Circuitos Resonantes 1
TEMA 4
Circuitos Resonantes
4.1 Repaso sobre resonancia.4.2. Resonancia en líneas de transmisión.4.3. Resonancia transversal.4.4. Excitación de resonadores.4.5. Filtros de microondas.
Bibliografía:
•D. M. Pozar. “Microwave Engineering”. Capítulos 6 y 8.•R. E. Collin. “Foundations for Microwave Engineering”. Capítulos 7 y 8
Circuitos Resonantes 2
TEMA 4
• Objetivos:– Comprender el fenómeno de la resonancia en líneas de
transmisión.– Mostrar un ejemplo de un circuito formado únicamente
por líneas de trasmisión con comportamiento equivalente a un circuito formado por elementos concentrados (R, L, C).
– Aplicar el fenómeno de la resonancia al diseño de filtros de microondas.
Circuitos Resonantes 3
4.1 Repaso de conceptos sobre resonancia.
• Índice:– 4.1.1. Introducción.– 4.1.2. Circuito RLC resonante serie.– 4.1.3. Circuito RLC antiresonante paralelo.– 4.1.4. Factor de calidad con carga.
Circuitos Resonantes 4
• Aplicaciones de los resonadores de microondas:– Filtros, osciladores, amplificadores sintonizados, ....
• Tipos de resonadores de microondas:– Líneas de transmisión.
– Guía de ondas rectangulares o circulares.
– Cavidades dieléctricas.
• Cerca de resonancia, el comportamiento del resonador de microondas es modelable como un circuito RLC.
4.1.1. Introducción
Circuitos Resonantes 5
• Energía magnética media almacenada en la bobina.
• Energía eléctrica media almacenada en el condensador.
CjLjRZ ent ω
ω 1−+=
[ ] [ ]2
22*
21
21
21
21
ententconsumida Z
VRIRIZeVIeP ==ℜ=ℜ=
2
41 ILWm =
CIVCW ce 2
22 141
41
ω==
LR
C+
V–
I
Zent
4.1.2. Circuito RLC resonante serie
Circuitos Resonantes 6
• En resonancia, el circuito RLC cumple que:– Las energías medias magnética/eléctrica son iguales:
– La impedancia de entrada es resistiva pura:
CIILWW em 2
22 141
41
ω=⇒=
CLRZ ent ω
ω 1=⇒ℜ∈=
• Ambas condiciones se cumplen para la frecuencia de resonancia:
LCr1
=ω
4.1.2. Circuito RLC resonante serie
Circuitos Resonantes 7
• En resonancia el circuito RLC presenta una impedancia de entrada igual a R.
• La potencia consumida en el resonador (es decir sus pérdidas) dependen de R.
• En general, R será un valor bajo (idealmente CC) de forma que en resonancia la Zent es muy baja y las pérdidas también.
• Al alejarnos de la resonancia, aumenta la impedancia.
2
21 IRPentreg =
4.1.2. Circuito RLC resonante serie
Circuitos Resonantes 8
• Factor de calidad de un circuito resonante.
• Para el caso del circuito RLC resonante serie.
rconsumidaPotencia
almacenadamediaEnergíaQωω
ω=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
RCRL
IR
CIIL
PWWQ
r
rrr
consumida
emr ω
ωωωω 1
21
141
41
2
222
==+
=+
=
4.1.2. Circuito RLC resonante serie
Circuitos Resonantes 9
• Una vez conocido el comportamiento para la frecuencia de resonancia, ¿cuál es la respuesta del circuito en el entorno de la frecuencia de resonancia?
ωωω Δ+= r
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+=
2
22
2111
ωωωω
ωω
ωω
r
ent
LjR
LCLjR
CLjRZ
4.1.2. Circuito RLC resonante serie
Circuitos Resonantes 10
• En el entorno de ωr, Δω es pequeño y se puede aproximar
• Luego, en el entorno de la resonancia, el circuito RLC es como una resistencia R, que tiene una parte imaginaria que aumenta con la frecuencia yque depende de L (o de C).
• El comportamiento también se puede modelar a partir de ωr, R y Q.
( )( ) ( ) ωωωωωωωωωωω Δ≈Δ−Δ=+−=− 2222rrr
ωω
ωωω Δ+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Δ+≈ LjRLjRZ ent 22
2
rent
RQjRZω
ωΔ+≈ 2
4.1.2. Circuito RLC resonante serie
Circuitos Resonantes 11
ω
( )ωentZ
Qr
r 2ωω +
Qr
r 2ωω −
2RR
BW
Ancho de bandaAncho de banda
QBW rω
=rr
rel ff
QBWBW Δ
===1
ω
4.1.2. Circuito RLC resonante serie
Circuitos Resonantes 12
• Energía magnética media almacenada en la bobina.
• Energía eléctrica media almacenada en el condensador.
LR C+
V–
I
LjCj
RYent ω
ω 11−+=
[ ] [ ] 22
2**
21
21
21
21
ententconsumida IZRR
VVYeVIeP ==ℜ=ℜ=
LVILW Lm 2
22 141
41
ω==
2
41 VCWe =
Zent
4.1.3. Circuito RLC antirresonante paralelo
Circuitos Resonantes 13
• En resonancia, el circuito RLC cumple que:– Las energías medias magnética/eléctrica son iguales:
– La impedancia de entrada es resistiva pura:
22
2
411
41 VC
LVWW em =⇒=
ω
CLRZ ent ω
ω 1=⇒ℜ∈=
• Ambas condiciones se cumplen para la frecuencia de resonancia:
LCr1
=ω
4.1.3. Circuito RLC antirresonante paralelo
Circuitos Resonantes 14
• En resonancia el circuito RLC presenta una impedancia de entrada igual a R.
• La potencia consumida en el resonador (es decir sus pérdidas) dependen de R.
• En general, R será un valor alto (idealmente CA) de forma que en resonancia la Zent es muy alta y las pérdidas serán bajas.
• Al alejarnos de la resonancia, aumenta la admitancia.
RV
Pentreg
2
21
=
4.1.3. Circuito RLC antirresonante paralelo
Circuitos Resonantes 15
• Factor de calidad de un circuito RLC antirresonanteparalelo.
LRRC
RV
VCVL
PWWQ
rr
rr
consumida
emr ω
ωωωω ==+
=+
= 2
222
21
411
41
4.1.3. Circuito RLC antirresonante paralelo
Circuitos Resonantes 16
• Una vez conocido el comportamiento para la frecuencia de resonancia, ¿cuál es la respuesta del circuito en el entorno de la frecuencia de resonancia? ωωω Δ+= r
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+=
2
22
2
1
11111
ωωωω
ωω
ωω
r
ent
CjR
LCCj
RLCj
RY
4.1.3. Circuito RLC antirresonante paralelo
Circuitos Resonantes 17
• En el entorno de ωr, Δω es pequeño y se puede aproximar
• En el entorno de la resonancia, el circuito RLC paralelo es como una conductancia 1/R, con una reactancia en paralelo que aumenta con la frecuencia y que depende de C (o de L).
• El comportamiento también se puede modelar a partir de ωr, R y Q.
( )( ) ( ) ωωωωωωωωωωω Δ≈Δ−Δ=+−=− 2222rrr
ωω
ωωω Δ+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Δ
+≈ CjR
CjR
Yent 21212
rent R
QjR
YωωΔ
+≈21
4.1.3. Circuito RLC antirresonante paralelo
Circuitos Resonantes 18
ω
( )ωentZ
Qr
r 2ωω +
Qr
r 2ωω −
2/RR
BW
Ancho de bandaAncho de banda
QBW rω
=rr
rel ff
QBWBW Δ
===1
ω
4.1.3. Circuito RLC antirresonante paralelo
Circuitos Resonantes 19
• El factor de calidad visto previamente corresponde al propio circuito resonante cuando éste está aislado. ¿Qué pasa al conectar el resonador con algún circuito externo que lo cargue?
• Ejemplo con RLC serie:
LR
CRL
Circuito Resonante
RLQ rω
=
L
re R
LQ ω=
Factor de calidad del resonador aislado:
Análogamente, se define un factor de calidad externo Q debido a la carga RL:
Factor de calidad del circuito resonante con carga: QQQ eL
111+=
4.1.4. Factor de calidad con carga
Circuitos Resonantes 20
• Para el RLC paralelo:
RL
Circuito Resonante
LRQrω
=
LRQ
r
Le ω=
Q del cto resonante aislado:
Análogamente, se define un factor de calidad externo Q debido a la carga RL:
Al igual que en el caso del circuito RLC serie, el factor de calidad del circuito resonante con carga vale:
QQQ eL
111+=
LR C
4.1.4. Factor de calidad con carga
Circuitos Resonantes 21
4.2. Resonancia en líneas de transmisión
• Índice:– 4.2.1. Introducción.– 4.2.2. Línea de media onda acabada en
cortocircuito.– 4.2.3. Línea de media onda acabada en circuito
abierto– 4.2.4. Línea de cuarto de onda acabada en
cortocircuito.
Circuitos Resonantes 22
• Elementos concentrados no disponibles a altas frecuencias.
• Elementos distribuidos más frecuentes.• Secciones de línea de transmisión + CC ó CA se
comportan como resonadores.• Estudiamos el Q (factor de calidad) pérdidas.
4.2.1. Introducción
Circuitos Resonantes 23
• Linea de y cortocircuitada.
/ 2l λ=
inZ
0/ 2, Zλ
0 0tanh tantanh( )
1 tan tanhinl j lZ Z j l Z
j l lα βα β
β α+
= + =+
Si (sin pérdidas) 0α = 0 taninZ jZ lβ=
4.2.2. Línea de media onda acabada en cortocircuito
Circuitos Resonantes 24
4.2.2. Línea de media onda acabada en cortocircuito
• Bajas pérdidas
• Desviación pequeña
1lα (tanh )l lα α
0ω ω ω= + Δ
0ll llv v v
ωω ωβ Δ= = +
02 2v vlf
λ πω
= = = 0
l ωπβ πωΔ
= +
Circuitos Resonantes 25
4.2.2. Línea de media onda acabada en cortocircuito
0 0 0
tan tan tanl ωπ ωπ ωπβ πω ω ω
⎛ ⎞Δ Δ Δ= + =⎜ ⎟
⎝ ⎠
tanh l lα α
00 0
0
0
1in
l jZ Z Z l j
j l
ωπαω ωπαωπ ωα
ω
Δ+
⎛ ⎞Δ+⎜ ⎟Δ ⎝ ⎠+
Circuitos Resonantes 26
4.2.2. Línea de media onda acabada en cortocircuito
• Circuito RLC serie:
• Línea de transmisión:
• Identificando:
2inZ R j L ω= + Δ
00
inZ Z l j ωπαω
⎛ ⎞Δ+⎜ ⎟
⎝ ⎠
00 2
0 0
1; ; 2ZR Z l L C
Lπαω ω
= = =
Circuitos Resonantes 27
4.2.2. Línea de media onda acabada en cortocircuito.
• En resonancia:
• También ocurre resonancia en
• Factor de calidad (1ª resonancia):
• Si
00 inZ R Z lω αΔ = ⇒ = =
; 1, 2, 3,2
nl nλ= = …
0
2 2LQ
R lω π β
α α= = =
Qα ↑⇒ ↓
Circuitos Resonantes 28
4.2.3. Línea de media onda acabada en circuito abierto
• Linea de y en circuito abierto (se suele usar en microstrip).
/ 2l λ=
inZ
0/ 2, Zλ
0 01 tan tanhcoth( )tanh tanin
j l lZ Z j l Zl j lβ αα β
α β+
= + =+
Si (sin pérdidas) 0α = 0 cotinZ jZ lβ= −
Circuitos Resonantes 29
4.2.3. Línea de media onda acabada en circuito abierto
• Bajas pérdidas
• Desviación pequeña
1lα (tanh )l lα α
0ω ω ω= + Δ
0ll llv v v
ωω ωβ Δ= = +
02 2v vlf
λ πω
= = = 0
l ωπβ πωΔ
= +
Circuitos Resonantes 30
4.2.3. Línea de media onda acabada en circuito abierto
0 0 0
tan tan tanl ωπ ωπ ωπβ πω ω ω
⎛ ⎞Δ Δ Δ= + =⎜ ⎟
⎝ ⎠
tanh l lα α
0 00
0 0
1
in
j lZZ Z
l j l j
ωπ αω
ωπ ωπα αω ω
Δ+
Δ Δ+ +
Circuitos Resonantes 31
4.2.3. Línea de media onda acabada en circuito abierto
• Circuito RLC paralelo:
• Línea de transmisión:
• Identificando: 02
0 0 0
1; C ; L2
ZRl Z C
πα ω ω
= = =
11 2
inZj C
Rω
=+ Δ
0
0
inZZ
l j ωπαωΔ
+
Circuitos Resonantes 32
4.2.3. Línea de media onda acabada en circuito abierto
• En resonancia:
• También ocurre resonancia en
• Factor de calidad (1ª resonancia):
• Si
00 inZZ R
lω
αΔ = ⇒ = =
; 1, 2, 3,2
nl nλ= = …
0 2 2Q RC
lπ βωα α
= = =
Qα ↑⇒ ↓
Circuitos Resonantes 33
4.2.4. Línea de cuarto de onda acabada en cortocircuito
• Linea de y cortocircuitada. 0/ 4, Zλ
/ 4l λ=
inZ
0 0
0
tanh tantanh( )1 tan tanh
1 tanh cot =tanh cot
inl j lZ Z j l Z
j l lj l lZ
l j l
α βα ββ αα β
α β
+= + =
+−
−
Circuitos Resonantes 34
4.2.4. Línea de cuarto de onda acabada en cortocircuito
• Bajas pérdidas
• Desviación pequeña
1lα (tanh )l lα α
0ω ω ω= + Δ
0ll llv v v
ωω ωβ Δ= = +
04 4 2v vlf
λ πω
= = = 02 2l π π ωβ
ωΔ
= +
Circuitos Resonantes 35
4.2.4. Línea de cuarto de onda acabada en cortocircuito
0 0 0
cot cot tan2 2 2 2
l π π ω π ω π ωβω ω ω
⎛ ⎞Δ Δ Δ= + = − −⎜ ⎟
⎝ ⎠
tanh l lα α
0 00
0 0
12
2 2
in
ljZZ Z
l j l j
α ωπωπ ω π ωα αω ω
Δ+
Δ Δ+ +
Circuitos Resonantes 36
4.2.4. Línea de cuarto de onda acabada en cortocircuito
•Circuito RLC paralelo :
•Línea de transmisión:
•Identificando:
11 2
inZj C
Rω
=+ Δ
02
0 0 0
1; C ; L4
ZRl Z C
πα ω ω
= = =
0
02
inZZ
l j π ωαωΔ
+
Circuitos Resonantes 37
4.2.4. Línea de cuarto de onda acabada en cortocircuito
• En resonancia:
• Factor de calidad:
• Si
00 inZZ R
lω
αΔ = ⇒ = =
0 4 2Q RC
lπ βωα α
= = =
Qα ↑⇒ ↓
Circuitos Resonantes 38
• Secciones resonantes:– Línea cortocircuitada en un extremo.– Línea cortocircuitada en extremos.– Línea abierta en extremos.
• Resonancia si reflexión total– Impedancia de carga reactiva.– Sección de longitud diferente de
/ 4 ( / 2)nλ λ+
/ 2 ( / 2)nλ λ+/ 2 ( / 2)nλ λ+
/ 4 o / 2λ λ
4.3. Resonancia Transversal..
Circuitos Resonantes 39
• Resonancia en LT general:– Onda estacionaria atrapada entre reflexiones totales.– Se elige plano de referencia arbitrario.– Las son impedancias vistas hacia la izquierda y
derecha del plano.– son las amplitudes de onda positiva y negativa.
,I DZ Z
,V V+ −
4.3. Resonancia Transversal.
Circuitos Resonantes 40
• Si miramos a la derecha:
• Si miramos a la izquierda:
0
0
D
D
Z ZVV Z Z
−
+
−=
+
0
0
I
I
Z ZVV Z Z
+
−
−=
+
4.3. Resonancia Transversal.
Circuitos Resonantes 41
• Igualando los coeficientes:
• Basta con que se cumpla UNA de las dos condiciones.
0 0
0 0
0,
I DD I
I DD I
Z ZZ Z Z ZZ Z jZ Z Z Z
+ =⎧− += ⇒ ⎨ = ± ∞+ − ⎩
4.3. Resonancia Transversal.
Circuitos Resonantes 42
• Ejemplo: ¿Bajo que condiciones resuena el circuito?
• Se cumple que si 0 tan2I DlZ Z jZ jβ⎛ ⎞= = = ± ∞⎜ ⎟
⎝ ⎠(2 1) (2 1)
2 2 2l n l nπ λβ = + ⇒ = +
4.3. Resonancia Transversal.
Circuitos Resonantes 43
• Se cumple que si ambas son cero (simetría)
• Las dos condiciones proporcionan
• Comprobad si se obtiene el mismo resultado cogiendo el plano en el cortocircuito de la izquierda (o derecha).
0I DZ Z+ =
0 tan 02 2l ljZ n l nβ β π λ⎛ ⎞ = ⇒ = ⇒ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
3, , , 2 ,2 2 2
l l nλ λ λλ λ= ⇒ =…
4.3. Resonancia Transversal.
Circuitos Resonantes 44
4.4. Excitación de resonadores.
• Índice:– 4.4.1. Acoplamiento crítico.– 4.4.2. Resonador microstrip con acoplamiento
capacitivo.
Circuitos Resonantes 45
• Acoplamiento crítico– Para máxima transferencia de potencia, resonador y LT
que lo alimenta deben estar adaptados a la frecuencia de resonancia.
– Se dice que el resonador está acoplado críticamente a la alimentación.
4.4.1. Acoplamiento crítico
Circuitos Resonantes 46
• La impedancia de entrada cerca de la resonancia es:
• El Q del resonador vale• En resonancia y para adaptar línea y
resonador• El Q externo vale
0
22inRQZ R j L R j ωωωΔ
= + Δ = +
0 LQR
ω=
inZ R=
0R Z=
0
0e
LQ QZω
= =
4.4.1. Acoplamiento crítico
Circuitos Resonantes 47
• El factor de acoplamiento se define
• Si resonador serie• Si resonador paralelo• Casos posibles:
– g=1 (acoplamiento crítico)– g<1 (subacoplamiento)– g>1 (sobreacoplamiento)
e
QgQ
=
0ZgR
=
0
RgZ
=
4.4.1. Acoplamiento crítico
Circuitos Resonantes 48
• Consideremos un resonador microstrip en +CA• Resonador acoplado a una línea de transmisión que lo alimenta.
/ 2λ
4.4.2. Resonador microstrip con acoplamiento capacitivo
Circuitos Resonantes 49
• Circuito equivalente
• Condición de resonancia
• Solución gráfica
00
tan1 cottanin
l Z CZ j jZ l jC C l
β ωβω ω β
+= − − = −
inZ ∈ℜ
0 0tan tan ll Z C Z Cv
β ω ω ω⎛ ⎞= − ⇒ = −⎜ ⎟⎝ ⎠
4.4.2. Resonador microstrip con acoplamiento capacitivo
Circuitos Resonantes 50
• Desarrollando en serie de Taylor se obtiene:– Caso sin pérdidas:
– Caso con pérdidas:
0
inZZ
( )12
0 1
in
c
jZZ b
π ω ωω
−≈
( )12 2
0 12in
c c
Z jZ Qb b
π ω ωπω−
= +
0cb Z Cω=
01 0 02( )
2 2in cc
ZZ R Z R Z bQb Qπ πω = = ⇒ = = ⇒ =
20 2 c
RgZ Qb
π= =
4.4.2. Resonador microstrip con acoplamiento capacitivo
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