Facultad de Ingeniería IndustrialCarrera: Licenciatura en Sistemas de Información

Tema: “SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES”

Materia: Matemáticas

Integrantes:

María Fernanda Chiquito Barreto

Cinthia Hernández

Ingrid Franco Rivera

Jefferson Palacios

Grupo de Nivelación Nº 19 Nocturno

Profesora: Lic. Johana Galarza

INDICE:

1.- Introducción

2.- Objetivo General

3.- Objetivos Específicos

4.- Elaboración del Proyecto

5.- Conclusiones

6.- Recomendaciones

7.- Anexos

8.- Bibliografía

1.- INTRODUCCION:

La Universidad de Guayaquil-Facultad de Ingeniería Industrial, dentro suprograma de enseñanza ha visto conveniente la realización del presentetrabajo con la intención de brindar a los estudiantes una ayuda encaminada afacilitar la RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE ECUACIONES DE PRIMERGRADO Y SEGUNDO GRADO. Esperando que sea aplicado todos losconsejos y pasos para un correcto aprendizaje.

Una sólida formación en Matemáticas contribuye a reflexionar sobre losdistintos aspectos de una situación, a afirmar el espíritu de análisis y areforzar el poder de síntesis. De esta forma los adolescentes adquieren unaestructura de pensamiento que les permite distinguir, de forma lógica yrazonada, lo esencial de lo accesorio, las consecuencias de las causas, losmedios de los objetivos, etc.

2.- OBJETIVO GENERAL

Diseñar una estrategia de enseñanza – aprendizaje a los estudiantes de laUniversidad de Guayaquil-Facultad de Ingeniera Industrial, que permitadesarrollar habilidades en la formulación y solución de sistemas deecuaciones lineales, acordes con la exigencia del nivel.

3.- OBJETIVOS ESPECIFICOS

Desarrollar la actividad mental y favorecer así la imaginación, laintuición y la invención creadora.

Aplicar con soltura y adecuadamente las herramientas matemáticasadquiridas a situaciones de la vida diaria.

Usar correctamente el lenguaje matemático con el fin de comunicarsede manera clara, concisa, precisa y rigurosa.

Utilizar con soltura y sentido crítico los distintos recursos tecnológicos(calculadoras, programas informáticos), de forma que supongan unaayuda en el aprendizaje y en las aplicaciones instrumentales de lasMatemáticas

Adquirir hábitos racionales de trabajo, tanto individual como en equipo,y elaborar estrategias para analizar situaciones, recoger datos,organizarlos, tratarlos y resolver problemas.

4.- ELABORACIÓN DEL PROYECTO

Ecuaciones Lineales

Se denomina ecuación lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio deprimer grado, es decir, las incógnitas no están elevadas a potencias, nimultiplicadas entre sí, ni en el denominador. Por ejemplo, 3x + 2y + 6z = 6 esuna ecuación lineal con tres incógnitas.

Como es bien sabido, las ecuaciones lineales con 2 incógnitas representanuna recta en el plano. Si la ecuación lineal tiene 3 incógnitas, surepresentación gráfica es un plano en el espacio. Un ejemplo de ambasrepresentaciones puede observarse en la figura:

El objetivo del tema es el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales, esdecir, un conjunto de varias ecuaciones lineales.

Diremos que dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismassoluciones, o geométricamente representan la misma recta o plano.

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales dela forma:

En este caso tenemos m ecuaciones y n incógnitas.

Los números reales aij se denominan coeficientes y los xi se denominanincógnitas (o números a determinar) y bj se denominan términosindependientes. En el caso de que las incógnitas sean 2 se suelen designarsimplemente por x e y en vez de x1 y x2 , y en el caso de tres, x, y, z en lugarde x1, x2 y x3 pero esto es indiferente a la hora de resolver el sistema.

Resolver el sistema consiste en calcular las incógnitas para que se cumplanTODAS las ecuaciones del sistema simultáneamente.

Diremos que dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismassoluciones.

TIPOS DE ECUACIONES LINEALES

En general, buscaremos las soluciones de los sistemas en los númerosreales R. Dependiendo del posible número de tales soluciones reales quetenga un sistema, estos se pueden clasificar en:

* INCOMPATIBLES (No tienen solución)→ S.I.

*COMPATIBLES Tienen solución

Sistemas con dos incógnitas

Los sistemas más sencillos son aquellos en los que sólo hay dos incógnitas y2 ecuaciones, y que ya son conocidos de cursos pasados.

Hay varios sistemas para resolverlos, los más habituales:

* Reducción

Este método consiste en preparar las dos ecuaciones para que una de lasincógnitas tenga el mismo coeficiente en ambas.

Restando las ecuaciones resultantes, miembro a miembro, se obtiene unaecuación con sólo una incógnita (se ha reducido el número de incógnitas).

Resumamos los pasos que debemos dar:

1º. Se preparan las dos ecuaciones (multiplicándolas por los números queconvenga).

2º. Al restarlas desaparece una de las incógnitas.

3º. Se resuelve la ecuación resultante.

4º. El valor obtenido se sustituye en una de las iniciales y se resuelve.

5º. Se obtiene, así, la solución.

En los que ya no nos entretendremos.

Como cada ecuación lineal con 2 incógnitas se interpreta geométricamentecomo una recta, el estudio de la solución del sistema se limita a estudiar laposición de 2 rectas en el plano

Veamos algunos ejemplos con los tres casos que se pueden presentar.Resolver e interpretar el sistema:

x + 2y = −3

−2x + y = 1

Por reducción:

2x+4y=-6

-2x+ y=1

5y=-5

De donde y = -1 y sustituyendo x + 2· (-1) = -3, x = -1.

Es decir, la solución del sistema es ´única, x = -1, y = -1 lo que significa que elsistema es compatible y determinado, y que las rectas se cortan en un punto,precisamente el (-1,-1):

* Igualación

Éste método consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones e igualar las expresiones resultantes.

Describamos los pasos que conviene dar para aplicar este método:

1º. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.

2º. Se igualan las expresiones, lo cual da lugar a una ecuación con una incógnita.

3º. Se resuelve esta ecuación.

4º. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejara la otra incógnita.

5º. Se ha obtenido así la solución.

Resolver e interpretar el sistema:

x + 2y = −3

−2x − 4y = 5

Por igualación:

x = −3 − 2y

x = 5+4y

−2

lo cual es imposible y por tanto el sistema no tiene solución, es un sistemaincompatible y por tanto las rectas son paralelas. Geométricamente:

* Sustitución

Este método de resolución de un sistema de ecuaciones consiste en despejaruna incógnita en una de las ecuaciones y sustituir en la otra.

Describamos los pasos que conviene dar para aplicar este método:

1º. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.

2º. Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendouna ecuación con una sola incógnita.

3º. Se resuelve esta ecuación.

4º. El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.

5º. Se ha obtenido, así, la solución.

Resolver e interpretar el sistema:

x + 2y = −3

3x + 6y = −9

Por sustitución:

Como x = −2y − 3 resulta 3(−2y − 3) + 6y = −9, es decir −6y − 9+6y = −9, portanto 0y = 0, 0 = 0.

Como 0 = 0 es una igualdad siempre cierta, quiere decir que el sistema tieneinfinitas soluciones, es compatible indeterminado, o que las rectas son lamisma.

Lo expresaremos así. Como x = −2y − 3, dando valores a y se obtiene x.

Así si le damos a y el valor arbitrario de λ (lambda), entonces expresaremosla solución como:

x = −2λ − 3

y = λ

y como λ puede ser cualquier número real, hay infinitas soluciones. Estos sonlos ´únicos casos que pueden darse con dos ecuaciones y dos incógnitas, ysu interpretación geométrica

Discusión de sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas

Si alguno de los coeficientes del sistema es desconocido, por ejemplo,

No estamos ante un sólo sistema, sino ante infinitos, uno para cada valor dea, y cada sistema ser a distinto en función del valor que tome dicha letra(llamada parámetro). Para estudiarlo, se resuelve el sistema como

habitualmente y se estudian los distintos casos que se pueden dar. Porejemplo, por reducción:

Por tanto, x(6 +a) = 23. Entonces, si 6 +a = 0 no podremos despejar x, esdecir si a = −6, obtenemos una ecuación del tipo 0 = 23, es decir, imposible

Por tanto, si a = −6 el sistema es incompatible.

En cualquier otro caso, podemos despejar y se puede sacar y

sustituyendo, por tanto, si a −6, el sistema es compatible determinado.

Sistemas de 2 incógnitas y 3 ecuaciones

Podemos añadir a los clásicos sistemas de 2 ecuaciones y 2 incógnitascuantas ecuaciones queramos para obtener diferentes tipos de sistemas con3, 4, 5 o más ecuaciones.

En cualquier caso, los tipos de sistemas a los que dan lugar son los mismosreseñados anteriormente.

Al aumentar el número de ecuaciones, la resolución del sistema por algunode los tres métodos clásicos se vuelve más farragosa, por lo que convieneaplicar ya el conocido método de Gauss para determinar el tipo de sistema.

Para ello expresaremos el sistema en la forma matricial, analizando la matrizampliada asociada, que tendrá 2 columnas y tantas filas como ecuacionestengamos.

Analizaremos tan sólo aquellos sistemas con 3 ecuaciones y 2 incógnitas.

La matriz ampliada genérica es:

Aplicar el método de Gauss consiste en realizar transformacioneselementales mediante las filas de la matriz para obtener la matriz escalonadasiguiente:

Recordemos que las operaciones elementales permitidas en las filas de lamatriz (ecuaciones del sistema) eran:

T1) Multiplicar o dividir una fila por un número real distinto de cero.

T2) Sumar o restar a una fila otra multiplicada por un número real no nulo.

T3) Intercambiar el lugar de dos filas entre sí.

Sistemas de 3 ecuaciones y 3 incógnitas

Cuando los sistemas tienen más de dos ecuaciones y tres o más incógnitasse utilizaran el ya conocido método de Gauss.

Ahora partiremos de la matriz ampliada:

Para dejar dicha matriz escalonada, es decir, del tipo:

Utilizando las transformaciones conocidas, y de la forma indicada enocasiones anteriores.

Los tipos de sistema que pueden obtenerse dependiendo del número desoluciones son los reseñados en apartados anteriores. Al aplicar el método deGauss podemos encontrarnos con distintos casos:

* Si se obtiene un sistema escalonado con coeficientes no nulos, el sistemaes compatible determinado, tiene solución ´única.

* Si se obtiene una o más filas en las que todos los elementos sean cero, elsistema tiene infinitas soluciones, y hay que despejar una o varias incógnitasen función de otras, es un sistema compatible indeterminado.

* Si se obtiene una o más filas de ceros, salvo el elemento correspondiente altérmino independiente, que es distinto de cero, digamos k, entonces como lafila en cuestión correspondería a una ecuación del tipo 0 = k, lo que esimposible, el sistema no tiene solución y por tanto es incompatible.

5.- CONCLUSIONES

Las consultas, a nivel nacional, enriquecen y fortalecen la veracidaddel trabajo presentado, confirmando bajos niveles de equivocación y laacción participativa, cooperativa y comprometida de la sociedad civil.

Se ha analizado a profundidad y objetivamente, las fuentescurriculares y libros de texto al reconocer sus beneficios, bondades,fortalezas y debilidades para poder ofrecer una crítica constructiva.

El proyecto Aula supone un cambio importante en la forma deabordar la enseñanza y sus conclusiones pueden ser aplicadas encualquier entorno educativo, siempre que cumpla las condicionesmínimas ya establecidas en lo que se refiere a condicionesmateriales.

No solo nos ayuda a nosotros en nuestro aprendizaje, sino también alos futuros estudiantes de Nivelación, para su reforzamiento.

Todos los temas son importantes y aplicables en nuestra vida diaria, yel buen conocimiento de estos nos facilitan los diversos problemas queconstantemente resolvemos en nuestro día a día.

6.- RECOMENDACIONES

Si una o las dos ecuaciones del sistema tienen un aspectoexterno complicado, se empieza por “arreglarlas” hastallegar a la expresión ax+by=c.

Recordemos las ventajas de cada uno de los tres métodosaprendidos:

El método de sustitución es especialmente útil cuando unade las incógnitas tiene coeficiente 1 ó -1 en alguna de lasecuaciones.

El método de reducción es muy cómodo de aplicar cuandouna de las incógnitas tiene el mismo coeficiente en las dosecuaciones o bien sus coeficientes son uno múltiplo del otro.

Si queremos evitar las operaciones con fracciones, podemosconseguirlo aplicando dos veces el método de reducciónpara despejar, así, una y otra incógnita. Este consejo esespecialmente útil cuando los coeficientes de las incógnitasson números grandes.

7.- ANEXOS

8.- BIBLIOGRAFIA

http://www.stecyl.es/informes/curriculoeso/12currcyl_Matematicas.pdf

http://www.bdigital.unal.edu.co/11768/1/43277729.2013.pdf

https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_lineales

http://algebralinealpolitecnica.blogspot.com/2010/06/sistemas-de-ecuaciones-lineales.html

http://sauce.pntic.mec.es/~jpeo0002/Archivos/PDF/T07.pdf