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IntroducciónEstimación por intervalos

Método de construcción de intervalos de confianzaIntervalos de confianza para una población normal

Intervalos de confianza para dos poblaciones normales e independientesIntervalos de confianza para proporciones

Estimación por intervalos

Estadística II

Universidad de Salamanca

Curso 2011/2012





Outline1 Introducción2 Estimación por intervalos3 Método de construcción de intervalos de confianza4 Intervalos de confianza para una población normal

Para la media poblacionalPara la varianza poblacional

5 Intervalos de confianza para dos poblaciones normales eindependientes

Intervalos de confianza para la diferencia de mediaspoblacionalesIntervalos de confianza para el cociente de varianzas

6 Intervalos de confianza para proporcionesPara una muestra con n > 20Para dos muestras: p1 − p2





Introducción

En el tema anterior hemos visto métodos de estimación queasignan al valor desconocido del parámetro un valor concreto

En este tema, nuestro objetivo es obtener un intervalo en elque se encuentren los valores que podrán ser considerados“razonables” para ese parámetro. Lo que denominamosintervalos de confianza






DefiniciónSea X una v. a. cuya función de densidad es fX (x , θ), quedepende de una parámetro θ (desconocido)

Los estadísticos TI = TI(X1, . . . ,Xn) y TS = TS(X1, . . . ,Xn) (nodependen de θ) forman un intervalo de confianza para θ anivel de confianza 1− α ⇒

Pθ[TI ≤ θ ≤ TS] = 1− α

NotaPara (x1, . . . , xn) una muestra concreta, TI y TS son valoresconcretos






Propiedades

TI y TS son estimadores por defecto y por exceso de θ

El nivel de confianza, la fiabilidad de la estimación, 1− αse da en %

Longitud del intervalo L = TS − TI

Precisión L2 . A mayor L menor precisión. Para hayar el I.C.

fijado el nivel de confianza, busco el intervalo de longitudmínima





Método de construcción de intervalos de confianza:Método del pivote

El método del pivote

Sea X fX (x , θ) una v. a. y una m.a.s de tamaño n.Un pivote es un estadístico T = T (X1, . . . ,Xn, θ) que verifica:

Depende de la muestra y del parámetroSu distribución no depende de θ y es conocidaPara una muestra concreta, T es estrictamente monótonoen θLa solución de θ en la ecuación T (x1, . . . , xn, θ) = t esúnica

P[a ≤ Pivote ≤ b] = 1− α






Para la media poblacional µ, con σ conocida

Pivote

X − µσ√n N(0,1)

El intervalo de mínima longitud para una N(0,1) es simétricorespecto a 0 dejando colas de α

2 cada una

P

[−zα

2≤ X − µ

σ√n≤ zα

2

]= 1− α






Para la media poblacional µ, con σ conocida

Intervalo de confianza[X − zα

2

X − µσ√n,X + zα

2

X − µσ√n

]

Cálculo de zα2

P[Z ≤ zα

2

]= 1− α

2Buscamos en las tablas de la N(0,1)






Para la media poblacional µ, con σ desconocida

Pivote

X − µSc√

n

tn−1

El intervalo de mínima longitud para una t es simétricorespecto a 0 dejando colas de α

2 cada una

P

[−tα

2≤ X − µ

Sc√n

≤ tα2

]= 1− α







Intervalo de confianza[X − tα

2

Sc√n,X + tα

2

Sc√n

]

Cálculo de tα2

P[tn−1 ≤ tα

2

]= 1− α

2Buscamos en las tablas de la t de Student







NotaSabemos que:

n.S2X = (n − 1)S2

c ⇒SX√n − 1

=Sc√

n

Entonces, podemos considerar como Pivote

X − µSX√n−1

tn−1






Para la varianza poblacional con µ desconocido

Pivote

n.S2X

σ2 χ2n−1

El intervalo de mínima longitud para una χ2 es el que dejacolas de α

2 cada una

P

[n.S2

Xb≤ σ2 ≤

n.S2X

a

]= 1− α






Para la varianza poblacional con µ desconocido

Intervalo de confianza

[n.S2

Xb

,n.S2

Xa

]donde:

a = χ2n−1

(α2

)b = χ2

n−1

(1− α

2

)





Intervalos de confianza para la diferencia de medias poblacionalesIntervalos de confianza para el cociente de varianzas











Intervalos de confianza para la diferencia de mediaspoblacionales con σ1 y σ2 conocidas

Sean X1 N(µ1, σ1) y X2 N(µ2, σ2)

x11, . . . , x1n1 una m.a.s de X1

x21, . . . , x2n2 una m.a.s de X2






Intervalos de confianza para la diferencia de mediaspoblacionales con σ1 y σ2 conocidas

Pivote

(X1 − X2)− (µ1 − µ2)√σ2

1n1

+σ2

2n2

N(0,1)


(X1 − X2)− zα2

√σ2

1n1

+σ2

2n2, (X1 − X2) + zα

2

√σ2

1n1

+σ2

2n2






Intervalos de confianza para la diferencia de mediaspoblacionales con σ1 = σ2 = σ desconocidas


x11, . . . , x1n1 una m.a.s de X1

x21, . . . , x2n2 una m.a.s de X2







Pivote

(X1 − X2)− (µ1 − µ2)

S.√

1n1

+ 1n2

tn1+n2−2

S =

√n1.S2

X1+ n2.S2

X2

n1 + n2 − 2








(X1 − X2)− tα2.

√σ2

1n1

+σ2

2n2, (X1 − X2) + tα

2

√σ2

1n1

+σ2

2n2






Intervalos de confianza para la diferencia de mediaspoblacionales con σ1 y σ2 desconocidas


x11, . . . , x1n1 una m.a.s de X1

x21, . . . , x2n2 una m.a.s de X2







Pivote

(X1 − X2)− (µ1 − µ2)√S2

c1n1

+S2

c2n2

tφ

φ =

(S2

c1n1

+S2

c2n2

)2

(S2

c1n1

)2

n1−1 +

(S2

c2n2

)2

n2−1








(X1 − X2)− tα2.

√S2

c1

n1+

S2c2

n2, (X1 − X2) + tα

2

√S2

c1

n1+

S2c2

n2






Intervalos de confianza para el cociente devarianzas σ2

2σ2

1


x11, . . . , x1n1 una m.a.s de X1

x21, . . . , x2n2 una m.a.s de X2







2σ2

1

Pivote

S2c1

S2c2

.σ2

2

σ21 Fn1−1,n2−1







2σ2

1

Intervalo de confianza [a.

S2c2

S2c1

,b.S2

c2

S2c1

]

a =1

Fn2−1,n1−1(1− α2 )

b = Fn1−1,n2−1(1−α

2)





Para una muestra con n > 20Para dos muestras: p1 − p2











Para una muestra con n > 20

Sea X b(p)

X1, . . . ,Xn una m.a.s de X

El estimador máximo verosímil de p es X∑ni=1 Xi B(n,p)

n.X B(n,p)

Cuando n > 20 tenemos

X − p√p(1−p)

n

N(0,1)







Pivote

X − p√p̂(1−p̂)

n

N(0,1)







Intervalo de confianza[X + zα

2

√p̂(1− p̂)

n,X − zα

2

√p̂(1− p̂)

n

]






Para dos muestras: p1 − p2

Sean X1 b(p1) y X2 b(p2)

X11, . . . ,X1n1 una m.a.s de X1X21, . . . ,X2n2 una m.a.s de X2

El estimador máximo verosímil de p es X∑ni=1 Xi B(n,p)

n.X B(n,p)

Cuando n > 20 tenemosX − p√

p(1−p)n

N(0,1)







Pivote

(X1 − X2)− (p1 − p2)√X1(1−X1)

n1+ X2(1−X2)

n2

N(0,1)







Intervalo de confianza(X1 − X2)± zα2

√X1(1− X1)

n1+

X2(1− X2)

n2
