Instituto Superior Tecnico
Departamento de Matematica
Seccao de Algebra e Analise
Prof. Gabriel Pires
Teorema da Mudanca de Variaveis
1 Mudanca de Variaveis
Definicao 1 Seja T ⊂ Rn um aberto. Diz-se que uma funcao g : T → R
n e uma Mudancaou Transformacao de Variaveis em T se verificar as seguintes condicoes:
i) g e de classe C1.
ii) g e injectiva.
iii) A derivada de g e injectiva, ou seja, detDg(t) 6= 0 ; ∀t ∈ T.
Exemplo 1.1 Coordenadas Polares (r, θ) em R2
As coordenadas polares (r, θ) sao definidas por
x = r cos θ
y = r sen θ
De acordo com a figura 1, r =√
x2 + y2 designa a distancia de cada ponto de coor-denadas (x, y) a origem e θ e o angulo formado entre o semi-eixo positivo x e o vector(x, y).
x
y
0
(x, y)
θ
r
Figura 1: Coordenadas Polares (r, θ) em R2
1
Seja g(r, θ) = (r cos θ, r sen θ) = (x, y). Entao, g e de classe C1 em R2 e a derivada e
injectiva em R2 \ {(0, 0)}. De facto temos
detDg(r, θ) =
[
cos θ −r sen θsen θ r cos θ
]
= r(cos2 θ + sen2 θ) = r.
Dado que as funcoes trigonometricas sao periodicas, a funcao g nao e injectiva emR
2 \ {(0, 0)}. Mas, se definirmos
T = {(r, θ) ∈ R2 : r > 0 ; 0 < θ < 2π}
entao, a funcao g : T → R2 e uma mudanca de variaveis.
A funcao g transforma T no conjunto
g(T ) = R2 \ {(x, y) : y = 0 ; x ≥ 0}
Dado que x2 + y2 = r2, para cada r fixo em T obtemos, em (x, y), uma circunferenciade raio r e centro na origem tal como se representa na figura 2.
x
y
0
0
θ
θ
θ
r
r rR
R
2π
Figura 2:
Por outro lado, para cada θ fixo em T obtemos, em (x, y) um segmento de recta talcomo se mostra na figura 2. Portanto, ao cırculo centrado na origem e de raio R e do qualse retire o semi-eixo positivo x corresponde, nas coordenadas polares (r, θ), o rectangulo]0, R[×]0, 2π[ tal como se apresenta na figura 2.
Exemplo 1.2 Coordenadas Cilındricas (ρ, θ, z) em R3
As coordenadas cilındricas (ρ, θ, z) sao definidas por
x = ρ cos θ
y = ρ sen θ
z = z
2
De acordo com a figura 3, ρ =√
x2 + y2 designa a distancia de cada ponto de coor-denadas (x, y, z) ao eixo z e θ e o angulo formado entre o semi-eixo positivo x e o vector(x, y, 0).
x
y
z
0
θρ
(x, y, z)
(x, y, 0)
Figura 3: Coordenadas Cilındricas (ρ, θ, z) em R3
SejaT = {(ρ, θ, z) ∈ R
3 : ρ > 0 ; 0 < θ < 2π ; z ∈ R}entao a funcao g : T → R
3 definida por
g(ρ, θ, z) = (ρ cos θ, ρ sen θ, z)
e de classe C1, injectiva e a respectiva derivada e injectiva porque
detDg(ρ, θ, z) = det
cos θ −ρ sen θ 0sen θ ρ cos θ 00 0 1
= ρ > 0
Portanto a funcao g : T → R3 e uma mudanca de variaveis.
Facilmente se verifica que ao cilindro com eixo z, de raio R e altura h e do qual seretire o plano {x ≥ 0 ; y = 0} corresponde, em coordenadas cilındricas, o paralelipıpedo]0, R[×]0, 2π[×]0, h[ tal como se mostra na figura 4.
3
PSfrag
z
θ
ρ
h
T
R
2π
x
y
z
h
X
R
Figura 4:
Exemplo 1.3 Coordenadas Esfericas (r, θ, φ) em R3
As coordenadas esfericas (r, θ, φ) sao definidas por
x = r sen φ cos θ
y = r sen φ sen θ
z = r cosφ
De acordo com a figura 5, r =√
x2 + y2 + z2 designa a distancia de cada ponto decoordenadas (x, y, z) a origem, θ e o angulo formado entre o semi-eixo positivo x e o vector(x, y, 0) e φ designa o angulo entre o semieixo positivo z o vector (x, y, z).
x
y0
θ
z
rφ
(x, y, z)
(x, y, 0)
Figura 5: Coordenadas Esfericas (r, θ, φ) em R3
SejaT = {(r, θ, φ) ∈ R
3 : r > 0 ; 0 < θ < 2π ; 0 < φ < π}entao a funcao g : T → R
3 definida por
g(r, θ, φ) = (r senφ cos θ, r sen φ sen θ, r cosφ)
4
e de classe C1, injectiva e a respectiva derivada e injectiva porque
detDg(r, θ, φ) = det
sen φ cos θ −r sen φ sen θ r cosφ cos θsenφ sen θ r sen φ cos θ r cosφ sen θ
cosφ 0 −r sen φ
= −r2 senφ 6= 0
Portanto, a funcao g : T → R3 e uma mudanca de variaveis.
0θ
r
φ
π
2π
T
R
x
y
z
X
Figura 6:
Assim, a bola centrada na origem, de raio R e da qual se retire o plano {x ≥ 0 ; y = 0}corresponde o paralelipıpedo [0, R[×]0, 2π[×]0, π[ tal como se representa na figura 6.
***
Devemos notar que as coordenadas cilındricas e as esfericas podem ser vistas no mesmodiagrama para mais facilmente as relacionarmos tal como se ilustra na figura 7.
E claro que temos
z = r cos(φ) ; r2 = ρ2 + z2 ; ρ = r sen(φ)
e, portanto, basta ter presente o diagrama bidimensional em ρ , z, representado na figura7, para podermos descrever subconjuntos de R3 em coordenadas cilındricas e/ou esfericas,como veremos nos exemplos.
***
5
x
(x, y, z)
(x, y, 0)
y0
θ
z
rφ
ρ
z
r
ρ
(ρ, z)φ
Figura 7: Coordenadas esfericas e cilındricas
Exemplo 1.4 Transformacao Linear de Variaveis em Rn
Seja g : Rn → Rn uma transformacao linear e seja A a matriz que a representa, ou seja
g(v) = Av ; v ∈ Rn. Tendo em conta que uma transformacao linear e de classe C1 e que a
respectiva derivada e representada pela matriz A, entao g e uma mudanca de variaveis emRn desde que se verifique a condicao
detA 6= 0.
Na figura 8 encontra-se representada uma transformacao linear em R2. Se designarmos
por {e1, e2} a base canonica de R2, teremos
g(e1) = g(1, 0) = v1 ; g(e2) = g(0, 1) = v2,
e, portanto, a funcao g transforma o quadrado T no paralelogramo X, ou seja,
X = g(T ).
Note-se que a matriz A que representa a transformacao g e a que se obtem colocandoem colunas os vectores v1 e v2.
E sabido da Algebra Linear que o modulo do determinante da matriz A e precisamentea area do paralelogramo X. Assim, fica claro que temos
vol2(X) = det(A) vol2(T )
e, portanto,∫∫
X
dxdy =
∫∫
T
| det(A)|dudv.
6
Se notarmos que, por ser linear, a derivada de g e a matriz A, ou seja, Dg(u, v) = A,
teremos∫∫
X
dxdy =
∫∫
T
| det(Dg(u, v)|dudv.
E claro que esta formula se verifica em Rn substituindo o conceito de area pelo de
volume de dimensao n.Veremos adiante que, para uma transformacao de variaveis qualquer, teremos a mesma
formula de transformacao do integral e constituira a essencia do teorema da mudanca devariaveis.
x
y
u
v
e1
e2
v1
v2
TX
Figura 8: Transformacao linear em R2
Exemplo 1.5 Transformacoes Primitivas em R2
Seja φ : R2 → R uma funcao de classe C1 tal que ∂φ∂u(u, v) 6= 0, e consideremos a funcao
p : R2 → R2 definida por
p(u, v) = (φ(u, v), v).
E claro que p e de classe C1, injectiva e detDp(u, v) = ∂φ∂u(u, v) 6= 0 e, portanto e uma
mudanca de variaveis em R2.
Seja ψ : R2 → R uma funcao de classe C1 tal que ∂ψ∂v(u, v) 6= 0, e consideremos a funcao
q : R2 → R2 definida por
q(u, v) = (u, ψ(u, v)).
E tambem claro que q e uma mudanca de variaveis em R2 e que detDq(u, v) =
∂ψ∂v(u, v) 6= 0Nas figuras 9 e 10 mostra-se como um intervalo se transforma sob a accao de p e de
q, respectivamente. Note-se que p mantem as arestas horizontais e q matem as arestasverticais.
As transformacoes definidas deste modo chamamos transformacoes primitivas.Qualquer mudanca de variaveis em R
2 pode ser dada, localmente, pela composicao deduas primitivas.
De facto, seja g : R2 → R2 uma mudanca de variaveis definida por
g(u, v) = (φ(u, v), ψ(u, v)).
7
x
y
u
v
a b
cc
dd
x = φ(u, v)
T X = p(T )
Figura 9: Transformacao Primitiva (x, y) = p(u, v) = (φ(u, v), v)
x
y
u
v
aa bb
c
dy = ψ(u, v)
TX = q(T )
Figura 10: Transformacao Primitiva (x, y) = q(u, v) = (u, ψ(u, v))
Sendo,
detDg(u, v) =∂φ
∂u
∂ψ
∂v− ∂φ
∂v
∂ψ
∂u6= 0,
pelo menos uma das derivadas parciais de φ ou de ψ deve ser nao nula.Se tivermos
∂φ
∂u(u0, v0) 6= 0,
entao, pelo teorema da funcao implıcita, a equacao x = φ(u, v) define localmente u comofuncao de (x, v), ou seja, teremos u = u(x, v) em algum intervalo que contem o ponto(u0, v0) e em algum intervalo que contem x0 = φ(u0, v0).
Se definirmos p(u, v) = (φ(u, v), v) e q(x, v) = (x, ψ(u(x, v), v)), entao
g(u, v) = (q ◦ p)(u, v) = (φ(u, v), ψ(u, v)).
Portanto, existe um intervalo que contem o ponto (u0, v0) e um intervalo que contem oponto (x0, y0) = g(u0, v0), em que a transformacao g e a composicao de duas transformacoesprimitivas.
8
2 Teorema da Mudanca de Variaveis
Muitas vezes o calculo do integral simplifica-se bastante mudando de variaveis. Ovolume de conjuntos que apresentam simetria cilındrica ou esferica pode ser calculadomais facilmente em coordenadas cilındicas ou esfericas respectivamente, como veremos nosexemplos.
Teorema 2.1 Seja T ⊂ Rn um conjunto aberto e limitado, g : T → R
n uma mudanca devariaveis tal que X = g(T ) e f : X → R uma funcao integravel em X. Entao,
∫
X
f(x)dx =
∫
T
f(g(t)) |detDg(t)|dt.
A demonstracao do caso geral pode ser vista na bibliografia (cf. [2, 1]). No entanto,nao e difıcil aceita-lo como verdadeiro bastando ter em conta o caso em que a mudanca devariaveis e linear tal como foi visto no exemplo 1.4.
Por ser muito instrutivo, veremos com algum detalhe o caso em R2, usando a nocao de
transformacoes primitivas.Do exemplo 1.5, sabemos que uma mudanca de variaveis g : T → R
2 pode ser dada,localmente, pela composicao de duas transformacoes primitivas, ou seja,
g(u, v) = (q ◦ p)(u, v) = (φ(u, v), ψ(u, v)),
em quep(u, v) = (φ(u, v), v) ; q(u, v) = (u, ψ(u, v))
sao funcoes de classe C1.
Suponhamos, por simplicidade, que temos
∂φ
∂u> 0 ;
∂ψ
∂v> 0.
SejaS = p(T ) = {(φ(u, v), v) : (u, v) ∈ T}
e, portanto,X = g(T ) = q(p(T )) = q(S) = {(x, ψ(x, v) : (x, v) ∈ S}.
Seja I um intervalo tal que S ⊂ I e consideremos uma particao de I dada pelos pontosxj , j = 1, . . . ,M e pelos pontos vk, k = 1, . . . , N.
Sejam Ijk os subintervalos dessa particao tal como se ilustra na figura 11.
Seja R = q(I) e Rjk = q(Ijk). E claro que, o conjunto Rjk e limitado pelas linhasparalelas x = xj e x = xj+1 e pelas linhas y = ψ(x, vk) e y = ψ(x, vk+1), tal como se ilustrana figura 12.
9
xu
vv
Ijk
T
I
S = p(T )
Figura 11: Mudanca de variaveis: S = p(T )
xx
yv
xjxj xj+1xj+1
vk
vk+1
Ijk Rjk
Figura 12: Mudanca de variaveis: Rjk = q(Ijk)
Assim, teremos
vol2(Rjk) =
∫ xj+1
xj
(ψ(x, vk+1)− ψ(x, vk+1))dx.
Pelo teorema do valor medio em R, existe um ponto x′j ∈ ]xj , xj+1[, tal que
vol2(Rjk) = (ψ(x′j , vk+1)− ψ(x′j , vk))(xj+1 − xj).
Pelo teorema de Lagrange em R, existe um ponto v′k ∈ ]vk, vk+1[, tal que
vol2(Rjk) =∂ψ
∂v(x′j , v
′k)(xj+1 − xj)(vk+1 − vk).
Dado que f e integravel em X entao a soma
∑
j,k
f(x′j, v′k)∂ψ
∂v(x′j , v
′k)(xj+1 − xj)(vk+1 − vk)
converge para o integral de f em X.
Mas, sendo vol2(Ijk) = (xj+1 − xj)(vk+1 − vk), entao∫∫
X
f(x, y)dxdy =
∫∫
S
f(x, v)∂ψ
∂v(x, v)dxdv.
10
Argumentando da mesma forma trocando os papeis de x, y e de φ, ψ, respectivamente,obtemos∫∫
S
f(x, v)∂ψ
∂v(x, v)dxdv =
∫∫
T
f(φ(u, v), ψ(φ(u, v), v))∂ψ
∂v(φ(u, v), v)
∂φ
∂u(u, v)dudv.
Notando que
detDg(u, v) =∂ψ
∂v(φ(u, v), v)
∂φ
∂u(u, v),
teremos entao,∫∫
X
f(x, y)dxdy =
∫∫
T
f(g(u, v))| detDg(u, v)|dudv.
Dado que T e limitado, entao pode ser decomposto numa uniao finita de intervalos emque a mudanca de variaveis g e a composicao de transformacoes primitivas e, portanto,teremos a formula da mudanca de variaveis.
***
Exemplo 2.1 Area de um cırculo em R2:
Seja S o cırculo centrado na origem de R2 e de raio R
S = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < R2}
Seja X o conjunto que se obtem de S retirando-lhe o semi-eixo positivo x
X = S \ {(x, 0) : x ≥ 0}
Considerando a mudanca de variaveis para coordenadas polares em R2
g(r, θ) = (r cos θ, r sen θ) = (x, y)
sabemos queX = g(T )
em queT = {(r, θ) : 0 < r < R ; 0 < θ < 2π}
Notando que o segmento de recta {(x, 0) : 0 ≤ x < R} tem conteudo nulo em R2 e,
aplicando o teorema da mudanca de variaveis e o teorema de Fubini, obtemos
vol2(S) = vol2(X) =
∫
T
rdrdθ =
∫ 2π
0
(∫ R
0
rdr
)
dθ = πR2.
E de salientar que o conjunto T e um intervalo e, portanto, a aplicacao do teorema deFubini no calculo do integral duplo e muito simples.
11
Exemplo 2.2 Volume de um cilindro em R3:
Seja S o cilindro vertical de raio R e altura h dado por
S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 < R2 ; 0 < z < h}
Seja X o conjunto que se obtem de S retirando-lhe o semi-plano {y = 0 ; x ≥ 0 }, ouseja,
X = S \ {(x, y, z) : 0 ≤ x < R ; y = 0 ; 0 < z < h}e consideremos a mudanca de variaveis para coordenadas cilındricas em R
3
g(ρ, θ, z) = (ρ cos θ, ρ sen θ, z) = (x, y, z)
Entao,X = g(T )
em queT = {(ρ, θ, z) : 0 < ρ < R ; 0 < θ < 2π ; 0 < z < h}
Sabendo que o rectangulo {(x, y, z) : 0 ≤ x < R ; y = 0 ; 0 < z < h} tem contedo nuloem R
3 e, aplicando o teorema da mudanca de variaveis e o teorema de Fubini, obtemos
vol3(S) = vol3(X) =
∫
T
ρ dρdθdz =
∫ 2π
0
(∫ h
0
(∫ R
0
ρdr
)
dz
)
dθ = πR2h
Note-se que T e um intervalo e, portanto, a aplicacao do teorema de Fubini ao calculodo integral e simples.
Exemplo 2.3 Volume de uma bola em R3:
Seja B a bola centrada na origem de R3 e de raio R
B = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 < R2}
Seja X o conjunto que se obtem de B retirando-lhe o semi-plano {y = 0 ; x ≥ 0}
X = S \ {(x, y, z) : y = 0 ; x2 + z2 < R2}
e consideremos a mudanca de variaveis para coordenadas esfericas em R3
g(r, θ, φ) = (r sen φ cos θ, r senφ sen θ, r cosφ) = (x, y, z)
Entao,X = g(T )
sendoT = {(r, θ, φ) : 0 < r < R ; 0 < θ < 2π ; 0 < φ < π}
12
Tendo em conta que o semi-cırculo {(x, y, z) : y = 0 ; x2+ z2 < R2} tem conteudo nuloem R
3 e, aplicando o teorema da mudanca de variaveis e o teorema de Fubini, obtemos
vol3(B) = vol3(X) =
∫
T
r2 sen φdrdθdφ =
∫ 2π
0
(∫ π
0
(∫ R
0
r2 senφdr
)
dφ
)
dθ =4
3πR3.
Tal como nos exemplos anteriores, o conjunto T e um intervalo e a aplicacao do teoremade Fubini ao calculo do integral triplo e bastante simples.
Exemplo 2.4 Volume de uma calote esferica em R3:
Seja S a calote esferica, representada na figura 13 e definida por
S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 < R2 ; z > h}
e seja X o conjunto que se obtem de S retirando-lhe o semi-plano {y = 0 ; x ≥ 0}
X = S \ {(x, y, z) : y = 0 ; x ≥ 0}
x
y
z
h
RX z
h
R
ρ
ρ2 + z2 = R2
Figura 13: Calote esferica em coordenadas esfericas e cilındricas
Sendo S uma porcao de uma bola em R3, consideremos a mudanca de variaveis para
coordenadas esfericas
g(r, θ, φ) = (r sen φ cos θ, r senφ sen θ, r cosφ) = (x, y, z)
Da condicao z > h, obtemos r > hcosφ
e, portanto,
X = g(T )
em que
T = {(r, θ, φ) : 0 < θ < 2π ; 0 < φ < arccos(h
R) ;
h
cosφ< r < R}
13
Assim, o volume de S e dado por
vol3(S) = vol3(X)
=
∫ 2π
0
(
∫ arccos( hR)
0
(
∫ R
hcos φ
r2 sen φ dr
)
dφ
)
dθ
=2π
3
∫ arccos( hR)
0
sen φ
(
R3 − h3
cos3 φ
)
dφ
e, tendo em conta qued
dx
(
1
cos2 x
)
= 2sen x
cos3 x
obtemosvol3(S) =
π
3
(
2R3 − 3R2h+ h3)
Por outro lado, a calote esferica S tambem apresenta simetria cilındrica em torno doeixo z e, portanto, consideremos a mudanca para coordenadas cilındricas
g(ρ, θ, z) = (ρ cos θ, ρ sen θ, z) = (x, y, z)
Da inequacao x2 + y2 < R2 − z2 obtemos ρ <√R2 − z2 e entao
X = g(T )
em queT = {(ρ, θ, z) : h < z < R ; 0 < θ < 2π ; 0 < ρ <
√R2 − z2}
Assim, o volume de S e dado por
vol3(S) = vol3(X)
=
∫
T
ρ dρdθdz
=
∫ 2π
0
(
∫ R
h
(
∫
√R2−z2
0
ρ dρ
)
dz
)
dθ
= π
∫ R
h
(R2 − z2)dz
=π
3
(
2R3 − 3R2h + h3)
Exemplo 2.5 Volume de um cone em R3:
Seja S o cone representado na figura 14 e definido por
S = {(x, y, z) ∈ R3 :√
x2 + y2 < z < h}
14
x
y
z
h
X
z
h
h
ρ
z = ρ
Figura 14: Cone em R3
em que h > 0.Para cada valor de z temos um cırculo de raio z, ou seja, S apresenta simetria cilındrica
com eixo em z e, portanto, consideremos a mudanca para coordenadas cilındricas
g(ρ, θ, z) = (ρ cos θ, ρ sen θ, z) = (x, y, z)
Seja X o conjunto que se obtem de S retirando-lhe o plano {y = 0 ; x ≥ 0}.Das condicoes
√
x2 + y2 < z < h obtemos ρ < z < h e, portanto,
X = g(T )
em queT = {(ρ, θ, z) : 0 < θ < 2π ; 0 < ρ < h ; ρ < z < h}
O volume de S e, entao, dado por
vol3(S) = vol3(X)
=
∫ 2π
0
(∫ h
0
(∫ h
ρ
ρ dz
)
dρ
)
dθ
= 2π
∫ h
0
ρ(h− ρ)dρ
=π
3h3
Exemplo 2.6 Consideremos o solido V representado na figura 15 e descrito por
V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 < 1 + z2 ; x2 + y2 + z2 < 5 ; z > 0}
15
x
y
z
1
√5
√2
z
1 ρ
ρ2 + z2 = 5
ρ2 = 1 + z2
√5
√2
Figura 15:
Das inequacoes x2 + y2 + z2 < 5 e z > 0, obtemos 0 < z <√5. Por outro lado, as
superfıcies dadas, respectivamente, por x2 + y2 = 1+ z2 e x2 + y2 + z2 = 5 intersectam-sesegundo a linha dada pelas equacoes
z =√2 ; x2 + y2 = 3
E claro que V apresenta simetria cilındrica relativa ao eixo z. Assim, em coordenadascilındricas (ρ, θ, z), V e descrito por
i) Para 0 < z <√2, temos 0 < θ < 2π ; 0 < ρ <
√1 + z2
ii) Para√2 < z <
√5, temos 0 < θ < 2π ; 0 < ρ <
√5− z2
Portanto, pelo teorema da mudanca de variaveis, o volume de V pode ser calculado daseguinte maneira
vol3(V ) =
∫ 2π
0
(
∫
√2
0
(
∫
√1+z2
0
ρdρ
)
dz
)
dθ +
∫ 2π
0
(
∫
√5
√2
(
∫
√5−z2
0
ρdρ
)
dz
)
dθ
= π
∫
√2
0
(1 + z2)dz + π
∫
√5
√2
(5− z2)dz
= π10√5− 8
√2
3
Exemplo 2.7 Consideremos o solido limitado por um cone e uma esfera, representado nafigura 16 e descrito por
V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 < 2 ;
√
x2 + y2 < z}.
16
x
y
z
1
√2
z
1 ρ
ρ2 + z2 = 2
ρ = z
√2
Figura 16:
E claro que este solido apresenta simetria cilındrica em torno do eixo Oz. De facto,temos
ρ2 + z2 < 2 ; z > ρ,
ou seja,0 < θ < 2π ; 0 < ρ < 1 ; ρ < z <
√
2− ρ2,
tal como se ilustra na figura 16.Assim, o respectivo volume sera dado por
vol3(V ) =
∫ 2π
0
(
∫ 1
0
(
∫
√2−ρ2
ρ
ρdz
)
dρ
)
dθ
= 2π
∫ 1
0
ρ(
√
2− ρ2 − ρ)
dρ
=4π
3(√2− 1).
Da figura 16 tambem e claro que podemos recorrer as coordenadas esfericas para calcular
o volume de V. Sendo z > ρ e claro que 0 < φ <π
4e, portanto, teremos
0 < θ < 2π ; 0 < φ <π
4; 0 < r <
√2,
e o respectivo volume sera dado pelo integral
vol3(V ) =
∫ 2π
0
(
∫ π/4
0
(
∫
√2
0
r2 sen(φ)dr
)
dφ
)
dθ
=4π
3(√2− 1).
17
Exemplo 2.8 Consideremos o toro de raios R e r que se representa na figura 17 e descritopor
X = {(x, y, z) ∈ R3 : (
√
x2 + y2 −R)2 + z2 < r2}.
x y
z
X
N
ρ
z
s
φ
(ρ, z)r
−r
R
Figura 17: Toro de raios R, r
E claro que este toro pode ser descrito em coordenadas cilındricas mas iremos faze-lonas coordenadas (s, θ, φ), chamadas coordenadas toroidais.
Para isso, recorrendo a figura 17, e claro que temos
ρ−R = s cosφ ; z = s senφ
e, portanto
x = (R + s cosφ) cos θ
y = (R + s cosφ) sen θ
z = s senφ.
Note-se que o toro resulta da rotacao do cırculo centrado no ponto (ρ, z) = (R, 0) e raior, em torno do eixo Oz.
Seja T = {(s, θ, φ) ∈ R3 : 0 < θ < 2π ; 0 < φ < 2π ; 0 < s < r} e g : T → R
3 a funcaodefinida por
g(s, θ, φ) = ((R + s cosφ) cos θ, (R + s cosφ) sen θ, s senφ).
E facil verificar que g e uma mudanca de variaveis e que g(T ) = X \N, em que N e oconjunto definido por
N = {(0, y, z)} ∪ {(x, y, 0)},tal como se representa na figura 17.
Para alem disso temos detDg(s, θ, φ) = (R + s cosφ)s.Assim, o volume do toro sera dado pelo integral
vol3(X) =
∫ 2π
0
(∫ 2π
0
(∫ r
0
(R + s cosφ)sds
)
dφ
)
dθ
= 2π2Rr2.
18
Exemplo 2.9 Seja S ⊂ R2 a regiao representada na figura 18 e definida por
S = {(x, y) ∈ R2 : −x ≤ y ≤ π − x,
x
2− π
4≤ y ≤ x
2}
e consideremos funcao f : R2 → R definida por
f(x, y) = sen(x+ y) cos(x− 2y)
x
y
0 u
v
ST
π2
π
y = −x
y = x2
Figura 18:
Para calcular o integral∫
Sf consideremos a transformacao linear (u, v) = g(x, y) defi-
nida por
u = x+ y
v = x− 2y
Note-se que atraves desta transformacao a funcao f passa a ser o produto de duasfuncoes de uma variavel cada. Este facto ira certamente simplificar o calculo do integral.
Sendo linear, para que g seja uma mudanca de variaveis basta que a matriz que arepresenta seja nao singular. (Recorde-se que para uma transformacao linear a matriz quea representa e a sua derivada coincidem). Assim, g e uma mudanca de variaveis porque
detDg(x, y) =
[
1 11 −2
]
= −3 6= 0
E de salientar que a transformacao g permite mudar das coordenadas (u, v) para ascoordenadas (x, y) e o que se pretende e a mudanca inversa.
No entanto, a transformacao inversa g−1 e tambem uma mudanca de variaveis e
detDg−1(u, v) = −1
3
19
Assim, seja T ⊂ R2 tal que S = g−1(T ). Da definicao de S, obtemos
T = {(u, v) : 0 ≤ u ≤ π ; 0 ≤ v ≤ π
2}
Usando o teorema da mudanca de variaveis, obtemos,∫ ∫
S
f(x, y)dxdy =
∫ ∫
T
f(g−1(u, v)) |detDg−1(u, v)|dudv
=1
3
∫ π
0
(
∫ π2
0
sen(u) cos(v)dv
)
du
=1
3
(∫ π
0
sen(u)du
)
(
∫ π2
0
cos(v)dv
)
=2
3
Exemplo 2.10 Seja S ⊂ R2 a regiao representada na figura 19 e definida por
S = {(x, y) ∈ R2 : 1 < xy < 2 ; x > 0 ; x < y < 3x}.
e consideremos o integral em S da funcao definida por
f(x, y) =y
x(1 + x2y2)
x
y
0 0
1
1 2
3
u
v
ST
xy = 2xy = 1
y = x
y = 3x
Figura 19:
Note-se que S e um conjunto limitado e que a funcao f e limitada e contınua em S e,portanto, o respectivo integral existe.
20
Tendo em conta que S pode ser dado por
S = {(x, y) ∈ R2 : 1 < xy < 2 ; x > 0 ; 1 <
y
x< 3}.
e a funcao f depende do produto xy e da razao yx, consideremos a transformacao (u, v) =
g(x, y) definida por
u = xy
v =y
x
Entao,T = g(S) = {(u, v) : 1 < u < 2 ; 1 < v < 3}
ou seja, a funcao g transforma S no rectangulo T = g(S).Vejamos que g e uma mudanca de variaveis em S. E claro que g e de classe C1. Da
definicao de g, obtemos
x =
√
u
v
y =√uv
e, portanto, g e invertıvel, ou seja, injectiva.A derivada de g e dada pela matriz
Dg(x, y) =
[
y x
− yx2
1x
]
e, tendo em conta que, y > x > 0, temos
detDg(x, y) = 2y
x> 0
Portanto, g e uma mudanca de variaveis.Aplicando o teorema da mudanca de variaveis e, tendo o cuidado de notar que a trans-
formacao a usar e a funcao g−1 e que
detDg−1(u, v) =1
2v
obtemos∫ ∫
S
f(x, y)dxdy =
∫ ∫
T
f(g−1(u, v)) |detDg−1(u, v)|dudv
=1
2
∫ 3
1
(∫ 2
1
1
1 + u2du
)
dv
= arctan(2)− arctan(1)
21
Exemplo 2.11 Seja S o cırculo centrado na origem de R2 e de raio R e consideremos a
funcao definida porf(x, y) = e−(x2+y2)
Para calcular o integral de f em S consideremos a mudanca para coordenadas polares
g(r, θ) = (r cos θ, r sen θ)
Do exemplo 1.1 sabemos queg(T ) = S
em queT = {(r, θ) : 0 < r < R ; 0 < θ < 2π}
Assim, temos∫
S
f(x, y)dxdy =
∫
T
f(g(r, θ)) |detDg(r, θ)|drdθ
=
∫ 2π
0
(∫ R
0
re−r2
dr
)
dθ
= 2π
∫ R
0
re−r2
dr
= π(1− e−R2
)
Note-se que se aplicarmos o teorema de Fubini ao calculo do integral em coordenadas(x, y), obtemos
∫
S
f(x, y)dxdy =
∫ R
−Re−x
2
(
∫
√R2−x2
−√R2−x2
e−y2
dy
)
dx
e este integral nao e facilmente calculavel por nao termos a disposicao uma primitiva paraa funcao e−x
2
.Em coordendas polares este problema nao existe porque a funcao a integrar e dada por
re−r2
cuja primitivacao e imediata.
***
Referencias
[1] Luıs T. Magalhaes. Integrais Multiplos. Texto Editora, 1996.
[2] W. Rudin. Principles of Mathematical Analysis. McGraw Hill, 1996.
22
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