Instituto de Matemáticas, Física y Estadística

Teorema del Binomio

1 Objetivos:

Utilizan las propiedades de números combinatorios en la resolución de problemasUtilizan el teorema del binomio en la resolución de problemas

2 Número factorial

2.1 De�nición

El factorial de un número n (n 2 N [ f0g); denotado n! se de�ne como:

0! = 1

n! = n (n� 1)!; n � 1

Ejemplo 1 3! = 3 � 2! = 3 � 2 � 1 = 3 � 2 = 6

Ejemplo 2 6! = 6 � 5 � 4 � 3 � 2 � 1 = 720

Ejemplo 3 5!4!= 5�4!

4!=

5� /4!/4! = 5

1

3 Regla del producto de opciones

Si un proceso consta de varias etapas, en la primera de las cuales hay n1opciones distintas entre las que elegir, en la segunda hay n2 opciones, en latercera hay n3 opciones, etc. el número total de opciones en la construcción deeste proceso es el producto n1n2n3::::::esta regla también se llama principiofundamental de enumeración.

Ejemplo 4 Un grupo de amigos debe tomar los ramos deben decidir si tomancálculo o álgebra o geometría o computación además dentro de los electivosdeben tomar o deporte o música o teatro. Las opciones que tienen en totalson 4 � 3 = 12:

4 Permutación

Llamaremos permutación de n objetos o elementos distintos a toda agru-pación de los mismos n objetos en un orden deteminado.

4.1 Teorema

El número de permutaciones de r objetos tomados de n objetos diferentes esuna lista ordenada de r objetos escogidos de un conjunto de n objetos. Seexpresa por la fórmula:

P nr = P (n; r) = n (n� 1) (n� 2) (n� 3) � � � (n� r + 1)

=n!

(n� r)! para r � n; n 2 N; r 2 N0; r � n

Lo anterior también se conoce como variación de n elementos distintostomados de r en r:lo cual se denota por V nr

Ejemplo 5 Con las letras de la palabra AMIGO se pueden formar V 52 =5!3!= 20 variaciones tomándolas de 2 en 2.

2

Ejemplo 6 Un equipo de Baby Futból tiene 7 jugadores del equipo de loscuales solo pueden jugar 5, ¿de cuántas maneras diferentes se pueden se-lecionar si ninguno tiene una posición �ja en la cancha, es decir pueden"jugar" en cualquier posición?Solución:

P (7; 5) =7!

(7� 5)! =7!

2!= 7 � 6 � 5 � 4 � 3

4.2 Corolario:

El número total de permutaciones de n objetos diferentes tomados de n enn está dada por:

P nn = P (n; n) = n!

Ejemplo 7 Permutar 3 objetos

abc

abc

abc

bac

abc

cba

abc

acb

abc

bca

abc

cab

3! formas, es decir 6 formas diferentes

3

5 Combinatoria

Recordemos que en las permutaciones importa el orden de los elementos.Si no importa el orden de los elementos, las llamamos combinaciones paraesto usamos el número combinatorio Cnr ; o bien

�nr

�(para r � n) e indica el

número de combinaciones de n elementos tomados r de cada vez�n

r

�=

n!

(n� r)! � r! ; n 2 N; r 2 N0; r � n

Ejemplo 8 ¿Cuántos comités de cinco personas se pueden elegir entre ungrupo de 8 personas? �

8

5

�=

8!

(8� 5)!5! = 56

5.1 Propiedades

Dados n 2 N; r 2 N0; r � n;entonces se cumple que:1.�n0

�=�nn

�= 1

2.�nr

�=�nn�r�

3.�n1

�= n

4.�nr+1

�= n�r

r+1

�nr

�5.�n+1r

�= n+1

n�r+1�nr

�6.�n+1r+1

�= n+1

r+1

�nr

�7.�nr�1�+�nr

�=�n+1r

�8. (Teorema de Stiefell) Sean n; r 2 N; n > r; entonces�

n

r + 1

�+

�n

r

�=

�n+ 1

r + 1

�

4

6 Ejercicios

Ejercicio 1: Resolver 8!5!3!

Solución: 8!5!3!=

8�7�6� /5!/5!3! =

8�7� /6/6 = 56

Ejercicio 2: Hallar n si Cn3 = 35Solución:

Cn3 =

�n

3

�= 35

n!

(n� 3)!3! = 35

n (n� 1) (n� 2) (n� 3)!(n� 3)!3! = 35

n (n� 1) (n� 2)3!

= 35

n (n� 1) (n� 2) = 35 � 3!n = 7

Ejercicio 3: Encuentre el valor de n tal que se cumple que :

2

�n

5

�= 3

�n

3

�Solución:

2n!

(n� 5)!5! = 3n!

(n� 3)!3!

21

(n� 5)!5! = 31

(n� 3)!3!2 (n� 3)!3! = 3 (n� 5)!5!

2 (n� 3) (n� 4) (n� 5)!3! = 3 (n� 5)!5!2 (n� 3) (n� 4) 3! = 3 � 5!

n1 = 9

n2 = �2

5

y como n 2 N; entonces el valor de n es 9:

Ejercicio 4: Calcular�73

�Solución: 35

Ejercicio 5: Calcular 25!20!7!

Solución: 1265

Ejercicio 6: Hallar n si Cn2 = 28Solución: 8

7 Teorema del Binomio

Si a y b son reales no nulos y n 2 N, entonces:

(a+ b)n =nXk=0

�nk

�� an�k � bk

7.1 Observación

1. Para el desarrollo de (a+ b)n se tiene (n+ 1) términos

2. El término de lugar (k + 1) es:

tk+1 =

�nk

�an�k � bk

Ejemplo 9 En el desarrollo de�2a2 � 1

2a

�25, encuentre el 5o término.

Solución:

t4+1 =

�254

�(2a2)25�4 �

�� 1

2a

�4= 12650 � 221 � 2�4 � a42 � a�4

= 1658060800 � a38

6