Anlisis Matemtico II5 Topologa y funciones en 2 y 3
Docentes : Lic.Bruno MeszProf. Luciana Volta
Ejercicio 1Estudiar las superficies de 3 representadaspor las siguientes funciones utilizando curvas de nivel
i > z = x2 y ii > z = 1 + x2 y2 iii > z = yx
iv > z = 2 x2 + y2 v > z = cos Hx yL vi > z = 1 x2
4 y29
Ejercicio 2Hallar y graficar las curvas de nivel de las siguientes funcionesi > z = x + y ii > z = y
x2iii > z = x2 + y2
iv > z = ln Ix2 + yM v > z = x y vi > z = x2 y2
Ejercicio 3Hallar y graficar las superficies de nivel de las siguientes funcionesi > u = x + y + z ii > u = x2 + y2 + z2 iii > u = x2 + y2 z2
Ejercicio 4Clasificar Hen caso que se puedaL las siguientes funciones en trayectorias ,campos escalares y campos vectorialesIndicar dominio y codominio de las mismasi > f Hu, vL = Iu + v, 2 u v2, 5Mii > f Hu, v, wL = Iu + v, 2 u v2, 5Miv > f Hx, y, z, tL = x2 + y2 z2 tv > f HxL = Ix + 5, cos HxL, x5, 2 xMEjercicio 5Hallar y graficar el dominio de las siguientes funcionesi > f Hx, yL = 1x ii > f Hx, yL =
1x + y
iii > f Hx, yL = x y2
iv > f Hx, yL = x y23 v > f Hx, yL = xy vi > f Hx, yL = 1
x y2
vii > f Hx, yL = x
y 11 + t2
t viii > f Hx, yL = 1 x2 y2 ix > f Hx, yL = 1sen Hx yL
x > f Hx, yL = ln Hx + yLsen HxL xi > f Hx, yL = arcsen Hx + yL xii > f Hx, yL = x Hy 3L
xiii > f Hx, yL =x2 + y2 25
y 4 xiv > f Hx, yL =x2 + y2 25
x + y
Ejercicio 6Calcular
i > limHx,yLH1,0L x + y ii > limHx,yLH0,2L
y + sen Hx yLy
iii > limHx,yLH0,0L
sen Ix2 + y2Mx2 + y2
iv > limHx,yLH0,0L
x yx + y
v > limHx,yLH0,0L
x yx + y vi > limHx,yLH2,1L
2 x2 8 yx + 5 y
vii > limHx,yLH2,1L
x + 5 y2 x2 8 y
viii > limHx,yLH0,0L
sen HxLy
ix > limHx,yLH0,0L
sen Ix2 + y2Mx y + y x x > limHx,yLH0,0L
1x +
1y
xi > limHx,yLH0,0L
x2 + y2x2 y2
xii > limHx,yLH0,0L
x2 y2x2 + y2
xiii > limHx,yLH0,0L
x y2x2 + y4
xiv > limHx,yLH0,0L Ix
2 + y2M sen 1x y
xv > limHx,yLH0,0L x sen
y + y sen K
x O xvi > limHx,yLH0,0L Ix
2 + y2Mx2 y2
xvii > limHx,yLH0,0L
x2 + y2
x2 + y2 + 1 1xviii > lim
Hx,yLH0,0L sen xy
xix > limHx,yLH0,0L
x y x + y xx > limHx,yLH0,0L
sen Hx yL x y
xxi > limHx,yLH0,0L
x
x2 + y2xxii > lim
Hx,yLH0,0Lx.y.sen HxyL
x2 + y2
xxiii > limHx,yLH1,0L
Hx 1L7
4 Hx 1L6 + 3 y4
Ejercicio 7Calcular
i > limHx,yLH1,0L I x + y, x y, x
2M ii > limxsen HxLx ,
1 + cos HxLIx2 2M Hx L
Ejercicio 8Estudiar la continuidad de las siguientes funciones en los puntos indicados
i > f Hx, yL =x2y2x2+y2 si Hx, yL H0, 0L0 si Hx, yL = H0, 0L
en H1, 0L y H0, 0L
ii > f Hx, yL = y x H1 + xLy si Hx, yL H0, 0L , x > 11 si Hx, yL = H0, 0L en H1, 1L y H0, 2L
iii > f Hx, yL = x + y si Hx, yL H0, 0L1 si Hx, yL = H0, 0L en H1, 1L y H0, 0L
iv > f Hx, yL = sen@x cos HyLD en H1, 1L y H0, 2L
v > f Hx, yL = ln Ix2 + y2M si Hx, yL H0, 0L
1 si Hx, yL = H0, 0L en H1, 0L y H0, 0L
2 5-Topologa y funciones en R2 y R3 1.nb
vi > f Hx, yL = 1 si x y 00 si x y = 0 en H1, 1L y H0, 0L
Ejercicio 9Hallar el dominio de continuidad de las funciones i, iii, iv, y v del ejercicio anterior
Ejercicio 10Dada la funcinf Hx, yL = x y sen 1x sen
1y
i > Calcular el dominioii > Definirla si es posible en 2 de modo que resulte continua en 2
Ejercicio 10
Dada la funcin f Hx, yL = x2
x yi > Calcular el dominioii > Probar que lim
HxL 0 f Hx, axnL = 0 n en N, a en R, a 0
iii > Probar que limHxL 0 f Hay
n, yL = 0 n en N, a en R, a 0iv > Sea g HxL = x + x2, calcular lim
HxL 0 f Hx, g HxLLv > Qu conclusin saca sobre lim
Hx,yLH0,0L f Hx, yL?
Ejercicio 11Estudiar la continuidad de las siguientes funcionesi > f HxL = Ix, x2M
ii > f Hx, yL = Jsen Hx2+y2L
x2+y2 , Ix2+y2M1x2+y2 N si Hx, yL H0, 0L
H1, 1L si Hx, yL = H0, 0LProblemas tericosi > Defina disco y bolaii > Defina campo escalar, campo vectorial y trayectoriaiii > Defina curva de nivel
5-Topologa y funciones en R2 y R3 1.nb 3
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