8/17/2019 Tema 3 Analisis de Flujo de Carga
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Tema 3: Análisis de flujo de carga
TEMATICA
1 Descripcion del problema de flujo de arga
2 Definicion de las variables y marco de analisis
3 Tecnicas de Analisis
3.1 Exactas3.1.1 Gauss-Seidel
3.1.2 Newton-Rapshon
3.1.3 Newton-Rapshon Desacoplado Rapido
3.1.4 Inyeccion de corrientes
Analisis comparativo
3.2 Aproximadas
3.2.1 Metodo de Corriente continua
3.2.2 Metodo de la caida de tension
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Tema 3: Análisis de flujo de carga
c
2
Carga de resistencia constante V * comportamiento lineal
Carga de Potencia Constante V *
pero * ,
luego: * * * 0 relación no
→ =
+
= +
=
= + → − + =
c
c l
l c
c c
cl c c c c l
c
RV
R R
R I V
P V I
PV R V V V V P R
V lineal.
Problema de flujo de cargaObjetivo: partiendo de una condición de demanda y de generación conocida, se determina elcomportamiento de la red en términos de tensiones y flujos de potencia.
A fin evaluar:
Acciones de control sobre la red.
Efectos de cambios topológicos en el sistema.
Impacto de dispositivos reguladores de tensión y potencia.
Efectos de cargas. Requerimientos de reactivos.
Fundamental en la toma de decisión a nivel de acciones en la operación de redes eléctricas y en laplanificación de sistemas eléctricos.
Base de calculo en otros estudios de interés : Fallas, estabilidad transitoria, dinámica, estabilidadde voltajes, etc.
En principio se asume un sistema trifásico balanceado: se evalúa la red de secuencia positiva.De naturaleza no lineal: Cargas en términos de potencia
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Tema 3: Análisis de flujo de carga
Modelamiento estático: La red se representa por un conjunto de ecuaciones algebraicas. Con el propósito de obtener elestado de operación en régimen permanente. Comportamiento dinámico no es considerado: seevalúa la red en una particular condición de demanda :
Uso del Análisis de Flujo de carga: Empleado tanto en estudios de operación como de planificación de redes eléctricas.
A nivel de operación: estudios de seguridad de red aplicando análisis de contingencia: estudiodonde se evalúan un conjunto posibles de contingencias y estas se ponderan en función de su
severidad en términos de la magnitud de los limites operativos violados. Continencia: evento conalgún grado de riesgo sobre la red
A nivel de Planeación: se emplea para evaluar acciones de expansión de la red eléctrica con elpropósito de satisfacer adecuadamente el aumento pronosticado de la demanda.
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Tema 3: Análisis de flujo de carga
Por el algoritmo empleado o método de solución: La naturaleza del problema define el algoritmo a emplear. Según la naturaleza delproblema, la solución puede ser:
Simple en la programación de tal manera que sea fácil de mantener en el tiempo.
Programación estructurada, programación orientada a objeto, etc.
Simplicidad
Habilidad para la incorporación de características especiales como nuevas variables
de control, optimización de variables y mejoras de convergencia numérica.
Versatilidad
Problemas mal condicionados. Análisis de casos múltiples. Análisis en tiempo realConfiabilidad
Redes de grandes dimensiones. Computadoras con limitado recurso de memoriaPequeño espacio de
almacenamiento
Análisis de grandes redes eléctricas > 1000 nodos. Análisis en tiempo real .
Análisis de casos múltiples
Alta velocidad
Requerida en:Característica
Características del programa:
Casos multiplesCasos Simples
Fuera de líneaEn línea
Con control de LimitesSin control de limites
AproximadaPrecisa
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Tema 3: Análisis de flujo de carga
Tipos de barras. Caracteristicas
IncognitaDatoTipo de barra
PQDe Carga
PV
SlackDe Generacion 0espV ∠∠∠∠ gen gen genS P jQ= ±= ±= ±= ±
en y esp P V y genQ δ δδ δ
arg arg arg c a c a c aS P jQ= += += += + i iV δ δδ δ ∠∠∠∠
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Tema 3: Análisis de flujo de carga
Datos del problema:1 Condición de carga.
2 Potencias activas especificadas en las barras de generación (excepto en barra Slack)
3 Tensiones controladas en las barras de generación.
4 Fasor de tensión en la barra de generación de referencia (slack, swing):
Restricciones:
Equilibrio Energético:
Límites de reactivos :
Incógnitas:
Barras de Carga (PQ)
Barras de generación (PV)
i i i
i
V V δ
δ
= ∠ →
→
0oslack espV V = ∠
arg
sistema
generada pérdidas c aP P P= +∑ ∑
min maxgQ Q Q≤ ≤
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Tema 3: Análisis de flujo de carga
Método de Gauss – Seidel
1 11 12 1 1
2 2 1 2 2 2 2
1 2
..
..* *
: : : .. .. :
D onde :
Ve ctor de inyeccion es netas de corr iente .
M atriz de Adm itancia nodal de sec. +
V ector de tens iones nod ales .
En té rminos de p
= → =
=
=
=
n
n
n n n n n n
I Y Y Y V
I Y Y Y V I Y V
I Y Y Y V
I
Y
V
*
1
1
11 1 2 1 1*
22 1 22 2 2
2
1 2*
otencia neta inyectada (dato cono cido) se tiene:
..
..* p rob lem a no lineal
: : .. .. ::
= →
n
n
n n n n n
n
n
S V
Y Y Y V
S Y Y Y V V
Y Y Y V S
V
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Tema 3: Análisis de flujo de carga
Gauss Seidel (Continuación)
Conjunto de ecuaciones lineales que se resuelven mediante cálculos iterativos partiendode un vector de arranque de tensiones.
¿Cuántas Ecuaciones? ¿Cuál Vector de Arranque? ¿Qué criterio de Paro? ¿Método deGauss o de Gauss-Seidel?
*
1
*
1
*
1 1
: * *
1 : *
1 g : * *
=
≠
=
≠
+ +
= +
= −
= − +
∑
∑
ni
ii i ij j
ji
j i
ni
i ij j
jii i j i
k k k ii ij j ij jk
jii i
S A s í e n to n c e s Y V Y V
V
S L u e g o V Y V
Y V
S D e fo r m a e n é r ic a V Y V Y V Y V 1 1
= = +
≠ ≠
∑ ∑ z n
j z j i j i
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Tema 3: Análisis de flujo de carga
Ejercicio 3.1
Para la red que se muestra aplique una
Iteración del método de Gauss-Seidel.
0,85 – j 7,48
1.41 – j 10,33
0,85 – j 7,04
0,22 – j 4,99
j 0,10,015 + j 0,132 j 3,80,08 + j 0,7100L4
0,013 + j 0,095
0,017 + j 0,14
0,009 + j 0,2
j 3,6
j 3,4
j 3
L
(klm)
Linea
j 0,0950,07 + j 0,5100L3
j 0,1350,06 + j 0,5150L2
j 0,0950,04 + j 0,9120L1
J0,0625
Z
(0/1)
-j16 j 7,512013,8/230Tx1
Y
(0/1)
Z
(%)
Sn
(MVA)
Vn
(kV)
Tx
1
/
l Z
KlmΩ
1
/
sY
S Klm µ µµ µ
1
(0/1)
l Z 1
(0/1)
l Y 1 0,5
(0/1)
sY
13,8 kV barra 1
Vbase
529 ohm100 MVA
Zbase (230 kV)Sbase
00PQ3
1Slack1
2040PQ2
1020PQ4
30
P carga
MW
Q gmax
MVAR
15
Q carga
MVAR
5
Barra
PQ
Q gmin
MVAR
Pgen
MW
Vpro
(0/1)
Tipo
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Tema 3: Análisis de flujo de carga
La matriz Ybus es:
Vector de Arranque:
Un vector de arranque adecuado conviene sea lo mas cercano a lo solución. Este puede ser la solución del sistemaen un estudio anterior que difiera poco del que se ejecuta, o en su defecto el vector plano de tensiones a saber:
Criterio de Paro:
En una corrida normal:
- 1,41 + j 10,332,26 – j 17,610- 0,85 + j 7,4804
5
3
2
1
Barra
- 0,85 + j 7,0401,07 – j 11,8- 0,22 + j 4,990
2,26 – j 17,14- 1,41 + j 10,33- 0,85 + j 7,0400
0- 0,85 + j 7,48- 0,22 + j4,991,07 – j 28,28 j 16
000 j 16-j 16
54321
1 1 -2 -4
o o
a) por convergencia cuando: : 1*10 1*10
o
b) por divergencia cuando: n de iteraciones > n maximo de iteraciones
k k
i iV V dondeξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ + ++ ++ ++ +
− < <
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Tema 3: Análisis de flujo de carga Solución ( para la primera iteración)
Finalizado el primer ciclo de cálculo se tiene:
El mayor error es : 0,0327. Si la tolerancia pre-establecida ubiese sido por ejemplo: 0,01 , se repetiría el ciclo de cálculo , peroempleando el nuevo vector de tensiones calculado. Este proceso iterativo continuaría hasta obtener una solución cuyo mayor error fuese
menor a la tolerancia en cuyo caso se ha obtenido la solución del problema, o en caso contrario por máximo numero de ciclos oiteraciones de cálculo establecido sistema diverge matemáticamente.
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( ))))
(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( ))))
(((( ))))
*
1
2
*
1
3
1
4
1 0, 4 0,2 16 0, 22 4,99 0,85 7,48
1,07 28, 28
1 00,22 4,99 0,85 7,04
1,07 1
1 0 0,99 0,812
0,99 0,812 11,8
1
2
1 0 1 0
,01 0,
, 26 17,6
1 0
1 01 0
1
465
jV j j j
j
V j j j
V j
− −− −− −− − = − + − + + − + == − + − + + − + == − + − + + − + == − + − + + − + =
−−−−
= − − + + − + == − − + + − + == − − + + − + == − − + + − + =
−−−−
∠ ∠∠ ∠∠ ∠∠ ∠∠∠∠∠
∠∠∠∠∠∠∠∠
−−−−====−−−−
∠ ∠ −∠ ∠ −∠ ∠ −∠ ∠ −
∠ − ∠ −∠ − ∠ −∠ − ∠ −∠ − ∠ −
(((( )))) (((( ))))(((( ))))
(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( ))))
*
*
1
5
0,2 0,1 0,85 7,48 1, 41 10,33
1 0,3 0,150,85 7,04 1,41 10,33
2, 26 17,
0,99 0,812 0,999 1,01
1,01 0,465 0,999 1,01 1
1 01 0
,006 44 1 01
1,8
j j j
jV j j
j
−−−− − − + + −− − + + −− − + + −− − + + − ∠∠∠∠+ =+ =+ =+ =
− −− −− −− − = − − + + − + == − − + + − + == − − + + − + == − − + + − + =
−−−−
∠∠∠∠
∠ − ∠ −∠ − ∠ −∠ − ∠ −∠ − ∠ −
∠ − ∠ − ∠ −∠ − ∠ − ∠ −∠ − ∠ − ∠ −∠ − ∠ − ∠ −
∠∠∠∠
[[[[ ]]]]
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
1 1 0
1 2 2
2 1 01 1 3 3
3 1 0
1 4 4
4 1 0
1 5 5
5
1 00,99 0,812 1 0
0,99 0,8121,01 0,465 1 0
1,01 0,4650,999 1,01 1 0
0,999 1,011,006 1,84 1
1,006 1,84
V V V
V V V
V V V V V
V V V
V
∠∠∠∠ ∠ − − ∠∠ − − ∠∠ − − ∠∠ − − ∠−−−−
∠ −∠ −∠ −∠ − ∠ − − ∠∠ − − ∠∠ − − ∠∠ − − ∠−−−− = = ∠ − → ∆ = == = ∠ − → ∆ = == = ∠ − → ∆ = == = ∠ − → ∆ = =
∠ − − ∠∠ − − ∠∠ − − ∠∠ − − ∠−−−− ∠ −∠ −∠ −∠ − ∠ − − ∠∠ − − ∠∠ − − ∠∠ − − ∠−−−− ∠ −∠ −∠ −∠ −
0,0173
0,0129
0,0176
0 0,0327
====
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Tema 3: Análisis de flujo de carga
Ejercicio 3.2
Para la red que se muestra aplique una
Iteración del método de Gauss-Seidel.
Considere los limites de potencia reactiva
de las máquinas.
Tolerancia = 0,001
0,85 – j 7,48
1.41 – j 10,33
0,85 – j 7,04
0,22 – j 4,99
j 0,10,015 + j 0,132 j 3,80,08 + j 0,7100L4
0,013 + j 0,095
0,017 + j 0,14
0,009 + j 0,2
j 3,6
j 3,4
j 3
L
(klm)
Linea
j 0,0950,07 + j 0,5100L3
j 0,1350,06 + j 0,5150L2
j 0,0950,04 + j 0,9120L1
J0,0625
Z (0/1)
-j16 j 7,512013,8/230Tx1=Tx2
Y (0/1) Z (%) Sn (MVA) Vn (kV) Tx
1
/
l Z
KlmΩ
1
/
sY
S Klm µ µµ µ
1
(0/1)
l Z 1
(0/1)
l Y 1 0,5
(0/1)
sY
13,8 kV barra 1
Vbase
529 ohm100 MVA
Zbase (230 kV)Sbase
00100-100?1,02Slack1
3040PQ4
50100PQ2
00PQ3
5080PQ5
0
P carga
MW
100
Q gmax
MVAR
0
Q carga
MVAR
6
Barra
-501001,01PV
Q gmin
MVAR
Pgen
MW
Vpro
(0/1)
Tipo
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Tema 3: Análisis de flujo de carga
La matriz Ybus es:
Vector de Arranque:
:
:
0
2,26 – j 17,14
- 1,41 + j 10,33
- 0,85 + j 7,04
0
0
5
0- 1,41 + j 10,33- 0,85 + j 7,04005
02,26 – j 17,610- 0,85 + j 7,4804
6
3
2
1
Barra
j 1601,07 – j 27,8- 0,22 + j 4,990
- j160 j 1600
0- 0,85 + j 7,48- 0,22 + j4,991,07 – j 28,28 j 16
000 j 16-j 16
64321
8/17/2019 Tema 3 Analisis de Flujo de Carga
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Tema 3: Análisis de flujo de carga
Solucion ( para la primera iteracion)
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( ))))
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( ))))
*
1
2
*
1
3
1
4
1 1 0,5 16 0, 22 4,99 0,85 7, 48
1,07 28, 28
1 00,22 4,99 0,85 7,04 16
1,07 27,
1 0 1 01 0
1 0 01
1,02 0 0,999 2.02
0,999 2.02 1,01 1,08
1
2,26
013 2,11
jV j j j
j
V j j j j
V
− −− −− −− − = − + − + + − + == − + − + + − + == − + − + + − + == − + − + + − + =
−−−−
= − − + + − + + == − − + + − + + == − − + + − + + == − − + + − + + =
−−−−
∠ ∠ −∠ ∠ −∠ ∠ −∠ ∠ −
====
∠∠∠∠
∠ ∠∠ ∠∠ ∠∠ ∠∠∠∠∠
∠ ∠∠ ∠∠ ∠∠ ∠∠∠∠∠
− ∠ −− ∠ −− ∠ −− ∠ −
(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( ))))
(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( ))))
*
*
1
5
0,4 0,30,85 7, 48 1, 41 10,33
17,61
1 0,8 0,50,85 7,04 1, 41 10,33
2, 26 17,14
0,999 2.02 0,99 2,09
1,013 2,1
1 0
1 0,99 2
1 0
1 0,0
6 tipo
9 0,98 4,
P
72
j j j
j
jV j j
j
Barra
− −− −− −− − − − + + − + =− − + + − + =− − + + − + =− − + + − + =
−−−−
− −− −− −− − = − −= − −= − −= − −
∠ − ∠ −∠ − ∠ −∠ − ∠ −∠ − ∠ −
∠ − ∠ −∠ − ∠ −∠ − ∠ −∠ − ∠ −
∠∠∠∠∠∠∠∠
∠∠∠∠+ + − + =+ + − + =+ + − + =+ + − + =
−−−−
→→→→
∠ −∠ −∠ −∠ −
{{{{ }}}} (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))){{{{ }}}}2g 2 2l
2 2 2 2g 2g
ero
2_min
V, luego:Calculo de la potencia reactiva generada: Q Q Q
Q 16 16 0,037 Q 0,037 (0/1) Q 3,7 Mvar
luego:
1 ) como -50 Mvar (Q )
1,01 1,01 1,013 2,11
3,2 Mv r
0 0
a
im V I im j j ∗∗∗∗∗∗∗∗
∠∠∠∠
= += += += +
= ∗ = ∗ −= ∗ = ∗ −= ∗ = ∗ −= ∗ = ∗ −∠∠∠∠ + ∗+ ∗+ ∗+ ∗−−−−∠∠∠∠ = → = → == → = → == → = → == → = → =
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Tema 3: Análisis de flujo de carga
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Tema 3: Análisis de flujo de carga
Metodo de Newton-Rapshon Sea las siguientes, el conjunto de ecuaciones no lineales que caracterizan a un problema:
( )
( )
( )( )
1 1 2 11
2 1 2 2 2
1 2
1 1 2 1 1 1 2
, , ....,
, ,...., donde vector solución del sistema
::
, ,....,
, ,...., , ,...
luego entonces:
= = = = =
= −
s s ssn
s s s sn s
ss s s
n
n n n
s s s s s
n
F x x x b x
F x x x b x X
x
F x x x b
G x x x b F x x( )
( ) ( )
( ) ( )
2 1 2 2 2 1 2
1 2 1 2
., 0
G , ,...., F , ,...., 0
: : :
, ,...., , , ...., 0
Supongase que se descompone el
= = − =
= − =
s
n
s s s s s s
n n
s s s s s s
n n n n n
x
x x x b x x x
G x x x b F x x x
( ) ( )
0
1 1 1
0
2 2 2
0
0 0 0 0 0 01 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2
0
2 1 1
vector solución:: : :
Asi entonces:
, ,...., , ,...., 0
G ,
∆
∆ = +
∆
+ ∆ + ∆ + ∆ = − + ∆ + ∆ + ∆ =
+ ∆
s
s
s
n n n
n n n n
x x x
x x x
x x x
G x x x x x x b F x x x x x x
x x x( ) ( )0 0 0 0 02 2 2 2 1 1 2 2
1
,...., F , ,...., 0
: : : :
+ ∆ + ∆ = − + ∆ + ∆ + ∆ =n n n n
n
x x x b x x x x x x
G x( ) ( )0 0 0 0 0 01 2 2 1 1 2 2, ,...., , ,...., 0
+ ∆ + ∆ + ∆ = − + ∆ + ∆ + ∆ =n n n n n n x x x x x b F x x x x x x
8/17/2019 Tema 3 Analisis de Flujo de Carga
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Tema 3: Análisis de flujo de carga
Metodo de Newton-Rapshon (continuacion)
( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 2 1 1 2 1 1 20 0 0
1 1 2 1 2
1 2
0
2 1
Expresando el anterior set de ecuaciones, en términos de series de Taylor se tiene :
, ,., , ,., , ,.,0 = , ,., ... . . .
0 = ,
∂ ∂ ∂+ ∆ + ∆ + + ∆ +
∂ ∂ ∂
n n n
n n
n
G x x x G x x x G x x xG x x x x x x t o s
x x x
G x( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 1 2 2 1 2 2 1 20 0
2 1 2
1 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 2 1 2 1 20 0 0
1 2 1 2
1 2
, ,., , ,., , ,.,,., ... . . .
:
, ,., , ,., , ,.,0 = , ,., ... . . .
i el ve
∂ ∂ ∂+ ∆ + ∆ + + ∆ +
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂+ ∆ + ∆ + + ∆ +
∂ ∂ ∂
n n n
n n
n
n n n n n n
n n n
n
G x x x G x x x G x x x x x x x x t o s
x x x
G x x x G x x x G x x xG x x x x x x t o s
x x x
S
( )
( )
0 0 0
0
0 0 0 1 1 11 1 2 1 2
1 2
0 0 0
2 1 2 1
ctor de arranque está sercano al vector solución: , entonces 0 y . . . 0 luego:
, ,., ... .
, ,.,
→ ∆ → →
∂ ∂ ∂− ≈ ∆ + ∆ + + ∆
∂ ∂ ∂
∂
− ≈ ∆
S
n n
n X X X
n
X X X t o s
G G GG x x x x x x
x x x
G
G x x x x
( )
0 0 0
0 0 0
2 2 22
1 2
0 0 0
1 2 1 2
1 2
...
: : : :
, ,., ...
∂ ∂
+ ∆ + + ∆∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂− ≈ ∆ + ∆ + + ∆
∂ ∂ ∂
n
n X X X
n n nn n n
n X X X
G G
x x x x x
G G GG x x x x x x
x x x
8/17/2019 Tema 3 Analisis de Flujo de Carga
18/37
material del Prof. Alexis Diaz Vigl (281007) 18
Tema 3: Análisis de flujo de carga
Método de Newton-Rapshon (continuación)
( )
( )
( )
0 0 0
1 1 2
0 0 0
2 1 2
0 0 0
1 2
Como:
G(X) ( ) G(X) = b - F(X)
X
El Conjunto de ecuaciones anteriores puede expresarse matricialmente de la siguiente forma:
, ,.,
, ,.,
:
, ,.,
∂ ∂→ = −
∂ ∂
n
n
n n
F X
X
G x x x
G x x x
G x x x
[ ] [ ][ ]
[ ]
[ ]
0
1 1 1
1 2
1
2 2 2
21 2
1 2
:
:*
:: : : :
:
Donde:
= Vector de errores
Matriz
=
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∆
∂ ∂ ∂ ∆ ∂ ∂ ∂= → ∆ = ∆ ∆ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
∆
=
n
n
n
n n n
n X X
F F F x x x
xF F F
x x x x F J x
xF F F
x x x
F
J
[ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]
0
1 1
1
Jacobiana evaluada en X=X
Vector de correcciones.
Asi entonces:
= *
si ( ) criterio de parada del proceso itera
− +
+
∆ =
∆ ∆ → = + ∆
= ∆ ≤
k k k
k s S
x
X J F X X X
X X F X ξ tivo de cálculo.
8/17/2019 Tema 3 Analisis de Flujo de Carga
19/37
material del Prof. Alexis Diaz Vigl (281007) 19
Tema 3: Análisis de flujo de carga
Procedimiento:1) Se define una tolerancia, un máximo número de ciclos permisibles y un vector de arranque supuesto cercano a la
solución
2) Se calcula el vector de errores: G(x). Si el mayor, G(xi), es:
2.1) Menor a la tolerancia entonces : [X]k es la solucion del problema fin del cálculo
2.2) Mayor a la tolerancia, entonces:
2.2 1) Se calcula la jacobiana2.2.2) Se resuelve el sistema de ecuaciones
2.2.3) Se aplica el factor de corrección
2.3) Se inicia el paso 2 y se repite cíclicamente el procedimiento hasta obtener una solución práctica o en su
defecto se detiene el proceso por divergencia matemática.
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]1 k k k
X X X ∆++++
= += += += +
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]]1
( ) x X J G∆ −−−−
====
Representación gráfica de la técnica
En un sistema no lineal monovariable
8/17/2019 Tema 3 Analisis de Flujo de Carga
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material del Prof. Alexis Diaz Vigl (281007) 20
Tema 3: Análisis de flujo de carga
2 2
1 1 2 1 2 2
2
2 1 2 2 1 1
( , ) 5 (2 3 )Las funciones de error seran respectivamente:
( , ) 10 (3 2 )
x x x x x
g x x x x x
= − −= − −= − −= − −
= − += − += − += − +
2 221 1 2 1 2
222 1 2 1 1
( , ) 2 - 3 5Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones aplicando Newton-Rapshon ( , ) 3 2 10
f x x x x x
f x x x x x
= == == == =
= + == + == + == + =
[[[[ ]]]]0
0 1
2
1,5 Se asume una tolerancia de 0,01 y se emplea como vector de arranque:
0,8
Luego entonces para el primer ciclo de cálculo:
Paso 1: x
X x
= == == == =
[[[[ ]]]]
00 1 1 2
( )
2 1 2
0
2 1 2
era
3,32( , ): cálculo y análisis del vector de errores paraPaso 2
4,12
4,12 0,01 no es solución. Comienza la
;( , )
Dado que 1 Iteracio( , X n)
x
g x xG
g x x
g x x
= == == == =
= > →= > →= > →= > →
0 0
2
1 2 1 20 2
22 2 2 1
1 1 1 2
2 1
4,8 0,3Paso 2.1
3,92 7,4 2 - 6: Determinación y evaluación de la Jacobiana :
3 2 26 X X
f x f x
f x f x x x x x J
x x x
∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂
= = == = == = == = =
++++
−−−−
[[[[ ]]]]0 1
010 1
0 ( )
2
4,8 0,3 3,32: Cálculo del vector de correciones :
0,70Paso 2.2
0,
3,92 7,2 4 91 1, 2 x
x X J G
x
∆∆
∆
−−−−
−−−− −−−− = → = == → = == → = == → = =
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]1 0 0 1,5 0,70
: Cálculo del nuevo vector de soluciones :2,20
Pa
0,8 0,1
so 2.3
9 0,99
X X X ∆
= + = + == + = + == + = + == + = + =
[[[[ ]]]]
11 1 1 2
( )
2 1 2
1
1 1 2
era
1,64Paso 2
0,
( , ): cálculo y análisis del vector de errores para ;
( , )
Dado que ( , ) 1 no es s
87
,64 0,0 olución. Termina la 1 Iteracion sinX c1
x
g x xG
g x x
g x x
= == == == =
−−−−
====
>>>>
→→→→
−−−−
onvergencia !
8/17/2019 Tema 3 Analisis de Flujo de Carga
21/37
material del Prof. Alexis Diaz Vigl (281007) 21
Tema 3: Análisis de flujo de carga
Newton-Rapshon aplicado al análisis de Flujo de Potencia
( ) ( )i i
_ _
i j
_
S
Las potencias netas inyectadas a una barra son respectivamente:
P y Q
:
V , V y
Si V
= + − = − + −
= ∠ = ∠ = ∠
=
∑ ∑i j ij ij j i i j ij ij j i
i i j j ij ij ij
V V Y cos V V Y sen
Donde
V V Y Y
V
θ δ δ θ δ δ
δ δ θ
( ) ( )
1
2
esp
i i
Vector de solución de tensiones para una particular condición de carga:
Entonces:
P y Q
El vector de error
→
= + − = − + −∑ ∑
S
S
S
n
S S S S esp S S S S
i j ij ij j i i j ij ij j i
V
V
V V Y cos V V Y senθ δ δ θ δ δ
_ _
1 1
es empleado será: ( ) y ( )
El vector de correciones empleado será: y+ +
∆ = − ∆ = −
= + ∆ = + ∆
especificado especificado
K K K K K K
P P P V Q Q Q V
V V V δ δ δ
8/17/2019 Tema 3 Analisis de Flujo de Carga
22/37
material del Prof. Alexis Diaz Vigl (281007) 22
Tema 3: Análisis de flujo de carga
Newton-Rapshon aplicado al análisis de Flujo de Potencia (continuación)
Luego el sistema matricial básico es:
*
Por razones de simplicidad matemática se expresa de esta forma:
∂ ∂ ∂ ∂ ∆ ∆
= ∂ ∂ ∆∆ ∂ ∂
P PV P
Q Q V QV
δ δ
δ
1 1
*
Donde: 1 y+ +
∂ ∂ ∆ ∂ ∂ ∆ = ∆ ∂ ∂∆ ∂ ∂
∆ = + = + ∆
K
K K K K K
P PV V P
V Q QQ V V V
V V V
V
δ δ
δ
δ δ δ
8/17/2019 Tema 3 Analisis de Flujo de Carga
23/37
material del Prof. Alexis Diaz Vigl (281007) 23
Tema 3: Análisis de flujo de carga
Newton-Rapshon :cálculo de los términos de la Jacobiana
[ ]
( ) ( )
2
1 1
Supongase:
J , ,
Partiendo de :
cos cos
Q
= =
≠
∂ ∂∂ ∂= → = = = = ∂ ∂∂ ∂
= + − = + + −
= −
∑ ∑
n n
i i j ij ij j i i ii i j ij ij j i j j
j i
i i
j
H M Q QP P H M V N y L V V V N L
P V V Y V G V V Y
V
δ δ
θ δ δ θ δ δ
( ) ( )2
1 1
1
Sub-matriz H : Sub-matriz M:
= =
≠
=
≠
+ − = − − + −
∂= = +∂
∑ ∑
∑
n n
j ij ij j i i ii i j ij ij j i
j j i
n
iii i j ij ij
i j j i
V Y sen V B V V Y sen
P H V V Y sen
θ δ δ θ δ δ
θ δ δ ( ) ( )
( ) ( )
2 2
1
Q = 2 cos
=
S
s
b
co
u
=
=
≠
∂ − = − − = + + − = + ∂
∂ ∂= − + − = + − = −
∂ ∂
∑n
i j i ii i i ii i i i ii j ij ij j i ii i i
i j j i
i iij i j ij ij j i ij j i j ij ij j i ij
j j
P B V M V V V G V Y G V PV
P P H V V Y sen M V V V Y N
V
δ θ δ δ
θ δ δ θ δ δ δ
( )2
1
-matriz N: Sub-matr iz L:
cos = 2=
≠
∂ ∂= = + − = − = − −
∂ ∂∑n
i iii i j ij ij j i i ii i ii i i i ii j ij ij
i i j j i
Q Q N V V Y P G V L V V V B V Y sen
V θ δ δ θ
δ ( )
( ) ( )
2
1
cos =
=
≠
+ − = − +
∂ ∂= = − + − = − + − =
∂ ∂
∑n
j i ii i i
j j i
i iij i j ij ij j i ij j i j ij ij j i ij
j j
B V Q
Q Q N V V Y L V V V Y sen H
V
δ δ
θ δ δ θ δ δ δ
8/17/2019 Tema 3 Analisis de Flujo de Carga
24/37
material del Prof. Alexis Diaz Vigl (281007) 24
Tema 3: Análisis de flujo de carga
Ejercicio 3.3: Aplique una iteración de Newton-Rapshon a la red del ejercicio 3.2
Tolerancia = 0,001
La estructura del sistema de ecuaciones sería la siguiente:
6 6366
2 23 2422
3 33
63
2322
3332
42
53
23 2422
33 3536 32
44 4542
53 54
3536 32
44 454 42
53 5
55
4 555
232 22
33323
424
55
0 00
000
00
0 0
0
0
0
0
0
00
0
00
0 0
P H H
P H H H P H H H H
H H P H
H H H
M
M M M M
M
P
LQ L
L LQ
LQ
M
N N N
N N N N
N N N
N N N LQ
∆
∆∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
====
6
2
3
4
5
1
2 224
1
3 335
1
4 444 45
1
5 53 54 55
24
35
44 45
54 55
0 0
0
0
0
0
V V
V V
V V
V V
L
L
L L
L
M M
M
M
L
M
M
δ δδ δ
δ δδ δ
δ δδ δ
δ δδ δ
δ δδ δ
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
8/17/2019 Tema 3 Analisis de Flujo de Carga
25/37
material del Prof. Alexis Diaz Vigl (281007) 25
Tema 3: Análisis de flujo de carga
Definido un vector de arranque:
Se determina el vector de errores:
Se compara el mayor error con la tolerancia pre-establecida:
0
6 6 6
2 2 2
3 3 3
4 44
5 55
2 22
3 33
4 44
5 55
0,70
1.
.00
0esp cal
esp cal
esp cal
esp cal
esp cal
esp cal
esp cal
esp cal
esp cal
P P P
P P P
P P P
P P P
P P P
Q QQ
Q QQ
Q QQ
Q QQ
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
−−−− −−−−
−−−− −−−− −−−−
−−−− −−−−= == == == =
−−−− −−−−
−−−− −−−−
0,70
0 ( ) 0.5
0.00 0.0039
0,4 ( ) 0,395
0,8
0,5 ( ) 0,003
0.00 ( )
0,3 (
0,05
0,0039
0,05
0,004
0,503
0,385
0,185
0
0,8004
0,385
) 0,115
0,5 ( ) 0, 273,227
− −− −− −− − − −− −− −− −
− − −− − −− − −− − −
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
− − =− − =− − =− − =
− − −− − −− − −− − − −−−−
− − −− − −− − −− − −
− − −− − −− − −− − −
−−−−
−−−−
−−−−
[[[[ ]]]]0
5 3Dado que : P 0,01 o Q 0,01 el vector de tensiones V no es adecuado.
aplica un primer ciclo de cálculo.
∆ ∆> >> >> >> >
8/17/2019 Tema 3 Analisis de Flujo de Carga
26/37
material del Prof. Alexis Diaz Vigl (281007) 26
Tema 3: Análisis de flujo de carga
Se calcula la potencia reactiva generada en las barras pv y se comparan estas con sus limites:
Se calcula la Jacobiana y se resuelve el sistema de ecuaciones:
Se corrigen las tensiones:
6
2
3
4
5
1
2 2
1
3 3
1
4 4
1
5 5
16 0 16.16 0 0
0 28.78 4.99 7.49 0
16.16 4.99 28.19 0 7.04
0 7.
0 1.12 0.22 0.85
0 0.22 1.07 0
0 0.85 0 2.31
0 0 0.85 1.41
49 0 17.73 10.33
0 0 7.04 10.33 1
V V
V V
V V
V V
δ δδ δ
δ δδ δ
δ δδ δ
δ δδ δ
δ δδ δ
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
− −− −− −− −
− − −− − −− − −− − −
− −− −− −− −
− −− −− −− −
−−−−
−−−−
====
10,70
0.5
0.0039
0,395
7.41 0,8
28.28 4.99 7.
0 0 0 0
1.02 0.22 0.85 0
0.22 1.07 0 0.
49 0
4.99 27.41 0 7.04
7.49 0 17.5 10.
85
0.85 0 2.21 1.41
0 0.85 1.41 2.26
0
0.85
1.41
2
33
0 7.04 10.33 16.87.26
−−−−
− −− −− −− − −−−−
−−−−− −− −− −− −
− −− −− −− −
−−−−
−−−−
−−−−
− −− −− −− −
− −− −− −− −
− −− −− −− −
− −− −− −− −
−−−−
−−−−
0.011
0.062
0.054
0,131
004 0,142
0,003 0,020
0,385 0,034
0,115 0,061
0, 273 0, 073
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
− −− −− −− −
− −− −− −− −
− −− −− −− −
− −− −− −− −
====
1 0 0
0 0 16
20 0
2
30 0
3
40 0
4
50 0
5
0 0.61 0.611(1 0.02)
0 3.55 3.551(1 0.03)
0 3.08 3.08 y1(1 0.0
0 7.48 7.48
0 8.15 8.15
V
V
V
V
δ δδ δ δ δδ δ
δ δδ δ
δ δδ δ
δ δδ δ
− −− −− −− − −−−− − −− −− −− − −−−− = + − = − == + − = − == + − = − == + − = − =
−−−− − −− −− −− −
− −− −− −− −
1
0 1
0
2
0
3
04
05
06
0
(p.u.) (p.u.)
0.98 3.55
0.97 3.08
0.94 7.48
0.93 8.15
0
1.02 0
1. .6101
0.98
0.97
6) 0.94
1(1 0.07) 0.93
V
V
V
V
V
V
→→→→
∠∠∠∠
∠−∠−∠−∠−
∠−∠−∠−∠−
∠−∠−∠−∠−
∠−∠−∠−∠−
∠−∠−∠−∠−
= == == == =
−−−−
**
6 6 6 6 36 3 66 6
gmin gmax
{ * }* * 16 Mvar
Dado que -50 Mvar (Q ) < 16 Mvar < 100 Mvar (Q ) Barra 6 controla voltaje.
g base baseQ im V I S V Y V Y V S= = + == = + == = + == = + =
→→→→
8/17/2019 Tema 3 Analisis de Flujo de Carga
27/37
material del Prof. Alexis Diaz Vigl (281007) 27
Tema 3: Análisis de flujo de carga
8/17/2019 Tema 3 Analisis de Flujo de Carga
28/37
material del Prof. Alexis Diaz Vigl (281007) 28
Tema 3: Análisis de flujo de carga
Newton-Rapshon Desacoplado Rápido
En líneas de transmisión:
90º
En la red de transmisión:
1 . .
→ = ∠ →
≈ ≈
l l l l l l
i j
R X G B además Y Y donde
V V p u
θ θ
( ) 0
Partiendo del Concepto Básico del método: *
Es fácil evaluar que: 0 y 0.
Asi se puede desacoplar el siste
≈ → − ≈
∂ ∂ ∆ ∆
= ∂ ∆∆ ∂
∂∂ →
∂∂
→
∂
∂∂
∂
i j i jademás
PP
Q V QV
PV
QPV
Q
δ δ δ δ
δ
δ
δ
δ
[ ] [ ]
[ ]
ma de ecuaciones:
*
*
∂ ∆ ≈ ∆∂
∂∆ ≈ ∆ ∂
PP
QQ V
V
δ δ
8/17/2019 Tema 3 Analisis de Flujo de Carga
29/37
material del Prof. Alexis Diaz Vigl (281007) 29
Tema 3: Análisis de flujo de carga
Newton-Rapshon Desacoplado Rápido (continuación)…
2 2
2
De igual forma: pero 0; en todo caso
Así, entonces: *
- ( )
∂= − − →
∂
∂ ∂≈ − → ≈= −
∂ ∂
∂
= + −∂
iii i i i ii i
i
i iii i ii i i
i i
i i j ij ij j i
j
P B V Q Q B V Q
P P B V B V V
PV V Y sen
δ
δ δ
θ δ δ δ
1 1
-
Finalmente: * *= =
∂
→ ≈∂
∆∆ ≈ − ∆ → ≈ − ∆
∑ ∑
i ij i j
j
n ni
i i j ij j ij j
j ji
P B V V
PP V V B B
V
δ
δ δ
( )
2 2
iDe igual forma: V pero
En consecuencia:
Aplicando estas simplifacion
∂= − +
∂
∂≈ −
∂
∂ ∂= − + − → ≈ −
∂ ∂
iii i i ii i i
i
iii i
i
i ii ij ij j i i ij
j j
Q B V Q B V Q
V
Q B V
V
Q QV Y sen V B
V V
θ δ δ
( ) ( )ii1 1
Qes se tiene: Q * *
= =
∆∆ = − ∆ → = − ∆∑ ∑
n n
i ij ij j j j ji
V B V B V V
8/17/2019 Tema 3 Analisis de Flujo de Carga
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Tema 3: Análisis de flujo de carga
Newton-Rapshon Desacoplado Rápido (continuación)…
2
2
22 23 2 2
3
32 33 3 33
2 3
Estas simplificaciones expresadas en forma matricial son las siguientes:
:
: * y: : : : :
::
∆
∆ ∆ ∆
= −
∆ ∆
n
n
n n nn nn
n
PV
B B BP
B B BV
B B BP
V
δ
δ
δ
[ ] [ ] [ ]
2
2
22 23 2 2
3
32 33 3 33
2 3
11
:
:* :: : : :
::
Luego:++
∆
∆ ∆ ∆
= −
∆ ∆
= + ∆ =
n
n
n n nn nn
n
k k k k
QV
V B B BQ
V B B BV
V B B BQ
V
V V δ δ δ + ∆ k k
V
Representación gráfica de la técnica
En un sistema no lineal monovariable
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Tema 3: Análisis de flujo de carga
Ejercicio 3.4: Aplique una iteración de Newton-Rapshon a la red del ejercicio 3.2
Tolerancia = 0,001
Definido un vector de arranque:
Se calcula los vectores de error en potencia activa y reactiva:
Se compara el mayor error con la tolerancia pre-establecida:
(((( ))))
(((( ))))(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
0 11
6 6 66 6
11
2 2 22 2
11
3 3 33 3
11
4 4 44 4
11
5 5 55 5
0,636
0,05
0
0,8
,0039
0, 1
04
0
esp cal
esp cal
esp cal
esp cal
esp cal
V P PV P
V P PV P
V P PV P
V P PV P
V P PV P
∆
∆
∆
∆
∆
−−−−−−−−
−−−−−−−−
−−−−−−−−
−−−−−−−−
−−−−−−−−
−−−−
−−−− = = −= = −= = −= = −−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
011
2 2 22 2
11
3 3 33 3
11
4 4 44 4
11
5 5 55 5
0,
0,003
0,115
0,27
5
3
38
esp cal
esp cal
esp cal
esp cal
V Q QV Q
V Q QV Q
V Q QV Q
V Q QV Q
∆
∆
∆
∆
−−−−−−−−
−−−−−−−−
−−−−−−−−
−−−−−−−−
−−−− −−−− −−−− = == == == = −−−−−−−− −−−− −−−−
−−−−
[[[[ ]]]]1 1 0
5 5 3 3 : 0,01 0,01 .
.
Dado que V P o V Q el vector de tensiones V no es adecuado
aplica un primer ciclo de calculo
∆ ∆− −− −− −− −
> >> >> >> >
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Tema 3: Análisis de flujo de carga
Se calcula la potencia reactiva generada en las barras pv y se comparan éstas con sus limites:
Se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
Se aplican las correciones angulares y modulares de las tensiones:
**
6 6 6 6 36 3 66 6
gmin gmax
{ * }* * 16 Mvar
Dado que -50 Mvar (Q ) < 16 Mvar < 100 Mvar (Q ) Barra 6 controla voltaje.
g base baseQ im V I S V Y V Y V S= = + == = + == = + == = + =
→→→→
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Tema 3: Análisis de flujo de carga
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Tema 3: Análisis de flujo de carga
Método de inyección de corrientes
Método rápido en sistemas radiales
No requiere formación de Ybus
* 1) Se calculan todas las inyecciones de corriente partiendo de un vector de arranque de tensiones:
* , 1, 2,....2
2) Se calculan las contribucione
= − → = − −
espk k ii io ik
i
S I Y V i n n n
V
,
s de corrientes de "ramas" a "tronco" (en sentido ascendente):
donde: i = nodo suministrador ; j = nodo receptor.
3) Barriendo el árbol en
∈ ≠
= − + ∑k k ij j jss j s i
I I I
1 1
sentido aguas abajo (descendente) se determinan las nuevas tensiones:
* donde: impedancia serie del elemento entre i y j.
4) Calculo iterativ
+ += − =
k k k
j i ij ij ijV V Z I Z
k+1 k
i io que culmina cuando la mayor desviación: V V− ≤ ε
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Tema 3: Análisis de flujo de carga
Gauss –Seidel :
Fortalezas:
Fácil de implementar.
Bajo requerimiento de memoria.
Menos sensible al vector de arranque queNR.
Mejor comportamiento frente a redes conproblemas de reactivos.
Lenta divergencia: divergencia gradual.
Debilidades: Lenta convergencia.
Tiempo de computación dependiente deltamaño de la red.
Problemas en redes con compensaciónserie: Impedancia negativa.
Lento en el cálculo de grandes redeseléctricas.
Newton -RaphsonFortalezas Rápida convergencia, poco dependiente del
tamaño de la red. No Presenta problemas con Impedancias
Serie Negativas. Adecuado para el manejo de grandes redeseléctricas.
Debilidades: Mas sensible al vector de arranque que GS. Cuando Diverge lo hace rápidamente. Problema de convergencia en redes con
problemas de reactivos. Mayores requerimientos de memoria que
GS.
Newton –Raphson Rápido DesacopladoFortalezas Mismas ventajas que el NR. Mas rápido que el NR.Debilidades: Mismas debilidades que el NR. Problemas de convergencia en sistemas
con alta R/X.
Técnicas de Análisis de Flujo de Carga: Evaluación Cualitativa
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Tema 3: Análisis de flujo de carga
Flujo de carga en Corriente Directa (cd) ( método de Stott)Metodo aproximado empleado en analisis de contingencias y para criterio de mejora de convergencia.
Presesenta dos pasos: calculo de los angulos y calculo de las tensiones.
Calculo de los angulos (en barras PV y PQ)
( ) ( ) ( )
* *
1
Potencia compleja inyectada en la barra i: ´
En coordenadas cartersianas: ´
Aplicando sobre esta ecuació
=
+ =
→ + = + − −
∑
∑
i i i ij j
n
i i i i i ik ik k k k
k
P jQ V Y V
P jQ V Cos jsen G jB V Cos jsenδ δ δ δ
i
k
n, las siguientes simplificaciones:
1. 0 1 y 2. 0.
3. V 1 . . 4. * 0
Se tiene: ´
≈ → ≈ ≈ → ≈
≈ ≈
+
k k k ik ik ik
j k
i
Cos sen R X G
p u
P jQ
δ δ δ δ
δ δ
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ]
1
1 1 1 1
1
1 1
Luego entonces: ´ Re 1 * 1
De forma resumida: P * * P
Donde:
P
=
= = = =
−
≈ + − −
→ ≈ − − + = − = −
= → =
=
∑
∑ ∑ ∑ ∑
n
i i ik k
k
n n n n
i ik k i ik i k ik i ik k
k k k k
j jB j
P jB j j B B B
B B
δ δ
δ δ δ δ δ δ
δ δ
[ ]
[ ]
Vector de Potencias netas inyectadas
Parte imaginaria de la matriz de admitancia nodal
ángulos de las tensiones (radianes)
=
=
B
δ
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Tema 3: Análisis de flujo de carga
Calculo de los modulos de las tensiones (en barras PQ)
( )( ) ( ) ( )
( )
* *
1
1
Potencia compleja inyectada en la barra i: ´ y multiplicando por se tiene:
´
s
=
=
−+ =
+ − = − −
− = − +
∑
∑
∑
i i i ij j
n
i i i i i ik ik k k k
k
n
i i i i i k ik k ik
k
i jP jQ V Y V
P jQ Cos jSen V G jB V Cos jsen
Q Co PSen V V G Sen B Cos
e δ
δ δ δ δ
δ δ δ δ ( )
( )( ) ( ) ( )
pq pv
k l
l=1k=1k i
Sustituyendo ahora: (1 ) y separando las barras PV de las barras PQ:
(1 ) (1 ) V(1 )
Definiendo:
≠
= + ∆
−= − + ∆ + − + ∆ + − +
+ ∆ ∑ ∑
k
i i i i
ik k ik k ii i ii i il l il li
i
V V
Q Cos PSenV G Sen B Cos V G Sen B Cos G Sen B Cos
V
δ δ δ δ δ δ δ δ
( )
1
ik
pq pv
ii k ik l il
l=1k=1k i
A y asumiendo que: (1 ) (1 )
Se tiene: (1 ) (1 )A (1 )A V A
Reagrupando términos se tiene:
−
≠
= + + ∆ ≈ − ∆
− − ∆ = − + ∆ − + ∆ −
−
∑ ∑
ik k ik k i i
i i i i i i
i i i i
G Sen B Cos V V
Q Cos PSen V V V
Q Sen PCos
δ δ
δ δ
δ δ ( )
[ ] [ ]
[ ]
1
pq i
1 1
Ecuación que aplica a cada barra PQ, formando el siguiente sistema matricial: *
: vector de orden N *1 F =
== =≠
+ + = − − ∆ − ∆
= ∆
= → −
∑ ∑ ∑ pq pv Pq
ik l il i i i i ii ik k il
i i
k k k i
A V A Q Sen PCos A V A V
F L V
Donde F Q Sen P
δ δ
δ
[ ]
1
pq pq
i
1
matriz de orden N *N
Vector de corrección de voltajes V 1
==
+ +
= → = − − = −
∆ = → = + ∆
∑ ∑ pq pv
i i ik l il
l
ii i i i i ii ik ik
i
k
Cos A V A
L L Q Sen PCos A y L A
V V
δ
δ δ
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