Copyright © Lasse Alfredsson, LiU
Kap 5 – z-transformanalys av tidsdiskreta system
1 TSDT18,84 SigSys
Utsignalsberäkning m.h.a. z-transformen y[n] = yzs[n] = H{x[n]}|Energifritt system x[n] LTI
yzs[n] kan beräknas ”enkelt”, tack vare linjäritetsegenskapen:
x n⎡⎣ ⎤⎦ = a1x1 n⎡⎣ ⎤⎦ + a2x2 n⎡⎣ ⎤⎦ + a3x3 n⎡⎣ ⎤⎦ +! ⇒
ym=H{xm }y n⎡⎣ ⎤⎦ = a1y1 n⎡⎣ ⎤⎦ + a2y2 n⎡⎣ ⎤⎦ + a3y3 n⎡⎣ ⎤⎦ +!
x n⎡⎣ ⎤⎦ = x m⎡⎣ ⎤⎦δ n −m⎡⎣ ⎤⎦
m=−∞
∞
∑ ⇒ y n⎡⎣ ⎤⎦ = x n⎡⎣ ⎤⎦ ∗h n⎡⎣ ⎤⎦ = x m⎡⎣ ⎤⎦h n −m⎡⎣ ⎤⎦m=−∞
∞
∑
Andra lämpliga linjärkombinationer, för vilka H{xm[n]} är lätta att beräkna?
xm n⎡⎣ ⎤⎦ = zm( )n
Tidsdomän-lösning (kap. 3; xm[n] = δ [n‒m] ):
H zm⎡⎣ ⎤⎦ = Z h z⎡⎣ ⎤⎦{ } z=zm zm = rm ⋅e
jΩm = H zm⎡⎣ ⎤⎦ zm( )
n
⇒ ym n⎡⎣ ⎤⎦ = zm( )n∗h n⎡⎣ ⎤⎦
= zm( )n−k h k⎡⎣ ⎤⎦
k=−∞
∞
∑ = h k⎡⎣ ⎤⎦ zm( )−k
k=−∞
∞
∑⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ zm( )n
Copyright © Lasse Alfredsson, LiU
Kap 5 – z-transformanalys av tidsdiskreta system
2 TSDT18,84 SigSys
Utsignalsberäkning m.h.a. z-transformen
x n⎡⎣ ⎤⎦ = X zm⎡⎣ ⎤⎦ ⋅ zm( )n
m∑ ⇒ y n⎡⎣ ⎤⎦ = X zm⎡⎣ ⎤⎦ ⋅H zm⎡⎣ ⎤⎦ zm( )n
m∑Dvs:
Summera, längs en sluten cirkel C, över ett kontinuum av komplexvärda z :
x n⎡⎣ ⎤⎦ =
12π j
X z⎡⎣ ⎤⎦ ⋅zn−1dz
C!∫ ⇒ y n⎡⎣ ⎤⎦ =
12π j
X z⎡⎣ ⎤⎦ ⋅H z⎡⎣ ⎤⎦zn−1dz
C!∫
Identifiera/definiera: x n⎡⎣ ⎤⎦ = Z
−1 X z⎡⎣ ⎤⎦{ } ⇒ y n⎡⎣ ⎤⎦ = Z−1 Y z⎡⎣ ⎤⎦{ }
⇒ Y z⎡⎣ ⎤⎦ = X z⎡⎣ ⎤⎦H z⎡⎣ ⎤⎦
Y z⎡⎣ ⎤⎦ = Z y n⎡⎣ ⎤⎦{ },X z⎡⎣ ⎤⎦ = Z x n⎡⎣ ⎤⎦{ }H z⎡⎣ ⎤⎦ = Z h n⎡⎣ ⎤⎦{ }⎧⎨⎪
⎩⎪
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
y[n] = yzs[n] = H{x[n]}|Energifritt system x[n] LTI
=am ∈!"#$ %$
=xm m⎡⎣ ⎤⎦!"#
=am!"# $#
=ym m⎡⎣ ⎤⎦! "## $##
Copyright © Lasse Alfredsson, LiU
Kap 5 – z-transformanalys av tidsdiskreta system
3 TSDT18,84 SigSys
Utsignalsberäkning m.h.a. z-transformen
h[n], H[z]
Energifritt LTI-system x n⎡⎣ ⎤⎦ y n⎡⎣ ⎤⎦ = x n⎡⎣ ⎤⎦ ∗h n⎡⎣ ⎤⎦
(y0[n] = 0)
X z⎡⎣ ⎤⎦
Z −1
Z
Ofta ”lättare” att gå via transformdomänen än att falta:
x n⎡⎣ ⎤⎦ →Z
X z⎡⎣ ⎤⎦ → Y z⎡⎣ ⎤⎦ = X z⎡⎣ ⎤⎦H z⎡⎣ ⎤⎦ →Z −1y n⎡⎣ ⎤⎦
H z⎡⎣ ⎤⎦ !Y z⎡⎣ ⎤⎦X z⎡⎣ ⎤⎦ Energifritt
system
LTI-systemets systemfunktion: (”transfer function”)
H[z] (behöver bara beräknas en gång!)
Y z⎡⎣ ⎤⎦ = X z⎡⎣ ⎤⎦H z⎡⎣ ⎤⎦
Z −1
Z
Copyright © Lasse Alfredsson, LiU
Kap 5 – z-transformanalys av tidsdiskreta system
4 TSDT18,84 SigSys
Utsignalsberäkning m.h.a. z-transformen Repetera själv z-transformen & dess egenskaper ‒ se kap. 5.1‒5.2:
• Dubbelsidig (”bilateral”) z-transform: X z⎡⎣ ⎤⎦ = Z x n⎡⎣ ⎤⎦{ } = x n⎡⎣ ⎤⎦z−n
n=−∞
∞
∑
Om kausal funktion/signal ⟹ • Enkelsidig (”unilateral”) z-transform:
X z⎡⎣ ⎤⎦ = Z x n⎡⎣ ⎤⎦{ } = x n⎡⎣ ⎤⎦z−n
n=0
∞
∑• z-transformen är bara entydigt definierad tillsammans med angivet konvergensområde (”ROC, Region Of Convergence”):
z > R0• Kausal x[n], dvs. x[n < 0] = 0:
z < R1• Antikausal x[n], dvs. x[n ≥ 0] = 0: R0 < z < R1
• Generellt x[n], dvs. x[n] ≠ 0 för både n ≥ 0 och n < 0:
x n⎡⎣ ⎤⎦ = Z
−1 X z⎡⎣ ⎤⎦{ } = 12π j X z⎡⎣ ⎤⎦zn−1dz
C!∫• Invers z-transform:
• Beteckning, transformpar: x n⎡⎣ ⎤⎦ ⇔ X z⎡⎣ ⎤⎦
Copyright © Lasse Alfredsson, LiU
Kap 5 – z-transformanalys av tidsdiskreta system
5 TSDT18,84 SigSys
Beräkning av y[n] vid differensekvationsbeskrivning av systemet
Antag kausal insignal till kausalt system ⟹ enkelsidiga transformer :
Q D( )y t( ) = P D( )x t( )
⇒ Y s( ) =Y0 s( )+ X s( ) ⋅H s( )
⇒ y t( ) = y0 t( ) + x t( )∗h t( )( )
Tidskoninuerligt system Tidsdiskret system
Q E⎡⎣ ⎤⎦y n⎡⎣ ⎤⎦ = P E⎡⎣ ⎤⎦ x n⎡⎣ ⎤⎦
Skriv om på negativ form, y[n‒k]
dy t( )dt
⇔L
sY s( )− y 0−( ) osv. y n −1⎡⎣ ⎤⎦ ⇔Z
z−1Y z⎡⎣ ⎤⎦ − y −1⎡⎣ ⎤⎦ osv.
där H s( ) = P s( )Q s( ) =
bN− jsj
j=0
M
∑
aN−isi
i=0
N
∑
⇒ Y z⎡⎣ ⎤⎦ =Y0 z⎡⎣ ⎤⎦+ X z⎡⎣ ⎤⎦ ⋅H z⎡⎣ ⎤⎦
där H z⎡⎣ ⎤⎦ =P z⎡⎣ ⎤⎦Q z⎡⎣ ⎤⎦
=bN− jz
j
j=0
M
∑
aN−izi
i=0
N
∑
⇒ y n⎡⎣ ⎤⎦ = y0 n⎡⎣ ⎤⎦ + x n⎡⎣ ⎤⎦ ∗h n⎡⎣ ⎤⎦( )
y n −1⎡⎣ ⎤⎦u n⎡⎣ ⎤⎦( )
1
4
5
3
2
Copyright © Lasse Alfredsson, LiU
Kap 5 – z-transformanalys av tidsdiskreta system
6 TSDT18,84 SigSys
Stabilitet (extern) ‒ för LTI-system
Stabilt LTI-system ⟺ jω -axeln ligger i konvergensområdet för H(s)
Tidskontinuerligt system Tidsdiskret system
Stabilt LTI-system ⟺ enhetscirkeln ligger i konvergensområdet för H[z]
Marginellt stabilt LTI-system ⟺ • Enkelpol(er) hos H(s) på jω -axeln • jω -axeln = en rand till konvergensområdet • Antal poler ≥ Antal nollställen (egentligen #P≥#N−1)
Instabilt LTI-system ⟺ • jω -axeln ligger inte i konvergensområdet eller • Multipelpol(er) på jω -axeln, som utgör en rand till konvergensområdet
Marginellt stabilt LTI-system ⟺ • Enkelpol(er) hos H[z] på enhetscirkeln • Enhetscirkeln = en rand till konvergensområdet
Instabilt LTI-system ⟺ • Enhetscirkeln ligger inte i konvergensområdet eller • Multipelpol(er) på enhetscirkeln, som utgör en rand till konvergensområdet
Bivillkor, H(s): Antal poler ≥ Antal nollställen Antal poler ≥ Antal nollställen hos H[z] är inte nödvändigt för stabilitet − men för kausalitet!
Copyright © Lasse Alfredsson, LiU
Kap 5 – z-transformanalys av tidsdiskreta system
7 TSDT18,84 SigSys
Samma typ av blockdiagram & direktformsrealiseringar som för tidskontinuerliga LTI-system!
Blockdiagram & Systemrealisering
Från info om viktning av kurslitteraturen (se kurswebbsidan, Allmän kursinfo): ” Du behöver inte lära dig de olika realisationsformerna (direktformerna). Du behöver bara kunna utföra någon slags realisering av (del-)system av högst ordning 2. Exempel 4.19 på sid. 403-404 (tidskontinuerligt system) och Exempel 5.8 på sid. 526-528 (tidsdiskret system) är bra exempel på vilka typer av realiseringar du skall kunna hantera (i valfri direktform).”
( ) ( )1t
x d X ss
τ τ−∞
⇔∫
Tidskontinuerligt system
[ ] [ ]11x n X zz
− ⇔
Tidsdiskret system
Läs själv kap. 5.4! Copyright © Lasse Alfredsson, LiU
Kap 5 – z-transformanalys av tidsdiskreta system
8 TSDT18,84 SigSys
Frekvenssvar/frekvensfunktion för LTI-system
H es0t{ } = H s0( )es0t
Tidskontinuerligt system Tidsdiskret system
H z0
n{ } = H z0⎡⎣ ⎤⎦z0n
⇒
s= jωH e jω0t{ } = H jω0( )e jω0t ⇒
z=e jΩ
H e jΩ0n{ } = H e jΩ0⎡⎣ ⎤⎦e jΩ0n
x t( ) = C + Acos ω0t +θ( )
x n⎡⎣ ⎤⎦ = C + Acos Ω0n +θ( )
⇒ y t( ) = C ⋅H j0( ) + A H jω0( ) cos ω0t +θ + argH jω0( )( )
⇒ y n⎡⎣ ⎤⎦ = C ⋅H e
j0⎡⎣
⎤⎦ + A H e
jΩ0⎡⎣
⎤⎦ cos Ω0n +θ + argH e
jΩ0⎡⎣
⎤⎦( )
C = e j0t , cosα = Re e jα{ } medför följande samband :
Copyright © Lasse Alfredsson, LiU
Kap 5 – z-transformanalys av tidsdiskreta system
9 TSDT18,84 SigSys
Frekvenssvar/frekvensfunktion för LTI-system Systemets frekvensfunktion:
H ω( ) = H s( )s= jω
= H jω( )( )= H ω( ) e j argH ω( )
Faskarakteristik resp.
Amplitudkarakteristik resp. H ω( )
argH ω( )med
H Ω⎡⎣ ⎤⎦ alt. H jω( ) resp. H e jΩ⎡⎣⎢⎤⎦⎥
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
argH Ω⎡⎣ ⎤⎦, ∠H
alt. argH jω( ) resp. argH ejΩ⎡⎣ ⎤⎦( )
Även det tidsdiskreta LTI-systemet utför en frekvensselektiv filtrering (amplitudskalning och fasförskjutning) av inkommande frekvenssignaler!
H Ω⎡⎣ ⎤⎦ = H z⎡⎣ ⎤⎦ z=e jΩ = H ejΩ⎡
⎣⎤⎦( )
= H Ω⎡⎣ ⎤⎦ ej argH Ω⎡⎣ ⎤⎦
Copyright © Lasse Alfredsson, LiU
Kap 5 – z-transformanalys av tidsdiskreta system
10 TSDT18,84 SigSys
H Ω0⎡⎣ ⎤⎦ = H z⎡⎣ ⎤⎦ z=e jΩ0 =
K ⋅e jΩ0 − n1( ) e jΩ0 − n2( )! e jΩ0 − nM( )e jΩ0 − p1( ) e jΩ0 − p2( )! e jΩ0 − pN( ) = K ⋅
r1ejφ1 ⋅ r2e
jφ2 ⋅!⋅ rMejφM
d1ejθ1 ⋅d2e
jθ2 ⋅!⋅dNejθN
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
|H[ejΩ]| & arg H[ejΩ] från pol-nollställediagram
K r2
φ2
r1 φ1
r3φ3
d3θ3
θ2
d2
Låt Ω0 : 0 ⟶ π
d1θ1
H Ω0⎡⎣ ⎤⎦ ej argH Ω0⎡⎣ ⎤⎦
K ⋅
r1 ⋅ r2 ⋅!⋅ rMd1 ⋅d2 ⋅!⋅dN
argK + φ1 +φ2 +!+φM( )− θ1 +θ2 +!+θN( )
•
Re{
z}
Im{z}
1‒1
‒j
j
Ω0
Exempel:
0je Ω
Copyright © Lasse Alfredsson, LiU
Kap 5 – z-transformanalys av tidsdiskreta system
11 TSDT18,84 SigSys
Tidsdiskreta frekvensselektiva filtertyper Lågpass (LP) Högpass (HP)
Bandspärr (BS) Bandpass (BP)
Ω
|H[Ω]| 1
π Ωp 2π Ω
|H[Ω]| 1
π Ωp 2π
Ω
|H[Ω]| 1
π Ωp1 2π Ωp2 Ω
|H[Ω]| 1
π Ωp1 2π Ωp2
θ1 0.5 θp
( |H[θ]| )
θ1 0.5 θp
( |H[θ]| )
θ1 0.5 θp1 θp2
( |H[θ]| )
θ1 0.5 θp1 θp2
( |H[θ]| )
Copyright © Lasse Alfredsson, LiU
Kap 5 – z-transformanalys av tidsdiskreta system
12 TSDT18,84 SigSys
Exempel ‒ poler & nollställen för LP-filter
Ωp,röd π Ω
1
12
T.ex. butterworthfilter ‒ poler hos H(s) längs en halvcirkel:
[ ]ΩHRe{z}
Im{z}
1‒1
‒j
j
(4)
Poler & nollställen hos H[z]:
jωp
–jωp
⟵ 3 dB-gränsvinkel- frekvensen
Ωp,blå Ωp: normerad 3 dB-gränsvinkelfrekvens θ0.5 θp,blåθp,röd
Ωp
Copyright © Lasse Alfredsson, LiU
Kap 5 – z-transformanalys av tidsdiskreta system
13 TSDT18,84 SigSys
• Om x[n] är icke-kausal ( x[n
Top Related