Programación y Métodos Numéricos: Integración Numérica...

Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos – ETSIM - UPM21

Programación y Métodos Numéricos: Integración Numérica – Procesos de

obtención de fórmulas y análisis del error

Programación y Métodos Numéricos: Integración Numérica – Procesos de

obtención de fórmulas y análisis del error

Prof. Carlos Conde LProf. Carlos Conde LáázarozaroProf. Arturo Hidalgo LProf. Arturo Hidalgo Lóópezpez

Prof. Alfredo LProf. Alfredo Lóópezpez Marzo, 2007


ProgramaPrograma

• Generalidades• Fórmulas de integración numérica• Fórmulas de integración de tipo interpolatorio• Relación entre el orden de exactitud y los puntos

del soporte en las fórmulas de integración numé-rica de tipo interpolatorio.

• Análisis del error en las fórmulas de tipo interpolatorio

• Obtención de fórmulas de integración numérica• Fórmulas gaussianas.


Primeras expresiones del errorPrimeras expresiones del error

( )n

(n 1x f x i

i 0

1/ (x) ·f · (x x )(n 1)!

+

=

∃ξ ε = ξ −+ ∏

f(x) = pn(x) + εf(x) = n

i i fi

f(x )·L (x) (x)=

+ ε∑0

Siendo pn(x) el polinomio interpolador de Lagrange de la función f(x)sobre el soporte {x0, x1, ……, xn}, se verifica

donde (véase el tema de interpolación):

o, equivalentemente:n

f 0 1 n ii 0

1(x) ·f x ,x ,...,x ,x · (x x )(n 1)! =

ε = −⎡ ⎤⎣ ⎦+ ∏


Primeras expresiones del errorPrimeras expresiones del error

( )b n

(n 1f x i

i 0a

1R ((a,b)) · f · (x x )·dx(n 1)!

+

=

= ξ −+ ∏∫

b n

f 0 1 n ii 0a

1R ((a,b)) · f x ,x ,...,x ,x · (x x )·dx(n 1)! =

= −⎡ ⎤⎣ ⎦+ ∏∫

Por tanto:

Siendo:

o, equivalentemente:

b b b

na a a

f(x)·dx p (x)·dx (x)·dx= + ε∫ ∫ ∫Fórmula I.N.

Error Rf((a,b))


Otras expresiones del errorOtras expresiones del errorSea:

una fórmula de integración numérica construida sobre un soporte de (n+1) puntos {x0, ..., xn} y con un orden deexactitud m > n,

• (α, β) un intervalo de la recta real que incluya a todos los puntos del soporte así como a los extremos del intervalo de integración(a, b),

• f(x) una función de clase C∞(α, β) ,• h el valor dado por h = (b-a)• {θ0, θ1, …, θn} un conjunto de (n+1) números enteros tales que

xi = a + qi·h (i = 0, …, n) SE VERIFICA QUE el error de integración numérica de la fórmula

aplicada a la evaluación de está dado por:∫b

a

f(x)·dx

=

≈ ∑∫b n

i iia

f(x)·dx c·f(x )0

k nk (k

f i ik m 1 i 0

h hR ((a,b)) c · ·f (a)k! k 1

∞

= + =

⎛ ⎞= − θ⎜ ⎟+⎝ ⎠∑ ∑


Cotas del errorCotas del errorSea:

una fórmula de integración numérica de tipo interpolatorio construida sobre un soporte de (n+1) puntos {x0, ..., xn} y con un orden de exactitud m > n,

• h el valor dado por h = (b-a)• pk(x) cualquier polinomio de grado k ≤ m

SE VERIFICA QUE el error de integración numérica de la fórmula

aplicada a la evaluación de está acotado por:∫b

a

f(x)·dx

=

≈ ∑∫b n

i iia

f(x)·dx c·f(x )0

n

f i kx (a,b)i 0

R ((a,b)) h c ·Sup f(x) p (x)∈=

⎛ ⎞≤ + −⎜ ⎟⎝ ⎠

∑


Cotas del errorCotas del error

k 1(k 1

fx (a,b)

2·h hR ((a,b)) · ·Sup f (x)(k 1)! 2

++

∈

⎛ ⎞≤ ⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

∫b

a

f ( x ) · d x

=

≈ ∑∫b n

i iia

f ( x ) · d x c · f ( x )0

Sea:una fórmula de integración numérica de tipo

interpolatorio construida sobre un soporte de (n+1) puntos {x0, ..., xn} y con un orden de exactitud m > n,

• h el valor dado por h = (b-a)• f(x) una función de clase Ck((a,b)) con k ≤ m.

SE VERIFICA QUE el error de integración numérica de la fórmula

aplicada a la evaluación de está acotado por:

=

≈ ∑∫b n

i iia

f(x)·dx c·f(x )0

∫b

a

f(x)·dxk 1n

(k 1f i

x (a,b)i 0

1 hR ((a,b)) h c · ·Sup f (x)(k 1)! 2

++

∈=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞≤ + ⎜ ⎟⎜ ⎟ + ⎝ ⎠⎝ ⎠∑

Si además no es negativo ningún peso ci una cota de error es


Obtención de fórmulas de integración numérica

Obtención de fórmulas de integración numérica

A) EL USO DE INTERVALOS DE REFERENCIA

B) MEDIANTE INTEGRACIÓN DEL POLINOMIO INTERPOLADOR

C) MÉTODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS

D) COMBINANDO DESARROLLOS EN SERIE DE TAYLOR

Métodos equivalentes

Permite simplificar los cálculos


Obtención de fórmulas de integración numérica: Intervalos de referencia


( ) a b b ax F ·β − α −= ξ = + ξ

β − α β − αb adx d−

= ξβ − α

α βIntervalo de referencia

ξ

a bIntervalo de integración

xx =F(ξ)

n

i ii 0

g( )·d ·g( )β

=α

ξ ξ ≈ γ ξ∑∫Suponemos conocida la fórmula:




( )b

a

F

d · f(F( ))·d

F( ) F(b)

xb a b af(x)·dx dx

a

β

α

ξ

ξ = ξ ξβ − α β

=− −

= =

= β =− α

α

∫ ∫

Llamando: g(ξ) = f(F(ξ)) = f◦F(ξ)

( ) ( )( )n

i i i ii 0

b n

i 0a

· g( )·d ·b a b a b af(x)·dx · ·g Ffβ

α ==

=⎛ ⎞− − −

= ⎜ ⎟ξ ξ ≈ γ ξ γ ξ⎝β − α β − α ⎠β − α∑ ∑∫ ∫

ci xiPesos en el intervalo (a, b)

Abscisas de integración en (a, b)




( ) a b b ax F ·β − α −= ξ = + ξ

β − α β − αb adx d−

= ξβ − α

n

i ii 0

g( )·d ·g( )β

=α

ξ ξ ≈ γ ξ∑∫

α βIntervalo de referencia

ξ

a bIntervalo de integración

xx =F(ξ)

Suponemos conocida la fórmula:

ξ1 ξi ξn

x1 xi xn

b n

i ii 0a

f(x)·dx c ·g(x )=

≈ ∑∫

Obtenemos en (a, b) la fórmula:




( ) iia b b ax F ·

2 2+ −

= +ξ ξ=

INTERVALOS DE REFERENCIA HABITUALES

(α, β) = (-1 , 1)

iib a·c

2−

γ=

( ) iix F a (b a)·ξ = + − ξ=(α, β) = (0 , 1)

( ) ii ·c b a= − γ




( )

a n

i ifi

iia

n

i0 0

(b a)R ((a,b)) f (F( ))·d · (F( ))(x)·dx c·f(x ) · f f=

β

=α

−ξ ξ − γ ξ

β − α= − = ∫∑∫ ∑

Error de integración en (a, b) a partir de la expresióndel error en (α, β):

g(ξ) g(ξι)g

(b a)·( )

R ((0,1))β α

=−−


Obtención de fórmulas de integración numérica: Intervalos de referencia - Ejemplo


1

0

1 1( )·dx · (0) · (1)2 2

ϕ ξ ≈ ϕ + ϕ∫

"( )(0,1) / R12ϕ

ϕ ξ∃ξ ∈ =

En el intervalo [0, 1] la fórmula del trapecio está dada por:

Una cota del error que con ella se comete, si ϕ(ξ) es de claseC2((0,1)), está dada por:

Se pide:a) Obtener la fórmula y la cota del error en un intervalo (a, b)

genéricob) Aplicarla al cálculo aproximado de:

6

4

1·dxx∫




+ −−

+≈= ξ−

−ξ∫ ∫0

b

a

1

f(a (b a)· )· · (b a) (b a)f(x)·dx (b a) ·f(a) ·f(b)2 2

d

0 1ξ

a bx

x = F(ξ) = a + (b-a)·ξ

x0 = F(0) = a x1 = F(1) = b

dx = F’(ξ)·dξ = (b-a)·dξ

Fórmula en (a, b)Aplicando la fórmula en (0,1)

a)




gf1R ((0,1))(b a) (b a)

1 0 1 0R ((a,b)) · · ·f "

1(a (b a)· )

( ) ( ) 2− −

+ −= ξ− −

=

0 1ξ

a bx

x = F(ξ) = a + (b-a)·ξ

x0 = F(0) = a x1 = F(1) = b


f”(x*)·(b-a)2

Luego:3

f(b a)R ((a,b)) ·f "(x*)

12−

=




6

4

1·dxx∫

6

4

1 1 1 10·dx 1· 1·x 4 6 24

≈ + = ≈∫

b) Aplicación al cálculo de

x0 = 4 + (6-4)·0 = 4 x1 = 4 + (6-4)·1 = 6

c0 = (6-4)/2 = 1 c1 = (6-4)/2 = 1

f0 = f(4) = 1/4 f1 = f(6) = 1/6

0.4166666………6

4

1·dx ln(3) ln(2) 0.4054651...x

= − ≈∫Valor exacto:

Valor aprox.:

Error: Rf((4,6) = (23/12)·(2·(x*)-3) ≤ (2/3)·2·4-3 = 0.02083333…

|Diferencia|0.011201,,,


Obtención de fórmulas de integración numérica: Integración del polinomio interpolador

Obtención de fórmulas de integración numérica: Integración del polinomio interpolador

n

i i0

fi

f(x) f(x )·L ( E (x x))=

= +∑b bn

ii 0

fa a

b

aif(x)·dx L (x)·dx f(x ) ( ·d· E x) x

=

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠∑∫ ∫ ∫

ci Rf((a,b))

Pueden obtenerse de esta manera fórmulas en un intervalo “cómodo”y posteriormente generalizarlas a intervalos cualesquiera.


Obtención de fórmulas de integración numérica: Integración del polinomio interpolador-Ejemplo


·( 1) ( 1)·( 1) ( 1)·(x) · ( 1) · (0) · (0)( 1)·( 2) (1)·( 1) (2)·(1)ξ ξ − ξ + ξ − ξ + ξ

ϕ ≈ ϕ − + ϕ + ϕ =− − −

a) Obtener una fórmula de integración de tipo interpolatorio sobre elintervalo [-1, 1] y soportada en las abscisas {-1, 0, 1}.

b) Generalizar la fórmula anterior a un intervalo genérico (a, b)

Solución:

a)

( ) ( ) ( )2 2 21 1· ( 1) 1· (0) · (1) p( )2 2

= ξ − ξ ϕ − + ξ − ϕ + ξ + ξ ϕ = ξ

c) Aplicarla al cálculo aproximado de:6

4

1·dxx∫




( ) ( ) ( )1 1 1 1

2 2 2

1 1 1 1

1 1( )·d ·d · ( 1) 1 ·d · (0) ·d · (1)2 2− − − −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ϕ ξ ξ ≈ ξ − ξ ξ ϕ − + − ξ ξ ϕ + ξ + ξ ξ ϕ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫

1/3 4/3 1/3

1

1

1 4 1( )·d ( 1) (0) (1)3 3 3−

ϕ ξ ξ ≈ ϕ − + ϕ + ϕ∫





+ −+ ξ ξ= − ≈∫∫

b 1

0a

(a b) (b a 1f(x)·dx ()f( · )· ·) db a2 2 2

-1 1ξ

a bx

x = F(ξ) = ½(a+b)+½(b-a)·ξ

x0=F(-1)=a x2=F(1)=b

dx = F’(ξ)·dξ = ½(b-a)·dξ

½(a+b)

x1=F(0)=½(a+b)

Aplicando la fórmula en (-1, 1)

⎛ ⎞≈ + + =⎜ ⎟

⎝

−

⎠

+⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(b a) a bf(a) f f(b)2

1 4 1·2 3 3 3

+⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞−= + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

a bf(a) f f(b)2

(b a)· 46

Fórmula de Simpson




c) Aplicación al cálculo aproximado de:6

4

1·dxx∫

≈ + + = ≈∫6

4

1 1 1 4 1 1 1 73·dx · · · 0.4055555....x 3 4 3 5 3 6 180

x0 = F(-1)= 4 x2 = F(1) = 6c0 = (6-4)/6 = 1/3 c2 = (6-4)/6 = 1/3f0 = f(4) = 1/4 f2 = f(6) = 1/6

6

4

1·dx ln(3) ln(2) 0.4054651...x


Valor aprox.:

x1 = F(0) = 5

c1 = 4·(6-4)/6 = 4/3

f1 = f(5) = 1/5

V. Exacto – V. aproximado = -0.000090447….(cien veces menor que

el cometido con la fórmula del trapecio en este caso)


Obtención de fórmulas de integración numérica: Método de coeficientes indeterminados


Recordatorio:

Toda fórmula de tipo interpolatorio construida sobre (n+1) puntos esExacta, al menos, para todo polinomio de grado menor o igual que n

En consecuencia, es exacta para 1, x, x2, …., xn. Aplicando la fórmula de integración numérica a estos monomios, se tiene:

b k 1 k 1nki

i 0

ki

a

c b a·x(

x1)

xk

d+ +

=

−= =

+∑ ∫ (k = 0, 1, ….n)

Sistema de (n+1) ecuaciones lineales con (n+1) icógnitas (los pesos ci)cuya resolución nos proporciona la fórmula buscada




Recordatorio:El error en las fórmulas de tipo interpolatorio tiene una expresión dela forma:

m 2 (m 1 m 1fR ((a,b)) K·(b a) ·f ( ) f C ((a,b))+ + += − ξ ∀ ∈

donde m es el orden de exactitud de la fórmula.

Aplicando la fórmula de intergación numérica al monomio xm+1 se tiene:b n

m 1 m 1 m 2i i

i 0a

x ·dx c·x K·(b a) ·(m 1) !+ + +

=

= + − + ⇒∑∫b n

m 1 m 1i i

i 0am 2

x ·dx c·xK

(m 1) !·(b a)

+ +

=+

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠⇒ =+ −

∑∫


Obtención de fórmulas de integración numérica: Método de coeficientes indeterminados -EjemploObtención de fórmulas de integración numérica: Método de coeficientes indeterminados -Ejemplo

0 1

1

0

·1 ·c 1c 1·dx 1=+ =∫0 1

1

0

11 1 x·· ·c c2

dx3 3 = =+ ∫

a) Obtener una fórmula de integración de tipo interpolatorio sobre elintervalo [0, 1] y soportada en las abscisas { 1/3 , 2/3}.


Solución:a)


4

1·dxx∫

Al haber 2 puntos en el soporte, la fórmula es exacta de orden,al menos, 1. Apliquémosla a los monomios {1, x}:

c0 = c1 = 1/2

Luego: ( ) ( )1

0

1 12

1 2f(x)·dx f2

f3 3· ·≈ +∫


Obtención de fórmulas de integración numérica: Método de coeficientes indeterminados. Ejemplo.Obtención de fórmulas de integración numérica: Método de coeficientes indeterminados. Ejemplo.

( ) ( )12 2

3 2

0

· · · 11 2 (1 0 ·) 2 x ·dx3 31 K2 3

12

−+ + = =∫

( ) ( ) ( )1

3

00 1

1 1f f (b a· · · ·) f " f(x)·dx3 3c Kc − ξ+ + = ⇒∫

Determinación de la expresión del error de la fórmula. ApliquémoslaA la función x2 (cuya 2ª derivada es 2) :

K = 1 / 36

fR ((0,1)) )136

·f "(= ξLuego:



b

a

1

0

(b a) 2a b (b a) a 2bf(x)·dx (b a) ·f ·f2

f(a (b a3 2

)· )3

· ·d − + − +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − +⎜ ⎟+ − ξ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝

ξ⎠

≈∫∫

0 1ξ

a bx

x = F(ξ) = a + (b-a)·ξ

x0 = F(1/3) x1 = F(2/3)


Fórmula en (a, b)Aplicando la fórmula en (0,1)

b) Generalización a un intervalo genérico:

1/3 2/3 (2a+b)/3 (2a+b)/3



gf1R ((0,1))(b a) (b a)

1 0 1 0R ((a,b)) · · ·f "

3(a (b a)· )

( ) ( ) 6− −

+ −= ξ− −

=

f”(x*)·(b-a)2

Luego:3

f(b a)R ((a,b)) ·f "(x*)

36−

=

0 1ξ

a bx

x = F(ξ) = a + (b-a)·ξ

x0 = F(1/3) x1 = F(2/3)

1/3 2/3 (2a+b)/3 (2a+b)/3


c) Aplicación al cálculo aproximado de:6

4

1·dxx∫


6

4

1 1 1 45·dx 0.40178571...2·4 6 4 2·6x 1123 3

·(6 4)2 + +

⎛ ⎞⎜ ⎟

≈ + =−

≈⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∫

Valor aproximado: x0 = (2·4 + 6) / 3 x1 = (4 + 2·6) / 3

6

4

1·dx ln(3) ln(2) 0.4054651...x


Error: V. Exacto – V. aproximado = 0.00367939….

3

x x*1/ x(6 4)R ((4,6)) ·(1/ x) "

36 =

−=

Estimación del error mediante la fórmula:

= (6-4)3 ·2·(x*)-3 / 72 = 4·(x*)-3 / 9

|Rf((4,6) < 4·(4)-3 / 9 = 0.00694444……


Obtención de fórmulas de integración numérica: Combinando desarrollos en serie de Taylor.


Si f es “suficientemente regular”, denotando por F a una primitiva deF (por lo que F(i+1(x) = f(x) ), se tiene que:

x0 x1 xi xj xna b

zSea z un punto cualquiera del intervalo [a, b] .

b

a

f(x)·dx F( ) F( ) F( ( )z z ) F( ( )b z z )b a a= − = + − − + − =∫i i

(i (i

i 1 i 1

b z zz ( ) ( )F( ) ·F ( ) F( ) ·F ( )i ! i !

z z za∞ ∞

= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −= + − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑

i 1 i 1i

0

(

i

( ) ( ) f ( )i 1

zazb!

·z+ +∞

= +− − −

= ∑




Por otra parte en la fórmula buscada se tiene que:

x0 x1 xi xj xna b

z

b n n

j j j jj 0 j 0a

f(x)·dx c·f(x ) c·f( (z zx ))= =

≈ = + − =∑ ∑∫i in n

j j(i (ij j

j 0 i 0 i 0 j 1

(x ) (x )c· ·f ( ) c· ·f ( )

iz z

z!

zi !

∞ ∞

= = = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑ ∑ ∑




inj (i

aprox ji 0 j 1

(x )V

zzc· ·f ( )

i !

∞

= =

⎛ ⎞−= ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑

x0 x1 xi xj xna b

z

i 1 i 1

i

(iexa

0c

( ) ( ) ·V fz zb a ( )1!

zi

+ +∞

=

− − −=

+∑

Comparando los primeros (n+1) términos no nulos de ambos desarrollos:ii 1 i 1 n

jj

j 1

(x )( ) ( ) c· (i 0,1,.....)i 1! i

zb az z!

+ +

=

−− − −= =

+ ∑Pudiendo formarse un sistema de (n+1) ecuaciones con (n+1) incógnitas (los pesos de la fórmula ci).




x0 x1 xi xj xna b

z

Denotando por H a la longitud de [a, b] puede expresarse cualquierpunto del soporte como xj = z + θj·H (i = 0, …, n) donde -1<θj<1.Análogamente: a = z + θa·H y b = z + θb·H. Con esta notación:

Hθi·H

θj·H θb·Hθa·H




ii 1 i 1 nj

jj 1

(x )( ) ( ) c· (i 0,1,.....)i 1! i

zb az z!

+ +

=

−− − −= =

+ ∑

i ii 1 i 1 nji 1ab

jj 1

·H·H c· (i 0,1,.....)

i 1! i !

+ ++

=

θθ − θ= =

+ ∑

i 1 i 1ni iab

j jj 1

c· ·H (i 0,1,.....)(i 1)

+ +

=

θ − θθ = =

+∑

Sistema de (n+1) ecuaciones con (n+1) incógnitas (los pesos de la fórmula ci).




El procedimiento anterior permite plantear un sistema que propor-cione los coeficientes de la fórmula numérica buscada.

Una vez conocidos los coeficientes, coincidirán los m primeros términos del desarrollo en serie de Vexac y de Vaprox, siendo elorden de exactitud de la fórmula (m+1).

Si la función f es de clase Cm+1((a,b)) el error de la fórmula tienela expresión:

m 1m 2 m 2 njm 2 m 1 (m 1ab

jfj 1

R ((a,b)) H c· ·H ·f ( )(m 2) ! (m 1) !

++ ++ + +

=

⎛ ⎞θθ − θ= − ξ⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

∑

donde ξ es algún punto de (a, b).




COMENTARIOS:a) Es frecuente plantear este método en los intervalos de referencia

[0, 1] o [-1, 1] para después generalizar las fórmulas a intervalosgenéricos.

b) Es habitual tomar como punto z alguno de los extremos del inter-valo de integración (z = a ó z = b) o el punto medio de dicho intervalo (z = (a+b)/2 ). En esos casos o θa = 0 y θb = 1, o θa = -1 y θb = 1, o θa = -½ y θb = ½. Ello simplifica las expresiones anteriores.


Obtención de fórmulas de integración numérica: Combinando desarrollos en serie de Taylor-EjemploObtención de fórmulas de integración numérica:

Combinando desarrollos en serie de Taylor-Ejemplo

' " ''' (iv (v (viF( ) F ( ) F ( ) F ( ) F (1 1 1 1 10 0 0 0 0 0 0 ... 02 3 ! 4 ! 5 ! 6 !

) F ( ) F ( ) F( )+ + + + + + −= +

1

0

F( ) F( )f(x)·dx 1 0= − =∫

a) Obtener una fórmula de integración de tipo interpolatorio sobre elintervalo [-1, 1] y soportada en las abscisas {0, 1/2 , 1}.



4

1·dxx∫

Vexac =

SOLUCIÓN:

''' (iv (v1 1 1 1 1f(0) f'(0) f "(0) f (0) f (0) f (0) ...2 3 ! 4 ! 5 ! 6 !

+ + + += + +




0 2121·f(0) ·f( ) ·fc c 1c ( )+ + =

''' (iv (v2 3 4 50 1

1 1 1 1 1·f(0) · f(0) ·f'(0) ·f "(0) ·f (0) ·fc c (0) ·f (0) ...2 2 ·2 2 ·3 ! 2 ·4 ! 2 ·5 !

⎛ ⎞= + + + + + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

Vaprox=

''' (iv v2

(1 1 1 1· f(0) f'(0) ·f "(0) ·f (0) ·f (0) ·c f (0) ...2 3 ! 4 ! 5 !

⎛ ⎞+ + + + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

= f(0)·(c0 + c1 + c2) + f’(0)·( ½ c1 + c2) + f”(0)·((1/8)c1 + ½c2) +

+ f’’’(0)·((1/48)c1 + (1/6)c2) + f(iv(0)·((1/384)c1 +(1/24) c2) +

+ f(v(0)·((1/3840)c1 + (1/120)c2) +……




Igualando los coeficientes de f(0) en Vexac y Vaprox:c0 + c1 + c2 = 1 (ec. 1ª)

Igualando los coeficientes de f’(0) en Vexac y Vaprox:

½ c1 + c2 = ½ (ec. 1ª)

Igualando los coeficientes de f”(0) en Vexac y Vaprox:

(1/8) c1 + ½ c2 = 1/6 (ec. 3ª)

De las ecuaciones 1ª, 2ª y 3ª se tiene que:

c0 = 1/6 , c1 = 2/3 , c2 = 1/6




( ) ( )( )1

12

0

1f( )·d · f 0 4·f f(1)6

ξ ξ ≈ + +∫

''' (c

va

ivx

(e

1 1 1 1 1f(0) f'(0) f "(0) f (0) f (0) f (0) ...2 3 ! 4 ! 5 ! 6 !

V = + + + + + +

Determinación del error:

Vaprox = f(0)+ ½ f’(0) + (1/6)·f”(0) + (1/24)·f’’’(0) + (5/576)·f(iv(0) +…

Error = Vexac-Vapr = ( (1/5!)-(5/576) )·f(iv(0) + …. =

(iv (iv1 1·f (0) ... ·f ( *)2880 2880− −

= + = ξ




( ) ( )( )b

(a b)2

a

(b a)f(x)·dx · f a 4·f f(b)6

+−≈ + +∫

b) Se dejan los detalles como ejercicio propuesto.

5(iv

f(a b)R ((a,b) ·f (x*)2880−

=

c) Ver el tercer apartado del ejemplo realizado en el método de“integración del polinomio interpolador”

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