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Tema 3: Ecuaciones de primer y segundo grado
Los árabes y el álgebra
Fuente propia
La palabra álgebra proviene del nombre de un tratado del matemático y astrónomo persa
Muhammad ibn Musa al-Khowarizmi, que vivió en el siglo IX. El libro lleva por título Al-
Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala y en él se presenta por primera vez una fórmula general
para resolver ecuaciones de primer y segundo grado.
Precisamente de ellas nos vamos a ocupar a lo largo de este tema, pero como ya las has
estudiado en cursos anteriores y constituyen materia de repaso, aprovecharemos para
profundizar en la relación que existe entre
la ecuación de primer grado, la función lineal y la recta
la ecuación de segundo grado, la función cuadrática y la parábola
El objetivo de este tema es que consolides lo que ya sabes y, por ello, recordaremos
también algunas técnicas de cálculo algebraico y las aplicaremos a la resolución de
problemas.
1. La ecuación de primer grado y la recta
Para comenzar, vamos a resolver un problema que te servirá para recordar muchas de las
cosas que has aprendido en cursos anteriores
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Fuente propia
Imagina que acabas de recibir de
tu abuela 50 € por tu
cumpleaños. Has decidido salir
con un amigo y gastarlos en
discos y libros. En la tienda ves
varios CD's y libros que te
gustan, pero tienes dudas sobre
qué comprar: si compras tres
libros de bolsillo y un CD, te
sobran 5 €; pero si compras
dos libros y dos CD's te faltan 4
€ que deberías pedirle prestados
a tu amigo.
Con esta información, vamos a averiguar cuánto cuesta cada CD y cada
libro.
Llama x al precio de un libro e y al precio de un CD y plantea la ecuación
que responde a la frase: si compras tres libros de bolsillo y un CD, te
sobran 5 €
La ecuación es
En unos ejes coordenados, representa la recta
Plantea la ecuación
correspondiente al resto de la
información
La ecuación es
En los mismos ejes coordenados,
representa la recta 2x + 2y = 54
Observa la gráfica y di cuánto
cuesta un CD y un libro
El libro cuesta 9 € y el CD 18
€
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Las ecuaciones de primer grado con dos incógnitas reciben el
nombre de ecuaciones lineales.
Acabamos de resolver el problema gráficamente y habremos observado
que: (completa las frases)
Una ecuación lineal tiene soluciones.
La representación gráfica de una ecuación lineal es una .
La solución de las dos ecuaciones corresponde al de de las dos rectas.
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Efectivamente, vemos que la última información es redundante y la nueva recta pasa por
el punto de corte de las otras dos.
Añadimos ahora la siguiente información:
El CD cuesta el doble que el libro
Escribe la ecuación y represéntala en los mismos ejes que las
ecuaciones anteriores. ¿Qué observas?
La representación gráfica de una ecuación lineal es una
línea
recta
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1.1. Posición relativa de dos rectas. Sistemas lineales
En el apartado anterior hemos visto que podemos hallar gráficamente la solución del
sistema dibujando las dos rectas que corresponden a cada ecuación lineal y observar en
qué punto se cortan.
Cambia los coeficientes de ambas ecuaciones con los deslizadores y observa lo que
ocurre.
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Las soluciones de la ecuación 2x + 2y = 54
Son el doble que las de x + y = 27Son las mismas que las de la ecuación x + y = 27
Las ecuaciones 3x + y = 45 y 2x + 2y = 54
Tienen dos soluciones en común, x = 9 e y = 18Tienen una única solución en común: x = 9, y = 18
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
es el conjunto formado por dos ecuaciones lineales con dos
incógnitas que han de verificarse simultáneamente:
Se llama solución del sistema al par de números que es
solución de ambas ecuaciones.
Piensa en qué posiciones pueden estar dos rectas en el plano, ¿siempre se cortarán?
¿Cómo relacionas la posición de las rectas con el número de soluciones del sistema?
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Podemos resumir nuestras conclusiones en el siguiente cuadro:
Situacióngráfica
Si dos rectasse cortan en unpunto
sonparalelas
son coincidentes
El sistemaes...
compatibledeterminado
incompatible compatible indeterminado
Interpretación
las coordenadas delpuntocomún coinciden conlasolución del sistema
no hayningúnpunto encomún
las coordenadas de lospuntoscomunescoinciden con lasinfinitas soluciones delsistema
Las rectas pueden ser paralelas y entonces no tendrán ningún
punto en común o pueden ser coincidentes y, en ese caso,
tendrán sus infinitos puntos en común
Clasificación de sistemas
Los sistemas de ecuaciones lineales, según su número de
soluciones, se clasifican en:
Compatible, cuando el sistema tiene alguna solución y
si no la tienen, incompatibles
Si tienen solución única, el sistema es
determinado
Si tienen infinitas soluciones, el sistema es
indeterminado
Incompatible, cuando el sistema no tiene solución
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Vuelve a la pantalla dinámica del comienzo del apartado y fíjate en los
coeficientes de las ecuaciones.
Rellena los espacios en blanco con las palabras "secantes", "paralelas"
o "coincidentes".
Si entonces las rectas son .
Si entonces las rectas son .
Si entonces las rectas son .
Como sabes, no siempre es fácil averiguar la solución de un sistema
simplemente con su representación gráfica.
Representamos las ecuaciones
lineales que constituyen el sistema:
Las rectas se cortan, pero ¿dónde?
Es necesario un método que nos
proporcione la solución de manera
exacta.
Conocemos tres métodos
algebraicos para resolver sistemas
lineales.
Aplica cada uno de ellos para resolver el sistema.
Método de sustitución:
Despejamos una incógnita en una de las ecuaciones.
Sustituimos su valor en la otra ecuación y la resolvemos.
Calculamos el valor de la otra incógnita.
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Método de igualación:
Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones.
Igualamos las expresiones y resolvemos la ecuación resultante.
Calculamos el valor de la otra incógnita.
Método de reducción:
Multiplicamos las ecuaciones por los números que convenga para
igualar los coeficientes de una de las incógnitas.
Sumamos o restamos las ecuaciones para eliminar una de las
incógnitas y resolvemos la ecuación resultante.
Calculamos el valor de la otra incógnita.
Resuelve los siguientes sistemas por el método que consideres más
apropiado:
a) b) c) d)
a. Los métodos más adecuados son el de sustitución y el
de reducción. La solución es x = 2, y = -3.
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1.2 Técnicas para resolver ecuaciones
En esta ocasión vamos a recordar algunas técnicas para resolver
ecuaciones de primer grado con alguna dificultad.
En otros cursos seguramente habrás cometido errores a causa
de los denominadores, paréntesis, signos negativos delante de
una fracción, ecuaciones sin solución o ecuaciones que, en
realidad, son identidades.
A través de los ejemplos iremos revisando cada uno de estos
casos.
b. El método más adecuado es el de reducción. La
solución es x = 8, y = 5.
c. Multiplicar la primera ecuación por 6. El sistema no tiene
solución.
d. Multiplicar la primera ecuación por 3. El sistema tiene
infinitas soluciones.
¿Sabías que?
Al-jabr w'al-muqabala significa transposición y eliminación. Por
transposición (al-jabr) se entiende transferencia de términos al
otro miembro de la ecuación, y por eliminación (al-muqabala) la
cancelación de términos iguales en ambos miembros.
Ecuaciones con denominadores
Resolvamos la ecuación:
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Presta atención a los pasos que vamos a dar para ir obteniendo
ecuaciones equivalentes cada vez más sencillas hasta despejar la
incógnita:
Quitar denominadores. Para ello, se multiplican los dos
miembros de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los
denominadores:
Quitar paréntesis:
Reducir, transponer términos y despejar la incógnita:
Comprobar la solución sustituyéndola en cada miembro de la
ecuación inicial.
Ahora tú. Resuelve:
Multiplica los dos miembros por 15 y simplifica:
Opera los paréntesis: ¿Habías escrito
-35? ¡Cuidado!
Resuelve la ecuación:
Fotografía de French Riviera bajo licencia de
Ecuaciones con
denominadores y paréntesis
Resolvamos la ecuación:
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Algunas ecuaciones especiales
Existen expresiones que parecen ecuaciones de primer grado y que, sin embargo, no
tienen solución o tienen infinitas soluciones.
Otras parecen de segundo grado, pero al operar, se eliminan términos y en realidad son
de primer grado.
Veremos algunos ejemplos, pero antes presta atención:
flickr
Quitar paréntesis y corchetes hasta obtener una expresión
donde sólo haya sumas y restas de fracciones:
Quitar denominadores:
Reducir y transponer términos:
Practica un poco y resuelve:
Quita paréntesis y reduce:
Quita denominadores y reduce:
Haz la transposición de términos y despeja:
No hay ningún valor de x que cumpla que
0x=b, con b≠0
por tanto esta ecuación no tiene solución
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Cualquier valor real de x cumple que
0x=0
por tanto, esta ecuación tiene infinitas soluciones. Es una
identidad.
Ecuaciones sin solución
Recuerda las identidades notables.
Quitamos paréntesis:
Operamos:
Quitamos denominadores y transponemos términos:
absurdo
La ecuación no tiene solución.
Resuelve:
No tiene solución
Ecuaciones con infinitas soluciones
Quitamos paréntesis:
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1.3 Resolución de problemas
Plantear una ecuación a partir del enunciado verbal de un problema supone traducir a
lenguaje algebraico la información que nos viene dada en forma de datos conocidos y lo
que se desea conocer. Para ello, deberemos hacer una lectura comprensiva del enunciado,
es decir, tendremos que
identificar los datos conocidos y lo que queremos averiguar. Daremos nombre a
las incógnitas,
plantear las ecuaciones que relacionan los datos y las incógnitas,
resolver la ecuación o el sistema de ecuaciones,
validar las soluciones ajustándolas al contexto del problema.
En los ejemplos que vamos a desarrollar comprobarás que un mismo problema se puede
enfocar de distintas formas o plantear con una o dos incógnitas.
Operamos: Esta igualdad se
cumple siempre.
La ecuación tiene infinitas soluciones, es una identidad.
Resuelve:
Infinitas soluciones.
La ecuación es una identidad.
Una mañana soleada de
domingo Laura y Javier salen de
paseo en bicicleta desde Cáceres
y han quedado con unos amigos
de Plasencia, que está a 78 km,
para almorzar en el punto de
encuentro. La hora fijada para
salir son las 9 de la mañana.
Laura y Javier llevan una
velocidad de 21 km/h y sus
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Fuente propiaamigos pedalean a una velocidad
media de 15 km/h. ¿A qué hora se encontrarán? ¿Cuántos kilómetros
habrán recorrido cada uno de ellos?
Planteamiento A
Llamamos x a la distancia recorrida por Laura y Javier e y a la distancia
recorrida por los amigos de Plasencia entonces, la primera ecuación es
Si tenemos en cuenta que el tiempo que transcurre hasta que se
encuentran es el mismo para todos, podemos escribir
Resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones
obtenemos que son los kilómetros recorridos por Laura y
Javier en , luego han recorrido los amigos
de Plasencia en el mismo tiempo,
Planteamiento B
Llamamos al tiempo que tardan en encontrarse.
Laura y Javier habrán recorrido y sus amigos , por tanto,
, que es una sencilla ecuación de primer grado.
A partir de este dato se hallan las distancias que han recorrido cada
uno:
los de Cáceres y los de Plasencia
Planteamiento C
La velocidad a la que se aproximan los ciclistas es
.Como tienen que cubrir una distancia de 78 km, eso les llevará un
tiempo de
Practica con un problema similar
Otro domingo Laura y Javier quedan con otros amigos de Cáceres para
dar otro paseo en bici. Como saben que son más rápidos, les dicen
que salgan a las 9:30 y ellos lo harán media hora más tarde. Cuando
les alcanzan, en el kilómetro 20, ven que han llevado una velocidad
media de 24 km/h y, mirando el reloj, les preguntan "¿A qué velocidad
habéis ido?" Y los amigos responden: "Tenéis todos los datos para
averiguarlo vosotros solos".
Averigua qué tiempo les costó a Laura y Javier alcanzar a sus
amigos: 50 min
Averigua la velocidad que llevaban sus amigos:15 km/h
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En la conversación, salió el tema de las notas de matemáticas: en la
clase de Laura la media del último examen fue de 6,25 y en la de Javier
de 5,4. Comentaron también que la media de los dos grupos fue de
5,8. Los amigos preguntaron cuántos alumnos había en cada grupo ,
pero ellos sólo dijeron "Bueno, en total somos 51" ¿Podrías dar tú la
respuesta?
Completa los datos de la tabla y fíjate que el problema lo puedes
plantear con una o dos incógnitas:
Con una incógnita Con dos incógnitas
Nº
alumnosNotamedia
Totalpuntos
Nº
alumnosNotamedia
Totalpuntos
Laura x 6,25 Laura x 6,25
Javier 5,4 Javier y 5,4
Total 51 5,8 Total 51 5,8
Con una incógnita el planteamiento sería: + =
Y con dos incógnitas: + =
+ =
La solución es: El grupo de Laura tiene alumnos y el de Luis
Laura y Javier habían quedado en llevar frutos secos. Habían pensado en
almendras y avellanas, pero eran caras, salían a 3 € los 100 gr.
Decidieron hacer una mezcla con cacahuetes que estaban a 0,60
€/100gr y así rebajaban el precio a 2,20 €/100gr. Se gastaron 6,60 €.
¿Qué cantidad compraron de cada clase?
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2 La ecuación de segundo grado y la parábola
Empezaremos este capítulo, en el que haremos un repaso de las ecuaciones de 2º grado,
con un problema de cinemática en el que se estudia conjuntamente un movimiento
uniforme y un movimiento uniformemente acelerado.
Cantidad (100gr)
Precio (€/100gr)
Valor(€)
Almendras yavellanas
Cacahuetes
Mezcla
El planteamiento es:
( + ) =
+ =
La solución es: Compraron gr de almendras y avellanas y gr de
cacahuetes
Esta vez Javier y Laura están en el laboratorio de física observando el
movimiento de dos cuerpos, que llamaremos A y B, sobre una recta
horizontal. Los observadores están situados en la posición inicial
(distancia 0 e instante 0)
Toman los siguientes datos:
Cuerpo A Cuerpo B
t(s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t(s) 0 5 15
e(cm) 20 29 36 41 44 45 44 41 36 29 20 e(cm) 95 45 -55
En unos mismos ejes coordenados, dibuja las gráficas que
corresponden a cada movimiento.
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De la misma forma que existe una clara conexión entre las ecuaciones de primer grado y
las funciones lineales, cuya gráfica es una recta, existe también entre las ecuaciones de
segundo grado y las funciones cuadráticas. Recuerda:
Fíjate en las características de cada una de las gráficas. ¿Qué tipo de
movimiento lleva cada uno de los cuerpos?
El cuerpo A lleva un movimiento uniformemente acelerado y su
gráfica describe una parábola.
El cuerpo B lleva un movimiento uniforme y su gráfica describe
una recta.
La ecuación del movimiento del cuerpo A es
y la del cuerpo B es
¿Dónde se cortan las dos gráficas?¿Qué significado tienen?
Se cortan en los puntos (5, 45) y (15, -55), es decir, a los 5
segundos y a los 15 segundos los dos cuerpos se encuentran,
están en la misma posición.
Una función cuadrática es una función polinómica de
segundo grado cuya expresión general es ,
siendo y números reales y .
La representación gráfica de una función cuadrática siempre es
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Una parábola es una curva simétrica respecto a una recta que se llama eje de simetría.
Este eje divide la gráfica en dos ramas que pueden ir
hacia arriba, si o
hacia abajo, si
En el primer caso la función presenta un mínimo y en el segundo caso un máximo en un
punto que se llama vértice de la parábola.
Al dibujar una parábola se pueden dar estas tres situaciones:
Es decir,
la parábola puede cortar al eje OX en dos puntos, en uno o en ninguno o, lo que
es lo mismo:
la ecuación puede tener dos soluciones, una o ninguna.
Recuerda:
una parábola.
Fórmula general para resolver una ecuación de segundo
grado:
donde se llama discriminante. Entonces:
Si , la ecuación tiene dos soluciones.
Si , la ecuación tiene una solución
doble.
Si , la ecuación no tiene solución.
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Mueve los deslizadores y observa cómo cambia la gráfica. Fíjate bien en
los valores de cada uno de los coeficientes.
Selecciona las frases que consideres ciertas.
Al variar el coeficiente cambia el punto de corte con eleje OY.
El coeficiente sólo afecta a los puntos de corte con el ejeOX
Si es negativo las ramas de la parábola van hacia abajo.
Al variar cambian los puntos de corte con los ejes y laposición del vértice.
El coeficiente señala el punto de corte con el eje OY.
Vamos a profundizar un poco más en el significado de las soluciones de
una ecuación de segundo grado.
Resuelve la ecuación
¿Qué significado podemos dar a estas soluciones?
Las soluciones son x = 1 y x = 4. Podemos decir que son los
puntos de corte de la parábola con el eje OX.
Escribe una función polinómica de 2º grado que corte al eje OX en los
puntos A(1, 0) y B(4, 0).
¿Existe más de una parábola que tenga como puntos de corte con el
eje OX los puntos A(1, 0) y B(4, 0)?
Una ecuación de 2º grado con soluciones x = 1 y x = 4 es
siendo cualquier número real, por tanto,
existen infinitas parábolas que corten al eje OX en esos puntos,
tantas como valores de .
Halla los puntos de corte con el eje OX de la parábola .
En unos mismos ejes coordenados, dibuja las parábolas
e
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En esos mismos ejes, dibuja las parábolas e
Todas las parábolas son de la
forma
, por tanto, todas cortan al eje
OX en y .
Recuerda y observa que el coeficiente es el que determina las
ramas de la parábola
La ecuación
Tiene dos soluciones x1 = 5 y x2 = 1Tiene una única solución doble, x = 3
Resuelve las siguientes ecuaciones y rellena los espacios en blanco:
La ecuación tiene solución
La ecuación tiene solución
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2.1 Posiciones relativas de rectas y parábolas. Sistemas
Posición relativa de una recta y una parábola.
La parábola ,
No corta al eje OX
Corta al eje OX en dos puntos x1 = -1 y x2 = 4
Para determinar una parábola son necesarios
Dos puntos
Tres puntos
El vértice y otro punto
Cuando en el apartado anterior hemos estudiado
el movimiento de los cuerpos A y B, hemos
utilizado las gráficas de las ecuaciones para
averiguar el instante en que los dos cuerpos se
encontraban.
Para dar una respuesta exacta debemos resolver
el sistema formado por las dos ecuaciones:
En este caso se trata de un sistema no lineal.
Resuélvelo por igualación.
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Hemos visto un caso en que una parábola y una recta se cortaban en dos puntos. A
continuación vamos a estudiar en qué otras posiciones pueden estar y cómo podemos
averiguarlo algebraicamente.
De los ejemplos anteriores deducimos que las posiciones relativas de recta y parábola
son:
Dibuja la parábola
Para ello, averigua el vértice, los puntos de corte con los ejes
coordenados y haz una pequeña tabla de valores.
Recuerda que el vértice de la parábola puedes hallarlo sabiendo
que si la ecuación de la función cuadrática es , el
vértice tiene coordenadas donde
Los puntos de corte con el eje OX son el resultado de la ecuación
En los mismos ejes coordenados, dibuja la recta
¿Cuántos puntos de corte tienen la recta y la parábola?
La recta y la parábola se cortan en un punto, son tangentes en el
punto de abscisa
Repite el ejercicio anterior con la
parábola y la recta
En este caso no hay puntos de
corte, la recta es exterior a la
parábola
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Secantes Tangentes Exteriores
Sabemos que no siempre gráficamente podemos saber con exactitud cuáles son los
puntos de corte. Para ello es necesario un método algebraico, tenemos que resolver el
sistema formado por las dos ecuaciones
El método que emplearemos será el de igualación o sustitución. Así obtendremos una
ecuación de segundo grado que podrá tener dos soluciones, una o ninguna y que darán
lugar, respectivamente, a las posiciones estudiadas anteriormente.
Resuelve algebraicamente los sistemas
y comprueba las soluciones con
las que has obtenido gráficamente.
El primer sistema tiene una única solución: x = 2, y = 2
El segundo sistema no tiene solución
Fíjate en este sistema: . En
realidad no es sólo un sistema, sino un
conjunto de sistemas con algo en común.
Tendremos tantos sistemas como valores
demos al parámetro .
Todos ellos representarán la intersección de
una parábola con una recta y serán
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Posición relativa de dos parábolas.
A continuación vamos resolver sistemas con dos ecuaciones de segundo grado y veremos
cuál es su interpretación geométrica.
Fotografía anónima bajoLicencia Flickr
secantes, tangentes o exteriores
dependiendo del valor de .
Resolvemos el sistema como hemos hecho
hasta ahora. Por igualación, obtendremos
Si el sistema tiene dos
soluciones parábola y recta secantes.
Si el sistema tiene
una solución parábola y recta tangentes.
Si el sistema no tiene
solución parábola y recta exteriores.
Halla razonadamente el valor de para el cual la recta es
tangente a la parábola
Es tangente para , y el punto de tangencia es (-1, -3).
Resuelve algebraicamente los sistemas:
a) b) c)
a) Dos soluciones: b) Una
solución c) No hay solución
Representa gráficamente los sistemas y comprueba las soluciones
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Podemos resumir nuestras conclusiones en:
Las parábolasson...
secantes tangentes exteriores
Situacióngráfica
Si lasparábolas ...
se cortan en 2puntos
se cortan en 1punto
se cortan en 1punto
no secortan
El sistema ...tiene 2soluciones
tiene 1solución
tiene 1solución
no tienesolución
Resuelve algebraicamente los sistemas:
a) b)
a. Una única solución: x = -2; y = 20
b. Dos soluciones: x1 = 2; y1 = 3 x2 = -2; y2 =3
¿Para qué valores de , las parábolas e
tienen un único punto en común?
El discriminante es , por tanto, para y para
las parábolas serán tangentes, con puntos de tangencia
(1, 3) y (-1, -1), respectivamente.
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2.2 Otras ecuaciones
Hay problemas que se resuelven planteando ecuaciones que no son ni de primer ni de
segundo grado pero que, haciendo las transformaciones adecuadas, podemos resolverlos
con las herramientas que ya conocemos.
Ejemplo de ecuación bicuadrada
De un recinto rectangular sabemos que tiene una superficie de 48m2 y
que sus diagonales miden 10 m. Hallaremos sus lados.
Planteamos el sistema
Sustituimos en la segunda ecuación:
Si te fijas, esta ecuación tiene tres términos, el grado del primero es el
doble del segundo y el término independiente: tiene la misma
estructura que una ecuación de segundo grado. Observa:
Hacemos un cambio de variable para facilitar el cálculo: , entonces
es una ecuación de segundo grado y sus soluciones son:
Hallamos los valores de :
Si
Halla tú el resto de las soluciones. ¿Son todas válidas en el contexto
del problema?
Si
Como las incógnitas se refieren a una medida, las soluciones
negativas no tienen sentido.
Resuelve las ecuaciones siguientes: a) b)
a) b) No tiene solución
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Una ecuación bicuadrada es una ecuación de 4º grado a la
que le faltan los términos de grados 3 y 1. Su expresión
algebraica es:
Para resolverlas se suele hacer un cambio de variable
Completa los espacios en blanco
Una ecuación bicuadrada puede tener un máximo de soluciones.
¿Puede tener tres soluciones?:
Si después de hacer el cambio de variable,
la ecuación de segundo grado tiene una solución negativa y
una positiva, la ecuación bicuadrada tiene soluciones.
la ecuación de segundo grado tiene dos soluciones
negativas, la ecuación bicuadrada tiene solución.
Se llaman ecuaciones irracionales aquellas en que la
incógnita aparece en alguno de sus términos bajo el signo
radical.
Desarrollaremos un par de ejemplos para ver cuáles son los pasos a
seguir y las principales dificultades que nos podemos encontrar.
1. Resolvamos
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Fuente propia
La primera idea que podemos tener es
elevar al cuadrado los dos miembros de
la ecuación para eliminar esa raíz tan
molesta, pero ¡cuidado!, si lo hacemos
sin despejar el término irracional mira lo
que ocurre:
¡No hemos conseguido eliminar la raíz!
Por ello,
1º Aislamos el radical en uno de los miembros de la ecuación:
2º Elevamos al cuadrado los dos miembros:
3º Operamos y resolvemos la ecuación obtenida:
Ahora bien, si A=B, entonces A2=B2. Esto es evidente, pero su
recíproco no es cierto, es decir: si A2=B2 no siempre A=B, ya que
podría ser también A=-B.
Por tanto, en el 2º paso hemos podido generar soluciones falsas:
4º Comprobamos las soluciones en la ecuación original:
Para solución válida.
Para
solución falsa
2. Resolveremos ahora una ecuación con dos radicales:
1º Aislamos uno de los radicales:
2º Elevamos al cuadrado los dos miembros:
3º Aislamos el otro radical:
4º Elevamos al cuadrado los dos miembros:
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2.3 Resolución de problemas
En este apartado vamos a abordar unos cuantos problemas en los que aplicaremos las
técnicas de resolución de ecuaciones que hemos aprendido a lo largo del capítulo.
Recuerda que debes
leer con atención el enunciado y enterarte bien de:
qué datos se dan,
qué magnitudes de valor desconocido (incógnitas) se mencionan,
qué relaciones deben cumplir unas y otras.
5º Operamos y resolvemos la ecuación:
.
6º Comprobamos las soluciones: Para ¡es
solución!
Para ¡no es solución!
Recuerda:
Si al resolver alguna ecuación necesitamos pasar de la igualdad
A(x) = B(x) a la igualdad [A(x)]2 = [B(x)]2 , entonces
debemos comprobar en la primera las soluciones que se
obtengan para esta última.
Resuelve: a) b)
a) Una solución: x = 2 b) No tiene solución
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Fuente propia
El grupo de Javier y Laura están
planeando un viaje a Francia. El
autobús les cuesta 3000 €. Hay
cinco compañeros, que no se
han apuntado todavía, a los que
tratan de convencer porque de
esta manera se ahorrarían 30 €
cada uno.
Las incógnitas son:
x: número de alumnos
apuntados al viaje
y: precio del viaje por alumno
Planteamiento:
Son ecuaciones de segundo grado, por tanto se trata de un sistema
no lineal que tendremos que resolver despejando de la primera
ecuación una de las incógnitas y sustituyendo en la segunda.
La única solución válida, en el contexto del problema, es
alumnos están apuntados al viaje y les sale por un precio de
€ a cada uno.
Si convencen a cinco compañeros más pagarían 120 € cada uno.
Practica con este problema:
El fin de semana pasado Laura y Javier estuvieron invitados en casa de
unos amigos de Borja y el domingo salieron con las bicis hacia
Montánchez, en la provincia de Cáceres. La distancia no era mucha, 45
km, pero prácticamente todo el camino cuesta arriba. El premio fue que
la vuelta fue todo cuesta abajo, así pudieron ir a una velocidad 10Km/h
superior a la de la ida y tardaron 1h12min menos.
Calcula las velocidades y el tiempo empleado tanto a la ida como a la
vuelta.
Las incógnitas son la velocidad media de ida y el tiempo
empleado .
Deberás pasar 1h12min a horas:
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El planteamiento: Operando como en el
ejemplo anterior se obtiene
La única solución válida es .
A la ida fueron a 15 km/h y les costó llegar 3 h. Volvieron a una
velocidad de 25 km/h y les costó 1h48min.
Vamos a averiguar las dimensiones de una hoja de papel rectangular
sabiendo que si dejamos unos márgenes laterales de 2,5 cm y unos
márgenes inferior y superior de 1,5 cm obtenemos 432 cm2, la misma
superficie escrita que si dejamos unos márgenes laterales de 1,5 cm y
los márgenes superior e inferior son de 3cm.
Planteamos el sistema:
Desarrollamos cada una de
las ecuaciones:
las restamos y despejamos
Ahora sustituimos:
Resuelve la ecuación y di qué dimensiones tiene la hoja de papel.
La única solución válida es de ancho. Entonces,
.
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Una autopista pasa muy
cerca dos poblaciones pero
todavía no se ha construido
el acceso a ella.
Queremos encontrar un
punto P de acceso común
de tal manera que las
distancias de dichas
poblaciones al punto de
acceso sea la misma.
Los datos se muestran en el
dibujo.
Si llamamos a uno de los catetos de los triángulos rectángulos y
aplicamos el teorema de Pitágoras:
Aplica el método de igualación y resuelve el sistema.
La distancia de ambas poblaciones al punto de acceso P es,
aproximadamente, 7,211 km.
¿Cómo debe doblarse en ángulo recto un tubo de acero de 23 cm de
longitud, de modo que sus extremos queden a 17 cm de distancia?
En dos trozos de 8 y 15 cm.
Para finalizar, te proporcionamos una colección de ejercicios
que debes hacer para consolidar lo que has aprendido a lo
largo de este tema.
Ejercicios de consolidación
Soluciones
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