Universidad de Granada
Facultad de Ciencias Econmicas y Empresariales
Departamento de Mtodos Cuantitativos para la Economa y la Empresa
GENERALIZACIONES DE LA DISTRIBUCIN BIPARABLICA. APLICACIONES EN EL MBITO FINANCIERO Y EL CAMPO DE LA VALORACIN
TESIS DOCTORAL
Catalina Beatriz Garca Garca Granada, 2007
UNIVERSIDAD DE GRANADA
FACULTAD DE CIENCIAS ECONMICAS Y EMPRESARIALES
MTODOS CUANTITATIVOS PARA LA ECONOMA Y LA EMPRESA
La presente memoria titulada Generalizaciones de la distribucin biparablica. Aplicaciones en el mbito financiero y el campo de la valoracin, que presenta Da. Catalina Beatriz Garca Garca para optar al grado de Doctor, ha sido realizada en el Departamento de Mtodos Cuantitativos para la Economa y la Empresa de la universidad de Granada bajo la direccin de los doctores D. Rafael Herreras Pleguezuelo y D. Jos Manuel Herreras Velasco.
Fdo. Catalina Beatriz Garca Garca V B de los Directores de la Tesis: Fdo. Rafael Herreras Pleguezuelo Fdo. Jos Manuel Herreras Velasco
Granada, febrero de 2007
Agradecimientos
Por que son parte de todo lo que hago, A mi familia ahora y siempre.
ndice Introduccin 13 Captulo I: Revisin de los modelos probabilsticos propios de la metodologa PERT y el mtodo de las dos funciones de distribucin. I.0. INTRODUCCIN 19 I.1. DISTRIBUCIONES UNIVARIANTES EN EL MBITO DEL PERT Y EL MTODO DE
LAS DOS FUNCIONES DE DISTRIBUCIN 22 I.1.1. Distribucin rectangular 22 I.1.2. Distribucin triangular 25 I.1.3. Distribucin beta 30 I.1.4. Distribucin trapezoidal 36 I.1.5. Distribucin two-sided power 42 I.1.6. Distribucin Topp-Leone 49 I.1.7. Distribucin parablica 52 I.1.8. Otras distribuciones para el tratamiento de la incertidumbre 57 I.2. DISTRIBUCIONES BIVARIANTES EN EL MTODO DE LAS DOS FUNCIONES DE
DISTRIBUCIN 60 I.2.0. Introduccin 60 I.2.1. Distribucin cbica 60 I.2.2. Distribucin piramidal 61 I.2.3. Distribucin troncopiramidal 66 Captulo II: Construccin, caractersticas estocsticas y aplicaciones principales de la distribucin biparablica en el PERT y el mtodo de las dos funciones de distribucin. II.0. INTRODUCCIN 71 II.1. CONSTRUCCIN DE LA DISTRIBUCIN BIPARABLICA 73 II.2. CARACTERSTICAS ESTOCSTICAS PRINCIPALES 77 II.2.1. Obtencin a partir del sistema generador de van Dorp 79 II.2.2. Calculo de los momentos centrales 82 II.2.3. Anlisis de la forma de la distribucin biparablica 83 II.3. APLICACIONES DE LA DISTRIBUCIN BIPARABLICA 85 II.3.1 La distribucin biparablica en la metodologa PERT 85 II.3.2. La distribucin biparablica en el MDFD 89 II.4.CONCLUSIONES 95
Captulo III: La distribucin biparablica generalizada de una rama y de dos ramas: una nueva herramienta. III.0. INTRODUCCIN 97 III.1. DISTRIBUCIN BIPARABLICA GENERALIZADA EN UNA RAMA (BPG1) 99 III.1.1.Seleccin de la funcin generadora. 101 III.1.2. Aplicacin del sistema de van Dorp y Kotz para la generalizacin de la
distribucin biparablica de una rama. 105 III.1.3. Asimetra y curtosis de la distribucin BPG1 113 III.1.4. Estimacin de la distribucin BPG1 116 III.1.4.1. Estimacin de la distribucin BPG1 usando el mtodo de los momentos 117 III.1.4.2. Estimacin de la distribucin BPG1 usando el mtodo de mxima
verosimilitud 121 III.1.4.3. Estimacin de la distribucin BPG1 mediante restricciones en la familia de
distribucin. 123 III.1.4.4. Aplicacin del criterio de media moderada y el criterio de varianza mxima
en la estimacin de la distribucin BPG1 125 III.1.4.5. Estimacin de la distribucin BPG1 mediante el proceso de elicitacin 128 III.1.5. La entropa de la distribucin BPG1 133 III.1.6. La tasa de fallo de la distribucin BPG1 138 III.1.7. La distribucin SBPG1 en el mbito del PERT. 141 III.1.7.1. Anlisis de las estimaciones 146 III.1.7.2. Comparaciones de medias 148 III.1.7.3. Comparacin de varianzas 152 III.2. GENERALIZACIN DE DOS RAMAS DE LA DISTRIBUCIN BIPARABLICA 155 III.2.1. Presentacin de la herramienta 156 III.2.2. Generalizacin de dos ramas de la distribucin biparablica 158 III.2.3. Generalizacin de dos ramas de la distribucin STSP2 164 III.2.4. Generalizacin mixta de una rama STSP y otra rama BPG. 169 III.2.5. Generalizacin mixta de una rama BP y otra rama STSP 173 III.2.6. Elicitacin 178 III.2.6.1. Elicitacin de la distribucin SBP2 178 III.2.6.2. Elicitacin de la distribucin STSP2 181 III.2.6.3. Elicitacin de la distribucin STSP-BP2 183 III.2.6.4. Elicitacin de la distribucin SBP-TSP2 185 III.2.6.5. Resumen de los resultados obtenidos con las diferentes combinaciones de
distribuciones subyacentes aplicadas en el procedimiento de la elicitacin. 188 III.3. APLICACIN PRCTICA 189 III.3.4. Conclusiones de la aplicacin prctica. 194 III.4. CONCLUSIONES 195
Captulo IV: Extensin del mtodo de las dos funciones de distribucin a travs de la herramienta matemtica cpula. IV. 0. INTRODUCCIN 199 IV.1. REVISIN LITERARIA Y APLICACIONES DEL CONCEPTO CPULA 201 IV.1.1. Resumen de cpulas ms relevantes 205 IV.1.2. Aplicaciones ms relevantes de la herramienta cpula 207 IV.1.3. Medidas de asociacin 208 IV.1.4. Familia de cpulas FGM 213 IV.1.5. Familia de cpulas Placket 215 IV.2. CONSTRUCCION DE LA FUNCION DE DISTRIBUCION CONJUNTA A PARTIR DE
LA CPULA FGM 217 IV.2.1. Uso de marginales STSP para la construccin de la funcin de distribucin
conjunta a travs de la cpula FGM. 217 IV.2.2. Uso de marginales biparablicas para la construccin de la funcin de
distribucin conjunta a travs de la cpula FGM. 224 IV.3. MTODO DE VALORACIN 227 IV.3.1. Aplicacin del mtodo de valoracin en ambiente de riesgo para
distribuciones subyacentes STSP y familia de cpulas FGM. 229 IV.3.2. Aplicacin del mtodo de valoracin en ambiente de incertidumbre para
distribuciones subyacentes STSP y familia de cpulas FGM. 235 IV.4. CONCLUSIONES Y FUTURAS APLICACIONES 240 Captulo V: Aplicaciones de la distribucin biparablica y la distribucin two-sided power en el mbito financiero. V.0. INTRODUCCIN 247 V.1. DESARROLLO TERICO 253 V.1.1. La distribucin biparablica en el mbito financiero 255 V.1.2. La distribucin TSP en el mbito financiero. 264 V.1.3 Anlisis de la curtosis de las distintas distribuciones 269 V.1.3 Anlisis de la curtosis de las distintas distribuciones 270 V.2. APLICACIN PRCTICA 274 V.2.1. Asimetra y curtosis en la series de datos financieros. 276 V.2.2. Diferentes ajustes del ndice DJ Eurostoxx50. 283 V.2.3. Un procedimiento de ajuste simplificado: El caso DJ Eurostoxx50. 290 V.3. CONCLUSIONES 291
Conclusiones y lneas de investigacin 293 Referencias bibliogrficas 299 Anexo A 319 Anexo B 329 Anexo C 335
13
Introduccin La presente memoria titulada Generalizaciones de la distribucin biparablica.
Aplicaciones en el mbito financiero y el campo de la valoracin tiene como primer y
principal objetivo presentar la denominada distribucin biparablica y encuadrarla
dentro del contexto de la Teora General de Valoracin a partir del mtodo de las dos
funciones de distribucin (MDFD), introducido por Ballestero (1973) y ampliamente
tratado en los manuales de Ballestero (1991) o Caballer (1998).
Dentro de la Teora General de Valoracin se encuentran diversos campos de aplicacin
que podemos agrupar en las siguientes reas temticas: i) rea general: nuevas
metodologas de valoracin, aplicacin de las nuevas tecnologas a la valoracin, la
situacin de la valoracin en los diferentes pases, legislacin, etc.; ii) Valoracin
agraria, mercado de la tierra, agua de riesgo, arbolado, daos agrarios, etc.; iii)
Valoracin medioambiental: parques naturales, espacios naturales, daos por
contaminacin, estimacin de impactos ambientales, etc.; iv) Valoracin empresarial:
empresas en funcionamiento, nueva economa, sociedades deportivas, marcas, fondos
de comercio, opciones, proyectos de inversin, activos financieros, carteras de
inversin, permuta financiera y comercial, etc.; v) Valoracin urbana y del patrimonio
arquitectnico. Mercado inmobiliario, inmuebles con valor histrico, gestin de centros
histricos, inmuebles de uso residencial, comercial, ldico, religioso, puertos
deportivos, campos de golf, etc.; vi) Valoracin de activos con valor artstico y cultural:
mercado del arte, obras de arte, antigedades, joyas, numismtica y otros activos
coleccionables; vii) Valoracin de bienes de equipo: maquinaria, vehculos, naval,
aeronutica, etc.; viii) Valoracin de activos atpicos: dao corporal, imagen, etc.
Generalizacin de la distribucin biparablica. Aplicaciones en el mbito financiero y el campo de la valoracin.
Introduccin
14
En cuanto a las tcnicas valorativas aplicables, la Orden ECO/805/2003, de 27 de
marzo, sobre normas de valoracin de bienes inmuebles y de determinados derechos
para ciertas finalidades financieras (BOE de 9 de abril de 2003) cita, en su artculo 15,
el mtodo del coste, el mtodo de comparacin, el mtodo de actualizacin de rentas y
el mtodo residual. Las caractersticas ms importantes de cada uno de estos mtodos
son presentadas a continuacin:
a) El mtodo del coste: consiste en determinar el coste total estimado de
reemplazar el activo a tasar por otro de iguales caractersticas. Es recomendable
para la tasacin de inmuebles recientes o en rehabilitacin.
b) El mtodo de comparacin: consiste en determinar el valor de los bienes
inmuebles a partir de su comparacin con otros bienes similares de los que
existe informacin suficiente. Es muy usado y es considerado el mtodo ms
directo y sistemtico para la estimacin del valor de mercado.
c) El mtodo de capitalizacin: que calcula el precio ms probable que un
inversor, de tipo medio, estara dispuesto a pagar, al contado, por la adquisicin
de un bien capaz de producir rentas.
d) El mtodo residual: que determina el valor de mercado del suelo, o activo a
rehabilitar, a partir del valor del producto inmobiliario final, deduciendo de el
todos los gastos e inversiones necesarias para ello.
Los profesores Ballestero y Rodrguez (1999) diferencian entre las tcnicas analticas,
las de comparacin y los mtodos de tasacin finalista y anlisis multicriterio para el
caso de tasaciones especiales, tal y como se recoge en el siguiente esquema:
MTODOS DE VALORACIN
ANLITICOS
Mtodo del coste Mtodo de actualizacin
de rentas Mtodo residual
COMPARATIVOS
Mtodo sinttico de comparacin Mtodos Beta
Anlisis de regresin
ESPECIALES
Tasacin finalista Anlisis multicriterio
Generalizacin de la distribucin biparablica. Aplicaciones en el mbito financiero y el campo de la valoracin.
Introduccin
15
Dentro de las tcnicas por comparacin distinguen entre el mtodo sinttico, el anlisis
de regresin, y el mtodo de las dos betas. El primer mtodo, consiste en estimar el
valor de mercado estableciendo relaciones de proporcionalidad entre una o varias
variables externas y el precio en unidades monetarias del inmueble a estimar. Esta muy
generalizada en la prctica inmobiliaria debido a su sencillez. El mtodo de regresin
esta basado en tcnicas economtricas y fue expuesto ya en la Primera Conferencia
Internacional de Arquitectos Tasadores, en julio de 1996 en el marco del congreso de la
UIA, por el arquitecto Lammers. Es muy usado en pases como Estados Unidos pero en
Espaa la insuficiencia de datos hacia imposible que las tcnicas de anlisis de
regresin tengan la fiabilidad necesaria. Con la aparicin de la Ley 2/1981, de 25 de
marzo, Ley de Regulacin del Mercado hipotecario, se espera que en un futuro este
mtodo tenga un papel relevante en el mundo de la valoracin inmobiliaria.
As pues, el mtodo sinttico estima el valor de mercado mediante una relacin
proporcional con un ndice externo y el mtodo de regresin supone que la relacin
entre el valor de mercado y uno o varios ndices externos puede analizarse mediante
sistemas estadsticos. El mtodo beta, Ballestero (1973), plantea un nuevo enfoque de
manera que la comparacin se efecta a travs de dos funciones de distribucin.
Originariamente la distribucin a aplicar era la beta y de aqu procede el nombre de
mtodo de las dos betas que posteriormente se ha generalizado como mtodo de las dos
funciones de distribucin. Actualmente posee diversas variantes como son el uso de dos
triangulares o dos rectangulares, Romero (1977), dos normales (Alonso e Iruretagoyena
1995) o dos trapezoidales (Lozano 1996). Este mtodo, al igual que el sinttico, utiliza
ndices externos que intenta explicar la variable valor de mercado, pero no utiliza
coeficientes de proporcionalidad, sino una funcin de distribucin, de manera que un
aumento o disminucin de los ndices externos se encuentra relacionado con una misma
respuesta en el valor de mercado aunque no necesariamente proporcional.
El mtodo de las dos funciones de distribucin no aparece explcitamente en la Orden
ECO/805/2003. Si bien no se utiliza normalmente en la valoracin inmobiliaria, tiene
gran aplicacin en ciertos campos de la valoracin agraria. Presenta como inconveniente
Generalizacin de la distribucin biparablica. Aplicaciones en el mbito financiero y el campo de la valoracin.
Introduccin
16
que en la mayora de los casos se debe trabajar con ms de un ndice por lo que se deben
ponderar los ndices. En cualquier caso se requiere de la experiencia y subjetividad de
un experto que puede hacer disminuir la fiabilidad del mtodo. Como ventajas nombrar
el escaso nmero de datos necesarios para su aplicacin, su facilidad para disponer de
dicha informacin y la sencillez de clculo, Ballestero y Rodrguez (1999).
Desde la presentacin del mtodo de la dos betas por, se han publicado numerosas
aportaciones, artculos, libros, trabajos de investigacin y se han realizado tesis
doctorales extendiendo as la aplicacin de este mtodo. Las aportaciones realizadas se
pueden enmarcar en las siguientes lneas:
Aplicaciones prcticas del mtodo de las dos funciones de distribucin:
Ballestero y Caballer (1982), Caballer (1993), Caballer (1998), Caballer (1999)
y Ballestero y Rodrguez (1999) extienden su uso a la valoracin de rboles
frutales e inmuebles. Alonso y Lozano (1985) hacen una aplicacin a la
valoracin de fincas en la comarca de Valladolid; Guadalajara (1996) presenta
una serie de casos prcticos. Garca, Trinidad y Snchez (1997) realizan una
aplicacin a la seleccin de los cultivos de una cartera. Caas, Domingo y
Martnez (1994) realizan una aplicacin prctica en la provincia de Crdoba.
Extensin del mtodo a diferentes distribuciones: Romero (1977) hace una
extensin del mtodo utilizando distribuciones uniformes y triangulares; Garca,
Cruz y Andujar (1998) presentan una revisin de la aplicacin en distribuciones
triangulares. Garca, Trinidad y Gmez (1999) extienden el mtodo a la
utilizacin de una clase especial de distribuciones trapezoidales; Herreras,
Garca, Cruz y Herreras (2001) extienden el mtodo al uso de distribuciones
trapezoidales de cualquier tipo. Garca, Trinidad y Garca (2004) realizan una
aplicacin utilizando las funciones triangulares generalizadas de van Dorp y
Kotz que permiten ser ajustadas en un ambiente de incertidumbre.
Utilizacin de dos o ms ndices, bajo el supuesto de independencia o no, e
implementacin de aplicaciones economtricas: Garca, Cruz y Rosado (2000,
2002) presentan una extensin del mtodo al caso multi-ndice bajo la hiptesis
de independencia entre los ndices. Herreras Velasco (2002) en su Tesis
Generalizacin de la distribucin biparablica. Aplicaciones en el mbito financiero y el campo de la valoracin.
Introduccin
17
Doctoral extiende el mtodo de las dos funciones de distribucin al caso
bivariante de forma exhaustiva y, en general, al caso multivariante sin hiptesis
de independencia, y presenta adems la distribucin piramidal. Garca, Cruz y
Garca (2002.b) presentan una aplicacin economtrica de la extensin
multindice del mtodo de las dos funciones de distribucin.
Desarrollo de test estadsticos para contrastar la adecuacin de las funciones de
distribucin elegidas y la bondad de los ndices: Garca, Cruz y Garca (2002.a)
extienden el uso del mtodo de la dos funciones de distribucin a las familias de
funciones mesocrticas, de varianza constante, Caballer y beta clsica aportando
un mtodo para seleccionar la distribucin ms adecuada a cada caso y
presentando al mismo tiempo un programa informtico que resuelve el problema
de la inversin. Herreras, Prez, Callejn y Herreras (1999) desarrollan un
mtodo para constatar la bondad de un experto en la metodologa PERT.
Procedimientos iterativos de valoracin: Garca, Cruz y Garca (2002.c) y
Garca, Cruz y Garca (2004).
As pues, la memoria esta compuesta de cinco captulos, siendo el mtodo de las dos
funciones de distribucin el hilo de conductor de los cuatro primeros y realizando
aportaciones en las tres primeras lneas descritas anteriormente.
El primer captulo se destina a la recapitulacin de los modelos probabilsticos
univariantes y bivariantes usados en dicho mtodo as como en la metodologa PERT.
En un segundo captulo se construye la distribucin biparablica y se analiza su
aplicacin en ambas metodologas, extendiendo as el mtodo a nuevas distribuciones.
Posteriormente, en el tercer captulo, se procede a la generalizacin de una rama, basada
en el sistema generador de van Dorp, y de dos ramas desarrollada a partir del mismo. A
partir de las distribuciones generadas se realizan ciertas aplicaciones prcticas que
permiten avanzar sustancialmente en el mtodo de las dos funciones de distribucin
utilizando como distribuciones subyacentes distribuciones generalizadas de dos ramas,
es decir con parmetros (a, m, b, n1 y n2). Al trabajar con distribuciones penta-
paramtricas y contar nicamente con la informacin, aportada por el experto, acerca de
los parmetros a, m y b, se debe optar por pedir informacin adicional al experto.
Generalizacin de la distribucin biparablica. Aplicaciones en el mbito financiero y el campo de la valoracin.
Introduccin
18
Este procedimiento es conocido como proceso de elicitacin y ser la base de la
segunda parte del tercer capitulo. En la aplicacin prctica se realiza una comparacin
entre el mtodo sinttico, el mtodo de regresin y el mtodo de las dos funciones de
distribucin con subyacentes pentaparamtricas y la distribucin beta, subyacente
original del citado mtodo. En este captulo se avanza en la primera y segunda lnea de
investigacin.
En el cuarto captulo se extiende el MDFD al uso de dos ndices para lo que se
introduce la herramienta matemtica cpula con el propsito de crear funciones de
distribuciones conjuntas conocidas las distribuciones marginales de cada uno de los
ndices. Este hecho constituye una aportacin original y novedosa que adems abre la
posibilidad de trabajar con tres ndices e incluso con n ndices.
El anlisis de la distribucin biparablica en el mbito financiero se lleva a cabo en el
quinto y ltimo captulo constituyendo un gran aporte no solo desde el punto de vista
prctico, ajustando los valores del ndice burstil DJ Eurostoxx50, sino tambin desde
un prisma terico ya que consigue adaptar tanto la distribucin biparablica como la
distribucin two-sided power, van Dorp y Kotz (2002.a) para su uso en el ajuste de
rendimientos financieros.
Cada captulo comienza con una pequea recapitulacin que servir de resumen e
introduccin donde se resaltaran las aportaciones del captulo en cuestin. Se cierra la
Memoria con un ltimo captulo recopilatorio en el que se realiza una breve exposicin
tanto de las conclusiones finales que se derivan del estudio realizado, como de las lneas
de investigacin abiertas que se espera sean cerradas en futuros trabajos.
19
Captulo I
Revisin de los modelos probabilsticos propios de la metodologa PERT y el mtodo de las dos
funciones de distribucin
I.0. INTRODUCCIN
El mtodo PERT (Program Evaluation and Review Technique) fue desarrollado, tal y
como citan numerosos autores, por la Armada de los Estados Unidos de Amrica en
1957 para controlar los tiempos de ejecucin de las diversas actividades integrantes de
los proyectos espaciales y debido a la necesidad de terminar cada una de ellas dentro de
los intervalos de tiempo disponibles.
Originalmente se utiliz para el control de tiempos del proyecto Polaris y actualmente
se utiliza en todo el programa espacial, adems de en otros mbitos como, por ejemplo,
la Investigacin de Operaciones y, en general, el Anlisis Econmico. Como
aplicaciones concretas, se destacan el estudio de la duracin de un proyecto de
fabricacin en funcin de la duracin de las diferentes tareas (Romero 1991) o el
anlisis de la bondad de un proyecto de inversin mediante sus diversos flujos de caja
actualizados segn su valor capital, (Surez 1980).
Posteriormente, las distribuciones estadsticas y la metodologa para pasar de la
incertidumbre al riesgo, utilizada en el PERT, han encontrado un nuevo campo en la
teora general de valoracin gracias al mtodo de las dos funciones de distribucin
(MDFD) iniciado por Ballestero (1971). El objeto de este captulo es realizar una
revisin de los modelos probabilsticos usualmente aplicados en ambos campos y que
sern la base para el desarrollo de esta Memoria.
Generalizacin de la distribucin biparablica. Aplicaciones en el mbito financiero y el campo de la valoracin.
Captulo I
20
Desde que hace ms de cincuenta aos se presentaran las, posteriormente muy
publicadas, frmulas del PERT, stas han sido extensamente criticadas y modificadas.
La frmula inicial propona asumir que la duracin de la actividad segua una
distribucin beta y ofreca estimaciones de la media y la desviacin tpica basadas en la
moda y los valores extremos de la distribucin subyacente. Las mayores crticas a estas
frmulas se deben a que a priori no existe razn para que la duracin de la actividad
siga una distribucin beta. Sin embargo, Ben Yair (2000) dedica un trabajo a la
justificacin de este hecho bajo determinadas condiciones. Adems, en el caso de una
distribucin asimtrica a la derecha, las estimaciones de la moda y la desviacin tpica
sern asintoticamente sobrestimadas.
Muchos autores han ofrecido ciertas alternativas entre las que destacan ajustar distintos
coeficientes a las frmulas, emplear extremos alternativos o usar la mediana en lugar de
la moda. En Johnson (1998) se ofrece un extenso resumen de las modificaciones
propuestas a lo largo del tiempo por diferentes autores sobre las frmulas clsicas del
PERT.
Este captulo se limitar a hacer una revisin de las diferentes distribuciones empleadas,
destacando las distribuciones de probabilidad rectangular, triangular y beta. Adems de
la sencillez de clculo de sus caractersticas estocsticas, estas distribuciones se adaptan
fcilmente a situaciones reales en ambiente de incertidumbre que se transforman en
ambiente de riesgo mediante las tres estimaciones subjetivas aportadas por el experto.
La distribucin beta posee una reconocida aplicacin en el proceso de valoracin dando
lugar al clebre mtodo de las dos funciones de distribucin beta comentado con
anterioridad. Adems fue usada originalmente por los creadores de la metodologa
PERT con el propsito de superar los inconvenientes presentados por la distribucin
normal. Sin embargo, la distribucin beta es criticada, entre otros aspectos, por ignorar
el valor modal en el clculo de la varianza. Parece poco conveniente que, despus de
exigir la estimacin del valor modal, posteriormente se omita y una posible solucin se
recoge en Herreras (1995). Otra alternativa da lugar al modelo trapezoidal CPR,
(Callejn Prez y Ramos 1998), que ser desarrollado en el presente captulo.
Generalizacin de la distribucin biparablica. Aplicaciones en el mbito financiero y el campo de la valoracin.
Captulo I
21
Adems de las distribuciones nombradas hasta ahora, destacan la distribucin Two-
sided power, presentada recientemente por van Dorp y Kotz (2002.a) y la distribucin
Topp-Leone (Topp y Leone 1955). Precisamente fue el profesor van Dorp el que me
sugiri el estudio de esta ltima distribucin y por ello quedo agradecida.
Por ltimo, se presenta la distribucin parablica como primer antecedente de la
distribucin biparablica que se recoger en el segundo captulo y se exponen otras
distribuciones propias del tratamiento de la incertidumbre como son: la distribucin
coseno, la distribucin medio-coseno y la distribucin U.
Por otro lado, parece lgico pensar que el anlisis a realizar no se refiera a una nica
variable y por ello se revisarn tambin los modelos probabilsticos bivariantes, y en
concreto aquellos cuya funcin de densidad tiene, en su representacin grfica, una
forma geomtrica. Destacan la distribucin cbica, la distribucin piramidal y la
distribucin troncopiramidal. En cualquier caso, no se ha pretendido realizar un anlisis
exhaustivo de dichas distribuciones y sus propiedades, sino que el objeto es
simplemente exponer la expresin de sus funciones de densidad y de distribucin,
siendo sta ltima la herramienta bsica del mtodo de las dos funciones de
distribucin.
En cuanto a la estructura del captulo queda dividido en dos epgrafes: a los modelos
univariantes se les dedica una primera seccin y la segunda abarca los modelos
probabilsticos bivariantes.
Generalizacin de la distribucin biparablica. Aplicaciones en el mbito financiero y el campo de la valoracin.
Captulo I
22
I.1. DISTRIBUCIONES UNIVARIANTES EN EL MBITO DEL
PERT Y EL MTODO DE LAS DOS FUNCIONES DE
DISTRIBUCIN
I.1.1. Distribucin rectangular
Definicin
Se dice que una variable aleatoria X se distribuye uniformemente o sigue una
distribucin rectangular si su funcin de densidad responde a la expresin:
=
caso otroen ,0
,1
)(bxa
abxf (I.1)
donde a y b son los lmites de la distribucin. De manera que la probabilidad de que X
este en el intervalo [a, b] es constante mientras que la probabilidad de que X este fuera
de dicho intervalo es 0.
Su funcin de distribucin viene dada por:
=
bx
bxaab
ax
ax
xF
,1
,
,0
)( (I.2)
Las representaciones grficas de la funcin de densidad y la funcin de distribucin se
recogen en la figura (I.1). Esta distribucin tambin es conocida como distribucin
uniforme ya que, como se observa en su funcin de densidad, la probabilidad queda
repartida uniformemente en todo el recorrido de la variable.
Generalizacin de la distribucin biparablica. Aplicaciones en el mbito financiero y el campo de la valoracin.
Captulo I
23
Se observa que la funcin de distribucin es lineal y por tanto fcilmente invertible, es
decir:
),( abax += (I.3)
donde 10 , siendo x un cuantil de )(xF es decir =)(xF , siendo esta
propiedad muy interesante para la aplicacin del MDFD. Vase Palacios, Prez,
Herreras y Callejn (1999).
Las principales caractersticas estocsticas de esta distribucin se recogen en el cuadro
(I.1) (Arniz 1978):
Funcin
generatriz de
momentos
Esperanza
matemtica Varianza
Coeficiente de
asimetra de
Fisher
Coeficiente de
curtosis de
Fisher
)()(
abt
eetG
atbt
=
2)(
baxE
+= ( )12
)(2ab
xVar= 01 =g 5
62 =g
Cuadro I.1. Principales caractersticas de la distribucin rectangular
ab
1 1
a b a b Figura I.1. Funcin de densidad y funcin de distribucin del modelo probabilstico rectangular
Generalizacin de la distribucin biparablica. Aplicaciones en el mbito financiero y el campo de la valoracin.
Captulo I
24
La distribucin rectangular estandarizada
Usando la variable estandarizada ab
axt
= puede simplificarse la expresin (I.1) y
obtener la distribucin rectangular estandarizada cuya funcin de densidad es:
=casootroen,0
10,1)(
ttf (I.4)
Realizando anlogo cambio de variable sobre (I.2) se obtiene la funcin de distribucin
de la distribucin rectangular estandarizada:
=casootroen,1
10,
0,0
)( tt
t
tF (I.5)
Las caractersticas estocsticas de esta distribucin, que se recogen en el cuadro (I.2),
se obtienen fcilmente de las correspondientes caractersticas de la distribucin general
presentadas en el cuadro (I.1) haciendo 0=a y 1=b . Por otro lado, hay que destacar,
aunque es de sobra conocido, la invariabilidad de los coeficientes de asimetra y
curtosis.
Funcin
generatriz de
momentos
Esperanza
matemtica Varianza
Coeficiente de
asimetra de
Fisher
Coeficiente de
curtosis de
Fisher
t
etG
t 1)( *
= 2
1)( =tE
12
1)( =tVar 01 =g 5
62 =g
Cuadro I.2. Principales caractersticas de la distribucin rectangular estandarizada
Generalizacin de la distribucin biparablica. Aplicaciones en el mbito financiero y el campo de la valoracin.
Captulo I
25
La distribucin rectangular en el PERT
La distribucin rectangular es uno de los modelos de probabilidad ms usado en el
anlisis de inversiones y se plantea como un modelo alternativo al modelo clsico de la
metodologa PERT. La utilizacin prctica de este modelo requiere un primer nivel de
informacin suficiente para obtener los valores mnimo (a) y mximo (b) por lo que su
eleccin se restringir al caso en el que slo se posea informacin sobre los valores
extremos de la distribucin y no se conozca el valor modal ni su frecuencia. En esta
distribucin se admite que todos los valores de la variable en el intervalo [a, b] son
equiprobables, por eso la grfica de su funcin de densidad (figura I.1) tiene forma de
rectngulo.
I.1.2. Distribucin triangular
Definicin
Se dice que una variable X sigue una distribucin triangular si su funcin de densidad
es:
=
casootroen,0
,))((
)(2
,))((
)(2
)( bxmmbab
xb
mxaamab
ax
xf (I.6)
La representacin grfica de tal funcin de densidad vara segn que mba >+
2,
mba =+
2 m
ba
Generalizacin de la distribucin biparablica. Aplicaciones en el mbito financiero y el campo de la valoracin.
Captulo I
26
Su funcin de distribucin viene dada por:
=
bx
bxmmbab
xb
mxaamab
ax
ax
xF
,1
,))((
)(
,))((
)(
,0
)(2
2
(I.7)
Esta funcin de distribucin es fcilmente invertible al ser cuadrtica. Es decir:
Generalizacin de la distribucin biparablica. Aplicaciones en el mbito financiero y el campo de la valoracin.
Captulo I
27
Funcin generatriz de
momentos
( )))()((
)()(2)(
2 mbamabt
eabeamembtG
mtbtat
+=
Esperanza matemtica 3
)(mba
XE++=
Varianza 18
))(()()()(
22 ammbammbxVar
++=
Coeficiente de asimetra de
Fisher
( )( )( ) 2321 ))(()(5
)2(222
mbamab
ambambmbag
++=
Coeficiente de curtosis de
Fisher 5
32 =g
Cuadro I.3. Principales caractersticas estocsticas de la distribucin triangular
La Distribucin Triangular Estandarizada
Las expresiones (I.6) y (I.7) pueden simplificarse si se usa la variable estandarizada
ab
axt
= , y en ese caso la funcin de densidad es:
=
casootroen,0
1,1
12
0,2
)( tMM
t
MtM
t
tf (I.9)
Y la funcin de distribucin:
=
casootroen,1
1,1
)1(1
0,
1,0
)(2
2
tMM
t
MtM
t
t
tF (I.10)
Generalizacin de la distribucin biparablica. Aplicaciones en el mbito financiero y el campo de la valoracin.
Captulo I
28
En el cuadro (I.4) se recogen las principales caractersticas estocsticas de la
distribucin triangular estandarizada y se observa, comparando con el cuadro (I.3), la
invariabilidad de los coeficientes de asimetra y curtosis de Fisher.
Funcin generatriz de
momentos )1(1
2*)(2*
**
MMt
eMeMtG
Mtt
+=
Esperanza matemtica 3
1)(
+= MtE
Varianza 18
1)(
2 += MMtVar
Coeficiente de asimetra de
Fisher
( )( )( ) 2321 15
)2(1212
+
+=MM
MMMg
Coeficiente de curtosis de
Fisher 53
2 =g
Cuadro I.4. Principales caractersticas de la distribucin triangular estandarizada
La distribucin triangular en el PERT
La distribucin triangular fue una de las primeras distribuciones continuas descubiertas
por los investigadores durante el siglo XVIII. Una de las primeras referencias de la
distribucin triangular parece ser Simpson (1755, 1757), solo unos pocos aos despus
de que en 1763 el famoso artculo de Bayes presentara la distribucin uniforme
continua. Segn Seal (1949) el objetivo de Simpson era considerar matemticamente el
mtodo prctico para astrnomos que consista en tomar la media de varias
observaciones para disminuir los errores obtenidos de la imperfeccin de los
instrumentos y rganos de recogida de datos. Simpson supone que los errores de
recogida de datos en exceso o defecto estn simtricamente dispuestos y que se pueden
asignar lmites superiores e inferiores. La siguiente referencia, Schmidt (1934), advierte
que la funcin de densidad de la distribucin triangular simtrica es la distribucin de la
suma aritmtica de dos variables aleatorias uniformes. Posteriormente, Ayyangar
(1941), estudia la distribucin triangular simtrica estandarizada. Hasta la mitad de los
aos sesenta muy pocas publicaciones fueron dirigidas al estudio de la distribucin
Generalizacin de la distribucin biparablica. Aplicaciones en el mbito financiero y el campo de la valoracin.
Captulo I
29
triangular. Sin embargo, desde 1962 la distribucin triangular ha renacido en numerosos
artculos referentes a la metodologa PERT. Vase Clark (1962), MacCrimmon, y
Ryaveck (1964), Moder y Rodgeres (1968), Vaduva (1971), Williams (1992), Keefer y
Verdini (1993) y Johnson (1997) entre otros.
Los parmetros de la distribucin triangular tiene correspondencia uno a uno con los
valores optimista (a), ms probable (m) y pesimista (b) de la metodologa PERT1.
Asimismo, se trata de una distribucin que puede ser simtrica o asimtrica a la derecha
o a la izquierda, lo que aade similitud con la distribucin beta. Esto conduce a una
aplicacin intuitiva de esta distribucin en el mbito del PERT en el que la variable de
estudio es el tiempo para completar ciertas actividades dentro de un proyecto global, y
cuya incertidumbre puede ser modelada por la funcin de densidad recogida en la
expresin (I.6). Vase Winston (1993).
Recientemente la distribucin triangular ha ganado popularidad debido a:
Su uso en el mtodo de simulacin de Monte Carlo, (Vose 1996), sistemas de
simulacin discretos, (Banks 2000 y Altiok y Melamed 2001).
Su uso en software de anlisis de incertidumbre por ejemplo @Risk desarrollado
por Palidase Corporation o Cristal Ball desarrollado por Decisin Engineering.
Estos manuales recomiendan el uso de la distribucin triangular cuando la
distribucin subyacente es desconocida pero se dispone de un valor mnimo, un
valor mximo y un valor ms probable.
La publicacin de la distribucin two-sided power presentada por van Dorp y
Kotz (2002.a) y que se desarrolla en el apartado (I.5) como extensin de la
distribucin triangular y como una magnifica alternativa a la distribucin beta.
1 El Doctor Herreras, R. insiste en la denominacin de valor mnimo (a), ms probable (m) y valor mximo (b) ya que el valor optimista puede no coincidir con el valor mnimo si en lugar de trabajar sobre la duracin de tareas se hace, por ejemplo, sobre flujos de caja, ocurriendo igual en el caso del valor pesimista.
Generalizacin de la distribucin biparablica. Aplicaciones en el mbito financiero y el campo de la valoracin.
Captulo I
30
I.1.3. Distribucin beta
Definicin
Sea X una variable aleatoria en el intervalo (a, b) se dice que se distribuye segn una
distribucin beta y se nota como ),,,( qpbaX si y solo si su funcin de densidad
responde a la siguiente expresin:
= +
casootroen,0
1;1;,),()(
)()(
)( 1
11
qpbxasiqpBab
xbax
xf qp
qp
(I.11)
Se comprueba fcilmente que la expresin (I.11) es una verdadera funcin de densidad
ya que verifica que ),(0)( baxxf y =ba dxxf 1)( .
Las caractersticas estocsticas de esta distribucin, (Dumas de Rauly 1968), estn
recogidas en el cuadro (I.5):
Esperanza matemtica Moda Varianza
aqp
qb
qp
pxE
++
+=)( a
qp
qb
qp
pMo
2
1
2
1
++
+=
2
2
))(1(
)()(
qpqp
abpqxVar
+++
=
Cuadro I.5. Principales caractersticas de la distribucin beta de primer tipo
Obsrvese que la moda de la distribucin beta B(a, b, p, q) coincide con la media de la
distribucin beta B(a, b, p-1, q-1). Farnum y Stanton (1987) aprovecharon este hecho
para disear una frmula refinada para el clculo de la media en la metodologa PERT.
Golenko-Ginzburg (1988) hace uso de un nuevo parmetro 2+= qpk y, mediante la
expresin de la moda recogida en el cuadro (I.5), obtiene las siguientes expresiones para
los parmetros p y q de la distribucin beta en funcin de dicho parmetro k y las tres
estimaciones periciales:
Generalizacin de la distribucin biparablica. Aplicaciones en el mbito financiero y el campo de la valoracin.
Captulo I
31
ab
mbkq
ab
amkp
+=
+= 1y1 (I.12)
Esta reparametrizacin llevada a cabo en primer lugar por Golenko-Ginzburg (1988), es
obtenida posteriormente y por otro camino, a travs de cierta subfamilia del sistema de
Pearson, por Herreras (1989). En cualquier caso, sustituyendo las expresiones de p y q,
recogidas en (I.12), en las referentes a la media y a la varianza de la distribucin beta
B(a,b,p,q) recogida en el cuadro (I.5) se obtiene unas nuevas expresiones en funcin de
los parmetros a, m, b y k , (Herreras 1989, 1995), que se presenta en el cuadro (I.6)
Esperanza matemtica Varianza
2)(
+++=
k
bkmaxE
3
))()()(()(
+=
k
xEbaxExVar
Cuadro I.6. Principales caractersticas de la distribucin beta de primer tipo en funcin del parmetro k
Se observa que el parmetro k juega el papel de ponderacin del valor estimado como
ms probable y por tanto puede representar la confiabilidad que se tenga en dicha
estimacin. Este parmetro presenta el inconveniente de no estar acotado por lo que
Prez (1995) propone el uso del parmetro 2+
=k
kque varia dentro del intervalo (0,1)
La Distribucin Beta Estandarizada
Para obtener los coeficientes de asimetra y curtosis de la distribucin dada por (I.11), y
a la vez seguir la lnea de las exposiciones anteriores, se presenta la distribucin beta
estandarizada.
Sea ab
axt
= la variable aleatoria que toma valores en el intervalo (0,1) se dice que se
distribuye segn una distribucin beta y se nota como ),( qpt si su funcin de
densidad responde a la siguiente expresin:
Generalizacin de la distribucin biparablica. Aplicaciones en el mbito financiero y el campo de la valoracin.
Captulo I
32
>>=
casootroen,0
0;0;)1,0(,)1(),(
1
)(11 qptsitt
qpBtfqp
(I.13)
Esta distribucin se obtiene de (I.11) realizando el cambio de variable ab
axt
= y se
comprueba fcilmente que la expresin (I.13) es una verdadera funcin de densidad ya
que verifica que )1,0(,0)( ttf y =1
01)( dttf .
Los momentos no centrales de esta distribucin son:
,...2,1,)(
)(
)(
)(][ =
+
+++= n
p
np
nqp
qptE n (I.14)
Y entre ellos se da la siguiente relacin de recurrencia:
,...2,1],[1
1][ 1 =
+++= ntEnqp
nptE nn (I.15)
Usando las expresiones (I.14) y (I.15) se obtiene el coeficiente de asimetra y el
coeficiente de curtosis, (Canvos 1987) que se recogen en el cuadro (I.7), junto con las
expresiones de la esperanza matemtica y la varianza.
Esperanza matemtica qp
ptE
+=)(
Varianza 2))(1()(
qpqp
pqtVar
+++=
Coeficiente de asimetra de Fisher )2(
1)(21
++
++=
qppq
qppqg
Coeficiente de curtosis de Fisher )3)(2(
)2)(1()2)(1(62 ++++
+++=qpqppq
pqqqqpppg
Cuadro I.7. Principales caractersticas de la distribucin beta
Generalizacin de la distribucin biparablica. Aplicaciones en el mbito financiero y el campo de la valoracin.
Captulo I
33
Ntese que, puesto que p y q son positivos, el signo de la asimetra viene dado por el de
la diferencia q-p, por lo que la distribucin presenta asimetra positiva, (negativa), si la
moda esta a la izquierda, (derecha), del punto medio. Este resultado fue presentado por
Herreras (1995) y se encuentra recogido en Herreras (2001).
Por otro lado, se observa que tanto el coeficiente de asimetra como el de curtosis son
invariantes a cambios de origen y de escala por lo que se podrn utilizar tanto para la
distribucin (I.11) como para la distribucin (I.13).
La distribucin beta en el PERT
La distribucin beta fue la originalmente propuesta por los autores de la metodologa
PERT que plantearon las siguientes expresiones para la estimacin de la media y la
varianza de la distribucin beta:
( )36
)(
6
4)(
2abxVar
bmaxE
=
++= (I.16)
Las razones que llevaron a ellas son eminentemente prcticas y sustentadas por
intuiciones atractivas, (Hillier y Lieberman 1982 y Yu Chuen-Tao 1980), pero desde
luego no pueden obtenerse a partir de la funcin de densidad de la distribucin beta con
las informaciones disponibles de valor optimista, pesimista y ms probable. En
cualquier caso estas expresiones tpicas del PERT han dado lugar a multitud de crticas,
entre ellas que se ignora, para el clculo de la varianza, la ms comprometida de las
estimaciones periciales, es decir, el valor modal. Sin embargo, el modelo PERT ha
funcionado relativamente bien en diversos campos lo que puede deberse a sus buenas
propiedades con respecto a la asimetra y la curtosis que hacen que este modelo sea el
ms parecido a una distribucin normal pero con dos grandes ventajas sobre ella: i) El
recorrido de la variable est limitado, es decir, no presenta colas infinitas como le ocurre
a la distribucin normal; ii) El modelo puede presentar asimetras, mientras que la
normal siempre es simtrica.
Generalizacin de la distribucin biparablica. Aplicaciones en el mbito financiero y el campo de la valoracin.
Captulo I
34
Tal y como se observa en la figura (I.3), la expresin grfica de la funcin de densidad
recogida en la expresin (I.13) vara sensiblemente segn el valor de sus parmetros,
dando lugar a figuras en forma de ele, jota, U y campana, (Casas y Santos 1996), y
precisamente esta caracterstica la convierte en un modelo adecuado para la distribucin
de la duracin de una actividad en un intervalo finito debido no solo a la amplia
variedad de formas sino tambin a las distintas intensidades de asimetra y curtosis que
puede adoptar.
Con el fin de resaltar la rigidez de este modelo y salvaguardar la flexibilidad
modeladora, Golenko-Ginzburg en 1988, mediante una reparametrizacin de la
distribucin beta, y posteriormente Herreras en 1989, utilizando el sistema generador
de Pearson, han desarrollado, por caminos distintos, unos modelos alternativos en los
que las estimaciones de E(x) y Var(x) se obtienen por las frmulas:
,2
)(+
++=k
bkmaxE (I.17)
.)3()2(
))(())(1()(
2
22
++++=
kk
mbamkabkxVar (I.18)
El parmetro k se determina segn la confianza subjetiva en la pericia del experto que
determin a, b y m, aunque el valor asignado, en el llamado PERT clsico, al parmetro
k es 4. En este sentido, la pregunta, planteada por Sasieni (1986), sobre la ponderacin
del valor modal, las respuestas iniciales de Gallagher (1987) y Littlefield y Randolph
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0
0,08
0,16
0,24
0,32 0,4
0,48
0,56
0,64
0,72 0,8
0,88
0,96
p=0,5;q=2
p=3;q=1
p=0,5;q=0,5
p=3;q=2
p=2;q=3
Figura I.3. Diferentes formas de la funcin de densidad de la distribucin beta
Generalizacin de la distribucin biparablica. Aplicaciones en el mbito financiero y el campo de la valoracin.
Captulo I
35
(1987) y los trabajos posteriores de Kamburowski (1997), Herreras, Garca y Cruz
(1999), Garca, Cruz y Herreras (2003), y Herreras, Garca y Cruz (2003) han
establecido las condiciones para algunas subfamilias de distribuciones beta.
La cuestin es la siguiente: con las tres estimaciones clsicas del PERT, (a, m y b), es
imposible determinar una nica distribucin beta, debido a que sta es una distribucin
tetraparamtrica. Para resolver este problema, en la literatura especializada se recurre
bien a hiptesis simplificadoras que permiten la especificacin casi completa de dicha
distribucin (Romero 1991; Surez 1980) o bien se intenta obtener informacin
adicional con la que pueda realizarse el ajuste con mayor, aunque no total, precisin.
En esta lnea estn los trabajos de Chae y Kim (1992), Moitra (1990) y Prez (1995) que
agregan informacin sobre la verosimilitud relativa de la moda, sobre la simetra o sobre
el apuntamiento de la distribucin respectivamente. As, imponiendo como hiptesis
simplificadora que la distribucin beta tenga la misma curtosis que la normal ( 32 = ),
se obtiene la llamada familia mesocrtica de distribuciones beta.
En este caso, la ecuacin que relaciona los valores de k con los de la moda
estandarizada (M) es:
,045)21616()155( 2223 =+++ kMMkMMk (I.19)
Conocidos los tres valores clsicos (a, m y b) y partiendo de ab
amM
= , se resuelve la
ecuacin cbica (I.19) y se obtiene un nico valor de 0>k siempre que 0 M
0,2763933 0,7236067 M 1.
Generalizacin de la distribucin biparablica. Aplicaciones en el mbito financiero y el campo de la valoracin.
Captulo I
36
Por otra parte, imponiendo que la distribucin beta estandarizada tenga la misma
varianza que la normal, 2 es decir: 36
12 = , vase Yu Chuen-Tao (1980) se obtiene la
llamada familia de distribuciones beta de varianza constante. En este caso, la ecuacin
que relaciona los valores de k con los de la moda estandarizada es:
[ ] ,02420)(367 223 =+ kMMkk (I.20)
La ecuacin cbica (I.20) siempre tiene una nica solucin 0>k , para todo valor de M
(0,1).
Es conocido, (Herreras, Garca y Cruz 2003), que la nica interseccin de ambas
familias se produce para k = 4 que es el valor asignado a la distribucin beta del PERT
clsico.
Finalmente, la familia de betas triparamtricas, formada por las distribuciones
beta ),,,( baqp , con 2= hp y 2mhq = , h > 0, tuvo su origen en el trabajo de
Ballestero y Caballer (1982) y tabulada posteriormente por Caballer (1993). El estudio
de estas familias puede verse en Garca, Cruz y Herreras (2003).
I.1.4. Distribucin trapezoidal
Definicin
Se dice que una variable X se distribuye segn una distribucin trapezoidal si su funcin
de densidad responde a la siguiente expresin:
2 Si se considera que el 997 de la masa de una distribucin normal esta comprendido entre 3 , entonces se
puede pensar que al sustituir la distribucin beta por la normal y despreciar el 3, = 6)( ab , luego 6
ab= y al
estandarizar 36
12 = .
Generalizacin de la distribucin biparablica. Aplicaciones en el mbito financiero y el campo de la valoracin.
Captulo I
37
+
+
+
=
casootroen,0
,2
,2
,2
)(
2212
2112
1112
bxmmb
xb
mmab
mxmmmab
mxaam
ax
mmab
xf (I.21)
La representacin grfica de tal funcin de densidad es:
El nombre trapezoidal refleja la forma del grfico de la funcin de densidad. Tal y como
se aprecia en las grficas anteriores la distribucin ser asimtrica a la derecha,
simtrica o asimtrica a la izquierda respectivamente si: )()( 12 ammb > ,
)()( 12 ammb = )()( 12 ammb
Generalizacin de la distribucin biparablica. Aplicaciones en el mbito financiero y el campo de la valoracin.
Captulo I
38
Ntese que tal funcin de distribucin es fcilmente invertible al ser cuadrtica y lineal.
En efecto, se denota por )()( 12 mmabL += a la suma de las amplitudes de los dos
intervalos y se obtiene:
++
+
=
11,)1)((
1,2
0,)(
22
211
11
L
mbmbLb
L
mb
L
ammaLL
amamLa
x (I.23)
Siendo x un cuantil de F(x) tal que =)(xF . Vase Palacios, Prez, Herreras y
Callejn (1999). Siendo esta propiedad muy interesante para la aplicacin del MDFD.
Para la aplicacin de esta distribucin en la estimacin de los flujos de caja vase
Herreras y Calvete (1987) y Herreras y Miguel (1988). Puede observarse que si
am =1 y bm =2 la distribucin coincide con la distribucin uniforme, y que si
mmm == 21 la distribucin se convierte en la distribucin triangular. Las expresiones
del coeficiente de asimetra y el coeficiente de curtosis se recogern solamente en el
caso de la variable estandarizada aprovechando que ambos son invariables a cambios de
origen y de escala.
Las principales caractersticas de esta distribucin se recogen en el cuadro (I.8):
Funcin generatriz de momentos
( )( )[ ]2
1221
21
))()((
)((2)(
12
tmmabmbam
eembeeamxG
tmattmbt
++=
Esperanza matemtica
+
+++=12
12213
1)(
mmab
ambmammbxE
Varianza
( )[
+
++=
212
1212
122
22
1
)(
))()()((2
))(()(18
1)(
mmab
mbammmab
ammbammbxVar
Cuadro I.8. Principales caractersticas estocsticas de la distribucin trapezoidal
Generalizacin de la distribucin biparablica. Aplicaciones en el mbito financiero y el campo de la valoracin.
Captulo I
39
La distribucin trapezoidal estandarizada
Las expresiones (I.21) y (I.22) pueden simplificarse usando la variable estandarizada
ab
axt
= resultando las siguientes expresiones para la funcin de densidad y la funcin
de distribucin respectivamente:
Generalizacin de la distribucin biparablica. Aplicaciones en el mbito financiero y el campo de la valoracin.
Captulo I
40
Notando por:
51
52
42
32
2225
41
42
32
2224
31
32
2223
21
222
1
121
1
1
1
1
2
1
2
MMMMMMP
MMMMMP
MMMMP
MMMP
Ph
MMP
+++++=
++++=
+++=
++=
=
+=
(I.26)
se obtienen los coeficientes de asimetra y curtosis recogidos en el cuadro (I.10):
Coeficiente de asimetra de Fisher
Coeficiente de curtosis de Fisher
( ) 23223432
32
2
1
35
544510
hPPh
PPhPPhg
+=
2223
422
332
24
22
52 )3(5
)72456010(3216
hPPh
PPPPhPPhhPg
++
=
Cuadro I.10. Coeficientes de asimetra y curtosis de la distribucin trapezoidal estandarizada
La distribucin trapezoidal en el PERT
Debido a que muchos procesos fsicos de la naturaleza y del cuerpo humano en general
se ajustan, o reflejan la forma, de la distribucin trapezoidal se ha generado un gran
inters alrededor de ella. En este contexto, la distribucin trapezoidal ha sido usada en el
estudio y la deteccin del cncer, (Flehinger y Kimmel 1987) (Brown 1999). Tambin
ha sido utilizada en el anlisis del riesgo por Pouliquen (1970) y ms recientemente por
Powell y Wilson (1997) y Garvey (2000). Van Dorp y Kotz (2003.a) desarrollan una
generalizacin de la distribucin trapezoidal utilizando tcnicas de mixtura de
distribuciones y resultando la siguiente expresin para la funcin de densidad de la
distribucin trapezoidal generalizada:
Generalizacin de la distribucin biparablica. Aplicaciones en el mbito financiero y el campo de la valoracin.
Captulo I
41
( )
Generalizacin de la distribucin biparablica. Aplicaciones en el mbito financiero y el campo de la valoracin.
Captulo I
42
Se demuestra, (Callejn, Prez y Ramos 1998), que si 21 2m
bacm
Generalizacin de la distribucin biparablica. Aplicaciones en el mbito financiero y el campo de la valoracin.
Captulo I
43
La figura (I.5) ofrece ejemplos de la funcin de densidad de distribuciones TSP
simtricas (M=0,5) para distintos valores de n y para los valores a=0, b=1, entre las que
se incluyen la distribucin uniforme (n=1) la triangular (n=2) y otras distribuciones con
forma de U.
Esta distribucin, notada por TSP (a,m,b,n), con bma y 0>n verifica las
siguientes propiedades:
i. Si 1>n , entonces la moda de esta distribucin es m y el valor asignado por
su funcin de densidad es ab
n
.
ii. Si 10 n y bma
Generalizacin de la distribucin biparablica. Aplicaciones en el mbito financiero y el campo de la valoracin.
Captulo I
44
=
bxmmb
xb
ab
mb
mxaam
ax
ab
am
nbmaxFn
n
1
),,,(1
(I.29)
Sus caractersticas principales vienen recogidas en el cuadro (I.11).
Esperanza matemtica 1
)1()(
+++=
n
bmnaxE
Varianza 22
)1)(2(
)/())(/())(1(2)()(
++=
nn
abmbabamnnabxVar
Cuadro I.11. Principales caractersticas estocsticas de la distribucin two-sided power Dada la complejidad de las expresiones correspondientes al coeficiente de asimetra y
curtosis solo se presenta, para el caso estandarizado, la expresin del momento de orden
k.
La distribucin two-sided power estandarizada (STSP)
Si se realiza el cambio de variableab
axt
= , la variable t toma valores en el intervalo
[0,1], se distribuye segn una distribucin standard two-sided power (STSP) y su
funcin de densidad viene dada por:
Generalizacin de la distribucin biparablica. Aplicaciones en el mbito financiero y el campo de la valoracin.
Captulo I
45
=
1 ,1
1)1(1
0 ,
),(
1
tMM
tM
MtM
tM
nMtFn
n
(I.31)
En Van Dorp y Kotz (2002.b) se obtienen los valores de la media y la varianza de una
distribucin ),( nMSTSP que vienen dados por:
Esperanza matemtica 1
1)1()(
++=
n
MntE
Varianza 2)1)(2(
)1()1(2)(
++=
nn
MMnntVar
Momento de orden k [ ] ( ) 10
1
1)
)1( +=
+
+
+
+= i
k
i
ik
k Min
n
ik
k
kn
nMtE
Cuadro I.12. Principales caractersticas de la distribucin standard two-sided power
En la figura (I.6) se recogen grficos de la funcin de densidad y la funcin de
distribucin para diferentes valores de los parmetros n y M. Obsrvese que para n=2 y
M=0,5 se obtiene la representacin grfica de la funcin de densidad de la distribucin
triangular simtrica.
n=0,2;M=0,1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
00,
060,
120,
180,
24 0,3
0,36
0,42
0,48
0,54 0,
60,
660,
720,
780,
84 0,9
0,96
n=2;M=0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0
0,06
0,12
0,18
0,24 0,3
0,36
0,42
0,48
0,54 0,6
0,66
0,72
0,78
0,84 0,9
0,96
n=3;M=0,2
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
0
0,06
0,12
0,18
0,24 0,3
0,36
0,42
0,48
0,54 0,6
0,66
0,72
0,78
0,84 0,9
0,96
n=4;M=0,99
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
0
0,06
0,12
0,18
0,24 0,3
0,36
0,42
0,48
0,54 0,6
0,66
0,72
0,78
0,84 0,9
0,96
Figura I.6. Representacin de la funcin de densidad y de la funcin de distribucin de la distribucin STSP para diferentes valores de n y M.
Generalizacin de la distribucin biparablica. Aplicaciones en el mbito financiero y el campo de la valoracin.
Captulo I
46
La distribucin two-sided power (TSP) en el PERT
Fue introducida por van Dorp y Kotz (2002.a) con un doble objetivo: extender las
aplicaciones de la distribucin triangular a los problemas asociados al riesgo y la
incertidumbre, esta puede considerarse la motivacin original, y en segundo lugar servir
como una alternativa verstil y flexible a la beta de dos y cuatro parmetros.
Los autores demuestran que la distribucin STSP tiene importantes ventajas sobre las
anteriores, entre las que se pueden citar:
Cuantiles de clculo ms fcil.
Un estimador de mxima verosimilitud que es algortmicamente eficiente.
Parmetros con interpretacin ms clara y significativa.
La estimacin de los parmetros M y n la realizan Van Dorp y Kotz (2002.b) de la
siguiente forma. En primer lugar n se estima resolviendo la ecuacin
023 =+++ fendncn (I.32) donde:
22
1=c ; 2=d ;
++
=4
1
2
1
2
1'( 2
2
xe ; 22
2
1'
4
1
= xf (I.33)
y 'x y son respectivamente la media y la desviacin tpica estimada.
Una vez que n es estimada, la estimacin de M es como sigue teniendo en cuenta que
10 M y n :
++=
2
1'
1
1
2
1x
n
nM (I.34)
En el mbito del PERT y partiendo de los tres valores habituales (a, m y b) cuyo
significado es conocido, sera imposible determinar una nica distribucin STSP, puesto
que se trata de una distribucin tetraparamtrica de parmetros a, b, m y n. Por tanto, es
Generalizacin de la distribucin biparablica. Aplicaciones en el mbito financiero y el campo de la valoracin.
Captulo I
47
necesario restringir la eleccin de una nica distribucin STSP a alguna de sus
subfamilias.
Los momentos ordinarios de orden k, van Dorp y Kotz (2002.b), son:
=
++
+
+
+==
k
i
iik
kk Min
n
ik
k
kn
nMTE
0
11
)1()1()( (I.35)
Utilizando las relaciones entre los momentos centrales:
[ ]kk TETE )(= (I.36) y los momentos ordinarios :
+=
+=
=
41
2121344
311233
2122
364
23
(I.37)
el coeficiente de curtosis, 2, de la variable aleatoria estandarizada puede calcularse en
funcin de M y n, vase Garca, Cruz y Garca (2005). Dicho coeficiente viene dado
por la siguiente expresin 3:
[ ] 2223242234
2
)1(4)1(4)1(4)1(8)1(4
)4)(3(
2
nMnnMnnnMnMn
EDMCMBMAM
nn
n
+++
++++++
+= (I.38)
siendo A, B, C, D y E polinomios en n de la siguiente forma:
+=
++=
+=
++=
+=
nnnE
nnnD
nnnC
nnnB
nnnA
639
24364836
9615612060
14424014448
721207224
23
23
23
23
23
(I.39)
3 Recurdese que 22
42
= mientras que 3
22
42
=g .
Generalizacin de la distribucin biparablica. Aplicaciones en el mbito financiero y el campo de la valoracin.
Captulo I
48
Puede demostrarse fcilmente que, en el caso de que n=1 (distribucin uniforme),
partiendo de la expresin (I.38), el coeficiente de curtosis es 5
9 y que, en el caso de que
n=2 (distribucin triangular clsica), el coeficiente de curtosis es5
12 .
Se define la familia de varianza constante como el conjunto formado por las
distribuciones STSP con la misma varianza que la distribucin normal (esto es,36
1 ), en
caso de trabajar con variables aleatorias estandarizadas, se cumple la siguiente ecuacin:
0)27272()317272(4 2223 =+++++ MMnMMnn (I.40)
Esta ecuacin permite obtener, para cada valor de M (0,1), un nico valor de 1>n .
Por tanto, se puede afirmar que, dados los tres valores habituales (a, m y b), queda
determinada una nica distribucin STSP unimodal de varianza constante. Este
resultado permite el uso de esta familia en el mbito del PERT.
Por otra parte, se define la familia mesocrtica como el conjunto de distribuciones
STSP cuyo coeficiente de curtosis ( 2 ) es igual a 3. Entonces, haciendo que la
expresin (I.38) valga 3 y reordenando algunos trminos, se obtiene la siguiente
ecuacin:
0234 =++++ edncnbnan (I.41) siendo a, b, c, d y e polinomios en M de la siguiente forma:
++=
++=
++=
++=
++=
MMMMMe
MMMMMd
MMMMMc
MMMMMb
MMMMMa
8569648)(
2329412462)(
6202242)(
18222814)(
14642)(
234
234
234
234
234
(I.42)
Generalizacin de la distribucin biparablica. Aplicaciones en el mbito financiero y el campo de la valoracin.
Captulo I
49
Se demuestra, Garca, Cruz y Garca (2005), que, para todo M (0,1), la ecuacin
(I.41) tiene una nica solucin que verifica la condicin 1>n , por lo que se puede
afirmar que siempre existe una distribucin STSP perteneciente a la familia
mesocrtica. Este resultado mejora el obtenido por la familia mesocrtica de
distribuciones beta en la cual es imposible obtener una solucin para los valores de M
(0,2763933;0,7236067).
I.1.6. Distribucin Topp-Leone
La distribucin Topp-Leone es una distribucin unimodal continua acotada cuyo origen
se encuentran en el artculo de Topp y Leone (1955) publicado en Journal Statistical
Association (JASA) que en un principio recibi poca atencin pero que ha sido
recientemente redescubierta por Nadarajah y Kotz (2003), Ghitany, Kotz, y Xie (2005)
dedican un reciente artculo a las medidas de bondad y las caractersticas estocsticas de
dicha distribucin.
Se dice que una variable aleatoria X sigue una distribucin Topp Leone de parmetros
10 b si su funcin de densidad es:
0;10;0,212
)(11
>
Generalizacin de la distribucin biparablica. Aplicaciones en el mbito financiero y el campo de la valoracin.
Captulo I
50
En las figuras (I.7) y (I.8) se representan la funcin de densidad y la funcin de
distribucin respectivamente de la distribucin Topp-Leone para diferentes valores de v
(0,1;0,5;0,9) y 1=b .
Tngase en cuenta que se utiliza la distribucin triangular con asimetra a la izquierda
como funcin de densidad generadora de la misma manera que la distribucin Weibull
es generada a partir de la distribucin exponencial.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0,01
0,08
0,15
0,22
0,29
0,36
0,43 0,5
0,57
0,64
0,71
0,78
0,85
0,92
0,99
v=0,1;b=1
v=0,5;b=1
v=0,9;b=1
Figura I.7. Funcin de densidad de las distribuciones: TL(0,1;1), TL(0,5;1) y TL(0,9;1)
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9 1
v=0,1
v=0,5
v=0,9
Figura I.8. Funcin de distribucin de las distribuciones: TL(0,1;1), TL(0,5;1) y TL(0,9;1)
Generalizacin de la distribucin biparablica. Aplicaciones en el mbito financiero y el campo de la valoracin.
Captulo I
51
Tambin se le conoce como la distribucin J-Shaped, forma de jota, ya que 0)( >xf ,
0)( xf para todo bx
Generalizacin de la distribucin biparablica. Aplicaciones en el mbito financiero y el campo de la valoracin.
Captulo I
52
que queda representada en la figura (I.9) para diferentes valores de v (0,1;0,5;0,9) y
1=b .
La figura (I.9) refleja una evidente forma de baera para la tasa de fallo de la
distribucin Topp-Leone. Considerando, adems, la sencillez de la expresin (I.45) y el
hecho de que ninguna de las distribuciones univariantes comnmente conocidas tiene
una tasa de fallo con forma de baera para el rango completo de los valores, se puede
afirmar que la distribucin Topp-Leone es la ms adecuada para ajustar fenmenos de
tiempo, Nadarajah y Kotz (2003).
I.1.7. Distribucin parablica
Parece ser que la primera referencia que se conoce de la distribucin parablica en un
libro de estadstica esta en Harold (1939, 1961). Este autor obtiene la distribucin
triangular como suma de dos distribuciones uniformes y una distribucin parablica
como suma de tres distribuciones uniformes. La intencin del autor era justificar el
teorema central del lmite demostrando que, a medida que se suman ms variables, la
distribucin se va pareciendo cada vez ms a la distribucin normal. Partiendo de una
nica variable uniforme cuya funcin de densidad es:
0
5
10
15
20
0,99
0,92
0,85
0,78
0,71
0,64
0,57 0,5
0,43
0,36
0,29
0,22
0,15
0,08
0,01
v=0,1;b=1
v=0,5;b=1
v=0,9;b=1
Figura I.9. Tasa de fallo de las distribuciones: TL(0,1;1), TL(0,5;1) y TL(0,9;1)
Generalizacin de la distribucin biparablica. Aplicaciones en el mbito financiero y el campo de la valoracin.
Captulo I
53
Generalizacin de la distribucin biparablica. Aplicaciones en el mbito financiero y el campo de la valoracin.
Captulo I
54
La distribucin parablica con la moda centrada en el origen y un rango (-a, a) viene
dada por la expresin:
Generalizacin de la distribucin biparablica. Aplicaciones en el mbito financiero y el campo de la valoracin.
Captulo I
55
construccin de un modelo del precio de opciones. Este trabajo es posterior a la tesis
doctoral de Bachelier (1900), que es considerado el trabajo seminal en Teora de precios
de opciones y anterior al de Merton (1973) y Black y Scholes (1973). Recientemente los
profesores Wolfgang. y Zimmermann (2004) han reivindicado la figura del profesor
Brozin obteniendo una expresin de la conocida frmula de Black-Scholes a partir de
las frmulas de Bronzin.
La distribucin parablica ha tenido numerosas aplicaciones entre las que destacan, en
el mbito de la economa, la simulacin del comportamiento del consumidor (Shavitt,
Winkler y Wool 2004), el anlisis de los planes de las empresas con produccin y
objetivos mltiples (Keren 1979) y trabajos sobre la distribucin de la renta (Kuznets
1955 y 1963). Existen, por otra parte, aplicaciones de la distribucin parablica en el
tratamiento de la incertidumbre, (Castrup 2002). Finalmente esta distribucin encuentra
numerosas aplicaciones en el mbito de la Fsica y de la Hidrogeologa, Wilson y
Paxson (2002) entre otros.
La distribucin parablica parece no haber sido utilizada hasta ahora en el mbito del
PERT, cuando lo cierto es que sus parmetros se podran determinar con los dos valores
habituales del PERT, para la distribucin uniforme, es decir el mnimo (a) y el mximo
(b).
A partir de la siguiente ecuacin cuadrtica recogida en la expresin (I.50):
CBxAxxf ++= 2)( (I.50)
Y conocidos a y b se determina (I.50) con las siguientes condiciones: i. 0)( =af , ii.
0)( =bf , iii. 0)2
(' =+ baf , iv. 00)2
(''
Generalizacin de la distribucin biparablica. Aplicaciones en el mbito financiero y el campo de la valoracin.
Captulo I
56
Siendo 3)(
6
baA
=
Por tanto, la expresin final de la funcin de densidad de la distribucin parablica para
su aplicacin en la metodologa PERT es:
( )
++=
casootroen,0
),(,)()(
6
)(2
3baxabxbax
baxf
(I.52)
As pues, la distribucin parablica seria una estupenda alternativa a la distribucin
uniforme, pero con el inconveniente de que esta distribucin es simtrica respecto de la
moda. La distribucin Normal tiene este mismo inconveniente, recurdese que la
distribucin beta surge como alternativa a la distribucin normal, entre otras razones,
para superar el problema de la simetra y el de no acotacin de los extremos. En la
figura (I.12) se representan las funciones de densidad para la distribucin rectangular, la
distribucin triangular y la distribucin parablica para [ ]2,2x .
A lo largo de esta memoria se estudiaran las caractersticas de la distribucin parablica
como un caso particular de la distribucin biparablica que ser presentada en el
segundo captulo. En el prximo captulo se tratar de construir una distribucin
parablica que pueda ser asimtrica.
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
-2 -1,5 -1 -0
,5 0 0,5 1 1,
5 2
Rectangular
Triangular
Parabolica
Figura I.12. Representacin de la funcion de densidad de las distribuciones rectangular, triangular y parablica para 2
Generalizacin de la distribucin biparablica. Aplicaciones en el mbito financiero y el campo de la valoracin.
Captulo I
57
I.1.8. Otras distribuciones para el tratamiento de la
incertidumbre
Adems de las distribuciones presentadas hasta ahora y comnmente empleadas en la
metodologa PERT y en la teora de valoracin, se han encontrado en la bibliografa
revisada otras distribuciones con aplicacin en el tratamiento de la incertidumbre.
En Castrup (2002) se presenta un resumen de algunas de estas distribuciones aunque
con un enfoque distinto en cuanto al concepto de incertidumbre. Se desea destacar la
distribucin coseno, la distribucin medio coseno y la distribucin U, y por ello son, a
continuacin, brevemente presentadas.
La distribucin coseno
La distribucin parablica elimina el salto brusco en la moda pero sin embargo no
presenta ninguna flexibilidad cuando se acerca a sus extremos. As pues, aunque la
distribucin parablica tiene aplicaciones extensas, incluso mayores que la distribucin
uniforme, lo cierto es que este inconveniente disminuye sus aplicaciones materiales.
Una distribucin que supera esta deficiencia, presenta una tendencia central y puede ser
determinada a partir de los valores extremos es la distribucin coseno que viene
determinada por la siguiente funcin de densidad, siendo su representacin grfica la
recogida en la figura (I.13):
+=
casootroen,0
,cos12
1)(
axaa
x
axf (I.53)
Generalizacin de la distribucin biparablica. Aplicaciones en el mbito financiero y el campo de la valoracin.
Captulo I
58
La distribucin medio coseno
Esta distribucin es de aplicacin cuando la tendencia central no es tan pronunciada y
por tanto la distribucin normal o la coseno no son apropiadas. Esto se debe a que,
aunque la distribucin coseno presenta tambin una tendencia central, posee una
probabilidad de ocurrencia cerca de los valores extremos mayor que la presentada por
las distribuciones normal o coseno.
As pues, se trata de una distribucin similar a la distribucin parablica pero sin la
perdida de flexibilidad en los extremos de la distribucin.
Su funcin de densidad es:
=casootroen,0
,2
cos4)(
axaa
x
axf
(I.54)
Su representacin grfica es la presentada en la figura (I.14) que si se compara con la
figura (I.11) se observa fcilmente como la distribucin medio coseno supera el
inconveniente de la distribucin parablica al no presentar una terminacin brusca en
los extremos de la distribucin.
La distribucin U
Su funcin de densidad tiene la siguiente expresin:
=
casootroen0
1
)( 22axa
xaxf (I.55)
Siendo su representacin grfica, a la que debe su nombre, la recogida en la figura
(I.15).
Es posible que estas distribuciones se puedan utilizar, en el futuro, como generadoras de
otras distribuciones ms complejas utilizando el sistema generador de van Dorp y Kotz
(2003.b).
Generalizacin de la distribucin biparablica. Aplicaciones en el mbito financiero y el campo de la valoracin.
Captulo I
59
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
-2
-1,7
-1,4
-1,1
-0,8
-0,5
-0,2 0,1
0,4
0,7 1
1,3
1,6
Figura (I.15). Funcin de densidad de la distribucin U para -2
Generalizacin de la distribucin biparablica. Aplicaciones en el mbito financiero y el campo de la valoracin.
Captulo I
60
I.2. DISTRIBUCIONES BIVARIANTES EN EL MTODO DE LAS
DOS FUNCIONES DE DISTRIBUCIN
I.2.0. Introduccin
Cuando se disponen de dos ndices de calidad para valorar un bien en el mtodo de las
dos funciones de distribucin es conveniente usar distribuciones bivariantes. En este
apartado se recogen algunas de las distribuciones presentadas en la tesis de Herreras
(2002). En Herreras (2005) pueden verse distintas aplicaciones de estas distribuciones
bivariantes utilizando el mtodo de las dos funciones de distribucin.
I.2.1. Distribucin cbica
Se dice que una variable z(x,y) sigue una distribucin cbica:
Generalizacin de la distribucin biparablica. Aplicaciones en el mbito financiero y el campo de la valoracin.
Captulo I
61
Puede comprobarse que: i) 0),( 21 =aaF ; ii) 1),( 21 =bbF ; iii) hyxyxF =
),(2
, que es la
forma funcional de la funcin de densidad. Ntese que si )()( 2211 abab = el ortoedro
se convierte en un hexaedro o cubo. En particular, esto se cumple cuando aaa == 21 y
bbb == 21 .
Teniendo en cuenta los resultados i) y ii) la determinacin de las caractersticas
estocsticas de las distribuciones del ortoedro y cbica se hacen a partir de las
densidades rectangulares correspondientes.
Es interesante sealar que la independencia es debida a que la funcin de densidad de la
distribucin uniforme no depende de la variable. Por ello, siempre que una de las
variables, que componga el caso bidimensional, se distribuya segn una distribucin
uniforme se va a poder expresar la funcin de densidad conjunta como el producto de
las marginales.
I.2.2. Distribucin piramidal
La funcin de densidad de la distribucin piramidal es la siguiente:
=
caso otroen , 0
),( si , ))((
3
),( si , ))((
3
),( si , ))((
3
),( si , ))((
3
),(
4112211
1
3112222
2
2112211
1
1112222
2
Tyxababam
ax
Tyxababmb
yb
Tyxababmb
xb
Tyxababam
ay
yxz (I.58)
Generalizacin de la distribucin biparablica. Aplicaciones en el mbito financiero y el campo de la valoracin.
Captulo I
62
Donde los recintos Ti (i = 1,2,3,4) son los diferentes tringulos que conforman los
recorridos de las variables X e Y, figura (I.16):
Se observa, figura (I.17), que la representacin grfica de la superficie de probabilidad
z(x,y) es una pirmide, de ah el nombre que se ha dado a la distribucin.
Se puede comprobar fcilmente, vase Herreras (2002 y 2005) que la funcin as
definida es una verdadera funcin de densidad, ya que:
1) 0),( yxz si
Generalizacin de la distribucin biparablica. Aplicaciones en el mbito financiero y el campo de la valoracin.
Captulo I
63
En cuanto a la funcin de distribucin habr que distinguir distintos casos:
Si 100 ),( Tyx se tiene que:
( )( )( )
( )320220
11
22
22010
00 62),( ay
am
amh
am
ayaxhyxF
= (I.59)
Si 200 ),( Tyx hay que distinguir los dos casos siguientes:
- Si 20 my , se tiene que:
( )( )
( )( )
( ) ( )( )( )
11
201202
2022
11
3012
11
223022
22
1100
22
66),(
mb
xbayhay
am
abh
xbmb
mahya
am
abhyxF
+
=
(I.60)
- Si 20 my > , se tiene que:
( )( ) ( )
( )( ) ( )( )
+
+
+
=
11
201203
01211
22
202
22
113022
22
1100
26
261),(
mb
xbayhxb
mb
mah
ybmb
abhyb
mb
bahyxF
(I.61)
Si 300 ),( Tyx hay que distinguir los dos casos siguientes:
- Si 10 mx , se tiene que:
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( )( )
22
202103
0222
11
210
11
223102
11
2200
26
26),(
mb
ybaxhyb
mb
amh
axam
abhax
am
bahyxF
+
+
=
(I.62)
Generalizacin de la distribucin biparablica. Aplicaciones en el mbito financiero y el campo de la valoracin.
Captulo I
64
- Si 10 mx > , se tiene que:
( )( )
( )( ) ( )
+
+
+
=
201
11
223012
11
22
22
202103
02222
1100
26
))((
261),(
xbmb
abhxb
mb
bah
bm
ybaxhyb
mb
mahyxF
(I.63)
Si 400 ),( Tyx se tiene que:
( )( )( ) ( )
( )310211
22
11
21020
00 62),( ax
am
amh
am
axayhyxF
= (I.64)
De (I.58) se deducen las funciones de densidad marginales:
Generalizacin de la distribucin biparablica. Aplicaciones en el mbito financiero y el campo de la valoracin.
Captulo I
65
A partir de (I.65), (I.66) y (I.67) se obtienen las propiedades estocsticas siguientes:
Vector de medias
++++
=
222
111
323
323
8
1bma
bma (I.68)
Matriz de varianzas covarianzas
( ) ( )( ) ( )
=
))((12)(192 23
2 23))((12)(19
320
1
22222
22222111
22211111112
11
ammbabbambam
bambamammbab (I.69)
Obsrvese que la E(X) y E(Y) son medias ponderadas que asignan mayor peso a los
extremos (ai, bi) que al valor intermedio mi (i = 1,2) al contrario de lo que ocurre en el
mtodo PERT.
Coeficiente de correlacin lineal
( )( ))))((12)(19( )))((12)(19(
2 23
22222
2211112
11
222111
ammbabammbab
bambam
= (I.70)
Adems 0= si 111
2 bam += 222
2 bam += por lo que al menos un par de caras
de la pirmide son tringulos issceles.
Transformando los recorridos de las variables X e Y, ),( 11 baRX y ),( 22 baRY en
recorridos estandarizados )1,0(*XR y )1,0(*YR se simplifican las expresiones de las
propiedades estocsticas de la distribucin piramidal.
Teniendo en cuenta que ii
iii ab
amm
=* (i = 1,2) se tiene:
Generalizacin de la distribucin biparablica. Aplicaciones en el mbito financiero y el campo de la valoracin.
Captulo I
66
Vector de medias
++
=
32
32
8
1*2
*1
m
m (I.71)
Matriz de varianzas covarianzas
++=
191212)21)(21( 3
)21)(21( 3191212320
1*2
2*2
*2
*1
*2
*1
*1
2*1
mmmm
mmmm (I.72)
Coeficiente de correlacin lineal
)191212( )191212(
)21( )213(
*2
2*2
*1
2*1
*2
*1
++
=mmmm
mm (I.73)
Ntese que el mayor valor del coeficiente de correlacin lineal es 0,1578947, lo cual
indica que la distribucin piramidal ser un modelo probabilstico adecuado cuando
entre las variables X e Y exista una correlacin lineal moderadamente dbil.
I.2.3. Distribucin troncopiramidal
Se dice que una variable z(x,y) sigue una distribucin troncopiramidal si su funcin de
densidad viene dada por:
=
casootroen0
),(
),(
),(
),(
),(
),(
5
411
1
322
2
221
1
121
2
Tyxsih
Tyxsihax
ax
Tyxsihyb
yb
Tyxsihxb
xb
Tyxsihay
ay
yxz (I.74)
Generalizacin de la distribucin biparablica. Aplicaciones en el mbito financiero y el campo de la valoracin.
Captulo I
67
Donde la constante normalizadora h tiene la siguiente expresin:
))(())(())((
6
1212221112111222 yyxxababxxabyyabh
++++= (I.75)
Se denotan por Ti (i=1,2,3,4,5) las diferentes regiones que conforman los recorridos de
(X, Y) tal y como se aprecia en la figura (I.18).
As pues, la distribucin troncopiramidal surge de considerar en los ejes cartesianos
sendas distribuciones trapezoidales que generan en el espacio un tronco de pirmide.
Las caras del tronco de pirmide pueden determinarse por planos determinados por tres
puntos: dos en la base y el tercero correspondiente a uno de los dos vrtices del tronco
de pirmide, donde la cota de estos puntos o altura del tronco de pirmide servir de
constante normalizadora para la distribucin bivariante. Su representacin grfica es:
Figura I.19. Funcin de densidad de la distribucin troncopiramidal.
Figura I.18 Recorridos de las variables X e Y
T4
T3
T2 T5
T1
x1 x2
y1
y2
Generalizacin de la distribucin biparablica. Aplicaciones en el mbito financiero y el campo de la valoracin.
Captulo I
68
En cuanto a la funcin de distribucin habr que distinguir distintos casos:
Si 100 ),( Tyx se tiene que:
( )( )( )
( )320221
11
21
22010
00 62),( ay
ay
axh
ay
ayaxhyxF
= (I.76)
Si 200 ),( Tyx hay que distinguir los tres casos siguientes:
- Si 10 yy , se tiene que:
( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
21
201203
01221
21
3202
21
1211220
21
1100
26
)(
62),(
xb
xbayhxb
xb
ayh
ayay
xxabhay
ay
abhyxF
+
=
(I.77)
- Si 201 yyy , se tiene que:
( ) ( ) ( )( )
( )( )
+
=
21
01203012
21
21
3022
22
1211202
22
1100
))((
26
)(
621),(
xb
xbayhxb
xb
ayh
ybyb
xxabhyb
yb
abhyxF
(I.79)
Si 300 ),( Tyx hay que distinguir los tres casos siguientes:
Generalizacin de la distribucin biparablica. Aplicaciones en el mbito financiero y el campo de la valoracin.
Captulo I
69
- Si 10 xx , se tiene que:
( )( )
( )
( )( ) ( )( )
22
202103
02222
11
3102
11
1222210
11
2200
26
)(
62),(
yb
ybaxhyb
yb
axh
axax
yyabhax
ax
abhyxF
+
=
(I.80)
- Si 201 xxx , se tiene que:
( )( )( )
( )
( )( ) ( )
+
=
201
21
223022
22
11
3012
21
1222
22
20210
00
26
)(
621),(
xbxb
abhyb
yb
axh
xbxb
yyabh
yb
ybaxhyxF
(I.82)
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