CALCULO DIFERENCIAL

OBJETIVO EDUCACIONAL

El estudiante comprenderá el concepto de derivada; su interpretación geométrica y física, desarrollará la capacidad de derivar funciones algebraicas y trascendentes mediante reglas de derivación y la técnica de derivación implícita.

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4.1 Definición de la derivada. 4.2 Interpretación geométrica y física de la derivada.

4.3 Derivada de la función constante, derivada del producto de una constante por una función, derivada de la función xn cuando n es un entero positivo, y cuando n es un número real, derivada de una suma de funciones, derivada de un producto de funciones y derivada de un cociente de funciones. 4.4 Derivada de las funciones exponenciales. 4.5 Derivada de las funciones trigonométricas. 4.6 Derivada de las funciones compuestas (regla de la cadena). 4.7 Derivada de la función inversa. 4.8 Derivada de las funciones logarítmicas. 4.9 Derivada de las funciones trigonométricas inversas. 4.10 Derivada de las funciones implícitas. 4.11 Derivadas sucesivas. 4.12 Funciones hiperbólicas y sus derivadas.4.13 Teorema del valor medio y teorema de Rolle.

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LA DERIVADA

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4.1 Definición de derivada.-

La derivación de una función y = f (x) con respecto a x en un punto . Se define por él límite:

4.2 Interpretación geométrica y física de la derivada.

La derivación nos representa un movimiento de la secante (recta pendiente), a través de una curva cualquiera, hasta lograr ser tangente de la misma, por lo que va tomando valores diferenciales.

Que nos da la pendiente (m) de la tangente a la curva y = f (x) en el punto P. Como se indica en la figura de acuerdo a su interpretación geométrica.

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Secante

P2 ()

x

y

P1 (x, y)

ym tag Pendiente

x

y

x

(fx)

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Aplicación de la definición de derivada a funciones por medio de Incrementos.

Consiste en encontrar la derivada de una función sustituyendo directamente en la expresión de su definición.

Ejemplos:

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4.3 Derivada de las funciones.

Reglas para aplicar la derivación

Aquí se desarrollan fórmulas que permiten acortar el largo proceso al derivar funciones sencillas hasta la más complicada, en forma casi instantánea haciendo su deducción por medio de incrementos. La representación de la función, puede ser f(x) o simplemente “y”. Por lo tanto la representación de su derivada será f1(x) o también y1.

Regla 1. De la función constante

Ejemplos:

a). f(x) = 2 f1(x) = 0

b). y = 2345 y1 = 0

c). y = 0.675 f1(x) = y1= 0

Regla 2. De la función identidad

Ejemplos:

a). y = x y1 = 1

b). y = x+1 y1 = 1

c). y = x - 4 y1 = 1

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Regla 3. Del múltiplo constante

Ejemplos:

a). y = 3x y1 = 3(1) y1 = 3

b). y = 3x2 y1 = 3(2)x2-1 y1 = 6x

Regla 4. De las potencias

Ejemplos:

a). y = x2 y1 = 2x2-1 y1 = 2x

b). y = 5x3 - 3x2 +x – 3 y1 = (5)(3)x3-1 - (3)(2)x2-1 + x1-1 - 0 y1 = 15x2 – 6x + 1

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En este caso podemos transformar la función xn a um quedando la fórmula para la derivación de la siguiente forma:

y = um y1 = m u m-1 du

Ejemplos:

a). y = (x2 -3)4 y1 = 4(x2 – 3)4 – 1 (2x) y1 = 8x(x2 – 3)3

Regla 5. De la suma

Si f(x) + g(x) son funciones diferenciables. Entonces (f + g)1(x) = f1(x) + g1(x)

Donde:

= f1(x) + g1(x)

Regla 6. Del cociente

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Sean f y g dos funciones diferenciables y

Ejemplos:

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Regla 6. Del producto:

duv = udv +vdu

Ejemplos;

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4.4 Derivadas de funciones exponenciales

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CALCULO DIFERENCIAL

Ejemplos:

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4.5 Derivadas de funciones trigonométricas

Fórmulas que aplicamos para las funciones trigonométricas.

Identidades que aplicamos en las funciones trigonométricas.

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Ejemplos: a). y = sen x

y1 = cos x (1)

y1 = cos x

b). y = sen 2x + cos 3x

y1 = cos 2x (2) + (- sen 3x)(3) y1 = 2 cos 2x – 3 sen 3x

c). y = tag x2

y1 = sec2 x2 (2x)

y1 = 2x sec2 x2

d). y = tag2 x

y = (tag x)2

y1 = 2(tagx)2-1 (sec2x)

y1 = 2tagx sec2x

e). y = cot(2 – 3x2)

y1 = -csc2(2 - 3x2)(-6x)

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y1 = 6x csc2(2 - 3x2)

f). y = x2 senx

y1 = x2(cosx)(1) + senx(2x)

y1 = x2 cosx + 2x senx

g).

y = (-csc 4x)(cot 4x)

y1 = (-csc 4x)(-csc2 4x)(4) + (cot 4x)(-csc 4x)(cot 4x)(4)

y1 = 4 csc34x – 4 cot24x csc4x

4.6 Derivadas de las funciones compuestas (Regla de la Cadena).

Regla de la cadena. Es una forma práctica de derivar funciones, la podemos definir de la siguiente forma:

Si f(u) es diferenciable en el punto u = g(x), y g(x) es diferenciable en x, esto determina la función compuesta y = f(g(x)) es diferenciable en x, y

Si suponemos que y = f(u) y u = g(x) tenemos que

Ejemplos:

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a). y = (4x2 – 6x)5

Tomaremos y = u5 y u = 4x2 – 6x

(5u4)(8x – 6)

5(4x2 – 6x)4(8x – 6)

* 2x

* 2x

4.7 Derivadas de funciones trigonométricas inversas.

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Como ejemplo la función inversa de x = seny es y = arc senx. Obedece a las siguientes reglas para su derivación.

Ejemplos:

b). y = arc sen (6x – 4)

c). y = arc cos x4

d). y = arc tag 3x2

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4.8 Derivadas de funciones logarítmicas.

Propiedades de los logaritmos de base a.

Ejemplos:

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4.10 Derivadas de funciones implícitas.

Definición

Cuando una función definida en el campo de variación de sus variables se escribe en la forma f(x,y) = 0 se dice que y es una función implícita de x.

Ejemplo xy + x – 2y – 1 es una función implícita la cual podemos definir como:

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METODO

Derivar la ecuación dada con respecto a x, teniendo en cuenta que y es función de x, y despejar y1

Ejemplos:

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4.11 Derivadas sucesivas

Definición.

Consiste en ir derivando sucesivamente la función, obteniéndose así las derivadas de y con respecto a x.

Si f(x) es una función de x diferenciable, su derivada se conoce como la segunda derivada de y con respecto a x, si la segunda derivada es una función de x diferenciable, su derivada se denomina tercera derivada de y etc....

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Todas estas derivadas se denotan por uno de los tipos siguientes:

Ejemplos:

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4.12 Funciones hiperbólicas y sus derivadas.

Son aplicadas en matemáticas aplicadas y ocurren de ciertas combinaciones de ex y e-x.

El seno y el coseno hiperbólica de un número real x se designan como senh x y

cosh xy se definen como , las otra

funciones se resuelven por analogía con las funciones trigonometricas. Para su derivación, es la sustitución directa con la derivada respectiva de u.

Ejemplos.

a). y = cosh 3xy1 = 3 senh 3x

b). y =sen2h xy1 = 2 senh x cosh x

c). y = x coth xy1 = x csx2 x + coth x

d). y = sech x3

y1 = -3x sech x3 tanh x3

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4.13 teorema del valor medio y teorema de rolle.

Teorema de Rolle.

Definición.

f es una función en la que se cumple:

Sea f continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b). Si f(a) = 0 y f(b) = 0 entonces f(a) = f(b) existe al menos un número dado x0 = c que pertenece a (a, b) tal que f1(c) = 0.

Ejemplos

a). Verifique las condiciones de la hipótesis del teorema de Rolle, y vea que se cumple para la función f(x) = x2 – 4x +3 en el intervalo [1, 3], luego halle un valor adecuado para que c satisfaga la conclusión del teorema.

Solución.

f es una función polinomial, por lo tanto f es continua en R y, en particular, continua en el intervalo [1, 3].

f es una función polinomial; por lo tanto f es diferenciable en R y, en lo particular, f es diferenciable en (1, 3).

f(1) = 12 – 4(1) + 3 = 0f(3) = 32 – 4(3) + 3 = 0

f(1) = f(3) = 0 conclusión de pertenencia.

f1(x) = 2x - 4f1(c) = 2c - 4c = 2

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a). Por medio del teorema de rolle para la función f(x) = x3 – 6x2 + 11x – 6 encuentra todos los intervalos [a, b] sobre los cuales f(a) = f(b), para cada Sub intervalo encuentra todos los valores de c tales que f1(c) = 0.

Solución

f es un polinomio continuo y diferenciable para toda x se encuentran los valores de x haciendo f(1), f(1) = (1)3 – 6(1)2 + 11(1) – 6 = 0 podemos dividir la función entre (x – 1) por la condición anterior de f(x) = f (1) y obtenemos(x –1) (x –2) (x – 3) = 0 x = 1,2,3

Por lo que los intervalos que se puede aplicar el teorema de rolle son [1 , 2] y [2 , 3]. Estableciendo f1(x) = 0 tenemos que f1(x) = 3x2 – 12x + 11 = 0

Resolviendo

Por lo tanto en el intervalo [1, 2]

f1 donde (6 - ) = 1.423

y en el intervalo [2, 3]

f1 donde (6 + ) = 2.577

b). Hallar el valor de x0 que cumple las condiciones del teorema de Rolle,

siendo f (x) = x3 – 12x en el intervalo 0 x 2 .

Derivamos

f1(x) = 3x2 – 12

3x2 – 12 = 0

Por lo tanto x0 = 2 es el valor buscadoAplicar el teorema de rolle a la función.

c). Aplicar el teorema de Rolle a la función: f(x)

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Solución

f (x) = 0 para x = 0,4

Como f(x) es discontinua en x = 2 por indeterminarse que es un punto del intervalo 0 x 4 no se puede aplicar el teorema

d). Aplicar el teorema de rolle a la función.

f (x)

Solución

f(x) = 0 para x = 0,4 aquí x es discontinua en x =-2 pues no pertenece al intervalo 0 x 4.

Derivando

f1(x) = (x2 + 4x – 8) / (x + 2)2 esta definida en todos los puntos del intervalo excepto en x = -2 por lo tanto se puede aplicar el teorema y el valor pedido es x0 = 2( - 1) que es la raíz positiva de la ecuación x2 + 4x – 8 = 0

e). Por el teorema de rolle para f(x) = x2/3 – 1 encuentre todos los intervalos [a, b] sobre los que f(a) = f (b) = 0 para cada uno de ellos encuentre todos Los valores de c tales que f`(c) = 0.

Solución

f(x) = x2/3 – 1= 0

x2/3 = 1

x = 1

Como f`(x) = 2/3x-1/3 no es diferenciable sobre el intervalo [-1,1], f1(0) no esta definida por lo que no se puede aplicar el teorema.

Teorema del valor medio

Definición

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Si f(x) es una función en la que se cumple que:f es continua en el intervalo cerrado [a, b], y f es diferenciable en el intervalo abierto (a, b). Entonces, existe un número c que pertenece a (a, b) tal que:

Ejemplos:

a). Aplicar el teorema del valor medio a sobre [0, 1] encuentre todos

los valores de x0 = c en [0, 1] tales que:

Solución

Como es continua para toda x y diferenciable para toda x distinta de

x =0, se puede aplicar el teorema del valor medio sobre el intervalo [0, 1].

b). Compruebe que la hipótesis del teorema del valor medio se cumple para f(x) = x2 + 2x - 1 en el intervalo [0, 1], luego halle un valor de c que cumpla la conclusión de este teorema.

Solución.

f es una función polinomial; por lo tanto, f es continua y diferenciable en cualquier intervalo.

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Ahora f1(x) = 2x + 2 f1(c) = 2c +2 f1(c) = 2c +2 = 3

c = =

c). Sea f(x) = x3 – x2 – x + 1 en el intervalo -1, 2 encuentre todos los números que satisfacen la conclusión del teorema del valor medio.

Solución.

f(x) = x3 – x2 – x + 1 f1(x) = 3x2 – 2x – 1

f1(x) = 3x2 – 2x –1= 0

Ambos números están en el intervalo (-1, 2)

d). Sea en el intervalo -8, 27 demuestra la conclusión del valor

medio. Solución

Sustituyendo f1(x)

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x = 102

Conclusión

x = 102 no esta dentro del intervalo (-8, 27) por lo que f(x) no es diferenciable en todas partes de (-8, 27) luego f1 (0) no existe.

e). Por medio del teorema de valor medio encuentre el valor de x para f(x) =

En el intervalo 1, 4.

Solución.

Resolver la ecuación

Esta dentro del intervalo

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