71.2.2.3.2. DISEÑO DE LAS VIGAS POSTENSADA L=37 m.
Propiedades de la sección neta (viga)
n 13:= Numero de Puntos
i 0 n 1−..:= Rango de 0 a n-1x
i
0.28−0.28−0.10−0.10−0.325−0.325−0.325
0.325
0.10
0.10
0.28
0.28
0.28−0
:= yi
0
0.145
0.33
1.685
1.73
1.85
1.85
1.73
1.685
0.33
0.145
0
0
0
:=
1− 0 10
0.5
1
1.5
yi
xi
h 1.85:= m bt 0.65:= m
A
0
n 2−
i
yi 1+
yi
−( )x
i 1+x
i+
2⋅
∑
=
−:= A 0.51963= m2
xbar1
A−
0
n 2−
i
yi 1+
yi
−
8x
i 1+x
i+( )2
xi 1+
xi
−( )23
+
⋅
∑
=
⋅:= xbar 0=
ybar1
A0
n 2−
i
xi 1+
xi
−
8y
i 1+y
i+( )2
yi 1+
yi
−( )23
+
⋅
∑
=
⋅:= ybar 0.899= m
Ix
0
n 2−
i
xi 1+
xi
−( )y
i 1+y
i+
24⋅
yi 1+
yi
+( )2 yi 1+
yi
−( )2+
⋅
∑
=
:=Ix 0.627= m
4
Ixbar Ix A ybar2
⋅−:= Ixbar 0.207= m4
wb
Ixbar
ybar:= wb 0.231= m
3
wt
Ixbar
h ybar−:= wt 0.218= m
3
Resumen de Propiedades viga Simple:
A 0.5196= m2
Area de Sección Neta vigayt h ybar−:=
yt 0.951= m Distancia c.d.g. de la seccion neta a la fibra superioryb ybar:=
yb 0.899= m Distancia c.d.g. de la seccion neta a la fibra inferiorI Ixbar:=
I 0.2072= m4
Momento de Inercia de seccion neta
wt 0.21782= m3
Modulo resistente seccion neta superior
wb 0.2306= m3
Modulo resistente seccion neta inferior
Rendimiento de la seccion
rI
A:= r 0.632= radio de giro
ρ 0.5> vale para secciones esbeltasρ
r2
yt
yb:=
rendimiento es: ρ 0.4< secciones pesadas
ρ 0.466=
Por tanto el rendimiento de la seccion es optima
PROPIEDADES DE LA SECCION COMPUESTA
El ancho efectivo del patín (be) será el menor de:
L 36.40:= m t 0.18:= m Siendo L la longitud de la viga t el espesor de la losa y S la
separación entre vigas, todo en metros.S 2.4:= m
beL
4:= be 9.1= m
N
L
4
12 t⋅ bt+
S
:= N
9.1
2.81
2.4
= mbe 12 t⋅ bt+:= be 2.81= m
be S:= be 2.4= m
entonces be min N( ):= be 2.40= m
Resistencia a la rotura de la losa:fcL 21:= MPa
Resistencia a la rotura de la viga:fcv 35:= MPa
Factor de Corrección de resistencia:
ηfcL
fcv:= η 0.775=
Area Efectiva de la losa:
AL η be⋅ t⋅:= AL 0.3346= m2
La Inercia de la losa homogenizada será:
IL η be⋅t3
12⋅:= IL 0.0009= m
4
Tomando como referencia la linea superior de la losa se optiene los datos de la sección compuesta.
Brazo = distancia de linea superior de losa al eje neutro del Item
t 0.18:= m espesor de losaItem Brazo
Losa yLt
2:= m yL 0.09= m
Viga yv yt t+:= m yv 1.131= m
ΣA AL A+:= ΣAy AL yL⋅ A yv⋅+:=
ΣA 0.854= m2
ΣAy 0.618= m3
ΣIo IL I+:= ΣAy2 AL yL2
⋅ A yv2
⋅+:=
ΣIo 0.208= m4
ΣAy2 0.668= m4
YtΣAy
ΣA:= Yt 0.723= m Distancia c.d.g. de la seccion compuestas a la fibra superior
Yb h t+ Yt−:= Yb 1.307= m Distancia c.d.g.de la seccion compuesta a la fibra inferior
El momento de inercia de la sección compuesta según Steiner esta dado por:
It ΣIo ΣAy2+ Yt2ΣA⋅−:= It 0.42888= m
4
Módulo Resistente de la sección compuesta:
WbIt
Yb:= Wb 0.3283= m
3Modulo resistente seccion compuesta superior
WtIt
Yt:= Wt 0.5928= m
3Modulo resistente seccion compuesta inferior
Excentricidad aproximada:
e yb 0.1 h⋅−:= e 0.714= m
Resumen de Propiedades Seccion Compuesta:
ΣA 0.854= m2
Area de la seccion compuesta.Yt 0.723= m Distancia c.d.g. de la seccion compuestas a la fibra superior
Yb 1.307= m Distancia c.d.g.de la seccion compuesta a la fibra inferior
It 0.42888= m4
Momento de Inercia de seccion compuesta
Wb 0.3283= m3
Modulo resistente seccion compuesta superior
Wt 0.5928= m3
Modulo resistente seccion compuesta inferior
e 0.714= m Excentricidad aproximada:
Cálculo del preesfuerzo
Resumen de solicitaciones
Mpp 2076.55:= kN m⋅ Momento Peso propio
Mlh 1790.65:= kN m⋅ Momento Losa humeda + capa de rodadura
Md 148.30:= KN m⋅ Momento de Diafragmas .
Mvi 2203.72:= KN m⋅ Momento Carga viva+Impacto
Msup 712.73:= KN m⋅ Momento Postes, barandado, acera y bordillos
Cálculo de tensiones para cada caso
a) Tensiones por cargas permanentes (pesos propios)
Las tensiones correspondientes a los momentos: Mpp, Mlh y Md, se calculan tomando los módulos
resistentes de la sección prefabricada.
M1 Mpp Mlh+ Md+:= M1 4015.5= KN m⋅
fibra superior:
ft1M1
wt
:=N
mm2ft1 18.435= (+)
fibra inferior:
fb1M1
wb
:=fb1 17.413=
N
mm2
(-)
b) Tensiones debidas a las cargas vivas y complementos
En este caso la sección resistente pasa a ser la compuesta por la viga y la losa, por lo tanto debe
tomarse en cuenta los módulos resistentes de esta sección.
M2 Mvi Msup+:= M2 2916.45= N mm⋅
fibra superior:
ft2M2
Wt
:=ft2 4.92=
N
mm2(+)
fibra inferior:
fb2M2
Wb
:=fb2 8.885=
N
mm2(-)
c) Tensiones por pretensión
La fuerza de pretensión inicial necesaria será calculada para una tensión nula en la fibra inferior
tomando en cuenta todas las cargas actuantes.
fbPo
A
Po e⋅
wb
+ fb1− fb2−= siendo fb 0:=
Po A wb⋅fb fb1+ fb2+
wb e A⋅+⋅:=
Por lo tanto:
Po 5239.633= kN
Características de los cables de preesfuerzo
Cables de siete alambres
Diámetro nominal 12.7 m
Area nominal del cable Au 98.7:= mm2
Peso por 1000 pies 2333.26 N
Resistencia a la rotura fs1 1860:= Mpa
Resistencia a la Fluencia fsy 0.9 fs1⋅:= fsy 1674=N
mm2
Esfuerzo de diseño:
1o Posibilidad fs 0.6fs1:= fs 1116=N
mm2
2o Posibilidad fs 0.8 fsy⋅:= fs 1339.2=N
mm2
Usar: fs 1116:=N
mm2
2.3.9.5 Número de cables necesarios
AnecPo 1000⋅
fs:= Anec 4695.012= mm
2
NcablesAnec
Au:= Ncables 47.569= Usar: Ncables 48:=
Areal Ncables Au⋅:= Areal 4737.6= m2
Número y disposición de vainas
Según sistema Freyssinet, las características y dimensiones de los ductos para cables o torones de1/2 plg de 7 alambres, de 8 a 12 torones Φext = 65 mm
Según el reglamento el diámetro interior de las vainas será por lo menos de 1/4 plg mayor que el
diámetro del cable, aspecto que se cumple con:
4 vainas de 2 7/8 plg = 73 mm para alojar 48 cables Φ1/2 plg. grado 270 ksi, 12 en la vaina 1, 12
en las vainas 2, 3 y 4 contando de abajo hacia arriba.
Momento estático
Posición de las vainas en el centro de la viga:
El recubrimiento mínimo de las vainas no puede ser menor de 5 centímetros por lo que podemos
mejorar la excentricidad para un mejor funcionamiento de preesfuerzo.
con: Areal 4737.6= mm2
e 0.714= m
A1 12 Au⋅:= A1 1184.4= mm2
A2 12 Au⋅:= A2 1184.4= mm2
A3 12 Au⋅:= A3 1184.4= mm2
A4 12 Au⋅:= A4 1184.4= mm2
Areal e⋅ A1 yb 312.5−( )⋅ A2 yb 237.5−( )⋅+ A3 yb 162.5−( )⋅+ A4 yb 87.5−( )⋅+=
yb 898.611= mm
eA1 yb 312.5−( )⋅ A2 yb 237.5−( )⋅+ A3 yb 162.5−( )⋅+ A4 yb 87.5−( )⋅+
Areal:=
e 698.61= mm
Posición de las vainas en el apoyo:
La separación mínima entre conos de anclaje debe ser de 30 m. para un buen trabajo del gato
ΣMo 0=
:=
d 300:=
A1 y⋅ A2 d y−( )⋅ A3 2d y−( )⋅+ A4 3 d⋅ y−( )⋅+=
y dA2 2 A3⋅+ 3 A4⋅+
A1 A2+ A3+ A4+⋅:= y 450= m
La fuerza de pretensión inicial necesaria será entonces:
Po A wb⋅fb fb1+ fb2+
wb e A⋅+⋅:=
Po 5308.43= kN
Tensión efectiva de los cables
PcPo
Ncables:= Pc 110.592= kN
TvPc 1000⋅
Au:= Tv 1120.489=
N
mm2
< fs Ok!
Determinación de pérdidas de preesfuerzo
Pérdidas por fricción de los cables
Las pérdidas de fricción en los miembros postensados aparecen por el cambio de angular en los
cables plegados y por la excentricidad de los ductos. Las pérdidas por frición se basarán en los
coefientes experimentales K y µ, para el cálculo de las pérdidas por fricción se tiene:
To Tv ek L⋅ μ α⋅+
⋅=
Para cables de alambre y ducto en contacto directo con el hormigón se tiene los siguientes valores:
k 0.004922:=
μ 0.25:=
k = Coeficiente de fricción en tramos rectos o coeficiente de curvatura secundaria por metro de
longitud.
µ = Coeficiente de fricción por curvatura.
To = Tensión del cable en el extremo del gato
Tv = Tensión del cable en un punto cualquiera x
L = Longitud del cable desde el gato hasta el punto x
α = Variación total angular de la trayectoria del cable en radianes, desde el extremo del gato
hasta un punto x.
Ecuación de la parábola:
X2
L2 Y
e1+
⋅=donde: e 0.699= m
Derivando la ecuación se tiene:
2XdXL2
dY⋅
4e=
dY
dX8e
X
L2
⋅= tan α( )=
Para X=L/2
tan α( ) 4e
L⋅= α atan 4
e
L⋅
:= α 0.077= rad
Tesado un lado
kL
2⋅ μ α⋅+ 0.109= To Tv 1 k
L
2⋅+ μ α⋅+
⋅:= To 1242.326=
FR To Tv−:= FR 121.837=N
mm2
%FRFR 100⋅
Tv:= %FR 10.874= %
Pérdidas por hundimiento en los anclajes
Los hundimientos (h), en los clásicos anclajes Freyssinet para cables 12/5 y 12/7 son de 4 a 6 mm
respectivamente.
En general:
a) Los cables largos se tesan de dos lados y no existe pérdida th a medio cable.
b) Los cables cortos se tesan de un lado y existe un valor de th a medio cable.
Es 191590:=N
mm2
X
Es 6⋅L 1000⋅
2⋅
FR:= X 13104= mm menor a
L 1000⋅
218200= mm
th2 Es⋅ 6⋅
X2 FR⋅−:= th 68.227−=
%thth 100⋅
Tv:= %th 6.089−=
Acortamiento elástico del Concreto (ES)
ES 0.5Es
Eci
⋅ fcir⋅=
Ppi 0.63fs1
1000⋅ Areal⋅:= Ppi 5551.52= kN
fcpi
Ppi
A
Ppi e2
⋅
I+:= fcpi 23758.448= kN/m2
fgMpp e⋅
I:= fg 7000.485= kN/m2
fcir fcpi fg−:= fcir 16757.963= kN/m2
Es 191590:=N
mm2
fc 24.5:= N/mm2
Ec 24001.5
0.043⋅ fcv:= Ec 29910.202= N/mm2
ES 0.5Es
Ec⋅ fcir⋅:= ES 53.672= N/mm2
%ESES
Tv100⋅:= %ES 4.79= %
Contracción del Concreto (SH)
SH 0.8 117.18 1.033 RH⋅−( )⋅= N/mm2
RH 60:= % La humedad relativa media anual de Morochata
SH 0.8 117.18 1.033 RH⋅−( )⋅:= SH 44.16= N/mm2
%SHSH
Tv100⋅:= %SH 3.941= %
Fluencia del Concreto (CRc)
Para miembros pretensados y postensados
CRc 12 fcir⋅ 7 fcds⋅−=
fcds Mlhe
I⋅ Md
e
I⋅+:= fcds 6536.606= kN/m2
CRc 12 fcir⋅ 7 fcds⋅−:= CRc 155.339= N/mm2
%CRcCRc
Tv100⋅:= %CRc 13.86= %
Relajación de los cables (CRs)
CRs 137.9 0.3 FR⋅− 0.4 ES⋅− 0.2 SH CRc+( )⋅−:=
CRs 39.98= N/mm2
%CRsCRs
Tv100⋅:= %CRs 3.568= %
Pérdidas totales
Según la norma AASTHO(art. 9.16.2.2) una estimación total de pérdidas de 227.36 N/mm2
puede usarse, este valor no toma en cuenta la pérdida por fricción.
En nuestro caso:
Σ SH ES+ CRc+ CRs+:= Σ 293.15= N/m m2
muy cercano al recomendado y por lo tanto usamos el valor calculado.
∆fs SH ES+ CRc+ CRs+ FR+ th+:= ∆fs 346.76= N/mm2
%∆fs %SH %ES+ %CRc+ %CRs+ %FR+ %th+:= %∆fs 30.95= %
%∆fs∆fs
Tv100⋅:= %∆fs 30.95= %
Preesfuerzo Final
Pf Tv 1%∆fs
100+
⋅:= Pf 1467.25=N
mm2
= 0.78 fs1<0.8fs1 Ok!
%∆fsm %SH %ES+ %CRc+ %CRs+:=
Pfmi Tv 0.8Σ+:= Pfmi 1355.01=N
mm2
Para miembros postensados segun AASHTO (art. 9.15.1) una tensión a 0.8 fs1 es permitido para
compensar las pérdidas por hundimiento de anclajes y fricción, este esfuerzo es conocido como el
esfuerzo máximo temporal; pero el esfuerzo de servicio no debe exceder de 0.7 fs1 después de
todas las pérdidas.
Las pérdidas por acortamiento elástico tomará lugar gradualmente, si aun quedan tendones por
tesar, por lo que se deduce el factor de 0.5 usado en la fórmula para el cálculo de esta pérdida.
Pn Pf%FR Pf⋅ %ES Pf⋅+ %th+
100−:= Pn 1237.5=
N
mm2 = 0.69 fs1<0.7fs1 Ok!
VERIFICACION DE TENSIONES DEL CONCRETO
P = Fuerza de presfuezo inicial antes de que se produzcan las pérdidas:
PPf
1000Ncables⋅ Au⋅:=
P 6951.247= kN
P1 = Fuerza de preesfuerzo después de las perdidas por fricción, anclaje y acortamiento elástico:
P1Pn
1000Ncables⋅ Au⋅:=
P1 5862.722= kN
P2 = Fuerza de presfuezo final después de todas las pérdidas:
P2 Po:=
P2 5308.43= kN
Verificación para t=0
fc 35:= Mpa
fci 0.8 fc⋅:= fci 28= Mpa
(-)máxima tracción permisible: 0.79 fci⋅ 4.18=
N
mm2
(+)Máxima compresión permisible: 0.55 fci⋅ 15.4=
N
mm2
Fibra superior:
fctP
AP
e
wt
⋅−Mpp
wt
+:= fct 0.616= fct 0.79 fci< CorrectoN
mm2
Fibra Inferior:
fcbP
AP
e
wb
⋅+Mpp
wb
−:= fcb 25.431=N
mm2
fcb 0.55fci> Incorrecto
Debido al sobretensión que se produce en la fibra inferior (compresión) se opta por preesforzar en
dos etapas. El primer preesfuerzo aplicado a la viga se lo realizará en las vainas 1 y 2; este preesfuerzo
debe ser capaz de resistir el peso propio de la viga;losa y diafragmas dejando un segundo preesfuerzo
para resistir las demas cargas.
P3 = Fuerza de preesfuerzo en la 1o etapa.
P3Pf
100024⋅ Au⋅:=
P3 3475.623= kN
La excentricidad de las dos vainas es:
e1 1349:= mm
e2 1049:= mm
e0
e1 e2+
2:= e0 1199= mm
1o PREESFUERZO
Verificación para t = 0
fibra superior:
fctP3
AP3
e0
wt
⋅−Mpp
wt
+:= fct 2.91−=N
mm2(+) fct 0.79 fci< Correcto
Fibra Inferior:
fcbP3
AP3
e0
wb
⋅+Mpp
wb
−:= fcb 15.755=N
mm2(+) fcb < 0.55fci 15.4= Correcto
2o PREESFUERZO
Verificación para t = Intermedio
En esta etapa se considera la pérdia de fricción y acortamiento elástico (no existe pérdida por
hundimiento de anclaje a medio tramo) en las vainas 1 y 2 y se añade el preesfuerzo en la vaina 3
y 4 . Para esto calculamos la nueva fuerza P4
P4 Pn 24⋅ Au⋅ Pf 24⋅ Au⋅+:= P4 6406984.52= N
fibra superior:
fctP4
AP4
e
wt
⋅−M1
wt
+:= fct 10.216=N
mm2(+) Correcto
Fibra Inferior:
fcbP4
AP4
e
wb
⋅+M1
wb
−:= fcb 14.327=N
mm2(+) fcb 0.55fci< Correcto
Verificación para t = oo
máxima tracción permisible: 1.6 fc⋅ 9.466=kN
m2
(-)
Máxima compresión permisible: 0.45 fc⋅ 15.75=kN
m2
(+)
M3 M1 Mpp−:= M3 1938950000= N mm⋅
M2 2916450000= N mm⋅
Mpp 2076550000= N mm⋅
fibra superior:
fctP2
AP2
e
wt
⋅−Mpp
wt
+M3
Wt
+M2
Wt
+:= fct 10.914=N
mm2(+) fct 0.45fc< Correcto
Fibra Inferior:
fcbP2
AP2
e
wb
⋅+Mpp
wb
−M3
Wb
−M2
Wb
−:= fcb 2.501=N
mm2(+) fcb 1.6 fc⋅> Correcto
Verificación de la losa
fctlosa η fct⋅:= η 0.775= fctlosa 8.454= <0.45fclosa = 10.98N
mm2
Ok!
Pérdidas por Fricción y Elongación de los torones en cada vaina
Vaina 1
Pérdida por fricción:
X2
L2 Y
e1+
⋅=
donde: e1 1349= m
Derivando la ecuación se tiene:
2XdXL2
dY⋅
4e=
dY
dX8e
X
L2
⋅= tan α( )=
Para X=L/2
tan α( ) 4e
L⋅= α atan 4
e1
1000
L⋅
:= α 0.147= rad
Tesado por un lado
kL
2⋅ μ α⋅+ 0.126= To Tv 1 k
L
2⋅+ μ α⋅+
⋅:= To 1262.089=
FR1 To Tv−:= FR1 141.599=N
mm2
%FR1FR1 100⋅
Tv:= %FR1 12.637= %
X
Es 6⋅L 1000⋅
2⋅
FR1:= X 12155.335= mm menor a
L 1000⋅
218200= mm
th12 Es⋅ 6⋅
X2 FR1⋅−:= th1 94.057−=
%th1th1 100⋅
Tv:= %th1 8.394−=
Tensión para el gato de la vaina 1 es:
T1 Tv FR1+:= T1 1262.089= N/mm2 = 0.79 fs1
Alargamiento:
L1 18 e1
2⋅
3 L2
⋅+
L⋅:= L1 36.533=
∆L1
L1 1000⋅ T1⋅
Es:= ∆L1 240.66= mm
Vaina 2
Pérdida por fricción:
X2
L2 Y
e1+
⋅=
donde: e2 1049= m
Derivando la ecuación se tiene:
2XdXL2
dY⋅
4e=
dY
dX8e
X
L2
⋅= tan α( )=
Para X=L/2
tan α( ) 4e
L⋅= α atan 4
e2
1000
L⋅
:= α 0.115= rad
Tesado por un lado
kL
2⋅ μ α⋅+ 0.118= To Tv 1 k
L
2⋅+ μ α⋅+
⋅:= To 1253.012=
FR2 To Tv−:= FR2 132.523=N
mm2
%FR2FR2 100⋅
Tv:= %FR2 11.827= %
X
Es 6⋅L 1000⋅
2⋅
FR2:= X 12564.7= mm menor a
L 100⋅
21820= m
th22 Es⋅ 6⋅
X2 FR2⋅−:= th2 82.067−=
%th2th2 100⋅
Tv:= %th2 7.324−=
Tensión para el gato de la vaina 2 es:
T2 Tv FR2+:= T2 1253.012= N/mm2 = 0.79fs1
Alargamiento:
L2 18 e2
2⋅
3 L2
⋅+
L⋅:= L2 36.481=
∆L2
L 1000⋅ T2⋅
Es:= ∆L2 238.059= mm
Vaina 3
Pérdida por fricción:
X2
L2 Y
e1+
⋅=
donde: e3 749:= mm
Derivando la ecuación se tiene:
2XdXL2
dY⋅
4e=
dY
dX8e
X
L2
⋅= tan α( )=
Para X=L/2
tan α( ) 4e
L⋅= α atan 4
e3
1000
L⋅
:= α 0.082= rad
Tesado por ambos lados
kL
2⋅ μ α⋅+ 0.11= To Tv 1 k
L
2⋅+ μ α⋅+
⋅:= To 1243.868=
FR3 To Tv−:= FR3 123.378=kN
m2
%FR3FR3 100⋅
Tv:= %FR3 11.011= %
X
Es 0.6⋅L 100⋅
2⋅
FR3:= X 1302.202= mm menor a
L 1000⋅2
18200= mm
th32 Es⋅ 6⋅
X2 FR3⋅−:= th3 1518.776=
%th3th3 100⋅
Tv:= %th3 135.546=
Tensión para el gato de la vaina 3 es:
T3 Tv FR3+:= T3 1243.868= N/mm2 = 0.79fs1
Alargamiento:
L3 18 e3
2⋅
3 L2
⋅+
L⋅:= L3 36.441=
∆L3
L3 1000⋅ T3⋅
Es:= ∆L3 236.588= mm
Vaina 4
Pérdida por fricción:
X2
L2 Y
e1+
⋅=
donde: e4 449:= mm
Derivando la ecuación se tiene:
2XdXL2
dY⋅
4e=
dY
dX8e
X
L2
⋅= tan α( )=
Para X=L/2
tan α( ) 4e
L⋅= α atan 4
e4
1000
L⋅
:= α 0.049= rad
Tesado por ambos lados
kL
2⋅ μ α⋅+ 0.102= To Tv 1 k
L
2⋅+ μ α⋅+
⋅:= To 1234.673=
FR4 To Tv−:= FR4 114.184=kN
m2
%FR4FR4 100⋅
Tv:= %FR4 10.191= %
X
Es 0.6⋅L 100⋅2
⋅
FR4:= X 1353.614= mm menor a
L 1000⋅
218200= mm
th42 Es⋅ 6⋅
X2 FR4⋅−:= th4 1470.107=
%th4th4 100⋅
Tv:= %th4 131.202=
Tensión para el gato de la vaina 4 es:
T4 Tv FR4+:= T4 1234.673= N/mm2 = 0.79fs1
Alargamiento:
L4 18 e4
2⋅
3 L2
⋅+
L⋅:= L4 36.415=
∆L4
L4 1000⋅ T4⋅
Es:= ∆L4 234.67= mm
Verificación de los momentos
Momento Último Actuante
MD Mpp Mlh+ Md+ Msup+:= MD 4728.23= kN m⋅
ML Mvi:= ML 2203.72= kN m⋅
Mua 1.3 MD 1.67 ML⋅+( ):= Mua 10931= kN m⋅
Según norma AASHTO (art. 9.17.4), se tiene:
b be η⋅ 1000⋅:= b 1859.032= mm
d yt e+ t+:= d 1830= mm
ρAreal
b d⋅:= ρ 0.00139=
fsy 1674=N
mm2
fsu1 fsy 1 0.5 ρ⋅fsy
fc⋅−
⋅:= fsu1 1618.25=N
mm2
Momento Último Resistente
t1 1.4 d⋅ ρ⋅fsy
fc⋅:= t1 170.642= mm t 180= mm t1 t<
Según norma AASHTO (art. 9.17.2):
Mur Arealfsy
1000⋅ d⋅ 1 0.6 ρ⋅
fsu1
fc⋅−
⋅:= Mur 13952579= N m⋅
Mur Mua> Ok!
Máximo porcentaje de acero de preesfuerzo
La norma AASHTO en su artículo 19.8.1 señala que los miembros de hormigón pretensado se
diseñarán de manera que el acero entre en fluencia mientras se acerca su capacidad última, el índice
la armadura será tal que:
ρfsu1
fc⋅ 0.3< ρ
fsu1
fc⋅ 0.064= 0.057 0.3<
Por tanto la falla se producirá en el acero en primera instancia
Análisis de fuerza cortante en las vigas
La fuerza cortante será analizado en dos tramos, para los cuartos exteriores y el centro
Por carga muerta:
peso propio: qpp 12.89:= postes, barandado,
aceras, bordillos:
qsup 4.30:=kN
mkN
m
losa+rodadura: qlh 10.46:=kN
m
qg qpp qlh+ qsup+:= qg 27.65=kN
m
Cortante producido por la carga uniforme será:
para L Qg1
qg L⋅
2:= Qg1 503.23= kN
Cortante producida por los diafragmas será:
Qg2 8.02:= kN
Cortante total será:
Qg Qg1 Qg2+:= Qg 511.25= kN
a h/2 la fuerza cortante será: Vg1 Qg qg 0.029⋅ L⋅−:= Vg1 482.063= kN
a L/4 la fuerza cortante será: Vg2 Qg qgL
4⋅−:= Vg2 259.635= kN
a L/2 la fuerza cortante será: Vg3 0:=
Por Carga viva:
La fuerza cortante máximo calculado en programa es:
Para camión tipo HS20-44
para h/2 qv1 143.55:= kN
para L/4 qv2 107.60:= kN
para L/2 qv3 67.55:= kN
cortante producido por la sobrecarga en las aceras
qsobrecarga 2.90 0.60⋅2
2⋅:= qsobrecarga 1.74=
kN
m
para h/2 Qs1 qsobrecarga 0.471⋅ L⋅:= Qs1 29.831= kN
para L/4 Qs2
qsobrecarga L⋅
4:= Qs2 15.834= kN
para L/2 Qs3 0=
por tanto la fuerza cortante debido a la carga viva será:
para h/2 Vv1 qv1 Qs1+:= Vv1 173.381= kN
para L/4 Vv2 qv2 Qs2+:= Vv2 123.434= kN
para L/2 Vv3 qv3:= Vv3 67.55= kN
Por impacto:
para h/2 VI1 0.3 Vv1⋅:= VI1 52.014= kN
para L/4 VI2 0.3 Vv2⋅:= VI2 37.03= kN
para L/2 VI3 0.3 Vv3⋅:= VI3 20.265= kN
Cortante Último
para h/2 Vmax1 1.3 Vg1 1.67 Vv1 VI1+( )⋅+ ⋅:= Vmax1 1116.015= kN
para L/4 Vmax2 1.3 Vg2 1.67 Vv2 VI2+( )⋅+ ⋅:= Vmax2 685.893= kN
Vmax3 1.3 Vg3 1.67 Vv3 VI3+( )⋅+ ⋅:= Vmax3 190.646= kNpara L/2
Cortante Debido al Preesfuerzo
La componente transversal del preefuerzo en los cables, ocasionan esfuerzos cortantes favorables
que contrarestan las ocasionadas por las cargas exteriores.
La ecuación de la parábola es:
X2
L2 Y
e1+
⋅=
donde: e 698.611= mm
Derivando la ecuación se tiene:
2XdXL2
dY⋅
4e=
dY
dX8e
X
L2
⋅= tan α( )=
Para X=h/2
tan α( ) 3.769e
L⋅= α atan 3.769
e
1000
L⋅
:= α 0.072= rad
para h/2 VD1P2
1000sin α( )⋅:= VD1 382.995= kN
Para X=L/4
tan α( ) 2e
L⋅= α atan 2
e
1000
L⋅
:= α 0.038= rad
para L/4 VD2P2
1000sin α( )⋅:= VD2 203.615= kN
para L/2 VD3 P2 0⋅:= VD3 0= kN
Cortante Absorbido por el Concreto
con: j7
8:= b 180:= mm d yt e+:= d 1650= mm fc 35=
N
mm2
Vc 0.06 b⋅fc
1000⋅ j⋅ d⋅:= Vc 545.737= kN
admVc17.64
1000b⋅ j⋅ d⋅:= admVc 4584.195= kN
Vc admVc<
Cortante Último Actuante
para h/2 Vu1 Vmax1 VD1−:= Vu1 733.02= kN
para L/4 Vu2 Vmax2 VD2−:= Vu2 482.278= kN
para L/2 Vu3 Vmax3 VD3−:= Vu3 190.646= kN
Armadura Resistente al Corte
Los miembros sujetos a cortante pueden ser diseñados con:
Vu ϕ Vc Vs+( )≤
ϕ 0.85:=
donde:
Vu = es la fuerza cortante factorada en la sección de análisis
Vc = es la fuerza cortante nominal absorvida por el hormigón
Vs = es la fuerza cortante nominal resistida por el acero de refuerzo (estribos)
VsAv fy⋅ j⋅ d⋅
S=
Av = area del acero de refuerzo
S = separación entre aceros de refuerzo.
Para los cuartos exteriores de la viga:
con: fy 420:=N
mm2para las barras de acero
VsVu1
ϕVc−:= Vs 316.639= kN
Av 157:= mm2
dos ramasasumiendo Φ10y una separación S 100:= mm
tenemos:
VsiAv fy⋅ j⋅ d⋅
S 1000⋅:= Vsi 952.009= kN > Vs 316.639= kN
USAR eΦ10c/10
S 150:=Para los cuartos interiores de la viga:
VsVu2
ϕVc−:= Vs 21.648= kN Vsii
Av fy⋅ j⋅ d⋅
S 1000⋅:=
Vsii 634.673= kN > Vs 21.648= kN
Según ACI (11.5.5.3) AASHTO (9.20.3.3) el área mínima de refuerzo por cortante para elementos
presforzados y no preesforzados se deberá calcular por medio de:
Avmin 0.35b S⋅
fy⋅:= Avmin 22.5= mm
2
ACI (115.5.4) Para elementos preesforzados que tengan una fuerza de preesfuerzo efectiva no
menor del 40 % de la resistencia a la tensión del acero de refuerzo por flexión, el área del acero de
refuerzo por cortante no debe ser menor que el menor valor de Avmin dado por la ecuación anterior
y la siguiente:
Aps = área del acero preesforzado en la zona de tensión, m2
fpu = resistencia especificada a la tensión de los cables de preesfuerzo, kN/m2
Aps Ncables Au⋅:= Aps 4737.6= m2
fpu fs1:= fpu 1860=kN
m2
AvminAps fpu⋅ S⋅
80 fy⋅ d⋅
d
b⋅:= Avmin 72.185= m
2
USAR eΦ10C/25 estribos U
Para la mitad del tramo:
VsVu3
ϕVc−:= Vs 321.448−= kN
por lo tanto disponer de armadura mínima.
USAR eΦ10C/25 estribos U
Conectores de Corte
En la construcción mixta, el esfuerzo cortante ν entre las porciones precoladas y coladas en el lugarse calcula basándose en la teoría elástica ordinaria, a través de la fórmula:
νV Q⋅
Ib=
donde:
V = esfuerzo cortante total aplicado después de que ha sido colada la porción en el lugar;
Q = momento estático del área de la sección transversal de la porción colada en el lugar con relación
al eje centroidal de la sección compuesta;
I = momento de inercia de la sección compuesta; y
b = ancho del área de contacto entre las porciones precoladas y coladas en el lugar.
Para los cuartos exteriores
V Vu1:= V 733.02= kN
b 63.5:= m
I It:= I 0.429= m4
Q η 250⋅ 19⋅ 48.67719
2+
⋅:= Q 214052.625= m3
νV Q⋅
I b⋅:= ν 5761432.703=
kN
m2
Se utilizarán los siguientes valores para la resistencia a la ruptura por adherencia en las superficies de
contacto:
Cuando se llenan los requisitos mínimos de amarre del acero de (*) 75 lb/plg2 (5.27 kN/m2)
Cuando se llenan los requisitos mínimos de amarre del acero de (*) y la superficie de contacto se
hace rugosa artificialmente, 150 lb/plg2 (10.5 kN/m2)
Cuando los amarres de acero en exceso de llos requisitos de (*) se proporcionan y la superficie de
contacto del elemento precolado se hace rugosa artificialmente, 225 lb/plg2 (1.548 N/mm2).
(*) Todo el refuerzo del alma se extenderá dentro de cubiertas coladas en el lugar. El espaciamiento
de los amarres verticales no será mayor a cuatro veces el espesor mínimo de cualquiera de los
elementos compuestos y, en ningún caso, mayor a 24 plg (60.96 m). El área total de los amarres
verticales no será menor que el área de dos varillas del numero 3 (10 mm) espaciadas a 12 plg
(30.48).
Por tanto para la tercera condición la resistencia llega a ser ampliamente favorable por lo que solo se
deberá extender los estribos U calculados anteriromente.
USAR eΦ10c/25 continuamos con la separación de estribos anteriormente calculados
Para los cuartos interiores
V Vu2:= V 482.278= kN
b 200:= mm
I It 1000000000000⋅:= I 428876618427.896= mm4
Q η be⋅ t⋅ Ybt
2+
⋅:= Q 467319068.2= mm3
νV 1000⋅ Q⋅
I b⋅:= ν 2.628=
N
mm2
Por tanto para la tercera condición la resistencia llega a ser ampliamente favorable por lo que solo se
deberá extender los estribos U calculados anteriromente.
USAR eΦ10c/25
Trayectoria de los cables
La ecuación general es:
Y2
L2
Ya 2 Yb⋅− Yc+( )⋅ X2
⋅1
L3− Ya⋅ 4 Yb⋅+ Yc−( )⋅ X⋅+ Ya+=
A continuación se presenta las coordenas correspondientes a las vainas, ques son redondeadas a los
dos decimales.
Progresiva
cada 1.0 m. Vaina 1 Vaina 2 Vaina 3 Vaina 4
m. cm cm cm cm
0.00 0.15 134.90 104.90 74.90
0.85 1.00 125.30 97.56 69.59
1.85 2.00 115.05 89.36 63.67
2.85 3.00 105.20 81.65 58.10
3.85 4.00 95.97 74.42 52.87
4.85 5.00 87.35 67.67 47.99
5.85 6.00 79.35 61.41 43.47
6.85 7.00 71.96 55.62 39.29
7.85 8.00 65.19 50.32 35.45
8.85 9.00 59.03 45.50 31.97
9.85 10.00 53.49 41.16 28.83
10.85 11.00 48.56 37.31 26.05
11.85 12.00 44.26 33.93 23.61
12.85 13.00 40.56 31.04 21.52
13.85 14.00 37.48 28.63 19.78
14.85 15.00 35.02 26.70 18.38
15.85 16.00 33.17 25.26 17.34
16.85 17.00 31.94 24.29 16.64
17.85 18.00 31.33 23.81 16.29
18.35 18.50 31.25 23.75 16.25
18.85 19.00 31.33 23.81 16.29
19.85 20.00 31.94 24.29 16.64
20.85 21.00 33.17 25.26 17.34
21.85 22.00 35.02 26.70 18.38
22.85 23.00 37.48 28.63 19.78
23.85 24.00 40.56 31.04 21.52
24.85 25.00 44.26 33.93 23.61
25.85 26.00 48.56 37.31 26.05
26.85 27.00 53.49 41.16 28.83
27.85 28.00 59.03 45.50 31.97
28.85 29.00 65.19 50.32 35.45
29.85 30.00 71.96 55.62 39.29
30.85 31.00 79.35 61.41 43.47
31.85 32.00 87.35 67.67 47.99
32.85 33.00 95.97 74.42 52.87
33.85 34.00 105.20 81.65 58.10
34.85 35.00 115.05 89.36 63.67
35.85 36.00 125.52 97.56 69.59
36.70 36.85 134.90 104.90 74.90
Ordenada (cm.)
Determinación de Flechas
El cálculo de las deflexiones debidas a las cargas externas es similar al de las vigas no
preesforzadas. Mientras el concreto no se agriete, la viga puede tratarse como un cuerpo
homogeneo y se le aplica la teoría elástica usual para el cálculo de deflexiones.
Deflexión Admisible
L 36400= mm δL
1000:= δ 36.4= mm
Se pueden considerar dos etapas principales de deformación, en las que se considera la
deformación originada por las cargas actuantes en el proceso de tesado de los cables y la que se
produce posterior a las pérdidas de preesfuezo y cargas adicionales.
Primera Etapa
Deflexión Inicial
Tomese el concreto como un cuerpo libre y sustituyase los cables 1 y 2 con fuerzas que actuan sobre
el concreto.La carga uniforme que actúa a lo largo de la viga será:
w8 F⋅ e⋅
L2
=
Los cables 1 y 2 tendrán una excentricidad e0
e0 1199= mm
F Pn 24⋅ Au⋅:= F 2931361.19= N
w8 F⋅ e0⋅
L2
:= w 21.22=N
mm
Mediante la fórmula de deflexión:
δ5 w⋅ L
4⋅
384 Ec⋅ I⋅=
donde:
Ec = módulo de elasticidad del concretoI = momento de inercia de a sección
Ec 29910.202=N
mm2
I 428876618428= mm4
por tanto la deflexión originada por la fuerza de preesfuerzo será:
δp15 w⋅ L
4⋅
384 Ec⋅ I⋅:= δp1 37.82= mm hacia arriba
Además, habrá dos cargas excentricas actuando en los extremos de la viga y cada una produciendo
Además, habrá dos cargas excentricas actuando en los extremos de la viga y cada una produciendo
un momento M:
MF
2403⋅
F
20⋅+:= M 590669279.15= N mm⋅
Los momento en los extremos producen una deflexión que vale:
δmM L
2⋅
8 Ec⋅ I⋅:= δm 7.626= mm hacia abajo
El peso propio de la viga es:
qpp 12.89=N
mm
El peso propio de la viga produce una flecha igual a:
δg
5 qpp⋅ L4
⋅
384 Ec⋅ I⋅:= δg 22.969= mm hacia abajo
Por tanto la deflexión total inicial será:
δini1 δp1 δm− δg−:= δini1 7= mm hacia arriba
Segunda Etapa
Deformación Inicial
Tomese el concreto como un cuerpo libre y sustituyase los cables 1, 2 y 3 con fuerzas que actuan
sobre el concreto.
F Pn Ncables⋅ Au⋅:= F 5862722.37= N
w8 F⋅ e⋅
L2
:= w 24.73=N
mm
La deflexión originada por la fuerza de preesfuerzo será:
δp25 w⋅ L
4⋅
384 Ec⋅ I⋅:= δp2 44.1= mm hacia arriba
deflexión originada por preesfuerzo, peso propio y se elimina el momento en los extremos.
δini2 δp2 δg−:= δini2 21.1= mm hacia arriba
Deformación secundaria
Tomando el preesfuerzo efectivo se calcula:
w8 P2⋅ e⋅
L2
:= w 22.39=N
mm
δpe5 w⋅ L
4⋅
384 Ec⋅ I⋅:= δpe 39.9= mm hacia arriba
deflexión originada por peso de la losa+capa de rodadura:
w 17.08:=kN
m
δlh5 w⋅ L
4⋅
384 Ec⋅ I⋅:= δlh 30.44= mm hacia abajo
deflexión originada por peso de los diafragmas
Pd 8.02:= kN
δd23 Pd⋅ L
3⋅
648 Ec⋅ I⋅:= δd 1.07= mm hacia abajo
deflexión originada por peso del bordillo, acera poste y baranda:
wsup 14.76:=kN
m
δsup5 wsup⋅ L
4⋅
384 Ec⋅ I⋅:= δsup 26.3= mm hacia abajo
deflexión originada por peso de los diafragmas
δsec2 δpe δlh− δd− δsup−:= δsec2 18−= mm hacia arriba
Deformación final
δfinal δsec2:= δfinal 18−= mm hacia arriba
Bloques finales de anclaje
La zona de anclaje es geométricamente definido como el volúmen de concreto através del cual la
fuerza de pretensión concentrada en el aparato de anclaje propaga tranversalmente a una distribución
de esfuerzo lineal através de toda la sección transversal.
Los bloques extremos tendrán el área suficiente para permitir el espaciamiento del acero de
preesfuerzo. Preferiblemente, serán tan anchos como el patín mas angosto de la viga. Tendrán una
longitud de por lo menos igual a las tres cuartas partes del peralte de la viga y en ningún caso 24 plg
(60.96m).
En los miembros postensados se colocará una malla espaciada cercanamente, tanto las barras
verticales como horizontales, cerca de la cara del prisma (bloque) extremo para resistir el
reventamiento y se colocará un refuerzo espaciado cercanamente, tanto vertical como
horizontalmente, a través de la longitud del prisma.
Para la mayoría de los casos se ha demostrado suficiente suministrar acero para una tensión
transversal total de 0.03F (Y Guyon). Para el postensado, este acero se coloca tan cerca del
extremo como sea posible. Se pueden utilizar mallas de alambre o varillas de acero.
Para soportar la tensión en la zona de desgarramiento se pueden usar estribos o acero en espiral.
Para el refuerzo local bajo el anclaje se adoptan espirales de 9.53 mm (3/8plg) con un paso de 38.1
mm (11/2plg)
La determinación de las tensiones cerca a los anclajes es un problema dificil pra el cual un método
aproximado de cálculo como el de Morsch puede ser utilizado.
TP
2tan α( )⋅=
P
2
d
4
d1
4−
d
2
⋅=
TP
4
d d1−
d
⋅=P
41
d1
d−
⋅=
siendo:
d1/d = Factor de concentración de carga. (0.53)
P = Fuerza total de preesfuerzo por cable.
d1 = ancho del cono de anclaje (16 m)
d = ancho de distribución (30 m)con: P2 5308429.96= N
PP2
3:= P 1769476.65= N
TP
41 0.53−( )⋅:= T 207913.51= N
fy 420=kN
mm2
AsT
fy:= As 495.03= mm
2
USAR 5 ESTRIBOS EN U Φ10 mm
El area requerida de acero de refuerzo en la parilla será:
As0.03 P2⋅
fy:= As 379.174= cm
2
USAR Φ12c/10 Horizontal y Verticalmente
DATOS PARA LA FICHA DE TESADO
Se usara el sistema freyssinet con tendones 10φ1/2" - 270k
Carga minima de rotura 1836.2 kN/tendon
Area del tendon At 987:= mm2
fs1 1860=kN
m2Tension minima de rotura:
Tension de trabajo admisible: fsu 1884.5=kN
m2
Tension temporal maxima: 0.76 fs1⋅ 1413.6=
Fuerza final de tesado: P2 5308429.96= N
Tension de trabajo en CL:P2
Ncables Au⋅1120.489=
N
mm2
OEFICIENTES ADOPTADOS
k 0.004922:=
μ 0.25:=
Gato freyssinet (USA) TIPO L : Area de piston: Ap 34900:= mm2
Coeficiente de fricción: C 1.07:=
Es 191590=
Hundimiento del cono: hc 6:= mm
Colocacion de marcas a 20 cm del anclaje con presion inicial de 50
Presion de cuña en anclaje activo 6500 Psi
Humedad Relativa Ambiente de 57°
FICHA DE TESADO
DESCRIPCION TENDON 1 TENDON 2 TENDON 3 TENDON 3
Tension Inicial T1 1262.089= T2 1253.012= T3 1243.868= T4 1234.673=
Tension Final req Pf 1120.489= Pf 1120.489= Pf 1120.489= Pf 1120.489=
T1 1262.089= T2 1253.012= T3 1243.868= T4 1234.673=Tension gato
kN
m2
Presión Manometro Pm1 38191.384= Pm2 37916.726= Pm3 37640.001= Pm4 37361.782=
N
mm2
Elongación total ∆L1 241= mm ∆L2 238= mm ∆L3 236.59= mm ∆L4 234.67= mm