TEMA 3. MOVIMIENTO CIRCULAR Y GRAVITACIÓN UNIVERSAL

FÍSICA Y QUÍMICA 4º ESO

ÍNDICE1. Movimiento circular.

1.1. Posición, desplazamiento angular y desplazamiento lineal.1.2. Velocidad angular.1.3. Velocidad lineal.1.4. Aceleración.

2. Movimiento circular uniforme (MCU).2.1. Ecuación del MCU. 2.2. Fuerzas en el MCU.

3. Gravitación universal.3.1. Ley de gravitación universal. 3.2. La aceleración de la gravedad y el peso de los cuerpos. 3.3. Unificación de las leyes terrestres y celestes.3.4. Efectos de la fuerza gravitatoria.

4. Satélites artificiales.4.1. Movimiento y velocidad de los satélites. 4.2. Aplicaciones de los satélites artificiales.4.3. Tipos de satélites según su órbita. 4.4. Basura espacial.

1. MOVIMIENTO CIRCULAR

1. MOVIMIENTO CIRCULAR❖ Un objeto tiene movimiento circular si su trayectoria tiene forma de circunferencia.

Ejemplos:

1.1. Posición, desplazamiento angular y desplazamiento lineal★ POSICIÓN: ● Para localizar un móvil sobre una circunferencia debemos usar un origen, como el punto O. ● La posición P del móvil puede indicarse de dos formas:

- Mediante el arco S, que va del origen O al punto P. Se mide en metros. - Mediante el ángulo Ө correspondiente al arco s. Se mide en radianes.

RADIÁN➢ Un radián (rad) es un ángulo que abarca un arco de longitud igual al radio.

➢ Equivalencia entre ángulos en grados y en radianes:- Longitud de la circunferencia = 2·π·r.- Número de radianes en una circunferencia = 2·π rad

360º ⇨ = 2·π rad 180º ⇨ = π rad 45º ⇨ = π/4 rad90º ⇨ = π/2 rad

★ DESPLAZAMIENTO ANGULAR (ΔӨ) Y DESPLAZAMIENTO LINEAL (S): El cambio de posición del móvil se puede indicar de dos formas:

- Mediante el desplazamiento angular (ΔӨ):

- Mediante el desplazamiento lineal (S): ES la longitud del arco que recorre el móvil.

★ RELACIÓN ENTRE EL DESPLAZAMIENTO LINEAL Y ANGULAR:

ΔӨ = Ө2 - Ө1

SΔӨ =

r

Radio de la circunferencia que describe el móvil

Unidades:- S y r se mide en metros.- Ө y ΔӨ se miden en

radianes.

1.2. Velocidad angular (ω)● Es el cociente entre el desplazamiento angular y el intervalo de tiempo transcurrido:

● Unidad en el SI: radián por segundo (rad/s).

● Otras unidades: - revoluciones por minuto (rpm): número de vueltas que realiza el móvil en un minuto.- revoluciones por segundo (rps): número de vueltas que realiza el móvil en un segundo.

, t1

, t2 ΔӨ Ө2 - Ө1ω = = Δt t2- t1

Ejemplo 1 velocidad angular Calcula la velocidad angular de un móvil que recorre 90º en 15 s. Expresa en el resultado en rad/s.

Datos: Desarrollo:

ΔӨ = 90º = π/2 rad

Δt = 15 s

Ejemplo 2 velocidad angular Los caballitos de un tiovivo giran con una velocidad de 5 rpm. Expresa esta velocidad en rad/s.

Datos: Desarrollo:

ω = 5 rpm

1.3. Velocidad lineal (v)● Es el cociente entre el arco recorrido y el intervalo de tiempo transcurrido: ● Unidad en el SI: m/s.

★ RELACIÓN ENTRE LA VELOCIDAD ANGULAR Y LA VELOCIDAD LINEAL

- Sabemos que ⇨ S = ΔӨ·r.

- Dividimos ambos miembros de la igualdad por Δt:

- Por tanto,

, t1

, t2 S v = Δt

SΔӨ =

r

v = ω·r

1.4. Aceleración (a)

→

● La aceleración mide los cambios en el vector velocidad.

● El vector velocidad puede sufrir cambios en su: - módulo - dirección - sentido

● v es tangente a la trayectoria.

En el movimiento circular la dirección y sentido del vector velocidad cambian continuamente.

El movimiento circular es siempre un movimiento acelerado (incluso cuando el módulo de v es constante).

radio de la circunferencia

★ Aceleración centrípeta o normal (ac o an):

- Aceleración debida a los cambios en la dirección y sentido del vector velocidad.

- Es perpendicular a la trayectoria en cada punto ⇨ aceleración normal

- Se dirige al centro de la circunferencia ⇨ aceleración centrípeta

- Módulo:

- Unidad en el SI: m/s2.

2. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU)

★ MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU)● Trayectoria: circunferencia.● Velocidad angular (ω): constante. ● Velocidad lineal (v): - constante en módulo ⇨ el móvil recorre arcos

iguales en tiempos iguales.

- su dirección y sentido cambian continuamente ⇨ tiene aceleración normal.

2.1. Ecuación del MCU

Velocidad angular:

Si en el instante inicial t1 = 0 y Ө1= 0

Despejamos Ө de la expresión anterior:

Ө2 - Ө1ω = t2- t1

Өω = t

Ө = ω · tEcuación del MCU

UNIDADESӨ: radω: rad/st: segundos

Ejemplo MCULas aspas de un aerogenerador giran con una velocidad constante de 5 rad/s. Dado que cada aspa tiene una longitud de 30 m, calcula: a) La velocidad lineal de los extremos de las aspas b) La distancia que recorren esos puntos cada hora. c) El ángulo que describe cada aspa en medio minuto.d) El número de vueltas que da cada aspa en 2 minutose) La aceleración normal.

a) Datos Desarrollo

ω = 5 rad/s v = ω · r ⇨ v = 5 rad/s · 30 m = 150 m/s

r = 30 m

b) Datos Desarrollo

v = 150 m/s v = s/t ⇨ s = v·t

t = 1 h = 3600 s s = 150 m/s · 3600 s = 540 000 m = 540 km

c) Datos Desarrollo

t = 0,5 min = 30 s Ө = ω · t

ω = 5 rad/s Ө = 5 rad/s · 30 s = 150 rad.

d) Datos Desarrollo

t = 2 min = 120 s Ө = ω · t

ω = 5 rad/s Ө = 5 rad/s · 120 s = 600 rad.

600 rad · = 95,5 vueltas1 vuelta

2 π rad

e) Datos Desarrollo

v = 150 m/s an = v2/r

r = 30 m an = (150 m/s)2/30 m

an = 750 m/s2

2.2. Fuerzas en el MCU

★ FUERZA CENTRÍPETA (Fc): - Es la fuerza responsable de la aceleración normal o centrípeta (an o ac).

- La Fc tiene la misma dirección y sentido que la ac. - Es la fuerza responsable del movimiento circular.

Si la Fc desaparece ⇨ El cuerpo se mueve en línea recta, en la dirección de la velocidad que tenga en ese momento. ⇩Esto es consecuencia de la 1ª ley de NewtonSi Fneta = 0 ⇨ el cuerpo está en reposo o tiene MRU

Fc = m·ac

→ →

Ejemplo 1 fuerza centrípetaHacemos girar una pelota que está atada a una cuerda.

Si se rompe la cuerda, la fuerza centrípeta desaparece y la pelota se mueve en línea recta, en la dirección que tengael vector velocidad en el momento en el que soltamos la cuerda.

Ejemplo 2 fuerza centrípetaCalcula la fuerza centrípeta que actúa sobre una piedra de 100 g de masa que está atada a una cuerda de 70 cm y gira a una velocidad de 6 m/s.

70 cm

Datos Desarrollom = 100 g = 0,1 kg Fc = m·ac ⇨ Fc = m · v2/r

r = 70 cm = 0,7 m Fc = 0,1 kg · (6 m/s)2/0,7 m

v = 6 m/s Fc = 5,14 N

3. GRAVITACIÓN UNIVERSAL

3.1. Ley de gravitación universal❏ Fue propuesta por Newton.❏ Newton concluyó que los planetas estaban sometidos a la acción de ciertas fuerzas.

➢ Según la 1ª ley de Newton, si Fneta = 0 ⇨ reposo o MRU➢ Cómo los planetas tienen órbitas circulares, debe haber una fuerza actuando sobre ellos.

❏ La fuerza que actúa sobre los planetas es la fuerza gravitatoria.❏ LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL:

Todos los cuerpos del universo se atraen con una fuerza que es:- directamente proporcional al producto de sus masas.- inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.

m1·m2F = G· d2

Unidades: F en newton (N)m1 y m2 en kilogramos (kg)d en metros (m)

m1 y m2 son las masas de los cuerpos que interacción. d es la distancia entre los cuerpos que interaccionan. G es la constante de gravitación universalG = 6,67·10-11 kg·m2/kg2

FUERZA DE INTERACCIÓN GRAVITATORIA ENTRE LA TIERRA Y LA LUNA

Las fuerzas que se ejercen entre sí la Tierra y la LUna son fuerzas de acción y reacción. Por tanto, tienen:- igual módulo- igual dirección- sentidos contrarios

Es una fuerza centrípeta ya que la Luna describe una órbita circular alrededor de la Tierra.

mTierra·mLunaF = G· dTierra-Luna

2

CARACTERÍSTICAS DE LA FUERZA GRAVITATORIA

1. Es universal: todos los cuerpos por el hecho de tener masa están sometidos a esta fuerza.2. Módulo:

3. Dirección: se dirige a lo largo de la línea recta que une los dos cuerpos. 4. Sentido: es siempre una fuerza atractiva.

m1·m2F = G· d2

d

d2

Ejemplos cálculo fuerza gravitatoria1. Calcula el valor de la fuerza con que se atraen dos masas de 500 kg y 1000 kg separadas una distancia de 2 m.

m1·m2F = G· d2

F = 8,3·10-6 N

2. Calcula el valor de la fuerza con que se atraen la Luna y la Tierra. Datos: mTierra = 5,98·1024 Kg, mLuna = 7,20·10

22 kg, dTierra-Luna = 3,84·108 m

La fuerza gravitatoria sólo es significativa cuando las masas son muy grandes (estrellas y planetas)

F = 2·1020 N

m1·m2F = G· d2

3. Calcula la fuerza de atracción gravitatoria que existe entre el Sol y la Tierra.Datos: mTierra = 5,98·10

24 kg, mSol = 1,99·1030 kg, distancia Sol-Tierra = 1,5·1011 m .

Datos DesarrollomTierra = 5,98·1024 kg

mSol = 1,99·1030 kg

dSol-Tierra = 1,5·1011 m

F = 3,53·1022 N

m1·m2F = G· d2

3.2. La aceleración de la gravedad y el peso de los cuerpos❏ Peso de un cuerpo: Es la fuerza con que la Tierra lo atrae. ➢ Según la 2ª ley de Newton: F = m·a ⇨ P = mcuerpo· g

➢ Según la ley de gravitación universal, para un objeto situado sobre la superficie de la Tierra:

➢ Por tanto, P = F

➢ Sustituyendo los valores de G, mTierra y RTierra:

g = 9,8 m/s2

Ejemplo 1. Aceleración de la gravedad y peso de los cuerpos

Calcula la fuerza con que la Tierra atrae a un cuerpo de 300 kg situado sobre su superficie. Datos: masa Tierra = 5,98·1024 kg; radio Tierra = 6370 km; G = 6,67·10-11 N·m2/kg2

Datos Desarrollo

mcuerpo = 300 kg 1ª forma:

mTierra = 5,98·1024 kg

radioTierra = 6 370 km = 6 370 000 m

G = 6,67·10-11 N·m2/kg2

F = 2 949 N

2ª forma: F = P = mcuerpo·g = 300 kg·9,8 m/s2 = 2940 N

❏ Objetos situados a una altura h sobre la superficie de la Tierra. ➢ La distancia de separación entre el objeto y la Tierra será: d = RT + h

siendo RT el radio de la Tierra y h la altura a la que se encuentra el objeto

➢ Por tanto,

El valor de g varía dependiendo de la distancia a la que se encuentre el objeto de la Tierra.

El peso de los cuerpos también depende de la distancia a la TierraP = m·g

Ejemplo 2. Aceleración de la gravedad y peso de los cuerpos Un satélite artificial de meteorología, de 500 kg, gira alrededor de la Tierra a 1200 km de altura. Calcula la fuerza que ejerce la Tierra sobre el satélite y el valor de la gravedad a esta altura. Datos: masa Tierra = 5,98·1024 kg; radio Tierra = 6370 km; G = 6,67·10-11 N·m2/kg2

Datos Desarrollo

msatélite = 500 kg

mTierra = 5,98·1024 kg

radioTierra = 6 370 km = 6 370 000 m

h = 1200 km = 1 200 000 m F = 3 480,2 N

G = 6,67·10-11 N·m2/kg2

g = 6,96 m/s2

❏ Objetos situados en diferentes puntos del Universo➢ El valor de la aceleración de la gravedad es distinto en los diferentes puntos del universo.

➢ Por tanto, el peso de un cuerpo depende del punto del universo en el que se encuentre

masa (kg) radio (m) g (m/s2)

Luna 7,35·1022 1 738 000 1,62

Mercurio 3,30·1023 2 440 000 3,70

Júpiter 1,90·1027 71 492 000 24,80

mcuerpo (kg) Peso (N)

Luna 60 97.2

Mercurio 60 222

Júpiter 60 1488

3.3. Unificación de las leyes terrestres y celestes➢ Antes de que Newton propusiera la ley de gravitación universal se creía que las leyes de la

Física eran sólo aplicables a los objetos que se encontraban en la Tierra. ➢ La ley de gravitación universal supuso la ruptura de la barrera cielo-Tierra.

➢ Las leyes de la Física se pueden aplicar en la Tierra y en el resto del universo.

➢ Se puede aplicar la ley de gravitación universal para calcular: - la fuerza de atracción entre los cuerpos celestes.- la aceleración de la gravedad en cualquier punto del universo.- la velocidad a la que giran los satélites naturales o artificiales.

➢ De esta forma Newton:- calculó las masas del Sol, la Tierra, la Luna y demás planetas. - explicó el fenómeno de las mareas.

3.4. Efectos de la fuerza gravitatoria❖ La fuerza gravitatoria puede tener 2 efectos:

1. Caída libre: un objeto cae con aceleración g porque la Tierra lo atrae.

2. Movimiento orbital: un objeto gira alrededor de otro. Ej. La Luna gira alrededor de la Tierra porque la Tierra la atrae.

¿De qué depende que en unos casos se produzca una caída libre y en otros un movimiento orbital?➢ Para responder a esta pregunta Newton ideó un experimento mental. ➢ Experimento del cañón de Newton:- Imaginó un cañón en la cima de una montaña muy alta (donde haya rozamiento con el aire). - Con este cañón se lanzan balas a distinta velocidad. Newton concluyó que:1. Si la velocidad es baja la bala realiza una parábola y cae. 2. Si la velocidad es muy alta (más de 11 km/s) la bala escapa

al campo gravitatorio terrestre. 3. Si la velocidad es 7,8 km/s la bala describe una parábola

con una curva similar a la del planeta y queda atrapado dando vueltas a su alrededor. (La velocidad que se le imprime a los satélites depende de la amplitud de la órbita que queramos que describa. Suelen estar comprendidas entre 9,3 y 10 km/s)

CONCLUSIÓN: La fuerza gravitatoria provoca una caída libre o un movimiento orbital según sea la velocidad del objeto.

4. SATÉLITES ARTIFICIALES

4.1. Movimiento y velocidad de los satélites❏ SATÉLITE: Cuerpo que gira alrededor de un planeta.

❏ VELOCIDAD ORBITAL: Velocidad con la que se desplaza el satélite en su órbita.

❏ La Tierra ejerce una fuerza de atracción gravitatoria sobre el satélite:

❏ El satélite describe una órbita circular, por tanto, la fuerza gravitatoria que actúa sobre el satélite es una fuerza centrípeta y debe responder a la expresión:

La distancia de separación entre la Tierra y el satélite es igual al radio de la órbita del satélite.

❏ Igualamos las dos expresiones obtenidas para F:

*

*rórbita = RT + h

Observa que la velocidad orbital:- no depende de la masa del

satélite.- es menor cuanto más lejos

esté el satélite de la superficie terrestre.

;

❏ PERIODO ORBITAL (T): tiempo que tarda un satélite en describir una órbita completa.

*Observa que 2·п·(RT+ h) es la longitud de la circunferencia que recorre el satélite.

Ejemplo velocidad y periodo orbital

Halla la velocidad y el periodo orbital de la Luna. Datos: masa Tierra = 5,98·1024 kg; distancia Tierra-Luna = 3,84·108 m; G = 6,67·10-11 N·m2/kg2

Datos DesarrollomTierra = 5,98·1024 kg

dTierra-Luna = 3,84·108 m

G = 6,67·10-11 N·m2/kg2

vorbital = 1020 m/s

T = 2 365 434,5 s = 27,4 días.

4.2. Aplicaciones de los satélites artificiales★ Observación de la Tierra:

poseen potentes cámaras orientadas a la superficie terrestre. ESto permite efectuar predicciones meteorológicas.

★ Observación del espacio: las observaciones astronómicas desde el espacio son más precisas que desde la superficie de la Tierra porque no se interpone la atmósfera terrestre.

★ Telecomunicaciones: Transmiten señales de televisión, de teléfono y de Internet.

★ Localización: El sistema GPS, sistema de posicionamiento global, consta de 24 satélites que cubren la superficie de la Tierra y se encuentran a una altura de 20 200 km. Mediante un pequeño receptor, nos permiten conocer nuestra posición exacta.

★ Fines militares: Los satélites militares fotografían la Tierra desde baja altura, de 250 km a 500 km, de forma que permiten distinguir objetos de hasta 10 cm.

➢ Satélites LEO (Low Earth Orbit): Orbitan la Tierra a una distancia de 160-2000 km.

➢ Satélites MEO (Medium Earth Orbit): Orbitan la Tierra a una distancia de unos 10000 km.

➢ Satélites HEO (Highly Elliptical Orbit): tiene órbitas elípticas.

➢ Satélites GEO (satélites geoestacionarios): - su velocidad de traslación es igual a la

velocidad de rotación de la Tierra por lo que se encuentran suspendidos en un mismo punto del globo terrestre.- Están a una distancia de 35800 km

sobre el ecuador de la Tierra.

4.3. Tipos de satélites según su órbita

4.4. Basura espacial

❏ Definición: son todos aquellos restos que se encuentran orbitando la Tierra resultantes de la actividad del ser humano en el espacio. La mayoría son:

- restos de satélites que han finalizado su vida útil.- distintas fases de los lanzamientos de naves espaciales como por ejemplo los tanques que

contienen el combustible.

- tornillos, chapas, cubiertas,.... y un guante que perdió un astronauta en un paseo espacial.

❏ Actualmente hay:- más de 12000 trozos de basura de hasta 10 cm de tamaño. - varios millones de trozos más pequeños, como motas de

pintura.

❏ Problemas generados por la basura espacial:➢ Las colisiones con grandes trozos de basura pueden inutilizar o destruir las naves

espaciales. ➢ Los fragmentos más pequeños también son peligrosos ya que debido a la gran velocidad a la

que se mueven actúan como proyectiles diminutos que pueden provocar grandes daños o amenazar a los astronautas durante sus paseos espaciales.

➢ Para los habitantes de la Tierra el riesgo de la basura espacial es muy bajo (la probabilidad de que te alcance un resto de basura espacial es mucho menor que la de que te alcance un rayo).

❏ Soluciones al problema de la basura espacial:➢ Entre las soluciones propuestas se encuentran:- P0ner en órbita un vehículo que recoja los restos espaciales de gran tamaño.- Alterar la trayectoria de los residuos para provocar su entrada en la atmósfera donde se

desintegrarían.

➢ Los satélites y naves enviadas en los últimos años cuentan con un sistema de autodesecho.

➢ Ninguno de estos proyectos soluciona el problema de los restos de tamaño reducido. Estos objetos resultan casi invisibles para los sensores y observadores espaciales pero pueden llegar a provocar serios daños en otros satélites y naves.

➢ El número de incidentes registrado es relativamente reducido, gracias, en gran parte, a la supervisión constante de los desechos espaciales y a los blindajes de los objetos enviados al espacio. No obstante, su existencia implica un riesgo que aumentará exponencialmente con el paso de los años.