SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES ECUACIONES LINEALES...
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1 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES El estudio de los sistemas de ecuaciones lineales y sus soluciones es uno de los temas más importantes del algebra lineal. ECUACIONES LINEALES Una recta en el plano puede representarse algebraicamente por una ecuación de la forma siendo , no simultáneamente nulos. Una ecuación de este tipo se denomina ecuación lineal en las variables e . De manera más general, una ecuación lineal en la variables se define como una ecuación que se puede expresar en la forma donde son números reales y, no todos nulos. Las variables en una ecuación lineal se denominan incógnitas. Ejemplo 1 Dadas las siguientes ecuaciones, determinar cuáles son lineales. Todas son ecuaciones lineales, salvo las dos última. Un conjunto finito de ecuaciones lineales de incógnitas se denomina sistema de ecuaciones lineales o sistema lineal. Por lo tanto un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas se puede escribir como { donde los términos y para , son números reales, no todos nulos. Nos referiremos a este sistema como sistema lineal de . Si para todo , , el sistema se denomina sistema homogéneo. Es decir,
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SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
El estudio de los sistemas de ecuaciones lineales y sus soluciones es uno de los temas más
importantes del algebra lineal.
ECUACIONES LINEALES
Una recta en el plano puede representarse algebraicamente por una ecuación de la forma
siendo , no simultáneamente nulos. Una ecuación de este tipo se denomina ecuación
lineal en las variables e .
De manera más general, una ecuación lineal en la variables se define como
una ecuación que se puede expresar en la forma
donde son números reales y, no todos nulos. Las variables en
una ecuación lineal se denominan incógnitas.
Ejemplo 1 Dadas las siguientes ecuaciones, determinar cuáles son lineales.
Todas son ecuaciones lineales, salvo las dos última.
Un conjunto finito de ecuaciones lineales de incógnitas se denomina sistema de
ecuaciones lineales o sistema lineal. Por lo tanto un sistema de m ecuaciones lineales con n
incógnitas se puede escribir como
{
donde los términos y para , son números reales, no todos
nulos. Nos referiremos a este sistema como sistema lineal de .
Si para todo , , el sistema se denomina sistema homogéneo. Es decir,
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{
Una n-upla de números ( ) que satisface todas y cada una de las ecuaciones del
sistema se denomina solución del sistema lineal de .
No todos los sistemas de ecuaciones lineales tienen solución
Ejemplo 2
(a) Sea
una solución del sistema de es ( ), ya que cada uno de estos valores satisfacen
ambas ecuaciones (verificarlo).
(b) El sistema
no tiene solución, ya que si a la segunda ecuación la dividimos por 2, se obtiene
Las cuales son ecuaciones contradictorias. Podemos decir que el conjunto solución es vacío.
Decimos que si un sistema de ecuaciones lineales tiene por lo menos una solución es
compatible o consistente. Si la solución es única el sistema es compatible determinado, si
tiene infinitas soluciones es compatible indeterminado.
Si el sistema de ecuaciones lineales no tiene solución se dice que el sistema es incompatible o
inconsistente.
Ejemplo3 Sea una ecuación lineal con dos variables
siendo y ambos no nulos. La gráfica de la ecuación lineal es una recta.
Así, un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
{
determina dos rectas en el plano .
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En busca de la solución de este sistema, podemos encontrarnos con tres casos posibles:
(i) Las rectas se intersecan en un solo punto
(ii) Las ecuaciones describen la misma recta, o
(iii) Las dos rectas son paralelas
En estos tres casos decimos, respectivamente:
(i) El sistema es consistente determinado. Tiene una única solución, es decir, el par ordenado
de números reales correspondiente al punto intersección de las rectas.
(ii) El sistema es consistente indeterminado. Tiene infinitas soluciones, es decir, todos los
pares ordenados de números reales correspondiente a los puntos de la recta.
(iii) El sistema es inconsistente. No hay soluciones, es decir la solución es el conjunto vacío.
Ejemplo4 Una ecuación lineal con tres variables
Donde , y no son simultáneamente nulos, determina un plano en el espacio. La solución
de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas
{
Es una terna ordenada de la forma ( ) que satisface cada ecuación del sistema. La
intersección de los tres planos descrita por el sistema dado puede ser:
(i) un solo punto
(ii) infinitos puntos, o
(iii) ningún punto
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En estos tres casos decimos, respectivamente:
(i) El sistema es consistente determinado. Tiene una única solución, es decir, la terna
ordenada de números reales correspondiente al punto intersección de los planos.
(ii) El sistema es consistente indeterminado. Tiene infinitas soluciones, es decir, todas las
ternas ordenadas de números reales correspondiente a los puntos de la recta intersección.
(iii) El sistema es inconsistente. No hay soluciones, la solución es el conjunto vacío.
Consistente determinado – Los planos
se intersecan en un punto Consistente indeterminado - Los
planos se intersecan en una recta
Consistente indeterminado – Los
planos se intersecan en una recta.
Inconsistente – Planos paralelos sin
punto en común
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En general podemos afirmar que:
Todo sistema de ecuaciones lineales no homogéneo o no tiene soluciones, o tiene exactamente
una o tiene infinitas soluciones.
Todo sistema lineal homogéneo siempre es compatible o consistente.
Pues siempre admite la solución trivial o bien además de la trivial pueden existir infinitas
soluciones no triviales.
Ejemplo 5 Dado el sistema
{
Multiplicando la primera ecuación por -5 y sumándole este resultado a la segunda obtenemos
{
Multiplicando la primera ecuación por -8 y sumándole este resultado a la tercera obtenemos
{
De donde
{
Si elegimos con , tenemos que
y
.
Por tanto las soluciones del sistema constan de todas las ternas ordenadas de la forma
(
).
Inconsistente
Inconsistente
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Observe que para se obtiene la solución trivial ( )pero para se obtiene la
solución no trivial ( ).
SISTEMAS EQUIVALENTES
Se dice que dos sistemas de ecuaciones con las mismas variables son equivalentes si tienen
las mismas soluciones.
Dado un sistema de ecuaciones, si realizamos algunas operaciones en sus ecuaciones
podemos obtener un sistema equivalente
OPERACIONES para transformar un sistema en un sistema equivalente
(i) Intercambiar cualquier par de ecuaciones
(ii) Multiplicar una ecuación por una constante distinta de cero
(iii) Sumarle un múltiplo de una ecuación a otra ecuación del mismo sistema.
Ejemplo 6 Dado el sistema
{
Multiplicando la primera ecuación por -4, sumándole el resultado a la segunda, multiplicando
a la primer ecuación por -2 y sumándole el resultado a la tercera ecuación, se elimina de
estas dos ecuaciones;
{
Multiplicando la segunda ecuación por
y sumándole este resultado a la tercera ecuación,
eliminamos de la tercer ecuación. Se obtiene un sistema equivalente en forma triangular o
escalonada
{
Si multiplicamos la segunda ecuación por
y la tercer ecuación por
, llegamos a otra
forma triangular que es equivalente al sistema original
{
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es inmediato que . Usando este valor y sustituyendo hacia atrás en la segunda ecuación ,
resulta
⇒
( )
Finalmente, sustituyendo y en la primer ecuación, obtenemos
( )
Por tanto, la solución del sistema es ( )
Sistema de Ecuaciones. Uso de matrices aumentadas
En el ejemplo anterior podemos simplificar los cálculos ubicando los coeficientes de cada
ecuación y los términos independientes de manera ordenada en un arreglo rectangular de
números como
(
| )
Este arreglo se denomina matriz aumentada del sistema
En un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas como
{
La matriz aumentada correspondiente a este sistema es:
(
|
)
Una matriz es un arreglo rectangular de números.
Podemos decir que la matriz aumentada tiene filas y columnas, en cuyo caso
decimos que la matriz es de orden ( ).
Los números , se denominan términos o elementos de la matriz e indican que el elemento
se encuentra en la fila y en la columna .
En caso en que el número de filas sea igual al número de columnas, decimos que la matriz es
cuadrada, y se dice que la matriz es de orden .
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Observación: Al elaborar una matriz aumentada, las incógnitas deben escribirse en el mismo
orden en cada ecuación.
El método básico para resolver un sistema de ecuaciones lineales es aplicar las operaciones de
transformación al sistema, obteniendo un sistema equivalente de ecuaciones
Dado que las filas de una matriz aumentada corresponden a las ecuaciones del sistema, las
operaciones de transformación mencionadas corresponden a las siguientes operaciones
efectuadas en las filas de la matriz aumentada
(i) Intercambiar cualquier par de filas
(ii) Multiplicar una fila por una constante distinta de cero
(iii) Sumarle un múltiplo de una fila a otra fila de la misma matriz.
Cuando estas operaciones entre filas se aplican a la matriz aumentada, el resultado es una
matriz aumentada de un sistema equivalente. Por esta razón, se dice que la matriz original y la
matriz resultante son equivalentes.
Por conveniencia, representamos estas operaciones entre filas por los siguientes símbolos:
↔ Intercambie la fila i - ésima por la fila j – ésima.
Multiplique la fila i - ésima por k
Multiplique la fila i - ésima por k y sume el resultado a la fila j – ésima.
Ejemplo 7
En este ejemplo mostraremos un sistema de ecuaciones lineales operando sobre las
ecuaciones del sistema, y resolveremos el mismo sistema a través de la matriz aumentada
operando sobre las filas de la matriz.
{
(
| )
Sumar -2 veces la primera ecuación a la
segunda para obtener
Sumar -2 veces la primera fila a la segunda
( ) para obtener
{
(
| )
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Sumar -3 veces la primera ecuación a la
tercera para obtener
Sumar -3 veces la primera fila a la tercera
( ) para obtener
{
(
|
)
Multiplicar la segunda ecuación por ⁄
para obtener
Multiplicar la segunda fila por ⁄
( ⁄ ) para obtener
{
(
|
)
Sumar -3 veces la segunda ecuación a la
tercera para obtener
Sumar -3 veces la segunda fila a la tercera
( ) para obtener
{
(
|
)
Multiplicar la tercera ecuación por -2 para
obtener
Multiplicar la tercera fila por -2 ( )
para obtener
{
(
|
)
Sumar -1 veces la segunda ecuación a la
primera para obtener
Sumar -1 veces la segunda fila a la primera
( ) para obtener
{
(
|
)
Sumar
veces la tercera ecuación a la
primera y
veces la tercera ecuación a la
segunda para obtener
Sumar
veces la tercera fila a la
primera ( ⁄ ) y
veces la
tercera fila a la segunda ( ⁄ )
para obtener
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{
(
| )
La solución es: La solución es:
Eliminación Gaussiana
Daremos un procedimiento sistemático para resolver un sistema de ecuaciones lineales. El
método se basa en la utilización de las operaciones elementales entre filas para transformar la
matriz aumentada de un sistema dado en una matriz equivalente en forma escalonada.
En el ejemplo 7, el sistema lineal se resolvió reduciendo la matriz aumentada a la matriz
(
| )
A partir de la cual la solución del sistema es evidente. Esta matriz es una matriz escalonada
reducida, debido a que tiene las siguientes propiedades:
(i) Si una fila no consta completamente de ceros, entonces el primer número distinto de cero
en la fila es un 1. (Se denomina 1 principal)
(ii) Si hay filas que constan completamente de ceros, se agrupan en la parte inferior de la
matriz.
(iii) En dos filas consecutivas cualesquiera que no consten completamente de ceros, el 1
principal de la fila inferior aparece más a la derecha que el 1 principal de la fila superior.
Ejemplo 8 Dadas las matrices siguientes
a) (
| ) b) (
| ) c) (
| ) d) (
| )
Las matrices a), b), c) tienen forma escalonada.
La matriz d) no tiene forma escalonada, pues, la primera fila no satisface (i), la segunda fila
no satisface (ii) y la tercera fila no satisface (iii).
Ejemplo 9 Resolver los siguientes sistemas
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a) {
b) {
c) {
d) {
Solución
a) {
Formamos la matriz aumentada del sistema y aplicamos operaciones entre filas hasta obtener
una matriz en forma escalonada
(
| ) ⇔ (
| )
⇔ (
| ⁄
) ⇔ (
| ⁄
)
⇔ (
|
⁄
⁄)
Esta última matriz aumentada está en forma escalonada y corresponde al sistema
{
⁄
⁄
De la última ecuación resulta que ⁄ , de la segunda ecuación, obtenemos
( ⁄ ) ⁄ ó
De la primera ecuación
.
Luego (
) es la solución del sistema.
b) {
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(
| )
↔
⇔ (
| )
⇔ (
| ) ⇔
(
| )
⇔ (
| )
⇔ (
| )
esta última es la matriz aumentada del sistema
{
despejando e en términos de obtenemos
Por tanto el sistema dado es consistente, pero como las solución depende del valor de se
tienen infinitas soluciones, asignando arbitrariamente valores reales a .
Si designamos a con , las soluciones del sistema consta de todas las ternas de la forma
(
) siendo un número real.
Es decir el conjunto {(
) } es la solución del sistema
c) {
(
| ) ⇔ (
|
) ⇔ (
| )
⇔ (
| )
de la última matriz, obtenemos
{
{
Por tanto el sistema dado es consistente, las solución depende del valor de se tienen infinitas
soluciones, asignando arbitrariamente valores reales a .
Si designamos a con , las soluciones del sistema consta de todas las ternas de la forma
( ) siendo un número real.
Es decir el conjunto *( ) + es la solución del sistema
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Observación: Cada ecuación del sistema c) representa un plano, cuyos vectores normales son
( ) y ( ). Podemos observar que no son planos paralelos (verificarlo),
por lo tanto se cortan en una recta la cual se obtiene como solución del sistema. La ecuación
de dicha recta es:
{
con
d) {
(
| ) ⇔ (
| ) ⇔ (
| ) ⇔ (
| ⁄
)
⇔
{
⁄
Como podemos observar la tercera ecuación del sistema equivalente es contradictoria, por
tanto el sistema es incompatible. Luego el conjunto solución es vacío.
Observación: Cada ecuación del sistema d) representa una recta. Podemos observar que las
rectas , e , no son paralelas, ni se cortan en un único punto.
Aplicación del método de Gauss
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El método de eliminación de Gauss puede aplicarse para estudiar la posición relativa de rectas
y de planos, en economía, en química, etc.
Ejemplo 10 Estudiar la posición relativa de las siguientes rectas
{
con {
con
Solución
El vector director de la recta es ( ) y el vector director de la recta es
( ), además o bien
|
|
de donde podemos afirmar que las rectas son paralelas.
Para determinar si son paralelas coincidentes o no, debemos resolver el siguiente sistema
{
{
(
| ) ↔ ⇔ (
| ) ⇔ (
| ) ⇔ (
| )
{
Este sistema es incompatible, por tanto las rectas son paralelas no coincidentes
Ejemplo 11 Estudiar la posición relativa de las siguientes rectas
{
con {
con
Solución
El vector director de la recta es ( ) y el vector director de la recta es
( ), y
|
|
por lo que podemos afirmar que las rectas no son paralelas. Luego se cruzan o se cortan
Resolvamos el siguiente sistema
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{
{
(
| )
(
| ) ↔ ⇔ (
| )
⇔ (
| )
⇔ (
| )
Obtenemos
{
Este sistema es incompatible, por lo tanto las rectas se cruzan.
