7/26/2019 w20150824124224050_7000810241_09!28!2015_182355_pm_Sesion 5-Integral Triple en Coordenadas Cilindricas y Esfericas
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Escuela de IngeMat
Integral triple en coordenadas cilndricas y es
Lo que sabemos es una gota de agua; lo que ignoramos es el ocano
Isaac Newton(
Lic. Montes Ob
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SITUACIN PROBLEMTICA:
Hallar el volumen encerrado por la superficie definida por
la ecuacin
=
cuyo grfico se
muestra en la figura.
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Qu necesitamos recordar?
Clculo de integrales iteradastriples
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CAMBIO DE COORDENADAS EN Sea : 3 3una funcin continuamente diferenciable dada por:
, , = , , donde = , , , = ( , , ), = ( , , )
Entonces la frmula para el cambio de coordenadasde la integral triple es dada por:
, , = ( , , , , , , , , ) , ,
Donde (, , ) es el determinante del Jacobiano de F.
.(,,) .(,,)S
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COORDENADAS CILNDRICAS
Sea : 3 3una funcin continuamente diferenciable dada por: , , = , , donde = c o s , = sen , =
Entonces la frmula para el cambio de coordenadascilndricasde la integral triple es dada por:
, , = ,, z
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Ejemplo 1:
Calcular () si S es la regin que est limitada por las superficies: = (), Solucin:
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Ejemplo 2:
Calcular , donde S es la regin, interior al cilindro 2 = 0 y limitado superficies = , = 1 2.Solucin:
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COORDENADAS ESFRICAS
Sea : 3 3una funcin continuamente diferenciable dada por: , , = , , donde =,=, =
Entonces la frmula para el cambio de coordenadasesfricasde la integral triple es dada por:
, , = (,,)
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Ejemplo 3:Calcular () si S es la regin que est limitada por las superficies: = .Solucin:
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Ejercicios:
Calcular
donde
= * , , : 0 2, 0 .Calcular (++)/ , si S es la regin limitada por: Calcular ++
4
4
, usando coordenadas esfrica
Calcular el volumen de la regin S limitada por la semiesfera =el cono = .
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SOLUCIN DE LA SITUACIN PROBLEMTICA:
Hallar el volumen encerrado por la superficie definida por
la ecuacin
=
cuyo grfico se
muestra en la figura.