9 dinamica rotacional

DINÁMICA DE ROTACIÓN DINÁMICA

ROTACIONAL

MOVIMIENTO DE UN CUERPO RIGIDO

TRASLACION Por traslación entendemos al movimiento en el que lodos los puntos del cuerpo se mueven en la misma dirección, con la misma velocidad y la misma aceleración en cada instante.

“El movimiento de traslación del cuerpo rígido es como si toda su masa estuviera concentrada en el centro de masa y las fuerzas externas actuaran sobre él”.

MOVIMIENTO DE UN CUERPO RIGIDO

ROTACION Es el movimiento en que uno de los puntos se considera fijo. Sí se considera fijo un punto, el único movimiento posible es aquel en el que cada uno de los otros puntos se mueve en la superficie de una esfera cuyo radio es la distancia del punto móvil al punto fijo. Si se consideran dos puntos fijos, el único movimiento posible es aquel en que todos los puntos con excepción de aquellos que se encuentran sobre la línea que une los dos puntos fijos, conocida como EJE, se mueven en circunferencias alrededor de éste.

MOMENTO ANGULAR DE UNA PARTÍCULA

Se define momento angular de una partícula como el producto vectorial del vector posición r por el vector momento lineal mv

L = r x p L = r x mv

Las partículas de un sólido rígido en rotación alrededor de un eje fijo describen circunferencias centradas en el eje de rotación, con una velocidad que es proporcional al radio de la circunferencia que describen

vi = ω ·ri

El módulo del vector momento angular es:

Li = rimivi

MOMENTO ANGULAR DE UN SÓLIDO RÍGIDO

El momento angular de todas las partículas del sólido es:


La proyección Lz del vector momento angular a lo largo del eje de rotación es :

El término entre paréntesis se denomina momento de inercia :

Para estos ejes podemos relacionar el momento angular y la velocidad angular, dos vectores que tienen la misma dirección, la del eje de rotación

L=Iω


El momento de inercia no es una cantidad característica como puede ser la masa o el volumen, sino que su valor depende de la posición del eje de rotación. El momento de inercia es mínimo cuando el eje de rotación pasa por el centro de masa.

Es importante darse cuenta que el momento de inercia depende de la distribución de la masa del cuerpo.

∫= dmrI 2

MOMENTO DE INERCIA

lineal densidad→=Lmλ dxdm λ=

lsuperficia densidad→=Amσ dAdm σ=

aVolumétric densidad→=Vmρ dVdm ρ=

¿De qué depende el momento de inercia de un cuerpo? 1. De la posición del eje de rotación.

a) Verdadero b) Falso 2. De la velocidad angular del cuerpo.

a) Verdadero b) Falso 3. De la momento resultante de las fuerzas aplicadas al cuerpo.

a) Verdadero b) Falso 4. De la aceleración angular.

a) Verdadero b) Falso

Pregunta 1:

De los siguientes objetos que tienen la misma masa, ¿cuál tiene mayor momento de inercia respecto al eje indicado?

Pregunta 2:

En qué grafica resulta más fácil poner a girar el sistema?

Pregunta 3:

MOMENTO DE INERCIA DE UN CILINDRO

( )dVrdmrdI ρ22 ==

∫∫ == dVrdII 2ρ( )rdrLrI πρ 22∫=

drrLI ∫= 32πρ

42

42

4

20

4 RLLR

MrLIR

==π

ππρ

2

21 MRIC = Cilindros, Poleas,

discos

MOMENTO DE INERCIA DE UN ANILLO

TEOREMA DE LA FIGURA PLANA

El momento de inercia de una figura plana con respecto a un eje perpendicular a la misma es igual a la suma de los momentos de inercia de la figura plana con respecto a dos ejes rectangulares en el plano de la figura los cuales se intersecan con el eje dado.

Determinar el momento de inercia del sistema mostrado en la figura, las masas son puntuales unidas por varillas rígidas de masa despreciable. Asuma que el eje pasa por la masa m y es perpendicular al plano del papel.

Problema 1:

TEOREMA DE STEINER

El teorema de Steiner es una fórmula que nos permite calcular el momento de inercia de un sólido rígido cuando conocemos el momento de inercia respecto a un eje paralelo al anterior y que pasa por el centro de masas.

Determinar el momento de inercia de una varilla delgada rígida de longitud L y masa m. a) Con respecto al centro de masa. b) Con respecto a un extremo

Problema 2:

Solución (Literal a):

Solución (Literal b):

Para un cilindro hueco uniforme de longitud L, con radio interior R1 y radio exterior R2, determinar el momento de inercia alrededor del eje de simetría del cilindro.

Problema 3:

Una barra de longitud L y masa M puede girar en uno de sus extremos. En el otro se encuentra pegado una esfera de radio R y masa m como se muestra en la figura. ¿Calcule el momento de inercia del sistema respecto a “o”?

M=2 kg

m=2 kg

L=1 m

R=0.25 m

Tarea:

Energía Cinética de Rotación

Las partículas del sólido describen circunferencias centradas en el eje de rotación con una velocidad que es proporcional al radio de la circunferencia que describen: vi=ω ·ri .

( )22

21

21

iiiii rdmvdmdK ω==

( ) 22

21 ω∫= ii dmrK 2

21 ωIKRot =

Un cable ligero, flexible y que no se estira está enrollado varias vueltas en el tambor de un malacate, un cilindro sólido de 50kg y 0.120m de diámetro , que gira sobre un eje fijo horizontal montado en cojinetes sin fricción , tal como se muestra en la gráfica adjunta. Una fuerza constante de magnitud 9.0N tira del extremo libre del cable a lo largo de una distancia de 2.0m. El cable no resbala, y hace girar al cilindro al desenrollarse. Si el cilindro estaba inicialmente en reposo, determinar su rapidez angular final y la rapidez final del cable. Asuma que el cable es ligero y que sólo el cilindro tiene energía cinética.

Problema 4:

En un experimento de laboratorio para probar la conservación de energía en el movimiento rotacional, se enrolla un cable ligero y flexible en un cilindro sólido de masa M y radio R. El cilindro gira con fricción despreciable sobre un eje horizontal estacionario. Se ata al extremo libre del cable un objeto de masa m y se suelta el objeto sin velocidad inicial a una altura h sobre el piso. Al caer el objeto, el cable se desenrolla sin estirarse ni resbalar, haciendo girar el cilindro. Determinar la rapidez del objeto que cae y la rapidez angular del cilindro justo antes de que el objeto golpee al piso.

Problema 5:

Es la medida cuantitativa de la tendencia de una fuerza para causar o alterar la rotación de un cuerpo. Se define momento de torsión o momento de una fuerza F respecto a O como el producto de dicha fuerza y el brazo (distancia perpendicular entre la línea de acción de la fuerza y O). Su unidad en S.I. es: Nm (no Joules). Siempre se debe escoger un sentido de rotación como referencia para colocar signos.

Momento de torsión

Fr

×=τ

Ejemplo:

Para un cuerpo rígido entero se tiene una ecuación análoga rotacional a la segunda ley de Newton. El momento de torsión neto que actúa sobre un cuerpo rígido es igual al momento de inercia del cuerpo alrededor de su eje de rotación multiplicado por su aceleración angular. La sumatoria de torques sólo incluye los momentos de torsión de fuerzas externas.

Momento de torsión y aceleración angular de un cuerpo rígido

∑ = ατ I zz

α z : debe ser medida en rad/s2

Problema 6: Un cable ligero, flexible y que no se estira está enrollado varias vueltas en el tambor de un malacate, un cilindro sólido de 50kg y 0.120m de diámetro, de tal forma que el cilindro gira sobre su eje. Se tira del cable con una fuerza de 9.0N. Suponiendo que el cable se desenrolla sin estirarse ni resbalar, determinar la aceleración del cable.

Atención: La fuerza neta sobre el cilindro debe ser cero porque su centro de masa no se mueve.

Se enrolla un cable ligero y flexible en un cilindro sólido de masa M y radio R. El cilindro gira con fricción despreciable sobre un eje horizontal estacionario. Se ata al extremo libre del cable un objeto de masa m y se suelta el objeto sin velocidad inicial a una altura h sobre el piso. Al caer el objeto, el cable se desenrolla sin estirarse ni resbalar, haciendo girar el cilindro. Determinar la aceleración del objeto de masa m.

Problema 7:

Un deslizador de masa m1 se mueve sin fricción sobre un riel de aire horizontal , sujeto a un objeto de masa m2 con un hilo sin masa. La polea es un cilindro hueco delgado (con rayos sin masa) de masa M y radio R, y el hilo la gira sin resbalar ni estirarse. Determinar la aceleración de cada cuerpo, la aceleración angular de la polea y la tensión en cada parte del hilo.

Problema 8:

Se puede extender el análisis de la dinámica del movimiento rotacional a algunos casos en los que el eje de rotación se mueve: traslación y rotación combinados. “ Traslación del centro de masa y rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masa” Esto se cumple aun si el centro de masa se acelera, de modo que no está en reposo en ningún marco inercial. Ejemplos: pelota rodando cuesta abajo, un yoyo que se desenrolla. Un caso importante: “rodar sin deslizar”.

Rotación de un cuerpo rígido sobre un eje móvil

22

21

21 ωcmcm IMvK +=

Cuerpo rígido traslación y rotación

Un caso importante es el de “rodar sin deslizar”. Aquí el punto de la rueda que toca la superficie debe estar instantáneamente en reposo para que no resbale.

Rotación de un cuerpo rígido sobre un eje móvil

ωRvcm =Condición para rodar sin resbalar

22

21

21 ωcmcm IMvK +=

Un casco cilíndrico hueco (carcaza cilíndrica) de masa M y radio R rueda sin resbalar con rapidez Vcm en una superficie plana. Determinar la energía cinética del mismo.

Problema 9

Se hace un yoyo burdo enrollando un cordel varias veces alrededor de un cilindro sólido de masa M y radio R. Se sostiene el extremo del cordel fijo mientras se suelta el cilindro desde el reposo. El cordel se desenrolla sin resbalar ni estirarse al caer y girar el cilindro. Use consideraciones energéticas para determinar la rapidez vcm del centro de masa del cilindro sólido después de caer una distancia h.

Problema 10

Problema 11 ¿Quién llega primero a la base del plano inclinado?

Consideremos un sistema de partículas. Sobre cada partícula actúan las fuerzas exteriores al sistema y las fuerzas de interacción mutua entre las partículas del sistema.

Para cada unas de las partículas se cumple que la variación del momento angular con el tiempo es igual al momento de la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula considerada.

Principio de conservación del momento angular.

Sumando miembro a miembro, aplicando la propiedad distributiva del producto vectorial, y teniendo en cuanta la tercera Ley de Newton, F12=-F21, tenemos:

Como los vectores r1-r2 y F12 son paralelos su producto vectorial es cero. Por lo que nos queda:


El momento angular L y el momento de las fuerzas exteriores Mext respecto de un punto fijo O (origen del sistema de coordenadas) en un sistema de referencia inercial.

El momento angular Lcm y el momento de las fuerzas Mcm respecto al sistema de referencias del centro de masas incluso si no está en reposo con relación al sistema inercial de referencia O.



El principio de conservación del momento angular afirma que si el momento de las fuerzas exteriores es cero (lo que no implica que las fuerzas exteriores sean cero, que sea un sistema aislado), el momento angular total se conserva, es decir, permanece constante.

Trabajo y energía en el movimiento de rotación

Supongamos que se aplica una fuerza exterior F en el punto P. El trabajo realizado por dicha fuerza a medida que el cuerpo gira recorriendo una distancia infinitesimal ds=rdθ en el tiempo dt es

La componente radial de la fuerza no realiza trabajo, ya que es perpendicular al desplazamiento. El momento de la fuerza es el producto de la componente tangencial de la fuerza por el radio.

ωτ=P

El trabajo total cuando el sólido gira un ángulo θ es: El trabajo de los momentos de las fuerzas que actúan sobre un sólido rígido en rotación alrededor de un eje fijo modifica su energía cinética de rotación.

Trabajo y energía en el movimiento de rotación

Impulso angular

El momento de las fuerzas que se aplican durante un tiempo t a un sólido rígido en movimiento de rotación alrededor de un eje fijo, modifica el momento angular del sólido en rotación.

Diga si las afirmaciones siguientes son verdaderas o falsas, y razone su respuesta. a) Todos los puntos de un cuerpo que gira tienen la misma velocidad angular. b) Todos los puntos de un cuerpo que gira tienen la misma velocidad lineal. c) El momento de inercia depende de la situación del eje de rotación. d) Si el momento neto de las fuerzas que actúan sobre un sólido es cero, el momento angular es cero. e) Si el momento neto de las fuerzas que actúan sobre un sólido es cero, la velocidad angular no cambia. f) Si la fuerza neta aplicada sobre un cuerpo es cero este cuerpo tiene momento angular cero.

Pregunta1

Un bloque de 2000 kg está suspendido en el aire por un cable de acero que pasa por una polea y acaba en un torno motorizado. El bloque asciende con velocidad constante de 8 cm/s. El radio del tambor del torno es de 30 cm y la masa de la polea es despreciable.

1. ¿Cuánto vale el momento que ejerce el cable sobre el tambor del torno? 2. ¿Cuánto vale la velocidad angular del tambor del torno? 3. ¿Qué potencia tiene que desarrollar el motor?.Calcular el trabajo realizado

durante 10 s

Problema 12 (Bloque suspendido)

154

3.008.0

===rVw

NmxFxRMxF

58003.019600196008.92000

=====

JxMxT 15680101568 === θ

wxMxwP 156815/45800 ===

Un péndulo compuesto está formado por una varilla de 200 g de masa y 40 cm de longitud y dos esferas macizas de 500 g y 5 cm de radio, equidistantes 8 cm de los extremos de la barra. El péndulo se haya suspendido de un eje perpendicular a la varilla que pasa por el centro de una de las esferas, y es desviado 65º de la posición de equilibrio estable. Determinar la velocidad angular del péndulo cuando, una vez soltado, retorna a la posición de equilibrio estable

Problema 13 (Péndulo Compuesto)

20354.0 KgmIc =

65º

Mv = 0.2kg

Me = 0.5kg

L= 0.40m

R.= 0.05m

ω = ?

Pos Equilibrio

=

++

++=

++=

22222

21

24.05.005.05.05212.02.04.02.0

12105.05.0

52 xxxxxI

IIII

C

eveC

Datos:

222 2

1 ωceevv Ighmghm =+

Un bloque de 6 kg y una esfera de 10 kg están unidos por un hilo inextensible y sin peso que pasa a través de una polea en forma de disco de 2 kg de masa. La esfera rueda sin deslizar a lo largo de un plano inclinado 30º. Determinar:

1) La(s) tensión(es) de la cuerda. 2) La aceleración del sistema 3) La velocidad de la esfera y del bloque cuando se han desplazado 1.5 m partiendo del reposo (emplear dos procedimientos para el cálculo de este apartado). Dato, el momento de inercia de la esfera es 2/5 mr2.

Problema 14 (Bloque Esfera)

Una esfera de masa m y radio r rueda por un plano y adquiere La suficiente velocidad para recorrer un lazo de radio R. La Esfera sólida rueda sin deslizar a lo largo de todo su recorrido. Halle la altura mínima h a la cual se encuentra el punto de partida, medida desde la parte superior del lazo.

Tarea 1

1.- La polea de la figura tiene un radio R y un momento de inercia I. Uno de los extremos de la masa m se conecta a un resorte cuya constante de fuerza es K y el otro se sujeta a una cuerda enrollada alrededor de la polea. Si se hace girar la polea en sentido antihorario a fin de enrollar la cuerda, de modo que el resorte se estire una distancia d, a partir de su posición no deformada y después se libera desde el reposo. Calcule la velocidad angular de la polea cuando el resorte queda nuevamente sin estirar.(Nota: el plano tiene un ángulo de inclinación θ).

Tarea 2

Una bala de masa m y velocidad v se dispara contra un cilindro en reposo de masa M y radio R. El cilindro esta montado sobre un eje horizontal que pasa por su centro de masa, la línea de acción es perpendicular a este eje y se encuentra a una altura h temor que el radio. Encuentre la velocidad angular del cilindro si la bala se adhiere a la superficie del cilindro. M=2 Kg h=0.5 m V=120 m/s R=1 m m=30 g

v

R

M

h

Tarea 3

Un bloque de madera (m=1Kg) unido fuertemente a un disco horizontal (M=40Kg) y radio (R=1m) es chocado tangencialmente por una bala (m=100gr) de tal manera que lo atraviesa con una velocidad de salida igual a un tercio de la de entrada que es de 100 m/s. Calcule la velocidad angular del disco en revoluciones por minuto después del impacto.

V

Tarea 4

Una barra rígida homogénea de masa 2kg y longitud de 1m se suspende del punto O que está a una distancia de 25cm del extremo superior, alrededor del cual puede oscilar. En el otro extremo se encuentra adherida una esfera maciza de radio 33cm. Si el momento de inercia con respecto al punto O del sistema es 1.51kgm2. ¿Cuál es la masa de la esfera?

Tarea 5

Un bloque de 2kg y un cilindro sólido de 8 kg y radio 20cm, están unidos por un cuerda ideal que pasa por una polea(disco) de masa igual a 0.5kg y radio 10cm, situada en la unión de dos planos inclinados de 30º y 60º de inclinación. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es y que el cilindro rueda sin deslizar, calcule:

La aceleración del bloque y del centro de masa del cilindro La(s) tensión(es) de la cuerda La aceleración angular de la polea y la velocidad del bloque cuando ha

descendido 2m a lo largo del plano, sabiendo que parten del reposo.

Tarea 6

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