
nne
n
8.
0 1001
11
nn
9.
1
)910(n
nn
10.
0 12
1
nn
11.
0 13
4
nn
n
12.
1 2
1
nnn
13.
13
2 )(n
nn
14.
1
43)(
n
nn
15.
1 2nn
n
16.
12
2
n
n
n
17.
0 !
1
n n
18.
1 !!
!)2(
n nn
n
19.
1
2
!)2(
)!(
n n
n
20.
0 10
!
nn
n
21.
1
!2
nn
n
n
n
22.
1 3
!
nnn
n
23.
1
cos2
n n
n
24.
0 3
!
nn
n
25.
0 !
4
n
n
n
26.
0 )1(
3
nn
n
n
27.
0 !
2)1(
n
nn
n
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28.
0
1
)12(...5.3.1
!)1(
n
n
n
n
Criterio de la raíz.
La serie
1n
na
1. Converge si 1lim
nna
n
2. Diverge si 1lim
nna
n
3. Criterio no concluyente: 1lim
nna
n
Ejercicios propuestos.
En los ejercicios siguientes, aplicar el criterio de la raíz para determinar la convergencia o
divergencia de la serie.
29.
1
1
nnn
30.
02)12(
1
n n
31.
12
1
n n
e n
32.
1
32)(
n
nn
33.
1 12n
n
n
n
34.
2 1
12
n
n
n
n
35.
2 )(ln
)1(
nn
n
n
36.
1
)12(n
nn n
37.
1 4nn
n
38.
12
11
n
n
nn
39.
2 )(lnnnn
n
Criterio integral.
Si f es continua, positiva y decreciente para 1n y si )(nfan , entonces
1n
na y
1
)( ndnf convergen o divergen simultáneamente.
Nota:
b
ndnfndnfb
11
)()( lim
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Ejercicios propuestos.
En los ejercicios siguientes, aplicar el criterio integral para determinar la convergencia o
divergencia de la serie.
40.
1 1
11
n nn 41.
02)12(
1
n n 42.
0 1
1
n n
43.
021
arctan
n n
n
44.
02
arctan
1n
n
n
e
45.
12
1
n n
e n
46.
1
1
n n 47.
2
3
2 log
11
n nn
48.
12cosh
1
n n
49.
12 3
2
)1(n n
n
50.
1
2
nne
n
51.
1
)910(n
nn
52.
0 12
1
nn
3.3.- RADIO DE CONVERGENCIA E INTERVALO DE CONVERGENCIA.
Convergencia de una serie de potencias.
Dado un valor de x, una serie de potencias es una serie de constantes. Si la serie equivale a
una constante real finita para la x dada, se dice que la serie converge en x. Si no converge
en x, se dice que diverge en x.
Dada una serie de potencias centrada en c, se verifica una de las tres siguientes opciones:
1. La serie sólo converge en cx .
2. La serie converge para todo x ( cx ).
3. Existe un 0R tal que la serie converge para Rcx y diverge para Rcx .
donde R se denomina radio de convergencia y el intervalo que se obtiene es el intervalo de
convergencia.
Intervalo de convergencia de una serie.
Toda serie de potencias tiene un intervalo de convergencia. El intervalo de convergencia,
que es el conjunto de los números para los cuales converge la serie.
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Dada una serie de potencias
0
)(n
n
n cxa , si converge, el intervalo de convergencia de la
serie es RcxRc ó, en forma equivalente ),( RcRcx .
Si R es distinto de cero o bien de , el intervalo de convergencia puede incluir los puntos
extremos Rc y Rc .
Radio de convergencia de una serie.
Todo intervalo de convergencia posee un radio de convergencia R. Para una serie de
potencias de la forma
0
)(n
n
n cxa solo hay tres posibilidades:
i) La serie sólo converge en su centro c. En este caso, 0R .
ii) La serie converge para toda x que satisfaga Rcx , donde 0R . La serie diverge
para Rcx .
iii) La serie converge para toda x. En este caso, R .
Convergencia en un extremo.
Si una serie de potencias converge para Rcx , donde 0R , puede converger o no en
los extremos del intervalo RcxRc .
Los cuatro intervalos de convergencia posibles son:
],[ RcRc : La serie converge en ambos extremos.
),( RcRc : La serie diverge en ambos extremos.
),[ RcRc : La serie converge en Rc y diverge en Rc .
],( RcRc : La serie diverge en Rc y converge en Rc .
Debe hacerse un análisis en Rcx y en Rcx con el objeto de verificar si la serie
converge en los extremos del intervalo. Si convergen en alguno o en ambos extremos, éstos
deben formar parte del intervalo de convergencia.
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Criterio del cociente para series de potencias. Radio de convergencia de una serie.
Dada una serie de potencias
0
)(n
n
n cxa , si La
a
n
n
n
1lim ( L0 ) entonces el radio
de convergencia de la serie es L
R1
, donde 0R si L y R si 0L .
Propiedades de las series de potencias.
- Una serie de potencias define a una función. Para una función dada se puede escribir
...)()()()()( 3
3
2
210
0
cxacxacxaacxaxfn
n
n , cuyo dominio es el
intervalo de convergencia de la serie. Si ésta tiene un radio de convergencia 0R , f es
continua, diferenciable e integrable en el intervalo ),( RcRc . Además )(xf e
xdxf )( se pueden determinar por derivación e integración término a término:
0
12
321 )(...)(3)(2)(n
n
n cxancxacxaaxf
0
13
2
2
101
)(...
3
)(
2
)()(
n
n
nn
cxa
cxa
cxaxaxf
- Series que són idénticas a cero. Si 0)(0
n
n
n cxa , 0R , para todo número real x en
el intervalo de convergencia, entonces 0nc para toda n.
- Aritmética de las series de potencias. Las series de potencias se pueden manipular
mediante las operaciones de suma, multiplicación y división. Los procedimientos son
parecidos al modo en que se suman, multiplican o dividen dos polinomios; esto es, se
suman los coeficientes de las potencias iguales de x, se aplica la propiedad distributiva, se
agrupan los términos semejantes y es válido llevar a cabo la división larga; por ejemplo, si
las series de potencias
0
)()(n
n
n cxaxf y
0
)()(n
n
n cxbxg convergen ambas
cuando Rx , entonces
...)()()()()( 2
221100 xbaxbabaxgxf
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...)()()().( 2
021120011000 xbababaxbababaxgxf
- Analiticidad en un punto. Se dice que una función f es analítica en el punto c si se puede
representar por una serie de potencias en cx , con radio de convergencia positivo. Los
polinomios, así como sus sumas, diferencias, productos y cocientes (salvo en los ceros del
denominador) son analíticos en todas partes.
Ejercicios propuestos.
En cada uno de los ejercicios, determine el radio de convergencia de la serie de potencias
dada.
1.
0
)3(n
nx
2.
0 2n
n
nx
n
3.
0
2
!n
n
n
x
4.
0
2n
nn x
5.
02
)12(
n
n
n
x
6.
0
0 )(
n
n
n
xx
7.
0
2
3
)2()1(
nn
nn xn
8.
0
!
nn
n
n
xn
Intervalo de convergencia.
En los ejercicios siguientes, hallar el intervalo de convergencia de la serie de potencias.
(Asegúrese de incluir un análisis de la convergencia en los puntos terminales del intervalo).
9.
0 2n
nx
10.
1
)1(
n
nn
n
x
11.
0 !n
n
n
x
12.
0 2!)2(
n
nx
n
13.
1
1
4
)1(
nn
nn x
14.
1
1
5
)5()1(
nn
nn
n
x
15.
0
11
1
)1()1(
n
nn
n
x
16.
11
1
3
)3(
nn
nx
17.
1
1)2(1n
nxn
n
18.
0
12
!)12(n
n
n
x 19.
1 !
)1(...4.3.2
n
n
n
xn
20.
1
1
4
)3()14(...11.7.3)1(
nn
nn xn
Capítulo 3. Solución en serie de potencias. Preliminares. Solución en torno a puntos ordinarios.
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3.4.- PUNTOS ORDINARIOS Y PUNTOS SINGULARES.
El caso en que la ecuación diferencial 0)()()( 012 yxayxayxa tiene coeficientes
polinomiales y no tienen factores comunes, un punto 0xx es:
1. Un punto ordinario si 0)( 02 xa .
2. Un punto singular si 0)( 02 xa .
Puntos singulares regulares e irregulares.
En el caso que los coeficientes de 0)()()( 012 yxayxayxa son polinomios sin
factores comunes, se tiene lo siguiente:
Sea 0)( 02 xa . Obtenga )(xP y )(xQ simplificando )(
)(
2
1
xa
xa y
)(
)(
2
0
xa
xa, respectivamente,
hasta que éstas sean fracciones racionales irreducibles.
)(
)()(
2
1
xa
xaxP
)(
)()(
2
0
xa
xaxQ
Si el factor ( 0xx ) es a lo más de primer grado en el denominador de )(xP y a lo más de
segundo grado en el denominador de )(xQ , entonces 0xx es un punto singular regular.
Ejercicios propuestos.
En los ejercicios siguientes determine los puntos singulares de cada ecuación diferencial.
Clasifique cada punto singular como regular o irregular.
1. 034 23 yyxyx 2. 0)3( 2 yxyx
3. 02)3()9( 22 yyxyx 4. 0)1(
113
yx
yx
y
5. 062)4( 3 yyxyxx 6. 0)25(4)5( 222 yxyxyxx
7. 0)2()3()6( 2 yxyxyxx 8. 0)1( 22 yyxx
9. 0)5(7)2(3)2()25( 223 yxyxxyxxx
10. 0)1()3()32( 2223 yxyxxyxxx
11*. 0)1()1(4)1()1( 3224 yxyxxyxxx
Capítulo 3. Solución en serie de potencias. Preliminares. Solución en torno a puntos ordinarios.
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3.5.- SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES EN TORNO A PUNTOS
ORDINARIOS.
Si 0xx es un punto ordinario de la ecuación 0)()()( 012 yxayxayxa , siempre
podemos encontrar dos soluciones distintas en serie de potencias, soluciones que son de la
forma
0
0 )(n
n
n xxay
Una solución en serie converge por lo menos para 10 Rxx , donde 1R es la distancia al
punto singular más cercano.
Las derivadas involucradas son:
1
1
0 )(n
n
n xxany
2
2
0 )()1(n
n
n xxanny
Si 00 x , se tiene:
0n
n
n xay
1
1
n
n
n xany
2
2)1(n
n
n xanny
Por tratarse de una ecuación diferencial de segundo orden, se deben obtener dos soluciones
linealmente independientes. Una primera solución es obtenida al considerar los valores de n
pares,
0
2
21 )(n
n
n xaxy mientras que la segunda solución corresponde a los valores de n
impares,
0
12
122 )(n
n
n xaxy , o viceversa. Es por ello que resulta necesario escribir la
solución general como
0
12
12
0
2
2)(n
n
n
n
n
n xaxaxy donde se muestran sus dos
componentes.
Capítulo 3. Solución en serie de potencias. Preliminares. Solución en torno a puntos ordinarios.
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Una entidad que aparece en la solución de este tipo de problemas es la llamada “fórmula de
recurrencia”, la cual frecuentemente conduce a la determinación del término general de la
sumatoria. Con este término general se debe tener cuidado de indicar a partir de qué
posición comienza a definir la generalidad de la serie, pues se corre el riesgo de incluir
términos que no están definidos por dicho término general, o peor aún, de no incluirlos
cuando en realidad deben estar.
En los ejercicios siguientes, resuelva cada ecuación diferencial como se hizo en los
objetivos previos y luego compare los resultados con las soluciones obtenidas suponiendo
que una solución en serie de potencias es
0n
n
n xay .
1. 0 yy 2. yy 2
3. 02 yxy 4. 03 yxy
5. 0)1( yyx 6. 02)1( yyx
7. 0 yy 8. 0 yy
9. yy 10. 02 yy
Ejemplo 3.1.
Dada la ecuación diferencial 042 yyxy , encuentre dos soluciones en serie de
potencias en torno al punto ordinario 0x que sean linealmente independientes.
Solución.
Determinación de puntos singulares:
Los puntos singulares se obtienen anulando el coeficiente de y (la segunda derivada).
02
x = No existe.
No existen puntos singulares, por lo tanto todos son puntos ordinarios.
Puesto que x = 0 es un punto ordinario, se puede escribir la solución de la ecuación
diferencial en la forma:
0
)(n
n
n xaxy ó
Capítulo 3. Solución en serie de potencias. Preliminares. Solución en torno a puntos ordinarios.
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Las derivadas involucradas son:
Primera derivada:
1
1)(n
n
n xanxy
Segunda derivada:
2
2)1()(n
n
n xannxy
Obsérvese que el límite inferior de la sumatoria para la primera derivada se inicia en 1n ,
pues en caso de iniciar en 0n , el primer término sería nulo. De igual manera, el límite
inferior de la sumatoria para la segunda derivada se inicia en 2n , pues en caso de iniciar
en 0n , el primer término sería nulo al igual que el segundo término ( 1n ).
Siendo la ecuación diferencial 042 yyxy , se tiene que al sustituir tanto )(xy
como )(xy y )(xy en la misma, obtenemos:
04)1(201
1
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n xaxanxxann
04)1(2012
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n xaxanxann
Para igualar los exponentes se recurre a un cambio de variable. En la primera sumatoria
hacemos kn 2 (con el objeto que aparezca como exponente k ) y en la segunda y
tercera sumatoria hacemos kn , apareciendo como exponente k también.
04)12()2(2010
2
k
k
k
k
k
k
k
k
k xaxakxakk
Obsérvese que en la primera sumatoria, el límite inferior cambia, pues kn 2 , y si n
parte de 2 para esta sumatoria, entonces k partirá de cero, mientras que para la segunda y
tercera suma, cuando 1n y 0n , los valores que toma k son 1 y 0 por ser kn , por lo
tanto la segunda y tercera sumatoria tendrán como límite inferior 1 y 0 respectivamente,
esto es, conservan su límite inferior.
Seguidamente se efectúan las simplificaciones a que haya lugar:
04)1()2(2010
2
k
k
k
k
k
k
k
k
k xaxakxakk
Capítulo 3. Solución en serie de potencias. Preliminares. Solución en torno a puntos ordinarios.
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Puesto que las sumatorias deben ser semejantes, se desarrolla en la primera sumatoria el
término correspondiente a 0k , al igual que en la tercera. De esta manera, la primera y
tercera sumatoria tendrán como límite inferior uno, al igual que la segunda. Es importante
mencionar que se deben desarrollar los términos en las sumas con el objeto que todas
tengan como límite inferior el mismo valor, y ese valor será el máximo entre los límites
inferiores.
044)1()2(21.2.21
0
11
22
k
k
k
k
k
k
k
k
k xaaxakxakka
Al agrupar las sumatorias:
04]4)1()2(2[1.2.2 0
1
22
axaakakkak
k
kkk
04])4()1()2(2[1.2.2 0
1
22
axakakkak
k
kk
0])4()1()2(2[41.2.21
202
k
k
kk xakakkaa
Todos los términos del miembro izquierdo de la ecuación deben ser nulos, por lo tanto:
041.2.2 02 aa 021.2.2
4aa 02 aa
0)4()1()2(2 2 kk akakk
Para obtener la fórmula de recurrencia se despeja el término que contenga el máximo
subíndice:
kk akk
ka
)1()2(2
42
1k Ecuación de recurrencia.
Por tratarse de una ecuación diferencial de segundo orden, se deben obtener dos soluciones
linealmente independientes. Una primera solución es obtenida al considerar los valores de k
pares, mientras que la segunda solución corresponde a los valores de k impares, o
viceversa.
Para valores de k pares:
2k
Capítulo 3. Solución en serie de potencias. Preliminares. Solución en torno a puntos ordinarios.
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2223.4.2
2aa
)(3.4.2
204 aa
043.4.2
2aa
4k
4245.6.2
0aa
06 a
6k
6267.8.2
2aa
)0(7.8.2
28 a 08 a
02 ka 3k Término enésimo.
0
1 )(k
k
k xaxy
0
2
21 )(k
k
k xaxy
Se desarrollan los tres primeros términos de la sumatoria solución ( 2,1,0k ), pues a partir
del cuarto ( 3k ) el valor del coeficiente es nulo:
3
2
2
4
4
2
201 )(k
k
k xaxaxaaxy
Al sustituir las constantes conocidas ( 2a y 4a ) y el término enésimo en la ecuación
anterior:
3
24
02
2
001 )0(3.1.4.2.2
4.2
1.2.2
4)(
k
kxxaxaaxy
)1()( 4
1212
01 xxaxy
Para valores de k impares:
1k
1212.3.2
3aa
13
3.2.2
3aa
3k
3234.5.2
1aa
15
2.3.2
3
4.5.2
1aa 125
5.3.4.2.2
)1).(3(aa
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5k
3256.7.2
1aa
127
5.3.4.2.2
)1).(3(
6.7.2
1aa
1377.5.3.6.4.2.2
1).1).(3(aa
Para determinar el término enésimo, debe observarse la alternancia en el signo de los
coeficientes. La existencia de la alternancia implica que los términos de la sumatoria deben
estar multiplicados por un factor de la forma k)1( ó 1)1( k .
Para los subíndices y términos de productos se aplican progresiones aritméticas, sabiendo
que el término enésimo para cualquier progresión aritmética está dado por la ecuación
rkcck )1(0 , donde 0c es el primer término y r es la razón.
Componente Primer término Razón Término enésimo
del componente
Subíndice 3 2 12 k
Numerador –3 2 52 k
Denominador (par) 2 2 k2
Denominador
(impar) 3 2 12 k
Exponente del 2 1 1 k
El término enésimo de los coeficientes de la suma es:
112)12.....(7.5.3).2.....(6.4.2.2
)52).....(1).(1).(3()1( a
kk
ka
k
k
k
Para que el producto de factores impares en el denominador pueda llegar hasta 12 k , debe
pasar por 52 k , por lo cual se copian los términos precedentes a 12 k . Simultáneamente
el producto )2...(6.4.2 k se escribe como kk ...3.2.1.2 .
112)12()12()32()52.....(7.5.3......3.2.12.2
)52).....(1).(1).(3()1( a
kkkkk
ka
kk
k
k
La simplificación de términos conduce a:
1212)12()12()32!.(2
)1).(3()1( a
kkkka
k
k
k
Donde kkk 222.2 y además !...3.2.1 kk .
Capítulo 3. Solución en serie de potencias. Preliminares. Solución en torno a puntos ordinarios.
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12212)14()32!.(2
3)1( a
kkka
k
k
k
1k Término enésimo.
0
2 )(k
k
k xaxy
0
12
122 )(k
k
k xaxy
La ecuación del término enésimo está definida para 1k , por lo tanto, se desarrolla el
primer término de la sumatoria:
1
12
1212 )(k
k
k xaxaxy
Al sustituir el término enésimo en la sumatoria:
1
12
12212)14()32!.(2
3)1()(
k
k
k
k xakkk
xaxy
122
12
112)14()32!.(2
)1(3)(
kk
kk
kkk
xaxaxy
Ahora, se verifica si el término xa1 es obtenido a partir de la sumatoria, con el objeto de
insertarlo en la misma. Vemos que efectivamente, cuando 0k , el argumento de la
sumatoria se reduce a xa1 . La solución entonces se puede escribir como:
022
12
12)14()32!.(2
)1(3)(
kk
kk
kkk
xaxy
Solución general de la ecuación diferencial:
)()()( 21 xyxyxy
022
12
1
4
1212
0)14()32!.(2
)1(3)1(
kk
kk
kkk
xaxxay
En este ejemplo se ha ilustrado la situación en la cual una de las soluciones está truncada
debido a que a partir de un término dado (el tercero en este caso) el valor de los coeficientes
en los términos de la sumatoria es nulo. Se trata de un caso particular y no existe una forma
generalizada de predecir tal comportamiento a partir de la ecuación diferencial. No
Capítulo 3. Solución en serie de potencias. Preliminares. Solución en torno a puntos ordinarios.
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obstante, siempre que la ecuación de recurrencia tenga en el numerador una forma pk ,
donde p es un entero positivo, entonces la solución correspondiente de la ecuación
diferencial ha de estar truncada. Es posible que las dos soluciones estén truncadas.
Ejemplo 3.2.
Dada la ecuación diferencial 046)4( 2 yyxyx , encuentre dos soluciones en serie
de potencias en torno al punto ordinario 0x que sean linealmente independientes.
Solución.
Determinación de puntos singulares:
Los puntos singulares se obtienen anulando el coeficiente de y (la segunda derivada).
042 x
x = No existe.
No existen puntos singulares, por lo tanto todos son puntos ordinarios.
Puesto que x = 0 es un punto ordinario, se puede escribir la solución de la ecuación
diferencial en la forma:
0
)(n
n
n xaxy
Las derivadas involucradas son:
Primera derivada:
1
1)(n
n
n xanxy
Segunda derivada:
2
2)1()(n
n
n xannxy
Obsérvese que el límite inferior de la sumatoria para la primera derivada se inicia en 1n ,
pues en caso de iniciar en 0n , el primer término sería nulo. De igual manera, el límite
inferior de la sumatoria para la segunda derivada se inicia en 2n , pues en caso de iniciar
en 0n , el primer término sería nulo al igual que el segundo término ( 1n ).
Siendo la ecuación diferencial 046)4( 2 yyxyx , se tiene que al sustituir tanto
)(xy como )(xy y )(xy en la misma, obtenemos:
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046)1()4(01
1
2
22
n
n
n
n
n
n
n
n
n xaxanxxannx
046)1(4)1(012
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n xaxanxannxann
Para igualar los exponentes se recurre a un cambio de variable. En la primera sumatoria
hacemos kn (con el objeto que aparezca como exponente k ) así como en la tercera y la
cuarta sumatoria y en la segunda sumatoria hacemos kn 2 , apareciendo como
exponente k también.
046)12()2(4)1(010
2
2
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k xaxakxakkxakk
Obsérvese que en la segunda sumatoria, el límite inferior cambia, pues kn 2 , y si n
parte de 2 para esta sumatoria, entonces k partirá de cero, mientras que para la primera,
tercera y cuarta sumatoria, cuando 2n , 1n y 0n , los valores que toma k son 2, 1 y
0 por ser kn , por lo tanto la primera, tercera y cuarta sumatoria tendrán como límite
inferior 2, 1 y 0 respectivamente, esto es, conservan su límite inferior.
Seguidamente se efectúan las simplificaciones a que haya lugar:
046)1()2(4)1(010
2
2
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k xaxakxakkxakk
Puesto que las sumatorias deben ser semejantes, se desarrolla en la segunda sumatoria el
término correspondiente a 0k y a 1k , al igual que en la cuarta, mientras que en la
tercera sólo se desarrolla el término correspondiente a 1k . De esta manera, la segunda,
tercera y cuarta sumatoria tendrán como límite inferior 2, al igual que la primera. Es
importante mencionar que se deben desarrollar los términos en las sumas con el objeto que
todas tengan como límite inferior el mismo valor, y ese valor será el máximo entre los
límites inferiores.
044466)1()2(42.3.41.2.4)1(2
10
2
1
2
232
2
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k xaxaaxakxaxakkxaaxakk
Al agrupar las sumatorias:
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04462.3.41.2.4]46)1()2(4)1([ 10132
2
2
xaaxaxaaxaakakkakkk
k
kkkk
04462.3.41.2.4})1()2(4]46)1({[ 10132
2
2
xaaxaxaaxakkakkkk
k
kk
0)102.3.4()41.2.4(})1()2(4]46)1({[ 1302
2
2
xaaaaxakkakkkk
k
kk
Todos los términos del miembro izquierdo de la ecuación deben ser nulos, por lo tanto:
041.2.4 02 aa 1.2.4
4 02
aa
022
1aa
0102.3.4 13 aa 2.3.4
10 13
aa
3.2
52
13
aa
0)1()2(4]46)1([ 2 kk akkakkk
Para obtener la fórmula de recurrencia se despeja el término que contenga el máximo
subíndice:
kk akk
kkka
)1()2(4
46)1(2
Al desarrollar la ecuación anterior:
kk akk
kkka
)1()2(4
462
2
kk akk
kka
)1()2(4
452
2
La factorización conduce a la siguiente expresión:
kk akk
kka
)1()2(4
)4()1(2
La cual al ser simplificada da como resultado:
Capítulo 3. Solución en serie de potencias. Preliminares. Solución en torno a puntos ordinarios.
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kk ak
ka
)2(2
422
2k Ecuación de recurrencia.
Por tratarse de una ecuación diferencial de segundo orden, se deben obtener dos soluciones
linealmente independientes. Una primera solución es obtenida al considerar los valores de k
pares, mientras que la segunda solución corresponde a los valores de k impares, o
viceversa.
Para valores de k pares:
2k
2222]2)2[(2
4)2(aa
024
2
1
4.2
6aa
0244.2.2
6aa
4k
4224]2)4[(2
4)4(aa
0226
4.2.2
6
6.2
8aa
0466.4.2.2
8.6aa
6k
6226]2)6[(2
4)6(aa
0428
6.4.2.2
8.6
8.2
10aa 068
8.6.4.2.2
10.8.6aa
Para determinar el término enésimo, debe observarse la alternancia en el signo de los
coeficientes. La existencia de la alternancia implica que los términos de la sumatoria deben
estar multiplicados por un factor de la forma k)1( ó 1)1( k .
Para los subíndices y términos de productos se aplican progresiones aritméticas, sabiendo
que el término enésimo para cualquier progresión aritmética está dado por la ecuación
rkcck )1(0 , donde 0c es el primer término y r es la razón.
Componente Primer término Razón Término enésimo
del componente
Subíndice 4 2 22 k
Numerador 6 2 42 k
Denominador (par) 4 2 22 k
Exponente del 2 2 2 k2
El término enésimo de los coeficientes de la suma es:
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02
1
22)22.....(8.6.4.2.2
)42.....(10.8.6)1( a
k
ka
k
k
k
1k Término enésimo.
Para que el producto de factores en el numerador pueda llegar hasta 42 k , debe pasar por
22 k , por lo cual se copian los términos precedentes a 42 k .
02
1
22)22.....(8.6.4.2.2
)42).(22.....(10.8.6)1( a
k
kka
k
k
k
02
1
224.2.2
)42()1( a
ka
k
k
k
02
1
224.2.2
)2(2)1( a
ka
k
k
k
La simplificación conduce a:
02
1
224.2
)2()1( a
ka
k
k
k
Finalmente, siendo 22222 22.24.2 kkk , se tiene:
022
1
222
2)1( a
ka
k
k
k
0)1(2
1
)1(22
1)1()1( a
ka
k
k
k
En este punto podemos tomar:
0222
1)1( a
ka
k
k
k
2k Término enésimo.
0
1 )(n
n
n xaxy
0
2
21 )(k
k
k xaxy
La ecuación del término enésimo está definida para 2k , por lo tanto, se desarrolla el
primero y segundo términos de la sumatoria:
2
2
2
2
201 )(k
k
k xaxaaxy
Capítulo 3. Solución en serie de potencias. Preliminares. Solución en torno a puntos ordinarios.
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2
2
02
2
2012
1)1()(
k
k
k
k xak
xaaxy
Al sustituir la constante conocida (2a ) y el término enésimo en la ecuación anterior:
2
2
02
2
021
012
1)1()()(
k
k
k
k xak
xaaxy
2
2
02
2
021
012
1)1()(
k
k
k
k xak
xaaxy
Ahora, se verifica si los términos 2
021 xa y 0a son obtenidos a partir de la sumatoria, con
el objeto de insertarlos en la misma. Vemos que efectivamente, cuando 1k , el argumento
de la sumatoria se reduce a 2
021 xa , mientras que cuando 0k , el argumento de la
sumatoria se reduce a 0a . La solución entonces se puede escribir como:
02
2
012
)1()1()(
kk
kk xkaxy
Para valores de k impares:
3k
3223]2)3[(2
4)3(aa
1225
3.2
5
5.2
7aa 145
5.3.2
7.5aa
5k
5225]2)5[(2
4)5(aa
1427
5.3.2
7.5
7.2
9aa 167
7.5.3.2
9.7.5aa
Para determinar el término enésimo, debe observarse la alternancia en el signo de los
coeficientes. La existencia de la alternancia implica que los términos de la sumatoria deben
estar multiplicados por un factor de la forma k)1( ó 1)1( k .
Para los subíndices y términos de productos se aplican progresiones aritméticas, sabiendo
que el término enésimo para cualquier progresión aritmética está dado por la ecuación
rkcck )1(0 , donde 0c es el primer término y r es la razón.
Componente Primer término Razón Término enésimo
del componente
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Subíndice 5 2 32 k
Numerador 7 2 52 k
Denominador 5 2 32 k
Exponente del 2 4 2 22 k
El término enésimo de los coeficientes de la suma es:
122
1
32)32.....(7.5.3.2
)52.....(9.7.5)1( a
k
ka
k
k
k
1k Término enésimo.
Para que el producto de factores impares en el numerador pueda llegar hasta 52 k , debe
pasar por 32 k , por lo cual se copian los términos precedentes a 52 k .
122
1
32)32.....(7.5.3.2
)52()32.....(9.7.5)1( a
k
kka
k
k
k
122
1
323.2
)52()1( a
ka
k
k
k
122
1
323.2
52)1( a
ka
k
k
k
1)1(2
)1(
1)1(23.2
3)1(2)1( a
ka
k
k
k
En este punto podemos tomar:
12123.2
32)1( a
ka
k
k
k
2k Ecuación de recurrencia.
0
2 )(n
n
n xaxy
0
12
122 )(k
k
k xaxy
La ecuación del término enésimo está definida para 2k , por lo tanto, se desarrolla el
primero y segundo términos de la sumatoria:
2
12
12
3
312 )(k
k
k xaxaxaxy
Al sustituir la constante conocida (3a ) y el término enésimo en la ecuación anterior:
Capítulo 3. Solución en serie de potencias. Preliminares. Solución en torno a puntos ordinarios.
Matemática IV. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 29
2
12
12
3
13.2
512
2.3
32)1()()( 2
k
k
k
k xak
xaxaxy
2
12
12
3
13.2
512
2.3
32)1()( 2
k
k
k
k xak
xaxaxy
Ahora, se verifica si los términos 3
13.2
52 xa y xa1 son obtenidos a partir de la sumatoria,
con el objeto de insertarlos en la misma. Vemos que efectivamente, cuando 1k , el
argumento de la sumatoria se reduce a 3
13.2
52 xa , mientras que cuando 0k , el argumento
de la sumatoria se reduce a xa1 . La solución entonces se puede escribir como:
02
12
122.3
)32()1()(
kk
kk xkaxy
Solución general de la ecuación diferencial:
)()()( 21 xyxyxy
02
12
1
02
2
02.3
)32()1(
2
)1()1(
kk
kk
kk
kk xka
xkay
Ejemplo 3.3.
[DZ, FA] Dada la ecuación diferencial 0)1( 2 yyxyx , encuentre dos soluciones
en serie de potencias en torno al punto ordinario 0x que sean linealmente
independientes.
Solución.
Determinación de puntos singulares:
Los puntos singulares se obtienen anulando el coeficiente de y (la segunda derivada).
012 x
x = No existe.
No existen puntos singulares, por lo tanto todos son puntos ordinarios.
Puesto que x = 0 es un punto ordinario, se puede escribir la solución de la ecuación
diferencial en la forma:
Capítulo 3. Solución en serie de potencias. Preliminares. Solución en torno a puntos ordinarios.
Matemática IV. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 30
0
)(n
n
n xaxy
Las derivadas involucradas son:
Primera derivada:
1
1)(n
n
n xanxy
Segunda derivada:
2
2)1()(n
n
n xannxy
Obsérvese que el límite inferior de la sumatoria para la primera derivada se inicia en 1n ,
pues en caso de iniciar en 0n , el primer término sería nulo. De igual manera, el límite
inferior de la sumatoria para la segunda derivada se inicia en 2n , pues en caso de iniciar
en 0n , el primer término sería nulo al igual que el segundo término ( 1n ).
Siendo la ecuación diferencial 0)1( 2 yyxyx , se tiene que al sustituir tanto )(xy
como )(xy y )(xy en la misma, obtenemos:
0)1()1(01
1
2
22
n
n
n
n
n
n
n
n
n xaxanxxannx
0)1()1(012
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n xaxanxannxann
Para igualar los exponentes se recurre a un cambio de variable. En la primera sumatoria
hacemos kn (con el objeto que aparezca como exponente k ) así como en la tercera y la
cuarta sumatoria y en la segunda sumatoria hacemos kn 2 , apareciendo como
exponente k también.
0)12()2()1(010
2
2
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k xaxakxakkxakk
Obsérvese que en la segunda sumatoria, el límite inferior cambia, pues kn 2 , y si n
parte de 2 para esta sumatoria, entonces k partirá de cero, mientras que para la primera,
tercera y cuarta sumatoria, cuando 2n , 1n y 0n , los valores que toma k son 2, 1 y
0 por ser kn , por lo tanto la primera, tercera y cuarta sumatoria tendrán como límite
inferior 2, 1 y 0 respectivamente, esto es, conservan su límite inferior.
Capítulo 3. Solución en serie de potencias. Preliminares. Solución en torno a puntos ordinarios.
Matemática IV. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 31
Seguidamente se efectúan las simplificaciones a que haya lugar:
0)1()2()1(010
2
2
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k xaxakxakkxakk
Puesto que las sumatorias deben ser semejantes, se desarrolla en la segunda sumatoria el
término correspondiente a 0k y a 1k , al igual que en la cuarta, mientras que en la
tercera sólo se desarrolla el término correspondiente a 1k . De esta manera, la segunda,
tercera y cuarta sumatoria tendrán como límite inferior 2, al igual que la primera. Es
importante mencionar que se deben desarrollar los términos en las sumas con el objeto que
todas tengan como límite inferior el mismo valor, y ese valor será el máximo entre los
límites inferiores.
0)1()2(2.31.2)1(2
10
2
1
2
232
2
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k xaxaaxakxaxakkxaaxakk
Al agrupar las sumatorias y términos semejantes:
02.31.2])1()2()1([ 032
2
2
axaaxaakakkakkk
k
kkkk
02.31.2})1()2(]1)1({[ 032
2
2
axaaxakkakkkk
k
kk
02.3)1.2(})1()2(]1)1({[ 302
2
2
xaaaxakkakkkk
k
kk
Todos los términos del miembro izquierdo de la ecuación deben ser nulos, por lo tanto:
01.2 02 aa 2
02
aa
02.3 3 a 03 a
0)1()2(]1)1([ 2 kk akkakkk
Para obtener la fórmula de recurrencia se despeja el término que contenga el máximo
subíndice:
kk akk
kkka
)1()2(
1)1(2
Capítulo 3. Solución en serie de potencias. Preliminares. Solución en torno a puntos ordinarios.
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Al desarrollar la ecuación anterior:
kk akk
kkka
)1()2(
12
2
kk akk
ka
)1()2(
12
2
La factorización conduce a la siguiente expresión:
kk akk
kka
)1()2(
)1()1(2
La cual al ser simplificada da como resultado:
kk ak
ka
2
12
2k Ecuación de recurrencia.
Por tratarse de una ecuación diferencial de segundo orden, se deben obtener dos soluciones
linealmente independientes. Una primera solución es obtenida al considerar los valores de k
pares, mientras que la segunda solución corresponde a los valores de k impares, o
viceversa.
Para valores de k pares:
2k
2222)2(
1)2(aa
04
2
1
4
1aa 04
4.2
1aa
4k
4242)4(
1)4(aa
06
2.4
1
6
3aa 06
6.4.2
3.1aa
6k
6262)6(
1)6(aa
08
6.4.2
3.1
8
5aa 08
8.6.4.2
5.3.1aa
Para determinar el término enésimo, debe observarse la alternancia en el signo de los
coeficientes. La existencia de la alternancia implica que los términos de la sumatoria deben
estar multiplicados por un factor de la forma k)1( ó 1)1( k .
Capítulo 3. Solución en serie de potencias. Preliminares. Solución en torno a puntos ordinarios.
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Para los subíndices y términos de productos se aplican progresiones aritméticas, sabiendo
que el término enésimo para cualquier progresión aritmética está dado por la ecuación
rkcck )1(0 , donde 0c es el primer término y r es la razón.
Componente Primer término Razón Término enésimo
del componente
Subíndice 4 2 22 k
Numerador 1 2 12 k
Denominador 4 2 22 k
El término enésimo de los coeficientes de la suma es:
0
1
22)22.....(8.6.4.2
)12.....(5.3.1)1( a
k
ka k
k
1k Término enésimo.
0
1
)1(2)1.(2.....8.6.4.2
)2122.....(5.3.1)1( a
k
ka k
k
0
1
)1(2)1.(2.....8.6.4.2
]3)1(2.....[5.3.1)1( a
k
ka k
k
En este punto podemos tomar:
022.....8.6.4.2
)32.....(5.3.1)1( a
k
ka k
k
02.....3.2.1.2
)32.....(5.3.1)1( a
k
ka
k
k
k
02!.2
)32.....(5.3.1)1( a
k
ka
k
k
k
2k Término enésimo.
0
1 )(n
n
n xaxy
0
2
21 )(k
k
k xaxy
La ecuación del término enésimo está definida para 2k , por lo tanto, se desarrolla el
primero y segundo términos de la sumatoria:
2
2
2
2
201 )(k
k
k xaxaaxy
Capítulo 3. Solución en serie de potencias. Preliminares. Solución en torno a puntos ordinarios.
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2
2
0
2
201!.2
)32.....(5.3.1)1()(
k
k
k
k xak
kxaaxy
Al sustituir la constante conocida (2a ) y el término enésimo en la ecuación anterior:
2
2
0
2
021
01!.2
)32.....(5.3.1)1()()(
k
k
k
k xak
kxaaxy
2
2
0
2
021
01!.2
)32.....(5.3.1)1()(
k
k
k
k xak
kxaaxy
Puesto que existen productos sucesivos en el argumento de la sumatoria (1.3.5…..) no se
debe verificar si los términos precedentes (2
021 xa y 0a ) son obtenidos a partir de ella, pues
no es viable insertarlos en la misma. La solución entonces se puede escribir como:
2
22
21
01!.2
)32.....(5.3.1)1(1)(
kk
kk
k
xkxaxy
Para valores de k impares:
3k
3232)3(
1)3(aa
)0(
5
25 a 05 a
5k
5252)5(
1)5(aa
)0(
7
47 a 07 a
012 ka 2k Término enésimo.
0
2 )(n
n
n xaxy
0
12
122 )(k
k
k xaxy
La ecuación del término enésimo está definida para 2k , por lo tanto, se desarrolla el
primero y segundo términos de la sumatoria:
2
12
12
3
312 )(k
k
k xaxaxaxy
Capítulo 3. Solución en serie de potencias. Preliminares. Solución en torno a puntos ordinarios.
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Al sustituir la constante conocida (3a ) y el término enésimo en la ecuación anterior:
2
123
12 )0()0()(k
kxxxaxy
xaxy 12 )(
Solución general de la ecuación diferencial:
)()()( 21 xyxyxy
xak
xkxay
kk
kk
1
2
22
21
0!.2
)32.....(5.3.1)1(1
Ejemplo 3.4.
[DZ] Dada la ecuación diferencial 02 yxy , encuentre dos soluciones en serie de
potencias en torno al punto ordinario 0x que sean linealmente independientes.
Solución.
Determinación de puntos singulares:
Los puntos singulares se obtienen anulando el coeficiente de y (la segunda derivada).
01
x = No existe.
No existen puntos singulares, por lo tanto todos son puntos ordinarios.
Puesto que x = 0 es un punto ordinario, se puede escribir la solución de la ecuación
diferencial en la forma:
0
)(n
n
n xaxy
Las derivadas involucradas son:
Primera derivada:
1
1)(n
n
n xanxy
Segunda derivada:
2
2)1()(n
n
n xannxy
Obsérvese que el límite inferior de la sumatoria para la primera derivada se inicia en 1n ,
pues en caso de iniciar en 0n , el primer término sería nulo. De igual manera, el límite
Capítulo 3. Solución en serie de potencias. Preliminares. Solución en torno a puntos ordinarios.
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inferior de la sumatoria para la segunda derivada se inicia en 2n , pues en caso de iniciar
en 0n , el primer término sería nulo al igual que el segundo término ( 1n ).
Siendo la ecuación diferencial 02 yxy , se tiene que al sustituir tanto )(xy como
)(xy y )(xy en la misma, obtenemos:
02)1(02
2
n
n
n
n
n
n xaxxann
02)1(0
1
2
2
n
n
n
n
n
n xaxann
Para igualar los exponentes se recurre a un cambio de variable. En la primera sumatoria
hacemos kn 2 (con el objeto que aparezca como exponente k ) y en la segunda
sumatoria hacemos kn 1 , apareciendo como exponente k también.
02)12()2(1
1
0
2
k
k
k
k
k
k xaxakk
Obsérvese que en la segunda sumatoria, el límite inferior cambia, pues kn 2 , y si n
parte de 2 para esta sumatoria, entonces k partirá de cero, mientras que para la segunda
sumatoria, cuando 0n , el valor que toma k es 1 por ser kn 1 , por lo tanto la segunda
sumatoria tendrá como límite inferior 1 en lugar de 0.
Seguidamente se efectúan las simplificaciones a que haya lugar:
02)1()2(1
1
0
2
k
k
k
k
k
k xaxakk
Puesto que las sumatorias deben ser semejantes, se desarrolla en la primera sumatoria el
término correspondiente a 0k . De esta manera, la primera sumatoria tendrá como límite
inferior 1, al igual que la segunda. Es importante mencionar que se deben desarrollar los
términos en las sumas con el objeto que todas tengan como límite inferior el mismo valor, y
ese valor será el máximo entre los límites inferiores.
02)1()2(.1.21
1
1
22
k
k
k
k
k
k xaxakka
Al agrupar las sumatorias:
Capítulo 3. Solución en serie de potencias. Preliminares. Solución en torno a puntos ordinarios.
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0]2)1()2[(.1.21
122
k
k
kk xaakka
Todos los términos del miembro izquierdo de la ecuación deben ser nulos, por lo tanto:
01.2 2 a 02 a
02)1()2( 12 kk aakk
Para obtener la fórmula de recurrencia se despeja el término que contenga el máximo
subíndice:
12)1()2(
2
kk a
kka 1k Ecuación de recurrencia.
Por tratarse de una ecuación diferencial de segundo orden, se deben obtener dos soluciones
linealmente independientes. Una primera solución es obtenida al considerar los coeficientes
que dependen de 0a , mientras que la segunda solución corresponde a los coeficientes que
dependen de 1a , o viceversa.
1k
1121]1)1[(]2)1[(
2
aa 03
2.3
2aa
2k
1222]1)2[(]2)2[(
2
aa 14
3.4
2aa
3k
1323]1)3[(]2)3[(
2
aa 25
4.5
2aa )0(
4.5
25 a 05 a
4k
1424]1)4[(]2)4[(
2
aa 36
5.6
2aa
06
2.3
2
5.6
2aa 0
2
65.2.6.3
2aa
5k
1525]1)5[(]2)5[(
2
aa 47
6.7
2aa
17
3.4
2
6.7
2aa 1
2
76.3.7.4
2aa
Capítulo 3. Solución en serie de potencias. Preliminares. Solución en torno a puntos ordinarios.
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6k
1626]1)6[(]2)6[(
2
aa 58
7.8
2aa )0(
7.8
28 a 08 a
En este punto podemos discriminar los términos de la forma siguiente:
Los que dependen de 0a Los que dependen de 1a
032.3
2aa
14
3.4
2aa
0
2
65.2.6.3
2aa
1
2
76.3.7.4
2aa
Debe observarse que no existe alternancia en el signo de los coeficientes.
Para los subíndices y términos de productos se aplican progresiones aritméticas, sabiendo
que el término enésimo para cualquier progresión aritmética está dado por la ecuación
rkcck )1(0 , donde 0c es el primer término y r es la razón.
Para los términos dependientes de 0a :
Componente Primer término Razón Término enésimo
del componente
Subíndice 3 3 k3
Exponente del 2 1 1 k
Denominador 3 3 k3
Denominador 2 3 13 k
El término enésimo de los coeficientes de la suma es:
03)13.....(11.8.5.2).3.....(12.9.6.3
2a
kka
k
k
03)13.....(11.8.5.2!..3
2a
kka
k
k
k
032
3)13.....(11.8.5.2!.
)(a
kka
k
k
1k Término enésimo.
0
1 )(n
n
n xaxy
Capítulo 3. Solución en serie de potencias. Preliminares. Solución en torno a puntos ordinarios.
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0
3
31 )(k
k
k xaxy
La ecuación del término enésimo está definida para 1k , por lo tanto, se desarrolla el
primer término de la sumatoria:
1
3
301 )(k
k
k xaaxy
1
3
032
01)13.....(11.8.5.2!.
)()(
k
kk
xakk
axy
1
3
32
01)13.....(11.8.5.2!.
)(1)(
k
kk
kk
xaxy
Para los términos dependientes de 1a :
Componente Primer término Razón Término enésimo
del componente
Subíndice 4 3 13 k
Exponente del 2 1 1 k
Denominador 4 3 13 k
Denominador 3 3 k3
El término enésimo de los coeficientes de la suma es:
113)3.....(12.9.6.3).13.....(13.10.7.4
2a
kka
k
k
113!.3).13.....(13.10.7.4
2a
kka
k
k
k
132
13!).13.....(13.10.7.4
)(a
kka
k
k
1k Término enésimo.
0
2 )(n
n
n xaxy
0
13
132 )(k
k
k xaxy
Capítulo 3. Solución en serie de potencias. Preliminares. Solución en torno a puntos ordinarios.
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La ecuación del término enésimo está definida para 1k , por lo tanto, se desarrolla el
primer término de la sumatoria:
1
13
1312 )(k
k
k xaaxy
1
13
132
12!).13.....(13.10.7.4
)()(
k
kk
xakk
axy
1
1332
12!).13.....(13.10.7.4
)(1)(
k
kk
xkk
axy
Solución general de la ecuación diferencial:
)()()( 21 xyxyxy
1
13
32
1
1
3
32
0!).13.....(13.10.7.4
)(1
)13.....(11.8.5.2!.
)(1
k
kk
k
kk
kk
xa
kk
xay
Ejercicios propuestos.
En los ejercicios siguientes, encuentre para cada ecuación diferencial dos soluciones en
serie de potencias en torno al punto ordinario 0x (a menos que se diga otra cosa) que
sean linealmente independientes.
11. 02 yxy 12. 052 yyxy
13. 033 yyxy 14. 022 yyxy
15. 042 yyxy 16*. 046)4( 2 yyxyx
17. 083)4( 2 yyxyx 18. 0122)4( 2 yyxyx
19. 064)1( 2 yyxyx [Sugerencia: Compare con el ejercicio 13 de la sección 2.3]
20. 02010)1( 2 yyxyx
21. 033)21( 2 yyxyx 22*. 035)21( 2 yyxyx
23*. 0713)31( 2 yyxyx 24. 08)41( 2 yyx
25*. 018)91( 2 yyx 26. 033)9( 2 yyxyx
27. 046)41( 2 yyxyx
Capítulo 3. Solución en serie de potencias. Preliminares. Solución en torno a puntos ordinarios.
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28. 0)2( yxy Resuélvase alrededor de 2x .
29. 06)1(4)22( 2 yyxyxx Resuélvase alrededor de 1x .
30. 03)3(2 yyxy Resuélvase alrededor de 3x .
31. 23 xyyxy 32.
4xyxy
33. 0352 yyxyxy
Capítulo 3. Solución en serie de potencias. Preliminares. Solución en torno a puntos ordinarios.
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RESPUESTA A LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS.
3.1.- SERIE DE TAYLOR Y SERIE DE MCLAURIN.
Serie de Taylor.
1. )1(1 x , R 2. 2)1()1(21 xx , R
3.
0
1 )2()1(n
nn x , 1R 4.
0
1)1(1
)1(
n
nn
xn
Serie de McLaurin.
5.
0 !n
n
n
x, R 6.
0
1
!n
n
n
x, R
7.
0
12
!)12(
)1(
n
nn
n
x, R 8.
0
)1(n
nn x , 1R
9.
0n
nx , 1R
3.2.- CRITERIOS DE CONVERGENCIA DE SERIES.
Criterio del cociente.
1. No concluyente. 2. Diverge. 3. No concluyente.
4. No concluyente. 5. No concluyente. 6. No concluyente.
7. Converge. 8. Diverge. 9. Converge.
10. Converge. 11. Diverge. 12. Converge.
13. Converge. 14. Converge. 15. Converge.
16. Diverge. 17. Converge. 18. Diverge.
19. Converge. 20. Diverge. 21. Diverge.
22. Diverge. 23. Diverge. 24. Diverge.
25. Converge 26. Converge. 27. Converge.
28. Converge.
Criterio de la raíz.
29. Converge. 30. No concluyente. 31. No concluyente.
32. Converge. 33. Converge. 34. Diverge.
35. Converge. 36. Diverge. 37. Converge.
38. Converge. 39. Converge.
Criterio integral.
40. Converge. 41. Converge. 42. Diverge.
43. Converge. 44. Converge. 45. Converge.
46. Diverge. 47. Converge. 48. Converge.
49. No satisface las condiciones.
3.3.- RADIO DE CONVERGENCIA E INTERVALO DE CONVERGENCIA.
Radio de convergencia.
1. 1R 2. 2R 3. R 4.
21R 5.
21R 6. 1R
7. 3R 8. eR
Capítulo 3. Solución en serie de potencias. Preliminares. Solución en torno a puntos ordinarios.
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Intervalo de convergencia.
9. )2,2( 10. ]1,1( 11. ),(
12. 0x 13. )4,4( 14. ]10,0(
15. ]2,0( 16. )6,0( 17. ),(21
21
18. ),( 19. )1,1( 20. 3x 3.4.- PUNTOS ORDINARIOS Y PUNTOS SINGULARES.
1. 0x , punto singular irregular.
2. 0x , punto singular regular; 3x , punto singular regular
3. 3x , punto singular regular; 3x , punto singular irregular.
4. 0x , punto singular regular; 1x , punto singular irregular.
5. 0x , punto singular regular; ix 2 , punto singular regular; ix 2 , punto singular
regular.
6. 0x , punto singular regular; 5x , punto singular irregular; 5x , punto singular
irregular.
7. 3x , punto singular regular; 2x , punto singular regular.
8. 0x , punto singular regular; ix , punto singular irregular; ix , punto singular
irregular.
9. 0x , punto singular irregular; 5x , punto singular regular; 5x , punto singular
regular; 2x , punto singular regular.
10. 0x , punto singular regular; 3x , punto singular regular; 1x , punto singular
irregular.
11. 0x , punto singular irregular; 1x , punto singular regular; ix , punto singular
regular; ix , punto singular regular.
3.5.- SOLUCIONES EN TORNO A PUNTOS ORDINARIOS.
1. xeCy ,
0
0!
)1(
n
nn
xn
cy
3. 3
3
1 xeCy ,
0
3
03!
1
n
n
x
ncy
5. x
Cy
1,
0
0
n
nxcy
7. xCxCy sen cos 21 ,
0
12
1
0
2
0!)12(
)1(
!)2(
)1(
n
nn
n
nn
xn
cxn
cy
9. xeCCy 21 , x
n
n
n
n
ecccn
xccc
n
xccy 110
0
110
1
10!!
11.
12
14
1
12
4
0)14.....(13.9.5!2
)1(
)14.....(11.7.3!2
)1(1
nn
nn
nn
nn
nn
xxa
nn
xay ; válida
para toda x finita.
Capítulo 3. Solución en serie de potencias. Preliminares. Solución en torno a puntos ordinarios.
Matemática IV. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 44
12.
1
12
1
1
2
0!)12(
)34...(15.11.7)1(
!)2(
)14...(13.9.5)1(1
n
nn
n
nn
n
xnxa
n
xnay ;
válida para toda x finita.
13.
1
12
1
1
2
0)12.....(7.5.3
)3(
!2
)3(1
n
nn
nn
nn
n
xxa
n
xay ; válida para toda x finita.
14.
1
12
1
1
2
0)12.....(7.5.3
2
)22...(8.6.4
21
n
nn
n
nn
n
xxa
n
xay
15.
02
12
1
4
1212
0)12()12()32(!2
)1(3)1(
nn
nn
nnnn
xaxxay ; válida para toda x finita.
16*.
12
12
1
12
2
02.3
)32()1(
2
)1()1(1
nn
nn
nn
nn xnxa
xnay ; válida para 2x .
18. )()32()12(2
)1()1(31 3
125
1
12
2
0 xxann
xnay
nn
nn
; válida para 2x .
19. )()31( 3
31
1
2
0 xxaxay ; válida para toda x finita.
20.
0
12
161
0
2
031 )32()2()1()1()32()12()1()1(
n
nn
n
nn xnnnaxnnnay ; válida
para 1x .
21. xann
xnay
nn
nn
1
1
21
0!)12(2
)14.....(11.7.3)1(1
; válida para 2
1x .
22*. )()12()32(!2
)54...(7.3).1()1(31 3
31
1
1
2
0 xxannn
xnay
nn
nn
; válida para 2
1x .
24.
02
1221
1
2
014
2)1()41(
n
nnn
n
xaxay ; válida para
21x .
25.
02
121
1
2
014
9)1()91(
n
nnn
n
xaxay
26. xann
xnay
nn
n
1
1
2
0!)12(18
)12(...7.5.31
; válida para 3x .
27.
12
12
1
2
0)14(!
)34(...9.5.1)21(
n
n
nn
xnxaxay ; válida para
21x .
28.
1
13
1
1
3
0)13...(10.7.4!3
)2()1()2(
)13...(8.5.2!3
)2()1(1
nn
nn
nn
nn
nn
xxa
nn
xay ; válida para
toda x finita.
Capítulo 3. Solución en serie de potencias. Preliminares. Solución en torno a puntos ordinarios.
Matemática IV. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 45
30.
1
12
1
1
2
0!)12(
)3()14...(13.9.5)3(
!)2(
)3()14...(11.7.31
n
n
n
n
n
xnxa
n
xnay ;
válida para toda x finita.
31.
0
12
1
0
2
0
2
5
1
15
2
)12.....(5.3.1
)1()1(
!2
)12()1(
n
nn
nn
nn
n
xna
n
xnaxy ; válida para toda x
finita.
33.
1
232
2
1
13
1
1
3
0)13.....(10.7.4
)1(
!3
)1(
)13.....(8.5.2
)1(1
n
nn
nn
nn
n
nn
n
xxa
n
xxa
n
xay ;
válida para toda x finita.