Un vector (A) una magnitud fsica caracterizable mediante un mdulo y una direccin (u
orientacin) en el espacio. Todo vector debe tener un origen marcado (M) con un punto y
un final marcado con una flecha (N), tal como lo muestra la figura N 3.1
Figura N 1. Vector
De un modo ms formal y abstracto, un vector es una magnitud fsica tal que, una vez
establecida una base, se representa por una secuencia de nmeros o componentes
independientes tales que sus valores sean relacionables de manera sistemtica e inequvoca
cuando son medidos en diferentes sistemas de coordenadas.
Los vectores se pueden representar geomtricamente como segmentos de recta dirigidos o
flechas en planos o ; es decir, bidimensional o tridimensional.
DEFINICIN
MAGNITUD ESCALAR
Es una cantidad que est especificada con la unidad apropiada y no tiene direccin. Ejm:
masa, tiempo, rapidez, trabajo, energa, volumen, rea, distancia recorrida, entre otros.
MAGNITUD VECTORIAL
Cantidad fsica que est especificada por un nmero y las unidades apropiadas ms una
direccin. Ejm: velocidad, desplazamiento, fuerza, cantidad de movimiento, entre otras.
A y B son iguales si tienen la misma magnitud y la misma direccin tal como se
muestra en la figura N 3.2
Figura N 3.2 Vectores A y B iguales.
3.4.2 Conmutativo
A+B = B+A
3.4.3 Asociativo
A+(B+C) = (A+B)+C
3.4.4 Negativo de un vector
El negativo del vector A se define como el vector que al sumarse a A da como
resultado cero.
A+(-A) = 0
3.4.5 Multiplicacin de un escalar por un vector
Si el vector A se multiplica por una cantidad escalar m, entonces el m producto mA
tiene la misma direccin de A y la magnitud mA.
m = A = (Ax,Ay, Az)
PROPIEDADES DE LOS VECTORES
Igualdad de dos vectores
mA= *(Ax,Ay, Az)
mA= ( Ax, Ay, Az)
Son las proyecciones de un vector a lo largo de los ejes de un sistema coordenado. En
la figura N 3.3 se muestra la el vector A en sus componentes rectangulares; donde Ax
es la proyeccin del vector A sobre el eje x y Ay es la proyeccin del vector A sobre el
eje y
Figura N 3.3 Componentes rectangulares del vector A
Dados dos o ms vectores como se muestra en la figura 3.4 y se requiere determinar el
vector suma R; este mtodo grfico consiste en colocar un vector cualquiera, a partir
del mismo se le traza a partir de su punta de flecha otro vector, y as sucesivamente
COMPONENTES DE UN VECTOR EN EL PLANO
Los trminos i y j son vectores unitarios , lo cuales su magnitud es igual a la unidad
, estos solo indican direccin (no tienen otro significado fsico). Generalmente el
vector unitario est asociado al eje de las x y el vector j esta asociado al eje y.
SUMA DE VECTORES EN EL PLANO
Mtodo Grfico
haber graficado todos los vectores que se requieran sumar; luego, el vector suma
resultante R (A+B+C+D), es el vector trazado desde el origen del primer vector
graficado hasta la punta de flecha del ltimo vector (Vase la figura N 3.5).
Este mtodo requiere del uso de escuadras y transportador, por lo que el estudiante
debe tener la destreza requerida para operar estos instrumentos de dibujo, de lo
contrario, la suma le saldr errada.
Figura N 3.4 Vectores libres que se van a sumar
Figura N 3.5 Vector suma R obtenido mediante el mtodo grfico.
medio de la ley del seno y coseno. Aqu hay una limitante, y es que permite sumar slo
dos vectores de manera directa.
Paralelogramo: Vase figura N 3.6 que R es el vector suma de A + B, dichos
vectores componentes forman un ngulo , por lo que se aplica la ley del coseno en
su segunda expresin:
Mtodo Trigonomtrico
Este mtodo consiste en el anlisis de un tringulo no rectngulo (generalmente), por
(1)
Figura N 3.6 Paralelogramo formado por los vectores componentes A y B
Note, que el paralelogramo est formado por dos tringulos, por tanto, tambin se
puede analizar cualquiera de ellos. Suponga que se quiere el estudio del tringulo A-
B-R tal como lo muestra la figura N 3.7
Figura N 3.7 Anlisis del tringulo A-B-R
Por ley del Seno:
(2)
Por ley del coseno (en su primera forma):
(3)
(4)
(5)
se deseen sumar de manera directa. Slo se necesita tener la informacin completa de
cada vector con respecto a un sistema de referencia (plano cartesiano)
El mtodo consiste en descomponer cada vector en los ejes x e y, para luego sumar
las componentes en x y aparte las componentes en y. Luego obtener la resultante
mediante el teorema de Pitgoras.
La descomposicin se puede realizar de diversas formas, aqu se explica una de ellas:
Se requiere conocer el ngulo que forma cada vector con el eje x+ de manera
antihoraria. Para ello se anexa en la figura N 3.8 el valor de los ngulos de cada
cuadrante del sistema cartesiano.
Figura N 3.8 ngulos de los cuadrantes del sistema cartesiano
Luego se proyecta cada vector sobre los ejes cartesianos tal como se muestra en la
figura N 3.9. Se escogi arbitrariamente sumar tres vectores
Mtodo Analtico (componentes rectangulares)
Este mtodo es el ms utilizado ya que no tiene lmites en la cantidad de vectores que
Figura N 3.9 Descomposicin de cada vector sobre los ejes cartesianos
Se identifica el ngulo que forma el vector A con el eje x+. En este caso el valor est
directo y no es mas que
Se identifica el ngulo que forma el vector B con el eje x+. En este caso el valor no
est directo y hay que determinarlo, el ngulo es:
180-
Se identifica el ngulo que forma el vector C con el eje x+. En este caso el valor no
est directo y hay que determinarlo, el ngulo es:
270-
El valor de cada componente en x va ser la magnitud del vector por el coseno del
ngulo que forma con el eje x+. No se preocupe por el signo del sentido, este se lo
da la calculadora la cual debe estar en modo DEG si se est realizando los
clculos con los ngulos en grados
El valor de cada componente en y va ser la magnitud del vector por el seno del
ngulo que forma con el eje x+. No se preocupe por el signo del sentido, este se lo
da la calculadora la cual debe estar en modo DEG si se est realizando los
clculos con los ngulos en grados
Luego se calcula la resultante en x Rx que no es ms que la suma algebraica de
cada componente en x de los vectores
Luego se calcula la resultante en x Rx que no es ms que la suma algebraica de
cada componente en x de los vectores
Se escribe el vector resultante R en su forma vectorial
Se obtiene la magnitud |R| mediante el teorema de Pitgoras:
(6)
Se obtiene la direccin () con respecto al eje x sea en sentido positivo o negativo
mediante la funcin trigonomtrica tangente inversa.
(7)
agrega una nueva direccin. En la figura N 3.10 se muestra un esquema de un vector
en el espacio.
Figura N 3.10 Esquema de un vector en el espacio.
Donde:
x, y y z son los ngulos directores del vector A con respecto a cada uno de los ejes
coordenados. Por ello, se dice que cos x, cos y y cos z son los cosenos directores; y
representan los vectores unitarios (x, y, z)
(8)
COMPONENTES DE UN VECTOR EN EL ESPACIO
Las componentes son muy parecidas las ya explicadas en el plano, slo que ahora se
(9)
Al momento de realizar un ejercicio prctico, es posible verificar si se cumple la
igualdad de la ecuacin (8) o (9) de manera de estar seguro si existen errores en los
clculos o si el procedimiento est mal efectuado.
El mtodo que se utiliza es el de las componentes rectangulares ya explicado
anteriormente en la suma de vectores en el plano. Sin embargo, a continuacin se
muestra las expresiones matemticas para el clculo de la magnitud y direccin de la
resultante.
(10)
(11)
(12)
(13)
PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES
Definicin
El producto escalar de dos vectores en un espacio eucldeo se define como el
producto de sus mdulos por el coseno del ngulo que forman. En la figura N 3.11 se
muestran dos vectores que van a ser multiplicados escalarmente conociendo el ngulo que
forman entre ellos. El resultado es siempre una magnitud escalar. Se representa por un
punto centrado ().
SUMA DE VECTORES EN EL ESPACIO
(14)
Conmutativa
Distributiva respecto a la suma vectorial:
Asociativa respecto al producto por un escalar m:
Si los vectores son perpendiculares (A B) su producto escalar es nulo (cos 90 =
0), y viceversa.
(15)
En particular, para los vectores unitarios cartesianos tenemos:
Siendo esta definicin de naturaleza puramente geomtrica, es independiente del
sistema de coordenadas elegido. El producto escalar de dos vectores es un nmero (escalar)
y, si ninguno de los vectores es nulo, dicho producto ser un nmero positivo, nulo o
negativo, segn que el ngulo formado por los dos vectores (0) sea agudo, recto u
obtuso.
Propiedades del producto escalar
(16)
(17)
Figura N3.12 Proyeccin del Vector A en la direccin de B
(18)
Proyeccin escalar de un vector sobre otro (A/B).
Puesto que A cos representa el mdulo de la proyeccin del vector A sobre la direccin
del vector B, tal como lo muestra la figura N 3.12
ngulo () formado por dos vectores
De la ecuacin (14) se tiene que:
Expresin analtica del producto escalar:
El producto escalar de dos vectores es igual a la suma de los productos de las componentes
cartesianas rectangulares correspondientes.
Si los vectores A y B se expresan en funcin de sus componentes cartesianas rectangulares:
A=Ax i+ Ay j+ Az k, y B=Bx i+ By j+ Bz k; en base a las propiedades anteriores se tiene que:
Figura N 3.11 Producto vectorial de dos vectores A y B
Sean dos vectores A y B en el espacio vectorial 3. El producto vectorial entre y da como
resultado un nuevo vector C. Este nuevo vector est dado por la siguiente expresin:
Sean A = Ax i + Ay j + Az k y B = Bx i + By j + Bz k y dos vectores concurrentes de :
(20)
(19)
donde es el vector unitario y perpendicular a los vectores A y B y su direccin est dada
por la regla de la mano derecha y es, como antes, el ngulo entre A y B.
Producto escalar de dos vectores
PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES
Definicin
En lgebra lineal, el producto vectorial es una operacin entre dos vectores que da como
resultado un vector perpendicular a los dos vectores originales, tal como se muestra en la
figura N 3.11. Con frecuencia se lo denomina tambin producto cruz, pues se lo denota
mediante el smbolo x.
Se debe tener cuidado al momento de llenar el determinante, ya que se debe colocar en la
segunda fila del mismo, las componentes del vector que est a la izquierda de la cruz (x), en
este caso: A. En la primera fila siempre van a estar los vectores unitarios ijk
(21)
A x B = - (B x A), (anticonmutatividad)
Si A 0 y B 0, entonces A y B son paralelos siempre que:
(22)
Distributiva:
(23)
3.8.4 rea del paralelogramo
En base a la figura N 3.12, el rea del paralelogramo formada por dos vectores A y B es el
mdulo o magnitud del producto vectorial entre ellos:
Figura N 3.12 rea del paralelogramo formada por dos vectores A y B
(24)
Propiedades
Cualesquiera que sean los vectores A, B y C:
Se A un vector de coordenadas A = Ax i + Ay j + Az k; para graficarlo en un sistema R3 se
deben realizar los siguientes pasos:
Se indica cada coordenada del vector sobre el sistema de referencia tal como se
muestra en la figura N 3.13
Figura N 3.13 Coordenadas del vector A en el sistema coordenado xyz.
Se grafica un punto en el plano xz que representa el piso, para ello apartir de la
coordenada x se traza una paralela al eje z, y a partir de la coordenada z se traza una
paralela al eje x; en la interseccin de dichas rectas se encuentra el punto en el
plano, tal como se muestra en la figura N 3.14
Figura N 3.14 Punto en el piso del vector A
GRAFICAR UN VECTOR EN R3 ( EN TRES DIMENSIONES)
Luego se proyecta el punto anterior al espacio, trazando a partir del punto piso
una paralela al eje y, luego a partir de la coordenada y se traza una paralela al eje
x o z (en este caso se traz paralela al eje x), donde se intercepten ambas rectas, all
est el punto en el espacio, tal como se muestra en la figura N 3.15.
Figura N 3.15 Proyeccin de las coordenadas del vector A en el espacio
Luego se grafica el vector A, trazando una recta desde el origen del sistema
coordenado hasta el punto en el espacio, tal como se muestra en la figura N 3.16.
Figura N 3.16 Vector A graficado en el sistema R3
a) D= 2A 4B
b) Hallar el rea del paralelogramo formado por B y C
De la ecuacin (23):
Se calcula el producto vectorial entre B y C en base a la ecuacin (20)
Se calcula la magnitud del vector B x C en base a la ecuacin (10). Considerando
B x C = D
c) Hallar un vector paralelo a A cuya magnitud sea igual a 7
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Dado los siguientes vectores A (-2i+4j-k); B(3i-2j+4k); C (i+5j-2k), calcular:
La magnitud de dicho vector es 7, solo faltara direccionarlo. Un vector paralelo a
A, es su vector unitario. Para ello se necesita calcular la magnitud del vector A en
base a la ecuacin
Se calcula la magnitud del vector A en base a la ecuacin (10)
Luego se divide cada componente del vector A entre la magnitud de dicho vector para as
calcular el vector unitario :
Del resultado anterior, se nota que cada componente del vector unitario () es menor a la
unidad. Luego se multiplica el vector unitario por la magnitud del vector paralelo que lo
vamos a denotar como P
d) Hallar el ngulo entre los vectores A y C
Se calcula las magnitudes tanto del vector A como del vector C. ya se calcul
previamente el mdulo de A.
Luego se calcula el producto escalar entre A y C, en base a la ecuacin (16)
Se calcula el ngulo mediante la ecuacin (17)
2. Dos vectores de 5 y 8 unidades de longitud forman entre s un ngulo de 45,
determinar la magnitud del vector resultante y direccin respecto al ms pequeo.
Se elabora un diagrama del problema en estudio:
Se calcula la magnitud de la resultante R mediante la ecuacin (1). El ngulo que
forman los dos vectores componentes es 45.
Se calcula el ngulo mediante la ley de los cosenos
Al despejar el ngulo :
Luego por ley de los senos, se calcula el ngulo (que es el ngulo que forma la
resultante R con el vector de 5 unidades).
Resolviendo para :
3. Determinar la magnitud y direccin de la resultante del sistema mostrado:
Se determinan los ngulos que forman cada vector con el eje x positivo. En caso
del vector A, el ngulo est directo y tiene un valor de 20. En caso del vector B, se
da el ngulo que forma con el eje y negativo, por tanto, el ngulo con respecto al eje
x positivo sera 270-30 = 240; sin embargo es posible decir: 90 + 30 = 120, en
este caso sera -120 ya que se mide en forma horaria.
Se calculan las componentes rectangulares del vector A
Se calculan las componentes rectangulares del vector B. Se utilizar para este caso
240
Se calcula Rx:
Se calcula Ry:
Se escribe el vector R en sus componentes rectangulares:
Se calcula la magnitud de la resultante mediante la ecuacin (6)
Se calcula la direccin del vector resultante mediante la ecuacin (7)
Se grafica el vector resultante sobre el sistema cartesiano:
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