DERIVADAS-TEORÍA Y EJERCICIOS RESUELTOS (NXPowerLite)

INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”

EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II

Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS

1 E-mail: [email protected], [email protected], [email protected]

DEFINICIÓN DE LA DERIVADA.

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

Sea P un punto fijo de la curva y sea Q un punto móvil de esa curva, próximo a P. Considérese la recta que pasa por P y Q, llamada secante. La recta tangente en P es la posición límite (si existe) de la secante, cuando Q se mueve hacia P a lo largo de la curva.

Sea ƒ una función definida en un intervalo abierto que contiene al número a. En la figura 1.1 se ilustran la gráfica de ƒ y una recta secante lpq que pasa por P ( a , ƒ ( a ) ) y Q( x, ƒ( x )). La recta de trazo punteado l representa una posible recta tangente en el punto P.

lPQ l Q

Y P a x X

La pendiente m de l se define como el valor de límite de la pendiente de lPQ

cuando Q tiende a P. Así por la definición tenemos: axafxf

xlímm

−−

→=

)()(

0

siempre y cuando el límite exista. Si se introduce una nueva variable h tal que x = a + h (es decir, h = x - a), como se ilustra en la figura 1.2.

l lPQ Y Q P a a + h X ( fig. 1.2 )

se obtiene la siguiente fórmula para la pendiente h

afhafLímmh

)()(0

−+=

→, que es

equivalente a la anterior. El límite anterior es uno de los conceptos fundamentales del cálculo y se llama derivada de la función ƒ en a.

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Definición 1. Sea ƒ una función definida en un intervalo abierto que contiene a a. La derivada de ƒ en a, denotada por ƒ’(a), está dada por

hafhaf

Límafh

)()()(

0

−+=′

→, si este límite existe.

Si este límite existe, decimos que ƒ es diferenciable en a. Encontrar la derivada se llama derivación; la parte de cálculo asociada con la derivada se llama cálculo diferencial.

La diferenciabilidad implica continuidad. Si una curva tiene tangente en un punto, la curva no puede dar un salto en ese punto. La formulación precisa de este hecho es un teorema importante.

Teorema 1. Si existe ƒ’(a), entonces ƒ es continua en a.

Una función ƒ es derivable en un intervalo abierto (a,b) si lo es en todos los números c de (a,b). También se considerarán funciones que son derivables en un intervalo infinito (- ∞ , a), (a,∞) o bien (- ∞ , ∞).

Para intervalos cerrados usaremos la siguiente definición.

Definición 2. Una función ƒ es derivable en un intervalo cerrado [a , b], si lo es en el intervalo (a , b) y los límites

hlí m f a h f a

h→+

+ −

0

( ) ( ) hlím

f a h f ah→

−

+ −

0

( ) ( )

existen.

Los límites por la derecha y por la izquierda en la definición anterior, se llaman derivada por la derecha y derivada por la izquierda de ƒ en a y b, respectivamente.

La derivada de una función en intervalos de la forma [a, b), [a,∞), (a ,b] o bien (- ∞ , b] se define usando los límites por la derecha o por la izquierda en uno de los puntos extremos. Si ƒ está definida en un intervalo abierto que contiene a a, entonces ƒ ’(a) existe si y sólo si las derivadas por la derecha y por la izquierda en a existen y son iguales.

El inverso del teorema 1. Es falso. Si una función ƒ es continua en c, no se sigue que ƒ tenga derivada en c. Esto se ve con facilidad examinando la función ƒ (x)=| x | en el origen. Esta función, por cierto, es continua en cero, pero no tiene derivada ahí. (Demostración a cargo del lector)

El argumento recién presentado demuestra que en cualquier punto en el que la gráfica de ƒ tiene un pico o presenta una esquina aguda, es continua, pero no diferenciable.

Suponiendo que la función ƒ es derivable en a, se puede enunciar la siguiente definición.

Definición 3. Recta tangente: La pendiente de la recta tangente a la gráfica de ƒ en el punto (a, ƒ(a)) es ƒ’(a ).

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Derivada como una función Si ƒ es derivable para todo x en un intervalo entonces, asociando a cada x

el número ƒ’(x), se obtiene una función ƒ’ llamada derivada de f. El valor de ƒ’, en x está dado por el siguiente límite.

hf(x)h)f(x

0hlím(x)f −+=′

→

, (Límite

unilateral), nótese que el número x es fijo, pero arbitrario y el límite se toma haciendo tender h a cero. Derivar ƒ(x) o encontrar la derivada de ƒ(x) significa determinar ƒ’(x).

En los siguientes ejercicios se determinará la primera derivada por definición, o la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto dado.

Ejercicios Resueltos:

( )Δx

x5Δxx5(x)f

ecuaciónlaAplicandoΔx

f(x)Δx)f(x(x)f

x5f(x)x5y1)

0

0

−+=′

→−+

=′

=→=

→Δ

→Δ

x

x

Lím

Lím

0

0

0

0

5 x Δx x 0f (x) f (x) INDΔx 0

5 x Δx x x Δx xf (x) .

Δx x Δx x

5 (x Δx x) 5 Δxf (x)Δx x Δx x Δx x Δx x

1 5f (x) 5 f (x)x Δx x 2 x

x

x

x

x

Lím

Lím

Lím

Lím

Δ →

Δ →

Δ →

Δ →

⎡ ⎤+ −⎣ ⎦′ = = ′ =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦′ =⎡ ⎤+ +⎣ ⎦

+ −′ = =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

′ = = ′ =+ +

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[ ]

[ ]

( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )3x 32

1(x)f

3x 33x 3

1(x)f

3x3x3x3x

1(x)f

3x3Δxx3Δxx3xΔx

3Δxx3x(x)f

3Δxx3x

3Δxx3x

3x3ΔxxΔx

)3Δxx3x((x)f

:conjugadaAplicando

3x3ΔxxΔx

3Δxx3x

1Δx

3x3Δxx

3Δxx3x

(x)f

ind00

Δx3x

1

3Δxx

1

(x)f3x

1f(x)2)

0

0

00

0

−=′⇒

−+−=′

−−+−−=′

−−++−+−

+−−−=′

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−++−

−++−

−−+

−+−−=′

−−+

−+−−=

−−+

−+−−

=′

=−

−−+

=′⇒−

=

→Δ

→Δ

→Δ→Δ

→Δ

x

x

xx

x

Lím

Lím

LímLím

Lím

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0

0

3 3x Δx 2 x 2 033) f(x) x 2 f (x) indΔx 0

3 3 2 2(a b) ( ab ) Identidada b a b33Donde: a x Δx 2 ; b x 2

2 23 3 333 3x Δx 2 x 2 x Δx 2 x Δx 2 x 2 x 2f (x)

2 23 333Δx x Δx 2 x Δx 2 x 2 x 2

f (x)

x

x

Lím

Lím

Δ →

Δ →

+ − − −= − ′ = =

− = − + +

= + − = −

⎡ ⎤⎡ ⎤+ − − − + − + + − − + −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦′ =⎡ ⎤

+ − + + − − + −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

′( )( ) ( )

( ) ( ) ( )0

3 333 x 2x Δx 2

2 23 333Δx x Δx 2 x Δx 2 x 2 x 2xLímΔ →

− −+ −=

⎡ ⎤+ − + + − − + −⎢ ⎥

⎣ ⎦

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( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0

0

x Δx 2 x 2f (x)2 23 333Δx x Δx 2 x Δx 2 x 2 x 2

1f (x)32 23 33x Δx 2 x Δx 2 x 2 x 2

1 1f (x) (x)2 2 2 23 3 3 3x 2 x 2 x 2 3 x 2

x

x

Lím

Lím

f

Δ →

Δ →

+ − − +′ =

⎡ ⎤+ − + + − − + −⎢ ⎥

⎣ ⎦

′ =⎡ ⎤

+ − + + − − + −⎢ ⎥⎣ ⎦

′ = ⇒ ′ =− + − + − −

[ ]

( )[ ]

x 32

1(x)f

x 3x 3

1(x)f

xxxx

1(x)f

xΔx)(xΔxxx

1Lím(x)f

xΔxxΔxxxΔx

ΔxxxLím(x)f

Δxxx

Δxxx

xΔxxΔx

)Δxxx(Lím(x)f

ΔxΔxxx

Δxxx

Lím(x)f

ind00

Δxx

1

Δxx

1

Lím(x)fx

1f(x)

xx

xf(x)

x 3

xf(x)4)

0Δx0Δx

0Δx0Δx

0Δx

=′⇒+

=′⇒+

=′

+++=′⇒

+++−−

=′

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++

++

+

+−=′⇒

+

+−

=′

=

−+

=′⇒=→=→=

→→

→→

→

( ) ( )[ ] [ ]

5x2

1y´

5x5Δxx

1Límy´

5x5ΔxxΔx

5x5ΔxxLímy´

5x5ΔxxΔx

5x5ΔxxLímy´

5x5Δxx

5x5ΔxxΔx

5x5ΔxxLímy´

Ind00

Δx5x5Δxx

Límy´

5xF(x)5)

0Δx

0Δx0Δx

0Δx

0Δx

+=⇒

++++=

++++

+−++=⇒

++++

+−++=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++++

++++

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ +−++=

=+−++

=

+=

→

→→

→

→

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( )

( )( ) ( )

( )[ ]( )[ ]

( )[ ]( )( )

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ] 30Δx

0Δx

0Δx

0Δx

0Δx0Δx

0Δx

x272

3f´(x)

3x3x2

3f´(x)

3x3x3x3x

3Límf´(x)

xΔx33x3xxΔx3

3Límf´(x)

xΔx33x3xxΔx3xΔ

x33x3xLímf´(x)

xΔx33x

xΔx33x

3xxΔx3xΔ

xΔx33xLímf´(x)

3xxΔx3xΔ

xΔx3x3Límf´(x)

1xΔ

3xxΔx3

xΔx3x3

Límf´(x)

IND00

xΔx3

1

xΔx3

1

Límf´(x)3x

1(x)6)f

−=⇒

−=⇒

+

−=

++

−=

++

Δ−−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++

++

+

+−=

+

+−=⇒

+

+−

=

=

−+

=⇒=

→

→

→

→

→→

→

( )( )

( )( )

( )[ ] ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

Δx 0

Δx 0

2 2

Δx 0

Δx 0

2x 37) f(x)3x 4

2x 2 x 3 2x 3 0f´(x) Lím Ind3x 3 x 4 3x 4 0

3x 4 2x 2 x 3 3x 3 4 2x 3f´(x) Lím

3x 3 x 4 3x 4

6x 6xΔx 9x 8x 8 x 12 6x 9x 6xΔx 9 x 8x 12f´(x) Lím3x 3 x 4 3x 4

Ordenando:

f´(x) Lím

x

→

→

→

→

−=

+

+ Δ − −= − =

+ Δ + +

+ + Δ − − + Δ + −=

+ Δ + +

+ − + + Δ − − + − + Δ − +=

+ Δ + +

=( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2

2Δx 0

6x 6xΔx 9x 8x 8 12 6x 9x 6xΔx 9 x 8x 12Δx 3x 3 x 4 3x 4

17 Δx 17f´(x) Lím f´(x)Δx 3x 3 x 4 3x 4 3x 4

x

→

+ − + + Δ − − + − + Δ − ++ Δ + +⎡ ⎤⎣ ⎦

= ⇒ =+ Δ + +⎡ ⎤ +⎣ ⎦

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( ) ( ) ( )( )

( )( )

( )

( )[ ] ( )[ ]

22

2

0Δx

22

0Δx

23223

0Δx

2322

0Δx

22

0Δx

0Δx

x1

1F´(x)x

1xF´(x)

ΔxxxΔx

1xΔ2xΔxLímF´(x)

ΔxxxΔxΔxxxΔxx

LímF´(x)

xΔxxΔxxxΔxxxxΔx2xxx

LímF´(x)

xΔxxΔxxxΔxxxΔx2xΔxxx

LímF´(x)

ΔxxΔxxxΔxxxΔxxx

LímF´(x)

00

xx1

ΔxxΔxx

1LímF´(x)x

x1

F(x)8)

−=⇒−

=

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+

=⇒+

−Δ+=

+−−−−Δ++

=

+−−−−+++

=

++−+−++

=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−++

+=⇒+=

→→

→

→

→

→

( )Δx

xSenxSenxCosΔxCosxSenLím(x)f

ind00

ΔxxSenΔx)(xSen

Lím(x)f

Δxf(x)Δx)f(x

Lím(x)fxSenf(x)9)

0Δx

0Δx

0Δx

−+=′

=−+

=′

−+=′=

→

→

→

( ) [ ]Δx

1ΔxCosxSenΔxSenxCosLím(x)f

ΔxxSenΔxCosxSenΔxSenxCos

Lím(x)f

0Δx

0Δx

−+=′

−+=′

→

→

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

xCosxf =′

−−=′

=−

=

−+=′

−+=′

→→

→→

→→

→→

)(Δx

ΔxCos1LímxSen

ΔxΔxSen

LímxCos(x)f

0Δx

ΔxCos1Lím;1

ΔxΔxSen

Lím:conocemosPero

Δx1ΔxCos

LímxSenΔxΔxSen

LímxCos(x)f

Δx1ΔxCosxSen

LímΔx

ΔxSenxCosLím(x)f

0Δx0Δx

0Δx0Δx

0Δx0Δx

0Δx0Δx

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[ ]

Δx 0

Δx 0

Δx 0 Δx 0

Δx 0

10) f(x) Cosxf(x Δx) f(x)f (x) Lím

ΔxCos(x Δx) Cosx 0f (x) Lím ind

Δx 0CosxCos(Δx) SenxSen(Δx) Cosx CosxCos(Δx) Cosx SenxSen(Δx)f (x) Lím f (x) Lím

Δx ΔxCosx Cos(Δx) 1 Senx Sen(Δx)

f (x) LímΔ

→

→

→ →

→

=+ −

′ =

+ −′ = =

− − − −′ = ⇒ ′ =

− −′ =

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

Δx 0 Δx 0

Δx 0 Δx 0

Δx 0 Δx 0

Δx 0 Δx 0

Cosx Cos(Δx) 1 Senx Sen(Δx)f (x) Lím Límx Δx Δx

Cos(Δx) 1 Sen(Δx)f (x) CosxLím SenxLímΔx Δx

1 Cosx Sen(Δx)f (x) CosxLím SenxLímΔx Δx

1 Cosx Sen(Δx)Conociendo: Lím 0 ; Lím 1 f (x)Δx Δx

→ →

→ →

→ →

→ →

−⇒ ′ = −

−′ = −

−′ =− −

−= = ⇒ ′ Senx= −

1xCosLím0xSenLím:Nota

0Δx0Δx==

→→

Δx 0

Δx 0

11) f(x) tg xtg(x Δx) tg (x) 0f (x) Lím ind

Δx 0

tg a tg bU tilizando la identidad: tg(a b)1 tg a tg b

tg x tg Δx tg(x)1 tg x tg Δxf (x) Lím

Δx

→

→

=+ −

′ = =

++ =

−

+−

−′ =

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[ ]( )

[ ] [ ]

[ ]

Δx 0

Δx 0 Δx 0

Δx 0

(tgx tg(Δx)) tgx 1 tgx tg(Δx)1 tgx tg(Δx)

f (x) LímΔx

2tg(Δx) 1 tg x2tgx tg(Δx) tgx tg x tg(Δx)f (x) Lím f (x) LímΔx 1 tgx tg(Δx) Δx 1 tgx tg(Δx)

tg(Δx)2f (x) 1 tg x Lím f (xΔx 1 tgx tg(Δx)

→

→ →

→

+ − −−

′ =

⎡ ⎤−⎢ ⎥+ − +/ / ⎣ ⎦′ = ⇒ ′ =− −

⎡ ⎤′ = − ⇒ ′⎢ ⎥ −⎣ ⎦ Δx 0 Δx 0

Δx 0 Δx 0

2

Δx 0 Δx 0

2

tg(Δx) 12) 1 tg x Lím LímΔx 1 tgx tg(Δx)

Sen(Δx)Sen(Δx)Cos(Δx)2 2f (x) 1 tg x Lím f (x) 1 tg x Lím

Δx ΔxCos(Δx)Sen(Δx) 12f (x) 1 tg x Lím Lím f (x) 1 tg xΔx CosΔx

Sec x 1 t

→ →

→ →

→ →

⎡ ⎤= −⎢ ⎥ −⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤′ = − ⇒ ′ = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤′ = − ⇒ ′ = −⎢ ⎥⎣ ⎦

= − 2 2g x f (x) Sec x⇒ ′ =

x

Δx 0

x Δx x x Δx x

Δx 0 Δx 0

Δx Δxx x

Δx 0 Δx 0

f(x Δx) f(x)12) f(x) f (x) LímeΔx

0e e e e ef (x) Lím ind f (x) LímΔx 0 Δx

1 1e af (x) Lím Pero : Lím 1 f (x)e eΔx Δx

→

+

→ →

→ →

+ −= ′ =

− −′ = = ⇒ ′ =

− −′ = = ⇒ ′ =

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[ ]

a a

Δx 0

aΔx 0

Δx 0

Δx 0

1tx

t 0

(x Δx) xLog Log 013) ( ) f (x) indLog Líma Δx 01 (x Δx)f (x) LogLím Δx x

1 Δxf (x) Lím 1 x 0LogaΔx x1

Δx ΔxΔxf (x) Lím 1 Cambio t Δx tx Δx 0 t 0Loga x x

f (x) Lím 1 tLoga

f x x→

→

→

→

→

+ −= ⇒ ′ = =

⎡ + ⎤⎡ ⎤′ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦⎡ ⎤

′ = + >⎢ ⎥⎣ ⎦

′ = + = → = = → =

′ = +

⎡ ⎤⎣ ⎦

( )( )( ) ( )

( )

11 x

tt 0

11 ttt 0 t 0

1t

t 0

f (x) LímLog 1 ta1 1f (x) Lím f (x) Lím 1 tLog Log1 ta ax x

1Pero Lím 1 t e f (x) eLogax

→

→ →

→

→ ′ = +

′ = ⇒ ′ = ++

+ = ⇒ ′ =

( )

Δx 0 Δx 0

Δx 0 Δx 0

1

Δx 0 Δx 0

14) y Ln ax f(x) Ln axa(x Δx)Ln

Ln a(x Δx) Ln ax axf (x) Lím f (x) LímΔx Δx

(x Δx)Ln 1xf (x) Lím ( ) Lím

Δx

1 Δx( ) Lím (1 ) ( ) Lím 1x

x

xLnxf x

x

xf x Ln f x Lnx x

→ →

→ →

Δ

→ →

= =

+⎡ ⎤⎢ ⎥+ − ⎣ ⎦′ = ⇒ ′ =

+ Δ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦′ = ⇒ ′ =Δ⎡ ⎤

Δ⎡ ⎤ ⎢′ = + ⇒ ′ = +⎢ ⎥ ⎢Δ ⎣ ⎦⎣ ⎦

( ) ( ) ( )

( )

1 1 1tx t t

t 0 t 0 t 0

1t

t 0

ΔxCambio t Δx tx Δx 0 t 0x

1 1(x) Lím Ln (x) Lím Ln (x) Ln Lím1 t 1 t 1 t

1 1Lím ( ) ( )1 t

f f fx x

Pero e f x Ln f xex x

→ → →

→

⎥⎥

= ⇒ = ⇒ → →

′ = ⇒ ′ = ⇒ ′ =+ + +

= ⇒ ′ = → ′ =+

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Ejercicios de aplicación de la definición de la Derivada.

1.- Determinar una ecuación de la recta tangente a la curva 32 2 += xy en el punto (-1,5).

( ) ( )

( ) ( )

Δx 0 Δx 0

Δx 0 Δx 0

Δx 0 Δx 0

f x Δx f(x )f x Δx f(x) 1 1Lím ,en ese punto m(x ) Límmtg 1Δx Δx

2 2 2 2 22 x Δx 3 2x 3 2x 4x Δx 2 x 3 2x 31 1 1 1 1m(x ) Lím m(x ) Lím1 1Δx Δx

2 Δx 4x 24x Δx 2 x 11m(x ) Lím m(x ) Lím m(x ) 4x1 1 1 1Δx Δx

x

→ →

→ →

→ →

+ −+ −= =

+ + − + + + Δ + / − − /= ⇒ =

⎡ ⎤+ Δ+ Δ ⎣ ⎦= ⇒ = ⇒ =

01y4x:tgRecta1)4(x5y)1xm(x1yyrectaladependientepuntoecuaciónlautilizando

4m1)4(1)m(14x)1(xm)1m(xlaen1xdevalorelsust.

=−+⇒+−=−→−=−−

−=⇒−=−⇒=⇒

2.- Dada la función y = 2

1x

x − calcular la ecuación de al recta tangente

y la ecuación de la recta normal a la curva en el punto (-1,1).

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−+

−Δ+Δ+

Δ

−−

−Δ+Δ+

=⇒

−+

−Δ+Δ+

−+

−Δ+Δ+

Δ−

−−Δ+

Δ+

=

=Δ

−−

−Δ+Δ+

=

→Δ→Δ

→Δ

12

1)(2

12

1)(2

)1(

12

1)(2

12

1)(2

12

1)(2

)1(

001

21)(2

)1(

00

0

xx

xxxx

x

xx

xxxx

Límxm

xx

xxxx

xx

xxxx

xx

xxx

xx

Límxm

indx

xx

xxxx

Límxm

xx

x

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( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

.).(0541)(x41y1)(x

411

1y)x(xm

1yy:R.NPara

1:034yx1xy4y1x

41

1y

1)1,(Punto)xm(xyy:tangenterectalaPara

41

)1(16

1)1(

8)(2

11)m(

1x 3(2x)

1)1m(x

1x

1x 42x

1)1m(x

1x 21x

2x2

2Lím)1m(x

1x2x

1x2x

1x 2

2Lím)1m(x

1x2x

1ΔxxΔx)2(x

1)(x1)Δx(x

2Lím)1m(x

1x2x

1ΔxxΔx)2(x

1)(x1)Δxx(xΔ

xΔ2Lím)1m(x

1x2x

1ΔxxΔx)2(x

Δx

1)(x1)Δx(x2ΔΔ

Lím)1m(x

1x2x

1ΔxxΔx)2(x

Δx

1)(x1Δxx2xΔx2x2x2ΔΔΔx2x2x2x

Lím)m(x

1x2x

1ΔxxΔx)2(x

Δx

1)(x1Δxx1Δxx2x1)(xΔx)2(x

Lím)m(x

1t

1

11

0Δx0Δx

0Δx

0Δx0Δx

22

0Δx10Δx1

NRyx

mmNota

mm

tgn

=+−⇒+=−⇒+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−

=−⇒−−

=−

−==−+⇒−−=−⇒+−=−

−−=−

−=−→

−=−

−−−

=−⇒−

−=⇒

−

−

−=

−−

−=⇒

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+

−−

−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+

−++

−−+

−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+

−++

−−+/

//−=⇒

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+

−++

−−+−

=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+

−++

−−++−−−+−

=⇒

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+

−++

−−+−+−−+

=

→→

→

→→

→→

3.- Calcule la “pendiente media” de al curva xy 2= en el intervalo (1, 5)

[ ]

1x2xf(x)Δx)f(x

nmΔx

f(x)Δx)f(xnm

51,Puntox2y

−−+

=→−+

=

=

215

4252

4

12412

12

22=⇒

+=⇒

++=⇒

−−Δ+

= nmnmnmxx

xxx

nm

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4.- Determine la ecuación de la recta tangente a la curva y x=

−1

5 2 en el punto

)31

,1(

( )[ ]( )[ ]( ) ( )[ ]( )

( )[ ]( ) ( ) 95

95

)1(2)(5x25x

5Lím)1m(x

25x2Δxx5Δxx5

Lím)1m(x

Δx25x2Δxx52x55x25x

Lím)1m(xΔx

25x2Δxx52Δxx5)2(5x

Lím)m(x

0025

12)(5

1

)1()()(

0Δx0Δx

0Δx0Δx1

00

−=⇒

−=⇒

−−−

=⇒−−+

Δ−=

−−++Δ−−−

=⇒−−+−+−−

=

=Δ

−−

−Δ+=⇒

Δ−Δ+

=

→→

→→

→Δ→Δ

mm

indx

xxxLímxm

xxfxxf

Límtgmxx

089502427151515927)1(15)13(9

)1(95

31

)1(1:.

=−+⇒=−+⇒+−=−→−−=−

−−

=−→−==−

yxyxxyxy

xyxxtgmyytagRlaAhora

5.- Determine una ecuación para cada una de las rectas normales a la

curva xxy 43 −= que sean paralelas a la recta 088 =−+ yx

( )tg

Δx 0

3 2 2 3 3

1 Δx 0

Δx 0 Δx 0

Δx 0

3 3x Δx 4(x Δx) x 4x 0Calculamos m(x ) Lím indm 1 Δx 03 3 4 4 4( ) Lím

2 2Δx 3x 3xΔx Δx 42 2 33x Δx 3xΔx Δx 4 xm(x ) Lím m(x ) Lím1 1Δx Δx2 2m(x ) Lím3x 3xΔx Δx1

x x x x x x x x x xm xx

→

→

→ →

→

+ − + − +⇒ = =

+ Δ + Δ + Δ − − Δ − +=

Δ⎡ ⎤/ + + −+ + − Δ ⎢ ⎥⎣ ⎦= ⇒ =

/ /

= + +

RN

24 m(x ) 3x 411 1m m ( )mn n 2m(x) 3x 4

− ⇒ = −

− −= ⇒ =

−

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2

3

Como las rectas buscadas son paralelas a la recta dadaigualamos las pendientes

x 8 1x 8y 8 0 y m8 8

1 1 2 23x 4 8 3x 12 0 x 4 x 228 3x 4sustituir en la ec. de la curva para calcular los valores de y:y x 4x x 2 Punto

−

− + −+ − = ⇒ = ⇒ =

− −= ⇒ − + = − ⇒ − + = ⇒ = ⇒ = +

−

= − → = ⇒

1

2

(2,0); x 2 Punto ( 2,0)1 1: (2,0); 0 ( 2) 8 2 0

8 81 1: ( 2,0); 0 ( 2) 8 2 0

8 8

Para L Punto m y x x y

Para L Punto m y x x y

= − ⇒ −− −

= ⇒ − = − ⇒ + − =

− −− = ⇒ − = + ⇒ + + =

6.- Encontrar una ecuación para cada una de las rectas tangentes a la curva 4633 23 ++−= xxxy que sean paralelas a la recta 02712 =+− yx

( ) ( ) ( )

( )

3 32 2

32

0

3 2 2 3 32 2 2

0

Δx 0

x Δx 4 x 4x Δx 2 x Δx x 2x3 3 3 3x 4 0f(x) x 2x f (x)

3 3 Δx 0

(x 3x Δx 3xΔx Δx ) xx 2xΔx Δx 2x 2 x x 2x3 3f (x)

Δx

3 3 3x Δx x2 2 2 2x Δx xΔx x 2xΔx Δx 2x 23 3 3f (x) Lím

x

x

Lím Ind

Lím

x

Δ →

Δ →

→

⎡ ⎤+− + + + + − + − −⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦= − + + ⇒ ′ = =

+ + +− + + + + Δ − + −

′ =

+ + + − − − + + Δ −′ =

2x 2x

Δx

+ −

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Δx 0 Δx 0

21 tg

tg

RD

2Δx x xΔx 2x Δx 22 2 2x Δx xΔx 2xΔx Δx 2 xf (x) Lím m(x ) Lím1Δx Δxm(x ) x 2x 2 a la curvam

sus pendientes son iguales (paralelas) m m(recta dada)1212x 7y 2 0 7y 12x 2 m7

12 2 2x 2x 2 12 7x7

→ →

⎡ ⎤/ + − − +/+ − − + Δ ⎢ ⎥⎣ ⎦′ = ⇒ =/

= − +

=

− + = ⇒− = − − → =

= − + → = −

( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( )

214x 14 7x 14x 2 0

214 14 4 7 2 14 12x x2 7 14

14 12 26 14 12 2 1x x x 2; x x x1 1 1 2 2 214 14 14 14 7Sust los valores de x en la curva para x 2

32 4 8 4 8 42 2y 2 2 y 4 4 y y 4 Punto (2,4)3 3 3 3 3 3

311 17Para x y7 3 7

+ ⇒ − + =

− ± − − ±= − ⇒ =

+ −= → = → = = → = → =

=

= − + + → = − + + ⇒ = + → =

⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎛⎝ ⎠= ⇒ = −

⎝

( )

( ) ( )

12 31 4 1 2 472 y 27 3 3 7 37

1 1 2 4 1 21 1666 1646y y y y 1,59 y 1,63 49 7 3 1029 10293 7Las ecuaciones son:

12 12y y m x x ParaL : m Punto (2,4) y 4 x 2 12x 7y 4 01 tg 1 1 7 712 1ParaL : m Punto , 1.62 7 7

y 1.6

⎞ ⎛ ⎞+ + → = − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎝ ⎠

− += − + + → = → = ⇒ = ≅ =

− = − ⇒ = ⇒ − = − ⇒ − + =

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

− =12 1x 7 11.2 12 0.14 12 7 11.06 07 7

y x x y⎛ ⎞− → − = − ⇒ − + =⎜ ⎟⎝ ⎠

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7.- Hallar el ángulo determinado por la tangente a la curva 3xy = en el punto

x =3

3

°=⇒=⇒=⇒=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⇒⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⇒=

/

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++/

=⇒++

=

−+++=⇒=

−+=

→→

→→

45θ1tgθθtgm133

m2

33

333

mtsus23x)1m(x

xΔ

2ΔxΔx3x23xxΔLím)1m(x

Δx

3Δx2Δx3xΔx23xLím)1m(x

Δx

3x3Δx2Δx3xΔx23x3xLím)1m(xind

00

Δx

3x3Δx)(xLím)1m(x

sec

0Δx0Δx

0Δx0Δx

8.- Determinar los parámetros “a”, “b” y “c” en la ecuación de la parábola

cbxaxy ++= 2 de tal manera que la recta xy = sea tangente a ella en 1=x y dicha curva pase por el punto (-1, 0).

[ ]

41

cabcbca

41

a121

2a

21

b1bb1bca

0cba3)1cba2)1b2a1):ecuacionestresTenemos

3)Ec(0cbacbxaxy0)1,(porpasaparábolala

2)Ec(1cbacbxaxyparábolalaenpelSust

1)(Ec1b2ab2a11mxyrectaladeec.ladeb2am(1):Sust

(1,1)p1xenparábolalaatgesxyR

mb2ax)1m(xΔx

bxa2axΔxLím)1m(x

ΔxbΔΔ2xaΔx2ax

Lím)1m(x

Δxcbx2axcbΔΔbx2xaΔx2ax2ax

Lím)1m(x

ind00

Δx

cbx2axcΔx)(xb2Δx)a(xLím)1m(x

2

2tg

tgtg

tg

0Δx0Δx

0Δx

0Δx

=→−=→=+

=→+

=⇒=+⇒=++

=+−=++=+

=+−→++=⇒−

=++⇒++=⇒

=+→+==⇒=+=

⇒==

+=

+Δ+=⇒

+Δ+=

−−−+++Δ++=

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++−++++

=

→→

→

→

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El proceso de calcular la derivada de una función en forma directa a partir de su definición, puede consumir mucho tiempo y ser tedioso. Esta sección contiene reglas que simplifican la tarea de encontrar derivadas de las funciones más complicadas en forma casi instantánea.

Notaciones para la derivada.

Cuando )(xfy = se utilizan las siguientes notaciones para las derivadas.

[ ] [ ])(//´)()´( xfdxddxdyyydxfDxf xx =====

Todas las notaciones anteriores se utilizan en las matemáticas y sus aplicaciones, es recomendable que el lector se familiarice con ellas.

El subíndice x en el símbolo Dx y se utiliza para designar a la variable independiente, y Dx para derivar la función.

Teoremas para Determinar Derivadas.

Sea )(' uf el símbolo para denotar derivadas, podemos enunciar los siguientes teoremas. (No se demostrará ninguno de los teoremas, ya que no es objetivo de este trabajo).

A.- Teoremas Fundamentales de funciones Algebraicas.

Teorema 1: Derivada de una constante. 0)(')( =⇒= ufauf

Teorema 2: Derivada de una variable. 1)(')( =⇒= ufuuf

Teorema 3: Derivada de la potencia de una Variable. 1)(')( −=⇒= nnuufnuuf

Teorema 4: Derivada para la suma algebraica de funciones.

)(')(')(')()()( uGuFufuGuFuf ±=⇒±=

Teorema 5: Derivada del producto de dos funciones

)(')()()(')(')()()( uGuFuGuFufuGuFuf +=⇒=

Teorema 6: Derivada de un cociente de funciones.

2)(

)(')()()(')(')()()(

uG

uGuFuGuFufuGuFuf −

=⇒= , G (u) ≠ 0.

Teorema 7: Derivada de una función Compuesta. Sea )()( xguyufy == que determinan una función compuesta )).(( xgfy = Si g es diferenciable en x y

ƒ es diferenciable en )(xgu = , entonces: uDyDyD xxx =

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Una de las aplicaciones principales del teorema anterior es para desarrollar otras fórmulas de derivación, por ejemplo:

Regla de la potencia para funciones.

)(')]([)(')]([)( uFuFnufnuFuf =⇒=

B.- Teoremas de funciones trascendentales.

a.- Teoremas de las funciones Exponenciales y Logarítmicas.

Teorema 8: Derivada de la función logaritmo natural. F(u) > 0

)()(')(')]([)(uFuFufuFLnuf =⇒=

Teorema 9: Derivada de la función logaritmo de base a de u.

)()()(')(')]([)(aLnuF

uFufuFaLoguf =⇒= , para u =F(u) ≠ 0, ( a > 0 , a ≠ 1)

Teorema 10: Derivada para las funciones logaritmo y exponencial generales.

)(')()()(')()( uFaLnuFaufuFauf =⇒= ( a > 0 )

Teorema 11: Regla para la función exponencial natural.

)(')()(')()( uFuFufuFuf ee =⇒=

b.- Teoremas Trigonométricos para la Derivación.

A continuación se presentan las derivadas de las seis funciones trigonométricas. En el enunciado de los teoremas se supone que ),(xgu = donde g es una función derivable y x se restringe a los valores para los que la función trigonométrica está definida.

Teorema 12: Derivada de la función seno.

[ ] )´()(cos)´()()( uFuufuFSenuf =→=

Teorema 13: Derivada de la función coseno.

[ ] )´()()´()()( uFuSenufuFCosuf =→=

Teorema 14: Derivada de la función tangente.

[ ] )´()()´()()( 2 uFuSecufuFTaguf =→=

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Teorema 15: Derivada de la función cosecante.

[ ] )´())(()´()()( uFuCtguCscufuFCscuf −=→=

Teorema 16: Derivada de la función secante.

[ ] )´()()()´()()( uFutguSecufuFSecuf =→=

Teorema 17: Derivada de la función cotangente.

[ ] )´()()´()()( 2 uFuCscufuFCtguf =→=

c.- Teoremas Trigonométricos Inversos sobre la Derivación.

En los teoremas siguientes se supone que u = g(x), donde g es una función derivable y x se restringe a los valores para los que las expresiones indicadas tienen sentido.

Teorema 18: Derivada para la función arco seno.

[ ][ ]2)(1

)´()´()()(uF

uFufuFSenArcuf−

=→=

Teorema 19: Derivada para la función arco coseno.

[ ][ ]2)(1

)´()´()()(uF

uFufuFCosArcuf−

−=→=

Teorema 20: Derivada para la función arco tangente.

[ ][ ]2)(1

)´()´()()(

uF

uFufuFTgArcuf

+=→=

Teorema 21: Regla para la función arco cotangente.

[ ] [ ]2)(1)´()´()()(uFuFufuFCtgArcuf

+−

=→=

Teorema 22: Derivada para la función arco secante.

[ ][ ] 1)()(

)´()´()()(2 −

=→=uFuF

uFufuFSecArcuf

Teorema 23: Derivada para la función arco cosecante.

[ ][ ] 1)()(

)´()´()()(2 −

−=→=

uFuF

uFufuFCscArcuf

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Derivar y Simplificar

a) Funciones Algebraicas

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

1 4 1 2 1/21 . y x 4 x2 2x2x

dy 1 1 23 3/2x 4 x 3dx 2 3x x4 3 33 3 2 3 22 . f x 3x x 1 ; f´ x 4 3x x 1 3 3 x 12 3x x 1 1 x

1/21 2 x2 23 . y 3 4x x ; y´ 3 4x x 4 2x ´( )2 23 4x x

3 r 2 d θ (2r 3)3 (3r 2)24 . θ ;2 r 3 d r (

f x

− −− = + = +

⎛ ⎞⎛ ⎞− − ⎜ ⎟= − + − = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− = − + = − + − = − + −

− −− = + − = + − − ⇒ =

+ −

+ + − +− = =

+ ( ) ( )

( )( ) ( )

( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

26r 9 6r 4 5´( )2 22r 3) 2 r 3 2 r 3

5 5 44 55 1 x . 5 x x 1 x . 5x x5 . y ; y ; y´5 101 x 1 x 1 x4 4 41 x . 5 x 1 x x 5 xy´ 10 61 x 1 x

x 1 2x 22 26 . y x 1 x 2 x 2 ; y´ x 2 x 222 x 2x 2

222 x 2 x 2 x 1x 1 22y´ x 2 x 22 2x 2 x 2 x 2x 2

rθ+ − −→ ⇒ =

+ + +

+ − +⎛ ⎞− = = =⎜ ⎟+⎝ ⎠ + +

+ + −= =

+ +

− −− = − − + = − + +

− +

− + + −−= − + + = =

− + − +

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

2x 4x 32x 2x 2

1/22 21 4 w w 1/2 1 4 w 8 ww dz7 . z ; 2dw2 1 4 w1 4 w24 w21 4 w 2 21 4 w 4 w21 4 w 1

2 2 2 31 4 w 1 4 w 1 4 w 21 4 w

x 1 x 1x 1 x 12 x 1 x 12 x 1 2 x 1x 18 . f (x) ; f ´(x)

x 1 x 1 x 1x 1 x 1 1f ´(x)

2 22 x 1 x 1 x 1 x 1

− +

− +

−− − − −

− = = =−−

− +− +−

= = =− − − −

+ − −+ −−

− +− +−− = = =

+ + +

+ − += =

+ − + −

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( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

4 3 3 3 2 422 3 2 3 3 2

2 33 2 3 2

2 33 2 3

2 3

2 3 3 2 2

2

9 . y x 3 2x 5 ; y´ 4 x 3 2x 2x 5 3 6 x 2x 5 x 3

y´ 2x 2x 5 x 3 4 2x 5 9 x 3

y ´ 2x 2x 5 x 3 17x 27x 20

10. f(x) x(x 1) (x 2)f (x) (x 1) (x 2) 2x(x 1)(x 2) 3x(x 1) (x 2)f (x) (x 1)(x 2) (x 1)

− = + − = + − + − +

⎡ ⎤= − + − + +⎣ ⎦

= − + + −

− = − −

= − − + − − + − −

= − − −[ ]2 2 2 2

3 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2

2 2 2

(x 2) 2x(x 2) 3x(x 1)

f (x) (x 1)(x 2) 6x 10x 2 f (x) 2(x 1)(x 2) 3x 5x 1

x 3x (x 3) x (2x) x (x 9)11. f(x) f (x) f (x)x 3 (x 3) (x 3)

4x 4(x 4) 4x(2x) 4(12. f(x) f (x) f(x)x 4 (x 4)

− + − + −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − − + ⇒ = − − − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦+ − +

− = ⇒ = ⇒ =+ + +

+ −− = ⇒ = ⇒ =

+ +

2

2

2

2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2

2

2

3 2

2 2 3 3

3

4 x )x 4

13. f(x) x 4 xxf (x) 4 x (4 x ) ( 2x) f x) (4 x ) 4 x x f x) 2(4 x ) 2 x2

2 2 xf x)

4 x14. f(x) 10x (x 1)f (x) 30x (x 1) 20x (x 1) f (x) 10x (x 1)(5x 3)

15. f(x) (x 2)

− − −

−+

− = −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + − − ⇒ = − − − ⇒ = − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤−⎣ ⎦=−

− = −

= − + − ⇒ = − −

− = −

[ ][ ] [ ]

4

2 4 3 3 2 3

2 3 2 3

2

2

2 2 2 2

2 2 2 2

(x 1)f (x) 3(x 2) (x 1) 4(x 2) (x 1) f (x) (x 2) (x 1) 3(x 1) 4(x 2)

f (x) (x 2) (x 1) 3x 3 4x 8) f (x) (x 2) (x 1) 7x 5

2x16. f(x)9 x

4x(9 x ) 2x ( 2x) 4x(9 x x )f (x) f (x) f (x)(9 x ) (9 x )

+

= − + + − + ⇒ = − + + + −

= − + + + − ⇒ = − + −

− =−

− − − − += ⇒ = ⇒ =

− − 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 4 2 4 2 3

36x(9 x )

36x17. f(x)(9 x )

36(9 x ) 36x 4x(9 x ) 36(9 x ) 9 x 4x 108 3 xf (x) f (x) f (x)

(9 x ) (9 x ) (9 x )

−

− =−

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − − − − − + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦= ⇒ = ⇒ =− − −

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2.c

om






2

2 2

2 2 2

2

2

2 2 3 3 2

4 4

x 2x 218. f(x)x 1

(2x 2)(x 1) (x 2x 2) (2x 2)(x 1) (x 2x 2) x(x 2)f (x) f (x) f (x)(x 1) (x 1) (x 1)

x 2x19. f(x)(x 1)

(2x 2)(x 1) 2(x 2x)(x 1) 2(x 1) 2(x 2x)(x 1)f (x) f (x)(x 1) (x 1)

f´

− +− =

−− − − − + − − − − + −

= ⇒ = ⇒ =− − −

−− =

−

− − − − − − − − −= ⇒ =

− −2 2

4 3

2

2

2 2 3 3 2

4 4

2 2

4 3

2(x 1) (x 1) (x 2x) 2(x) f (x)(x 1) (x 1)

x 2x20. f(x)(x 1)

(2x 2)(x 1) 2(x 2x)(x 1) 2(x 1) 2(x 2x)(x 1)f (x) f (x)(x 1) (x 1)

2(x 1) (x 1) (x 2x) 2f (x) f (x)(x 1) (x 1)

21. f(x)

⎡ ⎤− − − −⎣ ⎦= ⇒ =− −

−− =

−

− − − − − − − − −= ⇒ =

− −

⎡ ⎤− − − −⎣ ⎦= ⇒ =− −

− =2

2

22 2

4 4

2

3 3

2

3

2 3 3 2

6

2 x x(x 1)

(x 1) (1 2x)(x 1) 2(2 x x )(1 2x)(x 1) 2(2 x x )(x 1)f (x) f (x)(x 1) (x 1)

(1 2x)(x 1) 2(2 x x ) x 5f (x) f (x)(x 1) (x 1)

(x 1) (x 2)22. f(x)x

(3x 3)x (x 3x 2)3xf (x) fx

+ −−

⎡ ⎤− − − − + −− − − + − − ⎣ ⎦= ⇒ =− −

⎡ ⎤− − − + − −⎣ ⎦= ⇒ =− −

− +−

− − − += ⇒

[ ]

[ ] [ ]

2 2 3

6

3 3

4 4

2

2

2 2 2

2

3x (x 1)x (x 3x 2(x)

x3 x x x 3x 2 6 x 1

f (x) f (x)x x

(x 1)23. f(x)x 1

(x 1) 2(x 1) (x 1) (x 1) x 32(x 1)(x 1) (x 1)f (x) f (x) f (x)(x 1) (x 1) (x 1)

(x 1)(x 3) 224. f(x) f (x)(x 1)

⎡ ⎤− − − +⎣ ⎦=

⎡ ⎤− − + − −⎣ ⎦= ⇒ =

−− =

+− + − − − +− + − −

= ⇒ = ⇒ =+ + +

− +− = ⇒ =

+

[ ]

2 2

4

2 2

4 3

(x 1)(x 1) 2(x 2x 3)(x 1)(x 1)

2(x 1) x 2x 1 x 2x 3 2 4f (x) f (x)

(x 1) (x 1)

+ + − + − +⇒

+

⎡ ⎤+ + + − − +⎣ ⎦= ⇒ =+ +

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( ) ( )( )( )

( ) ( )

( ) ( )

1/2 1 x 1 x 11 x 1 1 x25. F(x) f (x) 21 x 2 1 x 1 x

1/2 1/21 1 x 1 x 1 x 1 1 x 2f (x) f (x)2 22 1 x 2 1 x1 x 1 x

1/21 1 x 1 1f (x) f (x) f (x)22 1 x 1 x 41 x 1 x1 x

− ⎡ ⎤− − + −⎛ ⎞+ + ⎢ ⎥− = ⇒ = ⎜ ⎟− − ⎢ ⎥⎝ ⎠ −⎣ ⎦− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ /+ − + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟/− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦−⎛ ⎞+

= ⇒ = ⇒ =⎜ ⎟/ − + /⎝ ⎠ − −−

( ) ( )

1 12 2

12

2 2

22

2 2 2

2 2 3

2 2 2

2 2 2 2 2

2

2

131 x 1 x

x(x 3) (x 3) 2xx 226. f(x) f (x)(x 3)x 3

(x 3) x 3 x 3f (x) f (x)(x 3) (x 3)

2x 4x(x x 2) 2x (2x 1) 2x(x 4)27. f(x) f (x) f (x)x x 2 (x x 2) (x x 2)x 3x 228. f(x)x

−

−

+ −

+ − +− = ⇒ =

+−⎡ ⎤+ + −⎣ ⎦= ⇒ =+ +

− − − − − +− = ⇒ = ⇒ =

− − − − − −

− +− =

2 2

2 2

3 2 2 3 2 2

2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2

2

(2x 3)(x 2x 1) (x 3x 2)(2x 2)f (x)2x 1 (x 2x 1)

2x 4x 2x 3x 6x 3 2x 6x 4x 2x 6x 4f (x)(x 2x 1)

4x 2x 3x 3 6x 4x 2x 4 5x 2x 7f (x) f (x)(x 2x 1) (x 2x 1)

x 129. f(x)x 1

2x(f (x)

− + + − − + +⇒ =

+ + + +

+ + − − − − + − − + −=

+ +

+ − − + − − − − −= ⇒ =

+ + + +

+− =

−

=

( ) ( )( ) ( )

( )( )

( )( )

1 112 2

22 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2

2 3 2 3

2xx 1) (x 1) (x 1) x(x 1) 2(x 1) (x 1)2 f (x)x 1 x 1

x 2x 2 x 1 x(x 3)f (x) f (x)(x 1) (x 1)

26x x 221 2x 3x 2 3x 2 6x 4x30. F(x) F(x) F(x)5x 4 5x 4 5x 4

212x 1 5x 4 6xF (x)

− −− − + − ⎡ ⎤− − − +⎣ ⎦⇒ =− −

⎡ ⎤− − − −⎣ ⎦= ⇒ =− −

− − +− + + − −− = ⇒ = ⇒ =

− − −

− − − − − −=

( )( )

( )

( ) ( ) ( )

x 2 5

25x 4

26 5x 8x 12 2 260x 48x 5x 4 30x 5x 10 30x 48x 6F (x) F (x) F (x)2 2 25x 4 5x 4 5x 4

+

−

⎡ ⎤− + −− + − + + + − − + − ⎢ ⎥⎣ ⎦= ⇒ = ⇒ =− − −

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2.c

om






( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )

2

32

2/3 2/32 22 2

2 22 22 2

2 22 22 62 232 2

2 2 42 2 2362

3 22

1 x31. y1 x

2x 1 x 1 x 2x1 1 x 1 1 x 4xy´ y´3 1 x 3 1 x1 x 1 x

4x 4xy´ y´1 x 1 x1 x 1 x1 x 1 x

4x 4xy´ y´1 x 1 x 1 x

1 x1 x

32

3

33

3

− −

+− =

−

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⇒ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= ⇒ =⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +

− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= ⇒ =+ + −

−−

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )1/2

2x. yx 1

1/2 1/2 2 x 1 2x 12x 2x 1 2xy y y´ 2x 1 x 1 2 x 1 x 1

1 2x 2 2x 1 1 1y´ y´ y´1/2 2 22x 3x 1 x 12x 2x x 12 x 1x 1

2 2 22x 1 2x 1 2x 133. y y y 1/22 2 2 2 4x 1 x x 1 x x x

2 44x x x 2xy´

− =+

− ⎡ ⎤+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥= ⇒ = → =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + + ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ +⎣ ⎦⎡ ⎤+ −⎢ ⎥= ⇒ = → =⎢ ⎥+ +⎛ ⎞ +⎣ ⎦

⎜ ⎟ ++⎝ ⎠

− − −− = ⇒ = ⇒ =

+ + +

+ −=

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

( )( )

( )

1/2

1/2

3 5 3 5 3

3

23

3 32 4 2 4

2 2 4 311 x x 2x 4x22 4x x

2 4 2 4 2 3x x 4x x x 2x 1 x 2x 4x 4x 2x 4x x 2xy' y'2 4 2 4x x x x

x 4x 14x xy' y'x x x x

−

−

− + +

+

⎡ ⎤+ + − − +⎢ ⎥ + − − + +⎣ ⎦= ⇒ =+ +

−+= → =

+ +

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2.c

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( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )

1 11/2 1/21/2 x 1 x 1 x x1 x 1 1 x 2 234)F(x) y´ 221 x 1 x 1 x

1 1/2x 1 x 1 x1 2y´ 21 x 1 x21 x

1 1/2x (2) 1/21 1 x2y´ y´2 21 x 1 x1 x 1 x2 21 x 1 x

1y´1 x21

⎡ ⎤⎛ ⎞− −− − − + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎛ ⎞+ + ⎝ ⎠⎢ ⎥= ⇒ = ⎜ ⎟⎜ ⎟− − ⎢ ⎥⎝ ⎠ −⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤− ⎡ ⎤− + +⎢ ⎥⎣ ⎦= ⎢ ⎥

+ ⎢ ⎥−⎣ ⎦−

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥= → =⎢ ⎥ ⎢ ⎥

+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦⎣ ⎦− −

=+ ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1/ 22 2 21/ 22 2 2 2

2

2

1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

1/ 22 2 2 2 2

1 1 1y´ y´2 31/2 41 x1/2x 1 x 2 x 1 x 1 x2x 1 xx 1 x

2 135) y '2

1

' '

'

x x xx π x y x

x

y x x x y x x x xx

y x x x

π πππ

πππ π π π π π

ππ

π π π

−

− − −

−

⎡ ⎤⎢ ⎥

⇒ = ⇒ =⎢ ⎥+⎢ ⎥− + −−⎣ ⎦− −

− − ⎛ ⎞= − ⇒ = − + + ⎜ ⎟⎝ ⎠

−

= − − − + ⇒ = − − − + −−

= − − − + ( )( ) ( )

12

1 12 2

1/ 22 2 2 2 2 2 2

1/ 22 2 2 2 2 2

2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2

2

'

' 2 ` 2

36) ( ) 4

Re : ( ) ( 4) ( ) (( 4) )1 1´( ) (( 4) ) (( 4) ) ´( ) (( 4) ) (2( 4)2 )2 22 ( 4)´( )

( 4

y x x x

y x x y x

f x x

cordar que a a f x x f x x

f x x x f x x x x

x xf xx

π π π

π π π

−

−

− −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⇒ = − − − +⎣ ⎦⎣ ⎦

= − − ⇒ = −

= −

= ⇒ = − ⇒ = −

′= − − ⇒ = − −

−=

−

12

2

22

3

2 3 2 2 2 2 2 2

22 2

2

2 ( 4)´( )4)

37)f(x) x1f(x) ( x ) f´(x) 3( x ) ( x )´ f´(x) 3( x ) (x ) 2x2

3x x3x( x )f´(x) f´(x) f´(x) 3x xx( x )

x xf xx

−

−⇒ =

−

=

= ⇒ = ⇒ =

= ⇒ = ⇒ =

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2.c

om






b. Funciones Trigonométricas.

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

38)y Sen (3x) Cos(2x) y´ 3 cos (3x) 2 Sen (2x)39) y tan (x ) y´ 2 tan (x )Sec (x ) 2x

40)y Cot 1 2 x y´ Csc 1 2 x 4x 4x Cosec 1 2 x

2 2 2 2 241)y Sen ( ) y´ Cos ( ) ´ Cos ( )x x x x x

42)y Cos 1 x y´ 2Cos 1 x Sen 1 x

y

= + ⇒ = −

= ⇒ =

= − ⇒ = − − − ⇒ −

⎛ ⎞= ⇒ = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

= − ⇒ = − − − ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( )

2

3 2

2 2 2 2 2

22 2 2

3 2

2x y´ 2xSen 2 1 x

43)y Sen 2x 3 y´ 3sen 2x 3 Cos 2x 3 2x y´ 3xsen2 2x 3 Sen 2x 31 144)y Sec x 1 y´ 2( )Sec x 1 sec x 1 tan x 1 2x2 2

2xSen x 1y´ 2x sec x 1 tan x 1 ´

Cos x 1

-3/2 Sec(1 dz45)z ( ) 3/2 dwSec(2w) 1

y

w

⎡ ⎤ − ⇒ = −⎣ ⎦= − ⇒ = − − ⇒ = − −

= − ⇒ = − − −

−= − − ⇒ =

−

= ⇒ =−

( )( )

( )( )( ) ( )( )

( )

( )( ) ( )( )

( )

1/22w) 1 Sec(2w)tan (2w) 23Sec (2w) 1

dz -3 Sec(2w)tan (2w)5/2dw Sec(2w) 1

Cosx Senx Senx Cosx Senx Cosx Cosx SenxSenx Cosx46).y y' 2Senx Cosx Senx Cosx

2Senx Cosx2Senx Cosx Senx Cosx Senx Cosx y' y'2Senx Cosx

−

−

=−

− − − + ++= ⇒ =

− −

− −− − − − += ⇒ =

−

( )

( )

( )

[ ] [ ]

2 2

2 2

2 3

2

2Senx Cosx

2Senx Cosx

2 2 2 2Sen x 2Senx Cosx Cos x Sen x 2Senx Cosx Cos x y' 2Senx Cosx

2(Sen x Cos x) 2 y' y'Senx Cosx Senx Cosx

47)y 3Senx Cos x Sen x

y' 3 Cosx Cos x 2SenxCosx( Senx) 3Sen

⎡ ⎤+ +⎢ ⎥⎣ ⎦

−

⎡ ⎤− + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦= −−

⎡ ⎤− + −⎣ ⎦= → =− −

= +

⎡ ⎤= + − +⎣ ⎦2

3 2 2 3 2

2 2

x Cosx

y' 3Cos x 6Sen x Cosx 3Sen x Cosx y' 3Cos x 3Sen x Cosx

y' 3Cosx Cos x Sen x y' 3Cosx Cos(2x)

= − + ⇒ = −

⎡ ⎤= − ⇒ =⎣ ⎦

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2.c

om






3 2 2 1/3 2 1/3 33 3

2 2/3 442 23

43

2 3

2

1 148)y Sen x y (Sen x) y (Sen x) Cos xCos x Cos x

1 2SenxCosx 3Senxy' (Sen x) 2SenxCosx 3Cos x( Senx) y'3 Cos x3Senx (Sen x)2Cosx 3Senxy'

Cos x3 Senx

49)y 3SenxCos x Sen x

y' 3 CosxCos x

−

−

= + ⇒ = + ⇒ = +

⎡ ⎤= + − − ⇒ = +⎣ ⎦

= +

= +

= + 2

3 2 2 3 2

2 2

3

3 22

3 2

2SenxCosx( Senx) 3Sen xCosx

y' 3Cos x 6Sen xCosx 3Sen xCosx y' 3Cos x 3Sen xCosx

y' 3Cosx Cos x Sen x y' 3CosxCos(2x)

Cosx 450)y Ctgx3Sen x 3

1 Senx(Sen x) 3CosxSen xCosx 4y' (Csc3 (Sen x) 3

⎡ ⎤− +⎣ ⎦= − + ⇒ = −

⎡ ⎤= − ⇒ =⎣ ⎦

=− +

⎡ ⎤− − −= −⎢ ⎥

⎣ ⎦

4 2 22

6

2 2 2 2 2

6 2 4 2

2 2 2 2 2

4 4 4

1 Sen x 3Cos xSen x 4x) y' Csc x3 Sen x 3

1 Sen x(Sen x 3Cos x) 4 1 Sen x 3Cos x 4y' y'3 Sen x 3Sen x 3 Sen x 3Sen x

1 Sen x 3Cos x 4Sen x 1 3Sen x 3Cos x Cos2xy' y' y'3 Sen x 3 Sen x Sen x

51). y

⎡ ⎤− −⇒ =− −⎢ ⎥

⎣ ⎦+ +

= − ⇒ = −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − − += ⇒ = ⇒ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

−

[ ] [ ][ ]

[ ][ ] [ ]

2

2 2

2 2

1 Cos(2x)1 Cos(2x)

2Senx(2x) 1 Cos(2x) 1 Cos(2x) 2Senx(2x)y'

1 Cos(2x)

2Senx(2x) 1 Cos(2x) 1 Cos(2x 4Senx(2x)y' y'1 Cos(2x) 1 Cos(2x)

1 Cos2x 1 Cos2xSen(2x) 2CosxSenx;Cos(2x) Cos x Sen x; Senx ;Cosx2 2

+=

−

− − − +=

−

− − + + −= ⇒ =

− −

− += = − = =

[ ] [ ]2 4 32

4 2CosxSenx 4 2CosxSenx 2Cosxy' y' y'4Sen x Sen x2Sen x

− − −= ⇒ = ⇒ =

⎡ ⎤⎣ ⎦

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TIS

2.c

om






2

2 2 2 22 2

2 2

2

2

a52)y Sen (x 5x 1) Tgx

a a a ay' Cos (x 5x 1) (2x 5) Sec y' (2x 5)Cos (x 5x 1) Secx x x x

53) ( ) ( ) ( )

2 ( ) ( ) 2 ( )( )´( )2

F x Sen x Cos x

Sen x Cos x Cos x Sen xF xSen x

α β β β

α β β β β βα β β

⎛ ⎞= − + + ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − + − ⇒ = − − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

= +

+ −=

+

[ ]2 2 2

2 2

2 ( ) ( )'( )

2 ( ) ( )( ) 2( ):2 2( ) '( )

2 ( ) ( )

Sen x Cos xF x

Cos x Sen x Cos xSen xPero Cos x Sen x Sen x F x

Sen x Cos x

β β β α β

β α β β ββ α β ββ β β

α β β β

−⇒ =

+

−= ⇒ =

+

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

23 2 2

3

2 22 2 2 2 2

3 3

2 2 3 2 22

3 6

2 2

S en x54) y S en x Sen x

x

S en x S en xy 3 S en x S en x C os x S en x

x x

S en x C os( x ) (2x) x Sen (x ) 3x2x C os x 2x

x x

y 3 S en x S en x

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟= + +

⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟′ = + + + +

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎤−⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥+ + +

⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎣ ⎦

′ = +

( ) ( )

2 22 2 2

3 3

5 2 2 2´6 2

3 4

2 2

S en (x ) S en (x )C os x S en xx x

2x 2x C os x 3S en xx Sen (x )2x C osx x

x xtg ctg2 255) y

x1 x 1 x xSec csc x tg2 2 2 2 2

y

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤+ −⎡ ⎤⎛ ⎞+⎢ ⎥+⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠=

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦′ = 2

2 2

2

2 2

2

xctg2

xx x x x xS ec csc tg ctg2 2 2 2 2y

xx xSen C os

x 1 1 2 2x x x x2 S en C os C os S en2 2 2 2y

x

⎡ ⎤⎛ ⎞+⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦′ =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − + +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦′ =

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om






2 22 2

2 2

2

2 2 2 2

2

x x x xCos Sen Sen Cosx 2 2 2 2

x x x x2 Sen Cos Cos Sen2 2 2 2y

x2 2 ; 2 ; 1

22

22

Sen u Sen u Cos u Cos u Cos u Sen u Sen u Cos u

xCosx

xSeny

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥− +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦′ =

= = − + =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠−

′ =

( )

2 2 2

2 2

2 2 2

2 21 2 2 2

2 2 2 2 22

22 2

22 2

x x xxCos Cos Sen

x x x x xCos Cos Sen Sen Cosy

x xx xxCos x Sen Cos

yx xx Sen Cos

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥+

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠′ =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠′ =

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣

( ) ( )

( ) ( )

( )

12

3Sen x 2Cos x3Sen x 2Cos x 156) y y y 3Sen x 2Cos x5 5 5

1 1y 3Sen x 2Cos x 3Sen x 2Cos x25

11 1y 3Sen x 2Cos x (3Sen x) ( 2Cos x)225

11 1 3Cos x 2Sen xy 3Sen x 2Cos x (3Cos x 2Sen x) y225 2 5 3Sen x 2Cos

−

⎥⎦

−−= ⇒ = ⇒ = −

⎡ ⎤′ = − − ′⎢ ⎥⎣ ⎦−⎡ ⎤

′ = − ′ − ′⎢ ⎥⎣ ⎦

−⎡ ⎤ +′ = − + ⇒ ′ =⎢ ⎥ −⎣ ⎦

[ ]

[ ]

2 2

2

2 2 2 2

2 2

x

57)f(x) αSen (βx) βCos (βx)

2 Sen (βx) Cos (βx) α β2 αSen(βx) Cos (βx) 2β Cos (βx) ( Sen (βx))f'(x) f'(x)2 αSen (βx) βCos (βx) 2 αSen (βx) βCos (βx)

2 (Sen (βx) Cos (βx))β α βf'(x) Pero:2 Cos (βx)Sen (

2 αSen (βx) βCos (βx)

= +

−+ −= ⇒ =

+ +

−=

+

( ) ( )

( )

2 2

.

y

Senx Cosxy

Senx Cosx

Cosx Senx Cosx SenxSenx Cosx Senx Cosx

2 Senx 2 Cosx 2 Senx 2 Cosx'2

Senx Cosx

βx) Sen( 2 )

β(α β)Sen (2 )f'(x)2 αSen βx βCos βx

58)

x

x

β

β

−=

+

+ + − − −=

+

=

−=

+

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

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2.c

om






( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

)CosxSenx(22)CosxSenx(

2y'

)CosxSenx(22)CosxSenx(

CosxSenxSenx1CosxCosxSenxCosxSenxSenx1CosxSenxCosxY´

2)CosxSenx)(CosxSenx(2

CosxSenxSenxx)2Cosx2(SenCosxCosxSenxCosxSenxSenxx)2Senx2(CosCosxSenxCosxY'

2)CosxSenx(

CosxSenx2

)SenxSenx(CosxCosxCosxSenxCosxSenx

CosxSenx2

)SenxSenx(CosxCosx

y'

+

=

+

−+−++=

+

−++−+++=

+

−−−+

+

=

c. Funciones Trigonométricas Inversas.

( )( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

2

2 2 2

2

2 2 4

22 42

d 2x 3159)y arcsen 2 x 3 y´ .dx1 2x 3

2 2 1y´ y´ y´1 4x 12x 9 4x 12x 8 3x x 2

2x 2x60)y arccos(x ) y´ y´1 (x ) 1 x

1 6x61) y arc tan(3x ) y´ 6x y´1 9x1 3x

1 x 1 1 x 11 x62)y arccot y´1 x 1 x1

−= − ⇒ =

− −

= ⇒ = ⇒ =− + − − + − − −

= ⇒ =− ⇒ =−− −

= ⇒ = ⇒ =++

− − + −⎡ ⎤+= ⇒ =−⎢ ⎥−⎣ ⎦ +

+ ( )

( )

( )( )

( )( )( )

22

2

22 2 22

2

2

2 22

1 x1 x

2 1 2x x(1 x 1 x)y´ y´1 2x x (1 2x x 1 2x x ) 1 x1 1 x1 2x x

2 1 x 1y´ y´1 x2 1 x 1 x

⎛ ⎞−⎜ ⎟−⎝ ⎠

− − +− − + += ⇒ =

⎡ ⎤+ + − + + + + −+ −⎢ ⎥− +⎣ ⎦

− −= ⇒ = −

++ −

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om






( )

2

2

2

2 2 2

2

1 263) csc 1

11 1 2´ csc 21 1 22 112

1 1´ csc ´ csc2 21 1

b sec x1 b 1 a64)y arc tan tan x y´ab a ab b1 tan x

a1 b Sec x Sey´ y´

(a b an x)ab aa

y x arc xx

xy arc xx x x

x xx xy arc y arc

x xx x

⎡ ⎤= + −⎢ ⎥⎣ ⎦⎛ ⎞− −⎡ ⎤= + − +⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠ −−

⎡ ⎤= + − ⇒ = ⎢ ⎥⎣ ⎦− −

⎛ ⎞= ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎛ ⎞+ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

= ⇒ =+

( )

( ) ( )

( )( ) ( )

( )( )

2

2 2 2 2 2 2 2

21/22 2

2

1/2 1/23 2 2 21/22

1/22

1/2 1/23 2 2

2 2 2

13 2

c x 1y´a b tan x a cos x b sen x

x 4 1 x 1 x65) y arc sec y x x 4 arc secx 2 2 2 2

2x 1 1 1y´ 2x x 4 x x 4 ( )2 2 2x x 1

2 4

2 x 4 1 1y ´x x x 4 x x 4

2 x 4 x xy´

x x 4

−

− −

⇒ =+ +

− ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + ⇒ = − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= − − + − +⎛ ⎞

−⎜ ⎟⎝ ⎠

− −= + +

− −

− − + +=

−

( )

( )( )( )

( ) ( )

( )

/2 3 2

2 2

22

2 2

2

22

2 2

22 2 2 22

2 2

8y´x x 4

x a66) y x a 2 a x x a arc sena

x a 2a 2x a 1y´ 2ax xa2 2ax x x a

1a

x a a x ay´ 2ax x2ax x 2ax x

2ax x 22ax x xa a x ax ay ´ y´ y´ 2ax x2ax x 2ax x

⇒ =−

−= − − +

− −= − + +

− −−

− −= − + +

− −

−− + − − + += ⇒ = ⇒ = −

− −

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om






( )

( )

2 2

2

2

2

1 tg x67)y arc tg1 tg x

1 1 Sec x (1 tg x) (1 tg x) Sec xy1 tg x 1 tg x 1 tg x1 21 tg x 1 tg x

1 1 Sec x (1 tg x 1 tg x (1 tg x) 1y y1 tg x 1 tg x 21 tg x 1 tg1 tg x2 21 tg x 1 tg x

−=

+

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤− + − −⎢ ⎥′ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤− − +⎢ ⎥⎣ ⎦+ ⎢ ⎥⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤− + + − +⎢ ⎥′ = ⇒ ′ =⎢ ⎥+ + − ⎢ ⎥− −+⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

( )( )

( ) ( ) ( )( )

2

2

2 2 2 2

22 2

2 2

Sec x

x 1 tg x1 tg x

Sec x Sec x Sec x Sec xy y y y1 tg x 1 tg x 2 1 tg x 1 tg x 2 1 tg x2 1 tg x 2 1 tg x1 tg x 1 tg x

1 b68) y arcsen xab

1 1 b 1 1 by ya ab bb b1 x 1 x

a a

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥+⎢ ⎥

+⎣ ⎦− − − −

′ = ⇒ ′ = ⇒ ′ = ⇒ ′ =− − − + −+ ++ +

=

⎡ ⎤⎢ ⎥

⎛ ⎞⎢ ⎥′ = ⇒ ′ =⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎝ ⎠⎢ ⎥+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

( )( )

2

22 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2

2

2 2 2 22 2

2 2 2 2

2

b1 ay

a x bba

1 a b a ay y ya x bb a a x b a (a x b)

2xx 1 169)f(x) x a x a arcsen f (x) a x x aa a2 a x x1

ax a a x xf (x) a x f (x)

a x a xa

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⇒ ′ =⎢ ⎥ +⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎡ ⎤⎢ ⎥′ = ⇒ ′ = ⇒ ′ =

++ +⎢ ⎥⎣ ⎦−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + ⇒ = − + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦−

−

− − += − − + ⇒ =

− −

( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

22 2

2 2

2 2

12 2 1

2 2 22

a f ´ (x) 2 a xa x

x70) y 3a arc tg 3a 2x a x xa x

a x x 13a 1 x 1y 2 ax x 3a 2x ax x a 2x2 a x 2x a x1

a x

−−

⇒ = −−

= − + −−

⎡ ⎤⎛ ⎞− − −⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎢ ⎥′ = − − + + − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟−⎛ ⎞ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦−⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦−⎜ ⎟−⎝ ⎠

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om






( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( )( )

( )( ) ( )

2 12 2 2

2

2 12 22

2

3 12 2 2 22

3

3a a x x 1y 2 ax x 3a 2x ax x a 2xa x x 2x2 a xa x a x

3a ay ax x 2 ax x 3a 2x a 2xa 2x x2 a x

a x

3ay ax x 2ax 2x 3a 6ax 2ax 4x2(a 2x) x a x

3ay2 a

−

−

−

⎡ ⎤⎢ ⎥

− + ⎡ ⎤⎢ ⎥′ = − − + + − −⎢ ⎥− − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦−⎢ ⎥− −⎣ ⎦⎡ ⎤⎢ ⎥

⎡ ⎤⎢ ⎥′ = − − − + + −⎢ ⎥⎢ ⎥− ⎣ ⎦−⎢ ⎥

−⎣ ⎦

⎡ ⎤′ = − − − + − + −⎢ ⎥⎣ ⎦− −

′ =−( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

2 2 3 2 2

12 2 22 2

12

2

3a 6x 2ax 3a 3a 6x 2axy2x ax x 2 a 2x ax x ax xax x

Senx 171)y arc ctgSenx 1

Cosx Senx 1 Senx 1 Cosx1 1 Senx 1y2 Senx 1Senx 1 Senx 11

Senx 1

−

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − − −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⇒ ′ = − ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −− ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

−=

+

⎛ ⎞+ − −⎛ ⎞− −′ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜+⎛ ⎞− +⎝ ⎠ ⎝ ⎠+ ⎜ ⎟+⎝ ⎠

( )( )

( )( )

( )

1 22

1 22

Cosx Senx 1 Senx 11 1y Senx 1 Senx 1 Senx 1Senx 12Senx 1 Senx 1

2Cosx1 1y 2Senx Senx 1Senx 12Senx 1 Senx 1

Cosxy ySenx 12Senx Senx 1Senx 1

⎡ ⎤⎢ ⎥

⎟⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥

⎛ ⎞+ − +− ⎢ ⎥′ = ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟+ + − +⎛ ⎞− ⎝ ⎠⎢ ⎥+ ⎜ ⎟⎢ ⎥+⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥

− ⎢ ⎥′ = ⎢ ⎥+⎛ ⎞−⎢ ⎥+ ⎜ ⎟⎢ ⎥+⎝ ⎠⎣ ⎦

−′ = ⇒ ′ =

−+

+( ) ( )

( )

( ) ( )

2

2 2

Cosx

Senx 1 Senx 12 Senx

Senx 1

Cosx Cosx ctgxy y y2 Senx Senx 1 Senx 1 2 Senx Sen x 1 2 Sen x 1

−

− ++

− − −′ = ⇒ ′ = ⇒ ′ =

− + − −

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om






2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2

2

1 x 1 (1 x) (1 x)( 1)72) y Arctg y'1 x (1 x)1 x1

1 x(1 x) (1 x) 1 x 1 x 2 2y' y' y'

(1 x) (1 x) (1 x) (1 x) 1 2x x 1 2x x2 2 1y' y' y'

2 2x 2(1 x ) 1 x

173) ( ) co2

y Arcsenx Arc

⎡ ⎤+ − − + −⎛ ⎞= ⇒ =⎜ ⎟ ⎢ ⎥− −⎝ ⎠ +⎛ ⎞ ⎣ ⎦+⎜ ⎟−⎝ ⎠⎡ ⎤− + + − + +

= ⇒ = ⇒ =⎢ ⎥− − + + + − + + + +⎣ ⎦

= → = ⇒ =+ + +

=

[ ]

2

2 2

2 2

2

2 2

2

2 2 1/2

1 2( ) ( ) ( 1)s ) ' cos2 1 1

(2 cos )' 2 cos '2 1 2 1

xx 1 x74)y Arcsen y'

1 x x11 x

11 x x (1 x ) (2x)2

y'

Arcsenx Arcsenxx y Arc xx x

Arcsenx Arcsenx Arc x Arcsenxy Arc x Arcsenx yx x

−

⎡ ⎤−⇒ = +⎢ ⎥

− −⎣ ⎦−

= − ⇒ =− −

′⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞ +⎝ ⎠= ⇒ =⎜ ⎟

+⎝ ⎠ ⎛ ⎞−⎜ ⎟

+⎝ ⎠

⎡+ − +⎢⎣

=

2 1/2 2 2 1/2

2 2

2 2 2

2 2

2 1/2 2 2

2 3 2 22

2 3 22 3

22

2 2

2

(1 x ) x (1 x )(1 x ) (1 x )y'

x 1 x x11 x 1 x

1(1 x ) 1 x x(1 x ) 1 x 1 x 1(1 x )y' y' y' y' y'1 (1 x ) 1 x1 (1 x )1 x1 x

xsenx75)y Arctg1 xcosx

1y'x Sen x

(1 xCosx)

−

−

⎤⎥ + − +⎦

+ +⇒ =+ −

−+ +

⎡ ⎤+ + −⎣ ⎦+ + ++= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

+ ++++

⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

=

−

2

2 22

2

(Senx x(Cosx))(1 xcosx) (xsenx)(Cosx x( Senx)(1 xcosx)1

(Senx xcosx)(1 xcosx) (xsenx)(Cosx xSenx)y'(1 xcosx) (xsenx) (1 xcosx)

(1 xcosx)

⎡ ⎤+ − + + −⎢ ⎥−⎣ ⎦+

+ − + −=

⎛ ⎞− + −⎜ ⎟−⎝ ⎠

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om






2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2

Senx xsenxCosx xcosx x Cos x xsenxCosx x Sen xy'1 2xcosx x Cos x x Sen x

Senx xcosx x Cos x x Sen xy'1 2xcosx x (Cos x Sen x)

Senx xcosx x (Cos x Sen x) Senx xcosx xy' y'(1 2xcosx x ) (1 2xcosx x )

76

− + − + −=

− + +

+ − −=

− + +

+ − + + −= ⇒ =

− + − +

( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

1 2

2 2 2 2

1/23 2

22 2

1)y y Arctgx y' 1 Arctgx ArctgxArctgx

1 1 1y' y'(Arctgx) 1 x 1 x (Arctgx)

177)y Arctgx (Arcsenx) y' Arctgx Arctgx 3(Arcsenx) (Arcsenx)2

1 1 1y' 3(Arcsenx) y1 x2 Arctgx 1 x

− −

−

′= ⇒ = ⇒ =−

− −⎛ ⎞= ⇒ =⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

′ ′= − ⇒ = −

⎛ ⎞⎛ ⎞= − ⇒⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠ +⎝ ⎠ ( )

[ ]

2

2 2

1/2

2

1 3(Arcsenx)'2 1 x Arctgx 1 x

1 Cosx78)y ArcTg1 Cosx

1 1 CosxSenx(1 Cosx) (1 Cosx)( Senx)2 1 Cosxy'

1 Cosx (1 Cosx)11 Cosx

Senx(1 Cosx 1 Cosx)y'

1 Cosx 1 Cosx1 21 Cosx 1 C

−

−=

+ +

−=

+

−⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎡ ⎤+ − − −+⎝ ⎠= ⎢ ⎥− +⎛ ⎞ ⎣ ⎦+⎜ ⎟+⎝ ⎠

+ + −=

⎛ − ⎞ −⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠⎝ ⎠[ ]

2

2 2

2

2

(1 Cosx)osx

2Senx (1 Cosx)Senxy' y'1 Cosx 1 Cosx 1 Cosx 1 Cosx2 (1 Cosx) 2 (1 Cosx)

1 Cosx 1 Cosx 1 CosxSenx Senxy' y'

1 Cosx 2 (1 Cosx)(1 Cosx)2 (1 Cosx)1 CosxSenx Senx 1y' y' y'

2Senx 22 1 Cos x

+

+= ⇒ =

+ + − − −⎛ ⎞ + +⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠

= ⇒ = ⇒− − +

++

= ⇒ = ⇒ =−

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om






d. Funciones Logarítmicas y Exponenciales.

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( )

6x log e1 d2 2 a79)y log 3x 5 y ´ log e 3x 5 y´a a2 2dx3x 5 3x 5

2 x 3 2280)y Ln x 3 y´ y´2 x 3x 3

2 Ln x 31281)y Ln x 3 y´ 2 Ln x 3 y´x 3 x 3

2sec x tanx sec x82)y Ln sec x tanx y´ y´ sec xsec x tanx

⎛ ⎞⎜ ⎟= − ⇒ = − ⇒ =⎜ ⎟− −⎝ ⎠

+= + ⇒ = ⇒ =

++

+= + ⇒ = + ⇒ =

+ +

+ += + ⇒ = ⇒ =

+

( )

( )

( )

3 32

2 x x 2 x x 2

83)y x sen (ln x) cos(ln x)

cos(ln x) sen (ln x)y´ sen (ln x) cos(ln x) x y´ 2sen (ln x)x x

x x84)y e y´ e 3x

sen (3x) sen (3x)85)y e y´ 3cos(3x)e

86) y x e y´ 2x e x e y´ e x 2x

x x x87)y e cos(x) y´ e cos(x) e

= −

⎛ ⎞= − + + ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠

= ⇒ =

= ⇒ =

= ⇒ = + ⇒ = +

− − −= ⇒ =− + −( ) ( )xsen ( x) y´ e sen (x) cos( x)−⇒ = +

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om






( )

( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

3 3 3

3

2 2x

2x 2x 2 2x

2x

21 x 1 x 1 x3 3 2

3

1 x2 33

88)y x e cos (3x)

2y´ 2x e cos (3x) x (2e )cos(3x) x e 3sen (3x)

y´ x e 2 cos (3x) 2x cos (3x) 3x sen (3x)

3x89).y Ln x 2 e y´ e Ln x 2 e 3x

x 2

1y´ 3x e Ln x 2 y´ 3xx 2

− − −

−

=

= + + −

= + −

⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥= + ⇒ = + + −⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦ +⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤= − + ⇒ =⎢ ⎥+⎣ ⎦

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )( )

( )

( )

3

3

3 31 x2

3

1 x2 3 3

3

2 2 2

2 2

2 22

2

1 x 2 Ln x 2e

x 2

3x e 1 x 2 Ln x 2y´

x 2

'2 2 2x 1 x 1 x 1e e90)y y Ln 4 e4 4

11x 1 x 1e 2y Ln 4 x 1 (2x)e4 2

x 1 x 1e Ln 4 x e41x 1 x 1e 2y Ln 4 x 1 yx e4x 1

91)

−

−

⎡ ⎤− + +⎢ ⎥

+⎢ ⎥⎣ ⎦

− + +=

+

⎛ ⎞− − −= ⇒ ′ = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

−⎡ ⎤− −′ = −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎡ ⎤− ⎝ ⎠−′ = − ⇒ ′ =⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎣ ⎦

( ) ( )( )( ) ( ) ( )

2x

2x

2x 2x

2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x

2 2 22x 2x 2x

e 1x x xe e e 1eF(x) F(x) F(x)x x e 1 e 1e e

xe

2e e 1 e 1 2e 2e e 1 e 1 4eF (x) F´(x) F (x)e 1 e 1 e 1

−−− −

= ⇒ = ⇒ =− + ++

⎡ ⎤+ − − + − +⎣ ⎦= ⇒ = ⇒ =+ + +

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( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( )

( )( )

( )

( )

( )

2

2 2

2

2

2

2

2 2

2 2

2

2

192) ´

1 1

1 2 1´ ´

1 1

1/211 1 x 2x293)y Ln x 1 x y´

x 1 x1/21 x xx1 1/2 1/21 x 1 x

y´ y´1/2 1/2x 1 x 1 x

1/21 x xy´

1/2x 1 x

x x x xx

x x

x x x x x

x x

e e e eey ye e

e e e e ey y

e e

x

− −−

− −

− + −= ⇒ =

+ +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + + − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦= ⇒ =+ +

−+ +

= + + ⇒ =+ +

+ ++

+ += ⇒ =

+ + + +

⎡ ⎤+ +⎢ ⎥⎣ ⎦=⎡ ⎤+ +⎢⎣ ⎦

( ) ( )

( ) ( )( )

( )( )

12

12 1

2

22

22

22

2 22 22 2

2

2 2

22 2

22 2

2

1y´1/2 1 x1 x

1 x1 xx 1x 194)F(x) y

1 x 1 x( 2x) x 1 1 x 2x1x 1 x 1y´ 22 x 1

1 x 1 xx 1 2x x 1 1 x1 1y´ ´

2 21 x x 1x 1

e e

e

e ey

−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

⇒ =++⎥

−−++

⇒ =

− − ⎛ ⎞− + − −+ ⎜ ⎟+= ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

− −+ ⎡ ⎤− + + −

⎢ ⎥= ⇒ =⎢ ⎥− +⎣ ⎦

+

=

( )

( )( )

( ) ( )

2

22 2

2

2 2

2 2

22 2

22

x 1 2 (2)1 x 1x 1

1 11 12 2´ ´

31 1 1( 1)1

x

x

x xx xx xy y

x x xxx

e e

+ ⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥− +⎣ ⎦

+

− −+ +

− −= ⇒ =

− − +++

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2.c

om






( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( )( )

( )

( )( )

( )( )

( ) ( )

22

22

22

1/2 1/22 2 2

2 22

1/21/2 22

1/2 1/2 1/2 1/22 22 2 2 2

( x 4 x )95)y Ln x 4 x y

x 4 x

12 x 4 x (1 4 x 2x ) 2 1 4 x2y' y'

x 4 xx 4 x

2 4 x x4 x x2 x 2y' 1 y' y'x 4 x x 4 x4 x 4 x 4 x x 4 x

− −

′+ += + + ⇒ =

+ +

⎡ ⎤+ + + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦= ⇒ =+ ++ +

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ + ++ + ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥= + ⇒ = ⇒ = ⇒⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤+ + + ++ + + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

2

22

2 2

2 2

2 2

2 2

2y'4 x

2Lnx 1 2Ln x x96)y Ln x Ln(Lnx) y' y'x xLnx xLnx

( x)( sen(βx) βCos(βx))97)f(x)β

x x xβCos(βx) β Sen(βx) Sen(βx) β Cos(βx)f'(x)

β

x βCos(βx) β Sen(βx) Sen(βf'(x)

e

e e e

e (

ααα

α α αα α α

α

α α α

=−

−= − ⇒ = − ⇒ =

−=

+

⎡ ⎤⎡ ⎤− − −⎢ ⎥⎣ ⎦

⎣ ⎦=+

− + −=

+

( )

( ) ( )

( )( )

2 2

2 2 2 2

1 11/2 1/2 1 1/2Cosx ( Senx) 1 Cosx (1 Cosx) Cosx ( Senx)1 2( Cosx ( Senx))2 2 2

21 Cosx 1 Cosx1 Cosx

x 2 βCos(βx) Sen(βx)(β )x) βCos(βx))f'(x)

β β

1 Cosx98)y Ln 2ArcTg Cosx1 Cosx

y'

eα α ααα α

− − −− − − + − −+

+ −−

⎡ ⎤− + −+ ⎣ ⎦⇒ =+ +

⎡ ⎤+= +⎢ ⎥

−⎣ ⎦

⎡ ⎤⎣ ⎦=

⎡ ⎤⎣ ⎦

[ ] ( )

( )

1 Cosx

Senx Senx1 Cosx (1 Cosx)Senx2 Cosx 2 Cosxy'

(1 Cosx)(1 Cosx) (1 Cosx) Cosx

Senx(1 Cosx) Cosx

Senx 1 Cosx 1 Cosx2 Cosxy'

(1 Cosx)(1 Cosx)

+

− − − += +

+ − +

++

−− + +

=+ −

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y'

2Senx SenxSenx Senx2 Cosx Cosxy' y'

(1 Cosx) Cosx (1 Cosx)(1 Cosx) (1 Cosx) Cosx(1 Cosx)(1 Cosx)Senx

Senx Senx SenxCosx y'(1 Cosx) (1 Cosx) Cosx (1 Cosx) Cosx (1 Cosx) CosxSenx(1 Cosx) Senx(1 Cosx)y'

(1 Cos

=

− −

= + ⇒ = −+ + − ++ −

− ⇒ = −− + − +

+ − −=−

( ) ( )

2

2

Senx(1 Cosx 1 Cosx)y' 2x)(1 Cosx) Cosx (1 Cos x) CosxSenx(2Cosx) (2Cosx) 2Ctgxy' y' y'Sen x Cosx Senx Cosx Cosx

tgx 2 tg x 12 2 299)y ln arctg 2 tgx 1 arctg 2 tg x 14 2 2tgx 2 tg x 1

Sec xtgx 1 2tgx2y´

4 tgx 1 2tgx

+ − +⇒ =+ −

= ⇒ = ⇒ =

− += + − + +

+ +

⎛ ⎞ + +=⎜ ⎟⎜ ⎟ + −⎝ ⎠

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

2 22

2

2 2

2 2

2

2

Sec x Sec xtgx 1 2tgx Sec x tgx 1 2tgx2tgx 2tgx

tgx 1 2tgx

2 Sec x 2 Sec x. .2tgx 2tgx1 2tgx 1 1 2tgx 1

Sec xFactor común:2tgx

2tgx 1 t2 Sec xy´4 2tgx

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + − + + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎜ ⎟+ +⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ − + −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

( ) ( )( )( )( )

( )( ) ( )

( )

( )

2

2 2

2

22

2 2

2

2

gx 1 2tgx 2tgx 1 tgx 1 2tgx

tgx 1 2tgx tgx 1 2tgx

2 tgx 1

tgx 1 2tgx tgx 1 2tgx

Sec x 4tgxy´ . tgx2tgx tgx 1 2tg x

1 1x2x 22100)y 2 arctg ln

1 x 1 1x22

2 2 1 2´

21 11

x xy

xx

⎛ ⎞+ + − + + −⎜ ⎟⎜ ⎟+ − + +⎝ ⎠

⎛ ⎞+⎜ ⎟+⎜ ⎟+ − + +⎝ ⎠

= =+ −

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠= +

− ⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠

− +=

⎛ ⎞+ ⎜ ⎟−⎝ ⎠

( )

2 22

2 2222

1 1 1 1 1 11 1 2 22 22 2 2 222

1 1 1 122 22

x x x xx

xx x

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎢ ⎥+ + + − + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦+ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎛ ⎞+ +− + +⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

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( )( ) ( )

( )

22

22 2 2

2 2

2 2

2

4

2 2 1´ (*)

1 2 1 2

1 1 1 1 1 1 1 122 22 2 2 2 2 2

(*)1 1 1 1

2 22 2

1 1 122 2 1 2 2 2

´1

xy

x x x

x x x x x x

x x

x x xx

yx

−= +

⎡ ⎤− + −⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + − − + − +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛+ − −⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝= ++ ( ) ( )

( )( )

( )

( ) ( )

2 2

22 2

24 4 42 2

2 2

4

1 1 1 122 2 2

1 2 1 2

2 12 1 1 1 2 122 2 1 2 2 1 2 22 2 2 2´ ´1 1 11 2

2 2 1 2 2 2´

1 1

x x x

x x x x

xx xx xy y

x x xx x

x xy

x

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + + − −⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ − − +− + + + ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥− − ⎝ ⎠⎣ ⎦⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦= + ⇒ = ++ + ++ −

+ − += +

+ +

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

4

2 22 2

4 4 4

2 2

22

2 22 2

2 2 1 2 2 12 2 1 2 2 1 4 2´1 1 1

1 5 1101)y x 2 LN 2x 4x 3 2 arctg 2 x 12 4 2

5 4x 4 2 2y' x 224 2x 4x 3 1 2 x 1

20 x 1 5 x 11 1y' x 2 y' x 21 2x 4x 2 2x 4x 34 2x 4x 3 2x 4x 3

xy'

x

x xx xy

x x x

⎡ ⎤+ + −+ + − ⎣ ⎦= = =+ + +

⎡ ⎤= + + − + − −⎣ ⎦

⎡ ⎤−= + + − ⎢ ⎥

− + + −⎢ ⎥⎣ ⎦− −

= + + − ⇒ = + + −+ − + − +− + − +

=( )( )

( )2 3 2 2 3

2 22

2 2x 4x 3 5x 5 1 2x 4x 3x 4x 8x 6 5x 5 1 2xy' y2x 4x 3 2x 4x 32x 4x 3

+ − + + − − − + + − + + − −⇒ = ⇒ =

− + − +− +

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π π π 1102)y Xsen Lnx y' Sen Lnx Xcos Lnx4 4 4 x

π πy' Sen Lnx Cos Lnx Sen(A B) SenA.CosB CosA.SenB;4 4

Cos(A B) CosA.CosB SenA.SenBπ πy' Sen (Lnx)Cos Cos(Lnx)Sen4 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= − ⇒ = − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − ⇒ ± = ±⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

± =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∓π πCos(Lnx)Cos Sen Sen (Lnx)4 4

2 2 2 2y' Sen(Lnx) Cos(Lnx) Cos(Lnx) Sen(Lnx) y' 2 Sen(Lnx)2 2 2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= − + + ⇒ =

e. Derivadas Implícitas.

[ ]

( ) ( )

( )

2 2 2x x103)x y 1 2x 2yy´ 0 y´ y´2y y

y xyý yx x104)e e Ln(x y) 2 e y e 0x y

yxxye xyy e y xy´ yx0 xye xyy e y xy´ 0x . y

xxye y xy xye y(1y yx xxye y y´ xye x 0 xye x xye y y´ y´ yý yx ye x xye x

−+ = ⇒ + = ⇒ = ⇒ =−

++ + = ⇒ + − =

+ − += ⇒ + − + =

− − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + − = ⇒ − = − + ⇒ = ⇒ = ⇒ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ − −

( ) ( ) ( )( )

2 2

xxe )yx(ye 1)

105)x y 2x 4y 6 0 2x 2yy´ 2 4y´ 02x 2 x 1

2x 2 y´ 2y 4 0 y´ y´2y 4 y 2

1 1y y yx x106)e Lny e Ln x e y´ y´ e Lnx ey x

y y yxy´ e xye xy´ xyyé Lnx yeyxe y e Lnx 0 0y x xy

y yxxye xy´ xyy e Lnx ye 0 xy´ xyy

−

+ + − − = ⇒ + + − =

+ − ++ + − = ⇒ = − ⇒ =

− −

+ = ⇒ + = +

+ − −+ − − = ⇒ =

+ − − = ⇒ − y y yxe Lnx ye xye yeyxy(-xe e )y yxy´ x xye Ln x xye ye y´ yx(1 ye Ln x)

− =− +

+⎡ ⎤− =− + ⇒ =⎢ ⎥⎣ ⎦ −

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( ) ( )( )

( )( )

( )

( )x2y

2xyý2xyy´x2y2xyy2yyx

0y2yyxy2x32yxy2x111).

23xy3x

3y3xyy´3y3xy23xy3xy´

0y´2y3x3yy´3x3xy23xyy3x110).

2y2xy2x

2x2y2xyy´2x2y2xy2y2xy2xy

2x2y2xy2yy´2xyyý2x0y2y2xyy´2x2yy´2x2xy

02yy´2xyy´2x2yy´2x2xy02y2x2xyy2x109).

x21y

y´2x1y

y´

1y2xy´01y2y´xy´

02y´1xyý012yx108).xy

12xy2x

y2x12yy´

2x2y3x

3y2x2yy´3y2x2y2x2y3xy´

3y2x2yy2xy2y3x0y2xy2y3x3y2x2y

02y2x

1y2x1y2y3x3y2x2y0

2y

yyxy

2x

1

0y2yyxy2x01yxy1x0y1

xyx1

107).

−−

=⇒−=−⇒−=′+′−

=′+′−−⇒=+−

+

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−

=⇒−−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

=+++⇒=+

+−

−+−=⇒++−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−

++−=+−′⇒=′+−−−+

=+−⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−+⇒=+−−

−+−

=⇒−

+−=

+−=−⇒=++−=−++⇒=−−+

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

=⇒

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

−=⇒−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −

−=′−′⇒=′−′++−

=−++−

⇒=′

−′++−

=′−−′++−−⇒=−++−⇒=++

www.L

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( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )

( ) ( ) ( )

( )

2

2

2

2 2 2

2 2

3

2y x y´ 2 y 2x 2y´ 12112) ´ y´2 2y x

2y x y´-2 2y x y 2y 1 2 2y 1y´

2y x2yy xy´-4y 2x 2yy y 4 2

2y x

2y x 2y 4x y´ 3y 3x y´ 3y (y 2x)(3x 3y)y´2y x 2y x 2y x (2y x)

63xy 6x 6y 3xyy´2y x

y xyy x

x

xy xy

− − − − −−= ⇒ =

− −

′ ′− − − − + −=

−

′ ′ ′− + − + + −′ =−

− − + − − − −= = =

− − − −

− − += =

−( )

( ) ( )

2 2

3 3

xy x y 182y x 2y x

− −= −

− −

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

4 2 3 3 2 4 3 2

3 2 33 2 3 4 2

4 2

113)3x y 7xy 4 8y 12x y 6x yy´ 7y 27xy y´ 8y12x y 7y2x y 7y 8y´ 6x yy´ 21xy y y´

8 6x y 21xy2 2114) 3 3 ln y 1 3 ln x 3 3 ln y 1 3 ln x c

1 3 1 32yy´ 2yy´x x3 3 3 3 02 2y 1 3 ln x y 1 3 ln x

2xyy ´3 3

− = − ⇒ + + + −

++ = − − ⇒ =

− −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + − + + + + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

− ++

− + + =+ − + +

−( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2

2 2

2 2

2 2

1 3 2xyy´ 1 33 3 0

x y 1 3 ln x x y 1 3 ln x

3 3 y 1 3 ln x 2xyy´ 1 3 3 3 y 1 3 ln x 2xyy´ 1 3 0

2xyy´ 3 3 y 1 3 ln x 3 3 1 3 y 1 3 ln x (*)

(*) 2xyy´ 3 3 y 1 3 ln x 3 3 1 3 y 1 3 ln x 0

2

+ − + ++ + =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + + + − + + + − + + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + + + − − + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + − + + + + − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) ( ) ( )( ) ( )( ){ }( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ){ }

( )( )

( )

2

2

2 2 2

3 32

xyy´ y 3 3 3 3 3 3 1 3 3 3 1 3 ln x

y 3 3 1 3 3 3 1 3 3 3 1 3 1 3 3 3 1 3 1 3 ln x

12y 12 ln x 12 ln x y ln x yy´12xy xy2xy 6y

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + + + − + + + − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − − + + + + − − + + + + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

− − − −= = =

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f. Derivación logarítmica.

Este método consiste en aplicar Logaritmos en ambos lados de la ecuación, luego

se utilizan las propiedades logarítmicas y después, los teoremas sobre

derivación, para determinar la primera derivada.

( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( )

12

12

222 2

2

2 22 2

22

2 22 22

x 1 x 1115) y Lny Ln x 2Ln 1 x Ln 1 x21 x

1 1 2 x 1 1 4x xy´ 2x y´y x 1 x y x 1 x2 1 x 2 1 x

x 1 x1 4x x 1 4x xy´ y y´ x 1 x x 1 x2 1 x 2 1 x1 x

−= ⇒ = + − − +

+

−= + − − ⇒ = + −

− −+ +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − − ⇒ = − −

− −+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

31/22x 11 2x e 2x 1 1116)F(x) Ln F(x) 3 Ln 1 2x Lne 2Lnx L 2 3x2 2x 2 3x

2 31 2 2 1 2 31/2F (x) 3 2x 1 2 F (x) 3 1/21 2x 2 x 2 2 3x 1 2x x 2 2 3x2x 1

1/22 2 2x 1 4 2F (x) 3

1 2x

n⎡ ⎤− ⎡ ⎤− −⎢ ⎥= ⇒ = − + − − −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎡ ⎤− − −− ⎢ ⎥= + − − − ⇒ = + − +⎢ ⎥− − − −⎢ ⎥⎣ ⎦ −⎣ ⎦

⎛ ⎞− + − −⎜ ⎟= −⎜ ⎟−⎝ ⎠

( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

1/x 1/x

1/x

1 12 2x x

3x 3x2x 2 3x

1117)y 1 x Lny Ln 1 x Lny Ln 1 xx

Ln 1 x Ln 1 xy 1 1 1 y 1 1 1 1Ln 1 x y 1 x2y x 1 x y x x 1 x x x 1 xx12 2 2118) y 1 x Lny Ln 1 x Lny Ln 1 x2x

y 2 12Ln 1 x3y x

⎡ ⎤⎛ ⎞+⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥−⎝ ⎠⎣ ⎦

= + ⇒ = + ⇒ = +

+ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= − + + ⇒ = + ⇒ = + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥+ + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= − ⇒ = − ⇒ = −

′ −= − + ( )

( ) ( )( )

12x

2x y 2 22Ln 1 x2 2 3 2yx 1 x x x (1 x )

2Ln 1 x 12y 2 1 x 3 2x x x 1

⎛ ⎞− ′ −⎜ ⎟⇒ = − −⎜ ⎟− −⎝ ⎠

⎡ ⎤−⎢ ⎥′ = − − +⎢ ⎥

− +⎢ ⎥⎣ ⎦

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y y

x xy1 1

3 3 x3 3

y y y yxx x

yx

1119) ln ln 3 ln y ln x3

y´ 1 1 1 1 3 y´ 1 1 1 1(3x) (ln 3) ln y (3 ) y´ ln .ln x y´ ln .ln x 3 ln 3.ln yy 3 3 3 x y 3 3 3 x

1 13 y ln 3.ln x3 3y´

y

y x y x⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞= ⇒ = ⇒ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + ⇒ − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟ =

⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

( )

( ) ( )

( )

yyxx

yx

121

2

12

1y x3 ln 3.lnyx3 ln 3.ln y 3y´

x 1y 3 y ln3.ln x3

Cos x (Cos x)120) y Cos x a Ln y Ln Cos x Ln a1 y 1 Sen x 1Ln y Ln Cos x Cos x Ln a Cos x Sen x Ln a2 y 2 Cos x 2

Sen xy 1 1 Sentg x Ln a y y tg xy 2 22 Cos x

−

⎡ ⎤⎛ ⎞ −⎢ ⎥⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦⇒ =⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠

= ⇒ = +

′= + ⇒ = − + −

−′= − + ⇒ ′ = − −

( )

( )

( )

( )

Cos x

y2

x Ln a12 Cos x Cos x 2

1 tg x 1 tg xy y tg x Ln a y y tg x Cos x Ln a12 2 22 Cos x 2

Cos x a tg xyy tg x 1 Cos x Ln a y 1 Cos x Ln a2 2

y 1 1121)y arc tg x Ln y y Ln arc tg x y Ln arc tg x yy arc tg x 1 x

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥′ = − − ⇒ ′ = − −⎢ ⎥⎢ ⎥− ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤′ = − − ⇒ ′ = −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎛′= → = ⇒ = ′ +

+

( ) ( )

( )[ ]

2 2

2 22

y y 1 yy Ln arc tg x y Ln arc tg xy y1 x arc tg x 1 x arc tg x

y1 x arc tg x (1 )y 1 1 2(1 ) 1Ln arc tg xy

1y yx x122)x y Ln x Ln y y Ln x x Ln y y Ln x y Lx

yyx arc tg xy yy Ln arc tg x x arc tg x y Ln arc tg x

y

⎡ ⎤⎞⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ⎤′

= ′ + ⇒ ′ − =⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

+ +′ = ⇒ ′ = → ⇒ ′ =− ⎡ ⎤+ −− ⎢ ⎥⎣ ⎦

= ⇒ = ⇒ = ⇒ ′ + =xyn yy

y x y xy y x yy Ln x Ln y y Ln x Ln y y Ln x Ln yx y y x y x

′+

⎛ ⎞′ ′′ + = + ⇒ ′ − = − ⇒ ′ − = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

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( )( )

( ) ( )( )

( )

2 22 2

2 2 2

2 2 22 2 22

2

y x Ln y yLn y y x Ln y yx xy y yx y Ln x x x y Ln x xLn xy y

'y 'x yy 1 1x123)arc tg Ln yx 2 2 x yy1

x

y x y 1 2x 2 y y 1 y x y 2(x y y )x y2 x 2( xx yy1 x xx

x

−− −′ = ⇒ ′ = ⇒ ′ =

− −−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ +⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎝ ⎠= + ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟+ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞′ − + ′ ′ − + ′⎜ ⎟= ⇒ =⎜ ⎟ +⎛ ⎞ +⎛ ⎞ ⎝ ⎠+⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

( ) ( )( )

2 2

22 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

y )

x (y x y) 2(x y y ) y x y x y y x yyy x y ( x y )x ( x y ) 2( x y ) ( x y ) ( x y ) ( x y )

y xy x y y y x y (x y) y x yx y

Sen Ln x Sen Ln xx b x b x b124) y Ln y Ln Ln y Sen (Ln x) Lnx x x

+

′ − + ′ ′ − + ′ + ′= ⇒ = ⇒ ′ − = +

+ + + + ++

′ − ′ = + ⇒ ′ = − = + ⇒ ′ =−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + += ⇒ = ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 22

2 22

2

22 3 3

2 2 4

2

22

2 2 2

2x x x b 2xy 1 x b 1Cos Ln x Ln Sen Ln xy x x xx b

x

Cos Ln x Sen Ln x xy x b 2x 2x 2xbLny x x x b x

x bLn Cos Ln xCos Ln x Sen Ln x 2xb xy x b yLn

y x x x b x y x

⎟⎠

⎡ ⎤− +⎛ ⎞′ +⎡ ⎤ ⎢ ⎥= +⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎛ ⎞+⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ + − −= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞+⎜ ⎟−⎛ ⎞′ + ′ ⎝ ⎠= + ⇒ =⎜ ⎟ +⎝ ⎠

( )( )

( )

( ) ( )

( )( ) ( )

2

2

2 2

2 2

2 2 2

Sen Ln x 2bxx b

2b Sen Ln x1 x by y Ln Cos Ln xx x x b

Sen Ln x 2b Sen Ln xx b 1 x by' Ln Cos Ln xx x x x b

−+

+

⎡ ⎤−⎛ ⎞+⎛ ⎞′ = ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤−⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎛ ⎞= ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ +⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

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( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

a ba b125)X Y X Y a Lnx bLny (a b) Ln (x y)

a b y' a b a b y'1 y' x y a b 1 y'x y x y x y

b y' x y b y' x yx y x ya a b a b y' a b y' a b ax y y x

x ya bx y x y xy' b a b a b a y'y x

+= + ⇒ + = + +

⎛ ⎞ ⎡ ⎤++ = + ⇒ + + = + +⎜ ⎟ ⎢ ⎥+⎝ ⎠ ⎣ ⎦

+ ++ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + + + ⇒ − + = + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+⎛+ −⎡ ⎤+⎛ ⎞ +⎛ ⎞− + = + − ⇒ =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ( ) ( )

2 22 2 2 2

2 2

2 2 1 2 2 1

2 2 2 2

2 2 1/2

2

a

x yb a b

yax bx ax ay

(bx ay) y yxy' y' y'bx by ay by x (bx ay) xy

x a x126).y Ln y Ln( x a x) Ln( x a x)x a x

( x a x) ( x a x)y'x a x x a x

1 (x a ) (2x) 12y'

( x

−

⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+⎛ ⎞− +⎜ ⎟

⎝ ⎠+ − −

−= ⇒ = → =

+ − − −

⎛ ⎞+ += ⇒ = + + − + −⎜ ⎟⎜ ⎟+ −⎝ ⎠

+ + + −= −

+ + + −

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠=

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2 1/2

2 2 2

1/2 1/22 2 2 2

2 2 2 2

1/2 1/22 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

1/2 1/22 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

1 (x a ) (2x) 12

a x) ( x a x)

x x a 1 x x a 1y'

x a x x a x

x a x x x a 1 x a x x x a 1y'

(x a x )

x x a x x a x x x a x x a xy'

a

2 xy'

−

− −

− −

− −

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠−

+ + + −

+ + + −= −

+ + + −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − + + − + + + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦=+ −

+ + − + − − + + − + +=

=( ) ( ) ( )

( )

1/2 1/2 1/22 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

1/22 2 2 2 2

2 2 2

a x x a 2 x a x x ay'

a a

2 x a x a x 2y' y'a x a

− − −

−

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − + + − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⇒ =

⎡ ⎤+ + −⎣ ⎦= ⇒ =+

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( )

( )

2

2

Senx127)y Tg 3x Lny Senx Ln (Tg(3x))

y' Cosx Ln (Tg(3x)) Senx Sec (3x) y' 1 6SenxCosx Ln (Tg(3x))y Tg(3x) y Senx (3x) (Cos(3x))2 Senx 2 Senx

Sec (3x) Sec(3x)Sec(3x) 1NOTA:Tg(3x) Tg(3x) Sen(3x)Cos (3x)

STg 3x

y

= ⇒ =⎡ ⎤⎣ ⎦⎡ ⎤

= + ⇒ = +⎢ ⎥⎣ ⎦

= =

⎡ ⎤⎣ ⎦=

( )( )

enx 6SenxCosx Ln (Tg(3x))Senx (3x) (Cos(3x))

2 Senxx

2 2y y128)y Ln arcsen 1 y y x Ln arcsen 1 yx x

2y 1y Ln arcsen 1 yx

'' 2 2y 1 y 1y Ln arcsen 1 y Ln arcsen 1 yx x

y 1Por partes:z Ln z y 1x

⎡ ⎤+⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⇒ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞+= −⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤⎛ ⎞+ +′ = − + −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

+= ⇒ = +

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

( )

Ln x

' y 1 x y Ln x 2 y y 1y 1z y Ln x z xz x2 y 2x y

yy x xy Ln x 2 y y 1(x x) xy Ln x 2 y y 1z z

2x y 2 y

1 1 2 y y2w Ln arcsen 1 y w2 22arcsen 1 y 2 1 y21 1 y

1 2 y yw ( ) w2 2 2arcsen 1 y 2 1 1 y 1 y

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤+ ′ + ++′ ⎢ ⎥= + → ′ =⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤′ + +′ + + ⎣ ⎦′ = ⇒ ′ =

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥′

= − ⇒ ′ = ⎢ ⎥⎢ ⎥− −

− −⎢ ⎥⎣ ⎦

′′ = ⇒ ′ =

− − − −

1 y y2 2arcsen 1 y y 1 y

1 y y 12w y z Ln arcsen 1 y x w2 2arcsen 1 y 1 y

′

− −

′ +′ = ⇒ ′ = ′ − + ′− −

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( ) ( ) ( ) ( )'

' '

xy x x

129) (*) ; ;

1 B x yB Ln B y Ln e Ln B y Ln (Ln B) x Ln y Ln yLn B B y

B B

e

x x xy y yy y y

y y

y

x x y Ec x x y x A B x y C

A yA x Ln A Ln x Ln A y Ln x y Ln xA x

y yA A y Ln x A x y Ln xx x

e e e⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = ⇒ + = ⇒ = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

′= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ′ +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ = ′ + ⇒ ′ = ′ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ′ ′⎛ ⎞= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

′ =xyx

xyy x

y x xy yy x x

yx xy yy x x

xyxy

x y x yLnB Ln y B y Ln yy y

C x y C y x y

y x ySust en la ec (*): x y Ln x y Ln y y x yx y

x y x yx y Ln x y Ln y y y x yx y

x y x yx y Ln x y x y y y Ln yy x

yy x Ln x

e

e

e e

e e

⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ ′+ ⇒ ′ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠= ⇒ ′ = + ′

⎡ ⎤′⎡ ⎤′ + + + = + ′⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦′

′ + + + = + ′

′′ + − ′ = − −

′ +

yxyxyxyx

xyxy

x yy y Ln yx x y xx y y Ln y yy x y x

x Ln x xy

ee ee

⎡ ⎤ − −⎢ ⎥− = − − ⇒ ′ =⎢ ⎥⎣ ⎦ + −

( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )( )( )( )

arctg y1 y' y'LnxArc tag Y130) y x Lny arctg y Lnx2 2y x2 y 1 y

arctg y arct yy' y'Lnx 1 Lnxy'2y x 2y x2 y 1 y 2 y 1 y

3arctg y 32 arctg y y 1 y 2 y arctg y 1 yxy' y' y'y 1 y yLnx x y 1 y yLnx x y 1 y y Lnx

32 y 1 y

y

= ⇒ = ⇒ = ++

⎛ ⎞− = ⇒ − =⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

⎛ ⎞ +⎜ ⎟ +⎝ ⎠= = = ⇒ =⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − + − + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

+

( )( )( )

2y 1 y arctg y'

x 1 y y Lnx

+=

⎡ ⎤+ −⎣ ⎦

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( )

( )( )

( ) ( )

y ArcsenX131) x y

cosx Lny arcsenx y'yy'y Lnx arcsenx Lnx Lnxx y2 y 21 x

arcsenx y' cosx Lny yy'Lnxy x2 y 21 x

2xcosx Lny y 1 xLnx arcsenxy'

y2 y 2x 1 x

2xcosx Lny y 1 x32 y x2x 1 xy' y'

yLnx 2 y arcsenx32 y

=

= → + = +−

− = −−

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠− =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ −

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠

−= ⇒ =− ( )

( )( )

( )( )

2cosx Lny y 1 x

2x 1 x y Lnx 2 y arcsenx

32 y xcosx Lny y 1 x 2y xcosx Lny y 1 xy' y'

2 2y x 1 x y Lnx 2arcsenx x 1 x y Lnx 2arcsenx

⎡ ⎤⎛ ⎞− −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

− −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦= ⇒ =⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( )

1y

x(x y)

2

y x xy yx xx y x y132) x y 2 Ln x y Ln 2e e

1 1 1x xy x x y x yLnx Lny Ln 2 (y)Lnx (x)Lny Ln 2e ey y yxLny xx yLnx Ln 2ey

1Lny x y ( ) 1 y 2 Ln2( 1)ey1x y

y xLn y y −−

− −⎡ ⎤⎛ ⎞− −= − ⇒ = −⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ − −+ = − ⇒ + = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

−⎡ ⎤−+ = −⎢ ⎥⎣ ⎦

⎛ ⎞+ ′ − ′⎜ ⎟ ⎡ ⎤− ′ − −⎝ ⎠ ⎣+ =

( )( ) ( )

xx y

xx y

2 xx y

2e

1 y 2 Ln2Lny xy ( ) e1x y 2e

xLn y y

−−

−−

−−

⎦−

⎡ ⎤⎡ ⎤ − ′ ++ ′− ′ ⎣ ⎦+ =⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

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( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

xx y

2 xx y

x 2 2 2 2 xx y x y

x y x 2 2 2 2 x y 2 x y 2 x

x y 2 x y 2 x y

2y x Ln y x y ( ) 1 y 2 Ln 2ex y 2e

2 y x Ln y x y ( ) x y 1 y 2 Ln 2e e

e 2 y xLny x y ( ) xy e y'xy e xy 2 Ln2

e y e xLny x y'e e

x Ln y y

x Ln y y

x Ln y y

−−

−−

− −− −

− − − − −

− − −

⎡ ⎤+ + ′ − ′ − ′ +⎢ ⎥ =⎢ ⎥ −⎣ ⎦

⎡ ⎤′ ⎡ ⎤− + + − ′ = − ′ +⎣ ⎦⎣ ⎦⎡ ⎤′− + + − ′ =⎣ ⎦

+ + −

− +

( )

( )

( )

2x y 2 2 x x x

2 x y x y 2 x

2 x y x 2x y 2 x y 2 x y 2 x x y 2 x y

2 x y 2 x x y 2 x y

2 x yx y 2

x y'( ) y 2 xlny2 2 (*)y

(*) xy e y'xye xy 2 Ln2

x e 2 xy' e xye xy e xy 2 Ln2 e y e xLnyy y

xy e xy 2 Ln2 e y e xLnyy'x e 2e ( )

y

x Ln y y

x Ln y

x Ln y y

− − − −

− − −

− −− − − − − −

− − − −

−−

′ − − − =

− +

⎡ ⎤− − + = + − −⎢ ⎥

⎣ ⎦

+ − −=

− ′ −2

x y

1

1

2

x x xyey

133). 2 2

12 2

2 2

1

x

x xx y x y

xx y x y

y yx x x x xx y x yx y x ye e

y yx x xLn x y Ln Ln x Ln y Lne ex

y x yxLn x Ln y Ln Ln x Ln y Lne ex x x

y x y y yLn xx x x

−

+ +

+ +

−+

⎛ ⎞+ += + ⇒ = +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + ⇒ + = +⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎣ ⎦

⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ = + ⇒ + = +⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠

′ + ′⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )

( ) ( )

( ) ( )

2

2

2

1 1 2 22

1 1 2 22

1 2 22

xx yxx y

xx yxx y

xx y

xx y

y Lney e

y x y Ln x y y y Lnex y e

y y x y Ln x y x y y Lnex y e

++

++

+

+

⎡ ⎤= + ′ +⎣ ⎦⎡ ⎤+⎣ ⎦

′ + + ′ ⎡ ⎤+ = + ′ +⎣ ⎦⎡ ⎤+⎣ ⎦

′ + + + ′⎡ ⎤ + ′ +⎣ ⎦ =+

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( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

2 2 2

'2 2 2 2 (*)

(*) 2 2

'2 2 (**)

(**) 2

x xx y x y x

x x x xx y x y x y x y

xx y x

x xx y x y x y

xx y x y

yy y x Ln x y Ln x y x y x y y Lne e e

y y x Ln x y Ln x y x ye e e eyx y y x y Ln x ye e

y y x Ln x x y y x ye e e

y Ln ye e

+ + +

+ + + +

+

+ + +

+ +

⎡ ⎤+ ′ + + + ′ = + ′ +⎣ ⎦

′ + + + + + + + =

++ ′ +

′ + + + − ′ =

− + − +( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2

2 2 (***)

(***) 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

x xx y

x xx y x y x y

x x xx y x y x y

x x xx y x y x y

x xx y x y x y

x y Ln x ye

y y x Ln x x ye e e

y Ln x y x y Ln x ye e e

y Ln x y x y Ln x ye e ey

y x Ln x x x ye e e

+

+ + +

+ + +

+ + +

+ + +

+ +

⎡ ⎤′ + + + − =⎣ ⎦

− + − + + +

− + − + + +′ =

+ + + −

g. Ejercicios Varios

134) Demostrar que la derivada de ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−=

− x

x

ee

LNxF1

2

1)( es ( )x

x

ee

xF−

−

−+=′

1

1

121)(

( )[ ] ( )[ ]

( )

( )x1

x1x1

x1

x1x12xx)(1

2x

e12e

1y´2

e11)(e1

2y´

e1Ln2x21

ye1LneLn21

ye1e

LnF(x)

−

−−

−

−−−

−+=⇒−

−−−

=

−−=⇒−−=⇒⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−=

135) Demostrar que la derivada de ( ) .seccsc

1635

',13

xxxx

xyes

SecxSenxxx

Ln −+

+=

+

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) secxcscx1x6x35x

y'CosxSenx

11x6x35x

y'

CosxSenxSenxCosx

1x6x2x33x

y'Secx

TgxSecxSenxCosx

1x31

2x1

y'

SecxLnSenxLn1xLn31

2Lnx

y

22

−+

+=⇒−

++

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−

+++

=→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

++=

+−++=

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136) Demostrar que la derivada de 2222 2´; xyesxxy −=−= ππ

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1/22 2 21/2 1/2 1/22 2 2 2 2 2 2

2 2 2

2

1/2 1/2 1/2 1/22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1/2 1/22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 1' '2

1

' '

' ' 2 ` 2

x x xy x y x x x

x x

y x x x x y x x x

y x x x y x x y x

π π ππ π ππ π

π π

π π π π π π π

π π π π π π

−−

− − −

− −

− − ⎛ ⎞= − + + ⇒ = − − − +⎜ ⎟⎝ ⎠ −−

⎡ ⎤= − − − + − ⇒ = − − − + ⇒⎣ ⎦

⎡ ⎤= − − − + ⇒ = − − ⇒ = −⎣ ⎦

137) Demuestre que: [ ]Cosxba

xfx

Tgbaba

Arctgba

xf+

=′⇒⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

−=

21

)(2

1)(

22

2

2 2 2 2 2

2

2 2 2

1 1 1 2( ) '( )2 21

2

21 2'( ) '(

( ) ( )2

( )

a b xSeca b x a bf x Arctg Tg f x

a b xa ba b a b Tga b

xa b Sec

a bf x fxa b a b a b Tg

a b

⎛ ⎞⎛ ⎞ − ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎡ ⎤− +⎛ ⎞ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟= ⇒ =⎢ ⎥⎜ ⎟ − ⎜ ⎟+ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠− −⎣ ⎦ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟+⎜ ⎟= ⇒⎜ ⎟⎛ ⎞− + + −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

2

2 2 2

2 2 2

2 2

( )2)

2 ( ) ( )2

( ) ( )2 2'( ) '( )

2 ( )( )( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( )2 2

1'( )2 ( ) ( )

xa b a b Secx

xa b a b a b a b Tg

x xa b a b Sec Secf x f x

x xa b a b a b a b a b Tg a b a b Tg

f xa b a b

⎛ ⎞+ − ⎜ ⎟⎝ ⎠=

⎡ ⎤⎛ ⎞− + + + − ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= ⇒ =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + + + − + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

=+ + − 2 2 2 2 2

2 2 2 2

1f'(x)x x x2 (a b)Cos (a b)Tg Cos

2 2 2 2 2

1f'(x)x x x x2 a Cos bCos a Sen bSen2 2 2 2

x xTg Cos⇒ =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

=⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

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12 22 2 2 2

2 2 2

1 1f'(x) f'(x)x xx x x x 2 a b Cos Sen2 a Cos Sen b Cos Sen 2 22 2 2 2

1 1f'(x) f'(x)x x x2 a b Cos 1 Cos 2 a b 2Cos2 2 2

= ⇒ =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + −+ + − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

= ⇒ =⎡ ⎤⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦

[ ] [ ]2

1

θ 1 Cosθ 1 1 1Pero:Cos f'(x) f'(x) f'(x)2 2 2 a b(1 Cosθ 1) 2 a bCosθ1 Cosθ2 a b 2 1

2

⎡ ⎤⎡ ⎤⎛ ⎞−⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦+⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ = ⇒ = ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + + − +⎡ ⎤⎡ + ⎤⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦

138) Demuestre que si ( ) ,752 yxyx += entonces .´xyy =

( ) ( ) ( )[ ] ( )( )

( )642

56

566426425

75

27´

2775´´17´52

yxyx

xyyxy

xyyxyxyxyyyxyyxxy

+−

−+=

−+=+−⇒++=+

Multiplicando numerador y denominador por x.y:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]

( )( ) x

yyxxyxy

yyxyxxyxxyxy

yxxyyxxyxyyxxy

yxxyyxxyxyyxxyy =

−−

=−+++−+

=+−++−+

=+−

−+=

2525

7527

7527

7527´ 6

6

67

76

652

526

139) Demostrar que 2x4x4yy

xyy'

+−= es la derivada de

2x2y

2x2yarctg

−

+=y

( )( ) ( )( )

( )

2 2 2 2 2 2

22 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2yy' x y x y x 2yy' x

y x1y'y x y x1 2y x y x

+ − − + −

−=

⎛ ⎞+ ⎛ ⎞++ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

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( ) ( )

( )( )

( )

3 2 2 3 3 2 2 3 2 2

2 22 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

22 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2y y' 2x yy' 2xy 2x 2y y' 2xy 2x yy' 2x 4y yy' 4xy

y x y xy' y'

y x y x y x y y x2 2y x y x y x y x

4y yy' 4xyy x 4x y

y' y'2 2y y x

y x y x

− + − − + − + − +

− −= ⇒ =

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠− +

− −= ⇒ =

+

− −

( )( )( )

( ) ( )( )

( )( )( )

( ) ( )

2 2 2 2 2

22 2 2 2 2

32 2 2 2 22 2

2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2

4 4 2 4 4 2

4 4 2

y' 4xy y x y x

4y y x y x

4x yy' 4xy y x 4y xy x y'4x yy' 4xyy' y' y'4y y x y x4y y x y x 4y y x y x

xyy' y y x xy x y' y' y y x x xy y'y y x x

+ − −

+ −

− + − −− += ⇒ = ⇒ =

+ −+ − + −

⇒ − = − ⇒ − + = ⇒ =− +

140) Demuestre que la derivada ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

x15

x4yarctg

15

2Lny es

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

−=

2y2x2

2yy'

( )( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( )

( ) ( )[ ] [ ]

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

−=⇒

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

−=⇒−=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +

−=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −++⇒−=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ++

−−+=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++⇒

+++

+−+=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ++

+−+=⇒⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

=

2y2x2

2yy'

2y2x16

28yy'28y216y216xy'

28y8xy8xy216y216xy'28yx8yy'8xy216y216xy'

x4yxx4y'2y8xy216y216xy'x8xy16y15x

x4yx14y'2yy'

x15x4yx15

x15

x4yx14y'2yy'

x15

x4yx14y'

15xx4y

1

1

15

2yy'

222

2

222

2

2

2

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141) Demostrar que la derivada de ( )

)1()1(

'2

1

yxxy

yesCxyx

y

e−−

==+

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

[ ] [ ] [ ]yxxy

yyx

xyyx

yyxxy

yxyCxypero

xcCx

yxC

CCxy

xC

yCxCyx

yxCy

xy

xy

xy

xy

xy

xyx

y

xy

xyx

yx

yxy

e

e

eeeee

eeeee

Cx

−−

=⇒−

−

=→−

−=⇒=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−′=⇒⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+

+

++

+++

+++++

−

−⇒−=

++

1)1(

'1

'1

'

'1'

'1

''

2

2

2

2

1

1

2

11

21

2

11

1

2

11

2

11

1

142) Pruebe que si ( ) ( ),11 52/52 −=+− ycxxe y entonces ( )( ).115

2xxyy

y+−

=′

( ) ( )

( )( )( ).115´

15

1´

1´

15´1lnln5ln1ln

25

22

22

xxyyy

xxyyy

yy

xxyyxcxy

+−

=⇒+

−=

−

⇒−

=+

+−⇒−++=++−

143) Demostrar que la derivada de ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

==

x1

senX

Ln33y'3y

22

Ctg(1/x)Ctg(1/x) es

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⇒=⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⇒=

x1

senX

Ln33y'

x1

Xsen

Ln33y'Ln33y'

2x

1x12CscLn33y'

x1

CtgLn33y'3y

22

Ctg(1/x)

2

Ctg(1/x)Ctg(1/x)Ctg(1/x)

Ctg(1/x)Ctg(1/x)

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144) Demuestre que la derivada de ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

+−=axax

amLn

axLnm

y22

22 es: ( )22'

axnanmx

y−

−+=

( )( ) ( )

( )

( ) ( )

( )( )

( )( )

22 2

2 2

2 2 2 22 2

x a x a2mx ny'x a2 x a x a2ax a

2mx n 2ay'2a x a x a2 x a

mx n x a x m n namx ny' y' y'x a x a x ax a

⎡ ⎤+ − −= + ⇒⎢ ⎥

−⎛ ⎞− +⎢ ⎥⎣ ⎦⎜ ⎟+⎝ ⎠⎡ ⎤= + ⎢ ⎥− +− ⎣ ⎦

+ − + −= + ⇒ = ⇒ =

− + −−

145) Verifique que: si ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

24ln

cos2

xtgxxseny π

entonces .sec2´ 3 xy =

( ) x,2secx2tg1cos.βsenβcos.senβsen

x,cos.xsen22xsen,xcosxsen

xtg,xcos

1xsec

=+−=−

===

ααα

( )xyxxy

xxxyxtgxxyxxxxtgy

xxxtgxy

xsenxxtgxy

xxsen

xxtgxy

xtg

x

xxxtgyx

tgxtgxy

333

232332

3232

32

2

32

sec2secsec´

secsecsec1secsecsecsecsec´

cos1

sec.sec´

2

1secsec´

24cos

242

1secsec

242

24sec

secsec´24

lnsec

=′⇒+=

+=′++=′⇒++=

++=⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

++=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

++=′

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

++=⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

π

ππ

π

ππ

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om






146) Demuestre que 42

1´+−

=xx

y es la derivada de:( ) ( )

42422

ln244222−

−+−+++=

xxx

xxy

( )( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2 44 2 2 2 2 2 4 4 2 ln

2

2 2 4 2 ln 2 2 4 4 2 ln 2 2 4

1 2 1 2 2y 22x x 4 x 4 2 2 x 42x x 2

2 2 1 2 21 12x x 2 x 4 2 2 x 4

x 42 x 2 1yx 2 2 2 x2 2x x 2 x 4 2 2 x 4

xx x x y x x

x

y x x x x

y

y

− +− = + − ⇒ = + + +

+

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + + + + − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + − ++⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

⎛ ⎞⎛ ⎞′ = − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + − +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+′= − ⇒ = −

+ −+ + − +

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( )

( )( )

4

2 x 2 2 2 x 4

x 2 x 2 2 2 x 4 2 2 x 4

2 x 2 2x x 4 2x x 42 2 x 4 2x x 4y

x 4 x 4 x 4 x 4 2x x 4

x 4 12x x 4x 4 2x x 4

y

y y

y y

+

− + +′ = −

+ − − + + +

− + + − ++ + + +′ ′= + ⇒ = ⇒ =

− − − − − +

−′ ′= ⇒ =− +− − +

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147) Determine la primera derivada de )()(

31

3 3

3

bxCosaxSen

ybxCosaxSen

+=

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

332

331

(**)

(**)3 3

3331

(*)

(*)33

''

31'

33

2

2

6

22

2

23

2332

2

23

3333

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

+=′

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +=′

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ +

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +=′

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=′

bxCosaxSen

LnbxCos

bxSenaxSenbbxCosaxCosay

bxCosbxSenaxSenbbxCosaxCosabxCosaxSen

bxCosbxSenaxSenbbxCosaxCosaLny

bxCos

bxSenbxCosbaxSenbxCosaxCosaxSena

bxCosbxSenaxSenbbxCosaxCosa

Lny

bxCos

bxCosaxSenbxCosaxSenbxCosaxSen

Lny

bxCosaxSen

bxCosaxSen

bxCosaxSen

bxCosaxSen

Nota: Los ejercicios resueltos anteriormente han sido tomados de textos, guías y exámenes aplicados en el IUTJAA. Muchos de ellos son recopilaciones de mis colegas y amigos Germán Narváez y Orlando Rodríguez profesores ya jubilados en la institución, y otros resueltos por el autor.

Por favor a los lectores espero su valiosa colaboración, en la revisión de los mismos y hacerme llegar las sugerencias y correcciones necesarias a las direcciones electrónicas publicadas.

Gracias.

Dámaso Rojas

Octubre 2007

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DERIVADAS-TEORÍA Y EJERCICIOS RESUELTOS (NXPowerLite)

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