TEMA 5. ÁLGEBRA
El lenguaje algebraico es un lenguaje matemático que combina números y letras unidos mediante operaciones aritméticas (+, -, ·, :) para expresar la
realidad de forma concisa, inequívoca y universal.
La expresión algebraica más sencilla es el monomio .
DEFINICIÓN: un monomio es un producto de un número, llamado coeficiente , por una o varias letras, llamadas incógnitas .
Por tanto, un monomio consta de dos partes: una parte numérica y una parte literal.
Ejercicio: Traduce estos enunciados al lenguaje algebraico e indica cuál es la parte numérica y la parte literal.
Enunciado Monomio Parte numérica
Parte literal
Grado
El doble de un número 2·x = 2x 2 x 1
El doble del cuadrado de un número
2·x² = 2x² 2 x² 2
El producto de dos números
x·y = xy 1 xy 2
El triple del producto de dos números
3·a·b = 3ab
3 ab 2
Las dos terceras partes de un número
x 1
La mitad de un número x 1
La mitad del producto de un número por el cuadrado
de otroxy² 3
Título: mar 6-1:39 PM (Página 1 de 20)
DEFINICIÓN: Se dice que dos monomios son semejantes cuando tienen exactamente la misma parte literal.
Ejemplo: 3x²y, -5xy, x²y, 159xy, 3x²y², 3x²yz, -2xyzSemejantes: 3x²y, x²y
-5xy, 159xy
DEFINICIÓN: Se llama grado de un monomio al número de incógnitas que tiene la parte literal.
Ejemplo: 3x²y, -5xy, 4a²b², n²mp, 2a, 7
2. OPERACIONES CON MONOMIOS
2.1. SUMA Y RESTA DE MONOMIOSPara sumar o restar monomios, es obligatorio que sean
semejantes. Si no lo son, la operación no se puede realizar y se dejará indicada.
Si son semejantes, solo hay que sumar o restar los coeficientes y dejar la misma parte literal.
Ejemplo: 3x + 4x - 2x = 5x 3a² + 5a² - a² = 7a²
2x³ + 3x - 4x³ - 2x² = -2x³ + 3x - 2x²
Título: mar 6-2:07 PM (Página 2 de 20)
2.2. PRODUCTO DE MONOMIOS
SIEMPRE se pueden multiplicar los monomios. La operación se realiza multiplicando, por un lado, los coeficientes y, por otro, las incógnitas (recordando las
operaciones con potencias).
Ejemplo: 3x² · 4x³ = 12 x⁵ -2abc · 9ab³ = -18 a²b⁴c
2.3. COCIENTE DE MONOMIOS
SIEMPRE se pueden dividir los monomios. La operación se realiza dividiendo, por un lado, los coeficientes y, por otro, las incógnitas (recordando las operaciones con potencias).
Ejemplo: 30x⁵ : 2x³ = 15x² 2a⁶b²c · 9a³b =
Título: mar 7-9:13 AM (Página 3 de 20)
Monomio Coeficiente Parte literal Grado
x² 1 x² 2
x³y² 1 x³y² 5
-0,01mn² -0,01 mn² 3
2 p³q² p³q² 5
8. Calcula mentalmente las siguientes sumas y restas de monomios:a) 2x + 3x = 5xb) 3x² + 6x² = 9x²
c) 5y³ - 4y³ = 1y³ = y³d) 4m⁴ - 8m⁴ = -4m⁴e) p + 3p - 2p = 2p
f)
Título: mar 7-9:17 AM (Página 4 de 20)
2.4. POTENCIA DE MONOMIOS
Para elevar un monomio a una potencia se eleva, por un lado, el coeficiente y por otro, cada una de las incógnitas.
Ejemplo: (3ab³)² = 3²a²(b³)² = 9a²b⁶(-2x⁴)² = (-2)² (x⁴)² = 4 x⁸
(x²yz⁵)³ = (x²)³ y³ (z⁵)³ = x⁶ y³ z¹⁵(3ab)³ = 3³ a³ b³ = 27 a³b³
3x²
3x³ y z³
3xy⁵z⁴
2xy²z⁰ = 2xy² ·1 = 2xy²
Título: mar 7-9:21 AM (Página 5 de 20)
6. Simplifica mentalmente las siguientes expresiones operando con sus términos semejantes:
a) 4a + 3b - 2a + 5b = 2a + 8bb) 5 + 3x - 2 + 2x = 3 + 5x
c) 2a + 3b - 2 + 5a + 5b - 3 = 7a + 8b - 5d) 5x² - 3x + 3x² + 6x - 7 = 8x² + 3x - 7
9. Realiza estas sumas y restas de monomios:
a) 7m³ - 2m³ + 6m³ = 11m³b) 0,1mn² + 0,9mn² = 1 mn² = mn²c) x⁵ + 7x⁵ - 4x⁵ - 5x⁵ = -1x⁵ = -x⁵
d) 9y² - (4y² - 2y²) = 9y² - 2y² = 7y²
11. Calcula los siguientes productos y potencias de monomios:a) 2x³ · 3x² = 6x⁵b) y² · 0,1y = 0,1y³
c) p² · p · p⁴ = p⁷d) 5xy² · 2xy² = 10x²y⁴e) (2x³)⁵ = 2⁵ (x³)⁵ = 32x¹⁵
f) 2³ · (y²)³ = 8 y⁶
Título: mar 10-8:50 AM (Página 6 de 20)
3. POLINOMIOS
Un polinomio es la suma o resta de varios monomios. Cada uno de los monomios que lo componen se llama término .
DEFINICIÓN: Se llama grado de un polinomio al mayor de los grados de los monomios que lo componen.
Para indicar el grado de un polinomio, éste ha de estar reducido, es decir, que ya se hayan sumado todos los
términos semejantes.
Ejemplo: x⁴ - 3x + 2x² + 5 grado 4
ab² + 3ab⁴ - 5a³ + 7b - 3ab⁴ = ab² - 5a³ + 7b
y⁵ - 4y³ + 3y⁵ - 2y + 3y - y³ = 4y⁵ - 5y³ + y
Título: mar 10-9:22 AM (Página 8 de 20)
4. OPERACIONES CON POLINOMIOS
4.1. SUMA DE POLINOMIOS
Para sumar dos polinomios, hay que sumar los términos que sean semejantes entre sí. Para ello, colocaremos los
polinomios uno encima del otro con los términos colocados por columnas según su grado y realizaremos la operación.
Ejemplo:Sean los polinomios P = x⁴ - 2x² + 3x - 4 y Q = 3x³ + 2x² - 5,
realizar P+Q
Sean P = 3a⁴ + 2a³ - 7a + 4 y Q = -4a³ + 5a² - 2a - 9, calcula P+Q
Título: mar 12-9:20 AM (Página 9 de 20)
... Grado 4 Grado 3 Grado 2 Grado 1 Grado 0
x⁴ -2x² +3x -4
3x³ +2x² -5
x⁴ +3x³ 0x² +3x -9
Ejemplo:Sean los polinomios P = x⁴ - 2x² + 3x - 4 y Q = 3x³ + 2x² - 5,
realizar P+Q
P + Q = x⁴ + 3x³ + 3x - 9
Título: mar 13-10:57 AM (Página 10 de 20)
... Grado 4 Grado 3 Grado 2 Grado 1 Grado 0
7x³ -6x² +2
5x² -3x -5
7x³ -x² -3x -3
Dados los polinomios M = 7x³ - 6x² + 2 y N = 5x² - 3x - 5, calcula M + N
Título: mar 13-11:05 AM (Página 11 de 20)
12. a) (x⁵ + 4x³ - 5x²) + (4x² + 3x - 5)
x⁵ +4x³ -5x² +4x² + 3x - 5
14. a) P= 4x² - 3x + 1, Q= 3x - 2, R= 2x² + x - 2
7. a) P= 4x³ + 2x - 2, Q = 3x + 5
x⁵ +4x³- x² +3x -5
, R = 5x⁴ - 3x³ + 2x² - 9
Título: mar 13-1:47 PM (Página 12 de 20)
4.2. RESTA DE POLINOMIOS
Para restar dos polinomios, hay que restar los términos que sean semejantes entre sí. Para ello, colocaremos los
polinomios uno encima del otro con los términos colocados por columnas según su grado. ANTES de realizar laoperación es MUY IMPORTANTE cambiar TODOS los signos del sustraendo (el de abajo). Y por último, se
SUMAN los términos semejantes.
Ejemplo:Sean los polinomios P = x⁴ - 2x² + 3x - 4 y Q = 3x³ + 2x² - 5,
realizar P-Q
x⁴ - 2x² + 3x - 4 3x³ + 2x² - 5
Título: mar 13-11:10 AM (Página 13 de 20)
Sean los polinomios P = 4x³ + 2x - 2 y Q = 3x + 5, calcula:b) Q + P
3x + 54x³ +2x - 2___________4x³ + 5x + 3
c) P - Q
4x³ +2x - 2 3x + 5
d) Q - P
3x + 54x³ +2x - 2
Título: mar 13-2:04 PM (Página 14 de 20)
4.3. PRODUCTO DE POLINOMIOS
La operación es similar al producto de números enteros. Se coloca un polinomio encima del otro y se realizan las
multiplicaciones individuales de cada término del polinomio inferior por TODOS los términos del superior. Hay que
recordar que después de realizar todos los productos habrá que sumar, por lo tanto, deberemos colocar cada término en
la columna correspondiente a su grado.
Ej.: sean los polinomios A = 5x³ + 3x² - x - 2 y B = 2x - 7, calcula A·B.
5x³ + 3x² - x - 2 2x - 7
-35x³ - 21x² +7x + 14 10x⁴ + 6x³ - 2x² - 4x
10x⁴ -29x³- 23x² +3x + 14
Título: mar 13-1:47 PM (Página 15 de 20)
28. a) 3·(2x + 5)
2x + 5 3
b) 5 · (x² - x)
x² - x · 5
c) 7· (x³ - 1) d) (-2) · (5x - 3) e) x·(x + 1)
f) 2x · (3x - 5) = 6x² - 10xg) x² · (5x - 2) =
5x - 2 x²5x³-2x²
h) 3x² ·(x + 2) = 3x³ + 6x²i) 3x · (x² - 2) = 3x³ - 6x
j) 5x · (x² + x + 1)
x² + x + 1 5x
5x³ +5x² +5x
Título: mar 14-9:09 AM (Página 16 de 20)
(x - 3)² = (x - 3)·(x - 3)
x⁷ = x·x·x·x·x·x·x(3a)²⁰ = 3a·3a·3a·3a·3a·3a·3a·3a·3a·3a·3a·3a·3a·3a·3a·3a·3a·3a·3a
x - 3x - 3
Título: mar 19-9:11 AM (Página 17 de 20)
5. PRODUCTOS NOTABLES
Hay productos de polinomios que aparecen muy amenudo en el álgebra. Por ello, en lugar de realizar cada vez la operación,
aplicaremos las siguientes fórmulas:
· El cuadrado de una suma: es igual al cuadrado del primero MÁS el cuadrado del segundo MÁS el doble del primero por el segundo.
(a + b)² = a² + b² + 2·a·b· El cuadrado de una resta: es igual al cuadrado del primero MÁS
el cuadrado del segundo MENOS el doble del primero por el segundo.
(a - b)² = a² + b² - 2·a·b· Suma por diferencia : es la diferencia de los cuadrados.
(a + b)·(a - b) = a² - b²
Ej. (x + 3)² = x² + 3² + 2·x·3 = x² + 9 + 6x(x - 3)² = x² + 3² - 2·x·3 = x² + 9 - 6x
(x + 3)·(x - 3)= x² - 3² = x² - 9
Título: mar 19-9:14 AM (Página 18 de 20)
29. a) (x + 1) · (x - 2)
x + 1x - 2
b) (2x - 1) · (x - 1)
2x - 1 x - 1
Título: mar 17-9:22 AM (Página 19 de 20)
A = 3x³ - 6x² + 4x - 2B = x³ - 3x + 1C = 2x² + 4x - 5
a) A+B
3x³ - 6x² + 4x - 2 x³ - 3x + 1
______________4x³ -6x² + x -1
c) A - B
3x³ - 6x² + 4x - 2 x³ - 3x + 1
______________
b) A + B + C
3x³ - 6x² + 4x - 2 x³ - 3x + 1
2x² +4x - 5______________4x³ - 4x² + 5x - 6
d) B - C
x³ - 3x + 1
2x² +4x - 5______________
e) A + B - C
3x³ - 6x² + 4x - 2 x³ - 3x + 1
2x² +4x - 5______________
f) A - B - C
3x³ - 6x² + 4x - 2 x³ - 3x + 1
2x² +4x - 5______________
Título: mar 14-9:20 AM (Página 20 de 20)
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