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INTRODUCCION
El clculo integral se basa en el proceso inverso de la derivacin, llamado integracin. Dada
una funcinf, se busca otra funcinFtal que su derivada esF' =f;Fes la integral, primitivao antiderivada def, lo que se escribeF(x) = f(x)dx o simplementeF=f dx (esta notacin se
explica ms adelante). Las tablas de derivadas se pueden utilizar para la integracin: como la
derivada dex2 es 2x, la integral de 2x esx2. SiFes la integral def, la forma ms general de
la integral de f es F + c, en donde c es una constante cualquiera llamada constante de
integracin; esto es debido a que la derivada de una constante es 0 por lo que (F+ c)' =F' + c'
=f+ 0 =f. Por ejemplo, 2xdx =x2 + c.
Las reglas bsicas de integracin de funciones compuestas son similares a las de la
diferenciacin. La integral de la suma (o diferencia) es igual a la suma (o diferencia) de sus
integrales, y lo mismo ocurre con la multiplicacin por una constante. As, la integral dex =
2x es x2, y de forma similarxm dx =xm+1/(m + 1) para cualquierm -1 (no se incluye el
caso de m = -1 para evitar la divisin por 0; el logaritmo neperiano ln|x| es la integral dex-1 =
1/x para cualquierx 0). La integracin suele ser ms difcil que la diferenciacin, pero
muchas de las funciones ms corrientes se pueden integrar utilizando stas y otras reglas.
Una aplicacin bien conocida de la integracin es el clculo de reas. Sea A el rea de la
regin delimitada por la curva de una funcin y = f(x) y por el eje x, para ax b. Para
simplificar, se asume quef(x) 0 entre a y b. Para cadaxa, seaL(x) el rea de la regin a la
izquierda de la x, as es que hay que hallarA = L(b). Primero se derivaL(x). Si h es una
pequea variacin en la x, la regin por debajo de la curva entre x y x + h es
aproximadamente un rectngulo de alturaf(x) y anchura h (vase figura 3); el correspondiente
incremento k = L(x + h) - L(x) es por tanto, aproximadamente, f(x)h, por lo que k/h es,
aproximadamente, f(x). Cuando h 0 estas aproximaciones tienden hacia los valores exactos,
as es que k/hf(x) y por tanto L'(x) = f(x), es decir, L es la integral de f. Si se conoce una
integralFdefentoncesL =F+ c para cierta constante c. Se sabe queL(a) = 0 (pues el rea a
la izquierda de lax es cero six = a), con lo que c = -F(a) y por tantoL(x) =F(x) -F(a) para
todas lasxa. El rea buscada,A =L(b) =F(b) -F(a), se escribe.
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DEFINICION DE INTEGRAL
La integracin es un concepto fundamental de las matemticas avanzadas, especialmente en
los campos del clculo y del anlisis matemtico. Bsicamente, una integral es una suma de
infinitos sumandos, infinitamente pequeos.
El clculo integral, encuadrado en el clculo infinitesimal, es una rama de las matemticas en
el proceso de integracin o antiderivacin, es muy comn en la ingeniera y en la matemtica
en general y se utiliza principalmente para el clculo de reas y volmenes de regiones y
slidos de revolucin.
Fue usado por primera vez por cientficos como Arqumedes, Ren Descartes, Isaac Newton,
Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este ltimo y los aportes de Newtongeneraron el teorema fundamental del clculo integral, que propone que la derivacin y la
integracin son procesos inversos.
TEORA DE INTEGRACIN
Dada una funcinf(x) de una variablerealx y un intervalo [a,b] de larecta real, la integral
es igual al reade la regin del planoxy limitada entre la grfica def, el ejex, y las lneas
verticalesx = a yx = b, donde son negativas las reas por debajo del ejex.
La palabra "integral" tambin puede hacer referencia a la nocin deprimitiva: una funcinF,
cuya derivada es la funcin dadaf. En este caso se denomina integral indefinida, mientras que
las integrales tratadas en este artculo son las integrales definidas. Algunos autores mantienen
una distincin entre integrales primitivas e indefinidas.
Newton y Leibniza finales del siglo XVII. A travs del teorema fundamental del clculo, que
desarrollaron los dos de forma independiente, la integracin se conecta con la derivacin, y la
integral definida de una funcin se puede calcular fcilmente una vez se conoce una
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antiderivada. Las integrales y las derivadas pasaron a ser herramientas bsicas del clculo,
con numerosas aplicaciones en ciencia e ingeniera.
Bernhard Riemann dio una definicin rigurosa de la integral. Se basa en un lmite que
aproxima el rea de una regin curvilnea a base de partirla en pequeos trozos verticales. Acomienzos del siglo XIX, empezaron a aparecer nociones ms sofisticadas de la integral,
donde se han generalizado los tipos de las funciones y los dominios sobre los cuales se hace
la integracin. La integral curvilnea se define para funciones de dos o tres variables, y el
intervalo de integracin [a,b] se sustituye por una cierta curva que conecta dos puntos del
plano o del espacio. En unaintegral de superficie, la curva se sustituye por un trozo de una
superficie en el espacio tridimensional.
Las integrales de las formas diferenciales desempean un papel fundamental en la geometra
diferencialmoderna. Estas generalizaciones de la integral surgieron primero a partir de las
necesidades de la fsica, y tienen un papel importante en la formulacin de muchas leyes
fsicas cmo, por ejemplo, las del electromagnetismo. Los conceptos modernos de
integracin se basan en la teora matemtica abstracta conocida como integral de Lebesgue,
que fue desarrollada porHenri Lebesgue.
HISTORIA DE LAS INTEGRALES
Integracin antes del clculo
La integracin se puede trazar en el pasado hasta el antiguo Egipto, circa 1800 a. C., con el
papiro de Mosc, donde se demuestra que ya se conoca una frmula para calcular el
volumen de un troncopiramidal. La primera tcnica sistemtica documentada capaz de
determinar integrales es el mtodo de exhauscin de Eudoxo (circa 370 a. C.), que trataba de
encontrar reas y volmenes a base de partirlos en un nmero infinito de formas para las
cuales se conocieran el rea o el volumen. Este mtodo fue desarrollado y usado ms adelante
porArqumedes, que lo emple para calcular reas de parbolas y una aproximacin al rea
del crculo. Mtodos similares fueron desarrollados de forma independiente en China
alrededor del siglo III porLiu Hui, que los us para encontrar el rea del crculo. Ms tarde,
Zu Chongzhi us este mtodo para encontrar el volumen de una esfera. En el Siddhanta
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Shiromani, un libro de astronoma del siglo XII del matemtico indio Bhaskara II, se
encuentran algunas ideas de clculo integral.
Hasta el siglo XVI no empezaron a aparecer adelantos significativos sobre el mtodo de
exhauscin. En esta poca, por un lado, con el trabajo de Cavalieri con su mtodo de los
indivisibles y, por otro lado, con los trabajos de Fermat, se empez a desarrollar los
fundamentos del clculo moderno. A comienzos del siglo XVII, se produjeron nuevos
adelantos con las aportaciones de Barrow y Torricelli, que presentaron los primeros indicios
de una conexin entre la integracin y la derivacin.
Newton y Leibniz
Los principales adelantos en integracin vinieron en el siglo XVII con la formulacin delteorema fundamental del clculo, realizado de manera independiente porNewton y Leibniz.
El teorema demuestra una conexin entre la integracin y la derivacin. Esta conexin,
combinada con la facilidad, comparativamente hablando, del clculo de derivadas, se puede
usar para calcular integrales. En particular, el teorema fundamental del clculo permite
resolver una clase ms amplia de problemas. Tambin cabe destacar todo el marco estructural
alrededor de las matemticas que desarrollaron tambin Newton y Leibniz. El llamado
clculo infinitesimal permiti analizar, de forma precisa, funciones con dominios continuos.
Posteriormente, este marco ha evolucionado hacia el clculo moderno, cuya notacin para las
integrales procede directamente del trabajo de Leibniz.
Formalizacin de las integrales
Aunque Newton y Leibniz suministraron un enfoque sistemtico a la integracin, su trabajo
careca de un cierto nivel de rigor. Es memorable el ataque del obispo Berkeley calificando
los infinitesimales como los "fantasmas de las cantidades que se desvanecen". El clculo
adquiri una posicin ms firme con el desarrollo de los lmites y, en la primera mitad del
siglo XIX, recibi una fundamentacin adecuada por parte de Cauchy. La integracin fue
rigurosamente formalizada por primera vez porRiemann, empleando lmites. A pesar de que
todas las funciones continuas fragmentadas y acotadas son integrables en un intervalo
acotado, ms tarde se consideraron funciones ms generales para las cuales no se aplica la
http://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XIIhttp://es.wikipedia.org/wiki/Indiahttp://es.wikipedia.org/wiki/Bhaskara_IIhttp://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XVIhttp://es.wikipedia.org/wiki/Bonaventura_Cavalierihttp://es.wikipedia.org/wiki/Fermathttp://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XVIIhttp://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Barrowhttp://es.wikipedia.org/wiki/Evangelista_Torricellihttp://es.wikipedia.org/wiki/Derivadahttp://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_del_c%C3%A1lculohttp://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newtonhttp://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibnizhttp://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_infinitesimalhttp://es.wikipedia.org/wiki/George_Berkeleyhttp://es.wikipedia.org/wiki/Infinitesimalhttp://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_de_una_funci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XIXhttp://es.wikipedia.org/wiki/Cauchyhttp://es.wikipedia.org/wiki/Riemannhttp://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XIIhttp://es.wikipedia.org/wiki/Indiahttp://es.wikipedia.org/wiki/Bhaskara_IIhttp://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XVIhttp://es.wikipedia.org/wiki/Bonaventura_Cavalierihttp://es.wikipedia.org/wiki/Fermathttp://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XVIIhttp://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Barrowhttp://es.wikipedia.org/wiki/Evangelista_Torricellihttp://es.wikipedia.org/wiki/Derivadahttp://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_del_c%C3%A1lculohttp://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newtonhttp://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibnizhttp://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_infinitesimalhttp://es.wikipedia.org/wiki/George_Berkeleyhttp://es.wikipedia.org/wiki/Infinitesimalhttp://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_de_una_funci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XIXhttp://es.wikipedia.org/wiki/Cauchyhttp://es.wikipedia.org/wiki/Riemann7/31/2019 trabajo de integrales.doc
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definicin de Riemann, y Lebesgue formul una definicin diferente de la integral1 basada en
la teora de la medida. Tambin se propusieron otras definiciones de integral, que amplan las
definiciones de Riemann y Lebesgue.
Notacin
Isaac Newton usaba una pequea barra vertical encima de una variable para indicar
integracin, o pona la variable dentro de una caja. La barra vertical se confunda fcilmente
con o , que Newton usaba para indicar la derivacin, y adems la notacin "caja" era
difcil de reproducir por los impresores; por ello, estas notaciones no fueron ampliamente
adoptadas.
La notacin moderna de las integrales indefinidas fue presentada porGottfried Leibniz en1675.2 3 Para indicarsumma (en latn, "suma" o "total"), adapt el smbolo integral, "", a
partir de una letra S alargada. La notacin moderna de la integral definida, con los lmites
arriba y abajo del signo integral, la us por primera vez Joseph Fourieren Mmoires de la
Academia Francesa, alrededor de 181920, reimpresa en su libro de 1822.45 En la notacin
matemtica en rabe moderno, que se escribe de derecha a izquierda, se usa un signo integral
invertido .
METODOS DE INTEGRACION POR PARTES
El mtodo de integracin por partes es el que resulta de aplicar el siguiente teorema:
http://es.wikipedia.org/wiki/Lebesguehttp://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n#cite_note-0http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_medidahttp://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newtonhttp://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibnizhttp://es.wikipedia.org/wiki/1675http://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n#cite_note-1http://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n#cite_note-1http://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n#cite_note-2http://es.wikipedia.org/wiki/Lat%C3%ADnhttp://es.wikipedia.org/wiki/S_largahttp://es.wikipedia.org/wiki/Joseph_Fourierhttp://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n#cite_note-3http://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n#cite_note-3http://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n#cite_note-4http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Notaci%C3%B3n_matem%C3%A1tica_en_%C3%A1rabe_moderno&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Notaci%C3%B3n_matem%C3%A1tica_en_%C3%A1rabe_moderno&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Signed%27Integraci%C3%B3Arabic.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Una_vaca_menos_integral_vestida_de_uniforme.PNGhttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Una_vaca_menos_integral_vestida_de_uniforme.PNGhttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Signed%27Integraci%C3%B3Arabic.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Lebesguehttp://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n#cite_note-0http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_medidahttp://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newtonhttp://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibnizhttp://es.wikipedia.org/wiki/1675http://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n#cite_note-1http://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n#cite_note-2http://es.wikipedia.org/wiki/Lat%C3%ADnhttp://es.wikipedia.org/wiki/S_largahttp://es.wikipedia.org/wiki/Joseph_Fourierhttp://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n#cite_note-3http://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n#cite_note-4http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Notaci%C3%B3n_matem%C3%A1tica_en_%C3%A1rabe_moderno&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Notaci%C3%B3n_matem%C3%A1tica_en_%C3%A1rabe_moderno&action=edit&redlink=17/31/2019 trabajo de integrales.doc
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Regla mnemotcnica: "Un Da Vi Una Vaca sin rabo (menos integral) Vestida De Uniforme".
Eligiendo adecuadamente los valores de y , puede simplificarse mucho la resolucin de
laintegral. .
.
Existe una regla mnemotcnica para recordar la integracin por partes, la cual dice as:
.
"Sentado ( ) un ( ) da vi ( ) (=) un ( ) valiente ( ) soldado ( )
vestido ( ) de uniforme ( )" .
"Sentado un da vi un valiente soldado vestido de uniforme" . "Un da vi una vaca sin cola
vestida de uniforme". "Una vaca menos la vaca de uno" "un (u) viejo (v) soldado(-integral)vestido (v) de uniforme (du). solo un dia vi=un valiente-soldado vestido de uniforme
"Sentado ( ) un ( ) da vi ( ) una vaca ( ) sin ( ) cola ( ) vestida (
) de uniforme ( )"
Eligiendo adecuadamente los valores de y , puede simplificarse mucho la resolucin de
laintegral.
Para elegir la funcin se puede usar una de las siguiente reglas mnemotcnicas:
1. Arcoseno, arcocoseno..., Logartmicas, Polinmicas, Exponenciales, Seno, coseno,
tangente...A L P E S.
http://es.wikipedia.org/wiki/Integralhttp://es.wikipedia.org/wiki/Integralhttp://es.wikipedia.org/wiki/Integralhttp://es.wikipedia.org/wiki/Integralhttp://es.wikipedia.org/wiki/Integralhttp://es.wikipedia.org/wiki/Integral7/31/2019 trabajo de integrales.doc
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Nota: Elegimos siempre "u" como la funcin situada ms a la izquierda de la palabra
ALPES.
2. Inversas trigonomtricas, Logartmicas, Algebricas, Trigonomtricas,
Exponenciales.I L A T E.
Nota: Elegimos siempre "u" como la funcin situada ms a la izquierda de la palabra
ILATE.
3. Inversas trigonomtricas, Logartmicas, Potenciales, Exponenciales, Trigonomtricas
I L P E T
Nota: Elegimos siempre "u" como la funcin situada ms a la izquierda de la palabraILPET.
INTEGRALES CUADRATICAS
En ocasiones la integracin definida o indefinida de Funcin matemtica|funciones de unavariable se facilita mediante las llamadas frmulas de reduccin. Son stas una cierta formade poner en relacin integrales que, adems de depender de una determinada variable
independiente , tambin son dependientes de un parmetro , con otras de la misma (oparecida) especie en las que ese parmetro aparece reducido a otro menor, esto es, frmulascomo
Otras veces los parmetros pueden ser ms de uno.
La siguiente es una lista de esta clase de frmulas de reduccin, la mayor parte de las vecesdeducidas mediante la tcnica de Mtodos de integracin|integracin por partes. Cada una deellas tiene la limitacin de no ser aplicable para los respectivos valores de los coeficientesque anulen alguno de los denominadores.
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Qu es una expresin cuadrtica?
Una ecuacin es una expresin algebraica que consta de dos miembros separados por unsigno de igualdad. Uno o ambos miembros de la ecuacin debe tener al menos una variable oletra, llamada incgnita. Las ecuaciones se convierten en identidades slo para determinados
valores de la(s) incgnita(s); una ecuacin cuadrtica es un tipo de ecuacin particular en lacual la variable o incgnita est elevada al cuadrado, es decir, es de segundo grado. Unejemplo sera:
.
Qu contienen expresiones cuadrticas?
INTEGRALES TRIGONOMTRICAS
Integral que contiene potencias de senos y cosenos
En general, se intenta escribir un integrando en el que intervienen
potencias de seno y coseno en una forma donde se tiene slo un factor seno (y
el resto de la expresin en trminos de coseno) o slo un factor coseno (y el
resto de la expresin en trminos de seno).
La identidadsen2x + cos2x = 1 permite convertir de una parte a otra
entre potencias pares de seno y coseno.
Tendremos 3 casos
Cuando n es impar
Cuando n = 2k+ 1, podemos apartar un factor del seno y sustituirlo por la identidadsen2x = 1
cos2x para poder expresar los factores restantes en trminos del coseno:
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Al tener el integral de esta forma se puede resolver por medio de sustitucin haciendo u =
cos(x), du = sen(x)dx. Como en la expresion no tenemos un sen(x)dx multiplicamos
ambos lados por * ( 1) y nos queda la expresin du =sen(x)dx que ya podemos sustituir:
Cuando m es impar
Cuando m = 2k+ 1, podemos de la misma manera apartar un factor de coseno y emplear
cos2x = 1 sen2x para poder expresar los factores restantes en trminos delsenx:
al haceru =senx y du = cosxdx tendramos
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Cuando m y n son pares
Cuando dichas potencias son pares a la vez n = 2ky m = 2p, podemos aplicar las identidades
de la mitad de ngulo -y- algunas
veces nos sera til utilizar la identidad
seria igual a:
Ejemplo #1
Determine
Solucin Lo primero que tenemos que ver es que la potencia impar la tiene la funcin seno,
esto nos hace notar que estamos en el primer caso que describimos arriba, entonces aplicamos
el algoritmo,
Sustituyendo , tenemos luego
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Integrales que contiene potencias de tangentes y secantes
Se puede usar una estrategia similar a la anterior.
Puesto que:
, se puede separar un factorsec2x y convertir la potencia
restante (par) de la secante en una expresin relacionada con la tangente por medio de
la identidadsec2x = 1 + tan2x.
O bien, puesto que:
, se puede separar un factorsecxtanx y convertir lapotencia restante (par) de tangente a secante.
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Tendremos 5 casos
1. Cuando n es par
n = 2kseparar un factor desec2x y utilicesec2x = 1 + tan2x para lograr expresar los factores
restantes en trminos de tanx:
de esta manera podemos haceru = tanx y du =sec2xdx y el integral quedara as:
2. Cuando m es impar
m = 2k+ 1 apartar un factor desecxtanx y empleartan2x =sec2x 1 para poder expresar los
factores que restan en trminos desecx:
de esta manera podemos haceru =secx y du =secx * tanxdx y nos queda
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3. La tangente tiene potencia par
4. La Secante tiene potencia impar
Al encontrarnos con este caso debemos integrar por partes .
5. cuando no cabe en 1, 2, 3, 4
Al no encontrar la forma de ninguno de los pasos anteriores deberemos trasladarlo asenx y
cosx recordando que:
y
Para otros casos, las directrices no son tan claras. Podra ser necesario usar identidades,
integracin por partes y, ocacionalmente, un poco de inventiva.
A veces ser necesario poder integrartanx por medio de la frmula
establecida:
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Se necesitar tambin la integral indefinida de la secante:
Esta ltima se podra comprobar mediante la derivacin de lado derecho, o como sigue:
Primero se mutiplican numerador y denominador porsecx + tanx :
Si se sustituye u =secx + tanx, despus du = (secxtanx +sec2x)dx, tambin, la integral
se convierte en:
As, se tiene:
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TABLA DE INTEGRALES
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CONCLUSIN
Este trabajo nos sirvi para entender un poco las aplicaciones que tienen las integrales para el
uso matemtico en la ingeniera primordialmente. Es una herramienta muy til para el clculo
de reas difciles de solucionar mediante los mtodos convencionales o por tener formas pocoortodoxas.
Esto no quiere decir que slo con la realizacin de este trabajo, sea entendible el amplio
campo que abarcan todas estas aplicaciones; ya que slo se lograra esto mediante la prctica
constante y minuciosa de cada caso.
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Bibliografa
Matemticas 6. Larson, Roland E., Hostetler, Robert P. .McGraw Hill, 1989. Bogot ,
Colombia
Clculo Diferencial e Integra Tercera Edicin. Ayres,Jr., Frank, Mendelson, Elliot. McGraw
Hill, 1991. Bogot Colombia.
Anlisis Matemtico (Bilinge Espao-Ingls). Protter, Murray H. , Morrey, Charles B. .Fondo Educativo Interamericano S.A., 1969. Estados Unidos.
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