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UNIVERSIDAD IBEROAMERICANA
ESTUDIOS CON RECONOCIMIENTO DE VALIDEZ OFICIAL
POR DECRETO PRESIDENCIAL DEL 3 DE ABRIL DE 1981
MANUAL DE HERRAMIENTAS ESTADSTICAS PARA LA
IMPLEMENTACIN DE PROYECTOS SEIS SIGMA
TESIS
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE
MAESTRO EN
INGENIERA DE CALIDAD
Presenta
HCTOR HERNNDEZ SINENCIO
Mxico, D.F. 2003
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NDICE
IAntecedentes ................................................................................................ 2
II Justificacin ................................................................................................ 6
Ventajas de Seis Sigma vs. Calidad Total .................................................. 6
Ventajas de Calidad Total vs. Seis Sigma .................................................. 7
Desventajas de Aseguramiento de calidad vs. Seis Sigma ........................... 8
IIIObjetivos ................................................................................................ 8
IVAlcance y trascendencia ................................................................................. 9
V Planteamiento del problema.............................................................................9
Captulo 1Introduccin a la metodologa Seis Sigma .......................................... 11La mtrica Seis Sigma........................................................................... 11
Pasos de Motorola para la mejora de procesos ...................................... 14
Captulo 2Fase de Definicin ............................................................................ 17
Identificacin de clientes internos y externos ........................................ 17
Determinacin de los CTQs del proyecto ............................................. 17
Seleccin del problema ........................................................................ 19
Razn de la seleccin .......................................................................... 19
Impacto en el negocio ......................................................................... 19
Descripcin del problema..................................................................... 20
Objetivos del proyecto ......................................................................... 21
Alcance del proyecto ........................................................................... 21
Ahorros .............................................................................................. 23
Metas .............................................................................................. 23
Mapa del proceso ................................................................................ 24Seleccin del equipo del trabajo ........................................................... 24
Captulo 3 Fase de Medicin............................................................................... 26
Seleccin de los CTQs......................................................................... 27
Definicin de estndares de desempeo ................................................ 29
Plan de recoleccin de datos ................................................................ 30
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3.A Estadstica descriptiva ................................................................. 34
Medidas de Tendencia central ................................................. 34
Medidas de dispersin ............................................................ 36
Datos agrupados .................................................................... 38
Histograma ............................................................................ 41
Cuartiles ................................................................................ 45
Estadstica en Excel ................................................................ 46
3.B Probabilidad ............................................................................... 50
Definicin clsica de probabilidad ............................................ 50
Probabilidad compuesta .......................................................... 50
Teorema de Bayes.................................................................. 55
Anlisis Combinatorio............................................................... 573.C Distribucin Normal .................................................................... 61
Propiedades de la distribucin normal...................................... 61
Distribucin normal estndar................................................... 63
Distribucin normal en Excel ................................................... 65
3.1 Lluvia de ideas ........................................................................... 68
3.2 Tcnica de grupos nominales (NGT) ............................................ 69
3.3 Anlisis de Campo de Fuerzas...................................................... 71
3.4 Diagrama de Ishikawa ................................................................ 72
3.5 Diagrama de Pareto .................................................................... 76
3.6 Diagrama Matriz .......................................................................... 81
3.7 Matriz Causa y Efecto.................................................................. 83
3.8 Diagrama de Relaciones .............................................................. 92
3.9 Diagrama de Afinidad................................................................... 94
3.10 Hoja de Verificacin ..................................................................... 97
3.11 Carta de Tendencias ................................................................... 993.12 Diagrama de Dispersin ............................................................ 100
3.13 Mapa de procesos.................................................................... 106
3.14 QFD......................................................................................... 111
3.15 Benchmarking .......................................................................... 126
3.16 Capacidad de los sistemas de medicin (R&R) ............................ 131
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Captulo 4 Fase de Anlisis............................................................................... 146
Determinacin de la capacidad del proceso .......................................... 148
Objetivo de desempeo ...................................................................... 148
Fuentes de variacin ......................................................................... 149
4.1 Capacidad del Proceso ............................................................... 150
4.2 Mediciones para Seis Sigma........................................................ 166
4.3 AMEF ........................................................................................ 174
4.4 Intervalos de confianza y Pruebas de hiptesis ............................ 184
Igualdad de dos medias (varianzas conocidas) ........................ 191
Igualdad de dos medias (varianzas desconocidas) ................... 195
Igualdad de dos varianzas ..................................................... 202
Proporciones ......................................................................... 205Prueba T por pares................................................................ 207
4.5 Tablas de Contingencia .............................................................. 211
4.6 Anlisis Multi-vari....................................................................... 215
4.7 ANOVA...................................................................................... 221
4.8 Anlisis de Regresin ................................................................. 232
Regresin lineal simple .......................................................... 232
Residuales ............................................................................ 238
Inferencias sobre el modelo de regresin lineal ....................... 241
Anlisis de correlacin .......................................................... 243
Anlisis de regresin mltiple ................................................. 248
Captulo 5 Fase de Mejora ............................................................................... 260
Causas potenciales y caracterizacin de las xs.................................... 261
Relaciones entre variables................................................................... 261
5.1 Diseo de experimentos (DOE)...................................................... 263
Diseos Factoriales................................................................ 264
Diseo factoriales en Minitab.................................................. 266
Diseo factorial 2k................................................................. 280
Tcnica de confusin en los diseos 2k................................... 284
5.2 Diseo central compuesto 2k......................................................... 289
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5.3 DOE Taguchi .................................................................................. 299
Arreglos ortogonales y grficas lineales....................................... 299
ndices Seal a Ruido................................................................. 321
5.4 Superficie de respuesta (RSM)......................................................... 335
Captulo 6 Fase de Control ............................................................................... 348
6.1 Cartas de Control.......................................................................... 352
X-R........................................................................................... 354
Interpretacin del control del proceso ......................................... 358
X-S ........................................................................................... 359
Individuales I ............................................................................ 361
P ............................................................................................ 364np............................................................................................ 367
C ............................................................................................ 368
U ............................................................................................ 370
6.2 Pre- Control.................................................................................... 372
6.3 Poka Yoke .................................................................................. 375
Conceptos bsicos de capacidad cero.......................................... 379
Captulo 7 Caso prctico .................................................................................. 380
Conclusiones y recomendaciones ..................................................................... 390
Anexo 1 Tablas ............................................................................................ 394
Bibliografa ............................................................................................ 406
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I. ANTECEDENTES
Actualmente, uno de los mayores problemas que enfrentan las empresas es la fuerte
competencia dentro de cada mercado a nivel local y global. Esto es una gran amenaza
para las mismas si no encuentran los mecanismos adecuados para poder subsistir en elmedio.
Las organizaciones con una misin como la del diseo de productos, la manufactura o la
prestacin de servicios, tienen que ser cada vez ms eficientes y productivas. De tal
manera que todos sus miembros y recursos se conjunten en un solo esfuerzo para crear
una cadena de valor que logre satisfacer ampliamente las necesidades de los
consumidores. En otras palabras todas las partes que componen esta cadena tienen el
reto de proporcionar productos o servicios con mayor calidad, en menos tiempo, y al
menor costo posible.
La labor de los diseadores de producto, por ejemplo, es la de innovar en el menor
tiempo, aunque los productos sean demasiado complejos en algunas ocasiones. Asimismo,
el departamento de manufactura experimenta gran presin al tener que fabricar mayores
volmenes de produccin con menos recursos. Las reas de servicio, tienen que reducir
al mximo sus tiempos de entrega para lograr la satisfaccin de los clientes.
Las organizaciones llevan a cabo una gran variedad de procesos mediante los cuales
logran la transformacin. En estos procesos la "variacin" es un factor muy importante a
controlar. El concepto de variacin establece que no existen dos artculos que sean
perfectamente idnticos, es un fenmeno de la naturaleza y un hecho en el entorno de
cualquier tipo de organizacin, por ejemplo las dimensiones de la ventana de contacto de
un chip integrado producido en gran escala varan de un chip a otro; el contenido de
shampoo vara ligeramente de un envase a otro; el tiempo requerido para asignar un
asiento en el mostrador de registro de una lnea area vara de un pasajero a otro. Si seignora la existencia de esta variacin (o se racionaliza en forma falsa que es pequea) se
puede llegar a tomar decisiones incorrectas sobre problemas importantes, impactando en
la calidad de los productos.
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Qu mecanismos debemos adoptar para reducir la variacin en nuestros
procesos e incrementar el nivel de calidad?
A lo largo del tiempo las tcnicas para mejorar la calidad han ido evolucionando; en un
principio la calidad se controlaba mediante inspecciones finales de los productos
(siglo XIX), los que estaban dentro del rango de especificaciones se aceptaban, los que no
se rechazaban teniendo que ser reprocesados o desechados.
Con este sistema se corren dos riesgos: el primero es tener que estar reprocesando gran
cantidad de artculos defectuosos y el segundo es que a pesar de la inspeccin, por muy
rigurosa que sea, pueden llegar productos en mal estado a las manos del consumidor
final. En este caso la probabilidad de incurrir en costos de fallas internas y externas es
muy alto.
Debido a las prdidas econmicas que generaban estos desperdicios y en el afn por
mejorar la calidad surgen nuevas ideas y metodologas.
Durante la Segunda Guerra Mundial se desarroll el Control Estadstico de Procesos
(CEP),enfocado al control de los procesos y a la aparicin de mtodos estadsticos para
el mismo fin y para la reduccin de los niveles de inspeccin.En la dcada de los cincuenta surge elAseguramiento de la Calidad, en sta poca se
detecta la necesidad de involucrar a todos los departamentos de la organizacin en el
diseo, planeacin y ejecucin de polticas de calidad.
En la era de la Administracin Estratgica por Calidad Total (dcada de los
noventa), se hace hincapi en el mercado y en las necesidades del consumidor,
reconociendo el efecto estratgico de la calidad en el proceso de competitividad.
A principios de los noventa se desarrolla el sistema denominado SEIS SIGMA(SIX
SIGMA) el cual consta de una metodologa para la solucin de problemas, basndose
principalmente en la aplicacin de tcnicas estadsticas para reducir la variacin al
mximo.
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La metodologa SEIS SIGMA, engloba tcnicas de Control Estadstico de Procesos,
QFD,Taguchi, Benchmarking, entre muchas otras ms; siendo una slida alternativa para
mejorar los procesos y por lo tanto, lograr la satisfaccin de los clientes. Entre las
principales ventajas que presenta esta metodologa se encuentran las siguientes: contiene
una serie de pasos generales para llevar a cabo la implementacin en cualquier tipo de
empresa. Las herramientas que la conforman pueden ser utilizadas por usuarios de
diferentes disciplinas y niveles dentro de la organizacin; representa un desafo para las
empresas que lo llevan a cabo ya que la meta es alcanzar un nivel de variacin mnimo.
descrito a continuacin:
El trmino SIGMAes una letra del alfabeto griego ( )utilizado para describir variabilidad,
la medida que comnmente se utiliza es: defectos por unidad. Un nivel de calidad sigma
"Alto" significa que los defectos tienen menores posibilidades de ocurrir, mientras que uno
"Bajo", tendr mayores probabilidades de estar presente. El nivel Seis Sigmasignifica que
se encontrarn nicamente 3.4 defectos por cada milln de unidades producidas.
La metodologa Seis Sigma involucra una medida, para determinar el grado en que los
diferentes procesos alcanzan sus metas, adems de ofrecer una gran variedad de
estrategias para realizar las mejoras correspondientes.
La aplicacin de las tcnicas a todas las funciones de la empresa, conlleva a un alto nivel
de calidad a bajos costos y con una reduccin en los tiempos de ciclo; resultando en unagran rentabilidad y ventaja competitiva.
Es importante que la administracin se enfoque a los problemas que estn ocultos, Ej: las
horas extra para corregir errores, errores en documentacin, exceso de inventario y no
solamente a los que saltan a la vista, Ej.: reprocesos, rechazos, reclamaciones por parte
de los clientes. Tambin es importante tener una visin clara y un plan perfectamente bien
definido para alcanzar el xito al implementar proyectos de mejora.
Seis Sigma es una estrategia de negocios iniciada por la empresa estadounidense
Motorola, a principios de los aos 90's. Asimismo, General Electric, Sony, y Allied Signal,
realizaron la implementacin de la misma obteniendo grandes beneficios. Actualmente, el
uso de esta metodologa esta siendo ampliamente difundida.
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La estrategia Seis Sigma incluye el uso de herramientas estadsticas dentro de una
metodologa estructurada incrementando el conocimiento necesario para lograr de una
mejor manera, ms rpido y al ms bajo costo, productos y servicios que la competencia.
Se caracteriza por la continua y disciplinada aplicacin de una estrategia maestra
"proyecto por proyecto", donde los proyectos son seleccionados mediante estrategias
clave de negocios, lo cual conduce a recuperar la inversin realizada y obtener mayores
mrgenes de utilidad. La gente que coordina los proyectos de Seis Sigma son
comnmente llamados: BlackBelts1, Top guns, Change Agents o Trailblazers.
Aplicar la iniciativa Seis Sigmadentro de una compaa significa "Cambiar la cultura de
la organizacin", ya que se fomenta el trabajo en equipo para la solucin de
problemas, se mejoran la comunicacin y aumenta el grado de confianza y seguridad en
los individuos para realizar el trabajo; de esta manera se rompe la resistencia al cambio
para poder ser ms agresivos y alcanzar metas cada vez ms desafiantes.
Como ejemplos de los beneficios que han obtenido algunas empresas que han utilizado
la metodologa Seis Sigmatenemos los siguientes:
En la divisin de Sistemas Mdicos de GE -General Electric-, la implementacin produjo
que se incrementara diez veces la vida de un scanner de rayos-x, aumentando elgrado de confiabilidad y rentabilidad de el equipo, as como el nivel del cuidado a los
pacientes proporcionado por los hospitales y otros proveedores mdicos.
En el negocio de plsticos de GE despus de un riguroso esfuerzo del equipo de
trabajo, se ganaron trescientos millones de libras en capacidad (peso) equivalente a
una nueva planta, se ahorraron $400 millones de dlares tan slo en inversin.
Lockheed Martin gastaba un promedio de doscientas horas de trabajo tratando de
fabricar una parte para que el tren de aterrizaje de un jet ajustar correctamente. El
personal realiz grandes aportaciones de ideas durante mucho tiempo, sin embargo el
problema no se solucionaba.
1Black Belt es nombre registrado por Motorola Inc. en U.S.A
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La disciplina estadstica Seis Sigma descubri una parte que se desviaba por una
milsima de pulgada. Ahora que se corrigi el problema la compaa ahorra $14,000
dlares por cada jet fabricado.
II. JUSTIFICACIN
Ante la necesidad de utilizar en las empresas sistemas que incrementen la calidad de los
productos y servicios, dando mayor rentabilidad a las mismas como se explic
anteriormente, la aplicacin de Seis Sigma es una slida alternativa. Esta metodologa est
enfocada a todas las reas que componen una empresa y no solamente a un
departamento especfico de calidad. La bibliografa con la que se cuenta actualmente es
demasiado compleja y el lenguaje en algunos casos resulta difcil para el usuario, por los
trminos y conceptos de estadstica avanzada.
Por este motivo se pretende desarrollar un manual prctico y accesible para los
diferentes perfiles de aquellos que lleven a cabo la implementacin del sistema SEIS
SIGMA.
A continuacin se mencionan las ventajas que tiene la implementacin de un sistema Seis
Sigma en comparacin con otros Sistemas de Calidad:
Ventajas Seis Sigmavs. Calidad Total
Mayor uso de tcnicas estadsticas en la implementacin de proyectos de mejora.
Las tcnicas estadsticas son ms fciles de comprender y de seleccionar ya que
utiliza un lenguaje ms digerible para la mayora de los usuarios.
Utilizacin de reportes de Confiabilidad para la seleccin de proyectos de mejora.
La seleccin de los equipos de mejora y entrenamiento son ms robustos ya que
es conducida a travs de grupos de gente que poseen el conocimiento,
experiencia, disciplina tcnica, liderazgo y conocimientos en el rea especfica.
(Champions, Black Belts, Green Belts, etc.)
Anlisis de los sistemas de medicin (calibracin), como parte de la metodologa.
Anlisis de los proceso crticos mediante las tcnicas de Diseo de experimentos y
Superficie de respuesta.
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Para la implementacin y control de la condiciones ptimas del proceso se utiliza
en gran medida el Diseo de experimentos, CEP y Superficie de respuesta.
Realiza estudios de la capacidad del proceso, cuando los ndices
, se tiene un buen indicador de que se est logrando el nivel
Seis Sigma.
5.10.2 kcpycp
Garantiza el cumplimiento mediante muestreos aleatorios.
Los objetivos son medidos mediante el logro de la mtrica 6 , y las utilidades que
genera cada proyecto.
Seis Sigma tiene mayor integracin con las estrategias clave de negocio y
desempeo.
El liderazgo en Seis Sigma se da desde la direccin, mientras que en los sistemas
de Calidad se ha mostrado mayor escepticismo por parte de la direccin. Uno de los mayores beneficios que tiene Seis Sigma es que rompe las barreras
entre departamentos utilizando la administracin por procesos Cross Functional.
Ventajas Calidad Total vs. Seis Sigma
Realiza un diagnstico operativo y cultural en la empresa antes de llevar a cabo la
implementacin del sistema.
Propone el desarrollo de polticas de calidad las cuales deben de ser congruentes
con los planes estratgicos de la empresa.
Dicta procedimientos de entrenamiento, educacin y reconocimiento a los logros
de calidad (mayor administracin del recurso humano).
Propone el uso de un sistema de Aseguramiento de Calidad, el cual proporciona la
certeza de que el resultado del proceso productivo tendr los niveles de calidad
deseados.
Desarrollo de crculos de calidad mediante los cuales se forman grupos voluntarios
de trabajadores para discutir temas relacionados con la calidad; fortaleciendo la
actitud de los trabajadores hacia el trabajo.
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Desventajas de los sistemas de Aseguramiento de Calidad vs. Seis Sigma
El sistema de comunicacin es lento.
La calidad depende de las inspecciones que realiza el departamento de
Aseguramiento de calidad.
Cuando un auditor descubre oportunidades de mejora, pueden existir fricciones
entre los administradores de lnea y en ocasiones las recomendaciones no se llevan
a cabo.
Los auditores son los nicos que hacen llegar inconformidades a la alta gerencia.
El seguimiento de las recomendaciones corresponde exclusivamente al
departamento de auditora y en ocasiones no se involucra a la alta administracin.
Cuando las auditoras son anunciadas (que sucede en la mayora de los casos), los
departamentos auditados se dedican a maquillar y ocultar datos y evidencias. Al llevar a cabo una auditora es frecuente que las relaciones humanas sean
bastante tensas.
Cabe mencionar que el sistema Seis Sigmase considerar el sistema principal para quien
pretenda implementarlo, sin embargo no es posible prescindir del uso de otros sistemas
considerados como complementarios. Los principios que enuncian estos sistemas
complementarios son fundamentales para el buen funcionamiento de una empresa y por
tanto la satisfaccin de los clientes.
III. OBJETIVOS
Objetivo general
El objetivo general de esta tesis es la elaboracin de un manual de herramientas para la
metodologa SEIS SIGMA de fcil acceso para los usuarios; es una gua que facilita la
comprensin de las herramientas estadsticas para la mejora de la calidad.
Objetivos especficos
Evitar, en lo posible, las deducciones de frmulas matemticas y explicaciones
complejas que puedan confundir y hacer perder tiempo a los que hagan uso de el.
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Se pretende que el manual sea una herramienta valiosa, tanto para la capacitacin
como para la consulta, de todos aquellos que lleven a cabo la implementacin de la
metodologa Seis Sigma.
Implementar en las empresas sistemas de calidad basados en la metodologa Seis
Sigma.
IV. ALCANCE Y TRASCENDENCIA
Este manual est dirigido como ya se mencion a aquellas personas que tienen la labor de
implementar sistemas de calidad y realizar proyectos de mejora, basndose en la
metodologa Seis Sigma.
Asimismo dado el carcter didctico que se pretende, ser posible que aquellas personas
de otras disciplinas o con poca instruccin puedan familiarizarse con el uso de las
herramientas estadsticas para mejorar la calidad.
La correcta aplicacin de las tcnicas descritas en este manual podr ser aplicado en
cualquier empresa, aumentando los niveles de calidad y las utilidades por lo cual la
trascendencia es de alto beneficio para la sociedad.
V. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
El uso de la Estadstica para el mejoramiento de la calidad en la mayora de los casos no
ha sido difundido a todas las reas de las empresas, principalmente por que no se
conocen los beneficios que se pueden obtener, en el manejo y anlisis de informacin.
La literatura con la cual se cuenta es de difcil acceso ya que existe una cantidad de
deducciones y frmulas matemticas, que solo conocen aquellas personas que han
profundizado en el rea.
La mayora de los ingenieros se han enfocado en aspectos meramente tcnicos, dejando a
un lado las tcnicas de medicin y anlisis de informacin proporcionados por la
Estadstica, siendo que en la mayora de las veces los problemas pueden ser resueltos
mediante la ayuda de dichas tcnicas.
Dentro de una organizacin existen personas con diferentes perfiles y diferentes niveles de
conocimiento, lo que dificulta la transferencia de las herramientas. Para lograr la
adecuada implementacin de Seis Sigmase propone este manual que describe paso por
paso el mtodo que se debe de seguir para la utilizacin de cada una de las tcnicas. Cada
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uno de los pasos es claro, bien estructurado y menciona ejemplos de aplicacin para
facilitar el entendimiento. Es importante que la implementacin de Seis Sigma sea
realizada por personas que posean liderazgo y buena capacitacin en el tema y adems
sepan conducir equipos de trabajo.
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CAPTULO 1 INTRODUCCIN A LA METODOLOGA SEIS SIGMA.
La mtrica de Seis Sigma
El nivel sigma, es utilizado comnmente como medida dentro del Programa Seis Sigma,
incluyendo los cambios o movimientos tpicos de 5.1 de la media (concepto que
ser explicado ms adelante). Las relaciones de los diferentes niveles de calidad sigma no
son lineales, ya que para pasar de un nivel de calidad a otro, el porcentaje de mejora del
nivel de calidad que se tiene que realizar no es el mismo. Cuando avanzamos a un nivel
mayor el porcentaje de mejora ser ms grande. La tabla muestra el porcentaje de
mejora requerido para cambiar de un nivel sigma a otro mayor.
Nivel actual Cambio Porcentaje de mejora
requerido
3 4 10x
4 5 30x
5 6 40x
Realizando un comparativo del nivel de calidad sigma de varias empresas se determin
que el promedio de estas se encuentra en el nivel 4 . Las empresas con nivel 6 sondenominadas de Clase Mundial (World Class). El objetivo de la implementacin Seis
Sigmaes precisamente convertirse en una empresa de Clase Mundial.
En la figura 1.1 se muestra el concepto bsico de la mtrica de Seis Sigma, en donde las
partes deben ser manufacturadas consistentemente y estar dentro del rango de
especificaciones.
La distribucin normal muestra los parmetros de los niveles tres sigma y seis sigma.
Con la distribucin normal centrada dentro de los lmites Seis Sigma, se tendra
nicamente una porcin de .002 ppm.2
Para compensar las inevitables consecuencias de los errores de centrado de procesos , la
media de la distribucin se desfasa 5.1 (Segn Motorola y Juran, no necesariamente
aplica para cualquier empresa).
2Forrest W. Breyfogle III, Implementing Six Sigma, John Wiley & Sons Inc. pp. 9
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Figura 1-1. La figura muestra el nmero de partes por milln (ppm) que estaran fuera de los
lmites de especificacin tomando como lmite el valor de cada desviacin estndar.
Este ajuste proporciona una idea ms realista de la capacidad del proceso a travs de
varios ciclos de manufactura. El desfasamiento puede ser en direccin positiva o negativa,pero nunca en ambas direcciones3
Lmite de especificacin Porcentaje Defectos ppm
68.27 317,300
95.45 45,500
99.73 2,700
99.9937 63
99.999943 0.57
99.9999998 0.002
123456
Tabla 1.1 PPM distribucin normal centrada
3 Anlisis y planeacin de la calidad, J.M. Jurn Mc. Graw Hill, 1995 pp. 397
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123456 654321 ++++++
LSL USL
Figura 1-3 Distribucin normal descentrada 1.5
Una medida que describe el grado en el cual el proceso cumple con los requerimientos es
lacapacidad del proceso. Los ndices utilizados son Cp y Cpk, Un nivelSeis Sigma tiene la
habilidad de lograr ndices de 2.0 y 15 respectivamente. Para lograr esta capacidad la
meta a alcanzar de un programa Seis Sigmaes producir al menos 99.99966% de calidad,
no ms de 3.4 defectos en un milln de piezas producidas.
Lmite de es pecificacin Porcentaje Defectos ppm
99.9767 233
99.99966 3.4
93.32 66,810
99.379 6,210
30.23 697,700
69.13 308,700
1
2
3
4
5
6
Tabla 1.1 Porcentajes y cantidad de defectos a los que corresponden los diferentes
niveles Sigma
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10 PASOS DE MOTOROLA PARA LA MEJORA DE PROCESOS
1. Priorizar oportunidades de mejora: conocer y especificar los problemas haciendo las
siguientes preguntas: cmo, cundo, dnde, por qu y quin. Indicar cual es el
impacto al cliente, confiabilidad, calidad del producto, costos de calidad.2. Seleccionar el equipo de trabajo adecuado: seleccionar un pequeo grupo de gente
que conozca el producto/ proceso, con la experiencia, disciplina tcnica y conocimiento
en el rea relativa. Establecer el rol del equipo y de cada miembro, Seleccionar un
Champion que ser el encargado de conducir y asesorar al grupo.
3. Describir el proceso en su totalidad: Mediante el uso de diagramas de flujo ilustrar las
posibles variaciones y alternativas de el proceso. Incluyendo todo el equipo, gente,
mtodos, herramientas instrumentos y equipos de medicin.
4. Anlisis del desempeo de los sistemas de medicin: determinar la precisin,
exactitud, repetitibilidad y reproducibilidad de cada instrumento o indicador utilizado,
para asegurar la capacidad de los mismos. Asegurar que la exactitud en la precisin
sea al menos 10 veces mayor que la magnitud que se va a comparar.
5. Identificar y describir los procesos y productos potencialmente crticos: enumerar
todos los procesos crticos potenciales, mediante el uso de tormentas de ideas, datos
histricos, reportes de rendimiento, anlisis de falla, etc.
6. Aislar y verificar los procesos crticos: reducir la lista enfocndonos a los pocos vitales,
identificar las relaciones de entrada y salida que provocan problemas especficos.
Verificar las causas potenciales de variacin en los procesos, mediante el uso de
diseo de experimentos, diagramas de dispersin y diagramas multivariados.
7. Estudio del desempeo del proceso y medicin de la capacidad: identificar y definir las
limitaciones de los procesos. Asegurar que los procesos sean capaces de alcanzar su
mximo potencial. Determinar las especificaciones reales. Se considera que un
proceso es capaz cuando C , si el proceso es capaz se continua con el
paso 8. , de lo contrario se requiere tomar acciones rediseando el proceso o el
producto.
0.1 pkp C
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procesoes capaz
1.
2.
Accin requerida en el proceso
Rediseo de Equipo/proceso Rediseo de producto Accin de la Gerencia
Priorizar oportunidades de m ejora
Seleccionar el equipo de trabajo adecuado
Describir el proceso en su totalidad
Anlis is de l desempeo de los s is temas de
medicin
Identificar y describir los procesos y productos
potencialmente crticos
Aislar y verificar los procesos crticos
Estudio de el desempeo del proceso ymedicin de la capacidad
Implementacin de condiciones de operacin y
control ptimas
objetivos/tolerancias controles de proceso Procedimientos para accin preventiiva Procedimientos para accin correctiva
Monitoreo de procesos atravs de la mejoracontinua
Reducir causas comunes de variacinalcanzando Six Sigma
procesono capaz
si
MEJORACONTINUA
no
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.5.10.2 pkp CC
Figura 1-4 diagrama de flujo: 10 pasos de Motorola para la mejora de procesos
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8. Implementacin de condiciones de operacin y control ptimas: Llevar a cabo un plan
permanente de acciones correctivas para prevenir causas especiales de variacin. Es
necesario tener un proceso estable y predecible, por lo cual se deber tener
continuamente controles de proceso.
9. Monitoreo de procesos a travs de la mejora continua: Los sistemas, mtodos,
procedimientos debern de ser modificados cuando sea necesario para evitar las
causas especiales de variacin. Tambin ser necesario identificar las acciones futuras
requeridas para mejorar el proceso.
10. Reducir causas comunes de variacin para alcanzar Seis Sigma: Se deben reconocer
las limitaciones del proceso. Solamente a travs de la reduccin y eliminacin de las
causas comunes de variacin y el diseo para la manufactura es posible alcanzar el
nivel Seis Sigma. Una vez que las causas especiales se han eliminado solamente
pueden permanecer causas comunes las cuales se irn eliminando a travs de la
mejora continua de los procesos.
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CAPTULO 2 FASE DE DEFINICIN
MedirMedir AnalizarAnalizar MejorarMejorar ControlarControlarDefinirDefinir
Objetivo
Identificar el problema a resolver, estratificando tanto como sea posible, por ejemplo:
reclamacin de un cliente por falla, identificar la familia de productos por importancia
mediante el uso del diagrama de Pareto (ver diagrama Pareto fase de medicin), despus
identificar el producto, la lnea donde se produce, el equipo especfico, etc. En este
momento podemos definir el problema y la oportunidad de mejora. En esta fase ,la primera
de la metodologa de Seis Sigma, estamos interesados en detectar cul es el problema,
definir los CTQS (Crtico para la calidad) basndonos en la voz del cliente (VOC), el
impacto que tiene para el negocio la realizacin del el proyecto, las metas que
pretendemos lograr, el alcance y los ahorros financieros.
Etapas
1. Identificacin de clientes internos y externos:
El primer paso en la definicin de un proyecto es identificar cules son los clientes a los
cuales el proceso impacta. Definimos como cliente interno a la persona o las personas
siguientes en el proceso, esto es dentro de la compaa. Por ejemplo el cliente de almacn
es produccin ya que ellos se encargan de proveer las materias primas e insumos para que
produccin pueda realizar el proceso de transformacin.
Los clientes externos son todos aquellos a los que la empresa provee un producto o
servicio.
2. Determinar los CTQS del proyecto:
CTQ Crtico para la calidad (Critical to quality), es un atributo o caracterstica de calidad de
un producto o servicio que es importante para el cliente.
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Nota: Tambin existen otros conceptos como CTT (Critical to time) y CTC (Critical to
Cost). En este tipo de proyectos estamos interesados en el caso de CTT en reducir el
tiempo de respuesta y para los CTC en reducir los costos.
Tanto en los CTQ, CTT y CTC el objetivo para la empresa es reducir los costos, aumentar
la satisfaccin del cliente y aumentar las utilidades.
Para determinar los CTQ, tenemos que conocer la voz del cliente interno o externo (VOC),
o sea qu es lo que espera nuestro cliente acerca del servicio o producto que le
proporcionamos. Mediante la voz del cliente podemos saber cul es el grado de
satisfaccin que este tiene.
Ejemplo de CTQ:
Entregas a tiempo
Mantenimiento
Durabilidad
Confiabilidad
Seguridad
Para determinar los CTQS podemos basarnos en lo siguientes puntos:
Metas del negocio
Entrevistas Encuestas
Quejas
Datos de Benchmarking
Discusiones ejecutivas
Discusiones de trabajo especfico
Matriz de Causa Efecto
QFD
Tendencias del mercado futuras
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3. Seleccin del problema:
El problema se puede dar debido a: devoluciones, nivel de servicio, entregas tardas,
desperdicios, producto defectuoso y documentos inadecuados.
Seleccionamos el problema con base en las polticas de la organizacin, al jefe inmediato y
a los resultados de sus actividades diarias.
Criterios para seleccionar el problema:
Seguridad
Calidad
Entrega
Costo
Nivel de servicio
4. Razn de la Seleccin:
Expresa los antecedentes, la importancia y la prioridad de los problemas.
En este punto explicamos por qu se seleccion el problema:
Efecto econmico, reclamo de mercado, rechazos, % de ventas perdidas entre otros.
Impacto para los procesos posteriores, monto de prdida, incremento de tiempo de
operacin, paro de lnea, etc.
Entre todos los integrantes del equipo pueden evaluar las razones arriba descritas
mediante la matriz de evaluacin (Figura 2-1) y enfocarse en un solo tema.
5. Impacto en el negocio:
En este punto enunciamos como impacta la mejora del proceso al negocio. Se mencionan
cules seran las consecuencias en caso de no realizar el proyecto. Debemos conocer cul
ha sido la situacin en el negocio debido al proceso actual . Qu nos ha ocasionado:
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prdida de clientes?, Incumplimiento en los niveles de servicio?, As cmo cuantificar (en
porcentajes y en prdidas de dinero).
Es importante describir cmo se alinea el proyecto con las iniciativas y metas del negocio.
Estas ltimas son definidas por la direccin.
6. Descripcin del problema:
Se debe estratificar o preguntar: por qu? por qu? por qu?, hasta definir el problema
que tiene el proceso, el producto o el servicio de forma especfica, indicando
cualitativamente de ser posible en cifras o porcentajes que demuestren la necesidad de
modificar su estado actual. Es necesario expresar concretamente el grado del problema
(el tema no deber ser demasiado amplio). Es mejor no usar la solucin para nombrar un
problema, sin antes realizar la bsqueda de la causa verdadera, se crear duda de si esa
solucin es la definitiva.
3 puntos 2 puntos 1 punto
12 puntos
10 puntos
Docs. Inadec. 10 puntos
9 puntosNivel servicio
Criterio de evaluacin
Problema
Devoluciones
Entregas tardas
Orden
Evaluacin
Periodo de ejec.Importancia Prioridad Poltica Depto Factibilidad
Figura 2-1 Matriz de evaluacin.
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7. Definicin de los objetivos del proyecto:
Para determinar los objetivos del proyecto nos cuestionamos qu es lo que vamos a
obtener con la realizacin del proyecto? Generalmente es mejorar e implementar el
proceso para una fecha especfica. Ej: Implementar el 100% de las mejoras de un proceso
en la fecha propuesta, incrementar el nivel de servicio en un 98%.
En la tabla 2-1 encontramos puntos a considerar para definir los objetivos de manera
precisa.
8. Alcance del proyecto:
Sirve para delimitar el proceso (alcance del proyecto de Calidad).
Punto de inicio: identificar la actividad en donde empieza el proceso.
Punto final: identificar la actividad donde termina el proceso.
Dentro del alcance: actividades que se encuentran dentro del proceso.
Fuera del alcance: actividades que no estn dentro del proceso.
Los proyectos de los Green Belts son relacionados a sus actividades diarias a nivel
transaccional y operativo, para que estn bien enfocados y con un alcance corto. Cuando el
proyecto sea demasiado grande conviene dividirlo o particionarlo, entre diferentes Green
Belts. Por ejemplo en una empresa de desarrollo de software se piensa optimizar el
proceso de seleccin de personal, este proceso comienza desde que surge unrequerimiento por parte del cliente. El lder de proyecto hace la peticin del personal con
base en las habilidades requeridas a recursos humanos, este a su vez hace todo el
proceso de reclutamiento y proporciona el recurso al lder, en este punto termina el
proceso. Realizar un proyecto con todas estas etapas es demasiado complejo por lo cual se
decide particionarlo en tres etapas:
a) Requerimiento del personal por parte del cliente al gerente de cuenta.
b) Requerimiento del personal a recursos humanos.
c) Proceso de reclutamiento y asignacin del personal.
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Establecer un objetivo que tenga relacin con la seleccin del tema y razn de la seleccin
PUNTO CRTICO ACTIVIDADES
Aclarar la meta del valor objetivo.
No plasmar simplemente los deseos y
expectativas en el objetivo, sinoestablecer un objetivo factible de
manera escalonada.
Establecer un objetivo con fundamento,
no se debe tomar una decisin de
impulso (sin analizar).
Punto clave para establecer el valor
objetivo:
Definirlo tomando en cuenta las polticasde la empresa.
En caso de no tener un concepto claro
de las polticas, analizar la importancia
de los problemas y/o mejoras, cuando
nos ocasionen un defecto al proceso
posterior, factibilidad de cumplimiento,
programa, distribucin de cargo, etc. y
definirlo.
Indicar el objetivo con valores en forma
numrica en lo posible.
El objetivo debe tener relacin con elefecto esperado.
El objetivo debe de ser concreto. Ej:
qu?reducir el porcentaje defectuoso en
los productos A.
hasta cundo? de Mayo de 2002 a
Octubre de 2002.
hasta cunto? bajar hasta 1% o menos
del 1% del promedio defectuoso. Existe un mtodo para establecer el
objetivo final de una vez; otro
establecindolo en forma gradual entre
objetivo primario y secundario,
establecer perodos de tiempo cortos.
Establecer objetivos graduales en los
casos siguientes:
1. Que el tema sea demasiado grande y se
requiera dividirlo.
2. Que el tema sea complicado y que se
relacione con otras reas.
3. Que se requiera la seleccin de las
actividades conforme a la habilidad real
del grupo de trabajo.
Tabla 2-1 Definicin de los objetivos del proyecto.
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Ejemplo:
(%)V
EN
T
A
S
6
OBJ. PRIMARIO
543210
OBJ. SECUNDARIO
OBJETIVO FINAL
PERODO DE TIEMPO
0%
65
CONDICIN ACTUAL
4321
Figura 2-2 Ejemplo objetivos del proyecto.
9. Ahorros: Identificar de dnde se van a obtener los ahorros financieros para el
proyecto de Calidad. Cules son las fuentes o actividades de donde se van a estimar
los ahorros.
Ej. Reduccin de costos al automatizar un proceso, reduccin del tiempo horas-hombre al
mejorar el proceso (siempre y cuando sean facturables y asignados a un proyecto),
reubicar el Headcount, incrementar las ventas en un 20% al disear una estrategia de
canales de distribucin, etc.
Cabe mencionar que no siempre hay ahorros, si el CTQ se deriva de una mejora de lacompetencia, se har una inversin.
10. Metas cualitativas:
Si es el caso identificar las metas cualitativas Ej.: Incrementar los niveles de seguridad en
las instalaciones. Mejorar la imagen del negocio, cumplimiento con lineamientos
corporativos.
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11. Mapa del proceso: realizaremos un mapeo del proceso de alto nivel, identificando
cules son los proveedores, entradas, proceso, salidas y clientes.
PROVEEDOR ENTRADAS PROCESO SALIDAS CLIENTE
Figura 2-2 Mapa de proceso. high level
12. Seleccin del equipo de trabajo:
- Seleccionar a las personas clave que intervienen o que estn involucradas directamente
y que reciben beneficios del proceso.
- Incluir nombre, posicin roles y responsabilidades a desempear en el desarrollo del
proyecto.
- Es necesario incluir adems de los miembros del equipo, al Champion del proceso as
como un Black belt
Recomendaciones:- Todos los miembros del equipo deben reconocer que la meta que persiguen como tal
es importante para ellos y para la empresa.
- Los miembros deben ser asignados a un grupo de acuerdo con sus habilidades y
potencial.
- Desarrollar un cdigo de conducta, as como reglas para que ste se cumpla.
- Se debe proporcionar retroalimentacin y reconocimiento en forma oportuna.
- La estructura de comunicacin debe asegurar el flujo de informacin requerido para la
toma de decisiones.- Asignacin de recursos y financiamiento para la realizacin de planes de mejora.
- Orientacin y supervisin de los equipos para que tengan un mejor desempeo.
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Es importanteidentificar en que casos se debe seguir la metodologa Seis Sigmay
en que casos es mejor utilizar alguna otra de resultados ms rpidos o para
solucin de problemas crnicos como la de crculos de calidad. En realidad aunque
se quisieran proponer soluciones a un problema despus de estratificarlo, sera
imposible llevarlo a cabo.
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CAPTULO 3 FASE DE MEDICIN
MedirMedir AnalizarAnalizar MejorarMejorar ControlarControlarDefinirDefinir
En la fase de definicin identificamos los CTQS del cliente, y desarrollamos un mapa de alto
nivel high level para determinar los CTQS del proceso.
Como ya mencionamos anteriormente, en todos los procesos existe variacin, en esta fase
estamos interesados en medir dicha variacin para saber s existen datos que se encuentren
fuera de especificaciones, que estn causando problemas en nuestros procesos. Para realizar
esta actividad es de suma importancia conocer: Qu es lo que necesitamos medir? yCmo lo vamos a medir?A lo largo de este captulo tenemos diferentes herramientas que
nos ayudarn a responder estas preguntas.
Dependiendo de las condiciones y necesidades que tengamos seleccionaremos una ms
herramientas, cabe mencionar que no necesariamente se utilizan todas las herramientas, lo
importante es seleccionar cuidadosamente aquellas que nos proporcionen la informacin ms
objetiva y precisa.
Objetivos:
Conocer el uso de las herramientas de la fase de medicin.
Determinar qu mediciones son importantes para el proyecto.
Recolectar datos relevantes.
Convertir los datos en nmeros para conocer su comportamientos.
Detectar cul es la frecuencia con la que ocurren los defectos.
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Esta fase consta de las siguientes etapas:
1) Seleccionar los CTQS del proceso (Crtico para la calidad):
Observemos la siguiente tabla:
Y = F(X)
Y
Variable
dependiente
Salida (respuesta)
Efecto
Sntoma
Monitoreable
X1, X2,..Xn
Variable
independiente
Entrada-Proceso
Causa
Problema
Controlable.
Zs
Variables de ruido
Incontrolables
Tabla 3.1Variables dependiente, independiente y de ruido.
Para la seleccin de Ys podemos utilizar un diagrama de Pareto para priorizar y centrar nuestra
atencin en el(los) efecto(s) ms importante(s). La variable dependiente Y fue previamente
determinada en la fase de definicin.
La Y es la variable de respuesta y las Xs son las variables de entrada, las Zs son las variables
de ruido.
Los CTQs del cliente (interno o externo) corresponden a la Y, y los CTQs del proceso
corresponden a las Xs.En esta etapa estamos interesados en determinar las Xs, ya que son las variables que podemos
medir y controlar.
Para determinar los CTQs del proceso seleccionaremos alguna o algunas de las herramientas
apropiadas a las necesidades del proyecto.
A continuacin se enuncian y describe brevemente cada una de las herramientas.
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No. Herramienta Para qu es utilizada?
3-A Estadstica Descriptiva Definiciones bsicas con ejemplos de Estadstica.
3-B Probabilidad Definiciones bsicas con ejemplos de Probabilidad.
3-C Distribucin Normal Propiedades de la distribucin Normal.
3-1 Lluvia de ideas Cada miembro del equipo propone posibles soluciones a un problema,
mediante consenso se determinan las mejores soluciones.
3-2 Tcnica de grupos
nominales
Permite al equipo rpidamente realizar un consenso de la importancia
relativa de asuntos, problemas o soluciones posibles. Las causas ms
importantes son atacadas y se priorizan para encontrar la mejor
solucin.
3-3 Anlisis de Campo de
Fuerzas.
Analizar cuales son las fuerzas dentro de una organizacin o proceso
que estn dando empuje a las soluciones y cuales estn frenando elprogreso.
3-4 Diagrama Causa-
Efecto (Ishikawa o
Fishbone)
Representa de forma ordenada y completa todas las causas que
pueden originar un problema (efecto) es una herramienta muy
efectiva para encontrar las causas ms importantes de un problema y
con base en el anlisis de las causas encontrar la mejor solucin.
3-5 Diagrama de Pareto Se centra en los problemas que tienen el potencial ms grande de
mejora. Muestra la frecuencia relativa en una grfica de barras
descendiente.3-6 Diagramas Matriz Mtodo utilizado para mostrar las relaciones que existen entre
mtodos, causas, etc. Determinando la fuerza que existe entre estas.
Permite identificar las medidas ms convenientes para la solucin.
3-7 Matriz Causa y efecto Relaciona las entradas claves a los CTQs y el diagrama de flujo del
proceso como su fuente. Sirve para las entradas clave a usar en
AMEFS, planes de control y estudios de capacidad.
3-8 Diagrama de
Relaciones
Permite al equipo identificar, analizar y clasificar las relaciones causa
y efecto que existen entre todos los elementos crticos, para lograr una
solucin efectiva.
3-9 Diagrama de Afinidad Agrupar en categoras afines las posibles causas que ocasionan un
problema, permitiendo obtener la causa que lo origina.
3-10 Hoja de Verificacin Recolectar datos basados en el comportamiento de un proceso con el
fin de detectar tendencias, por medio de la captura, y control
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relativo del proceso.
3-11 Carta de tendencias Conocer el comportamiento de un proceso para poder tomar las
acciones correctivas a tiempo cuando es necesario.
3-12 Diagrama de
dispersin
Es una tcnica utilizada para estudiar la relacin entre dos variables,
facilitando la comprensin del problema planteado.
3-13 Mapa de procesos Proveen una secuencia grfica de cada uno de los pasos o actividadesque componen una operacin desde el inicio hasta el final.
Permitiendo una mejor visualizacin y comprensin del proceso. Sirve
para identificar pasos innecesarios, compara el proceso actual contra
el ideal.
3-14 QFD Mtodo grfico (matriz de relaciones) en el que se identifican los
deseos del cliente (CTQS) y las caractersticas de diseo del
producto, procesos o servicios. Permite traducir de un lenguaje
ambiguo a los requerimientos especficos del diseo del producto,proceso o servicio. En otras palabras relacionas los qu? del cliente
con los cmo? del proceso.
3-15 Benchmarking Estudio que ayuda a realizar un comparativo de productos, procesos o
servicios contra el mejor en la clase puede ser dentro de la empresa
o, para identificar oportunidades de mejora.
3-16 Capacidad de los
sistemas de medicin
( Anlisis R&R)
Sirve para determinar qu tan grandes son las variaciones en base a
ciertos parmetros de los sistemas de medicin, incluyendo equipo y
gente.
2) Definicin de estndares de desempeo:
a) Definicin Operacional.- Es una descripcin precisa acerca del proceso que aclara
cualquier ambigedad del mismo. Es un paso clave para el CTQ que est siendo medido.
b) Meta de desempeo.- Estamos interesados en alcanzar la meta de desempeo de la
caracterstica de un producto o proceso. La meta es reducir la variacin al mximo.
c) Lmite de especificacin.- La cantidad de variacin que el cliente est dispuesto a aceptaren un producto o proceso. La especificacin puede ser determinada internamente por
ingeniera, siempre y cuando no afecte al consumidor, sino al contrario, lo beneficie.
d) Defecto.- Cualquier caracterstica del producto que sale de los lmites de especificacin o
de los estndares de apariencia, color, duracin, etc.
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3) Establecer y validar el plan de recoleccin de datos:
Para realizar el plan de recoleccin de datos podemos ayudarnos del diagrama 5W/1H el cual
consiste en contestar las siguientes preguntas:
What? Qu?
Why? Por qu?
Who? Quin? RECOLECCIN DE DATOS
Where? Dnde?
When? Cundo?
How? Cmo?
El objetivo es recolectar datos confiables, que reflejen la realidad de lo que est sucediendo.
Las ventajas que nos proporciona son:
Provee una estrategia clara y documentada al recolectar datos confiables.
Da a los miembros del equipo una referencia comn.
Ayuda a asegurar que los recursos sean usados efectivamente para recolectar nicamente
datos crticos.
Es de suma importancia tener cuestionarios y/ o registros validados y confiables, debiendo ser lo
suficientemente claros para la persona que los llena. Es muy recomendable realizar un
instructivo y adems deben de ser diseados para que nos proporcionen la informacin
necesaria para el anlisis.
Debemos contar con equipos de medicin con error mnimo, de lo contrario nuestras mediciones
sern errneas. Para validar el sistema de medicin conducimos un estudio R&R.
Ejemplo:
En una tienda de refacciones para automviles disminuyeron en gran medidas las ventas. El
gerente general convoc a una junta con las personas involucradas, para determinar cules eran
las causas por las cuales estaba sucediendo esta situacin.
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1) Seleccionar los CTQS:
El equipo de trabajo realiz una tormenta de ideas, el cuestionamiento que se hizo es por qu
las ventas estn disminuyendo? (efecto) Una vez terminada est actividad, el grupo seleccion
mediante consenso las causas que consider ms importantes, despus utilizaron la tcnica
Why?-Why?-Why?, para encontrar la causa raz del problema. Mediante eliminacin de las otras
causas se encontr que la causa principal es: el tiempo de respuesta que se le estaba dando al
cliente.
Esto se confirm ya que un miembro del equipo expuso que los clientes en ocasiones tardaban
mucho tiempo en ser atendidos. Existan muchas quejas y los clientes en ocasiones nunca ms
regresaban.
2) Definicin de estndares de desempeo: Definicin operacional.-
En el mostrador se tiene la idea de que el tiempo de respuesta al cliente es desde el
momento en que se atiende al cliente hasta que se le entrega la refaccin.
Sin embargo para el cliente el tiempo de respuesta es desde el momento que se presenta en
la tienda, hasta que sale de la tienda con la refaccin.
Relacionando los requerimientos internos con la voz del cliente (VOC) y para eliminar
ambigedades entre las dos definiciones anteriores realizamos la siguiente definicin
operacional: El tiempo de respuesta al cliente es: Desde el momento en que el clienteentra a la tienda, espera a ser atendido, pide las refacciones en el mostrador, le
entregan las refacciones paga en la caja y recibe la factura.
Meta de desempeo.- Haciendo un Benchmarking con la mejor refaccionara de la ciudad se
determin que el 99.5% de los clientes estaban satisfechos con el tiempo de entrega.
Lmite de especificacin.- En esta caso no tenemos lmite de especificacin.
Defecto: se define como defecto cuando un cliente no est satisfecho con el tiempo de
respuesta.
Para evaluar la satisfaccin del cliente en cuanto al tiempo de respuesta realizamos un
cuestionario que aplicamos aleatoriamente a diferentes clientes.
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Diseo del cuestionario1:
Para poder disear un cuestionario adecuado debe haberse definido de antemano cules son los
objetivos de la investigacin y con qu recursos econmicos, fsicos, humanos y de tiempo se
cuenta para realizarlo. Debe darse especial atencin a los tipos, orden y grupos de preguntas, la
formulacin de las mismas y la organizacin del material. Todo cuestionario debe disearse
tomando en cuenta los siguientes datos:
1. Presentacin de los objetivos del estudio.
2. Datos de identificacin: nombre de la institucin, nombre del entrevistador, nmero del
cuestionario de la muestra, hora de inicio de la entrevista y todo tipo de datos que sirvan
para el control de la investigacin.
3. Conviene que la complejidad de las preguntas vaya de menos a ms; por ejemplo, sexo,
edad, escolaridad, ocupacin, etc. Enseguida debern estar las preguntas acerca del tema dela investigacin y finalmente, si se desea obtener informacin al respecto, las de opinin o de
actitudes.
4. La secuencia de las preguntas debe disearse de tal manera que evite la llamada
contaminacin, que consiste en la influencia o sesgo que el orden de las preguntas puede
ejercer en las respuestas del informante.
5. La seccin final deber contener el cierre de la entrevista, la hora de terminacin y espacio
para que el entrevistador anote sus observaciones, o para algn otro dato que el
entrevistador determine de antemano que es conveniente observar y anotar.
La pregunta es el elemento principal de la entrevista, por lo que su diseo se debe hacer con
todo cuidado para obtener buena informacin.
Para verificar que el cuestionario sea claro se pide a tres encuestadores que lo llenen, y de esta
manera verificamos si existe algn punto ambiguo, en caso de existirlo se modifica la parte o las
partes que no sean claras. Con esto validamos la reproducibilidad del cuestionario.
1Ignacio Mndez Ramirez. El protocolo de investigacin .Ed. Trillas
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3) Plan de recoleccin de datos:
Se realiza un muestreo preliminar durante una semana en horas pico realizando el cuestionario a
5 personas diariamente.
Se obtiene que la proporcin de personas conformes es 40% y no conformes 60%
Para calcular el tamao de la muestra utilizamos la siguiente frmula2:
npq
p =
proporcinladeestndarerrorp =
p= porcentaje de clientes conformes
q= porcentaje de clientes inconformesn = tamao de muestra.
Utilizando un nivel de confianza del 95% y error estndar de la proporcin = 5, obtenemos que
el tamao de muestra es:
10025
50*50==n
Por lo tanto se entrevistaran a 100 personas cada semana en hora pico. Se escoge la hora pico
ya que es cuando hay mayor flujo de gente y por estratificacin se determina que es a la hora
en la cual el nivel de servicio es muy bajo. Si tomramos muestras durante todo el da la
informacin recabada sera sesgada.
La seleccin de las personas a las que se le aplicar el cuestionario ser mediante tabla de
nmeros aleatorios.
2Introduccin al estudio del trabajo. Oficina internacional del trabajo Ed. Limusa
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3-A ESTADSTICA DESCRIPTIVA
La Estadstica es la rama de las matemticas que comprende la recopilacin, tabulacin,
anlisis e interpretacin de datos cuantitativos y cualitativos, para tomar las decisiones
que se requieran a fin de que el comportamiento de los datos se mantenga dentro de los
parmetros de control establecidos.
Proporciona un criterio para lograr mejoras, debido a que sus tcnicas se pueden usar
para describir y comprender la variabilidad. Por ejemplo, consideremos en un proceso
industrial la fabricacin de moldes metlicos, tomamos como una medida crtica el largo
del molde, si utilizamos un instrumento de medicin con la resolucin suficiente,
encontraremos que existe variabilidad, mediante el uso de tcnicas estadsticas podemos
realizar mejoras en el proceso para reducir la variacin en la medida del molde.Para poder obtener consecuencias y deducciones vlidas de los datos de una estadstica,
es muy til contar con informacin sobre los valores al centro y sobre los distanciados que
estn unos valores respecto de otros. Comenzaremos por definir estas medidas:
Medidas de tendencia central
Media: ( )Es el promedio aritmtico de todos los valores que componen el conjunto
de datos. Se calcula mediante la siguiente frmula:
=n
xix
Ejemplo 1: En un equipo de ftbol las estaturas de sus integrantes son las siguientes:
1.70,1.79,1.73,1.67,1.60,1.65,1.79,1.84,1.67,1.82, 1.74. Calcule la media.
73.111
19===
n
xix
Mediana: (x~ ) Los datos de "n" observaciones son ordenados del ms pequeo al
ms grande, Si el tamao de la muestra es "non" la mediana es el valor ordenado en
la posicin (n+1)/2,
Cuando el tamao de la muestra es "par" la mediana es el promedio de los dos valores
que se encuentran al centro del conjunto de valores. Se puede calcular mediante :
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( ) [ ]( )2
122 ++ nn
Ejemplo 2: Para el ejemplo anterior cual es la mediana? ordenando los datos de
mayor a menor se obtiene: 1.60,1.65,1.67,1.67,1.70,1.73,1.74,1.79,1.79,1.82,1.84;
como tenemos 11 datos el nmero es non por lo que (n+1)/2 = 12/2 = 6, buscando el
nmero que ocupa la sexta posicin en los datos ordenados encontramos el valor de la
mediana 73.1~ =x
Media acotada: Determinado porcentaje de los valores ms altos y bajos de un
conjunto dado de datos son eliminados (tomando nmeros enteros), para los valores
restantes se calcula la media.
Ejemplo 3: Para la siguiente serie de datos calcule la media acotada al 20%:
68.7,34.3,97.9,73.4,8.4,42.5,87.9,31.1,33.2,97.7,72.3,54.2,80.6,71.6,82.2,
Como tenemos 11 datos, el 20% de 11 es 2.2, por lo cual eliminamos 2 datos el ms
bajo y el ms alto, ordenado los datos obtenemos:
8.4,31.1,33.2,34.3,42.5,54.2,68.7,71.6,72.3,73.4,80.6,82.2,87.9,97.7,97.9, los valores
a eliminar son: 8.4 y 97.9; calculando la media de los datos restantes obtenemos
( ) 82.6320,. =x
Moda
La moda es el valor que se presenta con mayor frecuencia en la muestra, pueden existir
muestras que presenten una o ms modas.
Se presenta la siguiente serie de datos:
1,2,2,3,4,5,5,5,5,6,6,7,7,8,8
En este caso la moda es 5ya que es el nmero que tiene mayor frecuencia f = 4. a
diferencia de los otros datos que tienen frecuencia menor.
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Medidas de dispersin
Desviacin estndar: (s) es una medida que nos ayuda a comprender la
variabilidad de los datos, que tan distanciados estn de la media. Para calcularla
utilizamos la siguiente frmula:
=
1
)( 2
n
xxis
Ejemplo 4: La resistencia al rompimiento de dos muestras de botellas es la siguiente:
Muestra 1: 230 250 245 258 265 240
Muestra 2: 190 228 305 240 265 260
Calcule la desviacin estndar para ambas muestras.
Muestra 1: Muestra 2
248=xr
248=xr
( ) 7902 =xxi ( ) 75102 =xxi
n - 1 = 5 n-1 = 5
s =5
790= 12.56 s =
5
7510= 38.75
Aunque la media en ambas muestras es la misma la desviacin estndar (s), es menor en
la muestra 1, por lo cual deducimos que es la que presenta menor variabilidad.
36
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Ejemplo 5:
Se desea hacer un estudio estadstico de la variacin del calibre de una pelcula de
polietileno, para esto es necesario tomar una muestra y calcular la media, mediana, media
acotada al 5% y la desviacin estndar.
Se realizan 14 observaciones arrojando los siguientes datos (en milsimas de pulgada)
2.11, 3.8, 4.0,4.0,3.1, 2.9, 2.5,3.6,2.0, 2.4, 2.8, 2.6,2.9, 3.0
1) Clculo de la media:
xi = 41.71n = 14
n
xi= 41.71/4= 2.98
2) Mediana:
Ordenando los datos de mayor a menor se obtiene
2.0,2.1,2.4,2.5,2.6,2.8,2.9,2.9,3.0,3.1,3.6,3.8,4.0,4.0
Como el nmero de observaciones es NON la mediana es el promedio aritmtico de los
dos nmeros que estn al centro, o sea en las posiciones 7 y 8 respectivamente.
Esto es: (2.9+2.9)/2 = 2.9
3) Media acotada: El 5% de los valores corresponde a 0.7% redondeando al siguiente
entero que es la unidad se elimina el valor ms bajo = 2.0 y el ms alto 4.0. La media
para la serie de datos resultantes es = 2.98
4) Desviacin estndar:
(xi - )2= 5.63
n - 1 = 13
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s =13
63.5= .65
Medidas de tendencia central y dispersin para datos agrupados
Media:
Para encontrar la media en tablas de frecuencia agrupada, usamos marcas de clase para
representar las medidas para cada clase. Entendemos por marca de clase, el punto central
de un intervalo.
Ejemplo:
Calcular la media para el grupo de datos agrupados en intervalos en la siguiente tabla de
frecuencia :
Computadoras
vendidas
Nmero de das
15-25 4
26-36 7
37-57 3
48-58 6
59-69 5
Primero encontramos las marcas de clase, que son el punto medio de cada intervalo, para
encontrar la primera marca de clase sera: (15+25)/2 = 20.
Cada marca de clase se multiplica entonces por su frecuencia correspondiente como lo
muestra la siguiente tabla:
Clase Frecuencia (f) Marca de clase (X) fX
15-25 4 20 8026-36 7 31 217
37-47 3 42 126
48-58 6 53 318
59-69 5 64 320
TOTALES 25 1061
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Utiizando la frmula Xa = SUM(fX)/SUMf la media aproximada es: 1061/25 = 42.44
La media es aproximada ya que los datos originales se desconocen y cada observacin
est representada por una marca de clase.
Mediana
Considere el siguiente ejemplo para el clculo de la mediana.
Velocidad Nmero de coches f acumulada
1-5 3 3
6-10 2 5
11-15 5 10
16-20 10 20
21-25 7 27
26-30 10 37
Determinamos las marcas de clase para cada intervalo, en el primero la marca de clase es
(1+5)/2 = 3. Calculando las siguientes marcas de clase tenemos
Velocidad Nmero de coches Marca de clase X f acumulada
1-5 3 3 3
6-10 2 8 5
11-15 5 13 10
16-20 10 18 20
21-25 7 23 2726-30 10 28 37
Dado que la cantidad de coches es 37 (non) utilizamos la frmula para el clculo de la
mediana: Xa= (n+1)/2 =19.
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19 esta contenido en la clase 16-20, en este intervalo la marca de clase es 18. por lo cual
la mediana aproximada es 18.
Moda
La moda o clase modal corresponde a la marca de clase para una clase que contenga la
frecuencia mayor.
Usando los datos de la tabla anterior la moda son las clases (16-20) y (26-30) ya que la
frecuencia en ambos casos es mayor f =10.
Desviacin estndar
Explicaremos el clculo de la desviacin estndar para datos agrupados mediante un
ejemplo.La tabla siguiente contiene los costos de reparacin de un automvil para los reclamos de
categora menor presentados ante una compaa de seguros:
costo de reparacin frecuencia
0-99 12
100-199 35
200-299 75
300-399 84
Mediante la frmula
( )
1
22
=
n
nfixi
fixis calculamos la desviacin estndar.
Costo de reparacin Frecuencia Xi FiXi^2 FiXi
0-99 12.00 49.50 29,403.00 594.00
100-199 35.00 149.50 782,258.75 5,232.50
200-299 75.00 249.50 4,668,768.75 18,712.50
300-399 84.00 349.50 10,260,621.00 29,358.00
400-499 125.00 449.50 25,256,281.25 56,187.50
331.00 40,997,332.75 110,084.50
s^2= 13,288.66
s= 115.28
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Histograma.-
Cuando tenemos una cantidad grande de datos es difcil poder analizarlos, a menos que
hagamos uso de herramientas que nos permitan hacerlo con mayor facilidad y claridad. El
histograma es una de ellas, consiste en un diagrama de barras donde las bases
corresponden a los intervalos y las alturas a las frecuencias. Para construir un histograma
es necesario tener un mnimo de 50 a 100 datos.
Ejemplo 6
Construir un histograma con la siguiente serie de datos:
2.41 17.87 33.51 38.65 45.70 49.36 55.08 62.53 70.37 81.21
3.34 18.03 33.76 39.02 45.91 49.95 55.23 62.78 71.05 82.37
4.04 18.69 34.58 39.64 46.50 50.02 55.56 62.98 71.14 82.79
4.46 19.94 35.58 40.41 47.09 50.10 55.87 63.03 72.46 83.31
8.46 20.20 35.93 40.58 47.21 50.10 56.04 64.12 72.77 85.83
9.15 20.31 36.08 40.64 47.56 50.72 56.29 64.29 74.03 88.67
11.59 24.19 36.14 43.61 47.93 51.40 58.18 65.44 74.10 89.28
12.73 28.75 36.80 44.06 48.02 51.41 59.03 66.18 76.26 89.58
13.18 30.36 36.92 44.52 48.31 51.77 59.37 66.56 76.69 94.07
15.47 30.63 37.23 45.01 48.55 52.43 59.61 67.45 77.91 94.47
16.20 31.21 37.31 45.08 48.62 53.22 59.81 67.87 78.24 94.60
16.49 32.44 37.64 45.10 48.98 54.28 60.27 69.09 79.35 94.74
17.11 32.89 38.29 45.37 49.33 54.71 61.30 69.86 80.32 96.78
Paso 1:Contar el nmero de datos n = 130
Paso 2:Calcular el rango R = Valor mayor Valor menor, R = 96.78-2.41 = 94.37.
Generalmente los datos no estn ordenados por lo cual resulta conveniente ordenarlos de
menor a mayor para tener una mejor visualizacin. En el ejemplo los datos ya han sido
previamente ordenados.
Paso 3:Seleccionar el nmero de columnas, mediante n = 114.11130 = . Por lo
cual el histograma se compone de 11 columnas.
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Paso 4: Calcular el tamao del intervalo, dividiendo el rango entre el nmero de
columnas: 958.811
37.94= , resultando el tamao del intervalo 9.
Otra manera de calcular el tamao del intervalo es el siguiente:
Dividir el valor del rango entre un cierto nmero de clases (K). La tabla de abajo es una
gua que nos muestra para diferentes cantidades de datos el nmero recomendado de
clases a utilizar.
Nmero de datos (N) Nmero de clases (K)
Menos de 50 5 7
50 a 100 6 10
100 a 250 7 12Ms de 250 10 20
Paso 5:Calcular los lmites de cada intervalo: [0-9),[ 9-18), [18-27) etc.
NOTA: El corchete [ ] indican que se incluye el nmero, el parntesis ( ) indica que
el nmero no est incluido en el intervalo. Por ejemplo en el intervalo [9-18) se incluyen
los valores que van desde el 9 hasta el 17.99.
Paso 6:Contar el nmero de valores que caen en cada intervalo utilizando el registro , de
esta manera se obtiene la frecuencia para cada intervalo.
Tabla 1.
Columna Intervalo Registro de frecuencias
1 [ 0 -9) IIIII 5
2 [ 9-18) IIIII IIII 9
3 [18-27) IIIII I 6
4 [27-36) IIIII IIIII I 11
5 [36-45) IIIII IIIII II 176 [45-54) IIIII IIIII IIIII IIIII IIIII III 28
7 [54-63) IIIII IIIII IIIII III 18
8 [63-72) IIIII IIIII III 13
9 [72-81) IIIII IIIII 10
10 [81-90) IIIII III 8
11 [90-99) IIIII 5
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Paso 7: Basndose en los datos anteriores construya el histograma
Construccin del histograma en Excel:
Seleccionar herramientas > anlisis de datos > histograma
Seleccione el rango de entrada, estos corresponden a los datos numricos de la
tabla.
Seleccione el rango de clases, previamente escribir en una columna los
intervalos de clase.
En opciones de salida seleccione una celda de la hoja de calculo que este en
blanco ( a partir de est celda ser insertado el histograma).
Clic en aceptar.
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Una vez insertado el histograma podr hacer modificaciones de la escala, color,
ttulos etc. Haciendo clic en el elemento deseado.
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Cuartiles
Son los valores que dividen al conjunto de datos en cuatro subconjuntos de igual
cardinalidad. Son: Q1, Q2, Q3. que se leen: cuartil 1, cuartil 2, cuartil 3.
Para calcularlos se ordenan los datos de n observaciones de mayor a menor, la
observacin en la posicin4
n corresponde al primer cuartil (Q1),la observacin en la
posicin2
n
(x
corresponde al segundo cuartil (Q2) siendo este el valor de la mediana de la
mediana )~ , la observacin en la posicin4
)(3 ncorresponde al tercer cuartil (Q3).
Ejemplo 7: Calcule Q1, Q2, Q3 para la siguiente serie de datos del ejemplo 6:
Q1= 5.324=
n, el cuartil es el valor en esta posicin, debido a que el nmero obtenido no
es entero realizamos interpolacin lineal de la siguiente manera:3
La frecuencia acumulada hasta el intervalo [27-36) nos da 31 casos, quedando 1.5 casos
del siguiente intervalo [36-45), Por tanto Q1 cae en ( ) 79.36917
5.136 =+ , Q1= 36.79
De la misma manera obtenemos el siguiente cuartil:
Q2 = 652
130
2==
n, la frecuencia acumulada hasta el intervalo [36-45) nos da 48 casos,
quedando 17 casos del siguiente intervalo [45-54), por tanto Q2 cae en
( ) 46.5092817 =+45
Q2= 50.46.
3Acheson J. Duncan,Control de Calidad y estadstica industrial, Alfaomega,1996
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Q3 =( )
5.974
1303= , realizando el clculo
( )42.65
13
95.363 =+ , Q3= 65.42.
Estadstica descriptiva en Excel:
En el men de Anlisis de datos podemos obtener estadsticas de un conjunto
determinado de datos.
Seleccione:
Herramientas > Anlisis de datos > Estadstica descriptiva
Aparecer una ventana en la cual seleccionar los siguientes datos: rango de
entrada, agrupado por columna ya que los datos se encuentran ordenados en
una columna, rango de salida, resumen de estadsticas.
Dar clic en aceptar.
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La hoja mostrar las siguientes medidas estadsticas de los datos presentados:
Nota: El error tpico, curtosis, coeficiente de asimetra, no son objeto de estudio de esta
seccin por lo cual hacemos caso omiso de los mismos.
Grficas de Caja: Una grfica de caja es un diagrama que proporciona informacin sobre
el centro, la dispersin y la asimetra o sesgo; utiliza cuartiles, y as, es resistente a las
observaciones aberrantes.
Los pasos para realizar una grfica de caja son los siguientes 2:
1. Construya una recta numrica y marque en ella los tres cuartiles.
2. Dibuje una caja rectangular sobre la recta con los extremos localizados en el
primer y tercer cuartiles; la altura de la caja no es importante.47
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3. Trace un segmento de recta vertical por el punto correspondiente a la mediana
dentro de la caja.
4. Dibuje dos rectas horizontales, llamadas extensiones , una desde la mediana y
la medida de la extrema izquierda y otra de la mediana a la medida del
extremo derecho.4
Ejemplo:
Usemos los datos siguientes, para construir una grfica de caja:
5 7 8 9 9 11 12 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22
La mediana es Q2 = 13. el cuartil inferior es Q1 = 9 y el cuartil superior es Q3= 17
5 9 13 17 22
Como la mediana est un poco a la izquierda de la mitad de la caja y la extensin ms
larga est a la derecha, la distribucin est sesgada a la derecha.
Diagramas de caja en Minitab:
1. Capture los datos en la hoja de trabajo.
2. Seleccione la opcin: Graph> Charactergraph>Boxplot
3. Seleccione la variable C1 como se muestra en la pantalla y presione clic en ok
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4Richard C. Weimer, Estadstica, CECSA, segunda edicin
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4. A continuacin se muestra el diagrama de caja:
49
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3-B PROBABILIDAD
Definicin Clsica de Probabilidad.
La probabilidad de un evento (E), puede ser calculada mediante la relacin del nmero de
respuestas en favor de E, y el numero total de resultados posibles en un experimento.
( )resultadosTotal
EFavorableEP
#
#=
Ejemplo 1: La probabilidad de que salga 2 al lanzar un dado es: 16.6
1=
Ejemplo 2: La probabilidad de lanzar una moneda y que caiga cara es: 5.2
1=
Ejemplo 3: La probabilidad de sacar 1,2,3,4,5, o 6 al lanzar un dado es:
16
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1=+++++
La probabilidad de un evento est comprendida siempre entre 0 y 1 . La suma de las
probabilidades de todos los eventos posibles (E) en un espacio muestral S= 1.
Un espacio muestral (S): Es el conjunto Universal; conjunto de todos los n elementos
relacionados = # Total de resultados posibles.
Probabilidad Compuesta
Es la probabilidad compuesta por dos eventos simples relacionados entre s.
En la composicin existen dos posibilidades: Unin o InterseccinI .U
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Unin de A y B
Si A y B son eventos en un espacio muestral (S), la unin de A y B ( contiene
todos los elementos de el evento A o B o ambos.
)BA U
Interseccin de A y B
Si A y B son eventos en un espacio muestral S, la interseccin de A y B ( est
compuesta por todos los elementos que se encuentran en A y B.
)BA I
Relaciones entre eventos
Existen tres tipos de relaciones para encontrar la probabilidad de un evento:complementarios, condicionales y mutuamente excluyentes.
1. Eventos complementarios: El complemento de un evento A son todos los elementos en
un espacio muestral (S) que no se encuentran en A. El complemento de A es:
( )APA = 1
Ejemplo 4: En el evento A (da nublado), P(A) = .3, la probabilidad de tener un da
despejado ser 1-P(A) = .7
( )7.=AP
P(A)=.3
Figura 3-B.1 Eventos complementarios
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2. Probabilidad condicional: Para que se lleve a cabo un evento A se debe haber
realizado el evento B. La probabilidad condicional de un evento A dado que ha ocurrido
el evento B es:
( ) ( )( )BP
BAPBAP
I= , si 0B
Ejemplo 5: Si el evento A (lluvia) = .2 y el evento B (nublado) = .3 , cul es la
probabilidad de que llueva en un da nublado? Nota: no puede llover si no hay nubes.
( ) ( )
( )BPBAP
BAP I= = 67.
3.
2.=
P(A/B)=.67
A
B
Figura3-B.2 Probabilidad condicional
Se dice que dos eventos A y B son independientes si: P(A/B) = P(A) o P(B/A) =
P(B).
La probabilidad de la ocurrencia de uno no est afectada por la ocurrencia del otro. De
otra manera los eventos son dependientes.
Un ejemplo de evento independiente es: Cul es la probabilidad de que llueva en lunes?
El ejemplo de evento dependiente es el ejemplo 5.
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3. Eventos mutuamente excluyentes.
Cuando un evento A no contiene elementos en comn con un evento B, se dice que estos
son mutuamente excluyentes.
A B
Figura 3-B.3Eventos mutuamente excluyentes.
Ejemplo 6.Al lanzar un dado: a) cul es la probabilidad de que salga 2 o 3? B) Calcule
?( )BAP I
a) ( )=BAP U 33.3
1
6
1
6
1==+
b) = 0, ya que al ser conjuntos mutuamente excluyentes la interseccin no
existe, es imposible que salga 2 y 3 al mismo tiempo.
( BAP I )
Ley aditiva:
Cuando dos eventos no son mutuamente excluyentes:
( ) ( ) ( ) ( )BAPBPAPBAP IU +=
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Cuando los eventos son mutuamente excluyentes:
( ) ( ) ( )BPAPBAP +=U
Ejemplo 7.
Ley multiplicativa:
Si los eventos A y B son dependientes:
( ) ( ) ( )ABPAPBAP =I
Si los eventos A y B son independientes:
( ) ( ) ( )BPAPBAP =I
Ejemplo 8: Se selecciona una muestra aleatoria n = 2 de un lote de 100 unidades, se
sabe que 98 de los 100 artculos estn en buen estado. La muestra se selecciona de
manera tal que el primer artculo se observa y se regresa antes de seleccionar el segundo
artculo (con reemplazo), a) calcule la probabilidad de que ambos artculos estn en buen
estado, b) si la muestra se toma sin reemplazo, calcule la probabilidad de que ambos
artculos estn en buen estado.
A: El primer artculo est en buen estado.
B: El segundo artculo est en buen estado.
a) Al ser eventos independientes el primero del segundo:
( ) ( ) ( )BPAPBAP =I = 9604.100
98
100
98=
Figura 3-B.4 Eventos independientes
P(B) =.98P(A) =.98
A B
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b) Si la muestra se toma sin reemplazo de modo que el primer artculo no se regresa
antes de seleccionar el segundo entonces:
( ) ( ) ( )ABPAPBAP =I = 9602.99
97
100
98=
Se observa que los eventos son dependientes ya que para obtener el evento B, se tiene
que haber cumplido antes el evento A.
P(B/A)=.97B
A
P(A) =.98
Figura 3-B.5 Eventos dependientes
TEOREMA DE BAYES
Mediante el teorema de Bayes podemos calcular la probabilidad de que ocurra un
determinado evento, cuando no tenemos datos inmediatos del mismo mediante la
informacin que tenemos de otros eventos.
Cuando existen dos eventos posibles A y B, la probabilidad de que ocurra Z se describe
mediante elteorema de probabilidad totalel cual es:
( ) ( )] [ ( ) ( )[ ]BZPBPAZPAPZP +=)(
Mediante el teorema anterior se deduce el teorema de Bayes:
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( ) ( ) ( )
( ) ( )] [ ( ) ( )[ ]BZPBPAZPAPAZPAP
ZAP+
=
Ejemplo 9: En cierta universidad 20% de los hombres y 1% de las mujeres miden ms
de 1.80m de altura. Asimismo 40% de los estudiantes son mujeres. Si se se
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