UNIDAD 6:Cantidad de Movimiento lineal, colisiones
6-1 Cantidad de movimiento lineal de una partícula y su conservación
6-2 Impulso y cantidad de movimiento
6-3 Colisiones en una dimensión.
6-5 Colisiones en dos dimensiones
6-4 Péndulo balístico
6-6 Centro de masa: propiedad del centro de masa
6-7 Movimiento de un sistema de partículas
6-1 Cantidad de movimiento lineal de una partícula y su conservación
amF.
Segunda Ley de Newton
dt
vdmF
.
dt
vmdF
).(
Cantidad de
movimiento
vm.p
s
mKg.
Segunda Ley de Newton
dt
Forma mas moderna de escribir la Segunda Ley de Newton
vmp.
Todo cuerpo en reposo permanece en reposo, y todo cuerpo que está en movimiento rectilíneo uniforme continua con ese movimiento si no actúan fuerzas no equilibradas sobre él, es decir F=0.
Recordando la Primera Ley de Newton
0 dt
tetanconsvmp
.
Conservación de la cantidad de movimiento
bnF
nbF
dt
pdF b
bn
dt
pdF n
nb
bnF
nbF
dt
pd b
dt
pd n
dt
ppd nb )(
0
pppbn
bnF
nbF
dt
pd
0
Conservación de la cantidad de movimiento
11vm
22vm
11um
22um
F
F
Conservación de la cantidad de movimiento
2211 .. vmvm
11vm
22vm
11um
22um
2211 .. umum
21 pp
ctepp ,,
21
Cuando la fuerza neta externa sobre un sistema es cero, la cantidad de
movimiento se conserva
Conservación de la cantidad de movimiento
nn vmvmvm...... 2211 nn umumum
...... 2211
nppp
...21 ctepppn ,,, ...
21
Para n partículas interactuando
Recordando que la cantidad de movimiento es una magnitud vectorial
...21 xxx ppp ..... 2211 xx vmvm
...21 yyy ppp ..... 2211 yy vmvm
...21 zzz ppp ..... 2211 zz vmvm
EjemploUn vagón de ferrocarril con masa de 10000Kg que viaja con una velocidad de 24m/s en el sentido indicado en la figura, golpea a otro vagón de idénticas características que se mueve con una velocidad de 10m/s en el mismo sentido que el anterior. Si los vagones quedan enganchados como producto de la colisión, ¿Qué velocidad tendrán después ambos vagones?
m1v
m2v
m m
u
2211 .. vmvm
2211 .. umum
21 .. vmvm um
.2
).( 21 vvm um.2
221 vv
u
2
)1024( sm
sm17
EjemploSe coloca una máquina lanzadora de pelotas de 50Kg sobre una superficie horizontal sin rozamiento. La máquina dispara horizontalmente una pelota de 150g con una velocidad de 25m/s. ¿Qué velocidad de retroceso tendrá la máquina?
1u
2u
2211 .. vmvm
2211 .. umum
0 2211 .. umum
1122 .. umum 2
112
.
m
umu
Kg
Kg sm
50
25.15,0 s
m075,0
6-2 Impulso y cantidad de movimiento
6-2 Impulso y cantidad de movimiento
Recordando la segunda ley dt
Donde p es la cantidad de movimiento de una partícula sobre la que actúa una fuerza neta
Reescribiendo la ecuación
dtFpd .
Integrando sobre la duración del
choque f
i
t
tif
f
idtFpppd .
fi
t
tdtF.
j
Impulso de la fuerza
s
mKg.
6-2 Impulso y cantidad de movimiento Recordando que:
la cantidad de movimiento es una magnitud vectorial,también lo será el impulso
ixfx
t
t xx ppdtFjf
i
. iyfy
t
t yy ppdtFjf
i
.;
Si graficamos F(t)
F
t
t
F
f
i
t
tdtFtF ..
Es útil definir una fuerza
media
if pptFj
.
EjemploUna pelota de 1/2Kg se deja caer desde una altura de 1,5m, golpea en el suelo y rebota hasta una altura de 1m. Suponiendo que la fuerza del golpe es 10 veces mayor que su peso, determinar cuanto duró el contacto con el suelo
ho1
h2
v1
v2
F
11 ..2 ohgv ms
m 5,1.8,9.2 2 sm42,5
22 ..2 hgv ms
m 1.8,9.2 2 sm42,4
if pptFj
. 1122 .. vmvm
).( 12 vvm
F
vvmt
).( 12
28,9.5
))42,5(42,4.(5,0
sm
sm
sm
Kg
Kg
st 2,0
6-3 Colisiones en una dimensión.
Los objetos son muy duros y no se produce calor en la colisión, entonces la Energía Cinética también se conserva
Cuando la fuerza neta externa sobre un sistema es cero, la cantidad de movimiento se conserva
Ya vimos:
Si además:
11vm
22vm
11um
22um
2211 .. vmvm 2211 .. umum 2222
12112
1 .. vmvm 2222
12112
1 .. umum
Si la energía cinética se conserva, decimos que el choque es elástico
6-3 Colisiones en una dimensión.
2211 .. vmvm 2211 .. umum 2222
12112
1 .. vmvm 2222
12112
1 .. umum
Choque elástico
Conociendo las masas y velocidades iniciales, tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas.
Operando tenemos:
221
21
21
211
.2v
mm
mv
mm
mmu
221
121
21
12
.2v
mm
mmv
mm
mu
Si m1=m2 u1=v2 ; v1=u2
Si v2=0u1=0 ; v1=u2y m1=m2
Si v2=0u1=-v1 ; u2=0
y m2>>m1
Si v2=0u1=v1 ; u2=2v1
y m1>>m2
Choque inelástico: Choque completamente inelástico
m1
1v
m2
2v
m1 m2
u
Ya vimos:Quedan pegado
s
2211 .. vmvm umm ).( 21 21
2211 ..
mm
vmvmu
Entre un choque elástico y uno completamente inelástico, existen gran cantidad de choques que están entre estos dos, donde sin quedar pegados la energía cinética no se conserva
Coeficiente de restitución
21
12
vv
uue
Representa el grado de inelasticidad en un choque entre dos cuerpos
10 eChoque completamente
inelástico:21 uu 0e
Choque elástico:
1221 uuvv 1e
221
21
21
211
)1(.v
mm
emv
mm
memu
221
121
21
12
.)1(v
mm
memv
mm
emu
).( 2112 vveuu 2112 .. veveuu
6-4 Péndulo balísticoDispositivo usado para medir la velocidad de un proyectil
m v
hM0Mv
l
Mm
u
l
vm. uMm ).( 2
21 ).( uMm hgMm .).(
hgu ..2u
m
Mmv
)(
hgm
Mmv ..2
)(
Se conserva la cantidad de movimientoSe
conservala energía mecánica
Un instante después
6-5 Colisiones en dos dimensiones
1v
1u
2u
1m2m
xx vmvm 2211 .. xx umum 2211 ..
yy vmvm 2211 .. yy umum 2211 ..
11.vm cosumcosum .... 2211 0 senumsenum .... 2211
Necesitamos medir algún dato después
del choque para resolver el problema2
1121 .vm 2
22212
1121 .. umum
21 pp
,,
21pp
Un automóvil de 1050Kg se mueve con una velocidad de 22m/s en dirección Este. Otro automóvil con una masa de 900Kg, se desliza a 18m/s con dirección Sureste, formando 30º con el este, choca contra el primero quedando adherido a el. Determinar:a) la velocidad de los vehículos después de la colisión.b) el cambio de energía cinética del sistema formado por los dos vehículos como consecuencia de la colisión
6-5 Colisiones en dos dimensiones
30
2m
1m
2v
1v
N
E
2211 .. vmvm
u
umm).( 21
ummjsenvivmivm).()ˆº30.ˆº30cos..(ˆ. 2122211 ummjsenvmivmivm).(ˆº30..ˆº30cos..ˆ. 21222211 ummjsenvmivmvm).(ˆº30..ˆ)º30cos...( 21222211
uKgjseni sKgm
sKgm
.)9001050(ˆº30.18.900ˆ)º30cos.18.90022.1050(
ujKg
seni
Kgs
Kgms
Kgm
ˆ1950
º30.18.900ˆ1950
)º30cos.18.90022.1050(
jiu sm
sm ˆ4ˆ19
sm
sm
smu 44,19)4()19( 22
6-5 Colisiones en dos dimensiones
30
2m
1m
2v
1v
N
E
u
2222
12112
1 .. vmvmKo
2212
2221 )44,19.()9001050().( s
mf KgummK
2212
21 )18.(900)22.(1050 s
ms
mo KgKgK
JKo510.4
JK f510.7,3
0KKK f
JK 510).47,3(
JK 410.3
6-5 Colisiones en dos dimensiones
6-6 Centro de masa: propiedades del centro de masa𝑭
𝑭
𝑭
y
x
6-6 Centro de masa: propiedades del centro de masa
m1 m2
xC
M
x1
x2
21
2211 ..
mm
xmxmxCM
M
xmxm 2211 ..
mm
xmxmxCM
21 ..
m
xxm
2
)( 21 Está a la mitad de la distancia entre ellas
x
m1 m2xC
M
x1
x2
x3
xn
m3mn
n
nnCM mmmm
xmxmxmxmx
...
.......
321
332211
M
xmx
n
iii
CM
1
.
1r 2r
cmr
nr
1m 2m
nm y
x
z
M
zmz
n
iii
CM
1
.
M
ymy
n
iii
CM
1
.
M
xmx
n
iii
CM
1
.
M
rmr
n
iii
CM
1
.
kzjyixr CMCMCMCMˆˆ
Problema:
Tres partículas, cada una de masa igual a 2,5Kg, están ubicadas en las esquinas de un triángulo rectángulo como se ve en la figura. Determinar el centro de masa
y
x
2m
1,5m
cmr
cmx
cmy
1r 2r
cmr
nr
1m 2m
nmy
x
z
M
rmr
n
iii
m
CM
10
.lim
dmr
MrCM .
1 Cuando: n
m 0
dmxM
xCM .1
dmyM
yCM .1
dmzM
zCM .1
Problema:
Calcular la posición del centro de masa de una varilla homogénea de masa m y de longitud l
x
y
l
Propiedades del centro de masa
1.Si tiene un centro geométrico , el centro de masa está en el centro geométrico.
2. Si el cuerpo tiene un eje de simetría, el centro de masa está sobre ese eje
3. Ninguna ley dice que el centro de masa tiene que estar dentro del cuerpo.
6-7 Movimiento de un sistema de partículas
M
rmr
n
iii
CM
1
.
n
iiiCM rmrM
1
..
n
i
ii
CM
dt
rdm
dt
rdM
1
n
iiiCM vmvM
1
..
n
i
ii
CM
dt
vdm
dt
vdM
1
n
iiiCM amaM
1
..
n
iinCM FFFFFaM
1321 ....
extCM FaM
. Segunda Ley de Newton
6-7 Movimiento de un sistema de partículas
n
iiiCM vmvM
1
..
M
pv TCM
Si:
ctepT
ctevCM
Tp
Propiedad del centro de masa
1.La suma de todas las fuerzas que actúan sobre un sistema (fuerza neta) es igual a la masa total del sistema multiplicada por la aceleración del centro de masa
2.El centro de masa de un sistema de partículas (o cuerpo) con masa total M, se mueve como una sola partícula de masa M sobre la que actúa la misma fuerza externa neta
Conservación del centro de masa
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