UNIDAD 7. PROPORCIONALIDAD, SEMEJANZA Y RELACIONES MÉTRICAS
RAZONES Y PROPORCIONES
DEFINICIONES
RAZÓN: La razón entre dos números reales
a y b, (b0), es el cociente entre a y b, es
decir a
b. También se escribe: a/b, ab, a:b.
Al numerador se le llama antecedente y al
denominador consecuente.
PROPORCIÓN: Es la igualdad entre dos
razones: a c
b d . Se lee: “a es a b” como “c
es a d”. También se escribe: a/b=c/d,
a:b=c:d.
a y d son los extremos; b y c son los medios.
CUARTA PROPORCIONAL: Si a c
b x , es
decir a:b=c:x entonces “x es la cuarta
proporcional entre a, b y c”, en ese orden.
MEDIA PROPORCIONAL: Si a x
x b , es
decir a:x=x:b entonces “x es la media
proporcional entre a y b”. También se llama
media geométrica.
TERCEROS PROPORCIONALES: Si “x es la
media proporcional entre a y b”. Entonces “a
y b” son las terceras proporcionales de x.
RAZÓN ENTRE DOS SEGMENTOS: La
razón entre dos segmentos es la razón entre
sus medidas, en la misma unidad de medida.
SEGMENTOS PROPORCIONALES: Dos
segmentos son proporcionales a otros dos si la
razón entre los dos primeros es igual a la
razón entre los dos segundos.
PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES
Siempre que las razones resulten definidas:
1. Producto extremos = Producto medios
Si a c
b d entonces ad=bc
2. Razones inversas
Si a c
b d entonces
b d
a c
3. Intercambio de extremos
Si a c
b d entonces
d c
b a
4. Intercambio de medios
Si a c
b d entonces
a b
c d
5. Sumar (restar) a cada antecedente su
respectivo consecuente
Si a c
b d entonces
a b c d
b d
6. Sumar (restar) a cada consecuente su
respectivo antecedente
Si a c
b d entonces
a c
b a d c
7. Razones entre la suma y la diferencia del
antecedente y el respectivo consecuente
Si a c
b d entonces
a b c d
a b c d
8. La suma de los antecedentes es a la suma
de los consecuentes como cada
antecedente es a su consecuente,
Unidad siete proporcionalidad y semejanza, Página 1 de 45
Si a c
b d entonces
a c a c
b d b d
Esta propiedad es aplicable a cualquier serie
de dos o más razones iguales, es decir:
n1 2n1 2
n n1 2 1 2
a a ... aaa a...
b b b b b ... b
9. El cuadrado de la media proporcional es
igual al producto entre las terceras
proporcionales, es decir:
Si a x
x b entonces 2x ab .
Luego la la media geométrica entre a y b
es x ab .
TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA
PROPORCIONALIDAD
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN
SEGMENTOS CONGRUENTES
TEOREMA: Si tres o más paralelas
determinan segmentos congruentes sobre una
transversal entonces dichas paralelas también
determinan segmentos congruentes sobre
cualquier otra transversal.
CONSTRUCCIÓN: Dividir un segmento dado
en n segmentos congruentes, (nZ, n2)
TEOREMA DE THALES TEOREMA: Si dos rectas son cortadas
por tres paralelas entonces los segmentos que
dichas paralelas determinan sobre una de las
rectas son proporcionales a los segmentos que
determinan sobre la otra.
COROLARIO: Toda paralela a un lado de un
triángulo determina segmentos proporcionales
sobre los otros dos lados, (o sobre sus
prolongaciones),
CONSTRUCCIÓN: Construir la cuarta
proporcional de tres segmentos dados.
TEOREMA (6o criterio de paralelismo): Si
en un triángulo una recta determina
segmentos proporcionales sobre dos lados (o
sobre sus prolongaciones) entonces dicha
recta es paralela al tercer lado.
TEOREMA: Si tres rectas concurrentes son
transversales a dos rectas paralelas entonces
sobre las paralelas se determinan segmentos
proporcionales y recíprocamente.
PROPIEDADES MÉTRICAS DE LAS
BISECTRICES
TEOREMA: En todo triángulo, la bisectriz
de un ángulo interior divide al lado opuesto en
dos segmentos proporcionales a los lados que
forman el ángulo y recíprocamente.
En un ABC, si AD es la bisectriz del A
interior, entonces: DB/DC=AB/AC y además
DB=ac/(b+c) ; DC=ab/(b+c)
TEOREMA: En todo triángulo, la bisectriz
de un ángulo exterior(*) divide exteriormente
al lado opuesto en segmentos proporcionales a
los lados del ángulo interior adyacente y
recíprocamente.
En un ABC, si AE es la bisectriz del A
exterior, con E sobre la prolongación de BC,
entonces EB/EC=AB/AC y además
EB=ac/bc; EC=ab/bc
(*) Excepto para el ángulo exterior del
ángulo opuesto a la base de un triángulo
isósceles.
Unidad siete proporcionalidad y semejanza, Página 2 de 45
TRIÁNGULOS SEMEJANTES
Dos triángulos ABC y A'B'C' son
semejantes si sus tres ángulos son
respectivamente congruentes y sus tres lados
son respectivamente proporcionales. Se
denota ABC A'B'C':
ABC A'B'C'
A A´
1. B B´
C C´
AB BC CA2. k
A B´ B C´ C A´
Los ángulos respectivamente congruentes, y
los lados respectivamente proporcionales se
llaman elementos homólogos (en semejanza).
El número k es la razón de semejanza del
ABC con respecto al A'B'C' y significa que
la medida de un lado del ABC es k veces la de
su lado homólogo en el A'B'C'.
Obviamente dos triángulos congruentes son
semejantes y su razón de semejanza es k=1.
TEOREMA: La relación de semejanza de
triángulos es una relación de equivalencia:
1. Reflexiva: ABCABC.
2. Simétrica: Si ABCA'B'C'
entonces A'B'C'ABC.
3. Transitiva: Si ABCA'B'C'
y A'B'C'A"B"C"
entonces ABCA"B"C".
La transitividad es un método muy utilizado
para probar que dos triángulos son
semejantes.
CRITERIOS DE SEMEJANZA
TEOREMA FUNDAMENTAL: Toda paralela a
un lado de un triángulo dado determina un
triángulo semejante a éste.
TEOREMA: ( SLAL) Si dos triángulos tienen
un ángulo congruente formado por lados
proporcionales entonces son semejantes.
TEOREMA: (SAA) Si dos triángulos tienen
dos ángulos respectivamente congruentes
entonces son semejantes.
TEOREMA: (SLLL) Si dos triángulos tienen
sus tres lados respectivamente proporcionales
entonces son semejantes.
TEOREMA: Si dos triángulos rectángulos
cumplen alguna de las siguientes propiedades
entonces son semejantes:
1. Si tienen un ángulo agudo congruente.
2. Si tienen los catetos proporcionales.
3. Si tienen proporcionales las hipotenusas y
uno de sus catetos.
TEOREMA: Si dos triángulos son
semejantes entonces la razón entre dos
elementos (rectilíneos) homólogos: alturas,
medianas, bisectrices, es igual a la razón de
semejanza entre los triángulos.
Unidad siete proporcionalidad y semejanza, Página 3 de 45
RELACIONES MÉTRICAS EN LOS
TRIÁNGULOS
PROYECCIONES ORTOGONALES SOBRE
UNA RECTA
PROYECCIÓN DE UN PUNTO: La proyección
ortogonal de un punto P sobre una recta L es
el punto P’ de intersección entre la recta L y la
recta perpendicular a L que pasa por P; es
decir P’ es el pie de dicha perpendicular.
PROYECCIÓN DE UN SEGMENTO: La
proyección ortogonal de un segmento AB sobre
una recta L es el segmento A’B’ formado por
los puntos proyecciones ortogonales de todos
los puntos del segmento AB sobre la recta L.
NOTA: En adelante nos referiremos a una
proyección ortogonal simplemente como
proyección.
RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS
RECTÁNGULOS
TEOREMA: En todo triángulo rectángulo la
altura relativa a la hipotenusa determina dos
triángulos rectángulos semejantes a él.
En un ABC rectángulo en A, sean m y n las
proyecciones de los catetos c y b sobre la
hipotenusa a y sea h la altura sobre ella:
CATETO MEDIA PROPORCIONAL TEOREMA: Cada cateto es media proporcional
entre la hipotenusa y su proyección sobre ella:
b2 = a n ; c2 = a m.
TEOREMA DE PITÁGORAS TEOREMA: El cuadrado de la hipotenusa es
igual a la suma de los cuadrados de los
catetos: a2 = b2 + c2.
ALTURA MEDIA PROPORCIONAL TEOREMA: La altura sobre la hipotenusa es
media proporcional entre las proyecciones de
los catetos sobre la hipotenusa: h2 = m n.
ALTURA 4a PROPORCIONAL TEOREMA: La altura relativa a la hipotenusa
es cuarta proporcional entre la hipotenusa y
los catetos: ah = bc .
CONSTRUCCIÓN: Dados dos segmentos
construir su media proporcional.
RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS
OBLICUÁNGULOS
LEY DEL COSENO TEOREMA: En un triángulo, el cuadrado del
lado a opuesto a un ángulo A agudo (obtuso)
es igual a la suma de los cuadrados de los
otros dos lados, menos (más) el doble
producto de uno de ellos por la proyección del
otro sobre él, es decir:
A agudo: a2 = b2 + c2 – 2 b Proy (c
/b)
A obtuso: a2 = b2 + c2 + 2 b Proy (c /b)
NOTA: Este teorema es una generalización
del teorema de Pitágoras.
TEOREMA: Dado un triángulo ABC de lados
a, b y c entonces:
1. A es agudo a2 < b2 + c2
2. A es recto a2 = b2 + c2
3. A es obtuso a2 > b2 + c2
Unidad siete proporcionalidad y semejanza, Página 4 de 45
CÁLCULO DE ALTURAS TEOREMA: La altura ha, relativa al lado a,
de un triángulo ABC está dada por:
a2
h p(p a)(p b)(p c)a
donde p es el semiperímetro: a b c
p2
CÁLCULO DE MEDIANAS TEOREMA: La mediana ma, relativa al lado a,
de un triángulo ABC está dada por:
22 2
2a
ab cm
2 4
CÁLCULO DE BISECTRICES TEOREMA: Si la bisectriz va=AD, del ángulo
Aint de un triángulo ABC determina los
segmentos DB y DC sobre el lado a, entonces:
2
av bc DB.DC
TEOREMA: Si la bisectriz wa=AE, del ángulo
Aext de un triángulo ABC determina los
segmentos EB y EC sobre el lado a y su
prolongación, entonces:
2
aw EB.EC bc
RELACIONES MÉTRICAS EN LA
CIRCUNFERENCIA
RADIO DE LA CIRCUNFERENCIA
CIRCUNSCRITA TEOREMA: En un ABC, el producto entre el
diámetro 2r de su circunferencia circunscrita
y la altura ha, es igual al producto entre los
lados b y c del triángulo, es decir a2rh bc ,
luego:
a
bc abcr
2h 4 p(p a)(p b)(p c)
donde p es el semiperímetro: a b c
p2
CUERDAS SECANTES TEOREMA: Si en un punto P interior a la
circunferencia se cortan dos cuerdas AB y
A B´ entonces el producto entre los dos
segmentos de la primera es igual al producto
entre los dos segmentos de la segunda, es
decir PA x PB PA´x PB´ .
RECTAS SECANTES TEOREMA: Si desde un punto P exterior a
una circunferencia se trazan dos rectas AB y
A B´ secantes a ella, (P-A-B, P´-A´-B´),
entonces el producto entre el segmento
externo de la primera y la secante completa es
igual al producto entre el segmento externo
de la segunda y la secante completa, es decir
PA x PB PA´x PB´ .
SECANTE Y TANGENTE TEOREMA: Si desde un punto P exterior a
una circunferencia se trazan una tangente PT
, y una secante PAB , entonces el segmento
tangente es media proporcional entre la
secante completa y su segmento externo, es
decir: 2
PA x PB PT
Unidad siete proporcionalidad y semejanza, Página 5 de 45
POTENCIA
POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO A
UNA CIRCUNFERENCIA: Dada una C(O; r) y
dado un punto P en su plano, se llama Potencia
“p” del punto P con respecto a la C(O; r), ¸ al
producto entre las medidas de los segmentos
orientados determinados, por él y por la
circunferencia, sobre cualquier recta secante
a ella que pase por P.
TEOREMA: Dada una C(O; r ) y dado un punto
P en su plano, si d = OP, entonces la potencia
p del punto P con respecto a la C(O; r ) está
dada por: p = d2 r2.
TEOREMA: La potencia de un punto exterior
a una circunferencia es el cuadrado del
segmento de tangente trazado desde él.
TEOREMA: El lugar geométrico de los puntos
de igual potencia con respecto a dos
circunferencias no concéntricas es una recta
perpendicular a la recta de sus centros.
EJE RADICAL
Dadas dos circunferencias no concéntricas se
llama Eje Radical de ellas al lugar geométrico
de los puntos del plano que tienen igual
potencia con respecto a ellas.
TEOREMA: Las tangentes a dos
circunferencias no concéntricas trazadas
desde un punto de su eje radical, exterior a
ellas, son congruentes y recíprocamente.
TEOREMA: Dadas dos circunferencias no
concéntricas, según su posición, el eje radical
se obtiene como sigue:
1. Exteriores: La recta que une los puntos
medios de sus segmentos tangentes
exteriores comunes.
2. Secantes: La recta secante común
3. Tangentes: La recta tangente común.
4. Interiores: La recta perpendicular a la
línea de sus centros que pasa por el punto
donde concurren los ejes radicales entre
cada una de ellas y una circunferencia
secante a ambas.
TEOREMA: Dadas tres circunferencias, de
centros no colineales, entonces sus ejes
radicales concurren en un punto.
CENTRO RADICAL
Dadas tres circunferencias, de centros no
colineales, se llama Centro Radical de ellas al
punto donde sus ejes radicales concurren.
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CRUCIGRAMA PROPORCIONALIDAD
(REALIZÓ: Carlos Alberto Ríos Villa)
1 2
3
4 5
6 7 8 9 10
11
12 13
14
15 16
17
18
19 20 21
22
23 24
25 26
27
28
29
30 31
32
33 34
35
Unidad siete proporcionalidad y semejanza, Página 7 de 45
HORIZONTALES
1 ESTE TEOREMA DICE QUE SI POR UN LADO DE UN TRIÁNGULO SE TRAZA
UNA PARALELA A OTRO, ENTONCES RESULTAN DOS TRIANGULOS QUE SON SEMEJANTES
4 INTERSECCION ENTRE UNA RECTA Y LA PERPENDICULAR TRAZADA DESDE EL PUNTO A ELLA.
5 EN UNA PROPORCION, EL CONSECUENTE DEL PRIMER TERMINO Y EL ANTECEDENTE DEL SEGUNDO
6 EL CRITERIO DE SEMEJANZA MAS USADO 9 EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL TRIÁNGULO NOS PERMITE CONCLUIR
QUE EL CRITERIO SAAA SE PUEDE REDUCIR A ESTO. 11 EN UN TRIANGULO RECTANGULO ESTE SEGMENTO SE PUEDE CALCULAR
COMO EL PRODUCTO DE LOS SEGMENTOS EN QUE QUEDA DIVIDIDA LA HIPOTENUSA
12 EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO CADA LADO (NO LA HIPOTENUSA) AL CUADRADO, PUEDE CALCULARSE COMO EL PRODUCTO ENTRE LA HOPTENUSA Y SU PROYECCIÓN SOBRE ELLA
13 LA ALTURA RELAIVA A LA HIPOTENUSA EN UN TRIANGULO RECTANGULO LO DIVIDE EN ________________ TRIÁNGULOS SMEJANTES
14 SI ESTOS LADOS LO SON RESPECTIVAMENTE EN DOS TRIANGULOS RECTANGULOS, ESTOS SERÁN SEMEJANTES
15 CON ESTOS DOS ELEMENTOS RESPECTIVAMENTE PROPORCIONALES EN DOS TRIANGULOS RECTANGULOS, ESTOS SERAN SEMEJANTES
16 TEOREMA EN EL QUE DEBE HABER UNA PARALELA A UNO DE LOS LADOS DEL TRIANGULO
17 CRITERIO DE SEMEJANZA 18 ESTE TEOREMA CONCLUYE QUE ESTE SEGMENTO EN UN TRIANGULO CREA
SEGMENTOS PROPORCIONALES AL LADO ADYACENTE. 19 CRITERIO DE SEMEJANZA 21 LOS TRIANGULOS RESULTANTES AL TRAZAR LA ALTURA RELATIVA A LA
HIPOTENUSA EN UN TRIANGULO RECTANGULO, PERMITEN ESTABLECER ESTAS ECUACIONES.
23 EL TEOREMA DE THALES INVIRTIENDO LA HIPOTESIS Y LA TESIS, PERO ADEMAS SIMPLIFICADO.
24 PRODUCTO DE LA MEDIDA DE UN SEGMENTO SECANTE A UNA CIRCUNFERENCIA Y SU PARTE EXTERIOR
26 RESULTA SI EN UNA RAZON UN ANTECENTE Y UN CONSECUENTE SON IGUALES
27 EN UNA PROPORCIÓN EL NUMERADOR DEL PRIMERO Y EL DENOMINADOR DEL SEGUNDO TERMINO
28 ESTE SEÑOR DIJO TALES COSAS QUE REALMENTE TENEMOS MUCHO QUE AGRADECERLE, POR EJEMPLO QUE SI DOS RECTAS SON CORTADAS POR TRES PARALELAS ENTONCES LOS SEGMENTOS QUE SE FORMAN EN UNA SON PROPORCIONALES A LOS QUE SE FORMAN EN LA OTRA
29 DENOMINADOR DE UNA RAZON 30 SI ESTOS SEGMENTOS ESTAN EN UNA CIRCUNFERENCIA Y SE CORTAN EL
PRODUCTO DE LOS SEGMENTOS EN QUE SE DIVIDE UNO ES IGUAL AL PRODUCTO DE LOS SEGMENTOS EN QUE SE DIVIDE EL OTRO
32 EN TRIANGULOS SEMEJANTES ESTOS SEGMENTOS TAMBIEN LO SON 33 CON ALGUNOS DATOS Y USANDO ESTE TEOREMA PODEMOS ENCONTRAR
ALGUNAS PARTES DE UN TRIANGULOS CUALQUIERA 34 CONCLUSION A LA QUE PODEMOS LLEGAR SI DOS RECTAS FORMAN
SEGMENTOS PROPORCIONALES SOBRE OTRAS DOS 35 COCIENTE ENTRE DOS NUMEROS REALES
VERTICALES
1 INICIALES DE ESTE TEOREMA TAN FUNDAMENTAL EN
LAS PROPORCIONES. SI TRES O MAS PARALELAS DETERMINAN SEGMENTOS CONGRUENTES EN UNA TRANSVERSAL ENTONCES........
2 SI LA RELACIÓN DE DOS ES IGUAL A LA RELACION ENTRE OTROS DOS ENTOCES ESTAS PORCIONES DE RECTA SE LLAMAN ASÍ.
3 ESTE PERSONAJE, ENTRE OTRAS COSAS, ESTUDIO MUY BIEN LOS TRIANGULOS RECTANGULOS
7 UNO IGUAL ES SUFICIENTE PARA QUE DOS TRIANGULOS RECTANGULOS SEAN SEMEJANTES
8 ESTOS TRIANGULOS TIENEN LA MISMA FORMA PERO NO LA MISMA MEDIDA
10 OTRO NOMBRE PARA LA RAZON DE SEMEJANZA 20 EN UNA PROPORCIÓN EL ANTECEDENTE DEL PRIMERO
Y EL CONSECUENTE DEL SEGUNDO 22 LA MEDIDA DE ESTE SEGMENTO ES IGUAL A LA
POTENCIA DE UN PUNTO 25 RELACIÓN DE IGUALDAD ENTRE DOS RAZONES 31 ESTE SGMENTO DIVIDE EL LADO OPUESTO DE UN
TRIANGULO EN SEGMENTOS PROPORCIANALES A SU RESPECTIVO LADO ADYACENTE
Unidad siete proporcionalidad y semejanza, Página 8 de 45
Para afrontar la solución de los ejercicios correspondientes a esta unidad debes
tener presente los conceptos de razones y proporciones, así como sus diferentes
propiedades. En la solución de los ejercicios es necesario recordar los siguientes
aspectos:
1. teorema fundamental de la proporcionalidad
2. teorema de Thales
3. propiedades métricas de las bisectrices
4. teoremas sobre la semejanza de triángulos
5. relaciones métricas en triángulos oblicuángulos
6. relaciones métricas en triángulos rectángulos
7. calculo de la medida de las alturas, medianas y bisectrices
8. relaciones métricas en la circunferencia
Se hace recomendable la realización de un resumen sobre dicho tema.
UNIDAD 7
PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA
Unidad siete proporcionalidad y semejanza, Página 9 de 45
1. En un ΔABC cualquiera se trazan las alturas AJ y CH que se interceptan en I.
Demostrar que: IA.IJ = IC.IH
GRAFICA 83
( )
AFIRMACION RAZON
1 °
2
3
4
5
6 ( ) ( )( )
2. En una circunferencia C(O,R) se traza un diámetro AB, se toma un punto P tal que A-O-P-
B , se levanta PC perpendicular a AB que corta a C(O,R) en E (P-E-C) y se traza AC que
corta a C(O,R) en D (A-D-C). Demostrar que AB . AP = AD . AC
GRAFICA 84
AFIRMACION RAZON
1
2
3
4 ( ) ( )
Unidad siete proporcionalidad y semejanza, Página 10 de 45
3. Demostrar que el segmento tangente común a dos circunferencias tangentes exteriores
y no congruentes es media proporcional entre los diámetros de las circunferencias.
GRAFICA 85
Determina los elementos de la hipótesis y la
tesis
AFIRMACION RAZON
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Unidad siete proporcionalidad y semejanza, Página 11 de 45
21
igualación
22
23
4. Se tiene un triángulo ABC inscrito en una circunferencia, se toma un punto cualquiera E
sobre el arco BC y D punto de intersección entre AE y BC, Demostrar que:
AC . DE = DC . BE
GRAFICA 86
AFIRMACION RAZON
1 AxB
2
3
4
5 ( )( ) ( )
Unidad siete proporcionalidad y semejanza, Página 12 de 45
5. Una persona de 180 cm. de estatura camina hacia un tanque esférico que reposa sobre el piso.
Cuando está a una distancia de 500cm. Del punto de contacto del tanque con el piso, su cabeza chaca
con el tanque. ¿Cuánto mide el radio del tanque?
GRAFICA 87
Podemos observar que AD=DC y representa
la altura de la persona, mientras que OC
equivale al radio, de donde aplicando el
Teorema de Pitágoras obtenemos:
6. Se toma un triángulo ABC y se traza una recta que corta a los lados AC y AB del
triángulo en E y H respectivamente; se trazan AD, BK y CR perpendiculares a la recta y se
prolonga CB hasta cortarla en L. Demostrar que 1CL
BL
BH
AH
AE
CE
GRAFICA 88
1. Podemos determinar que los triángulos y son semejantes, de donde
2. Podemos determinar que los triángulos y son semejantes, de donde
3. Podemos determinar que los triángulos y son semejantes, de donde
Unidad siete proporcionalidad y semejanza, Página 13 de 45
4. Si tomamos las tres igualdades correspondientes y multiplicamos lado a lado
obtenemos
(
) (
)(
)
7. La hipotenusa de un triángulo mide 60u y la altura sobre ella 12u. Calcular la medida de
los catetos y su proyección sobre la hipotenusa.
GRAFICA 89
AFIRMACION RAZON
1
2
3
4
5
6
7
8. En una circunferencia C(O,r), AB = 10u y CD = 6u son cuerdas paralelas y la distancia
entre ellas es de 4u; encuentre el radio de la circunferencia
GRAFICA 90
En este ejercicio podemos trazar el
segmento MN que pase por el centro de la
circunferencia y sea perpendicular a ambos
segmentos.
Por lo tanto con los dos triángulos isósceles
formados podemos aplicar el teorema de
Pitágoras
Y sabiendo que
Resuélvelo siguiendo el análisis
Unidad siete proporcionalidad y semejanza, Página 14 de 45
9. En un triángulo ABC Isósceles de base BC, se traza CD perpendicular a AB. Demostrar
que AB2 + AC2 + BC2 = BD2 + 2AD2 + 5CD2
GRAFICA 91
AFIRMACION RAZON
1
2
3
4
5
6
7
10. Si CD es la bisectriz interior del ángulo C en un triángulo ABC y AC = b, BC = a , AB = c,
AC 2 . Demuestre que abac 2
GRAFICA 92
Determina la hipótesis y la tesis del
ejercicio
Por medio de la información suministrada tenemos que CD=m (¿Por qué?)
Si aplicamos el teorema de la bisectriz obtenemos que
donde por propiedades de
las proporciones
También podemos concluir que (¿Por qué?) lo que nos lleva a
Unidad siete proporcionalidad y semejanza, Página 15 de 45
Retomando
si sustituimos n obtenemos que √
11. Se tiene un triángulo cualquiera ABC. D y E dividen a BC en tres partes iguales, o es el
punto medio de BC y H el pie de la altura relativa a BC. Si CB = a, CA = b, y AB = c ; hallar
AO, HO, AE y AD en función de a, b y c.
GRAFICA 93
Para resolver el siguiente ejercicio podemos establecer que CD=DE=EB=1/3CB=a/3,
también tenemos que OD=OE=1/6CB=a/6 y OC=OB=1/2CB=a/2.
1. Ahora encontremos el valor de AH por medio del cálculo de la altura en función del
semiperimetro p
√
2. Hallemos AO mediana en función de a, b y c
3. Tomando el recto en H hallamos OH por Pitágoras ya que AO y AH son
conocidos.
4. Con todo lo anterior podemos tomar el rectángulo en H con AH conocido y
HE=OE-OH, aplicando el teorema de Pitágoras. Con todo lo anterior halla AD
Unidad siete proporcionalidad y semejanza, Página 16 de 45
12. Demostrar que si se traza un segmento tangente y uno secante a una circunferencia C(O,r) desde
un mismo punto exterior a ella, el segmento tangente es media proporcional entre el segmento
secante y su parte exterior.
GRAFICA 94
El siguiente ejercicio es muy fácil de resolver,
primero veamos que (¿Por qué?)
Lo que nos lleva a que (¿Por qué?)
De donde
realízalo argumentando cada paso
13. Se tiene un triángulo isósceles ABC de base BC inscrito en una circunferencia C(O,r), se
traza un segmento AE cualquiera, con E sobre el arco CB y que corta a BC en D demostrar
que AB2 = AE . AD
GRAFICA 95
Para demostrar este ejercicio tracemos BE y
BC, sabemos que y podemos
observar también que
(¿Por qué?).
Lo anterior nos lleva a que (¿Por
qué?).
De donde podemos concluir que
realízalo argumentando cada paso
14. En un Triángulo ABC rectángulo en C se inscribe un cuadrado DEFG con DE sobre la
hipotenusa (A-D-E-B). Demostrar que AD . EB = DG . FE y que DE es media
proporcional entre AD y EB.
GRAFICA 96
otro ejercicio fácil de realizar estableciendo
que
Luego establecemos las proporciones
correspondientes teniendo presente que
realízalo argumentando cada paso
Unidad siete proporcionalidad y semejanza, Página 17 de 45
15. Los radios de dos circunferencias concéntricas son 26u y 10u , calcular la longitud de la
cuerda de la mayor que es tangente a la menor.
GRAFICA 97
Observa que (¿Por qué?).
Luego aplicando el teorema de Pitágoras
podemos hallar AP=PB
realízalo argumentando cada paso
16. El diámetro de una circunferencia mide 20u. ¿En cuánto habrá que prolongarlo para que
la tangente trazada desde el punto obtenido tenga igual longitud que el diámetro?
GRAFICA 98
Para resolver este ejercicio recuerda:
Si desde un punto P exterior a una
circunferencia se trazan una tangente , y una
secante , entonces el segmento tangente es
media proporcional entre la secante completa y
su segmento externo, es decir:
PT
PAB
2PA x PB PT
Unidad siete proporcionalidad y semejanza, Página 18 de 45
EJERCICIOS UNIDAD 7- PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA
1. En un triángulo ABC cualquiera se trazan OF (O baricentro) y CE perpendiculares a AB, con F y E sobre
AB. Demostrar que OF = (1/3)CE
Grafica 87
1.De acuerdo a la gráfica y al enunciado del
problema determina la hipótesis y la tesis
2. Dada las afirmaciones determina la
razón de cada paso.
AFIRMACION RAZON
01 C =
CD ˄ D
CD
02 CE ‖ F
03 ∢DCE ∢D F
04 ΔCED Δ FD
05 CE
F ED
FD CD
D
06 CE
F ED
FD CD
CD
07 CE
F F
CE
Unidad siete proporcionalidad y semejanza, Página 19 de 45
2. Dado un trapecio ABCD rectángulo en A con AB=2DC=2a, CD=DA=a; AC y BD se interceptan en I.
Demostrar que 5aBD , 2aAC y aBI3
52
Grafica 88
1.De acuerdo a la gráfica y al enunciado
del problema determina la hipótesis y la
tesis
2. Dada las afirmaciones determina la
razón de cada paso.
AFIRMACION RAZON
01 Tracemos CE ⊥ AB AE EC EB a
02 BC √ a
03 DB2=𝑎2+4 𝑎2
DB=√ a
04 AC2= 𝑎2+ 𝑎2
AC=√ a
05 D
a B
a D B
06 ID+IB=DB
ID+2ID=√ a
3ID=√ a
ID=√
07 IB=2(√
Unidad siete proporcionalidad y semejanza, Página 20 de 45
3. Demostrar que en un paralelogramo la suma de las medidas de los cuadrados de los cuatro lados es
igual a la suma de los cuadrados de las diagonales.
Grafica 89
1.De acuerdo a la gráfica y al enunciado
del problema determina la hipótesis y la
tesis
2. Dada las afirmaciones determina la
razón de cada paso.
AFIRMACION RAZON
01 AC2=AB2+BC2+2AB BE
02 DB2=AD2+AB2-2AB A
03 Sumando las dos igualdades
04 AC2+ DB2=AB2+BC2+ AD2+AB2
05 AC2+ DB2=AB2+BC2+ AD2+DC2 AB DC
AD BC
4. En un triángulo PQR se prolonga PQ hasta S con PQ = QS, se toma U sobre PR tal que UR = (2/3) PU y
se traza SU que corta a QR en T. Calcular la razón QT/QR
Grafica 90
1.De acuerdo a la gráfica y al enunciado
del problema determina la hipótesis y la
tesis
2. Dada las afirmaciones determina la
razón de cada paso.
AFIRMACION RAZON
01 tracemos ‖
02 ∢R ∢R
Unidad siete proporcionalidad y semejanza, Página 21 de 45
∢R ∢R
∢ T ∢
03 ∢ TR ∢ T
04 Δ T Δ T
05 ΔR ΔR
06 R
R
R
R
07
R
R
R
R
R
R
R R
R
R R
R
R
R
08
T
T T
T
09
T
T T
T
10
T
T T
T
11
T
T
T T
T
12
T
T
13
R
T
T
R
(
R
T =
Unidad siete proporcionalidad y semejanza, Página 22 de 45
5. Se da un triángulo ABC con AB > AC . Se trazan las bisectrices interior AD y exterior de AE del A ,
con D y E sobre BC. Demostrar que:
22222
BD
AEAD
CD
AEAD
Grafica 91
1.De acuerdo a la gráfica y al
enunciado del problema determina la
hipótesis y la tesis
2. Dada las afirmaciones determina la
razón de cada paso.
AFIRMACION RAZON
01 ∢DAC ∢CAE 90°
02 AD2+AE2=DE2
DE=√AD AE
03 DC
BD AC
AB
04 CE
BE AC
AB
05 DC
BD CE
BE
06 BE
BD CE
DC
CE
DC BE
BD
DE DC
DC BD DE
BD
DE
DC
DE
BD
DE
DC DE
BD
√AD AE
DC √AD AE
BD
Unidad siete proporcionalidad y semejanza, Página 23 de 45
6. En un trapecio ABCD isósceles de base mayor AB, la diagonal BD es perpendicular a AD. Si AB mide 50u
y AD = 14u. Calcular el perímetro del trapecio.
Grafica 92
1.De acuerdo a la gráfica y al enunciado
del problema determina la hipótesis y
la tesis
2. Dada las afirmaciones determina la
razón de cada paso.
Por ser trapecio isósceles AD=BC=14, si trazamos las alturas del trapecio en los puntos D y
C tenemos DP=CQ, por lo tanto los ΔAPD ΔB C por H-C lo cual implica AP=QB=m
Luego PQCD es rectángulo e implica DC entonces
AFIRMACION RAZON
01 AD2=A AB
142=m 0
M=98/25
02 AB m
0 9
0
03 P=AB+BC+DC+AD
P=50+14+1054/5+14
P=3004/25
Unidad siete proporcionalidad y semejanza, Página 24 de 45
7. En un trapecio ABCD de base mayor AB = 3a, AD = CD = a y A = 60º. Calcular BC y la longitud del
segmento que une los puntos medios de las bases.
Grafica 93
1.De acuerdo a la gráfica y al enunciado del
problema determina la hipótesis y la tesis
2. Dada las afirmaciones determina la razón
de cada paso.
Tracemos DQ ⊥ AB, DQ=h, luego ∢ADQ=30°, C ⊥ AB , CP=h luego DC=QP=a por ser rectángulo
QPCD
AFIRMACION RAZON
01 A
AD
a
02 A A A
A a
a
A a
03 B AB A
B a a
B a
04 D
√ AD
√ a
05 D C h
06 CB2=CP2+PB2
CB2 a2/4 + 9a2/4
CB=√ a
07 D C a
08
a
09 D
D , paralelogramo D ‖
10 D
Unidad siete proporcionalidad y semejanza, Página 25 de 45
8. Desde el punto medio D del cateto AB de un triángulo rectángulo en A se traza DE perpendicular a la
hipotenusa. Demostrar que EC2 - EB2 = AC2
Grafica 94
1.De acuerdo a la gráfica y al enunciado del
problema determina la hipótesis y la tesis
2. Dada las afirmaciones determina la razón
de cada paso.
AFIRMACION RAZON
01 AB
EB BC
BD AC
ED
DB
EB AC
ED CE ED
BD
DB EB EB EC
DB =EB CE EB
DB =EB CE EB
02 AC2+AB2=BC2
AC2= BC2-AB2
AC2=(CE+EB)2-(2DB)2
AC2=CE2+2CE EB+EB2-4DB2
AC2=EC2+2(2DB2-EB2)+EB2-4DB2
AC2=EC2+4DB2-2EB2+EB2-4DB2
AC2=EC2-EB2
Unidad siete proporcionalidad y semejanza, Página 26 de 45
9. Dos circunferencias secantes y congruentes O y O´ son ortogonales (las tangentes trazadas en sus
puntos de intersección son perpendiculares); por uno de sus puntos de intersección A se traza una cuerda
MAN(M sobre la circunferencia O y N sobre la circunferencia O´).
Demostrar que MA2 + NA2 = 2 2,OO
Grafica 95
1.De acuerdo a la gráfica y al enunciado
del problema determina la hipótesis y
la tesis
2. Dada las afirmaciones determina la
razón de cada paso.
AFIRMACION RAZON
01 Podemos demostrar que los triángulos
ΔAPO Δ por ALA
02 En el triángulo ΔOAO’ por Pitágoras
R√ ya que ∢OAO’ =90° ˄ OA=O’A=R
03 A
A y A
A por ser ⊥s a las cuerdas
04 Por A
A
05
A R
Por Pitágoras en el Δ A tenemos
A 2+(
A 2=R2
R2
A2+ A 2=4R2
A2+ A 2=2(√ R 2
A2+ A 2=2( 2
Unidad siete proporcionalidad y semejanza, Página 27 de 45
10. Se tiene un paralelogramo ABCD con AD = 20, AB = 36 y BD = 40, encontrar la medida del
segmento AC.
Grafica 96
1.De acuerdo a la gráfica y al enunciado del
problema determina la hipótesis y la tesis
2. Dada las afirmaciones determina la razón
de cada paso.
Tracemos CP⊥AB en P donde B proyeccion de BC sobre AB
AFIRMACION RAZON
01
B 0 0
B
AC2=AB2+BC2-2AB (B
402=362+202-2(36)(B
02 DB2=AB2+AD2+2(AB)(BP)
DB2=362+202+2(36)(
DB2=1792
DB=8√
Unidad siete proporcionalidad y semejanza, Página 28 de 45
11. Si ABC triángulo cualquiera, AD bisectriz del ángulo A, DE paralelo con AB (E sobre AC) y AB = c,
AC = b , BC = a, encontrar DC, BD, AE, CE y DE en función de a ,b y c.
Grafica 97
1.De acuerdo a la gráfica y al
enunciado del problema determina la
hipótesis y la tesis
2. Dada las afirmaciones determina la
razón de cada paso.
AFIRMACION RAZON
01 ∢CAD ∢DAB
02 ∢DAB ∢EDA
03 ∢CAD ∢EDA
04 ΔAED isósceles
05 EA ED
06 ∢CED ∢CAB, ∢CDE ∢CBA
07 ΔCED ΔCAB
08 CE
CA ED
AB CD
CB
09 CD
DB
c
CD
DB CD
c CD
a
c CD
a
c
c
a ED
c ED
c
c }CE
ED
c CE
c
ED EA EA c
c } BD BC CD BD
ac
c
Unidad siete proporcionalidad y semejanza, Página 29 de 45
12. Demostrar que el triángulos formado por los pies de dos alturas de un triángulo y el otro vértice es
semejante al triángulo inicial.
Grafica 98
1.De acuerdo a la gráfica y al enunciado del
problema determina la hipótesis y la tesis
2. Dada las afirmaciones determina la razón
de cada paso.
AFIRMACION RAZON
01 Podemos demostrar por S-A-A
que ΔCAN ΔCB por lo tanto
ΔAMP ΔBNP
02 A
B
A
B
03 CA
CB A
B C
C
04
˄ ∢c es un ángulo común
05 ΔCAB ΔC
Unidad siete proporcionalidad y semejanza, Página 30 de 45
13. En un triángulo HJL rectángulo en H, LH = 15u y HJ = 20u, se traza por un punto K ubicado a 10u de L
y sobre la hipotenusa una perpendicular a ella que corta a HJ en I. Calcular KI.
Grafica 99
1.De acuerdo a la gráfica y al enunciado del
problema determina la hipótesis y la tesis
2. Dada las afirmaciones determina la razón
de cada paso.
AFIRMACION RAZON
01 ΔHJL Δ J
02 LJ2=152+202 LJ2 LJ
03 En 1
04 KJ=LJ-L J - 0 J
05
KI=
Unidad siete proporcionalidad y semejanza, Página 31 de 45
14. Encontrar la relación entre el lado, el radio y la apotema de los polígonos regulares de 3, 4, 5, 6, 8 y
10 inscritos en una circunferencia de radio “r”. ¿Qué haría en el caso de que los polígonos no fueran
inscritos sino circunscritos?
Grafica 100
1. De acuerdo a la gráfica y al enunciado
del problema determina la hipótesis y la
tesis
2. Dada la siguiente explicación al problema
organizarla de tal forma que se determine
claramente la afirmación y su correspondiente
razón.
AB=BC=AC= AD=√
R=
R=OA=OB=OC BD=
R=
√
a=OD
a2=R2-
a=
√
AC=2R AC2=2ℓ 4R=2ℓ2 R=√
A=OE=AE 2OE2=AO2=R2
a=
AB=ℓ BP=
OB=OA=AB=R
R=ℓ
A=OP=√
a=
√
Unidad siete proporcionalidad y semejanza, Página 32 de 45
15. En una circunferencia de r = 15u se trazan los diámetros AB y CD perpendiculares y la cuerda BC, si
M es el punto medio de BC, calcular la medida de AM.
Grafica 101
1.De acuerdo a la gráfica y al enunciado del
problema determina la hipótesis y la tesis
2. Dada las afirmaciones determina la razón de
cada paso.
AFIRMACION RAZON
01 CM=MB=
CB C B
√ R
√
R=CM=MB
Δ CB
02 ∢ACB 90°
03 ΔA C ΔB C
04 AC CB
05 2AC2=AB2=4R2
AC=√ R
06 AM2=AC2+CM2
AM2=2R2+
R2
AM2=
AM= √
Unidad siete proporcionalidad y semejanza, Página 33 de 45
16. Una cuerda de 48u dista 7u del centro de una circunferencia. Calcular la distancia al centro de otra
cuerda de 40u de longitud.
Grafica 102
1.De acuerdo a la gráfica y al enunciado del
problema determina la hipótesis y la tesis
2. Dada las afirmaciones determina la razón
de cada paso.
Recordemos : mediatriz de AB teorema : distancia del centro a una cuerda
OQ mediatriz de CD
AFIRMACION RAZON
01 ΔAOP Pitágoras A 2+OP2=OA2
A
02 ΔC Pitágoras C 2+QO2=OC2
02+OQ2=252
=15
Unidad siete proporcionalidad y semejanza, Página 34 de 45
17. La cuerda CD es perpendicular al diámetro AB y M es un punto cualquiera del arco BC. Si se trazan las
cuerdas AM, AC y CM y E punto de intersección entre AM y CD. Demostrar que los ángulos DEM y ACM
son congruentes.
Grafica 103
1.De acuerdo a la gráfica y al enunciado del
problema determina la hipótesis y la tesis
2. Dada las afirmaciones determina la razón
de cada paso.
AFIRMACION RAZON
01 B radio
02 B ⊥ CD
03 B Biseca CD
04 B Biseca CD
05 BD BC
06 AC CB AC BD=90°
07 ∢ACD
(90°+B
08 ∢DE
(AC B BD)
09 ∢DE
(90° B )
10 ∢AC ∢DE
Unidad siete proporcionalidad y semejanza, Página 35 de 45
18. En un trapecio ABCD se trazan por los extremos de la base menor CD las paralelas CF y DE a los
lados no paralelos (F y E sobre la base mayor); dichas paralelas encuentran a las diagonales DB y AC en
los puntos M y N. Por F y E se trazan paralelas a las diagonales AC y BD ; estas últimas encuentran a
BC y AD en P y Q. Demostrar que M-N-P-Q y que el segmento que los contiene es paralelo a AB.
1. De acuerdo a la gráfica y al enunciado del problema determina la hipótesis y la tesis
2. Dada la siguiente explicación al problema organizarla de tal forma que se determine claramente la
afirmación y su correspondiente razón.
Grafica 104
AFIRMACION RAZON
01 E ‖DB luego
, CA ‖ F luego
02 1= 2, 1= 2, 1= 2 por ser ángulos con lados paralelos por lo tanto ΔDA ΔCF ; ΔD E ΔC B por ALA ya que se forman los paralelogramos DAFC ˄ DEBC luego DC AF EB; lo que nos lleva por resta de segmentos que AE=FB
03 Como D ‖C ˄ D C forman un paralelogramo ‖AB ‖DC
D ‖C ˄ D C forman un paralelogramo ‖AB ‖DC
04 Volviendo a
y
Por lo tanto determina segmentos proporcionales entonces ‖AB ‖DC
05 Por postulado Q pasa una sola paralela a AB , por lo tanto Q,N,M,P están sobre dicha línea, es decir Q-N-M-P y , , , paralelas al segmento AB
Unidad siete proporcionalidad y semejanza, Página 36 de 45
19. Sean P,Q,R y X puntos tales que tres cualesquiera de ellos no están alineados y X esté en el
exterior del triángulo PQR, y se trazan los segmentos XP, XQ y XR. Sea A un punto cualquiera de XR y
trazamos una recta que pasa por A paralela a PR y que intersecta a XP en B. Además, una recta paralela a
PQ y que pasa por B intersecta a XQ en C y se traza AC. Demostrar que los triángulos ABC y RPQ son
semejantes.
Grafica 105
1.De acuerdo a la gráfica y al enunciado del
problema determina la hipótesis y la tesis
2. Dada las afirmaciones determina la razón
de cada paso.
AFIRMACION RAZON
01 ΔXAB ΔXRP
02 XA
XR AB
R XB
X
03 ΔXR ΔXAC
04 XA
XR AC
R XC
X
05 AB
R AC
R
06 ∢ R ∢ B
07 ∢CAB ∢ B
08 ∢ R ∢CAB
09 Δ R ΔCAB
Unidad siete proporcionalidad y semejanza, Página 37 de 45
20. Dado un triángulo cualquiera ABC, las bisectrices de los ángulos interno y externo de A intersectan a
BC en D y D’ respectivamente. Demostrar que:
,, CD
CD
BD
BD
Grafica 106
1. De acuerdo a la gráfica y al enunciado del
problema determina la hipótesis y la tesis
2. Dada la siguiente explicación al problema
organizarla de tal forma que se determine
claramente la afirmación y su correspondiente
razón.
AFIRMACION RAZON
Unidad siete proporcionalidad y semejanza, Página 38 de 45
Ejercicios recopilados por: Carlos Alberto Ríos Villa
EJERCICIOS DE PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA.
(recopiló: Carlos Alberto Ríos Villa)
1. En un ΔABC cualquiera se
trazan las alturas AJ y CH que se
interceptan en I. Demostrar que:
IA.IJ = IC.IH
2. En un triángulo ABC cualquiera se
trazan OF (O baricentro) y CE
perpendiculares a AB, con F y E
sobre AB. Demostrar que
OF = (1/3)CE
3. En una circunferencia C(O,R) se
traza un diámetro AB, se toma un
punto P tal que A-O-P-B , se levanta
PC perpendicular a AB que corta a
C(O,R) en E (P-E-C) y se traza AC
que corta a C(O,R) en D (A-D-C).
Demostrar que AB . AP = AD . AC
4. Dado un trapecio ABCD
rectángulo en A con AB=2DC=2a,
CD=DA=a; AC y BD se interceptan
en I. Demostrar que 5BD a ,
2AC a y 2 5
3BI a
5. Demostrar que el segmento
tangente común a dos
circunferencias tangentes
exteriores y no congruentes es
media proporcional entre los
diámetros de las circunferencias.
6. Se tiene un triángulo ABC
rectángulo en A con BC=a, AC=b,
AB=c, CD=d , DB=f y AD=h;
siendo D el pie de la altura relativa
a la hipotenusa si:
a) c =6 2 y d = 4 hallar f y b, h, a
b) b = f = 8. Hallar d, h, c y a
7. Se tiene un triángulo ABC
inscrito en una circunferencia, se
toma un punto cualquiera E sobre el
arco BC y D punto de intersección
entre AE y BC, Demostrar que:
AC . DE = DC . BE
8. Demostrar que en un
paralelogramo la suma de las
medidas de los cuadrados de los
cuatro lados es igual a la suma de
los cuadrados de las diagonales.
9. Una persona de 180 cm. de
estatura camina hacia un tanque
esférico que reposa sobre el piso.
Cuando está a una distancia de
500cm. Del punto de contacto del
tanque con el piso, su cabeza chaca
con el tanque. ¿Cuánto mide el radio
del tanque?
10. En un triángulo PQR se prolonga
PQ hasta S con PQ = QS, se toma U
sobre PR tal que UR = (2/3) PU y
se traza SU que corta a QR en T.
Calcular la razón QT/QR
Unidad siete proporcionalidad y semejanza, Página 39 de 45
Ejercicios recopilados por: Carlos Alberto Ríos Villa
11. Se toma un triangulo ABC y se
traza una recta que corta a los
lados AC y AB del triángulo en E y H
respectivamente; se trazan AD, BK
y CR perpendiculares a la recta y se
prolonga CB hasta cortarla en L.
Demostrar que 1CE AH BL
AE BH CL
12. Se da un triángulo ABC con AB
> AC . Se trazan las bisectrices
interior AD y exterior de AE del
A , con D y E sobre BC. Demostrar
que: 2 2 2 2
2AD AE AD AE
CD BD
13. La hipotenusa de un triángulo
mide 60u y la altura sobre ella 12u.
Calcular la medida de los catetos y
su proyección sobre la hipotenusa.
14. En un trapecio ABCD isósceles
de base mayor AB, la diagonal BD es
perpendicular a AD. Si AB mide 50u
y AD = 14u. Calcular el perímetro
del trapecio.
15. En una circunferencia C(O,r),
AB = 10u y CD = 6u son cuerdas
paralelas y la distancia entre ellas
es de 4u; encuentre el radio de la
circunferencia.
16. En un trapecio ABCD de base
mayor AB = 3a , AD = CD = a y
A = 60º. Calcular BC y la longitud
del segmento que une los puntos
medios de las bases.
17. En un triangulo ABC Iso de base
BC, se traza CD perpendicular a AB.
Demostrar que AB2 + AC2 + BC2 =
BD2 + 2AD2 + 3CD2
18. Desde el punto medio D del
cateto AB de un triángulo
rectángulo en A se traza DE
perpendicular a la hipotenusa .
Demostrar que EC2 - EB2 = AC2
19. Si CD es la bisectriz interior
del ángulo C en un triángulo ABC y
AC = b, BC = a , AB = c , 2C A .
Demuestre que 2c a ab
20. Dos circunferencias secantes y
congruentes O y O´ son
ortogonales (las tangentes trazadas
en sus puntos de intersección son
perpendiculares); por uno de sus
puntos de intersección A se traza
una cuerda MAN(M sobre la
circunferencia O y N sobre la
circunferencia O´). Demostrar que
MA2 + NA2 = 2 ´OO2
21. Se tiene un triángulo cualquiera
ABC. D y E dividen a BC en tres
partes iguales, o es el punto medio
de BC y H el pie de la altura relativa
a BC. Si CB = a, CA = b, y AB = c ;
hallar AO, HO, AE y AD en función
de a, b y c.
22. Se tiene un paralelogramo
ABCD con AD = 20, AB = 36 y
Unidad siete proporcionalidad y semejanza, Página 40 de 45
Ejercicios recopilados por: Carlos Alberto Ríos Villa
BD = 40, encontrar la medida del
segmento AC.
23. Demostrar que si se traza un
segmento tangente y uno secante a
una circunferencia C(O,r) desde un
mismo punto exterior a ella, el
segmento tangente es media
proporcional entre el segmento
secante y su parte exterior.
24. Si ABC triángulo cualquiera, AD
bisectriz del ángulo A, DE paralelo
con AB (E sobre AC) y AB = c,
AC = b , BC = a, encontrar DC, BD,
AE, CE y DE en función de a ,b y c.
25. Se tiene un triangulo isósceles
ABC de base BC inscrito en una
circunferencia C(O,r), se traza un
segmento AE cualquiera, con E
sobre el arco CB y que corta a BC en
D demostrar que AB2 = AE . AD
26. Demostrar que el triángulos
formado por los pies de dos alturas
de un triángulo y el otro vértice es
semejante al triángulo inicial.
27. En un Triángulo ABC rectángulo
en C se inscribe un cuadrado DEFG
con DE sobre la hipotenusa (A-D-E-
B). Demostrar que AD . EB = DG .
FE y que DE es media
proporcional entre AD y EB.
28. En un triángulo HJL rectángulo
en H, LH = 15u y HJ = 20u, se traza
por un punto K ubicado a 10u de L y
sobre la hipotenusa una
perpendicular a ella que corta a HJ
en I. Calcular KI.
29. Encontrar la relación entre el
lado, el radio y la apotema de los
polígonos regulares de 3, 4, 5, 6, 8 y
10 inscritos en una circunferencia
de radio “r”. ¿Qué haría en el caso
de que los polígonos no fueran
inscritos sino circunscritos?
30. En una circunferencia de r = 15u
se trazan los diámetros AB y CD
perpendiculares y la cuerda BC, si M
es el punto medio de BC, calcular la
medida de AM.
31. Los radios de dos
circunferencias concéntricas son
26u y 10u , calcular la longitud de
la cuerda de la mayor que es
tangente a la menor.
32. Una cuerda de 48u dista 7u del
centro de una circunferencia.
Calcular la distancia al centro de
otra cuerda de 40u de longitud.
33. El diámetro de una
circunferencia mide 20u. ¿En cuánto
habrá que prolongarlo para que la
tangente trazada desde el punto
obtenido tenga igual longitud que el
diámetro?
34. La cuerda CD es perpendicular
al diámetro AB y M es un punto
cualquiera del arco BC. Si se trazan
Unidad siete proporcionalidad y semejanza, Página 41 de 45
Ejercicios recopilados por: Carlos Alberto Ríos Villa
las cuerdas AM, AC y CM y E punto
de intersección entre AM y CD.
Demostrar que los ángulos DEM y
ACM son congruentes.
35. En un trapecio ABCD se trazan
por los extremos de la base menor
CD las paralelas CF y DE a los
lados no paralelos (F y E sobre la
base mayor); dichas paralelas
encuentran a las diagonales DB y AC
en los puntos M y N. Por F y E se
trazan paralelas a las diagonales AC
y BD ; estas últimas encuentran a
BC y AD en P y Q. Demostrar
que M-N-P-Q y que el segmento que
los contiene es paralelo a AB.
36. Sean P,Q,R y X puntos tales
que tres cualesquiera de ellos no
están alineados y X esté en el
exterior del triangulo PQR, y se
trazan los segmentos XP, XQ y XR.
Sea A un punto cualquiera de XR y
trazamos una recta que pasa por A
paralela a PR y que intersecta a XP
en B. Además, una recta paralela a
PQ y que pasa por B intersecta a
XQ en C y se traza AC. Demostrar
que los triángulos ABC y RPQ son
semejantes.
37. En una circunferencia se traza
un diámetro PQ, por P se traza la
tangente PR, si QR = 8 y el arco
MQ = 120º calcular el radio de la
circunferencia.
38. Se traza el cuadrilátero ABCD
tal que: A-E-D, B-F-E,
BF FC , BC AC , BE AD ,
CD AD .
Probar que:
1. BFC ADC ,
2.( ) ( )AD BC
BFAC
3. * *BE CD AC AD BC
AB AC AB AC AB
39. Dado un triángulo cualquiera
ABC , las bisectrices de los ángulos
interno y externo de A intersectan
a BC en D y D’ respectivamente.
Demostrar que: ' '
BD CD
BD CD
40. (CIRCUNFERENCIA) En un
ángulo recto XOY se inscribe un
circulo C tangente a OX en D, se
traza una recta OAB tal que el arco
AD sea la mitad del arco DB.
Calcular la medida del ángulo DOB y
los ángulos del cuadrilátero CADB
(sugerencia: trace AH CD ).
41. Se unen los tres vértices de un
triangulo ABC con un punto O
ubicado en el semiplano opuesto a B
con respecto a AC, sobre OA(o su
prolongación) se toma un punto
cualquiera A’ por el cual se traza la
paralela A’B’ a AB y la paralela
A’C’ a AC, B’ y C’ puntos sobre
OB y OC. Demostrar que
' 'B C BC .
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TALLER N°8 – PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA
01 Si los segmentos BC y DE tienen sus extremos en los lados del EAB y
forman con estos lados los ángulos BCE y EDB congruentes, A - C - E y
A - D - B. Demuestre que:
AB DE = AE CB
02 En un triángulo ΔABC se toman los puntos P y Q sobre CA y CB respectivamente,
tal que PQ sea paralela a AB. Luego se traza por A una paralela a PB que
encuentra a la prolongación de CB en R. Demostrar que CB² = CQ x CR.
03 Si en un ABC rectángulo en A tomamos un punto cualquiera D sobre AC y
trazamos DE BC con E sobre BC. Demostrar que AB.CD = BC.ED
04 En el triángulo ABC inscrito en la circunferencia C (o,r) se traza AD bisectriz de
ángulo BAC, la prolongación de AD corta la circunferencia en E. Demostrar que AB
x EC = AE x BD
05 En un triángulo ABC se traza CD (A-D-B) tal que demostrar que AC
es media proporcional entre AB y AD
06 En un ABC rectángulo en C se inscribe un cuadrado DEFG con E y F sobre AB
talque A-E-F-B. Demuestre:
a. EDA ~CGD ~ FBG
b. ED x FG = AE x FB
c. EF es media proporcional de AE y FB
07 Dado un triángulo ABC rectángulo en B, de lado aAC 6 y aAB 3 , se traza
BCED , E sobre AB y D sobre AC , tal que ACDC3
1 y finalmente se traza
ABDF con F sobre BC ; Hallar:
a) EG (altura del AED sobre AD)
b) FH (altura del DFC sobre CD)
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08 Se tiene un triángulo ABC, en este triángulo se trazan la bisectriz AD del ˂A y el
segmento DE paralelo a BA, con E sobre AC. Demostrar que: ( ) ( )
09 En un ABC isósceles de base AB se traza el segmento y
con E sobre ; demostrar que
10 Demostrar que el producto de las medidas de dos lados de un triángulo es igual al
producto de las medidas de los segmentos determinados sobre el tercer lado por
la medida de la bisectriz interior más el cuadrado de la medida de dicha bisectriz
11 En un paralelogramo ABCD se trazan BH perpendicular a AD con A-H-D y BI
perpendicular a CD con C-I-D. Demostrar que: AB×CI = BC×AH
12 En un paralelogramo ABCD se trazan, la diagonal BD, EF paralela a BC con C-F-D
y D-E-B. Demostrar que FE×AB = FD×AD
13 Se tiene un paralelogramo ABCD, con 2
DCAD
; se traza AM que intercepta a DB
en el punto E, Si M es el punto medio de DC. Probar que: EBDB 32
14 Se da el con . Las bisectrices de los ángulos interno y externo en A
intersecan a en los puntos D y E respectivamente. Demostrar que:
√
√
15 Demostrar que las diagonales de un trapecio se intersecan en un punto tal que las
longitudes de los segmentos de una de las diagonales es proporcional a las
longitudes de los segmentos correspondientes de la otra diagonal.
16 Se tiene con CD bisectriz, . Demostrar que
√( ) ( )( )
17 Demostrar que si dos triángulos rectángulos son semejantes, el producto de sus
hipotenusas es igual a la suma de los productos de los catetos homólogos.
18 Demostrar que la suma de los cuadrados de las tres medianas de un triángulo es
igual a tres cuartos de la suma de los cuadrados de los tres lados.
19 Se da un circulo de centro O , un diámetro AB y un punto M sobre la prolongación
de AB , se trazan las tangentes MN y MP al círculo, la cuerda NP encuentra al
diámetro en C. Demostrar que:
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20 Un triángulo ABC está inscrito en una circunferencia de centro O, se traza el
diámetros MN perpendicular a BC, luego AM y AN que se encuentran a BC o su
prolongación en los puntos P y Q. Demostrar que:
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