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Unidad 9 – Integrales indefinidas
PÁGINA 213
SOLUCIONES
1. La solución es:
a) 5,3)(;8)( 22−=+= xxFxxF b) −=)(xF cos −=− )(;2 xFx cos
3
1+x
c) xx exFexF −−=+−= )(;2)( d) 1)2(ln3)(;5)2(ln3)( −+=++= xxFxxF
2. La solución en cada caso:
a) )()2()2(4
4)(
4 34
3
4 34
3
xfx
x
x
xxF =
−=
−=′ , por tanto )(xF es primitiva de )(xf .
b) )()1(
2
)1(
11
1
1
)1(
1)(
222xf
x
x
x
x
xxxF =
+
−−=
+
−−−=
+
−+
+−=′ , por tanto )(xF es primitiva de )(xf .
c) ( ) 4 sen2 cos2 4 cos2 sen2 8 sen2 cos2 ( )F x x x x x x x f x′ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
2
PÁGINA 225
SOLUCIONES
1. Los números de la forma 2 1n + y 2 3n + son números impares. Su suma es:
(2 1) (2 3) 4 4 4( 1)n n n n+ + + = + = + que es un número par.
2. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )P Q a b c d a c a d b c b d ac bd ac bd⋅ = + ⋅ + = + + + = + + −
3
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4
SOLUCIONES
1. Las primitivas quedan:
2. Todas las primitivas son de la forma de 1
1)(
+=
xxf son de la forma CxxF ++= 1ln)( .
La que vale 3 para 0=x es: 31ln)( ++= xxF
3. La función buscada es: 2)( 3+= xxf
4. Las primitivas quedan:
k) ( )
2tg x
2C+ l) ( )
338
19
x C−
− +
5. La integrales quedan:
5
6. Las integrales quedan:
7. Las integrales quedan:
6
PÁGINA 231
7
SOLUCIONES
8. Las integrales quedan:
9. Las integrales quedan:
a) ( )3
2 222 4 5 2 5
3
xx x dx x x C− + = − + +∫ b)
2
2
1 3 13
2
xx dx C
xx
+ = − +
∫
c) ( )( )
5
22
4 45
xx x dx C
−− + = +∫ d)
42ln 3 2
3 2
xx
x
edx e C
e= − − +
−∫
e) 4 7
4 3 5 82 5ln
7
xx dx x C
x
− = − +
∫ f)
4 433 2
2 2ln4
x x x xdx x x C
x
− += − + +∫
g) 2
2
1 1ln 2 4 7
42 4 7
xdx x x C
x x
+= + − +
+ −∫ h) ( )4
3 39 24
xx x dx x C− = − +∫
i) ( )2
2
3 3ln 16
216
xdx x C
x= + +
+∫ j) ( )( )
32
22
5 2 32 3 5 ·
12
xx x dx C
−− = +∫
k) 2
3 2
2 5 7 5 72ln
3 5 3 10x x dx x C
xx x
− + = + + +
∫ l)
23
3
5 5ln 8
38
xdx x C
x= + +
+∫
10. Las integrales quedan:
8
11. Las integrales quedan:
a) 3
3 6ln 22
xdx x x C
x= + − +
−∫ b) 2
44ln 2 4ln 1
3 2dx x x C
x x= − − − +
− +∫
c) 3 2
2
22 ln ( 4)
24
x xdx x C
x
−= − + + +
+∫ d) 3 2
2
33 arctg
21
x x xdx x C
x
+ += + +
+∫
e) 2
2
1 1ln
11
x xdx x C
xx
+ −= + +
+−∫ f) 2
3 2
4 3 1 2ln 3 ln 1
12
x xdx x x C
xx x x
− += + − − +
−− +∫
i)
9
12. Las integrales quedan:
a) Cambio de variable )1( 22 tx =−
b) Cambio )( te x=
− ;
c) Cambio )ln1( 3tx =+ ;
d) Cambio )32( 2tx =− ;
e) Cambio )1( 22 tx =+ ;
f) Cambio )ln( tx = ;
g) Cambio )( 2tx = ;
h) Cambio )( 2tex= ;
i) Cambio ;)1( 2tx =+
10
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11
SOLUCIONES
13. Queda:
∫ ++−
=
+= Cx
xdxx
xxf 2
34 3
12
1)(
Si la grafica de esta función pasa por (2, 4) se verifica: 24
14
24
14 =⇒++−= CC
La función pedida es 24
1
3
1)( 2
3++
−−= x
xxf
14. Queda:
15. La solución es:
226)( 2++=′′ xxxf
Cxxxxf +++=′ 22)( 23 Por pasar por 3)0,1( =⇒− C
Luego 322)( 23+++=′ xxxxf
Cxxxx
xf ++++= 332
)( 234
Imponiendo que pase por (0, 5) obtenemos 5=C luego 5332
)( 234
++++= xxxx
xf .
16. Las integrales quedan:
a) Es inmediata ( ) Cxxx
dxxx ++−=+−∫ 32
5
3
2352
232
b) Es inmediata Cxdxx
x++=
+∫ )5(ln5
2 2
2
c) Por cambio de variable )1( tx =+ obtenemos:
d) Es racional
12
17. En cada apartado:
a)
b) Su gráfica es:
18. La solución:
Por partes:
Para que se anule en 2=x se debe verificar:
Por tanto la primitiva buscada es:
19. La solución:
Por tanto, la función buscada es:
13
20. Queda:
Como DCxxxfCxxfxf ++=⇒+=′⇒=′′ 2)(2)(2)(
Como )(xf ′′ pasa por (2, 0) : DC ++= 240
Como 10)2( =′f : 104 =+C
Entonces: 6=C ; 16−=D
La función buscada es: 166)( 2−+= xxxf
21. La solución de la integral racional es:
Cxxdxx
dxx
dxxx
x+−+=
−+
−=
−
+∫ ∫∫ 1ln2ln
1
2112
22. La solución es:
Cx
xfxxf +=′⇒=′′2
3)(3)(
2
. Como 22)0( =⇒=′ Cf
Luego 22
3)(
2
+=′x
xf , por tanto 122
)(3
++= xx
xf
23. Queda:
24. La integral queda:
Todas las primitivas de )(xf son Ce
xFx
++
=5
)1(2)(
2/5
Dos primitivas son: 75
)1(2)(
2/5
1 ++
=
xexF y 12
5
)1(2)(
2/5
2 −+
=
xexF
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