TRIGONOMETRIA

Prof. José Miguel Gómez Guzmán

Trigonometría se refiere a la medida de los lados y los ángulos de un triángulo.– Aplicaciones de la TRIGONOMETRIA: topografía,

navegación e ingeniería.

Podemos desarrollar el tema

de trigonometría por medio de

dos enfoques, éstos son:– El círculo– El triángulo rectángulo

Trigonometría

Enfocada por medio del

TRIANGULO RECTANGULO

Triángulo Rectángulo

Triángulo

rectángulo

hipotenusa

catetos

Característica principal de un triángulo rectángulo es que uno de sus ángulos mide 900

Observaciones importantes sobre los triángulos

rectángulos.

Un triángulo consta de tres lados y de tres ángulos.

La suma de los tres ángulos es 1800

La suma de la longitud de cualquiera de dos de los lados del triángulo es mayor que la longitud del tercer lado.

Sea c la hipotenusa, a y b los catetos, entonces c2 = a2 + b2

Los ángulos se nombran con letras para identificarlos. Algunas de las letras que utilizamos son del alfabeto griego como por ejemplo;

“gamma”; “alpha” ; “betha”

Podemos relacionar los lados de un triángulo rectángulo con sus ángulos por medio de las relaciones trigonométricas.

Por medio de éstas relaciones trigonométricas podemos hallar información sobre ya sea un lado o un ángulo que desconocemos del triángulo.

Las relaciones trigonométricas son seis, tres de ellas son fundamentales ya que dan origen a las otras.

RELACIONES TRIGONOMETRICAS PARA UN TRIANGULO RECTANGULO

Relaciones básicasRelaciones recíprocas

adyacentelado

opuestolado

hipotenusa

adyacentelado

hipotenusa

opuestoladoseno

tangente

coseno

opuestolado

hipotenusa

senecante

1

cos

adyacentelado

hipotenusa

enoante

cos

1sec

opuestolado

adyacenteladoangente

tan

1cot

Relaciones trigonométricas de un triángulo rectángulo

Las tres funciones trigonométricas básicas para el ángulo

Lado adyacente

a “gamma”

Lado opuesto a “gamma

”

adyacentelado

opuestolado

hipotenusa

adyacentelado

hipotenusa

opuestoladoseno

tangente

coseno

EJEMPLO 1

3

4 tangente

5

3 coseno

5

4

adyacentelado

opuestolado

hipotenusa

adyacentelado

hipotenusa

opuestoladoseno

5

2591634 22

22

c

c

bac

HIPOTENUSALADEMEDIDA

4

3

4

51cos

senecante

3

5

cos

1sec

enoante

4

3

tan

1cot

angente

Continuación EJEMPLO 1

33.13

4 tangente6.0

5

3 coseno8.0

5

4 seno

4

3

25.14

5cos ecante 67.1

3

5sec ante 75.

4

3cot angente

Podemos utilizar cualquiera de los valores anteriores para determinar la medida del ángulo Veamos el siguiente ejemplo

4

3Hallar la medida del ángulo indicado.

La razón seno es .8 , si necesito hallar la medida de y conozco el valor de seno , la función inversa de seno me permite encontrar el valor de de la siguiente forma:

)8(.,8. 1 senoentoncessenoSi

Calcula una de las relaciones trigonométricas según la información

que te provea el ejercicio. 8.05

4seno

)8(.

,8.

1

seno

entonces

senoSi

CALCULAR LA INVERSA DE SENO

Utilizaremos la calculadora

ENTRADA EN LA CALCULADORA

SEN-10.8=

Presenta la respuesta en :

Grados___ Radianes___

Pantalla

Radianes.927

Grado53.13

Recuerda escoger en tu calculadora la unidad de medida para el ángulo, (grados o radianes)

antes de hacer los cómputos.

4

3

Utiliza la información de la siguiente figura para contestar las siguientes preguntas.

PRACTICA 1

1. Calcula las seis relaciones trigonométricas para

2. Halla el valor de , en grados y en radianes, utilizando la relación coseno.

3. Halla el valor de , en grados y en radianes, utilizando la relación tangente.

Respuestas -PRACTICA 1

1. Calcula las seis relaciones trigonométricas para

75.4

3 tangente

8.5

4 coseno

6.5

3

seno67.1

3

5cos ecante

25.14

5sec ante

33.13

4cot angente

2. Halla el valor de , en grados y en radianes, utilizando la relación

coseno.

87.366435.

)8(.1

cos8.5

4 coseno

gradosradianes

3. Halla el valor de , en grados y en radianes, utilizando la relación tangente.

87.366435.

)75(.1

tan;75.4

3 tangente

gradosradianes

Compara las relaciones

trigonométricas seno y coseno de y

8.5

4 coseno

6.5

3

seno

= 36.870=53.130

6.05

3 coseno

8.05

4

seno

La suma de y es 900

Por tanto y son ángulos complementarios.

Sean y dos ángulos complementarios, entonces, encontramos las siguientes

relaciones:

cottan

seccsc

cos

sen

cottan

seccsc

cos

sen

Utiliza la información de la siguiente figura para contestar las siguientes preguntas.

PRACTICA 2

1`. Halla el valor de , en grados y en radianes.

2. Halla el valor de , en grados y en radianes.

2

2

3

Respuestas -PRACTICA 2

1. Halla el valor de , en grados y en radianes.

11.498571.

)1547.1(1

tan1547.13

2 tangente

gradosradianes

gente

2. Halla el valor de , en grados y en radianes.En la forma corta tenemos que + = 90,

Por lo tanto = 90 - = 90-49.11=40.89

Utilizando las relaciones trigonométricas tenemos

89.407137.

)866(.1

tan866.2

3 tangente

gradosradianes

gente

Observación

Si conozco dos de los lados de un triángulo rectángulo puedo hallar la

medida de sus ángulos.

Ejemplo 2

Halla la medida de la hipotenusa del siguiente triángulo.

40

12

12 es la medida del lado opuesto a 40 grados

12 es la medida del lado adyacente de 50 grados

668.186428.

12

126428.

1240

xx

xparadespejamosx

xseno

668.186428.

12

126428.

1250cos

xx

xparadespejamosx

xeno

ó

Como 40 y 50 son complementarios entonces seno 40=coseno 50

PRACTICA 1

Halla la medida de los dos catetos del siguiente triángulo

30

25b

a

Respuestas-PRACTICA 1

Halla la medida de los dos catetos del siguiente triángulo

30

25b

a

5.12)25)(5(.

2525.

2530

b

bparadespejamos

b

bseno

65.21)25)(87(.

2587.

2530cos

b

bparadespejamos

a

aeno

Estamos cargando una escalera de largo Lpor un pasillo de 3 pies de ancho hacia un area de 4 pies de ancho, según el siguiente dibujo.

Halla la medida del largo de la escalera como función del ángulo tal como se ilustra.

3 pies

4 piesescalera

APLICACION

3 pies

4 piesescalera

Aplicaciones de razones trigonométricas en la vida cotidiana

PARA CALCULAR LA SOMBRA QUE PROYECTA UN HOMBRE QUE MIDE 1,93 METROS SI EL SOL FORMA UN ÁNGULO DE ELEVACIÓN DE 30° ¿QUÉ RAZÓN TRIGONOMÉTRICA DEBEMOS USAR?

Seno Coseno Tangente

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