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Trigonometría Bachillerato

- 1/15 - A.G.Onandía

TRIGONOMETRIA

1. Introducción. Medidas de ángulos

Ángulos orientados.

Consideraremos los ejes cartesianos, y representaremos sobre ellos los ángulos de tal forma

que el vértice coincida con el origen de coordenadas, y uno de sus lados

sobre el semieje de abscisas positivo, que se denomina origen de ángulos.

Diremos que un ángulo tiene medida positiva si la medición se realiza en

sentido antihorario y negativo en sentido horario.

Llamaremos circunferencia trigonométrica a cualquier circunferencia

cuyo centro esté en el origen de coordenadas y la llamaremos goniométrica si tiene además

radio 1.

Grado sexagesimal. Un grado sexagesimal (DEG) es el ángulo cuyo arco abarca 1/360 parte

de una circunferencia trigonométrica.

Se denota por º y tiene dos submúltiplos el minuto ´ y el segundo ´´. 1º=60´ y 1´=60´´.

Radián. Un radián (RAD) es el ángulo cuyo arco abarca una

longitud igual a un radio de la circunferencia trigonométrica.

Se denota por rad.

Una circunferencia tiene 360º o 2 rad.

.rad2r

r2

radio

nciacircunfere.long.radºn

El cambio de unidades se realiza mediante reglas de tres.

La importancia de la medida en radianes.

Normalmente se representan los ángulos en circunferencias goniométricas entonces, como el

radio es 1, la medida de los ángulos en radianes coincide con la longitud del arco, de este

modo “medir ángulos da el mismo resultado que medir longitudes”.

En general

Ejemplos:

- Expresar en radianes: 45º, 120º, 315º, 857º.

- Expresar en grados sexagesimales /4 rad., 3/5 rad., 13/5 rad.

+

- 0

long. arco = .radio (=ángulo en radianes)

0º=0 rad

90º=π/2 rad

180º= rad

270º=3/2 rad



3

4

5

2. Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo

Por el teorema de Thales (semejanza de triángulos):

tetancons''b

''a

'b

'a

b

a =sen

A esta constante se le llama seno y

como solo depende del ángulo la

llamamos seno de y la denotamos

por sen.

Los triángulos ABC, AB’C’,

AB´´C´´, ... son semejantes

(triángulos rectángulos con un ángulo

agudo igual).

También se sabe que:

cosdeenocostetancons''b

''c

'b

'c

b

c

tgdegentetantetancons''b

''a

'b

'a

c

a

Las razones inversas son: cosecante de = cosec=1/sen

secante de = sec=1/cos

cotangente de = cotg=1/tg

A todas estas razones se les llama razones trigonométrica. Por tanto en un triángulo rectángulo

quedan definidas de la siguiente forma:

Ejemplo:

Hallar las RT en el siguiente triángulo

sen=3/5 cos=4/5 tg=3/4

cosec=5/3 sec=5/4 ctg=4/3

A

B B

’

B´´

C

C

’

a

a’

a´´

b

c´

b´

c c´´

b´´

H

.E.C

hipotenusa

enfrentedecatetosen

H

C.C

hipotenusa

contigüocatetocos

.C.C

.E.Ctg

.E.C

Heccos

.C.C

Hsec

.E.C

.C.Cgcot



3. Relaciones entre las razones trigonométricas.

Relaciones que se deducen de la definición:

cos

sen

H

.C.CH

.E.C

.C.C

.E.Ctg

sen

1eccos

cos

1sec

sen

cosctg

Relaciones pitagóricas.

Si aplicamos el teorema de Pitágoras CE2+CC

2=H

2 se obtiene: sensen

2+cos

2=

1H

H

H

CCCE

H

CC

H

CE2

2

2

22

2

2

2

2

2 2cos 1 Resen lación Pitagórica

Dividiendo por sen20 se tiene:

22

2

2

2

sen

1

sen

cos

sen

sen 22 eccosctg1

Dividiendo por cos20 se tiene:

22

2

2

2

cos

1

cos

cos

cos

sen 22 sectg1

Estas igualdades nos permiten resolver triángulos rectángulos, simplificar expresiones y

demostrar identidades trigonométricas.

Ejemplos:

- Demostrar si es verdadera o falsa

cos

eccostg

ctgsen

- Simplificar:

ctg

)tg1(cos 22

- Resolver el siguiente triángulo rectángulo en A sabiendo que B=32º18´30´´y a=16 cm.

- Una escalera de bomberos de 10 m de longitud se ha fijado en un punto de la calzada.

Si se apoya sobre una de las fachadas forma un ángulo de 45º con el suelo y se apoya

sobre la otra fachada forma un ángulo de 30º. Hallar la anchura de la calle ¿a qué altura

se alcanza con dicha escalera sobre cada una de las fachadas?.

- Calcular las RT de los ángulos de 30º, 45º y 60º.



4. Generalización de las razones trigonométricas para cualquier ángulo

Llamamos sistema de referencia angular a ={0,X,Y,C} ejes cartesianos y una

circunferencia trigonométrica.

En un sistema de referencia angular las razones trigonométricas las podemos representar así:

Siendo el ángulo, P el punto asociado a la circunferencia

con coordenadas (x,y) así:

sen = C.E./H = y/r = ordenada/radio

cos = C.C./H = x/r = abscisa/radio

Teniendo en cuenta esta nueva expresión podemos calcular

las RT de un ángulo cualesquiera.

Es más las RT no dependen del radio de la

circunferencia elegida para definirlas:

Por semejanza de triángulos sen=y/r=y’/r’

cos=x/r=x’/r’

Como la definición de las RT no dependen del

radio, puedo elegir circunferencias goniométricas

r=1 obteniendo:

sen=y=ordenada; cos=x=abscisa

Ejemplo:

- En una circunferencia trigonométrica de radio 10, tres puntos de la circunferencia tienen

como coordenadas A(-6,8), B(-8,-6), C(6,-8). Hallar las RT de los ángulos que tienen como

extremos de los arcos los puntos A, B y C.

- Dibuja, sobre la circunferencia goniométrica, un ángulo que cumpla las siguientes

condiciones: 3

90º 180º5

sen y , hallar el valor de las restantes razones

trigonométricas.

r

x

y

0

y

x

P(x,y)

x

y

0

P(x,y)

P(x’,y’)



x

y

P

Q R

T

S

M

5. Signo y valor de las razones trigonométricas.

Como las RT van asociadas a las coordenadas

de una circunferencia goniométrica los signos

son los de la tabla y los valores máximos y

mínimos son:

-1sen1 -1cos1 tgR

cosecR-(-1,1) secR-(-1,1) ctgR

Ejemplo: Calcular los signos de las RT de 130º,

220º, 179º, 299º, 91º, 355º,180º, 1’, 272º.

6. Líneas trigonométricas

Los ángulos POQ y MTO son iguales (alternos internos) y por tanto los triángulos OPQ,

OSR y MTO son semejantes ( son triángulos rectángulos con un ángulo agudo igual )

Son homólogos por tanto los siguientes lados :

OTOSOP OMOROQ MTSRPQ

Considerando el radio=1

PQOP

PQsen OQ

OP

OQcos

RSOR

RS

OQ

PQtg

OTOM

OT

PQ

OPeccos OS

OR

OS

OQ

OPsec

MTOM

MT

PQ

OQctg

Para recordar:

Todas las razones tienen una sencilla

interpretación como segmentos orientados

salvo la secante y la cosecante, para los

cuales debe considerarse su valor absoluto y

luego asociarle el signo.

Ejercicio:

- Calcular las RT de III cuadrante

sabiendo que cos=-0’6.

sen cos tg

I cuadr. + + +

II cuadr. + - -

III cuad. - - +

IV cuad. - + -

x

y

Eje de cotangentes

Eje de cosenos

Eje

de

tang

ente

s

Eje

de

sen

os

O



A B

C

h b a

C=150 m.

75º 55º

A B

C

b

c

a

H

hc

ha

7. Teorema del seno.

Sea el triángulo ABC y hc la altura correspondiente al vértice C.

senB.asenA.b

senB.aha

hsenB

senA.bhb

hsenA

cc

cc

senB

b

senA

a

Trazando la altura desde el vértice C, hc, obtenemos que senA

a

senB

b uniendo ambas

expresiones a b c

= = =2rsenA senB senC

Teorema del Seno

El teorema de los senos nos relaciona los lados de un triángulo con los ángulos opuestos.

Ejemplo:

Una antena reproductora de señales de radio es observada desde dos puntos del suelo

separados entre sí 150 m. Los ángulos que las visuales forman con la horizontal son 75º y 55º.

Calcular las distancias de cada punto de la observación a la parte superior de la antena.

C=180º-A-B=50º aplicando el teorema del seno

º50sen

c

º55sen

b

º75sen

a

m40'160º50sen

º55sen150b

m14'189º50sen

º75sen150a

En el triángulo AHC h=bsenA=160’40sen75º=154’93 m

Ejemplo: Duplicidad de la solución

En un instante determinado un avión se encuentra a 8 km de la torre de

control de un aeropuerto y a 7,5 km de un dirigible. Si ambos son

observados bajo un ángulo de 30º, ¿a qué distancia se encuentra en ese

momento el dirigible del aeropuerto?

Solución:

Los datos son ˆ 30º, 7,5 8A a km y c km

Debemos calcular b.

Aplicando el teorema del seno: 8 7,5 ˆ 0,5333

ˆ 30ºsenC

sensenC



Existen dos ángulos 1C y 2C cuyo seno es 0,5333 1ˆ 32,23ºC y 2

ˆ 147,77ºC

Si 1ˆ 32,33ºC 1

ˆ 180º 30º 32,23º 117,77ºB

Por tanto Teorema del seno: 11

7,5 7,5.sen117,77º13,27 .

30º 117,77º 30º

bb km

sen sen sen

Si 2ˆ 147,77ºC 2

ˆ 180º 30º 147,77º 2,23ºB

Por tanto Teorema del seno: 22

7,5 7,5.sen 2,23º0,758 .

30º 2,23º 30º

bb km

sen sen sen

En este caso existen dos soluciones.

La resolución gráfica muestra esta duplicidad de soluciones.

El arco de centro B y radio a=7,5 km corta al lado b en dos puntos

1 2C y C , que son vértices de los dos triángulos solución.

Observación: si modificamos la longitud de a, puede ocurrir que

el arco de centro B corte al lado b en un único punto o que no lo

corte. En el primer caso, existe una única solución y en el segundo, no existe ninguna

solución.

10. Teorema del coseno.

El teorema del coseno es una generalización

del teorema de Pitágoras para cualquier tipo

de triángulos.

AcosbcAHcHB

AcosbAH

Aplicando Pitágoras a los triángulos rectángulos AHC y BHC obtenemos

AbccbaAbAbcchHBha

AbhAHhbcos2

coscos2

cos 222

22222

22

2222

22

despejando a

2

2 2 2 2 cosa b c bc A Teorema del Coseno

y por simetría en el desarrollo tenemos otras dos fórmulas semejantes:

b2=a

2+c

2-2accos

c2=a

2+b

2-2abcosC

El teorema del coseno nos relaciona los tres lados de un triángulo con un ángulo opuesto.

C

A B

b

c

a

H

h



55º

A B

C

c

Ejemplos:

1.- Se desea construir un túnel que una dos puntos determinados de

una montaña como se indica en el dibujo. Para determinar la longitud

a excavar se han tomado las siguientes medidas: el ángulo formado

por las visuales desde el punto C hasta los puntos A y B es de 55º. Las

distancias desde el citado punto hasta los extremos del túnel son 2500

y 3600 metros. Calcular la longitud del túnel.

2.- Resolver el triángulo ABC del que conocemos el lado c=5 m y los ángulos A=60º y B=40º

Sol: ˆ 80ºC , a=4,396 m, b=3,263 m

3.- Resolver el triángulo ABC del que conocemos dos lados b=7 m ; c=10 m y el ángulo

comprendido entre ellos A=40º. Sol: a=41,753 m. ˆˆ 44º13' 96º27'B C

4.- Resolver el triángulo ABC del que conocemos los tres lados a=35; b=20 y c=40 metros.

Sol: ˆ ˆˆ61º1'42,48'' 29º58'41,58'' 88º58'36,5''A B C

5.- Resolver el triángulo ABC del que conocemos dos lados y el ángulo opuesto a uno de

ellos: b=11 m; c=17 m y C=140º Sol.: a=

6.- Resolver el triángulo ABC del que conocemos dos lados y el ángulo opuesto a uno de

ellos: A=40º; a=30m; b=40 m Sol: 1 1 2 2ˆ ˆ59º 46,1; 121º 15,185B C B C

Observación: Cuando en los datos de un triángulo aparecen más lados que ángulos, conviene

utilizar el teorema del coseno.

7.- Dos amigos Casimiro (Señor C) y Dionisio (Señor D), están en la bahía de Santander

mirando el mar, separados por 2,5 km. Observan dos veleros y quieren saber a qué distancia se

encuentran entre sí. Para ello disponiendo de unos teodolitos miden los ángulos que forman

sus visuales con cada uno de los barcos, obteniendo los resultados que aparecen en el gráfico.

¿Podrías calcularlo?

70º

20º 30º 65º

2500 m

Barco A

Barco B

Señor D Señor C



Solución:

Sobre el triángulo DAC hallamos el ángulo 180º 70º 30º 80ºDAC

Aplicamos el Teorema del seno para calcular la distancia AC

2500 2500 30º1269,283

80º 30º 80º

AC senAC m

sen sen sen

Sobre el triángulo BCD hallamos el ángulo 180º 20º 65º 95ºDCB

Aplicamos el Teorema del seno para calcular la distancia BC

2500 2500 65º2274,424

95º 65º 95º

BC senAC m

sen sen sen

Sobre el triángulo ABC hallamos el ángulo 70º 20º 50ºACB

Aplicamos el teorema del coseno:

22 22274,424 1269,283 2·2274,424·1269,283·cos50ºAB

3072772,555 1752,936AB m

Los barcos A y B están separados por aproximadamente 1753 m

8.- Calcular la distancia entre dos puntos inaccesibles A y B,

conocidos m400CD , se miden con un teodolito los ángulos

º42yCDA,º30xDCB,º80D,º70C Sol 271,4 m

9.- Dos circunferencias secantes tienen radios de 10 cm y 13 cm sus tangentes comunes

forman un ángulo de 30º. Calcular las distancias entre sus centros. Sol 11,6 cm

10.-Hallar b, x y el área de la figura:

Sol: b=13, x =32º12’15’’, área=96,12 cm2.

A B

C

b

75º 60º 8 cm

10 cm

x

D

15 cm

B

C D



8. Reducción de ángulos al primer cuadrante.

Dos ángulos y son complementarios si +=90º y suplementarios si +=180º.

Relación entre las RT de ángulos complementarios

sen = sen(90º-) = cos cosec(90º-) = sec

cos(90º-) = sen sec(90º-) = cosec

tg(90º-) = ctg ctg(90º-) = tg

Relación entre las RT de ángulos suplementarios

sen(180º-) = sen cosec(180º-) = cosec

cos(180º-) = - cos sec(180º-) = - sec

tg(180º-) = - tg ctg(180º-) = - ctg

Ejemplos:

- Calcular las RT del ángulo de 60º en función de las de su complementario.

- Calcular las RT del ángulo de 135º en función de un ángulo del I cuadrante.

Relación entre las RT de ángulos que difieren 90º o /2 rad.

sen(90º+) = cos cos(90º+)= - sen

Ejemplo: Sabiendo que el sen10º=0’1736 calcular las demás RT de un ángulo de 100º.

Relación entre las RT de ángulos que difieren 180º o rad.

sen(+) = sen(180º+) = - sen cos(+) = cos(180+) = - cos

Ejemplo: Sabiendo que cos/6=2

3 calcular las RT de un ángulo de 7/6 rad.

Relación entre las RT de ángulos que suman 270º o 3/2 rad.

sen(270º-) = sen (3/2-) = - cos cos(270º-) = cos(3/2-) = - sen

Ejemplo: calcular las RT de un ángulo de 215º en función de las de un ángulo del I cuadr.

Relación entre las RT de ángulos que difieren 270º o 3/2 rad.

sen(270º+) = sen(3/2+) = - cos cos(270º+) = cos(3/2+) = sen

Relación entre las RT de ángulos opuestos (suman 360º o 2 rad.)

sen(360º-)=sen(2-)=sen(-)=-sen cos(360º-)=cos(2-)=cos(-)=cos

x

y

x

y



sen(+)=sen·cos+cos·sen

9.- Razones trigonométricas de la suma y de la diferencia .

Sean y dos ángulos cuyas RT son conocidas, se

trata de calcular las RT de los ángulos + y -

Tomamos 1OB

sen(+)= ACEAECBDOB

BD (1)

senOAEAOA

EAsen y OA

OB

OAcos cossenEA

cosABACAB

AC

OA

OEcos y AB

OB

ABsen sencosAC

llevando estas expresiones a (1)

sen(-) = sen[+(-)] = sencos(-)+cossen(-) = sencos-cossen

cos(+) = sen[90º-(+)] = sen[(90º-)-] = sen(90º-)cos-cos(90º-)sen =

= coscos-sensen

cos(-)=cos[+(-)]=coscos(-)-sensen(-)=coscos+sensen

coscos

sensencoscos

coscos

sencoscossen

sensencoscos

sencoscossen

)cos(

)(sentg

cos cos

11

cos cos

sen sen

tg tg

sen sen tg tg

( )1

tg tgtg

tg tg

k

k

k

2/

2/

2/

tgtg1

tgtg

)(tgtg1

)(tgtg)(tg ( )

1

tg tgtg

tg tg

k

k

k

2/

2/

2/

sen(-)=sen·cos-cos·sen

cos(-)=cos·cos+sen·sen

cos(+)=cos·cos-sen·sen

+ A

B C

D O



sen2=2sen·cos cos2=cos2-sen

2 tg2=

2tg1

tg2

cos1

cos1

2tg

2

cos1

2cos

2

cos1

2sen

10. Razones trigonométricas del ángulo doble y del ángulo mitad.

Si en las expresiones de las razones trigonométricas del ángulo (+) hacemos =,

obtenemos la RT del ángulo doble 2

sen(2)=sen(+)=sencos+cossen=2sencos

cos(2)=cos(+)=coscos-sensen=cos2-sen

2

tg(2)=

2tg1

tg2

tgtg1

tgtg

Ejemplo: si sen=0’5 calcular el sen3

Partiendo del coseno del ángulo doble:

cos2a=cos2a-sen

2a=1-sen

2a-sen

2a=1-2sen

2a 2sen

2a=1-cos2a sena=

2

a2cos1

cos2a=cos2a-sen

2a=cos

2a-(1-cos

2a)=2cos

2a-1 2cos

2a=1+cos2a cosa=

2

a2cos1

Dividiendo ambas expresiones: a2cos1

a2cos1tga

Estas expresiones se presentan de otra forma que se obtienen haciendo el cambio 2a=

Para calcular las RT de /2 hay que saber en qué cuadrante está situado el ángulo para tomar

el signo + o -.



11. Transformaciones de sumas en productos y viceversa.

Transformación de la suma de senos en productos.

sen(+)=sen·cos+sen·cos (2)

sen(-)=sen·cosB-sen·cos (3)

sen(+)+sen(-)=2sen·cos si hacemos

22

22

A BA B

A

B A BA B

obtenemos 2

BAcos

2

BAsen2senBsenA

Transformación de productos en sumas sen·cos=1/2[sen(+)+sen(-)]

Transformación de la diferencia de senos en productos.

Haciendo (2)-(3) obtenemos sen(+)-sen(-)=2·cos·sen y con los mismos cambios de

variable queda 2

BAsen

2

BAcos2senBsenA

Transformación de productos en sumas cos·sen=1/2[sen(+)-sen(-)]

Transformación de la suma de cosenos en productos.

cos(+)=cos·cos-sen·sen (4)

cos(-)=cos·cos+sen·sen (5)

Haciendo (4)+(5) cos(+)+cos(-)=2·cos·cos y con el cambio de variable obtenemos

2

BAcos

2

BAcos2BcosAcos

Transformación de productos en sumas cos·cos=1/2[cos(+)+cos(-)]

Transformación de la diferencia de cosenos en productos.

Haciendo (4)-(5) cos(+)-cos(-)=-2·sen·sen 2

BAsen

2

BAsen2BcosAcos

Transformación de productos en sumas sen·sen=-1/2[cos(+)-cos(-)]

Ejemplos:

- Calcular sen(60º+)-sen(60º-)=sen

- Simplificar las expresiones

3cos5cos

3sen5sentg

5cos7cos

5sen7sen-ctg



12. Ecuaciones y sistemas trigonométricas.

Una ecuación es trigonométrica cuando la incógnita está ligada a alguna razón trigonométrica.

No hay un método general con el que poder resolverlas, pero son de utilidad las siguientes

indicaciones:

a) Deben expresarse (mediante transformaciones convenientes) todas las RT que aparezca

en la ecuación, en función de un mismo ángulo y de una sola razón.

b) Es conveniente transformar las sumas y diferencias en productos

c) Hay que evitar, en lo posible, suprimir soluciones, o añadir soluciones de forma

inadecuada (Por ej. elevando al cuadrado)

Hay que tener en cuenta que tienen infinitas soluciones

Ejemplos:

- sen(2x+30º)=2

3

Zkkx

kx

Zkk

kx

º180º45

º180º15

º360º120

º360º60º302

- sen5x+sen3x=0 02

x3x5cos

2

x3x5sen2

2sen4x.cosx=0

0xcos

0x4sen luego

Zkkkx

kxkx

º180º90º180º90

º45º1804

- sen2x+cosx=0 2senxcosx+cosx=0 cosx(2senx+1)=0

01senx2

0xcos salen

x=90º+180ºk; x=210º+360ºk; x=330º+360ºk kZ

- cos2x+senx=4sen2x cos

2x-sen

2x+senx=4sen

2x 1-sen

2x-sen

2x+senx=4sen

2x

0=6sen2x-senx-1 senx=t 6t

2-t-1=0 ….

- senx+cosx=1

Para sistemas tampoco hay un método general.

Ejemplos:

-

2yxcos

1yxsen2

2

-

2

2)yxcos(

2

3)yx(sen

1)yx(sen2

6senysenx



Resumen de fórmulas

sen(+)=sencos+cossen

sen(-)=sencos-cossen

cos(+)=coscos-sensen

cos(-)=coscos+sensen

tgtg1

tgtg)(tg

tgtg1

tgtg)(tg

sen2=2sencos

cos2=cos2-sen

2

tg2=

2

1

2

tg

tg

cos1

cos1

2tg

2

cos1

2cos

2

cos1

2sen

222

BAcos

BAsensenBsenA

sencos=1/2[sen(+)+sen(-)]

222

BAsen

BAcossenBsenA

cossen=1/2[sen(+)-sen(-)]

222

BAcos

BAcosBcosAcos

coscos=1/2[cos(+)+cos(-)]

222

BAsen

BAsenBcosAcos

sensen=-1/2[cos(+)-cos(-)]

Teorema del seno: senC

c

senB

b

senA

a

Teorema del coseno: a2=b

2+c

2-2bccosA

b2=a

2+c

2-2accosB

c2=a

2+b

2-2abcosC