Tema 1. Muestreo Aleatorio

8/17/2019 Tema 1. Muestreo Aleatorio

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Estadística GeneralIntroducción a la Estadística

Concepto de Estadística.Es la ciencia encargadadel desarrollo técnico

HENRYVILLARROEL

de organizar, analizar einterpretar lainformación generadasa partir de los datosrecolectados


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Estadística GeneralIntroducción a la EstadísticaClasificación de la Estadística.Estadística Descriptiva. Se

refiere a la recolección,resentación descri ción

HE !" #I$$%!!&E$

an'lisis e interpretación deuna colección de datos.Esencialmente consiste enresumir los datos a travésde uno o dos m'selementos de información(medidas descriptivas)


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4/70


5/70


6/70


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Estadística GeneralIntroducción a la Estadística HE !" #I$$%!!&E$Variable Cuantitativa

(Numérica)Variable Cualitativa

(No numérica )

Continua Discreta Ordinal Nominal

Puede tomarcualquier valoren un intervalo

dado. (Procesos demedición)

Toma sólo ciertosvalores.

(procesos decontar)

Ingreso, talla,

peso, volumen degas producido,etc.

Nº de trabajadorespor oficina,

nº de alumnospor curso etc.

Tienen un ordenpredeterminado:

No tienen un ordenpredeterminado:

-Nivel de Educación-Estrato socioeconómico-Categoría de ocupación.

Sexo,ocupación,

Condición deempleo (nombrado

o contratado)


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Estadística GeneralEstadística Descriptivaedia ( edia aritmética)

Es el cociente entre la suma de todos los datos - el n5mero de ellos - denotamatem'ticamente6

1 n

HE !" #I$$%!!&E$

edianaEs el valor ue separa por la mitad, las o*servaciones ordenadas de menor a ma-or detal forma ue el 789 son menores ue la mediana - el otro 789 son ma-ores. Si elnumero de datos es impar la mediana ser' el valor central - si es par tomaremos comomediana la media aritmética de los dos valores centrales

1i

in ==


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Estadística GeneralEstadística Descriptivaoda

Es el valor de la varia*le ue m's se repite, es decir, a uella cu-a frecuencia a*soluta esma-or. o tiene por ue ser 5nica

HE !" #I$$%!!&E$

edidas de dispersión

$as medidas de dispersión cuantifican la separación, la dispersión, la varia*ilidad de losvalores de la distri*ución con respecto al valor central. Entre las medidas de dispersióntenemos6$a varianza$a desviación est'ndar

Coeficiente de variación.


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Estadística GeneralEstadística Descriptiva$a #arianza uestralEs el promedio del cuadrado de las distancias entre cada o*servación - la media

aritmética del con2unto de las o*servaciones

HE !" #I$$%!!&E$

2

2 1( )

1

n

ii

X

X X

nσ =

−=

−∑

$a Desviación Standard uestralSe define como la raíz cuadrada positiva de la varianza

2

1

( )

1

n

ii

X

X X

n

σ =−

=−

∑


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Estadística GeneralEstadística DescriptivaCoeficiente de variación

Se define como el cociente entre la desviación est'ndar - el valor a*soluto de la mediaaritmética

HE !" #I$$%!!&E$

El C# representa el numero de veces ue la desviación est'ndar contiene la media

aritmética - por lo tanto cuanto ma-or es C# ma-or es la desviación - menor larepresentatividad de la media

X CV X σ =


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Estadística GeneralEstadística DescriptivaPROBLEMA TIPO.El gerente de mantenimiento de Otinsa, esta preparando un mantenimiento mayor (Overhaul) de las bombas centrifugas delsistema de enfriamiento de la planta de fraccionamiento de GLP. Para esta propósito utiliza los tiempos obtenidos de las 20reparaciones similares realizadas en la planta y los registros se muestran en la tabla I. El gerente de mantenimiento desearealizar un informe que responda las siguientes interrogantes:

• Realizar la tabla de datos agrupado y graficar la tendencia

• ¿Cuál será el tiempo promedio para reparar las bombas centrifugas ?

HE !" #I$$%!!&E$

• ¿ Cual es el tiempo aproximado en horas que existe entre cada reparación mayor?

•¿ Cual es la mediana de los tiempos de las tareas de mantenimiento?

Numero de

reparación

Tiempo (en

Horas)

Numero de

reparación

Tiempo (en

Horas)

Numero de

reparación

Tiempo (en

Horas)

Numero de

reparación

Tiempo (en

Horas)

1 11 6 12 11 9 16 11.5

2 6.5 7 13 12 12 17 13

3 12 8 6 13 12 18 7

4 14 9 6.5 14 12 19 10

5 8.5 10 11.5 15 12 20 9.5

Tabla I


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Estadística GeneralEstadística Descriptiva

max min 14 6 8 Rango X X horas= − = − =1 3.33 1 3.33 20 5.33 5 intK Logn Log ervalos= + = + = ≅

Números de intervalos:

HE !" #I$$%!!&E$

Realizar la tabla de datos agrupado y graficar la tendencia

Intervalos de Clase (horas) Frecuenciade Clase

FrecuenciaRelativa

(%)

Frecuenciaacumulada

Frecuencia Acumulada (%)

6.0 - 7.6 4 0.20 4 0.207.7 - 9.3 2 0.10 6 0.309.4 - 11.0 3 0.15 9 0.45

11.1 - 12.7 8 0.40 17 0.85

12.8 - 14.4 3 0.15 20 1.00

Tamaño de los Intervalos :

/a*la de Datos %grupados

81.6

5 R

I horasK

= = =


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Estadística GeneralEstadística Descriptiva HE !" #I$$%!!&E$Histograma de Mantenimiento Mayor de la Torre

Desbutanizadora

810

s e

4

23 3

0

2

4

6

8

6.0 - 7.6 7.7 - 9.3 9.4 - 11.0 11.1 - 12.7 12.8 - 14.4

Intervalos de Clase (Horas)

F r e c u e n c i a

d e C

l a


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Estadística GeneralEstadística Descriptiva HE !" #I$$%!!&E$¿Cuál será el tiempo promedio para reparar las bombas centrifugas ?

20

1

110.45i

i

Media X X horasn =

= = =∑

¿ u ser e t empo aprox ma o en oras que ex ste entre ca a reparac n mayor

2horas20

2 2

1 1

( ) ( )

1 20 1

n

i ii i

X

X X X X

nσ = =

− −

= =− −

∑ ∑ 20 2 2 2 21

( ) (11 10.45) (6.5 10.45) ...... (9.5 10.45) 112.358ii

X X =

− = − + − + + − =∑

112.3582.431

20 1 X horasσ = =

−

Desviación Estándar:


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Mediana

6.0, 6.5, 6.5, 7.0, 8.5, 9, 9.5, 10, 11, 11.5 , 11.5 , 12, 12, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 14

Estadística GeneralEstadística Descriptiva HE !" #I$$%!!&E$¿Cuál es la mediana de los tiempos de las tareas de mantenimiento?

Como n=20 registros es par, la mediana es la media aritmética de los términos centrales

11.5 11.511.5

2mediana

+= = horas


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ES/%D:S/IC% GE E!%$!egresión $inealEs una técnica estadística depronostico ue se utilizapara desarrollar unaecuación matem'tica uemuestra como se relacionan

HENRYVILLARROEL

dos varia*lesEl an'lisis de regresión linealinclu-e una varia*leindependiente - una varia*ledependiente para las cualesla relación entre varia*les sepuede apro3imar a una línearecta


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ES/%D:S/IC% GE E!%$!egresión $ineal

y a bx y

x

= +=

=

Variabledependiente

HENRYVILLARROEL

ab

=

=

independiente

Pendiente de la recta

Intercepción con el eje y

Este método ajusta una línea a las observaciones de manera que miniminice la suma de lasdistancias al cuadrado con respecto a la media:

( )( )

( )( )

2

1

2

1

0

0

n

i ii

n

i ii

y a bxa

y a bxb

=

=

∂ = − + = ∂

∂ = − + =

∂

∑

∑


20/70


1 1 12

2

n n n

i i i ii i i

n n

i i

n x y x yb

n x x

= = =

−=

−

∑ ∑ ∑∑ ∑

HENRYVILLARROEL

1 1i i= =

2

1 1 1 12

2

1 1

n n n n

i i i i ii i i i

n n

i ii i

x y x y xa

n x x

= = = =

= =

−

=

−

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑

(Pendiente de la recta de aproximación)

(Intercepción de la recta de aproximación con el eje y)


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Coeficiente de Correlación (r)Es la medida ue e3presa la situaciónrelativa de un numero de sucesosrespecto a dos varia*les (dependiente e

HENRYVILLARROEL

.

r;8 (valores cercanos)< no e3iste relaciónde asociación entre las dos varia*lesr ;=> (valores cercanos)< la relación deasociación de las varia*les es decrecienter ; > (valores cercanos)< la relación deasociación de las varia*les de creciente

1 1 1

2 2

2 2

1 1 1 1

n n n

i i i ii i i

n n n n

i i i i

i i i i

n x y x yr

n x x n y y

= = =

= = = =

−

=

− −

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑


22/70


23/70


B7

8

7Estacion de Flujo T !"#

HENRYVILLARROEL

8

7>8

>7

A8

A7

B8

8 > A B 7 F

F a

l l a s

$ r e s e n

t a d

a s

%oras Trabajadas

#alor real


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ES/%D:S/IC% GE E!%$!egresión $inealy= numero de fallas presentadas , Variable dependientex= numero de horas trabajadas en las tareas de mantenimientopreventivo, variable independiente

Ecuación de Pronostico : y a bx= +

HENRYVILLARROEL

1 1 12

2

1 1

n n n

i i i ii i i

n n

i ii i

n x y x yb

n x x

= = =

= =

−=

−

∑ ∑ ∑∑ ∑

2

1 1 1 12

2

1 1

n n n n

i i i i ii i i i

n n

i ii i

y x y xa

n x x

= = = =

= =

−=

−

∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑

4

1

1

4

536

20

i ii

n

i

i

n

x y

x

=

=

=

=

=

∑

∑

42

1

4

1

2

1

120

81

2509

ii

ii

n

ii

x

y

y

=

=

=

=

=

=

∑∑

∑


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Sustituyendo los valores, se obtienen las constantes de laecuación de pronostico

( )( ) ( )( )2

4 536 20 816.55b

−= =

( )( ) ( )( )( )( ) ( )2

120 81 536 2012.5

4 120 20a

−= = −

−

HENRYVILLARROEL

−

1 1 1

2 2

2 2

1 1 1 1

n n n

i i i ii i i

n n n n

i i i i

i i i i

n x y x yr

n x x n y y

= = =

= = = =

−

=

− −

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

12.5 6.55 y x= − +

( )( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( )2 24 536 20 81

0.994 120 20 4 2509 81

r −

= = − −

Ecuación de Pronostico :

(Relación Lineal Positiva)

Coeficiente de correlación (r) :


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12.5 6.55 y x= − +Ecuación de Pronostico :

¿Cuál será el numero de fallas que se presentaran si las tareas de mantenimiento preventivo alcanzanlas 20 horas?

HENRYVILLARROEL

=

12.5 6.55(20)

118.5 119

y

y

= − +

= ≅ Fallasaproximadas


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B7

8

7 Estacion de Flujo T !"#

HENRYVILLARROEL

8

7

>8

>7

A8

A7

B8

8 > A B 7 F

F a

l l a s

$ r e s e n

t a

d a s

%oras Trabajadas

valor realvalor pronosticado$ineal (valor pronosticado)


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DIS/!I01CI& ES DE +!&0%0I$ID%D1 ID%D IIIDIS/!I01CI& EI01$$

LINEALIZAR LA ECUACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN DE WEIBULL

( ) β α / )( t et R −=

β =− t

( ) b

Lnt Lnt n

t R Ln Ln Lnt

t R Ln Ln Lnt n

i

ii

=−

−

=∑∑

∑ ∑ ∑22.

))(

1.)

)(1

(..

β

α

α β β Ln Lnt t R

Ln Ln ..)(

1 −=

a xb y += . β

α −

= a Ln

−

= β

α

a

e

Aplicando Regresión Lineal a laecuación

( ) a

Lnt Lnt n

Lnt t R

Ln Ln Lnt t R

Ln Ln Lnt

Lni

ii

=−

−

=−∑ ∑

∑ ∑ ∑∑22

2

.

.)(

1(.

)(

1(.

. α β


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Confiabilidad. ConceptoEs la ciencia que se encarga de la

predicción, estimación u optimización de

HENRYVILLARROEL

CONFIABILIDADTEMA No.3

supervivencias de los componentes osistemas (Elsayed, 1996)

Probabilidad de que unequipo, maquinaria o sistema realicen

sus funciones satisfactoriamente bajocondiciones especificas dentro de ciertoperiodo de tiempo, medido por MTBF”.(Mackenna, 1997)


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HENRYVILLARROEL

CONFIABILIDADTEMA No.3

ConfiabilidadTiempo promedio entre

fallas (MTBF)


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PROBABILIDAD:

• ES UNA MEDIDA DE LA POSIBILIDAD DE OCURRENCIA DE UN EVENTO

CONCEPTOS BASICOSCONCEPTOS BASICOS

PROBABILIDAD

• LA FRECUENCIA ES UN INDICADOR DE PROBABILIDAD:

SI EL EVENTO “A” ES MUY FRECUENTE => PROBABILIDAD DE “A” (P(A)) ES ALTA

SI EL EVENTO “A” ES POCO FRECUENTE=> PROBABILIDAD DE “A” (P(A)) ES BAJA

DEFINICION “FRECUENTISTA” DE LA PROBABILIDAD

P(A)=No DE VECES QUE SE PRESENTA EL EVENTO “A”

No DE VECES QUE SE REALIZA EL EXPERIMENTO ALEATORIO


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% /E I IE /& +!&0%0I$IS/IC&DIS/!I01CI& ES DE +!&0%0I$ID%D

Estudio delMantenimiento

TribologiaVibraciones

END

En base a la condicióndel equipo

Estadistica IEstadistica IIOpt. del Mtto

En base a laEstadistica y la confiabilidad


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DISTRIBUCION NORMAL

DISTRIBUCIONES PROBABILISTICAS PARAMETRICASDISTRIBUCIONES PROBABILISTICAS PARAMETRICAS


VARIABLES ALEATORIASVARIABLES ALEATORIASDISCRETASDISCRETAS

VARIABLES ALEATORIASVARIABLES ALEATORIASCONTINUASCONTINUAS

DISTRIBUCION EXPONENCIAL

DISTRIBUCION DE WEIBULL

DISTRIBUCION BINOMIAL

DISTRIBUCION HIPERGONOMETRICA

DISTRIBUCION DE POISSON


34/70

$O&'(CION1 ID%DES DE I /E!ES

)*E+TR(


+E 1EJ% +%!/E !E+!ESE /%/I#% DE $% +&0$%CI&

D(T( DE CONFI(&I'ID(D

% %$ISIS ES/%DIS/IC& DE C& KI%0$ID%D

INFOR)(CION

%CE!C% DE $% +&0$%CI&

%CCI&


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DIS/!I01CI& ES DE +!&0%0I$ID%D1 ID%D IIIDIS/!I01CI& EL+& E CI%$

Es la distri*ución ueme2or modela la tasa defalla constante o vida

e n c

i a r e

l a t i v a

( % )

uc?os componentes

electrónicos tales comocircuitos, transistores

muestran uncomportamiento de fallae3ponencial

F r e c

Intervalos de Clase(tiempo)


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Modelo matemático

t t f e λ λ −=)( u e n c

i a r e

l a t i v a

( % )

t t R e

−=)(

λ λ

λ λ =−

−==

t

t

t R

t f t h

ee

)(

)()(

∫ ∫∞ ∞

=−==0 0

1)(

λ λ λ dt t dt t R MTBF e

F

r e

Intervalos de Clase(tiempo)

T a s a

d e

F a l l a

( % )

Intervalos de Clase


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Modelo matemático

t t R e λ −=)(

t )


λ == MTBF t

368.01

1

)( =−=

−

= eet R λ λ

haciendo

C o n

f i a

b i l i d a d R

Intervalos de tiempo

0.368

MTBF

2

2 1

λ σ =

DIS/!I01CI& ES DE !&0%0I$ID%D


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Procedimiento para la predicción del MTBF y tasa de falla en ladistribución exponencial:Agrupar los datos y graficar f(t) vs. TiempoOrdenar la información de los tiempos de operación en ordenascendente (de menor a mayor)


Calcular la probabilidad de falla estadística por:

i= numero de orden de observaciónN=numero total de observacionesCalcular la probabilidad de supervivencia R(t)=1-F(t)Construir la recta de confiabilidad versus tiempos de operaciónDeterminar el MTBF con R(t)=37% aprox en la grafica

1)(

+=

N i

t F 4.0

3.0)(

+

−=

N i

t F 50≥ N 20≤ N 5020 ≤≤ N

N i

t F =)(


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EJEMPLO DE DISTRIBUCION EXPONENCIALEn la tabla siguiente se muestran las horas de operación antes de fallar de unmontacargas de la empresa Otinsa. Se desea determinar el MTBF

%oras antes de fallar Causa de la falla

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADUNIDAD IIIDISTRIBUCION EXPONENCIAL

>> cauc?o> Car*uraciónA Sistema ?idr'ulico>7 Sistema de elevación

7 Sistema de direcciónSistema de dirección

A Cauc?oF Sistema ?idr'ulico

DIS/!I01CI& ES DE +!&0%0I$ID%D


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EJEMPLO DE APLICACIÓN DISTRIBUCION EXPONENCIAL (Cont.)

2min = X

49max = X

47249minmax =−=−= X X Rango

1 3.33 8. 4.00K = + = 1275.114

47≅== I


Intervalos (?oras) Kr f (t) o. Deso*revivientes ? (t)

A = > 8.78 8.78

>7 = AF A 8.A7 8.78

A = 8 > 8.>A7 A 8.78

> = 7B > 8.>A7 > >.88



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Grafica de f(t) montacargas

Grafica de h(t) del Montacargas


0.5

0.25

0.125 0.125

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

.

O2 - 14 15 - 27 28 - 40 41 - 53

Intervalos de Clase

F r e c u e n c

i a r e

l a t i v a

( % )

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

2.0 - 14.0 15.0 - 27.0 28.0 - 40.0

Intervalos de Clase

T a s a

d e

f a l l a ( % )



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Ordinal Tiempo F,t- R,t- R,t- .

1. Ordenar en forma ascendente

2. Calculo de

3. Calculo de R(t)=1-F(t)4.0

3.0)(+

−= N it F

/ " 0102## 013/45 3/145" 6 01"0"# 015355 53155

# 5 01#"/7 014524 45124

7 // 017707 016634 66134

6 /6 016636 017706 77106

4 /3 014526 01#"/6 #"1/6

5 "2 015354 01"0"7 "01"7

2 73 013/44 0102#7 21#7


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MTBF=18 horas



45/70


Ordinal (i) Tiempo (horas)Tiempo (horas) R(t) Ln Ln R(t) R(t)

METODO ANALITICO

1.- Ordenar en forma ascendente y Ln R(t)

. -- ..

2 55 0.7977 --0.22600.2260

3 77 0.6786 --0.38770.3877

4 1111 0.5596 --0.58050.5805

5 1515 0.4405 --0.81980.8198

6 1919 0.3215 --1.13471.13477 2828 0.2024 --1.59751.5975

8 4949 0.0834 --2.48412.4841

2. Aplicar la regresión lineal para el calculo del MTBF



46/70


METODO ANALITICO

Resumen Estadístico de la regresiónlineal8=n

1368

=∑=

it

Sustituyendo:

( ) ( ) 052061.0

1363970.8

)3172.7).(136()7105.210).(8(2

−=−

−−−=− λ

( ) ( )22.)(ln.)(ln..

∑∑ −−

=−

ii

i

t t n

t Rt t Rt ni

λ ∑=

−=8

1

3172.7)(i

it LnR

39708

1

2 =∑ it

7105.210)(.8

1

−=∑ t LnRt i20.19

1 ==λ

MTBF horas


47/70



48/70


Es la distri*ución de vidamas ampliamente utilizadaen los an'lisis para descri*irla tasa de falla de los

, .

atem'ticamente se define6( ) β α

β

α α β / .

1

)( t et t f −−

=

1

)( −

= β β α

β t t h( ) β α / )( t et R −=

h(t)

β=Pendiente o parámetro de forma

α = Parámetro de escala (edad característica de falla)



49/70


Características6MN> tasa de falla decreciente( ortalidad infantil) ;

(vida 5til)M O > tasa de falla creciente(desgaste)

)

1

1(. β α +Γ =

MTBF

)1

1( β

+Γ = Función Gamma

Casos particulares:

1=

β α =

TBF 5.0= β .2=TBF

+Γ −

+Γ =

β β α σ

11

21. 222



50/70


β α / t −

METODO GRAFICO PARA DETERMINAR LA DISTRIBUCION DE WEIBULL

1= β

=t

3678.01)( =−== et R α

6322.0)(1)( ==−== α α t Rt F

Haciendo:

Intervalos de tiempo

0.6322

F(t)PAPEL WEIBULL

=t



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METODO ANALITICO PARA DETERMINAR LA DISTRIBUCION DE WEIBULL

( ) β α / )( t et R −=

β =− t ( )

b Lnt Lnt n

t R Ln Ln Lnt

t R Ln Ln Lnt n

i

ii

=−

−

=∑ ∑ ∑

22.

))(

1.)

)(1

(..

β

α

α β β Ln Lnt t R

Ln Ln ..)(

1 −=

a xb y += . β

α −

= a Ln

−

= β α

a

e

Aplicando Regresión Lineal a laecuación

( )a

Lnt Lnt n

Lnt t R

Ln Ln Lnt t R

Ln Ln Lnt

Lni

ii

=−

−

=−∑ ∑

∑ ∑ ∑∑22

2

.

.)(

1(.

)(

1(.

. α β



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+rocedimiento para la predicción edad característica de falla - modo defalla en la distri*ución ei*ull6 %grupar los datos - graficar f(t) vs. /iempo&rdenar la información de los tiempos de operación en ordenascendente (de menor a ma-or)Calcular la pro*a*ilidad de falla estadística por6

i ; numero de orden de o*servación;numero total de o*servaciones

Construir la recta de confia*ilidad versus tiempos de operaciónDeterminar la edad característica defalla( ) conK(t); B.AA9 apro3.en la grafica del papel ei*ullDeterminar

1)(

+=

N i

t F 4.03.0

)(+

−=

N i

t F 50≥ N 20≤ N 5020 ≤≤ N N i

t F =)(

α

β



53/70


EJEMPLO DE APLICACIÓN DE LA DISTRIBUCION DE WEIBULL

El gerente de mantenimiento de una planta eléctrica desea conocer el modo de falla y laedad característica de falla de un motor diesel. Para este propósito disponen de los tiemposde operación en horas del equipo hasta fallar: 6,16,23,163,282,215,2,46,503,92,12,46,20

Intervalos declase (?oras) Krecuencia declaseA P >8A

>8B P A8B >A8B P B8B A

B8 P 8 88 P 78 > 0

123456789

10

2 - 102 103 - 203 204 - 304 305 - 405 405 - 505

F r e c u e n c i a

d e

C l a s e

Intervalos de Clase (horas)

Histograma de Frecuencia Motor Diesel



54/70


4.03.0

)( +−

= N i

t F

RESOLUCION UTILIZANDO EL METODO GRAFICO

&rdinal /iempo K(t) K(t) 9 > " 8.87AB 61"#A 4 8.>A /"143B /" 8.A8>7 "01/6

/4 8.AF > "514/7 "0 8.B78F #6105

"# 8. A7 7"167F 74 8.788 60100

74 8.7F 651743" 8. A 4713"

>8 /4# 8.FAB 5"1#3>> "/6 8.F 7 53126>A "2" 8. FB> 251#/>B 60# 8. F 37152

Graficar la recta de confiabilidad F(t) vs. Tiempo en papel Weibull


55/70

62.22 %

α = 85 horas



56/70


RESOLUCION UTILIZANDO EL METODO ANALITICO

&rdinal /iempo K(t) !(t) $n t $n($n(>Q!(t))) > A 8.87AB 8. FF 8. B =A. A 8A 8.>A 8. FB> >.F > =>. FA

B >A 8.A8>7 8.F 7 A. =>. >7> 8.AF > 8.FA 7 A.FFA =>.>A F

7 A8 8.B78F 8. B A. 7 =8. BAB 8. A7 8.7F B.>B7 =8.7 8

F 8.788 8.788 B. A =8.B 78.7F 8. A7 B. A =8.>7

A 8. A 8.B78 .7A> 8.8>8 > B 8.FAB 8.AF > 7.8 B 8.A7AB

>> A>7 8.F 7 8.A8>7 7.BF8 8. F>A>A A A 8. FB> 8.>A 7. > 8.FA

>B 78B 8. F 8.87AA .AA8 >.8 AF

Aplicando regresión lineal



57/70


( ) b Lnt Lnt n t R Ln Ln Lnt

t R

Ln Ln Lnt n

i

ii

=−

−

= ∑∑∑ ∑ ∑

22.

)

)(

1.)

)(

1(..

β

Resumen Estadístico

371.4813

1

=∑=i

i Lnt

113693.0

)371.48()3718.211).(13(

)9184.6)(371.48()9607.3).(13(2

=−

−−−= β

13=n

.)(1

−= =i t R

nn

371859.21113

1

2 =∑=i

Lnt

9607397.3))(

1(.

13

1

−=

∑

= t R Ln Ln Lnt

ii

493.4693.0114.3 =

−

−=α Ln

43.89493.4 == eα Sustituyendo en la ecuaciones de la regresiónlineal

114.3)371.48()3718.211).(13(

)371.48).(9607.3()9184.6).(3718.211(. 2 −=−

−−−=− α β Ln

horas

( )a

Lnt Lnt n

Lnt t R Ln Ln Lnt t R Ln Ln Lnt Ln

i

ii

=−

−

=−∑ ∑

∑ ∑ ∑∑22

2

.

.)(

1(.)(

1(.

. α β



58/70


Comparación deresultados

Método Grafico Método Analítico

85

6.0=

=

α β

6.0

85)(

−

=

t

t R e

89

693.0

=

=

α

β

693.0

89)(

−

=

t

t R e

Mortalidad Infantil Mortalidad Infantil

horas horas



59/70

1nidad IIIDIS/!I01CI& &! %$

En mantenimientoesta distri*ucióndescri*e el periodo

e uipos/am*ién puede serutilizada para

modelar los tiemposde reparación de lose uipos



60/70


$a tasa de fallaaumenta aumentasostenidamente por uelos elemento del e uiposu ren un proceso edeterioro físicoSe define como unavaria*le aleatoriacontinua 3 ue esnormalmente distri*uidacon media -varianza

2

1

.2

1)( =

−−

σ

µ

π σ

xt

et f

∫∞

−=0

)(1)( dt t f t R xTBF =

x2σ

)(.

)(

)(

)()(

t R

Z

t R

t f t h

σ φ

==



61/70


Distri*ucion normalest'ndarDado ue - determinancom letamente la

σ x

distri*uciónnormal, entonces en ladistri*ución normal e3istenfamilias de distri*ucionesnormales, una de mas cualesla mas importante es ladistri*ución normalest'ndar( , )$a distri*ución normal sepuede estandarizar con6

0= x 1=σ

−=

σ

µ xt Z

−

=2

2

.2.

1)1,0,(

z

t f eπ σ

dt

z

zF e z

−

= ∫∞−

22

.2.

1)(

π σ

)(1)( zF z R −=

ES/%D:S/IC% GE E!%$


62/70

ES/%D:S/IC% GE E!%$Distri*ución ormal

Casos mas comunes de uso para el calculo de la probabilidad en la distribución normal

HENRYVILLARROEL

Caso No.1 Caso No.2

Caso No.3

ES/%D:S/IC% GE E!%$


63/70


Es una distri*ución depro*a*ilidad continuade ma-or utilizaciónde*ido a ue la ma-oría

HE !" #I$$%!!&E$

aleatorios siguen estecomportamiento$a curva ue representala distri*ución depro*a*ilidad normal sedescri*e generalmentecomo en forma de unacampana

ES/%D:S/IC% GE E!%$


64/70


Se define como unavaria*le aleatoriacontinua 3 ue es

HE !" #I$$%!!&E$

norma men edistri*uida conmedia - varianza

221

.2

1)( =

−−σ µ

π σ

xt

et f

x 2σ

HE !"

1

1 ni

i

X X n =

= ∑

2

1

( )

1

n

ii

X

X X

nσ =

−

=−

∑

ES/%D:S/IC% GE E!%$


65/70

EJEMPLO DE APLICACIÓNLa división de mercadeo de gas Otinsa desea realizar un estudio de probabilidad de laventa de gas propano en el mercado internacional el próximo mes. Para este propósitoposee los registros de venta de gas propano en MMPCM de los últimos 50 meses talcomo se muestra en la tabla I. La gerencia de mercadeo desea determinar las siguientes

HE !" #I$$%!!&E$


a)¿Cuál será la probabilidad de vender propano el próximo mes entre 52 y 72 MMPCM?b)¿Cuál será la probabilidad de vender mas 80 MMPCM de gas propano el próximo mes?

Tabla 17> F> F7 F 7 7A > F

77 B FA B8 B 7 B BFF8 BF F> B 7F B FA

BB 7 F B F 78 7 B

F7 B 7> F7 7 7B 7 A

ES/%D:S/IC% GE E!%$


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Ejemplo de aplicación (Continuación)

HE !" #I$$%!!&E$


Intervalos deClase ( +C)

Krecuenciade clase

Krecuencia!elativa

Krecuencia!elativa

acumuladaB8 = 8 7 8.>8 8.>8

1 3.33K Logn= +

> P 7> 8.> 8.A

7A P A 8.> 8.

B = FB >F 8.B 8.F

F = F 8.> 8. A

7 = 7 B 8.8 8.

= >8 > 8.8A >.88

. .

max min97 30 67

679.57 10

7

og

R X X R

R I

K

= = ≅

= −= − =

= = = ≅

ES/%D:S/IC% GE E!%$


67/70

Ejemplo de aplicación (Continuación)

HE !" #I$$%!!&E$



68/70


69/70

HE !" #I$$%!!&E$

HE !"


70/70

HE !" #I$$%!!&E$

HE !"

Tema 1. Muestreo Aleatorio

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