UNIDAD III
DIAGRAMA DE TALLOS Y HOJAS
El diagrama de tallos nos permite sacar la mediana
20 13 8 6 1015 15 10 7 812 16 18 12 15
13 2 20 13 1414 16 13 15 1513 13 18 16 14
11 5 12 15 1610 15 13 18 157 13 15 15 15
8 9 16 14 1113 8 18 15 1710 6 15 13 14
16 81312
2 0 01 5 2 3 5 6 8 2 0 5 3 4 3 6 3 9 8 3 5 6 4 5 4 1 0 5 2 3 5 5 8 5 6 5 5 3 0 6 8 5 4 5 3 1 2 4 6 3 20 8 3 6 7 8 2 7 6 3 8 9 8 6 8
2 0 01 0 0 0 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 8 8 8 8 90 2 3 3 6 6 6 7 7 8 8 8 8 8 9
INTERVALOS NI2 - 4 35 - 7 58 - 12 911 - 13 1614 - 16 2417 - 19 520 - 22 2
CENTROGRAMA
Los centrogramas son gráficos circulares, el que se divide en proporciones al tamaño de la frecuencia del intervalo.
INTERVALOS ni 0 %2 - 4 3 16.88 4.695 - 7 5 28.12 7.818 - 12 9 50.62 14.0611 - 13 16 90.00 25.0014 - 16 24 135.00 37.517 - 19 5 28.12 7.8120 - 22 2 11.25 3.12
4.39%
7.81%
14.06%
25%
37.5%
7.81%
3.12%
%
4.69 %
7.81 %
14.06 %
25.00 %
37.5 %
7.81 %
3.12 %
LEYENDA
16.88
45.00 %95.62
185.62 %
320.62%348.75%
360.00%
º A
16.88 %45.00 %95.62 %185.62 %320.62 %348.75 %360.00 %
LE-YEN-DA
INTERVALOS ni º A %2 - 4 3 16.88 4.695 - 7 5 45.00 7.818 - 12 9 95.62 14.0611 - 13 16 185.62 25.0014 - 16 24 320.62 37.517 - 19 5 348.75 7.8120 - 22 2 360.00 3.12
POLÍGONO SUAVIZADO
Yi ni nis3 3 2.76 5 5.79 9 10.0012 16 16.3315 24 15.0018 5 10.3321 2 2.33
3 6 9 12 15 18 210
5
10
15
20
25
30
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
MEDIA ARITMÉTICA MEDIANA
MODA MEDIA GEOMÉTRICA
CUANTILES
POBLACIÓN Y MUESTRA
MEDIDAS DE DISPERCIÓN
MEDIA ARITMÉTICA
Es el valor de equilibrio en la variable, es decir su valor puede estar alterado o cambiado de ubicación según se altere o modifique los valores extremos. Puede ser calculado con datos simples, datos ponderados, datos agrupados.
MEDIDAS
DE TENDENCIA CENTRAL
=
MEDIA ARITMÉTICA
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Datos simples
Yi
30292827262015105
190Yi
Datos ponderados
Yi ni Yi ni U Uni
30 1 30 4 4
29 2 58 3 6
28 8 224 2 16
27 10 270 1 10
26 20 520 0 0
20 17 340 -6 -102
15 5 75 -11 -55
10 3 30 -16 -48
=SY in
=190
9
= Unin= 155267=
Yi– ot
= 26 + 155267
=23.36
5 1 5 -21 -21
190 67 1552 -190
n Yi Uni
U=
Metodoorigen de trabajo
= ot + Uni C
Datos agrupados
INTERVALO Yi niYi ni U Uni
40 44 42 3 30 -4 -1245 49 47 5 58 -3 -1550 54 52 10 520 -2 -2055 59 57 18 1026 -1 -1860 64 62 40 2480 0 065 69 67 13 871 1 1370 74 72 7 504 2 1475 79 77 3 231 3 980 84 82 1 82 4 4
5 100 5802 -25
C n Yi ni Uni
=4
MétodoDirecto
n
=23.36=
= 155267
=Unin
= 26 + 1552 . 567
= ot + Uni C
MEDIANA
En el ámbito de la estadística, la mediana, representa el valor de la variable de posición central en un conjunto de datos ordenados. De acuerdo con esta definición el conjunto de datos menores o iguales que la mediana representarán el 50% de los datos, y los que sean mayores que la mediana representarán el otro 50% del total de datos de la muestra.
DATOS SIMPLES:
Yi 1/Yi 20 0.0519 0.05318 0.05617 0.05916 0.06315 0.06714 0.07113 0.07711 0.09110 0.110 0.687
MétodoDirecto Método Origen de Trabajo
n
FORMULA
H= n 1/Yi
H= 10 0.687
H= 14,56
DATOS PONDERADOS:
Yi ni Ni220 2 13119 3 12918 6 12617 10 12016 18 11015 40 9214 30 5213 10 2212 5 1211 3 710 4 4
131n
DATOS AGRUPADOS:
INTERVALOS
Ni Ni
2 4 3 35 7 5 88 10 9 1711 13 16 3314 16 24 5717 19 5 6220 22 2 64
64n
MODA O VALOR MODAL
En estadística, la moda es el valor con una mayor frecuencia en una distribución de datos.
FORMULA
Pos mediana= n+1 2 Posmed= 131+1 2Posmed= 66
Mediana= 15
FORMULA
Med= Yi+1 (n/2- Ni-1) cNi
Med= 10.5+ (0.9375) 3
Med= 13,3
Datos simples:
Yi2019 1817 1615
NO EXISTE MODA
Yi201918171615158
MODA=15
DATOS PONDERADOS:
Yi ni20 2
19 318 617 1016 1815 4014 113 1012 511 310 2
MODA=15
DATOS AGRUPADOS:
INTERVALOS
ni
2 4 35 7 58 10 911 13 1614 16 2417 19 520 22 2
64N
MEDIA ARMONICA
La media armónica, denominada H, de una cantidad finita de números es igual al recíproco, o inverso, de la media aritmética de los recíprocos de dichos valores y es recomendada para promediar velocidades.
FORMULA:
Mod: Yi-1 + ()
Mod: 13.5 8 3 8+19
Mod: 14,39
DATOS SIMPLES:
Yi 1/yi20 0.0519 0.05318 0.05617 0.05916 0.06315 0.06714 0.07113 0.07711 0.09110 0.110 0.687
DATOS PONDERADOS:
Yi ni ni/Yi20 2 0.119 3 0.15818 6 0.33317 10 0.58816 18 1.12515 40 2.66714 40 213 10 0.16912 5 0.41711 3 0.27310 4 0.4
9.997
Datos agrupados:
intervalos
Columna1
Yi ni ni/Yi
2 4 3 3 15 7 6 5 0.8
38 10 9 9 111 13 12 16 1.3
314 16 15 24 1.617 19 18 5 0.2
820 22 21 2 0.1
0
FORMULA:
H= n 1/Yi
H= 10 0.687
H= 14,56
FORMULA
H= nni/Yi
H= 11 9.997
H= 1.100
FORMULA
H= n ni/Yi
H= 64 6.14
H= 10,42
64 6,14
DEBER
Calcular la mediana de los siguientes datos:
DATOS SIMPLES
Y1
30
29
28
27
26
20
15
10
5
Mediana:
Pos. Md.= nH2
mda=26
Pos. Md.=102
Pos. Md.= 5
DATOS PONDERADOS
Y1 ni Ni
30 1 67
29 2 66
28 8 64
27 10 56
26 20 46
20 17 26
15 5 9
10 3 4
5 1 1
Pos. Mediana: Mediana:
Pos. Md.= nH2
mda= 26
Pos. Md.=682
Pos. Md.= 34
DATOS AGRUPADOS INTERVALOS
Intervalos Y1 ni Ni40 - 44 42 3 345 - 49 47 5 8
50 - 54 52 10 1855 – 59 57 18 3660 – 64 62 40 7665 – 69 67 13 8970 – 74 72 7 9075 – 79 77 3 9980 - 84 82 1 100
100
∑ nPos. Mediana:
Pos. Md.= n2
= 100
2
Pos. Md.= 50
Mediana:
Mda= Y 1+( n
2−¿−1¿
)×cMda= 59,5+(50−36
40 )×5
Mda= 61,25
Calcular la moda de los siguientes datos:
DATO S SIMPLES
Y1
30
29
28
27
26
20
15
10
5
Mo= No existe.
DATO S PONDERADOS
Y1 ni
30 1
29 2
28 8
27 10
26 20
20 17
15 5
10 3
5 1
Mo= 20
DATOS AGRUPADOS INTERVALOS
Intervalos ni
40 - 44 3
45 - 49 5
50 - 54 10
55 – 59 18
60 – 64 40
65 – 69 13
70 – 74 7
75 – 79 3
80 - 84 1
Mo=Y i+( ∆1
∆1+∆2 )×cMo= 59,5+( 22
22+27 )×5
Mo= 59,5+( 2249 )×5
Mo= 61, 74
∆1= 40 - 18 ∆2= 40 -13∆1= 22 ∆2= 27
DATO S SIMPLES DATO S PONDERADOS
Y1 1Yi
30 0,033
29 0,034
28 0,036
27 0,037
26 0,038
20 0,05
15 0,067
10 0,1
5 0,2
0, 595
𝚺 1Yi
Y1 ni ¿Yi
30 1 0,033
29 2 0,069
28 8 0,286
27 10 0,370
26 20 0,769
20 17 0,85
15 5 0,33
10 3 0,3
5 1 0,2
67 3,207
n 𝚺 ¿Yi
H= n
Σ1Yi
H= n
Σ ¿Yi
H= 9
0,595 H=
673,207
H= 15,13 H= 20,89
DATOS AGRUPADOS INTERVALOS
Intervalos ni Y1 ¿Yi
LA MEDIA GEOMÉTRICA
Sea una distribución de frecuencias (x , n ). La media geométrica, se define como la raíz enésima del producto de
los N valores de la distribución.
Si los datos están agrupados en intervalos, la expresión de la media geométrica, es la misma, pero utilizando la marca
de clase (Xi).
El empleo más frecuente de la media geométrica
es el de promediar variables tales como porcentajes, tasas,
números índices. etc., es decir, en los casos en los
que se supone que la variable presenta
variaciones acumulativas.
Ventajas e inconvenientes:
*En su cálculo intervienen todos los
valores de la distribución.
*Los valores extremos tienen menor
influencia que en la media aritmética.
*Es única, aunque su cálculo es más
complicado que el de la media aritmética.
40 - 44 3 42 0,07145 - 49 5 47 0,10650 - 54 10 52 0,19255 – 59 18 57 0,31660 – 64 40 62 0,64565 – 69 13 67 0,19470 – 74 7 72 0,09775 – 79 3 77 0,03980 - 84 1 82 0,012
100 1,672n 𝚺 ¿
Yi
H= n
Σ ¿Yi
H= 100
1,67 2
H= 59,81
MEDIA GEOMÉTRICA
DATO S SIMPLES
Yi
20
19
18
17
16
15
14
13
Fórmula:
G=8√20×19×18×17×16×15×14×13
G= 16,34
DATO S PONDERADOS
Yi ni log Yi ni × log × Yi
20 3 1,30103 3,90309
19 4 1,27875 5,115
18 10 1,25527 12,5527
17 18 1,23045 22,1481
16 30 1,20412 36,1236
G=n√π Yi
15 35 1,17609 41,16315
14 42 1,14613 48,137716
13 35 1,11394 38,9879
12 20 1,07918 21,5836
11 18 1,04139 18,74502
10 16 1, 16,
9 17 0,95424 16,22208
8 3 0,90309 2,70927
7 2 0,84509 1,69018
253 285,08115
n Σ ni log Yi
G= antilog𝐱( Σ∋logYi¿ )
G= antilog𝐱( 285,08115253 )
G= antilog𝐱 1,12680
G= 13,39
Fórmula:
G= Σ∋ logYi¿
Se transforma la fórmula a logaritmo y se saca luego el antilogaritmo:
DEBER
Calcular la media geométrica para los siguientes datos:
Intervalos Yi ni log Yi ni × log × Yi
6 – 12 9 4 0,95424 3,81697
13 – 19 16 10 1,20412 12,04119
20 – 26 23 9 1,36172 12,25555
27 – 33 30 35 1,47712 51,69924
34 – 40 37 25 1,56820 39,20504
41 – 47 44 17 1,64345 27,93869
48 – 54 51 5 1,70757 8,53785
55 – 61 58 3 1,76343 5,29028
62 - 68 65 3 1,81291 5,43874
111 166,22355
n Σ ni log Yi
G=n√π Yi¿
=
= 80464
=Unin
=12.56
=12 + 12 . 3 64
k
G= antilog + log ( Σ∋log Yi¿ )
G= antilog + log ( 166,22355111 )
G= antilog + log (1 ,49751 )
G= 31,4420
= ot + Uni C
FORMA DESCENDENTE
INTERVALO Yi niYi ni U Uni
18 20 19 7 133 3 2115 17 16 19 304 2 3812 14 13 9 247 1 199 11 10 6 60 0 06 8 7 10 70 -1 -103 5 4 2 8 -2 -4
MétodoDirecto Método Origen de Trabajo
n
=
= 82364
=Unin
=12.86
=10 + 61 . 3 64
0 2 1 1 1 -3 -33 64 823 61
C n Yi ni Uni
= ot + Uni C
CUANTILESSon medidas posicionales que determinan valores porcentuales en los cuales están ubicados estos elementos y son:
Cuartiles Quintiles deciles percentiles.
EjerciciosCon datos simples
Yi
20
19
18
17
16
MétodoDirecto Método Origen de Trabajo
n
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
Pos Cu1 = n+1 Pos Q2 = 2(n+1) Pos Cu3 = 3(n+1)
4 4 4
Pos Cu1 = 15+1 Pos Cu2 = 2(16) Pos Cu3 = 3(16)
4 4 4
Pos Cu1 = 4 Pos Cu2 = 8 Pos Cu3 = 12
Cu1 = 9 Cu2 = 13 Cu3 = 17
Cu amplitudsemiintercuartilica
Cu Cu3-Cu1 = 17-9 = 4
2 2
Q3 = 3(16) Q4 = 4(16)
5 5
Q3 = 9,6 Q4 = 12,8
D8 = 8(n+1) D9 = 9(n+1)
10 10
D8 12,8 D9 14,4
P25 = 25(16) P50 = 50(16)
100 100
P25 = 4 P50 = 8
P75 = 75(16) P90 = 9(16)
100 100
P75 = 12 P90 = 1,44
Con datos ponderados
Yi ni Ni Pos Cu1 = 128+1 = 32,25
20 2 128 4
19 3 126
18 6 123 Cu1 = 12
17 8 117
16 10 109 Pos Cu2 = 2(129)
15 18 99 4
14 30 81
13 15 51 Cu2 = 14
12 14 36
11 9 22 Pos Cu3 = 3(129)
10 6 13 4
9 3 7 Cu3 5
8 2 4
7 1 2 Cu =Cu3-Cu1 = 15-02 = 1,5
6 1 1 2 2
128
Q3 = 3(n+1) = 3(129) = 77,4 Resp. Q3 = 14
5 5
Q4 = 4(n+1) = 4(129) = 103,2 Resp. Q4 = 16
5 5
D8 = 8(n+1) = 8(129) = 206,4 Resp. D8 = 16
10 10
D9 = 9(n+1) = 9(129) = 116,4 Resp. D9 = 17
10 10
P25 = 25(n+1) = 25(129) = 32,3 Resp. P25 = 12
100 100
P50 = 50(n+1) = 50(129) = 64,5 Resp. P50 = 14
100 100
P45 = 45(n+1) = 45(129) = 96,75 Resp. P45 = 12
100 100
P90 = 90(n+1) = 90(129) = 116,1 Resp. P90 = 8
100 100
Con datos de intervalos
Intervalos ni Ni
20 - 26 3 3
27 - 33 4 7
34 - 40 6 13
41 - 47 8 21
48 - 54 18 39
55 - 61 40 79
62 - 68 20 99
69 - 75 15 114
76 - 82 3 117
83 - 89 1 118
7 118
c n
Pos Cu1 = Yi-1 + 1n/4-Ni-1
Pos Cu3 = Yi-1 + 3n/4-Ni-1
ni ni
Pos Cu1 = 1(118) = 29,5
Pos Cu3 = 3(118) = 88,5
4 4
Cu1 = 50,81 Cu3 = 65
Pos Q3 = Yi-1 + 3n/5-Ni-1 Pos Q4 = Yi-1 + 4n/5-Ni-1
ni ni
Pos Q3 = 3(118) = 70,8Pos Cu3 = 4(118) = 94,4
5 5
Q3 = 66,87 Q4 = 64,2
Pos D8 = Yi-1 + 8n/10-Ni-1 Pos D9 = Yi-1 + 9n/10-Ni-1
ni ni
Pos D8 = 8(118) = 94,4 Pos D9 = 9(118) = 106,9
10 10
D8 = 64,2 D9 = 71,86
Pos D25 = Yi-1 +
25n/100-Ni-1
Pos D90 = Yi-1 +
90n/100-Ni-1
ni ni
Pos D25 =
25(118) = 29,5
Pos D25 =
90(118) = 106,2
100 100
P25 = 50,81 P90 = 71,86