ÍNDICES DE

EFICIENCIA Viga en voladizo

DESCRIPCIÓN BREVE Este trabajo presenta el procedimiento para la

selección de materiales según el índice de

desempeño mediante el cruce de información de

varios gráficos e índices.

Ing. Giovanni Suntaxi; Ing. Juan Carlos Rodríguez; Ing. Boris Muñoz Procesos de Manufactura

Viga en voladizo resistente y rígida Índices de eficiencia de materiales de vigas con diferentes restricciones

Como primer punto se comenzará realizando un cuadro con los la función, las restricciones y el

objetivo que se debe alcanzar

Función Viga en voladizo con carga final Resistir carga F Soportar la deflexión elástica δ

Restricciones Longitud especificada “L”

Geométricas Ancho especificado “b”

Carga al final de la viga especificada “F”

Objetivo Minimizar la masa “m”

Variables libres Espesor “t” Material libre

1. Determinar los índices de eficiencia La sección de la viga no es variable unitaria, esta depende del ancho y el espesor como se

muestra en la figura.

𝑚 = 𝜌𝑉 ;

𝑉 = 𝐿𝑏𝑡

𝑚 = 𝜌 ∗ 𝐿 ∗ 𝑏 ∗ 𝑡 𝐸𝑐. (1)

1.1 Índice de eficiencia con resistencia

𝜎 =𝑀𝑐

𝐼

𝑠𝑎𝑏𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 ∶ (𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎) 𝑐 =𝑡

2; (𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜)𝑀 = 𝐹𝐿; (𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎)𝐼 =

𝑏𝑡3

12

𝜎 =12𝐹𝐿𝑡

2𝑏𝑡3

𝜎 =6𝐿𝑡

𝑏𝑡2 → 𝑡 = √

6𝐹𝐿

𝜎𝑏 𝐸𝑐. (2)

𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑜 2 𝑒𝑛 1

𝑚 = 𝜌𝐿𝑏√6𝐹𝐿

𝜎𝑏

𝑚 = (6𝐿3𝑏)12𝐹

12 (

𝜌

𝑆𝑦

12

) 𝐸𝑐. (3)

𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑒𝑠 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑙 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟:

𝑆𝑦

12

𝜌= 𝐶

𝑆𝑦

12 = 𝜌𝐶

1

2log 𝑆𝑦 = log 𝜌 log 𝐶

log 𝑆𝑦 = 2 log 𝜌 log 𝐶

𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 = 2

1.2 Índice de eficiencia con deflexión

𝛿 =𝐹𝐿3

3𝐸𝐼

𝑐𝑜𝑛 𝐼 =𝑏𝑡3

12

𝛿 =4𝐹𝐿3

𝐸𝑏𝑡3 𝐸𝑐. (4)

⇒ 𝑡 = √4𝐹𝐿3

𝐸𝑏𝛿

3

𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 4 𝑒𝑛 1

𝑚 = 𝜌𝐿𝑏 √4𝐹𝐿3

𝐸𝑏𝛿

3

𝑚 = (4𝐹)13 (

𝐿2𝑏23

𝛿13

) (𝜌

𝐸13

) 𝐸𝑐. (5)

𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑒𝑠 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑙 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟:

(𝐸

13

𝜌) = 𝐶

𝐸13 = 𝜌𝐶

1

3𝐿𝑜𝑔(𝐸) = 𝐿𝑜𝑔(𝜌) ∗ 𝐿𝑜𝑔(𝐶)

𝐿𝑜𝑔(𝐸) = 3 ∗ 𝐿𝑜𝑔(𝜌) ∗ 𝐿𝑜𝑔(𝐶)

𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 = 3

Con estos valores de pendientes se puede determinar el grafico para los materiales en el CES

selector.

El gráfico para la resistencia tiene como variables en el eje X a la densidad y en eje Y la

resistencia a la tracción. Y el universo de materiales según el software es el siguiente:

Figura 1 Universo de materiales para la índice de resistencia

El gráfico para la deformación tiene como variables en el eje X a la densidad y en eje Y la

módulo de Young. Y el universo de materiales según el software es el siguiente:

Además en los gráficos anteriores se puede apreciar que ya están colocadas las líneas de

pendiente para la selección del material.

2. Determinar los índices de eficiencia con los valores especificados

Para determinar los valores específicos para cada una de las ecuaciones, se reemplaza los

valores establecidos y se obtiene las ecuaciones 6 y 7

Density (kg/m^3)10 100 1000 10000

Te

nsil

e s

tre

ng

th (

MP

a)

0.001

0.01

0.1

1

10

100

1000

10000

Density (kg/m^3)10 100 1000 10000

Yo

un

g's

mo

du

lus (

GP

a)

1e-5

1e-4

0.001

0.01

0.1

1

10

100

1000

Longitud L= 2,5 m

Ancho b= 0,4 m

Carga F= 400 kgf 3920 N

deflexión δ= 0,4 m

Reemplazando los valores en la ecuación 3 obtenemos (con un valor de 9.8N=1Kgf)

𝑚 = 383.41 (𝜌

𝑆𝑦

12

) 𝐸𝑐. (6)

Y de la ecuación 5 se obtiene:

𝑚 = 115.26 (𝜌

𝐸13

) 𝐸𝑐. (7)

Determine materiales candidatos independientemente según cada índice

Si la masa debe estar entre 50 y 100 Kg qué materiales son elegibles según cada índice

independiente.

3. Determinar Sy y E respectivamente en función de la densidad ρ

m1= 50 Kg

m2= 100 Kg

Por lo tanto si se reemplaza estos valores en las ecuaciones 6 y 7 se obtiene:

50 = 383.41 (𝜌

𝑆𝑦

12

)

100 = 383.41 (𝜌

𝑆𝑦

12

)

50 = 115.26 (𝜌

𝐸13

)

100 = 115.26 (𝜌

𝐸13

)

Resistencia Deformación

m1= 50 Kg 𝑆𝑦 = 58.8𝜌2 𝐸 = 12.25𝜌3

m2= 100 Kg 𝑆𝑦 = 14.7𝜌2 𝐸 = 1.53𝜌3

Ahora para una ρ=1000 Kg/m3 tenemos:

Resistencia Deformación

Sy=58,8ρ2 Sy=14,7ρ2 E=12,25ρ3 E=1,53ρ3

densidad 1000 Kg/m3 58800000 14700000 12250000000 1531250000 [Pa]

58,8 14,7 12250 1531,25 [MPa]

Los gráficos obtenidos en el CES se muestran a continuación:

Con densidad=1000 kg/m3 y Sy=58.8 MPa

Del gráfico anterior se puede obtener tres materiales que cumplan con estas condiciones

además con criterio y la indicación del ejercicio se seleccionará tres materiales.

Density (kg/m^3)10 100 1000 10000

Te

nsil

e s

tre

ng

th (

MP

a)

0.001

0.01

0.1

1

10

100

1000

10000

Density (kg/m^3)10 100 1000 10000

Te

nsil

e s

tre

ng

th (

MP

a)

0.001

0.01

0.1

1

10

100

1000

10000

Silicon nitride (hot pressed)(5%MgO)

PET (30% glass fiber)

Titanium, alpha-beta alloy, Ti-6Al-2Sn-2Zr-2Mo, annealed

Nombre Sy[MPa] ρ [Kg/m3]

Sy^(1/2)/ρ ρ/Sy^(1/2) Precio [USD]

M1 PET 30%fibra vidrio 165 1,70E+03 7,56E-03 1,32E+02 2,93-3,49

M2 Titanio Ti-6Al-2Sn-2Zr-2Mo

1,22E+03 4,55E+03 7,68E-03 1,30E+02 25,6-28,1

M3 Nitruro de silicio 550 3,20E+03 7,33E-03 1,36E+02 35,3-53,9

Con densidad= 1000 kg/m3 y Sy= 14.7 MPa

Nombre Sy[MPa] ρ [Kg/m3] Sy^(1/2)/ρ ρ/Sy^(1/2) Precio [USD]

M4 PF(con celulosa)

44,8 1,42E+03 4,71E-03 2,12E+02 2,54-2,8

M5 Aleacion Al-Zn

4,45E+02 5,05E+03 4,18E-03 2,39E+02 2,46-2,7

M6 Alumina 242 4,03E+00 3,86E+00 2,59E-01 18,3-27,4

Density (kg/m^3)10 100 1000 10000

Te

nsil

e s

tre

ng

th (

MP

a)

0.001

0.01

0.1

1

10

100

1000

10000

Zinc-aluminum alloy, ZA-27, general casting

Alumina (zirconia toughened)

PF (cellulose filled, impact modified, molding)

Titanium, alpha-beta alloy, Ti-6Al-2Sn-2Zr-2Mo, annealed

Silicon nitride (hot pressed)(5%MgO)

PET (30% glass fiber)

Nombre E[GPa] ρ [Kg/m3]

Sy^(1/2)/ρ ρ/Sy^(1/2) Precio [USD]

M10 Zirconia 205 5,80E+03 2,47E-03 4,05E+02 18,7-27

M11 TPO 1,51E+00 1,04E+03 1,18E-03 8,46E+02 3,8-4,39

M12 Espuma poliuretana

0,665 6,40E+02 1,27E-03 7,85E+02 9,04-15

Para estos materiales los espesores son

t10 0,00421144 m 0,421144 cm

t11 0,02164494 m 2,164494 cm

t12 0,02844951 m 2,844951 cm

Density (kg/m^3)10 100 1000 10000

Yo

un

g's

mo

du

lus (

GP

a)

1e-5

1e-4

0.001

0.01

0.1

1

10

100

1000

TPO (PP+EP(D)M, 10-20% mineral)

Polyurethane foam (rigid, closed cell, 0.6)

Zirconia (MgO / CaO stabilized)

Lithium, commercial purity, min 99.9%

SPS (40% carbon fiber)

Silicon

Nombre E[GPa] ρ [Kg/m3] Sy^(1/2)/ρ ρ/Sy^(1/2) Precio [USD]

M7 Litio 4 5,40E+02 3,70E-03 2,70E+02 63-108

M8 SPS 1,41E+02 1,25E+03 9,50E-03 1,05E+02 15-17

M9 Silicon 180 2,38E+03 5,64E-03 1,77E+02 9,12-15

En resumen se muestra en la siguiente tabla, los espesores con ambos índices varían, pero los

menores espesores son los metálicos. La otra consideración que se debe tener en cuenta es el

precio.

Nombre Sy[MPa] ρ [Kg/m3] Sy^(1/2)/ρ ρ/Sy^(1/2) Precio [USD] t [m] t[cm]

M1 PET 30%fibra vidrio 165 1,70E+03 7,56E-03 1,32E+02 2,93-3,49 0,0298481 2,98481003

M2 Titanio Ti-6Al-2Sn-2Zr-2Mo 1,22E+03 4,55E+03 7,68E-03 1,30E+02 25,6-28,1 0,01097688 1,09768758

M3 Nitruro de silicio 550 3,20E+03 7,33E-03 1,36E+02 35,3-53,9 0,01634848 1,63484778

Nombre Sy[MPa] ρ [Kg/m3] Sy^(1/2)/ρ ρ/Sy^(1/2) Precio [USD]

M4 PF(con celulosa) 44,8 1,42E+03 4,71E-03 2,12E+02 2,54-2,8 0,0572822 5,72821962

M5 Aleacion Al-Zn 4,45E+02 5,05E+03 4,18E-03 2,39E+02 2,46-2,7 0,01817518 1,81751775

M6 Alumina 242 4,03E+00 3,86E+00 2,59E-01 18,3-27,4 0,02464626 2,46462577

Nombre E[GPa] ρ [Kg/m3] E^(1/3)/ρ ρ/E^(1/3) Precio [USD]

M7 Litio 4 5,40E+02 2,94E-03 3,40E+02 63-108 0,07260982 7,260982

M8 SPS 1,41E+02 1,25E+03 4,16E-03 2,40E+02 15-17 0,022145 2,214500

M9 Silicon 180 2,38E+03 2,37E-03 4,22E+02 9,12-15 0,02041383 2,041383

Nombre E[GPa] ρ [Kg/m3] E^(1/3)/ρ ρ/E^(1/3) Precio [USD]

M10 Zirconia espuma 1,6 5,80E+03 2,02E-04 4,96E+03 18,7-27 0,09854669 9,854669

Density (kg/m^3)10 100 1000 10000

Yo

un

g's

mo

du

lus (

GP

a)

1e-5

1e-4

0.001

0.01

0.1

1

10

100

1000 SiliconSPS (40% carbon fiber)

Lithium, commercial purity, min 99.9%

M11 TPO termo plastico elastomero 1,51E+00 1,04E+03 1,10E-03 9,07E+02 3,8-4,39 0,10046691 10,046691

M12 Espuma poliuretana 0,665 6,20E+02 1,41E-03 7,10E+02 9,04-15 0,13205094 13,205094

Sin embargo los anteriores materiales fueron seleccionados con los índices por separado.

Ahora se necesita obtener materiales en conjunto que mejore las dos necesidades juntas.

Nuestro diseño exige la rigidez y esfuerzo al peso mínimo.

𝛿 =4𝐹𝐿3

𝐸𝑏𝑡3 𝜎 =

6𝐹𝐿

𝑏𝑡2

𝑡 = √6𝐹𝐿

𝜎𝑏

𝑡 = √4𝐹𝐿3

𝐸𝑏𝛿

3

Igualamos

√6𝐹𝐿

𝜎𝑏= √

4𝐹𝐿3

𝐸𝑏𝛿

3

𝐸 = 𝐶𝜎32

log 𝐸 =3

2log 𝜎 + 𝐶

𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 = 3/2

Con estos parámetros se genera el diagrama en el CES pero con la consideración de que se va a

utiliza el modulo de elasticidad especifico y la resistencia a la tracción especifica como se

muestra en la figura de abajo con la pendiente que se acaba de obtener de 3/2.

Entonces sobre la línea que se escogió (entre los valore más bajos obtenidos en las tablas

anteriores en x: 4.71e-3 y en y 2.02e-3 ) se muestra que las maderas están en la línea de

diseño, además los metales impregnados con carbono.

Otro grupo que no se consideró anteriormente son los compuestos sándwich.

Tensile strength / Density1e-4 0.001 0.01 0.1 1

Yo

un

g's

mo

du

lus /

De

nsit

y

1e-7

1e-6

1e-5

1e-4

0.001

0.01

0.1

Tensile strength / Density1e-4 0.001 0.01 0.1 1

Yo

un

g's

mo

du

lus /

De

nsit

y

1e-7

1e-6

1e-5

1e-4

0.001

0.01

0.1Metal impregnated carbon

Balsa (t) (ld)

Alumina foam (92%)(0.61)

Zirconia foam (partly stabilized)(1.27)

Metales

Maderas

Honeycombs