TEORÍA DE CONTROL
MODELO DE ESTADO
Teoría de Control
Definiciones: (Ogata)
Estado. El estado de un sistema dinámico es el conjunto más pequeño de variables
(denominadas variables de estado) de modo que el conocimiento de estas variables
en t = to, junto con el conocimiento de la entrada para t ≥ to, determina por completo
el comportamiento del sistema para cualquier tiempo t ≥ to.
Variables de estado. Las variables de estado de un sistema dinámico son las que
forman el conjunto más pequeño de variables que determinan el estado del sistema
dinámico.
Vector de estado. Si se necesitan n variables de estado para describir por completo
el comportamiento de un sistema determinado, estas n variables de estado se
consideran los n componentes de un vector x. Tal vector se denomina vector de
estado.
Espacio de estados. El espacio de n dimensiones cuyos ejes de coordenadas están
formados por el eje x1, el eje x2,. . . , el eje xn, se denomina espacio de estados.
Cualquier estado puede representarse mediante un punto en el espacio de estados
MODELO DE ESTADO
Teoría de Control
MODELO DE ESTADO
Ecuaciones en el espacio de estados.
En el análisis en el espacio de estados, existen tres tipos de variables :
variables de entrada,
variables de salida y
variables de estado.
1 1 1 1
2 2 1 1
1 1
( ) ( ... , ... , )
( ) ( ... , ... , )
...
( ) ( ... , ... , )
n r
n r
n n n r
x t f x x u u t
x t f x x u u t
x t f x x u u t
),,()( tuxftx
1 1 1 1
2 2 1 1
1 1
( ) ( ... , ... , )
( ) ( ... , ... , )
...
( ) ( ... , ... , )
n r
n r
p p n r
y t g x x u u t
y t g x x u u t
y t g x x u u t
),,()( tuxgty
Teoría de Control
Sistemas lineales.
1 11 1 1 11 1 1
2 21 1 2 21 1 2
1 1 1 1
( ) ... ...
( ) ... ...
...
( ) ... ...
n n r r
n n r r
n n nn n n nr r
x t a x a x b u b u
x t a x a x b u b u
x t a x a x b u b u
)()()( tuBtxAtx
1 11 1 1 11 1 1
2 21 1 2 21 1 2
1 1 1 1
( ) ... ...
( ) ... ...
...
( ) ... ...
n n r r
c n n r r
n n pn n dp pr r
y t c x c x d u d u
y t a x c x d u d u
y t c x c x b u d u
)()()( tuDtxCty
MODELO DE ESTADO
Teoría de Control
Elección de las Variables de Estado
E KwIa
s La Ra
BJs
IKt
a
Ra Kw E
Ia IaLa La La
a IKtBJ
J
B
J
KtI a
0 1
0 0
00 1 0
0 0 1
Ra Kw
La LaIa Ia LaKt B
EJ J
Ia
Ia La Ia Ra E Kw
EJEMPLO 1
MODELO DE ESTADO
Se consideran condiciones iníciales nulas para las variables .
Teoría de Control
MODELO DE ESTADO
Elección de las Variables de Estado
0 1
0 0
00 1 0
Ra Kw
La LaIa Ia LaKt B
EJ J
T
x Eg
0 0 0
0 0 0
0 0 0 =
0 1
0 0 0
0 0
B
Ra
La
J
T Kt
Eg KwIa
V RaE
V Ra Kw
T B
T Kt B
B
T
x T
La
T
x V
SI NO NO
Teoría de Control
MODELO DE ESTADO
0 1
0 0
00 1 0
0 0 1
Ra Kw
La LaIa Ia LaKt B
EJ J
Ia
Ra=2 W
La=5 mHy
J=0.005 Nms2
B1=0.005 Nms
Kt=0.7 Nm/A
Kw=0.8 Vs
Teoría de Control
MODELO DE ESTADO
Teoría de Control
MODELO DE ESTADO
Elección de las Variables de Estado
1111 RIVV C
11
3
21
2
14321 CV
R
VV
R
VIIII C
CCC
1 211
1 1 1 1 2 3 1 3
1 1 1C CC
V VVV
C R C R R R C R
22
2
12 CV
R
VI C
C
22
12
RC
VV C
C
11 1 1 2 3 1 31 1 1
22
2 2
0 1
3 2
3 3
1 1 1 1 11
1
00
0 1
1 1
CC
CC
C
C
VV C R R R C RC R V
VV
C R
V V
I VR R
EJEMPLO 2
Teoría de Control
MODELO DE ESTADO
Elección de las Variables de Estado
1
1 1 1 1 1 1( ) ( ) ... ( ) ( ) ( )n n
n ns X s s X s sX s X s R s
1
1 1 2 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )m m
m mC s s X s s X s sX s X s
)()()(...)()( 111
)1(
11
)(
1 trtxtxtxtx nn
nn
1
DenominadorNumerador
R(s) C(s)X (s)1
1
1 2
1 2 1
( ) 1
( ) ...n n n
n n
X s
R s s s s s
1
1 2 1
1
( )...
( )
m m
m m
C ss s s
X s
1
1 2 1
1 2
1 2 1
...( )( )
( ) ...
m m
m m
n n n
n n
s s sC sG s
R s s s s s
Teoría de Control
MODELO DE ESTADO
Elección de las Variables de Estado
1 2
2 3 1
( 2)
2 1 1
( 1)
1 1
( ) ( )
( ) ( ) ( )
....
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
n
n n
n
n n
x t x t
x t x t x t
x t x t x t
x t x t x t
)()()(...)()( 1211 trtxtxtxtx nnnn
)()()(...)()( 1211 trtxtxtxtx nnnn
txtxtxtxtc mmmm 1122211 ...
)(
1
0
...
0
0
)(
...
10...00
.........
00...00
00...10
)(
121
trtxtx
nn
1 1( ) ... 0 ... 0 ( )m mc t x t
MODELO DE FASE
)()()(...)()( 111
)1(
11
)(
1 trtxtxtxtx nn
nn
Teoría de Control
MODELO DE ESTADO
Elección de las Variables de Estado
Para el caso del motor3 2
( )( )
( )
Kt
s JLaG sRa B Ra B Kt KwE s
s s sLa J La J
1 1 1
2 2 2
3 3 3
0 1 0 0
0 0 1 0 ; 0 0
10
x x xKt
x x u y xJLa
x Ra B Kt Kw Ra B x x
La J La J
EJEMPLO 1
Teoría de Control
MODELO DE ESTADO
Teoría de Control
MODELO DE ESTADO
Función de Transferencia
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
x t Ax t Bu t
y t Cx t Du t
( ) ( ) ( )Y s G s U s
( ) ( )
( ) ( )
U s u t
Y s y t
L
L
1 11 12 11 1 12 2
1
2 21 22 21 1 22 2
2
3 31 32 31 1 32 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
y s g s g s g s u s g s u su s
y s g s g s g s u s g s u su s
y s g s g s g s u s g s u s
ò+
+B
X(t) Y(t)
A
CX(t).
U(t)
G(s)U(s) Y(s)
Teoría de Control
MODELO DE ESTADO
Función de Transferencia
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
x t Ax t Bu t
y t Cx t Du t
( ) ( ) ( ) ; (0) 0sX s AX s BU s x
( ) ( ) ( )sX s AX s BU s ( ) ( )sI A X s BU s
1
( ) ( )X s sI A BU s
1
( ) ( )Y s C sI A B D U s
( ) ( ) ( )Y s G s U s 1
( )G s C sI A B D
Aplicando Transformada de Laplace
Teoría de Control
MODELO DE ESTADO
FCFCKRRR 1.0 ; 9.0100 21 ; 321 W
11
1
22
0 1
5 5
3 2
33.33 11.11 11.11
100 0 0
0 1
10 10
CC
CC
C
C
VVV
VV
V V
I V
33.33 11.11
100
ss I A
s
1
2
11.11
100 33.33
s +33.33s +1111
s
ss I A
1
2
2
11.11
( ) 11.11100 33.33 ( )
( ) 0s +33.33s +1111
C
C
s
V s sU s
V s
11 1 1 2 3 1 31 1 1
22
2 2
0 1
3 2
3 3
1 1 1 1 11
1
00
0 1
1 1
CC
CC
C
C
VV C R R R C RC R V
VV
C R
V V
I VR R
EJEMPLO 2
Teoría de Control
MODELO DE ESTADO
FCFCKRRR 1.0 ; 9.0100 21 ; 321 W
11 1 1 2 3 1 31 1 1
22
2 2
0 1
3 2
3 3
1 1 1 1 11
1
00
0 1
1 1
CC
CC
C
C
VV C R R R C RC R V
VV
C R
V V
I VR R
0
5 5 2
3
11.11
( ) 0 1 11.11100 33.33 ( )
( ) 10 10 0s +33.33s +1111
s
V s sU s
I s
0
3
2
2
1111
( )( )
( ) 0.0001111( 100)
33.33 1111
33.33 1111
s s
s s
V sU s
I s s
30
3
2
2
3
33.33 1111
1Si ( )
1111
( )
( ) 0.0001111( 100)
33.33 1111
s s
U Ss
V s
s
s
I s
s
s s
(-16.67 )0
-5 -5 (-16,67 )3
( ) -1 1.155cos(28.87 -0.5236)*
( ) 10 - 1.018 10 cos(28.87 -0.1901)
t
t
V t t e
I t t e
Teoría de Control
MODELO DE ESTADO
Teoría de Control
MODELO DE ESTADO
Solución del Vector de Estado.
Si se considera una ecuación diferencial lineal de primer orden:
La solución resulta:
Ahora para el vector x(t) se ensaya la siguiente solución:
Se debe cumplir que:
y
( ) ( ) ( )
dx ta x t b u t
dt
( )
0
( ) (0) ( )
t
at a tx t e x e b u d ò
( )
0
( ) (0) ( )
t
At A tx t e x e B u d ò
( 0) (0)x t x
( ) ( ) ( )
dx tA x t B u t
dt
Teoría de Control
MODELO DE ESTADO
Solución del Vector de Estado.
Propiedades de
At Atde Ae
dt
Ate
0Ae I
Ate Es no singular para todo t finito
1 2 1 2( )At At A t te e e
1
( )At A te e
( )n
At A nte e
Teoría de Control
MODELO DE ESTADO
Solución del Vector de Estado.
( 0) (0)x t x
( ) ( ) ( )
dx tA x t B u t
dt
0
0 ( )
0
0
(0) (0) ( ) (0)A A t
I
x e x e B u d x ò
0 0
( , ) ( , ) ( , )
t t
t
t t
f t d f t d f tt t
ò ò
( )
0
( ) (0) ( )
t
At A tdx t e x e B u d
dt
ò
( ) ( )
0
( ) (0) ( ) ( )
t
At A t A t
tx t Ae x Ae B u d e Bu
ò
( )
0
( )
( ) (0) ( ) ( )
t
At A t
x t
x t A e x e B u d Bu t
ò
Teoría de Control
MODELO DE ESTADO
Solución del Vector de Estado.
( ) ( ) ( )x t A x t B u t Aplicando transformada de Laplace
( ) (0) ( ) ( )sX s x A X s B U s ( ) (0) ( )sI A X s x B U s
1 1
( ) (0) ( )X s sI A x sI A B U s
11( )t L sI A
0
( ) ( ) (0) ( ) ( )
t
x t t x t B u d ò ( ) Att e
Antitransformando (sI-A)-1
Teoría de Control
MODELO DE ESTADO
Solución del Vector de Estado.
Ra=2 W
La=5 mHy
J=0.005 Nms2
B1=0.005 Nms
Kt=0.7 Nm/A
Kw=0.8 Vs
400 160 0 200
140 1 0 0
0 1 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Ia Ia
E
Ia
y
Teoría de Control
MODELO DE ESTADO
Solución del Vector de Estado.
400 160 0 200
140 1 0 0
0 1 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Ia Ia
E
Ia
y
400 160 0
140 1 0
0 1
s
sI A s
s
2 4
( 1) 160 0
140 ( 400) 0
140 ( (40 401 2,28 00) 1 )
s s s
Adj sI A s s s
s s s
2 4( 1)( 400) (160)( 1 ( 40140) 2.28 10 )Det sI A s s s s s s s
2 4
2 4
1
( 1) 160 0
140 ( 400) 0
140 ( 401 2,28 10 )
( 401 2.28
( 400)
10 )
s s s
s s s
ssI A
s
ss
s
s
Teoría de Control
MODELO DE ESTADO
Solución del Vector de Estado.
2 4
2 4
( 1) 160 0
140 ( 400) 0(0) 200
140 ( 400)( ) (0
( 401 2,28 10) 0 (
)
401 2,2)
(08 0
)1
0
s s
s s s
s s s
s s sIa Ia
ss U s
1.3(0)
(0) 122.5
(0) 2.0
100( )
AmpIa
rads
rad
U ss
2 4
2 4
( 1) 160 020000
140 ( 400) 0 1.3
14 ( 4010 ( 400 2,28 10 )
401 2,28
)( ) 122.5
2.0 10
s s
s s s
s
s s s
s sIa s
ss
Teoría de Control
MODELO DE ESTADO
Solución del Vector de Estado.
2 4
2 4
3 2 4
2 2 4
0.13 - 1.93987 10 200
122.5 4.9182 10 28000
2 924.5 9.4782 10 28000
401 2,28 1( )
0
s s
s s s
Ia s s s
s ss
s
(-68,59 ) (-332,4 )
(-68,59 ) (-332,4 )
(-68,59 ) (-332,4 )
0.008772 73.88 75.17
( ) 1.228 153 31.75
(1.228 4.136) 2.231 0.09553
t t
t t
t t
Ia e e
t e e
t e e
Teoría de Control
MODELO DE ESTADO
Controlabilidad y observabilidad. (Ogata)
Se dice que un sistema es controlable en el tiempo to si se puede llevar de cualquier
estado inicial x(to) a cualquier otro estado, mediante un vector de control sin
restricciones, en un intervalo de tiempo finito.
Se dice que un sistema es observable en el tiempo to si, con el sistema en el estado
x(to), es posible determinar este estado a partir de la observación de la salida durante
un intervalo de tiempo finito. Se supone que la entrada u(t) es conocida en el intervalo.
SCOU(s) Y(s)
SCO
SCO
SCO
Teoría de Control
MODELO DE ESTADO
1 1
1 2
2 2
3 4
1 2
C
C
C
e V VI
R R
e V VI
R R
V V X
I CX
4 2 1 3 4 3 1 22
1 2 3 4 3 4 2 3 4
·( ) - ( )V =
( ( ) ) · ·
R R R R e R R R R X
R R R R R R R R R
1 2 3 4 1 4 2 3
1 2 4 3 3 4 2 3 4
( )( ) ( )
(
R R R R X R R R R eX
C R R R R R R R R R
2
- V =
2
e X
XX
CR
Si R1=R2=R3=R4=R
X no es
controlable
desde e(t)
X es
observable
desde V2(t)
Controlabilidad y Observabilidad.
Teoría de Control
MODELO DE ESTADO
1 1 1 3
2 2 2 4
E X X C R
E X X C R
11
1 3
22
2 4
E XX
C R
E XX
C R
El circuito permite controlar las variables de estado salvo el caso en que las
constantes de tiempo de ambas ramas sean iguales. En este caso las dos
variables se comportan de la misma manera para una dada entrada y no puedo
diferenciarlas y el sistema resulta incontrolable desde e(t)
Si planteo la salida en V2 no se puede obtener información del valor de la
variable X1 por que las dos ramas están desacopladas. El sistema resulta
inobservable desde V2
Controlabilidad y observabilidad.
Teoría de Control
MODELO DE ESTADO
Verificación de Controlabilidad y Observabilidad.
Sistemas MIMO
Un sistema de orden n con r entradas y q salidas
es controlable , si y sólo si , la matriz compuesta U [nxnr] , denominada
matriz controlabilidad, es de rango n.
Matriz Controlabilidad:2 2 1 | | | ...| | n nU B AB A B A B A B
es observable , si y sólo si , la matriz compuesta V [nqxn] , denominada
matriz observabilidad, es de rango n.
Matriz Observabilidad:
1
2
...nCA
CA
CA
C
V
Teoría de Control
MODELO DE ESTADO
Para un modelo de orden n:
Si el rango de la matriz controlabilidad U (matriz observabilidad V) es j<n
entonces, habrá j variables de estado controlables (observables) y (n-j)
no controlables (no observables)
Sistemas SISO
Para un sistema SISO, tanto la matriz controlabilidad U como la matriz
observabilidad V, son matrices cuadradas. Por lo tanto, para que resulten de
rango igual a n, las matrices deben ser no singulares.
Entonces:
2 2 1det det | | | ...| | 0n nU B AB A B A B A B
1
det det 0...
n
C
CAV
CA
Teoría de Control
MODELO DE ESTADO
1 1
2
0
( ) ( ) ( )1 1
0
( ) 0 1 ( )
R R
L Lx t x t u t
R C C
y t x t
2
1 1
2
2
2
1 1
R R
L LU
C R C
1 1
2
1det
R RU
LC L R C
2
2
0 1
10
V
R C
det 0V
No será controlable si las
ctes de tiempo son iguales
Desde la salida solamente
es observable X2
Teoría de Control
MODELO DE ESTADO
a ba a b b
b a
R II R I R K
R I
1
1 1b p a p
KR R R R
K K
11
3 3
a b
x KI I x
R R
1 1 21 1
1 5
x u xC x
R R
2 2 2
2 2 4 1
2 4 3
b
x u x KC x I I x
R R R
1 2 1
2 2 2 1
31
pb
b
V x x
RI KV x x x
R K R
1 1 2 1
1 1 1 5 1 5
2 1 2 2
2 3 2 2 4 2 4
1 1 1
1 1 1 1
x x x uC R C R C R
Kx x x u
C R C R R C R
Teoría de Control
2
1 5 1 1 5 1 2 4 5
2 4
2 2
2 4 1 2 3 5 2 2 4
1 1 10
10
C R C R R C C R RU
R RK
C R C C R R C R R
MODELO DE ESTADO
1 1
2 2
3
1 1
11
p
V xRK
V xK R
1 1 1 5 1 51 1 1
2 2 2
2 42 3 2 2 4
1 1 10
11 1 10
C R C R C Rx x u
x x uK
C RC R C R R
2Rg U
2
1 5 1 1 5
1
1 2 3 5
1 1
0
C R C R RU U
K
C C R R
Si K=0 entonces
1 1Rg U U
Teoría de Control
3
2 4
1 1 2 3 1 5 2 2 4
2 4
2 3 1 1 3 1 5 3 2 2 4
1 1
11
1 1
1 1
p
p p
RK
K R
V R RK
C R C R C R C R R
KR KR R RK
C R C R R K C R R K C R R
MODELO DE ESTADO
3
2
2 4
2 3 1 1 3 1 5 3 2 2 4
11
( )
1 1
p
p p
RK
K RV V
KR KR R RK
C R C R R K C R R K C R R
2Rg V
Si K=0 entonces
2( ) 1Rg V V
221
1
( )( ) 0
( )
V sG s
U s Si K=0 entonces
Teoría de Control
Suponga una planta descrita por el siguiente modelo de estado:
Y considere una transformación lineal a través de una matriz no singular T, tal
que:
Reemplazando en el modelo:
Despejando la derivada:
MODELO DE ESTADO
Transformación de Modelo de Estado.
( ) ( ) ( ) ; ( ) ( ) ( ) x t A x t B u t y t C x t D u t
1( ) ( ) ; ( ) ( )x t T x t x t T x t
( ) ( ) ( ) ; ( ) ( ) ( ) T x t A T x t B u t y t C T x t D u t
1 1 ( ) ( ) x t T AT x t T B u t ( ) ( ) ( ) x t A x t B u t
1 1 A T AT B T B C CT D D
Teoría de Control
MODELO DE ESTADO
1111 RIVV C
11
3
21
2
14321 CV
R
VV
R
VIIII C
CCC
31
2
3211
1
11
11
111
RC
V
RRRC
V
RC
VV CC
C
22
2
12 CV
R
VI C
C
22
12
RC
VV C
C
2
1
333
0
1112
1
22
313211
2
1
1110
0
1
01
11111
C
C
C
C
C
C
V
V
RRI
V
VRCV
V
RC
RCRRRC
V
V
Transformación de Modelo de Estado.
FCFCKRRR 1.0 ; 9.0100 21 ; 321 W
2
1
55
3
0
1
2
1
2
1
1010
10
0
11.11
0100
11.1133.33
C
C
C
C
C
C
V
V
I
V
VV
V
V
V
Teoría de Control
MODELO DE ESTADO
Transformación de Modelo de Estado.
2
1
5
55
2
1
2
33
2
3
010
1010
01
11
C
C
C
C
V
V
V
V
R
RR
I
I 5 5 5
1
5 5 5
10 10 0 10 ;
10 0 10 10T T
1010
100
0100
11.1133.33
010
101055
5
5
55
A
0
11.11
010
10105
55
B
1010
100
1010
10
55
5
55
C
22,22-11,11-
77,7811,11-
A
10*3,33-
10*3,33-
4
4
B
01
1010
55
C
2
355
3
0
14
4
2
3
2
3 01
1010 ;
10*3,33-
10*3,33-
22,22-11,11-
77,7811,11-
I
I
I
VV
I
I
I
I
Teoría de Control
MODELO DE ESTADO
1 1
2 2
1 1
0.8 1
V xy
V x
4 4 41 1 1
4 4 42 2 2
10 10 10 0
4 10 2 10 0 10
x x u
x x u
1
1 1
2 2
1 1
0.8 1
T
V xx
V x
4 4
1
4 4
1 1 -0,5556 0,555610 10
0.8 1 0,4444 0,55564 10 2 10A T AT
4 4
4
-3.222 10 2.222 10
-3,0222 10 2222,22A
4 4 4
1
4 3 4
1 1 10 0 10 10
0.8 1 0 10 8 10 10B T B
1 1 -0,5556 0,5556 1 0=
0.8 1 0,4444 0,5556 0 1C CT
1 2 3 4 5
1 2
Si 10
0.01
10 4a b p
R R R R R K
C C F
R R R K K
W
W
Teoría de Control
Autovalores:
MODELO DE ESTADO
Transformación de Modelo de Estado.
det( ) 0sI A
1 1 1det det det 0sI A sI T AT sI T T T AT
Como sI es una matriz diagonal se cumple:1 1 sI T T sI
1 1 1det det det 0sI A T sI T T AT T sI A T
1det det det det( ) det 0sI A T sI A T sI A
Esto significa que los autovalores de son los mismos que los de , es decir
que la transformación lineal no modifica los autovalores del modelo.A A
Teoría de Control
MODELO DE ESTADO
1 1 1 1 1 1... ... .....n
I
U B AB A B T B T ATT B T AT T B
1 1 1... nU T B AB A B T U
Como el rango de una matriz no cambia si se premultiplica o posmultiplica
por una matriz no singular .
Controlabilidad:
Transformación de Modelo de Estado.
1Rango T U Rango U
Por lo tanto: Rango U Rango U
Entonces la controlabilidad no es afectada por la transformación del
modelo.
Teoría de Control
MODELO DE ESTADO
Como el rango de una matriz no cambia si se premultiplica o posmultiplica
por una matriz no singular .
Observabilidad:
Transformación de Modelo de Estado.
Rango VT Rango VPor lo tanto:
Rango V Rango V
Entonces la observabilidad no es afectada por la transformación del
modelo.
1
111
...... ...
....
I
nn
CT CCC TT AT CACA
V T VT
CACA CT T AT
Teoría de Control
MODELO DE ESTADO
Formas Canónicas de Modelos de Estado
Modelos de estado en donde las matrices tienen formas especiales. En
general, se llega a estas formas aplicando una transformación lineal al
vector de estado.
1 2 3 1
1 2
0 1 0 ... 0 0 0
0 0 1 ... 0 0 0
( ) ... ... ... ... ... ... ( ) ( )...
0 0 0 ... 0 1 0
... 1
( ) ... 0 ... 0 ( ) ( )
n n
m
x t x t u t
a a a a a
y t c c c x t d u t
1 2
1 2 1
1 2
1 2 1
....( )( )
( ) ....
m m
m m
n n n
n n
c s c s c s cN sG s d
D s s a s a s a s a
Modelo Canónico Controlable
( ) detD s sI A
Teoría de Control
MODELO DE ESTADO
Modelo Canónico Observable
Formas Canónicas de Modelos de Estado
1
1 2
2
1
0 0 ... 0 0
1 0 ... 0 0 ...
( ) ... ... ... ... ... ... ( ) ( )
0 0 ... 1 0 0
0 0 ... 0 1 ...
0
( ) 0 0 ... 0 0 1 ( ) ( )
m
n
n
b
a b
a
x t x t u tb
a
a
y t x t d u t
1 2
1 2 1
1 2
1 2 1
....( )( )
( ) ....
m m
m m
n n n
n n
b s b s b s bN sG s d
D s s a s a s a s a
( ) detD s sI A
Teoría de Control
MODELO DE ESTADO
Modelo Canónico Diagonal
Formas Canónicas de Modelos de Estado
1
2
1
1 2 2 1
0 ... 0 0 0 1
0 ... 0 0 0 1
( ) ... ... ... ... ... ... ( ) ( )...
0 0 ... 0 0 1
0 0 ... 0 0 1
( ) ... ( ) ( )
n
n
n n n
x t x t u t
y t c c c c c x t d u t
11 2
1 2 1
( ) ... n n
n n
c cc cG s d
s s s s
Todos los i distintos
Teoría de Control
MODELO DE ESTADO
Matrices de Transformación
Formas Canónicas de Modelos de Estado
Dado un modelo de estado controlable y observable:
( ) ( ) ; ( ) ( ) x t A x t B u t y t C x t D u t
Con 1 2
1 2 1det ....n n n
n nsI A s a s a s a s a
Transformación a Modelo Canónico Controlable
1 1
1 2 3 1
0 1 0 ... 0 0 0
0 0 1 ... 0 0 0
... ... ... ... ... ... ...
0 0 0 ... 0 1 0
... 1n n
Ac P AP Bc P B Cc CP
a a a a a
Teoría de Control
MODELO DE ESTADO
Formas Canónicas de Modelos de Estado
Puesto que el modelo es controlable las matrices U y Uc resultarán no
singulares :1 1... nUc Bc AcBc Ac Bc P U
Por lo tanto resulta:
Dada la topología de Ac y Bc, resulta:
1 1 1 y P UcU P UUc
2 3 1
3 4
1
... 1
... 1 0
... ... ... ... ... ...
1 ... 0 0 0
1 0 ... 0 0 0
n n
n
n
a a a a
a a a
Uc
a
Teoría de Control
MODELO DE ESTADO
Transformación a Modelo Canónico Observable
1
2
1 1
1
0 0 ... 0 0
1 0 ... 0 0
... ... ... ... ... ... ; 0 0 ... 0 1 ;
0 0 ... 1 0
0 0 ... 0 1
n
n
a
a
Ao Q AQ Co CQ Bo Q B
a
a
Puesto que el modelo es observable las matrices V y Vo resultarán no
singulares :
1 1
... ...n n
Co C
CoAo CAVo Q VQ
CoAo CA
Teoría de Control
Sea entonces
MODELO DE ESTADO
Por lo tanto resulta:
Dada la topología de Ao y Co, resulta: 2 3 1
3 4
1
... 1
... 1 0
... ... ... ... ... ...
1 ... 0 0 0
1 0 ... 0 0 0
n n
n
n
a a a a
a a a
Vo
a
1 1 1 y Q V Vo Q Vo V
Transformación a Modelo Canónico Diagonal
1 y x T x x T x 1A T AT
Premultiplicando por T resulta
1 11 1 12 2 1
2 21 1 22 2 2
1 1 2 2
0 ... 0 ...
0 ... 0 ...
... ... ... ... ... ... ... ...
0 0 ... ...
n n
n n
n n n nn n
t t t
t t tAT TA T
t t t
Teoría de Control
MODELO DE ESTADO
Si se designa a cada columna de T como un vector:
Entonces cada columna de AT será
1 2 1...
T
i i i nin iv t t t t
1 1
2 2
1 1
... ...
i i
i i
i i i i
n i n i
ni ni
t t
t t
Av A v
t t
t t
Desarrollando se llega a:
Este sistema tiene solución si la matriz (iI-A) es singular, en este caso se
debe cumplir que:
Y por lo tanto los i son los autovalores de la matriz A
o sea 0i i i i iAv v I A v
0iDet I A
Teoría de Control
MODELO DE ESTADO
Entonces la matriz T esta formada por los autovectores de A.
Dado que, para obtener el modelo transformado se necesita T-1 , la matriz T
debe ser no singular y por lo tanto todos los autovectores deben ser
linealmente independientes. Esto se cumple solamente si los i son todos
distintos.
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