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Introducción

las columnas consiste básicamente en seleccionar una sección transversal adecuada para la

misma, con armadura para soportar las combinaciones requeridas de cargas axiales mayoradas Pu

y momentos (de primer orden) mayor a dos Mu, incluyendo la consideración de los efectos de la

esbeltez de la columna (momentos de segundo orden). La esbeltez de una columna se expresa en

términos de su relación de esbeltez kℓu/r, donde k es un factor de longitud efectiva (que depende

de las condiciones de vínculo de los extremos de la columna), ℓu es la longitud de la columna entre

apoyos y r es el radio de giro de la sección transversal de la columna. En general, una columna es

esbelta si las dimensiones de su sección transversal son pequeñas en relación con su longitud.

A los fines del diseño, el término "columna corta" se usa para designar una columna que tiene una

resistencia igual a la calculada para su sección transversal, usando las fuerzas y los momentos

obtenidos de un análisis para combinación de flexión y carga axial. Una "columna esbelta" se

define como una columna cuya resistencia se reduce debido a las deformaciones de segundo

orden (momentos de segundo orden). Según estas definiciones, una columna con una determinada

relación de esbeltez se puede considerar como columna corta bajo un determinado conjunto de

restricciones, y como columna esbelta bajo otro conjunto de restricciones. Con el empleo de

hormigones y armaduras de mayor resistencia, y con métodos de análisis y diseño más precisos,

es posible diseñar secciones de menores dimensiones, lo cual da origen a elementos más

esbeltos. En consecuencia, la necesidad de contar con procedimientos de diseño confiables y

racionales para las columnas esbeltas se convierte así en una consideración importante en el

diseño de columnas.

Una columna corta puede fallar a causa de una combinación de momento y carga axial que supere

la resistencia de la sección transversal. Este tipo de falla se conoce como "falla del material."

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CAPITULO I ESTUDIO DE LA FLEXO COMPRESION BIAXIAL

1.1 Flexo compresión biaxial:

Las columnas en estructuras espaciales presentan simultáneamente cargas axiales y momentos flectores en dos direcciones ortogonales, dando lugar a la flexo compresión biaxial. De manera similar a la flexo compresión uniaxial, es posible determinar diagramas de interacción para distintas orientaciones del momento flector resultante, los que integrados en un diagrama tridimensional conforman superficies de interacción como laque se presenta en la siguiente figura:

Figura 1a:

Superficies de interacción para columnas sometidas a flexo compresión biaxial.

Método Exactos

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-Diagramas de interacción biaxial-Software

1.1.1 Métodos Aproximados (requieren diagrama interacción uniaxial)

- Método del contorno de carga (curva de falla a Pn cte)- Método de la carga inversa (superficie de falla a ey=ex=0, ex=0, ey=0)

1.2. Método de la carga inversa

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Un método de diseño simple y aproximado, desarrollado por Bresler, se verificó satisfactoriamente mediante comparación con resultados de gran cantidad de ensayos y cálculos.Es preciso observar que la superficie de interacción de la columna de la figura d puede dibujarsealternativamente como una función de la carga axial Pn y de las excentricidades. ex = Mny/Pn y ey = Mnx/Pn, como aparece en la figura. La superficie S, de la figura a puede transformarse enuna superficie de falla equivalente S, como se ilustra en la figura b, donde ex y ey se dibujan contra l/Pn en vez de P . Así que, ex = ey = O corresponde al inverso de la capacidad de lacolumna si ésta se cargara concéntricamente, Po; esta situación se representa con el punto C.Para ey = O y para cualquier valor determinado de e, existe una carga Pnyo (correspondiente almomento Mnyo ) que producirá la falla. El inverso de este valor de carga es el punto A.

En formasimilar, para e, = O y para cualquier valor de ey, existe algún valor de la carga Pnxo (correspondiente al momento Mnxo) que producirá la falla; el inverso de éste es el punto B.Los valores de Pnxo yPnyo se determinan para excentricidades conocidas de la carga aplicada adeterminada columna, utilizando los métodos establecidos anteriormente para flexión uniaxial ocon las gráficas de diseño para flexión uniaxial.

superficie de falla a: ey=ex=0, ex=0, ey=0

1.2.1Método de la carga inversa (Bresler)- Válido para Pn>0.1P0 ex/ey>0.2 o ey/ex>0.2

Puesto que los diagramas de interacción están estructurados en términos de _Pn, entonces

Pn = valor aproximado de la carga última en flexión biaxial con excentricidad ex y eyPny0 = carga última en flexión con excentricidad ex (ey=0)Pnx0 = carga última en flexión con excentricidad ey (ex=0)P0 = carga última en compresión concéntrica (ey=ex=0)

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-El límite que define ACI 318, __P0, sólo se considera en el cálculo final de Pn y no en los términos parciales (Pny0, P0, etc)

Es indudable que las curvas de interacción respecto de los ejes principales (x, y) pueden ser determinadas con relativa facilidad, pero las curvas de interacción respecto a ejes diagonales guardan cierto grado de complejidad. Las investigaciones realizadas con columnas cuadradas, armadas de la manera tradicional, demuestran que existe una considerable disminución de la capacidad resistente a flexión de tales columnas cuando las solicitaciones se producen aproximadamente a 45°de los ejes principales. Esta disminución puede llegar a ser del orden de un 30% con relación a la flexión sobre los ejes principales, por lo que la utilización exclusiva de las curvas de interacción principales, para modelar la flexo compresión biaxial, puede conducir a errores importantes. Con el objeto de mejorar la precisión en el resultado del diseño de columnas sometidas a flexo compresión biaxial, el ACI ha publicado Diagramas de Interacción para Columnas Cuadradas, Uniformemente Armadas en sus Cuatro Caras, con Flexión a 45° Respecto a los Ejes Principales.

Estas curvas de interacción a 45°, junto con Las Curvas de Interacción Respecto a los Ejes Principales permiten una interpolación angular bastante más confiable para cualquier ángulo de flexión en columnas cuadradas. Existen autores como Row y Pauley que recomiendan diagramas de interacción para más ángulos de flexión intermedios (15°, 30°y 45°), con el objeto de tener una mayor precisión en la interpolación. Se anexan a esta publicación familias de Curvas de Interacción de Columnas Rectangulares para Flexión Diagonal(un caso particular son las columnas cuadradas con flexión a 45°), con diferentes cuantías de armado en caras con distinta orientación y armadura idéntica en caras opuestas, lo que amplía el campo de utilización de las curvas propuestas por el ACI, y parcialmente mejora las curvas propuestas por Row y Pauley.

1.3 EJEMPLO DE APLICASION

Diseño de una columna a flexión biaxial.

La columna de 12 x 20 pulg que aparece en la figuraestá reforzada con ocho barras No. 9 distribuidas alrededor del perímetro de la columna quesuministran un área total de A = 8.00 pulg2. Se va a aplicar una carga mayor a La P de 275 klb con excentricidades ey = 3 pulg y e = 6 pulg como se ilustra. Las resistencias de los materiales son f ´c = 4 klb/pulg2 y fy = 60 klb/pulg2. Verifique si el diseño tentativo es adecuado: (a) con elmétodo de carga inversa, y (b) con el método del contorno de carga.

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CAPITULO 2 EFECTOS DE ESBELTEZ EN ELEMENTOS SOMETIDOS A COMPRESIÓN

2.1 Definición de efectos de esbeltez

Los efectos de esbeltez o efectos de segundo orden se presentan en mayor o menor grado en casi todas las estructuras de concreto reforzado y acero sin importar qué tan bajas o altas sean. Pueden afectadas globalmente como conjunto o en particular a uno o varios de sus elementos.Se aclara que el término «global>, empleado aquí se refiere a unoo a varios niveles de la estructura comprometidos con este problema. El fenómeno de esbeltez se presenta cuando una estructura es sometida a la acción de las fuerzas gravitatorias muer-tas y vivas con o sin la contribución de las fuerzas laterales causadas por el empuje estático de tierras yIo las fuerzas de carácter dinámico de origen natural, como son las fuerzas sísmicas o de viento.La permanencia de las cargas sobre la estructura elásticamente deformada, más la contribución de los fenómenos geológicos del concreto, y disminución de la rigidez de los elementos causada por la progresiva fisuración de sus secciones transversales, entre otras causas, originan nuevas deformaciones e incrementosen las fuerzas internas de los elementos.

2.2 Columnas esbeltas

Sepuede definir una "columna esbelta» coma aquella cuya resistencia depende fundamentalmente de su capacidad para ser estable lateralmente, además de la resistencia intrínseca de su sección transversal. En ella, la capacidad a la carga axial P se reduce por la deformación lateral provocada por la flexión.En la figura 1 se ilustra el fenómeno para el caso particular de una columna cargada en flexo compresión uniáxica en la que la carga P actúa a una distancia e del centroide de la sección en cada extremo.

Figura 2a. Columna esbelta cargada excéntricamente.

Si la columna es muy esbelta, podría llegar a una deformación debida a carga axial P y momento Pe tal que la deformación aumente indefinidamente sin que aumente la carga P. Este tipo de falla se conoce como "falla de estabilidad," como se indica en la curva de interacción de resistencias.

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Figura 2b – Interacción de las resistencias en columnas esbeltas

El concepto básico del comportamiento de las columnas esbeltas rectas con carga axial concéntrica fue desarrollado originalmente por Euler, hace ya más de 200 años. El concepto establece que un elemento fallará por pandeo bajo la carga crítica Pc = π2EI/(ℓe)2, siendo EI la rigidez flexional de la sección transversal del elemento y ℓe la longitud efectiva, que es igual a kℓu. Para las columnas cortas "robustas," el valor de la carga de pandeo será mayor que la resistencia al aplastamiento por compresión directa (correspondiente a la falla del material). con la carga de pandeo disminuyendo a medida que aumenta la esbeltez (ver Figura 2c).

Figura 2c – Carga de falla en función de la esbeltez de una columna

Como se puede observar, es imposible representar los efectos de la esbeltez y los momentos amplificados en una típica curva de interacción de resistencias. En consecuencia, se puede desarrollar una "familia" de diagramas de interacción de resistencias para columnas esbeltas con diferentes relaciones de esbeltez, como se ilustra en la Figura 2d.

Figura 2d – Diagramas de interacción de resistencias para columnas esbeltas

2.3. Factores que influyen en los efectos de esbeltez

Entre los aspectos más sobresalientes que intervienen en la magnitud de los fenómenos de esbeltez de las columnas se mencionan los siguientes:

- Rigidez global de la estructura.- Relación entre la longitud no soportada del elemento y su sección transversal.- Magnitud y permanencia de las cargas sobre la estructura.- Lamagnitud de los desplazamientos laterales.- Curvatura elástica de los elementos.- La relación Momento-Curvatura.- Cuantías de refuerzo y resistencia de materiales.- El flujo plástico y la retracción de fraguado del concreto.- Interacción suelo-estructura.

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2.4 Consideración de los efectos de la esbeltez

Se establecen límites para la esbeltez tanto de pórticos indesplazables como para pórticos desplazables, incluyendo métodos de diseño permitidos para cada rango de esbeltez. Se establecen límites inferiores para la esbeltez, por debajo de los cuales los momentos de segundo orden se pueden despreciar y sólo es necesario considerar la carga axial y los momentos de primer orden para seleccionar la sección transversal y la armadura de las columnas (diseño de columnas cortas). Se debe observar que, para las vigas y columnas de dimensiones habituales y las alturas de piso típicas de los sistemas de hormigón, los efectos de la esbeltez se pueden despreciar en más del 90 por ciento de las columnas de los pórticos indesplazables y en alrededor del 40 por ciento de las columnas de los pórticos desplazables.

Figura 2e – Consideración de la esbeltez de las columnas

2.5 EFECTOS DE LA ESBELTEZ EN ELEMENTOS COMPRIMIDOS

2.5.1 Análisis de segundo orden

El código alienta el uso de análisis de segundo orden o análisis P-Δ para considerar los efectos de la esbeltez en los elementos comprimidos. En general, los resultados de un análisis de segundo orden permiten obtener valores más realistas para los momentos que los que se obtienen usando un análisis aproximado de acuerdo con las secciones 10.12 ó 10.13. En el caso de los pórticos desplazables, utilizando análisis de segundo orden generalmente se obtendrán diseños más económicos.Si por algún motivo no resulta práctico realizar un análisis más exacto, la sección 10.10.2 permite considerar los efectos de la esbeltez mediante un método aproximado de amplificación de momentos. Sin embargo, se debe observar que para todos los elementos comprimidos en los cuales la relación de esbeltez (kℓu/r) es mayor que 100 para considerar los efectos de la esbeltez se debe utilizar un análisis más exacto según lo definido

2.6 EVALUACIÓN APROXIMADA DE LOS EFECTOS DE LA ESBELTEZSe usa el factor de amplificación de momentos δ para amplificar los momentos de primer orden y así tomar en cuenta el aumento de los momentos provocado por la curvatura y el desplazamiento lateral del elemento. El factor de amplificación de momentos δ depende de la relación entre la carga axial aplicada y la carga crítica o de pandeo de la columna, de la relación entre los momentos aplicados en los extremos de la columna, y de la geometría deformada de la columna.

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2.6.1 Propiedades de la sección para el análisis del pórticolas cargas axiales mayoradas (Pu), los momentos mayorados en los extremos de la columna (M1 y M2) y las deformaciones laterales de piso, Δo, se deberán calcular usando un análisis elástico de primer orden del pórtico, considerando la presencia de regiones fisuradas a lo largo del elemento. Es evidente que realizar estos cálculos no es factible desde el punto de vista económico, aún para estructuras pequeñas. Por lo tanto, para considerar la fisuración en el análisis se pueden usar las propiedades de la sección dada.

Tabla 2-1 – Propiedades de las secciones para el análisis de pórticos

2.7 Radio de giroEn general el radio de giro, r, es Ig /Ag . En particular, para los elementos de sección rectangular r se puede tomar igual a 0,30 por la dimensión en la dirección en la cual se está considerando la estabilidad, mientras que para los elementos de sección circular se puede tomar igual a 0,25 por el diámetro de la sección, como se ilustra en la Figura 2f.

Figura 2f – Radio de giro, r

2.8 Factor de amplificación de momentos δ para flexión biaxialCuando en una columna hay flexión biaxial, se deben amplificar los momentos calculados para cada eje principal. Los factores de amplificación de momentos, δ, se calculan considerando la carga de pandeo, Pc, respecto de cada eje en forma separada, en base a las longitudes efectivas correspondientes y a la rigidez relativa de la columna y las vigas en cada dirección. En consecuencia, si las capacidades de pandeo respecto de los dos ejes son diferentes, los factores de amplificación de momentos en ambas direcciones también serán diferentes. Los momentos respecto de los dos ejes se amplifican de forma separada, y luego la sección transversal se dimensiona para una carga axial Pu y los momentos biaxiales amplificados.

2.8.1 Momentos amplificados – Pórticos indesplazables

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Las ecuaciones para el diseño aproximado de columnas esbeltas indicadas en 10.12.3 para pórticos indesplazables se basan en el concepto de un factor de amplificación de momentos, δns, que se aplica al mayor de los momentos mayorados, M2, de ambos extremos del elemento comprimido. Luego la columna se diseña para la carga axial mayorada Pu y el momento amplificado Mc, siendo Mc:

Mc = δnsM2 Ec. (2.8.1a)

donde:

Ec.(2.8.1b)

Ec.(2.8.2c)

La carga crítica Pc se calcula para condición indesplazable usando un factor de longitud efectiva, k, menor o igual que 1,0. Cuando k se determina usando los nomogramas o las ecuaciones de R10.12, en los cálculos se deben usar los valores de E e I de (2.8.2c). Observar que el factor 0,75 de la Ecuación (2.8.1b) es un factor de reducción de la rigidezPara definir la carga crítica de una columna, la principal dificultad radica en elegir un parámetro de rigidez EI que aproxime razonablemente las variaciones de la rigidez debidas a la fisuración, la fluencia lenta y la no linealidad de de la curva tensióndeformación del hormigón. Si no se realiza un análisis más exacto, EI se deberá tomar como:

Ec.(2.8.1d)o bien.

Ec.(2.8.2e)

La segunda ecuación es una aproximación simplificada de la primera. Ambas ecuaciones aproximan los límites inferiores de EI para las secciones habituales y, por lo tanto, son conservadoras. La Figura 2g ilustra la naturaleza aproximada de las ecuaciones para determinar EI, comparándolas con valores obtenidos de diagramas momento-curvatura para el caso que no hay carga sostenida (βd = 0).

EC. EC.


Figura 2g – Comparación de EI obtenido mediante las ecuaciones con valores de EI obtenidos de diagramas momento-curvatura

2.9 Momentos amplificados – Pórticos desplazables

El diseño de los pórticos desplazables considerando los efectos de la esbeltez consiste esencialmente en tres pasos:1. Se calculan los momentos amplificados debidos al desplazamiento lateral, δmMs, de una de las tres manera siguientes:a. Un análisis elástico de segundo orden del pórtico (10.13.4.1)b. Un análisis de segundo orden aproximado (10.13.4.2)c. Un método aproximado en base a un factor de amplificación de los códigos ACI anteriores (10.13.4.3)2. Los momentos amplificados debidos al desplazamiento lateral, δmMs, se suman a los momentos Mns, no amplificados y sin considerar el desplazamiento lateral, en cada extremo de la columna (10.13.3):

M1 = M1ns + δsM1s Ec. (2.9a) M2 = M2ns + δsM2s Ec. (2.9b)

Los momentos que no consideran el desplazamiento lateral, M1ns y M2ns, se calculan usando un análisis elástico de primer orden.3. Si la columna es esbelta y las cargas axiales que actúan sobre la misma son elevadas, se debe verificar si los momentos en los puntos entre los extremos de la columna son mayores que los momentos en dichos extremos. De acuerdo con 10.13.5, esta verificación se realiza usando el factor de amplificación δns para pórticos indesplazables, calculando Pc en base a k = 1,0 o menor.

2.10 Ubicación del máximo momentoAl sumar los momentos no amplificados y sin considerar el desplazamiento lateral en los extremos de la columna con los momentos amplificados debidos al desplazamiento lateral, uno de los momentos totales resultantes obtenidos generalmente es el máximo momento de la columna. Sin embargo, en las columnas esbeltas con elevadas cargas axiales, el máximo momento puede ocurrir en un punto ubicado entre ambos extremos de la columna. En 10.13.5 se indica una manera sencilla de determinar si esto ocurre: si en un elemento individual comprimido

Ec. (2.10a)


el máximo momento ocurrirá en un punto ubicado entre ambos extremos de la columna. En este caso, M2 debe amplificar aplicando el factor de amplificación de momentos para pórticos indesplazables Luego la columna se diseña para la carga axial mayorada Pu y el momento Mc, donde Mc se calcula de la siguiente manera: Mc = δnsM2

Ec. (2.10b)

CONCLUSIONES:

Las columnas son elementos que están sometidos principalmente a esfuerzos de flexo

compresión. Los efectos de esbeltez de las columnas, y la consiguiente reducción de su capacidad

de carga se evalúan en forma independiente al diseño propiamente dicho, mediante la

consideración de los momentos generados por las deformaciones transversales de las columnas

(momentos de 2do. orden) o mediante procesos aproximados que comprenden la estimación de

factores que corrigen a los momentos del análisis estructural (momentos de 1er orden).

Además, adicionalmente se presenta el problema de la flexión biaxial, el cual siempre existe si se

consideran momentos de sismo en una dirección y simultáneamente momentos de cargas

verticales en la otra Se pudo aprender a utilizar las formulas del ACI en los diferentes métodos para

resolver columnas biaxiales
