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1 Semestre 3 Fascículo 3 Matemáticas Financieras

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Semestre 3

Fascículo

3

Matemáticas

Financieras

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Matemáticas

financieras Semestre 3

Matemáticas financieras

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Matemáticas financieras

Semestre 3

Tabla de contenido Página

Introducción 1

Conceptos previos 1

Mapa conceptual fascículo 3 2

Logros 2

Tasas de interés 2

Tasa de interés efectiva 5

Tasa de interés nominal 5

Tasa de interés periódica 6

Relaciones y cálculos entre tasas efectivas, nominales y

periódicas 6

Equivalencias entre tasas vencidas y tasas anticipadas 12

Otras tasas de interés 15

Ecuaciones de valores equivalentes 16

Actividad de trabajo colaborativo 20

Resumen 21

Bibliografía recomendada 22

Nexo 22

Seguimiento al autoaprendizaje 23

Créditos: 3

Tipo de asignatura: Teórico – Práctica

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Matemáticas

financieras Semestre 3

Matemáticas financieras

Copyright©2008 FUNDACIÓN UNIVERSITARIA SAN MARTÍN

Facultad de Universidad Abierta y a Distancia,

“Educación a Través de Escenarios Múltiples”

Bogotá, D.C.

Prohibida la reproducción total o parcial sin autorización

por escrito del Presidente de la Fundación.

La redacción de este fascículo estuvo a cargo de

CARLOS FERNANDO COMETA HORTÚA

Tutor Programa Administración de Empresas

Sede Bogotá, D.C.

Revisión de estilo y forma;

ELIZABETH RUIZ HERRERA

Directora Nacional de Material Educativo.

Diseño gráfico y diagramación a cargo de

SANTIAGO BECERRA SÁENZ

ORLANDO DÍAZ CÁRDENAS

Impreso en: GRÁFICAS SAN MARTÍN

Calle 61A No. 14-18 - Tels.: 2350298 - 2359825

Bogotá, D.C., Octubre de 2009.

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Fascículo No. 3

Semestre 3

Matemáticas financieras

Matemáticas

financieras

Introducción

Tal vez uno de los temas de mayor complejidad en el estudio de las

Matemáticas Financieras, lo constituye las equivalencias de las tasas de

interés. Estas relaciones, que se desprenden de esquemas de trabajo de

interés compuesto, han sido objeto de diversas intenciones didácticas para

su presentación, sobre todo en el uso de las tasas nominales, que son

utilizadas más por una tradición comercial que por una necesidad real.

El empleo correcto de los conceptos básicos de las conversiones de tasas

de interés, es un factor determinante para la gestión del responsable de las

finanzas en una organización, que no puede incurrir en imprecisiones

imperdonables como pretender que un 3% es equivalente a un 36%

Efectivo Anual, cuando en realidad es equivalente a un 42,576% E.A. y una

decisión derivada de ello, puede marcar la diferencia entre el éxito o el

fracaso empresarial.

Por último, el cálculo de valores equivalentes es esencial para trasladar

conjuntos de obligaciones en el tiempo, situación que se presenta muy a

menudo en el ejercicio de reconversión de Pasivos mediante la aplicación

del factor de acumulación a interés compuesto (1+i)n.

Conceptos previos

El estudiante deberá manejar con suficiencia los conceptos y principios del

interés compuesto, ejercitándose en el despeje de todas las variables que

intervienen en este tipo de transacciones.

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Matemáticas financieras

Matemáticas

financieras

Fascículo No. 3

Semestre 3

Tasas de Interés Vencidas

Interés Compuesto

Tasas de Interés Anticipadas

Ecuaciones de Valores

Equivalentes

A partir del

Se generan equivalencias de

Que apoyan las

Operaciones financieras complejas

y otras

ia ipai ip

Mapa conceptual fascículo 3

Al finalizar el estudio del presente fascículo, el estudiante estará en capa-

cidad de:

Comprender y resolver todo tipo de relaciones entre diferentes tasas de

interés en las operaciones que comprenden la gestión financiera.

Entender y construir ecuaciones de valores equivalentes, así como dia-

gramas de tiempo y valor que permitan expresar correctamente las dimen-

siones del dinero en el tiempo.

Evaluar la trascendencia del desarrollo de competencias en manejo de

tasas de interés, para incursionar con responsabilidad en escenarios finan-

cieros complejos.

Familiarizarse con las cuantías de las tasas que se manejan en el mercado

financiero y con los indicadores más importantes en el lenguaje económico

del país.

Tasas de Interés

Las tasas de interés normalmente se expresan en forma anual. De hecho si

la tasa se expresa sin mencionar período alguno de capitalización, se

LogrosLogrosLogros

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Matemáticas financieras

Matemáticas

financieras

Fascículo No. 3

Semestre 3

Dos tasas son equivalen-tes cuando producen los

mismos intereses, con dife-

rentes períodos de capital-

zación.

entiende que este es anual y además, que opera bajo esquemas de interés

compuesto. No obstante, en ocasiones la naturaleza de la transacción

exige un número de capitalizaciones diferente al año, por lo cual se deben

expresar las tasas en períodos como meses, trimestres, semestres, etc.

Estas conversiones de tasas en Interés Simple, se realizan dividiendo las

tasas anuales, o multiplicando las tasas de períodos inferiores a un año. En

Interés Compuesto, en cambio, se requiere el uso de fórmulas para hallar

las equivalencias entre tasas de interés.

Por ejemplo, la tasa de interés que se reconoce en una cuenta de ahorros

normalmente se expresa en forma anual, pero es posible que se capita-

licen intereses en forma mensual o trimestral, para lo cual es necesario

hallar el equivalente mensual o trimestral de esa tasa anual. De igual

manera, las tasas de interés a las que se otorgan los créditos bancarios,

usualmente se publican en su expresión anual, pero si las amortizaciones

son mensuales o semestrales, se debe hallar la equivalencia de la tasa

anual a ese período establecido.

En el fascículo 2 se planteó como conclusión del Ejemplo 9, que una tasa

de interés del 1% mensual es equivalente a un 12,682503% efectivo anual.1

La explicación de esto es que cada mes se produce una capitalización del

1% sobre el valor acumulado (capital + interés) del período anterior, hasta

llegar a incrementarse en un 12,682503% en un año.

Ahora se comprobará esta equivalencia mediante un ejemplo de inversión

en el que se emplean las dos tasas (mensual y anual):

Ejemplo 1

Un capital de $5.000.000 es invertido durante 12 meses a una tasa del:

1

Esta afirmación contradice la suposición de la mayoría de las personas, de que 1% mensual es equivalente a 12% anual.

Esto es válido solamente para el Interés Simple.

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Matemáticas financieras

Matemáticas

financieras

Fascículo No. 3

Semestre 3

a. 1% mensual

b. 12,682503% efectivo anual

Hallar el Valor Futuro de estas transacciones.

Solución A. Se resuelve el problema con la tasa mensual. Los datos

son:

P = $5.000.000; n = 12 meses i = 1% mensual

F = P (1+i)n

F = 5.000.000 (1+0,01)12

F = 5.634.12515

Solución B. Se resuelve el problema con la tasa anual. Los datos son:

P = $5.000.000; n = 1 año i = 12,682503%

anual

F = P (1+i)n

F = 5.000.000 (1+0,12682503)1

F = 5.634.12515

De esta manera queda comprobado que una tasa de interés del 1%

mensual es equivalente a un 12,682503% efectivo anual.

La complejidad de estas equivalencias ha llevado a distinguir tres tipos de

tasas de interés, cuando se aplican esquemas de Interés Compuesto; no

obstante, las tasas que se utilizan en las fórmulas son las efectivas y las

periódicas.

Respuesta: El Valor Futuro (F) es de $5.634.12515

Respuesta: El Valor Futuro (F) es de $5.634.12515

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Matemáticas financieras

Matemáticas

financieras

Fascículo No. 3

Semestre 3

Frecuencia de conversión

(m) cantidad de veces que se

capitaliza una tasa de interés

en un año.

Tasa de Interés Efectiva (i)

Es la tasa de rendimiento que se obtiene al cabo de un año. Esta tasa de

interés permite comparar otras tasas bajo una base común (año). De

hecho la tasa de interés efectiva es el instrumento apropiado para medir y

comparar el rendimiento de distintas alternativas de inversión.

Se ha convenido entre algunos especialistas que la denominación

“Efectiva”, se reserve para las tasas anuales y NO para tasas que se

capitalizan en períodos menores a un año.

Es usual expresar las tasas de Interés Efectivas, así:

24% Efectiva Anual 20,1% Efectiva 21,52% Anual

16,3% E.A. 18,5% E. 14,2% A.

28% Capitalizable anualmente

Tasa de Interés Nominal (j)

Es la tasa de interés que se expresa en forma anual, pero se capitaliza

varias veces al año. Estas tasas siempre van acompañadas de unas letras

que indican que deben dividirse en un número de períodos (entre la

frecuencia de conversión).

La cuantía de estas tasas no refleja el verdadero rendimiento de intereses.

Suele utilizarse para hallar la tasa que debe capitalizarse en cada período

(aunque hay métodos más sencillos).

Es usual expresar las tasas de Interés Nominal (j), así:

29% nominal anual capitalizable mensualmente ó 29% C.M.

16,25% convertible trimestralmente ó 16,25% C.M.

32% capitalizable bimestre vencido ó 32% B.V.

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Matemáticas financieras

Matemáticas

financieras

Fascículo No. 3

Semestre 3

De esta manera, la frecuencia de conversión (m) de una tasa nominal

convertible mensualmente es m = 12; y la frecuencia de conversión (m)

de una tasa nominal capitalizable trimestralmente es m = 4.

Tasa de Interés Periódica (ip)

Es la tasa que se capitaliza en cada período menor a un año. Así, en el

ejemplo 1 de este fascículo, el 1% corresponde a una tasa de interés

periódica mensual (ip).

Es usual expresar las tasas de Interés periódicas (ip), así:

1,8% mensual 3,44% trimestral 12% semestral

1,1% quincenal 3% bimensual 0,8% semanal

A juicio de algunos autores, las tasas nominales no cumplen una

función necesaria en el mercado financiero y contribuyen a

generar confusiones entre los usuarios de la información. Esto se

sustenta en que las conversiones de tasas efectivas-periódicas,

pueden realizarse sin hacer esta transición, que además, prolonga

sin necesidad la operación. De hecho, las tasas nominales no se

deben utilizar en la ejecución de las fórmulas. Cuando en la

información recibida se encuentra una tasa nominal, simplemente

se convierte a la tasa periódica y se aplica en la ecuación.

Para efectos de lograr una comunicación efectiva entre el público,

lo más pertinente es expresar todas las tasas en términos de

“Efectivo Anual”, para facilitar las comparaciones y la toma de

decisiones.

Relaciones y cálculos entre tasas efectivas, nominales y periódicas

Para convertir una tasa nominal (j) a una tasa periódica (ip), basta con

dividir la tasa nominal (j) entre la frecuencia de conversión (m):

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Matemáticas financieras

Matemáticas

financieras

Fascículo No. 3

Semestre 3

mipj *

m

jip

(Fórmula 3.1)

Donde:

ip = Tasa de Interés Periódica

j = Tasa de Interés Nominal

m = Frecuencia de conversión

Observe ahora algunos ejemplos de estas relaciones (tabla 3.1)

Frecuencia de

Conversión (m )

Operación

realizada

21% C.M. 12 0,21 / 12 1,75% mensual

24% C.Semestral 2 0,24 / 2 12% semestral

18% T.V. 4 0,18 / 4 4,5% trimestral

Tasa Periódica (ip )Tasa Nominal (j )

Tabla 3.1 Conversión de tasas nominales a periódicas.

En sentido contrario (si se requiere), para convertir una tasa periódica (ip)

a una tasa nominal (j), se multiplica la tasa periódica (ip) por la frecuencia

de conversión (m):

Observe ahora algunos ejemplos de estas relaciones (tabla 3.2)

Frecuencia de

Conversión (m )

Operación

realizada

2% mensual 12 0,02 * 12 24% C.M.

3,5% bimensual 6 0,035 * 6 21% C.B.

9,8% semestral 2 0,098 * 2 19,6% S.V.

Tasa Periódica (ip ) Tasa Nominal (j )

Tabla 3.2 Conversión de tasas periódicas a nominales.

Es importante descifrar las relaciones entre las tasas nominales y perió-

dicas, pero de mayor importancia es la relación entre las tasas efectivas y

las tasa periódicas, ya que son estas las que se aplican en las fórmulas y

sobre las cuales se establecen las equivalencias en la realidad.

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Matemáticas financieras

Matemáticas

financieras

Fascículo No. 3

Semestre 3

Tasa Periódica Tasa Efectiva Anual

Para hallar la tasa Efectiva Anual (i) equivalente a una Tasa Periódica (ip)

se aplica la siguiente fórmula:

1)1( mipi (Fórmula 3.2)

Donde:

i = Tasa de Efectiva Anual

ip = Tasa de Interés Periódica

m = Frecuencia de conversión

Con esta fórmula también es posible hallar equivalencias entre tasas de

interés periódicas a otras tasas periódicas con mayores períodos de

capitalización. Por ejemplo, convertir una tasa mensual a una trimestral o

convertir una tasa bimensual a una tasa semestral.

Para ilustrar esta fórmula, se presenta el siguiente ejemplo:

Ejemplo 2

Se conoce una tasa del 2% mensual y se requiere hallar su equivalente

a) Anual; b) Semestral; c) Trimestral

Solución A. Tasa de interés Efectiva Anual

i = (1+ip)m

-1

i = (1+0,02)12

-1

i = 0,26824179

Respuesta: Un 2% mensual es equivalente a un 26,824179% anual

Solución B. Tasa de interés Semestral.

i = (1+ip)m

-1

iSemestral

= (1+0,02)6

-1

iSemestral

= 0,12616242

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Matemáticas financieras

Matemáticas

financieras

Fascículo No. 3

Semestre 3

Respuesta: Un 2% mensual es equivalente a un 12,616242% semestral

Solución C. Tasa de interés Trimestral.

i = (1+ip)m

-1

iTrimestral

= (1+0,02)3

-1

iTrimestral

= 0,061208

Respuesta: Un 2% mensual es equivalente a un 6,1208% trimestral.

Ahora se comprobará que estas tasas halladas son equivalentes entre sí.

De acuerdo con lo ya anotado “Dos tasas son equivalentes cuando

producen los mismos intereses, con diferentes períodos de capitalización”.

La demostración se realizará invirtiendo un capital de $100.000 durante

dos años y se realizará la comparación del Valor Futuro (F). La fórmula

es: F = P (1+i)n

Veamos:

Tasa y Tiempo Despeje de la Fórmula Valor Futuro

Mensual (24 meses): F = 100.000 (1+0,02)24

= 160.84372

Trimestral (8 trimestres): F = 100.000 (1+0,061208)8

= 160.84372

Semestral (2 semestres): F = 100.000 (1+0,12616242)4

= 160.84372

Anual (2 años): F = 100.000 (1+0,26824179)2

= 160.84372

Como se observa, todos los resultados son los mismos, luego las tasas

son equivalentes. Sólo se ha aplicado la tasa respectiva y el tiempo

expresado en la misma unidad de la tasa de interés.

Tasa Efectiva Anual Tasa Periódica

De igual manera, para hallar la Tasa Periódica (ip) equivalente a una tasa

Efectiva Anual (i), se utiliza la misma estructura y solamente se invierte la

frecuencia de conversión (m), que se aplica como 1/m, así:

1)1( /1 miip (Fórmula 3.3)

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Matemáticas financieras

Matemáticas

financieras

Fascículo No. 3

Semestre 3

Con esta variación de la fórmula también es posible hallar equivalencias

entre tasas de interés periódicas a otras tasas periódicas con menores

períodos de capitalización. Por ejemplo, convertir una tasa semestral a una

tasa trimestral o convertir una tasa bimensual a una tasa mensual.

Ahora, se analizarán las conversiones de tasas cuando se cuenta con la

Tasa Efectiva Anual:

Ejemplo 3

Se conoce la Tasa de Interés del 36% E. A. y se requiere establecer su

equivalente:

a) Semestral; b) Bimensual; c) Mensual.

Solución A. Tasa de interés Periódica Semestral.

ip = (1+i)1/m

-1

iSemestral

= (1+0,36)1/2

-1

iSemestral

= 0,16619038

Respuesta: Un 36% E.A. es equivalente a un 16,619038% semestral

Solución B. Tasa de interés Periódica Bimensual.

ip = (1+i)1/m

-1

iBimensual

= (1+0,36)1/6

-1

iBimensual

= 0,05258332

Respuesta: Un 36% E.A. es equivalente a un 5,258332% bimensual

Solución C. Tasa de interés Periódica Mensual.

ip = (1+i)1/m

-1

iMensual

= (1+0,36)1/12

-1

iMensual

= 0,02595483

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Matemáticas financieras

Matemáticas

financieras

Fascículo No. 3

Semestre 3

EFECTIVA

ANUAL

NOMINAL

VENCIDA

PERIÓDICA

VENCIDA

i

j ip

mipj *

m

jip

1)1( mipi

1)1( /1 miip

1)1( m

m

ji

mij m *1)1( /1

Respuesta: Un 36% E.A. es equivalente a un 2,595483% mensual

Con el fin de comprobar que estas tasas de interés son equivalentes entre

sí, se realizará una inversión por valor de $200.000 durante tres años y se

realizará la comparación del Valor Futuro (F). La fórmula es:

F = P (1+i)n Veamos:

Tasa y Tiempo Despeje de la Fórmula Valor Futuro

Anual (3 años): F = 200.000 (1+0,36)3

503.091

Semestral (6 semestres): F = 100.000 (1+0,16619038)6

503.091

Bimensual (18 bimestres): F = 100.000 (1+0,05258332)18

503.091

Mensual (36 meses): F = 100.000 (1+0,02595483)36

503.091

Como se observa, todos los resultados en Valor Futuro son los mismos,

luego las tasas son equivalentes.

Ahora se presenta una figura que registra las relaciones entre las tasas

Periódicas-Nominales-Efectivas y las fórmulas que las articulan:

Figura 3.1 Equivalencias entre tasas efectivas-nominales-periódicas.

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Matemáticas financieras

Matemáticas

financieras

Fascículo No. 3

Semestre 3

Semestral Trimestral Bimensual Mensual

21%

9%

3,20%

1,80%

5%

Tasas Periódicas VencidasEfectiva

Anual

3.1

Diligencie el cuadro con las equivalencias respectivas:

Equivalencias entre tasas vencidas y tasas anticipadas

El modelo general del interés compuesto parte de la idea de una

proporción del capital inicial, conocida como interés. Sin embargo, hay

situaciones en las que se debe determinar esta proporción, calculada

sobre el monto final ya establecido, hacia el presente, la cual se conoce

como descuento.

Las tasas empleadas en estas modalidades de descuento son llamadas

Tasas Anticipadas (ia) y si se trata de tasas con periodicidad menor a un

año, para conservar la línea de nomenclatura manejada hasta ahora, las

llamaremos Tasas Periódicas Anticipadas (ipa).

Por medio del ejemplo que se detalla a continuación, se ilustran las

relaciones entre estas tasas anticipadas y las tasas vencidas.

Ejemplo 4

Una deuda contraída hace algún tiempo fue garantizada mediante un

pagaré que vence dentro de 18 meses, por valor total de $40.000.000. Hoy

se desea cancelar la obligación y se pacta una tasa anticipada del 1,6%

mensual. ¿Cuánto dinero se debe pagar el día de hoy?

La fórmula que se utilizará para esta operación es una variante de la de

Valor Presente a Interés Compuesto, donde se incorpora la variable “Tasa

Anticipada”, así:

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Matemáticas financieras

Matemáticas

financieras

Fascículo No. 3

Semestre 3

i

iia

1

P = F (1-ia)n

P = 40.000.000 (1-0,016)18

P = 29.920.700,92

Respuesta: Para cancelar la obligación hoy, luego de la operación de

descuento, se deben pagar $29.920.70092

Luego de resolver esta transacción, surge la inquietud por establecer

cómo se relacionan las Tasas Anticipadas (ia) con las Tasas de Interés

Vencidas (i). Pues bien, existen unas fórmulas que permiten realizar con-

versiones entre estas tasas de interés, las cuales se exponen a conti-

nuación:

Tasa Vencida (i) Tasa Anticipada (ia)

Conociendo una Tasa Vencida es posible hallar su equivalente Anticipada,

así:

(Fórmula 3.4)

Tasa Anticipada (ia) Tasa Vencida (i)

Igualmente, conociendo una Tasa Anticipada es posible hallar su

equivalente Vencida, así:

a

a

i

ii

1 (Fórmula 3.5)

Ejemplo 5

Con base en la información del ejemplo 4, hallar la tasa vencida mensual

equivalente y probarla por medio de la fórmula de Valor Futuro.

La fórmula a utilizar es la 3.5, es decir:

a

a

i

ii

1

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Matemáticas financieras

Matemáticas

financieras

Fascículo No. 3

Semestre 3

a

a

i

ii

1

016,01

016,0

i

01626016,0i

Respuesta: Una tasa del 1,6% mensual anticipada es equivalente a una

tasa del 1,626016% mensual vencida.

Ahora se procede a probar que estas tasas son equivalentes, aplicando la

tasa vencida en una operación de Valor Futuro, con la información

resultante del ejemplo 4, así:

F = P (1+i)n

F = 29.920.700,92 (1+0,01626016)18

P = 40.000.000

Obsérvese que al invertir los $29.920.70092

que habría que pagar hoy, a

razón del 1,626016% mensual vencida, se obtiene de nuevo el Valor Futuro

de $40.000.000.

Veamos otras relaciones interesantes entre tasas vencidas y anticipadas,

por medio de un ejemplo típico.

Ejemplo 6

Hoy recibo prestados $10.000.000 durante 3 meses y me anuncian que el

pago de intereses es al 5% trimestral por anticipado. ¿Qué tasa de interés

trimestral vencida aplica en la transacción?

Aplicando la fórmula para convertir la tasa anticipada (ia) a una tasa

vencida (i), se tiene:

a

a

i

ii

1

05,01

05,0

i

05263158,0i

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Matemáticas financieras

Matemáticas

financieras

Fascículo No. 3

Semestre 3

Captación: Proceso mediante el cual

el sistema financiero reco-

ge recursos del público

ahorrador y los utiliza co-

mo fuente del mercado fi-

nanciero.

http://www.businesscol.co

m/productos/glosarios/eco

nomico

Respuesta: Una tasa del 5% trimestral anticipada es equivalente a una

tasa del 5,263158% trimestral vencida.

Otra forma de calcular la tasa es considerar las variables de la transacción

y deducirla. Al recibir el dinero me liquidan el 5% de intereses que equi-

valen a $500.000 y no me entregan los $10.000.000, sino solamente

$9.500.000. No obstante, dentro de 3 meses debo pagar los $10.000.000

completos (ya los intereses se encuentran cancelados).

Con esta información se puede reducir la operación a una de Valor Futuro

donde se despeja la Tasa de Interés (i), con los siguientes datos:

P = $9.500.000 F = $10.000.000 n = 1 trimestre

1

/1

n

P

Fi

1000.500.9

000.000.101/1

05263158,0

Se confirma la respuesta que señala, que una tasa del 5% trimestral

anticipada es equivalente a una tasa del 5,263158% trimestral vencida.

Otras Tasas de Interés

En el contexto financiero colombiano es frecuente el uso de otras tasas de

interés que regulan y orientan el quehacer económico y comercial. A

continuación se enuncian algunas de las más relevantes en el país.

Respecto de las operaciones de captación y colocación de recursos de

los intermediarios financieros, existen dos tipos de tasas de interés: Las

tasas pasivas o de captación son las que los intermediarios financieros

reconocen a los clientes por el dinero que reciben de estos; y las tasas

activas o de colocación, son las que cobran los intermediarios financieros

a los clientes por concepto de créditos, en sus diferentes modalidades.

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Matemáticas financieras

Matemáticas

financieras

Fascículo No. 3

Semestre 3

El IPC es un indicador que

mide la variación de precios

de una canasta de bienes y

servicios representativos del

consumo de los hogares del

país.

http://www.dane.gov.co

Para calcular la tasa de usura se toma la tasa de

interés bancario corriente

certificada por la Superin-

tendencia Financiera y se

incrementa en un 50% (es

decir, se multiplica por 1,5).

Una tasa de interés muy importante en la economía colombiana es la DTF.

Esta tasa se ha convertido en la principal referencia del costo de los

recursos del país. De acuerdo con el Banco de la República, la DTF es “el

promedio ponderado de las tasas de interés de los CDT de captación a 90

días ofrecidas por el sistema financiero colombiano”.

La tasa de inflación, por su parte, refleja la variación del Índice de Pre-

cios al Consumidor (IPC), que en Colombia es medido por el Departa-

mento Administrativo Nacional de Estadística (DANE). Estos incrementos

en el nivel general de precios afectan el poder adquisitivo del dinero frente

a la canasta de bienes y servicios. A la tasa a la cual se ha descontado el

efecto de la inflación se le conoce como tasa de interés real.

Respecto del límite para el cobro de intereses en las operaciones comer-

ciales y financieras, en Colombia existe la Tasa de Usura. Su función

principal es evitar que se cobren intereses excesivos a todos aquellos

quienes solicitan créditos.

La Tasa Interna de Retorno es un indicador de evaluación financiera para

proyectos de inversión que analiza la rentabilidad de los flujos de fondos.

Así mismo, se define como la tasa de interés que hace que el Valor

Presente Neto sea igual a cero. Esta tasa se estudiará con detalle en el

fascículo 8.

Ecuaciones de Valores Equivalentes

Una vez abordados los problemas financieros a interés compuesto, donde

normalmente interviene un Valor Presente (P), una Tasa de Interés (i) y un

tiempo (n), surgen situaciones un poco más complejas donde convergen

varias transacciones que es preciso resolver en una sola operación, con el

fin de igualar y resolver un conjunto de derechos y obligaciones, pactando

nuevas condiciones de pago.

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Matemáticas financieras

Matemáticas

financieras

Fascículo No. 3

Semestre 3

Fecha Focal: Es la fecha que se elige

para hacer coincidir el va-

lor de las diferentes opera-

ciones, dicho de otra ma-

nera es la fecha que

se escoge para la equiva-

lencia.

0 6

F.F

$ 8.000.000 $ 15.000.000

HOY

4 5

X

1 2 3

Estas comparaciones en el tiempo tienen lugar en un momento

denominado “Fecha Focal” (F.F.), concepto que tiene aplicación en el

manejo de las matemáticas financieras tradicionales y en ejercicios de

evaluación financiera de proyectos de inversión. La fecha focal supone que

los valores que se encuentran en diferentes momentos en una línea de

tiempo, deben ser trasladados a un solo momento, que puede ser en el

futuro o en el presente, para que esas cantidades representen su

equivalencia frente a las obligaciones existentes.

Con el fin de ilustrar el planteamiento de ecuaciones de valor, se presentan

los siguientes casos:

Ejemplo 7

Se han adquirido dos deudas respaldadas por letras de cambio que tienen

vencimientos así: La primera letra de cambio vence hoy por un valor total

de $8.000.000, y la segunda vence dentro de 2 meses por un valor total de

$15.000.000. Se acuerda con el acreedor, ampliar el plazo de las dos

obligaciones y realizar un solo pago dentro de 6 meses, para lo cual se ha

pactado una tasa de interés del 2,5% mensual. Se desea establecer el

valor del pago final.

Figura 3.2 Representación del ejemplo 7.

Para resolver este acuerdo, se ha de precisar que la fecha focal se ubica

en el sexto mes, ya que es allí donde se ha pactado el pago total de la

obligación. Luego se resolverá por medio de este planteamiento:

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Matemáticas financieras

Matemáticas

financieras

Fascículo No. 3

Semestre 3

0 6

F.F

$ 8.000.000 $ 15.000.000

HOY

4 5

X

1 2 3

El valor del pago (en el sexto mes) es igual a: el Valor Futuro de la primera

obligación (6 meses después), más el Valor Futuro de la segunda

obligación (4 meses después). Es decir:

Valor Pago = Valor Futuro Obligación 1 + Valor Futuro Obligación 2

Figura 3.3 Planteamiento de solución del ejemplo 7.

Al trasladar esta proposición a una ecuación quedaría:

X = 8.000.000(1+0,025)6

+ 15.000.000(1+0,025)4

X = 9.277.547,35 + 16.557.193,36

X = 25.834.740,71

Respuesta: El valor del pago final es de $25.834.74071

Obsérvese que el pago se ubica a un lado del igual y las deudas se ubican

al otro lado. Además se utilizó la fórmula de Valor Futuro (F) para trasladar

los valores en el tiempo F = P(1+i)n

.

Lo que se logró fue hallar el valor equivalente de cada una de las deudas,

en el sexto mes, a una tasa del 2,5%. Al hacerlo, es posible sumar las

cantidades para establecer el valor del pago en esa fecha. De no hacerlo,

sería equivocado sumar las cantidades, ya que al encontrarse en períodos

diferentes sus capacidades de pago no serían equivalentes. Ahora se

analiza un caso contrario en el tiempo:

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Matemáticas financieras

Matemáticas

financieras

Fascículo No. 3

Semestre 3

0 1 2 3 4 5 6 7 128 9 10 11

X

$ 48.000.000 $ 10.000.000 $ 25.000.000

F.F

Ejemplo 8

El Gerente Financiero de la empresa recibe un crédito con una tasa de

interés muy baja y decide cancelar el día de hoy, tres Pagarés con su

proveedor, cuyos montos y vencimientos son:

1. Valor total de $25.000.000 con vencimiento dentro de 9 meses

2. Valor total de $10.000.000 con vencimiento dentro de 5 meses

3. Valor total de $48.000.000 con vencimiento dentro de 1 mes

Acuerda con el proveedor el pago inmediato de las obligaciones,

cancelando el equivalente a la fecha y pactando una tasa de interés del

2,5% mensual para establecer las equivalencias de las deudas el día de

hoy. Se requiere hallar el valor del pago.

Figura 3.4 Representación del ejemplo 8.

En primer lugar se establece la fecha focal para resolver el problema, que

de manera natural, por la coincidencia del pago, se ubica el día de hoy.

Esto quiere decir que los pagarés que estaban ubicados en el futuro

deberán ser trasladados hacia atrás en el tiempo, cada uno en la cantidad

de meses que corresponda y a la tasa de interés pactada.

Un planteamiento general del problema sería:

Valor Pago Hoy = V.P. primer pagaré + V.P. segundo pagaré +

V.P. tercer pagaré

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Matemáticas financieras

Matemáticas

financieras

Fascículo No. 3

Semestre 3

0 1 2 3 4 5 6 7 128 9 10 11

X

$ 48.000.000 $ 10.000.000 $ 25.000.000

F.F

Figura 3.5 Planteamiento de solución del ejemplo 8.

En términos matemáticos y utilizando la fórmula de Valor Presente, la

ecuación será:

X = 48.000.000(1+0,025)-1

+ 10.000.000(1+0,025)-5

+ 25.000.000(1+0,025)-9

X = 46.829.268,29 + 8.838.542,88 + 20.018.209,04

X = 75.686.020,21

Respuesta: El valor del pago el día de hoy es de $75.686.02021

. Esto

indica que las tres deudas inicialmente convenidas, son equivalentes en su

conjunto, a un pago por este valor el día de hoy, a la tasa de interés

pactada.

3.2

Plantee y resuelva un caso de valores equivalentes en una transacción

con el sector bancario, donde además se incluya una conversión de

tasas de interés. Socialícelo con el tutor.

En grupos de tres estudiantes formulen una hoja de cálculo en Excel, de tal

manera que se puedan realizar todas las posibles conversiones de tasa de

interés (efectivas, nominales y periódicas – vencidas y anticipadas) de manera

automática, solamente ingresando las variables.

Realicen las pruebas necesarias de esta herramienta financiera, con los ejemplos

ya desarrollados y con los ejercicios propuestos en los textos guía.

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Matemáticas financieras

Matemáticas

financieras

Fascículo No. 3

Semestre 3

La complejidad del interés compuesto se representa en el manejo de sus

tasas de interés, que requieren de fórmulas específicas para resolver sus

equivalencias y poder aportar en la solución de situaciones empresariales

en el área financiera. Estas equivalencias se conciben como la cualidad de

producir los mismos rendimientos con períodos de capitalización diferen-

tes.

En estas operaciones se reconocen principalmente las tasas efectivas (con

capitalización anual) y las tasas periódicas (con capitalizaciones menores a

un año). La fórmula genérica 1)1( mipi permite hallar cualquier

equivalencia entre tasas vencidas, solamente modificando (cuando sea

necesario) la frecuencia de conversión (m).

Igualmente, ante la necesidad (no tan frecuente) de convertir tasas

anticipadas (ia) en vencidas (i), se utiliza la fórmula

a

a

i

ii

1 y en caso

contrario, para convertir tasas vencidas (i) en tasas anticipadas (ia) se

utiliza

i

iia

1

Por otra parte, cuando se presentan situaciones de reconversión de

deudas o de pagos, y sea necesario replantearlas en otros términos, se

deberán construir ecuaciones que permitan representar los valores en sus

respectivas dimensiones en el tiempo, bajo una igualdad que se puede

expresar así: Pagos = deudas. Esto, en una fecha focal donde se

realizan las comparaciones y a una tasa de interés dada.

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Matemáticas financieras

Matemáticas

financieras

Fascículo No. 3

Semestre 3

AYRES, Frank. Matemáticas financieras. Primera edición. México D.F.: Mc

Graw Hill, 2001.

BACA CURREA, Guillermo. Matemática financiera. Tercera edición. Bogotá

D.C.: Fondo Educativo Panamericano, 2007. (Texto guía).

CANOVAS, Roberto. Matemáticas financieras: fundamentos y aplicaciones.

Primera edición. Mexico: Trillas, 2004

CISSELL, Robert. Matemáticas financieras. Segunda edición. México D.F.:

CECSA, 1999. (Texto guía).

DÍAZ, Alfredo. Matemáticas financieras. Segunda edición. México D.F.: Mc

Graw Hill, 1997.

GARCÍA, Jaime. Matemáticas Financieras con ecuaciones de diferencia

finita. Cuarta Edición. Bogotá D.C.: Pearson Educación de Colombia Ltda.

2000. (Texto guía).

PORTUS, Lincoyán. Matemáticas Financieras. Cuarta edición. Bogotá D.C.:

Mc Graw Hill, 1997.

SÁNCHEZ, Jorge E. Manual de matemáticas financieras. Segunda edición.

Bogotá D.C.: Ecoe Ediciones, 1999.

En el fascículo 4 se retomarán los conceptos de tasas equivalentes y de

ecuaciones de valores equivalentes para aplicarlos al tema de Series

Uniformes o “Anualidades”, por medio de casos financieros reales.

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Matemáticas financieras

Matemáticas

financieras

Fascículo No. 3

Semestre 3

Seguimiento al autoaprendizajeSeguimiento al autoaprendizajeSeguimiento al autoaprendizaje

Matemáticas Financieras - Fascículo No. 3

Nombre_______________________________________________________

Apellidos ________________________________ Fecha: _________________

Ciudad __________________________________Semestre: _______________

Resuelva las siguientes preguntas de selección múltiple con única respuesta, con

el fin de evaluar su proceso de autoaprendizaje:

1. Se ha concedido un crédito bancario a una tasa del 24% E.A. Se requiere

construir el plan de pagos trimestrales, para lo cual es necesario hallar la tasa

trimestral equivalente. La ecuación que se plantea para establecer la

equivalencia de tasas, en este caso es:

A. ip = (1 + 0,24)1/4

-1

B. i = (1 + 0,24)4

-1

C. ip = (1 + 0,02)1/4

-1

D. i = (1 + 0,02)4

-1

2. El gerente requiere de un crédito para financiar la compra de una maquinaria.

Existen dos alternativas en el mercado: una tasa del 2,5% mensual vencido y

una tasa del 2,5% mensual anticipado. En relación con el costo, la decisión

del gerente debe ser:

A. La tasa vencida del 2,5%

B. La tasa anticipada del 2,5%

C. Es indiferente porque las dos tienen el mismo valor

D. Es indiferente porque las dos tasas son equivalentes

3. Una deuda que debía ser cancelada hoy, por valor de $12.000.000, se ha

convenido pagarla en tres cuotas iguales a 1, 2 y 3 meses. La tasa de interés

pactada es del 2% mensual. La ecuación de valor para hallar el monto de cada

uno de los pagos es:

A. 12.000.000 = X(1+0,24)-1

+ X(1+0,24)-2

+ X(1+0,24)-3

B. 12.000.000 = X(1+0,24)1

+ X(1+0,24)2

+ X(1+0,24)3

C. 12.000.000 = X(1+0,02)-1

+ X(1+0,02)-2

+ X(1+0,02)-3

D. 12.000.000 = X(1+0,02)1

+ X(1+0,02)2

+ X(1+0,02)3

4. Un televisor cuyo precio de venta es de $1.600.000, se propone pagarlo así:

Una cuota inicial del 40% y el saldo en 3 meses. Si la tasa de financiación es

del 2,7% mensual, entonces el valor del pago en el mes 3, será de:

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Matemáticas financieras

Matemáticas

financieras

Fascículo No. 3

Semestre 3

A. $ 1.250.42850

B. $ 1.039.87842

C. $ 886.25746

D. $ 1.037.76000

5. Llene los cuadros con los valores correspondientes

Semestral Trimestral Mensual Semestral Trimestral Mensual

18,5%

9%

4,25%

1,60%

8,20%

Efectiva

Anual

Tasas Periódicas VencidasTasas Periódicas Anticipadas