Universidad de Santiago de Chile
Facultad de Ciencia, Dpto. de Matemtica y C.C.
Clculo 1, Mdulo Bsico Ingeniera
Cristin Burgos G.
Trigonometra Bsica ( Propiedades y ejercicios resueltos).
Estimados: mediante el presente documento, se muestran ejercicios de dicultad creciente, el objetivo de esta
gua en el fondo es orientar al estudiante el cmo debe ir avanzado con los problemas que debe resolver para
establecer una estrategia y metodologa de estudio clara, de manera de llegar lo ms rpido y acertivamente
posible a niveles de aprendizaje altos y con el trasfondo terico que corresponde aplicado a diversas situaciones
aqu planteadas. De ninguna manera se quiere decir que esto reemplaza el estudio de conceptos, es justamente
necesario para poder resolver problemas.
1. Sea la identidad sin2 + cos2 = 1 . Demuestre que 1 + tan2 = sec2
Solucin: Tenemos
sin2 + cos2 = 1
Dividiendo por cos2 (sin
cos
)2+ 1 =
(1
cos
)2tan2 + 1 = sec2
2. Usando la misma identidad del problema anterior demuestre que cot2 + 1 = csc2
Solucin: Ahora dividiremos por sin2
sin2 + cos2 = 1
1 +(cossin
)2=
(1
sin
)21 + cot2 = csc2
3. Considere sin( ) = sin cos cos sin y cos( ) = cos cos sin sin
a) Demuestre que sin(2) = 2 sin cos
1
Solucin:
sin(2) = sin(+ )
= sin cos+ cos sin
= 2 sin cos
b) Demuestre que cos(2) = cos2 sin2
Solucin:
cos(2) = cos(+ )
= cos cos sin sin= cos2 sin2
c) Demuestre que tan( ) = tan tan1 tan tan
Solucin:
tan( ) = sin( )cos( )
=sin cos cos sincos cos sin sin
Dividiendo el numerador y denominador por cos cos
sin cos cos sincos cos sin sin =
sin coscos cos cos sincos cos
1 sin sincos cos
=
sincos sincos
1 ( sincos) ( sincos)=
tan tan1 tan tan
Entonces
tan( ) = tan tan1 tan tan
4. Use la identidad demostrada en el item 3-c para encontrar una expresin para tan 2 en trminos de tan
2
Solucin: Sabemos que
tan = tan(2+
2
)=
tan 2 + tan2
1 tan 2 tan 2=
2 tan 21 tan2 2Entonces (
1 tan2 2
)tan = 2 tan
2
0 = 2tan
2 tan+ tan tan2
2
Sea el cambio u = tan 2
u2 tan+ 2u tan = 0u =
24 + 4 tan2 2 tan
=11 + tan2
tan
Luego
tan
2=11 + tan2
tan
5. Demuestre que sin2 =1 cos(2)
2
Solucin:
1 cos(2)2
=1 (cos2 sin2 )
2
=(1 cos2 ) + sin2
2
=sin2 + sin2
2
=2 sin2
2= sin2
6. Sea x = tan , exprese sin y cos en trminos de x si est en el primer cuadrante
3
Solucin:
tan =sin
cos
=sin
1 sin2 tan
1 sin2 = = sin
tan2 (1 sin2 ) = sin2
tan2 sin2 tan2 = sin2 tan2 = sin2 (1+tan)sin2 =
tan2
1 + tan2
sin =
tan2
1 + tan2 =
tan1 + tan2
Pero tan = x , nalmente
sin =x
1 + x2
De manera anloga
tan =sin
cos
=
1 cos2 cos
tan cos =1 cos2
tan2 cos2 = 1 cos2 cos2 (tan2 + 1) = 1
cos2 =1
tan2 + 1
cos =
1
tan2 + 1=
1tan2 + 1
Pero tan = x , nalmente
cos =1
x2 + 1
7. Usando las identidades presentadas en el problema 3, determine el valor de
a) sin 15
4
Solucin:
sin 15 = sin(45 30)= sin 45 cos 30 cos 45 sin 30=
2
23
22
2 12
=
2
4
(3 1
)b) cos 15
Solucin:
cos 15 = cos (45 30)= cos 45 cos 30+ sin 45 sin 30
=
2
23
2+
2
2 12
=
2
4
(3 + 1
)c) cos 150
Solucin:
cos 150 = cos (180 30)= cos 180 cos 30+ sin 180 sin 30
= cos 30=
3
2
8. Considere que tan(2
)= t , 0 < < pi2
a) Escriba tan en trminos de t
Solucin: Observe que
tan = tan(2+
2
)=
2 tan 21 tan2 2
=2t
1 t2
b) Escriba sin en trminos de t
5
Solucin: Observe que
tan =sin
cos
tan =sin
1 sin2
En virtud de lo hecho en el ejercicio 6
sin =tan
1 + tan2
Usando lo deducido en (a)
sin =2t
1t21 +
(2t
1t2)2
=2t
(1 t2)
(1t2)2+4t2(1t2)2
=2t
1 2t2 + t4 + 4t2=
2t1 + 2t2 + t4
=2t
(1 + t2)2
=2t
1 + t2
6
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