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Tema 1Canales en comunicaciones digitales

Dr. José Ramón CerquidesTeoría de la Señal y Comunicaciones

Universidad de Sevilla

Transmisión Digital

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Organización• Introducción. Diagrama de bloques de un sistema de

transmisión digital • Elementos de un sistema de transmisión digital

• Fuente, codificador, modulador, canal, ruido, demodulador, detector, decodificador y destino

• Canal digital equivalente• Definición y modelado• Obtención de los parámetros del canal digital equivalente• Parámetros importantes de una transmisión

• Canal discreto equivalente• Definición y modelo• Obtención del canal discreto equivalente

• Canal binario equivalente• Definición y modelo• Obtención del canal binario equivalente

• Conclusiones• Referencias

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Diagrama de bloques

FUENTECODIFICADOR

MODULADOR

CANAL

DESTINODECODI

FICADORDETEC

TORDEMODULADOR

Mensajeemitido

m[l](secuenciabinaria)

Símbolos emitidos

s[n](secuencia

digital)

Señalemitida

s(t)(señal

analógica)

Señal a la salida del

canal

c(t)(señal

analógica)

Ruido

v(t)(señal analógica)

Señalrecibida

x(t)(señal

analógica)

Símbolos recibidos

r[n](secuencia discreta)

Símbolos estimados

s’[n](secuencia

digital)

Mensajerecibido

m’[l](secuenciabinaria)

CANAL DIGITAL EQUIVALENTECANAL DISCRETO EQUIVALENTE

CANAL BINARIO EQUIVALENTE

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• Genera el mensaje binario m[l] a transmitir.• Puede proceder de una fuente analógica

• La velocidad de transmisión, también denominada flujo binario o régimen binario es Rb (bits/segundo).

• Tb = 1/Rb es la duración de un bit o período de bit.

• La codificación de fuente queda fuera de los objetivos de la asignatura.

Fuente

Fuenteanalógica

Codificadorde fuente(opcional) m(t)

Mensaje analógico

(señal analógica)

Mensajebinario sin codificar

Mensaje binario

codificado

m[l]

Conversor A/D

Nb fs

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Ejemplos de fuentes• Telefonía

• Señal analógica de voz• Banda de 300 a 3400 Hz• Muestreo a 8 bits y 8000 Hz Rb = 64 Kb/s

• Telefonía móvil• Señal analógica de voz• Banda de 300 a 3400 Hz• Muestreo a 8 bits y 8000 Hz 64 Kb/s• Codificación de fuente a Rb de 13 Kb/s

• CD-Audio (1x)• Señal digital a 44100·16·2 = 176 KB/s

• Música MP3 (MPEG II Layer 3)• Señal analógica de audio• Muestreo a 44100 Hz, stereo, 16 bits/muestra (como

CD)• Codificación de fuente a Rb = 32, 64, 128, 256, 384 …

Kbps

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Ejemplo de codificación de fuente• Supongamos que la fuente quiere transmitir el

carácter ‘N’.• Es necesario decidir qué código se va a

utilizar.• Se decide utilizar el código ASCII extendido (8

bits por caracter).• Dicho carácter toma el valor 78 (en decimal)• Codificado con 8 bits resulta ser 01001110• De ese modo,

m[l] = 0,1,0,0,1,1,1,0 sería el mensaje a transmitir.

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Codificador• Genera la secuencia de símbolos s[n] a

transmitir, que representan la información contenida en el mensaje m[l].

• Pueden añadirse códigos de privacidad, protección y/o corrección de errores a la secuencia original (fuera de este tema).

• La velocidad de salida de los símbolos es Rs y se denomina velocidad de señalización (en símbolos/s o baudios).

• Ts = 1/Rs = período de símbolo o duración de un símbolo (segundos).

• La relación Rb/Rs = Ts/Tb = ?bits por símbolo

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Ejemplo: Un codificador sencillo• Un ejemplo sencillo podría ser el que mapea

la secuencia de bits en símbolos de la forma siguiente:

• El mensaje m[l] del ejemplo anteriorm[l] = 0,1,0,0,1,1,1,0

se convertiría en la secuencia de símbolos s[n] = [-1,1,-1,-1,1,1,1,-1].

• En este caso Ts = Tb y por tanto Rs y Rb coincidirán.

Bit Símbolo

0 -1

1 1

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Equivalentes paso bajo• Supondremos siempre que utilizamos

equivalentes paso bajo de los sistemas reales de comunicación.

• Debemos considerar la posibilidad de símbolos complejos,

s[n] = si[n] + jsq[n]

donde si[n] y sq[n] denotan respectivamente las componentes fase y cuadratura del símbolo s[n].

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EJEMPLO: Un codificador de 2 bits/símbolo.• Si realizamos el mapa siguiente:

la secuencia original de bits m[l] = 0,1,0,0,1,1,1,0 resultaría en una secuencia de símbolos

s[n] = j,1,-j,-1• Cada símbolo lleva información de 2 bits

Ts = 2Tb Rs = Rb/2

Bits Símbolo

00 1

01 j

10 -1

11 -j

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Constelación transmitida• Si marcamos sobre un

plano complejo los posibles valores de los símbolos transmitidos, obtendremos la constelación de la señal transmitida.

Re

Im

1 -1

1 0

Re

Im

1 -1

j

-j

00

01

10

11

Re

Im

00 01

10 11

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Ejemplo: 128 - QAM

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• Supongamos que, debido a un error, se recibiese la secuencia de símbolos

s’[n] = j,1,1*,-1 (el * indica el símbolo erróneo)

• El mensaje decodificado sería01000010

66 ‘B’

• Obsérvese que entre el mensaje binario original y el decodificado hay dos bits de diferencia. Original: 0 1 0 0 1 1 1 0

Decodificado: 0 1 0 0 0 0 1 0

Un error !!!!

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Códigos de Gray• Cuando se produce un error, se suele

confundir el símbolo con uno de los más próximos

• Parece lógico, que los bits asociados a símbolos más próximos se parezcan más entre sí, de modo que, al producirse un error en un símbolo este repercuta en el menor número de bits posibles.

• Esto es lo que persigue la codificación Gray.

Re

Im

1 -1

j

-j

00

01

10

11

Re

Im

1 -1

j

-j

00

01

11

10

Código no Gray Código Gray

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EJEMPLO: Codificador alternativo (Gray)

Re

Im

1 -1

j

-j

00

01

11

10

• Si hubiesemos utilizado el codificador:

Mensaje: 01001110 Codificada: j,1,-1,-j.Recibida: j,1,-j*,-j Decodificado: 01001010 74

‘J’. • Entre el mensaje binario original y el

decodificado habría ahora únicamente un bit de diferencia.Original: 01001110Decodificado: 01001010

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Ejemplo: 256 QAM (Gray) (un cuadrante)

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Modulador• Elemento encargado de convertir la secuencia de

símbolos presentes a la salida del codificador en una señal analógica s(t) que pueda ser transmitida a través del canal de comunicaciones.

• Tecnológicamente se despliegan en este punto un enorme número de posibilidades dependiendo de las características que se pretendan obtener del sistema de comunicaciones.

• Iremos revisando algunas de los diferentes técnicas de modulación utilizadas habitualmente.

• A la salida del modulador encontraremos una señal analógica s(t) que debe contener la información necesaria para la correcta transmisión del mensaje.

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Ejemplo de modulador• Se podría construir una

señal analógica s(t) asignando formas de onda diferentes a los diferentes símbolos.

• Podríamos transmitirp1(t) cuando s[n] = s0 = 1

p-1(t) cuando s[n] = s1 = –1

• La señal que transmitiríamos sería:

0 ½Ts Ts t

p1(t)

1

0 ½Ts Ts t

p-1(t)

1

0 Ts 2Ts 3Ts 4Ts 5Ts 6Ts 7Ts 8Ts t

s(t)

1

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Moduladores sin memoria• Aunque existen moduladores “con memoria”

(la señal transmitida en cada instante depende de la señal actual y de señales anteriores), para estudiar las principales características de un sistema de transmisión digital podemos suponer que nuestro sistema utiliza un modulador “sin memoria”:

• Un modelo habitual de modulador que puede servir para describir un buen número de modulaciones viene dado por la expresión:

• Dependiendo de ps(t), el esquema anterior puede dar lugar a diferentes modulaciones.

ss kk

s t p t kT

s sk

s t s k p t kT

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EJEMPLO: Un modulador en I-Q• Partiendo de la secuencia s[n] = j,1,-1,-j si

utilizamos un modulador que genere a la salida

con ps(t) = u(t)-u(t-Ts).

• Las señales generadas en los canales en fase y en cuadratura serán:

s sk

s t s k p t kT

0 Ts 2Ts 3Ts 4Ts 5Ts

t

si(t) 1

0 Ts 2Ts 3Ts 4Ts 5Ts

t

sq(t) 1

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EJEMPLO: Un modulador I-Q (2)• La señal que realmente se emitirá será

ŝ(t) = Re{s(t)·ej2f0t}

i q 0 0s t Re s t js t cos 2 f t jsen 2 f t i 0 q 0s t s t cos 2 f t s t sen 2 f t

0 Ts 2Ts 3Ts 4Ts 5Ts

t

1 si(t)cos(2πf0t)

0 Ts 2Ts 3Ts 4Ts 5Ts

t 1

-sq(t)sin(2πf0t)

0 Ts 2Ts 3Ts 4Ts 5Ts

t

1 si(t)cos(2πf0t)- sq(t)sin(2πf0t)

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EJEMPLO: Un modulador I-Q (y 3)f0 = 10 Hz

f0 = 500 Hz

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EJEMPLO: Modulador con pulso de Nyquist• Si el pulso ps(t) es un pulso de Nyquist:

y se utiliza un modulador lineal binario con símbolos de entrada ±1, la señal de salida será:

0 Ts 2Ts 3Ts 4Ts 5Ts

t

1

pt(t)

-1 1 -1 -1 1 1 1 -1

s(t)

1

0 Ts 2Ts 3Ts 4Ts 5Ts 6Ts 7Ts 8Ts 9Ts 10Ts 11Ts 12Ts 13Ts 14Ts t

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Canal• El canal es el medio utilizado para transportar

la señal desde el transmisor hasta el receptor. • Puede ser un medio físico: hilos conductores,

fibra óptica, guía de ondas..., o bien puede estar constituido por la atmósfera o el espacio, como en los radioenlaces terrenales por microondas, en las comunicaciones vía satélite o en la telefonía móvil.

• Describiremos el canal analógico mediante su respuesta impulsional hc(t) o equivalentemente mediante su función de transferencia Hc(f).

• A la salida del mismo nos encontraremos con una señal c(t) dada por:

c(t) = s(t)*hc(t) C(f) = S(f)·Hc(f)

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Ejemplos de canales• Canal ideal

• Un canal ideal, que no presentara retraso ni atenuación, entregaría a la salida una señal c(t) idéntica a la señal s(t) que se hubiera presentado a su entrada.

• Su respuesta impulsional hc(t) se representaría como una delta,

hc(t) = δ(t)

• Retardo y atenuación• Para modelar un canal con retardo y atenuación

utilizaríamos una expresión para su respuesta impulsional como la siguiente:

hc(t) = α•δ(t-td)siendo α la atenuación del canal y el parámetro td el retraso del mismo.

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Ruido• Uno de los problemas inevitables de cualquier

sistema de comunicación es la presencia de ruido.

• En nuestros modelos introduciremos el ruido como una señal v(t), descrita en términos estadísticos y que se añade a la señal de salida del canal, para obtener la señal de entrada a los circuitos del demodulador:

x(t) = c(t) + v(t)• Debemos interpretar este ruido como un “ruido

equivalente”. • Será necesaria una caracterización estadística

doble:• Función densidad de probabilidad (usualmente Gauss)• Densidad espectral de potencia (usualmente plana)

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EJEMPLO: Descripción del ruido• Ruido blanco

• Si decimos que v(t) es un ruido blanco esto significa que su densidad espectral de potencia es plana (igual a todas las frecuencias):

Svv(f) = v2

• Dado que la autocorrelación y la densidad espectral de potencia forman un par transformado:

rvv() = E{v(t)v*(t-)} = v2()

• Ruido gaussiano• Si decimos que v(t) es un ruido gaussiano de media

cero estamos imponiendo una f.d.p. a las muestras del ruido:

2

2v

v

2v(t )

v

1f v e

2

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Ejemplos de ruido (diferentes p.d.f.’s)

Gauss Rayleigh

Rice Uniforme

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Ejemplos de ruido (gauss) (diferentes colores)

Ruidoblanco

Ruidorosa

Ruidomarrón

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Demodulador• El demodulador es el elemento encargado de

interpretar la señal recibida, extrayendo de la misma los símbolos que fueron inyectados en el modulador.

• El demodulador es probablemente el elemento más complejo de todo el sistema de transmisión, ya que normalmente necesita la incorporación de circuitos auxiliares de sincronismo, ecualización, muestreo...

• En cualquier caso, a la salida del demodulador nos encontraremos con una secuencia discreta de símbolos que denominaremos r[n], secuencia que será entregada al detector para su interpretación.

• Nos centraremos en la demodulación mediante filtro adaptado, por ser óptimos para modulaciones lineales sin memoria.

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EJEMPLO: Demodulador con filtro adaptado• En modulaciones lineales sin memoria, la

estructura de un demodulador óptimo es la siguiente:

donde la expresión del filtro adaptado es:

FILTRO

ADAPTADO

Señal recibida

x(t) (señal

analógica)

DEMODULADOR

Símbolos recibidos

r[n] (secuencia discreta)

Señal salida

r(t) (señal

analógica)

0j2 ft* *s c

rvv

P f H f eH f k

S f

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EJEMPLO: Demodulador y constelación• Las muestras tomadas a la salida del

demodulador constituyen la constelación de la señal recibida.

Recepcióncorrecta

Excesode ruido

Error de faseen sincronismo

de portadora

Error defrecuencia ensincronismode portadora

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Detector• El detector o decisor es elemento encargado de

interpretar la secuencia de símbolos r[n] presente a la salida del demodulador con el objetivo de determinar la secuencia de símbolos original transmitida s[n].

• A la salida del detector encontraremos una secuencia de símbolos s’[n], donde la tilde indica “estimados” o lo que es lo mismo, que pueden ser erróneos.

• Probablemente el parámetro de calidad más importante de un sistema de transmisión digital es precisamente el porcentaje de símbolos erróneos que se recibe, parámetro que suele expresarse como una probabilidad y que se denomina Probabilidad de Error de Símbolo.

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Decodificador• El objetivo del decodificador es analizar s’[n]

para determinar el mensaje original. Si en el codificador se han introducido códigos de protección y corrección de errores, el decodificador deberá ser capaz de procesar adecuadamente dicha información.

• A la salida encontraremos en cualquier caso un mensaje “estimado” m’[l], formado por una secuencia de bits.

• Otro de los parámetros de interés en un sistema digital de comunicaciones es la Probabilidad de Error de Bit, que no tiene porqué coincidir con la Probabilidad de Error de Símbolo anteriormente descrita.

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Canal digital equivalente

FUENTE

CODIFI-CADOR

MODU-LADOR

CANAL

DEMODU-LADOR

DETECTOR

DESTINO

Mensaje transmitido

m[l] (secuencia

digital)

Símbolos transmitidos

s’[n] (secuencia

digital)

Señal transmitida

s(t) (señal

analógica)

Ruido

v(t) (señal

analógica)

Señal recibida

x(t) (señal

analógica)

Símbolos recibidos

r[n] (secuencia discreta)

Mensaje recibido

m’[l] (secuencia

digital)

Señal de salida del canal

c(t) (señal

analógica)

Símbolos estimados DECODIFI-

CADOR

s[n] (secuencia

digital)

CANAL DIGITAL

EQUIVALENTE

CANAL DISCRETO

EQUIVALENTE

CANAL BINARIO

EQUIVALENTE

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Canal digital equivalente

FUENTECODIFICADOR

MODULADOR

CANAL

DESTINODECODI

FICADORDETEC

TORDEMODULADOR

Mensajeemitido

m[l](secuenciabinaria)

Símbolos emitidos

s[n](secuencia

digital)

Señalemitida

s(t)(señal

analógica)

Señal a la salida del

canal

c(t)(señal

analógica)

Ruido

v(t)(señal analógica)

Señalrecibida

x(t)(señal

analógica)

Símbolos recibidos

r[n](secuencia discreta)

Símbolos estimados

s’[n](secuencia

digital)

Mensajerecibido

m’[l](secuenciabinaria)

CANAL DIGITAL EQUIVALENTE

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Canal digital equivalente• Si observamos el esquema de un sistema

digital de comunicaciones, podemos ver que a la entrada del modulador tenemos una secuencia discreta s[n], y a la salida del demodulador nos encontramos con una nueva secuencia discreta r[n].

• Podemos suponer que la cadena “modulador – canal – ruido – demodulador” se comporta de manera equivalente a un canal discreto. CANAL

DIGITAL hd[n]

s[n]

Secuencia de símbolos de

entrada

r[n]

Secuencia de símbolos de

salida

w[n] Ruido discreto

Page 38: Tema 1   canales en comunicaciones digitales

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Canal digital equivalente• El modelo resultaría por tanto:

r[n] = s[n]*hd[n] + w[n]

donde:• hd[n] es la respuesta impulsional del canal digital

equivalente.• w[n] es el ruido discreto equivalente.

• Para tener perfectamente caracterizado el canal digital equivalente necesitamos determinar:• La respuesta impulsional hd[n]

• Las características de w[n] • Función densidad de probabilidad • Densidad espectral de potencia

Page 39: Tema 1   canales en comunicaciones digitales

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Obtención del canal digital equivalente

MODU-LADOR

CANAL

DEMODULADOR

Símbolos transmitidos

Señal transmitida

s(t) (señal

analógica)

Ruido

v(t) (señal

analógica) Señal recibida

x(t) (señal

analógica)

Símbolos recibidos

r[n] (secuencia discreta)

Señal de salida del canal

c(t) (señal

analógica)

s[n] (secuencia

digital)

CANAL DIGITAL

EQUIVALENTE

FILTRO ADAPTADO

r(t) (señal

analógica)

Señal filtrada

CANAL DIGITAL

hd[n]

s[n]

Secuencia de símbolos de

entrada

r[n]

Secuencia de símbolos de

salida

w[n] Ruido discreto

¿hd[n]?¿w[n]?

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Obtención de hd[n]• Utilizaremos superposición:

• Haciendo v(t) = 0 w[n] = 0 obtendremos hd[n]

• Del modelo digital • Del modelo analógico

r[n] = r(nTs+t0)

t0 Instante óptimo de muestreo de r(t)

• Para obtener t0 será necesario determinar que instante elegirán (o debieran elegir) los circuitos de sincronismo.

• El objetivo es tomar la muestra en el instante en que la probabilidad de error de símbolo sea menor.

d dm

r n s n *h n s m h n m

00 e,st

t arg min P

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Obtención de t0

• Obtendremos primero una expresión de r(t)r(t) = x(t) * hr(t) = c(t) * hr(t)

• Utilizando las siguientes definiciones:pc(t) = ps(t)*hc(t) = Pulso a la salida del canal (recibido).pr(t) = pc(t)*hr(t) = Pulso a la salida del filtro de recepción. s s c r

m

r t s m p t mT *h t *h t

s s c rm

r t s m p t mT *h t *h t

r sm

r t s m p t mT

v(t) = 0

c rr t s t *h t *h t

Page 42: Tema 1   canales en comunicaciones digitales

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Obtención de t0

• En general, los circuitos de sincronismo deben elegir t0 para que la probabilidad de error de símbolo sea mínima.

• En la práctica se utilizan diferentes técnicas de sincronización, con diferentes resultados (véase cap. 6 “Digital Communications”).

• A fin de simplificar el procedimiento y dado que las técnicas de sincronismo de símbolo quedan fuera de los objetivos de este tema, supondremos que los circuitos de sincronismo se “enganchan” al punto máximo del pulso recibido (esta no es la solución óptima, pero puede constituir una buena aproximación).

Page 43: Tema 1   canales en comunicaciones digitales

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Ilustración obtención de t0

t

pr(t)

Máximo

Valor de t para el que se produce = t0

Page 44: Tema 1   canales en comunicaciones digitales

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EJEMPLO: Determinación de t0

• Parámetros del sistema:• Pulso transmitido ps(t) =A·(u(t)-u(t-Ts)) =

Π((t-Ts/2)/Ts)

• Canal ideal hc(t) = δ(t)

• Filtro receptor hr(t) = kps(Ts-t) = kA·(u(t)-u(t-Ts))

pc(t) = ps(t) * hc(t) = ps(t)

pr(t) = pc(t) * hr(t) = kA2Ts·Λ((t-Ts)/2Ts)

0 Ts 2Ts

t

pr(t) kA2Ts

0 Ts t

ps(t) A

0 t

hc(t)

1

0 Ts t

hr(t)

kA

Valormáximo

t0 = Ts

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EJEMPLO: Determinación de t0

• Parámetros del sistema:• Pulso transmitido ps(t) =A·(u(t)-u(t-Ts)) =

Π((t-Ts/2)/Ts)

• Canal con retraso y atenuación hc(t) = αδ(t-td)

• Filtro receptor hr(t) = kps(Ts-t) = kA·(u(t)-u(t-Ts))

pc(t) = ps(t) * hc(t) = αps(t-td)

pr(t) = pc(t) * hr(t) = kαA2Ts·Λ((t-td-Ts)/2Ts)

0 td td+Ts td+2Ts t

pr(t) kαA2Ts

0 Ts t

ps(t) A

0 td t

hc(t)

α

0 Ts t

hr(t)

kA

Valormáximo

t0 = td+Ts

Page 46: Tema 1   canales en comunicaciones digitales

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Obtención de hd[n] (continuación)• Del modelo analógico

r[n] = r(nTs+t0)

r(t) = x(t) * hr(t) = c(t) * hr(t)

r(t) = s(t) * hc(t) * hr(t)

v(t) = 0

c r t s c rm

r t s t *h t *h t s m p t mT *h t *h t

t s c rm

r t s m p t mT *h t *h t

r sm

r t s m p t mT

s 0 r s 0 sm

r n r nT t s m p nT t mT

r s 0

m

r n s m p n m T t

Page 47: Tema 1   canales en comunicaciones digitales

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Obtención de hd[n] (y 3)• Del modelo analógico

• Del modelo digital

• Conclusión:

r s 0m

r n s m p n m T t

d dm

r n s n *h n s m h n m

d r s 0h n m p n m T t

d r s 0h n p nT t

Page 48: Tema 1   canales en comunicaciones digitales

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Obtención de hd[n]. Interpretación

d r s 0h n p nT t

t

hd[n]

-4 -3 -2 -1 0 1

t

pr(t)

t0-4Ts t0-3Ts t0-2Ts t0-Ts t0 t0+Ts

Page 49: Tema 1   canales en comunicaciones digitales

Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 50

EJEMPLO. Obtención de hd[n]• Parámetros del sistema

• Pulso transmitido ps(t) =A·(u(t)-u(t-Ts)) = AΠ((t-Ts/2)/Ts)

• Canal ideal hc(t) = δ(t)

• Filtro receptor hr(t) = kps(Ts-t) = kA·(u(t)-u(t-Ts))

• Nótese que si el canal hubiese tenido retraso y atenuación hc(t) = αδ(t-td)

0 Ts 2Ts

t

pr(t) kA2Ts

-1 0 1 n

hd[n]

kA2Ts

0 td td+Ts td+2Ts t

pr(t) kαA2Ts

-1 0 1 n

hd[n]

kαA2Ts

Page 50: Tema 1   canales en comunicaciones digitales

Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 51

Intrepretación de hd[n]• Partiendo ya del canal digital equivalente:

es posible notar que:• hd[0] ≠ 0 por definición (o no hay transmisión)

• si hd[n] ≠ kδ[n] Hay ISI en el sistema Ecualizador

• EJEMPLO:s[n] = [-1,1,-1,-1,1,1,1,-1]hd[n] = δ[n] + 0.3 δ[n-1]

r[n] = [-1,0.7,-0.7,-1.3,0.7,1.3,1.3,-0.7,0.3]• NOTA: Aunque en este caso la ISI por si sola no es

suficiente para provocar un error de transmisión, ESTARíA DEBILITANDO LA SEÑAL FRENTE AL RUIDO.

d dm

r n s n *h n s m h n m

Page 51: Tema 1   canales en comunicaciones digitales

Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 52

Caracterización del ruido• La relación entre v(t) y w[n] viene dada por:

w[n] = w(nTs+ t0)

donde

• Función densidad de probabilidad:v(t) Gauss de media 0 w[n] Gauss de media 0

r rw(t) v t *h t h v t d

2

2v

v

2v t

v

1f v e

2

2

2w

w

2w n

w

1f w e

2

Page 52: Tema 1   canales en comunicaciones digitales

Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 53

Caracterización del ruido• Obtención densidad espectral de potencia de

w[n]v(t) Densidad espectral de potencia Svv(f)

v(t) Función de autocorrelación rvv(τ)

rvv(τ) = E{v(t)v*(t-)} = F-1{Svv(f)}

w[n] Densidad espectral de potencia Sww(F)

w[n] Función de autocorrelación rww[m]

rww[m] = E{w[n]w*[n-m]} = F-1{Sww(F)}

• Sustituyendo w[n] = w(nTs+ t0)

rww[m] = E{w(nTs+to)w*((n-m)Ts+t0]} = rww(mTs)

• Utilizando los resultados ya conocidos de ruido a través de sistemas lineales:

rww(t) = rvv(t) * rhrhr(t) = rvv(t) * hr(t) * hr*(-t)

Page 53: Tema 1   canales en comunicaciones digitales

Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 54

EJEMPLO. Caracterización del ruido• En el ejemplo que venimos siguiendo

hr(t) = kA(u(t)-u(t-Ts))

rhrhr(τ) = k2A2Ts·Λ(t/2Ts)

• Si el ruido v(t) es blancorvv(τ) = σv

2δ(τ)

rww(τ) = σv2k2A2Ts·Λ(t/2Ts)

• La autocorrelación del ruido digital serárww[m] = rww(mTs)

rww[m] = σv2k2A2Ts·δ[m]

-Ts 0 Ts t

rhrhr(τ) k2A2Ts

-Ts 0 Ts t

rww(τ) σv

2k2A2Ts

-1 0 1 n

rww[m]

σv2k2A2Ts

Page 54: Tema 1   canales en comunicaciones digitales

Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 55

Caracterización del ruido. Relaciones• Potencia de ruido

σw2 = Potencia de ruido = rww[0]

rww[0] = rww(0) = rvv(τ)*rhrhr(τ)|τ=0

• Si el ruido v(t) es blanco rvv(τ) = σv2δ(τ)

pero rhrhr(0) es, precisamente, la energía del filtro receptor.

• CONCLUSIÓN: En caso de ruido blanco la potencia de ruido en el modelo digital simplemente se incrementa en la energía del filtro de recepción.

• CONCLUSIÓN: Si la “k” del filtro de recepción se elige de forma que la energía sea 1, se simplifica la formulación.

r rww h h vvr 0 r u r u du

r r r r

2 2 2w ww h h v v h hr 0 r u u du r 0

Page 55: Tema 1   canales en comunicaciones digitales

Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 56

EJEMPLO. Normalización del filtro receptor• En el ejemplo que venimos siguiendo

hr(t) = kA(u(t)-u(t-Ts))

rhrhr(τ) = k2A2Ts·Λ(t/2Ts)

rhrhr(0) = k2A2Ts

Si queremos normalizar rhrhr(0) = k2A2Ts = 1

• Si el ruido v(t) es blancorvv(τ) = σv

2δ(τ)

rww(τ) = σv2Λ(t/2Ts)

• La autocorrelación del ruido digital serárww[m] = rww(mTs)

rww[m] = σv2δ[m]

s

1k

A T

Page 56: Tema 1   canales en comunicaciones digitales

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EJEMPLO. Normalización del filtro receptor• Otra consecuencia de la normalización del filtro

receptor es que afecta a la amplitud de hd[n].

• En el ejemplo que hemos venido desarrollando• Pulso transmitido ps(t) =A·(u(t)-u(t-Ts)) =

AΠ((t-Ts/2)/Ts)

• Canal ideal hc(t) = δ(t)

• Filtro receptor hr(t) = kps(Ts-t) = 1/√Ts·(u(t)-u(t-Ts))

• CONCLUSIÓN: Al normalizar el filtro receptor y si no hay ISI hd[n] = √Epδ[n]

• CONCLUSIÓN: A partir de ahora tomaremos siempre el filtro receptor normalizado.

0 Ts 2Ts

t

pr(t)

sA T

-1 0 1 n

hd[n] sA T

Page 57: Tema 1   canales en comunicaciones digitales

Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 58

Parámetros importantes de una transmisión• Energía del pulso y energía media por símbolo

• Se calculan a la entrada del receptor, es decir, sobre c(t)

• Densidad espectral de ruido (supuesto blanco)• Se calcula a la entrada del receptor, es decir, sobre

v(t), pero teniendo en cuenta toda la cadena de recepción

σv2 = σw

2 = N0/2 = kT0F/2

• Por eso la potencia de ruido disponible en un equipo de comunicaciones es siempre

Pn = kT0FB

2

p cE p t

J 1 J 12 2

s j j p j pj 0 j 0

Equiprobables

1E p s s E s E

J

Page 58: Tema 1   canales en comunicaciones digitales

Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 59

El canal discreto equivalente

FUENTE

CODIFI-CADOR

MODU-LADOR

CANAL

DEMODU-LADOR

DETECTOR

DESTINO

Mensaje transmitido

m[l] (secuencia

digital)

Símbolos transmitidos

s’[n] (secuencia

digital)

Señal transmitida

s(t) (señal

analógica)

Ruido

v(t) (señal

analógica)

Señal recibida

x(t) (señal

analógica)

Símbolos recibidos

r[n] (secuencia discreta)

Mensaje recibido

m’[l] (secuencia

digital)

Señal de salida del canal

c(t) (señal

analógica)

Símbolos estimados DECODIFI-

CADOR

s[n] (secuencia

digital)

CANAL DIGITAL

EQUIVALENTE

CANAL DISCRETO

EQUIVALENTE

CANAL BINARIO

EQUIVALENTE

Page 59: Tema 1   canales en comunicaciones digitales

Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 60

El canal discreto equivalente (sin memoria)• Observando el esquema podemos ver que a la

entrada del modulador tenemos una secuencia de símbolos s[n]= {s0…sJ-1}, y a la salida del detector nos encontramos con una nueva secuencia discreta s’[n] con otros valores posibles {r0…rK-1}.

• ¿Cómo modelaría el sistema un observador que estuviera analizando ambas secuencias?

CANAL DISCRETO

EQUIVALENTE

s[n]

Secuencia de símbolos de

entrada

s’[n]

Secuencia de símbolos de

salida

Page 60: Tema 1   canales en comunicaciones digitales

Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 61

Canal discreto equivalente• El modelo que utilizaremos para representarlo

será una matriz de probabilidades de transición:

• NOTAS• Se utilizará rk en lugar de s’

k por claridad.

• No confudir los símbolos rk detectados con la secuencia r[n] a la entrada del detector.

• Obsérvese que la suma de cualquier fila es 1p(r0|sj) + p(r1|sk) + … + p(rJ-1|sk) = 1 (p. total)

0 0 1 0 K 1 0

0 1 1 1 K 1 1

0 J 1 1 J 1 K 1 J 1

p r | s p r | s p r | s

p r | s p r | s p r | s

p r | s p r | s p r | s

Page 61: Tema 1   canales en comunicaciones digitales

Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 62

Canal discreto equivalente• En ocasiones, cuando J x K = número total de

combinaciones es bajo, puede representarse la matriz anterior en forma gráfica:

p(r0|s0)

p(r1|s0) p(r2|s0)

s0

s1

s2

s3

r0

r1

r2

Page 62: Tema 1   canales en comunicaciones digitales

Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 63

Obtención del canal discreto equivalente• Para tener perfectamente especificado el

canal discreto equivalente necesitamos determinar la matriz anterior.

• Para ello partiremos del canal digital equivalente y obtendremos cada una de las probabilidades.

• EJEMPLO:• Pulso transmitido ps(t) =AΠ((t-Ts/2)/Ts)

• Canal ideal hc(t) = δ(t)

• Filtro receptor normalizado hr(t) = 1/√Ts·Π((t-Ts/2)/Ts)

• Ruido blanco

• Potencia de ruido σv2 = N0/2 = kT0F/2

• Codificador binario s[n] = {s0,s1} = {-1,1}

• Detector s’[n]=signo(r[n])

Page 63: Tema 1   canales en comunicaciones digitales

Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 64

Obtención del canal discreto equivalente• Canal digital equivalente

• hd[n] = √Epδ[n]

• w[n] blanco de potencia σw2 = N0/2

• Determinación de p(r0|s0) y p(r1|s0)• Señal recibida si se transmite s0

r|s0 = -√Ep + w

• Función densidad de probabilidad de la señal recibida

2 2p p

2w 0

0

r E r E

2 Nr|s

w 0

1 1f r e e

2 N

0

0p p

0 0 0 r|s0 0

E 2E1p r | s p r | s 0 f r dr 1 erfc 1 Q

2 N N

p p1 0 0 0

0 0

E 2E1p r | s 1 p r | s erfc Q

2 N N

Page 64: Tema 1   canales en comunicaciones digitales

Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 65

El canal binario equivalente

FUENTE

CODIFI-CADOR

MODU-LADOR

CANAL

DEMODU-LADOR

DETECTOR

DESTINO

Mensaje transmitido

m[l] (secuencia

digital)

Símbolos transmitidos

s’[l] (secuencia

digital)

Señal transmitida

s(t) (señal

analógica)

Ruido

v(t) (señal

analógica)

Señal recibida

x(t) (señal

analógica)

Símbolos recibidos

r[n] (secuencia discreta)

Mensaje recibido

m’[l] (secuencia

digital)

Señal de salida del canal

c(t) (señal

analógica)

Símbolos estimados DECODIFI-

CADOR

s[n] (secuencia

digital)

CANAL DIGITAL

EQUIVALENTE

CANAL DISCRETO

EQUIVALENTE

CANAL BINARIO

EQUIVALENTE

Page 65: Tema 1   canales en comunicaciones digitales

Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 66

El canal binario equivalente• Observando el esquema podemos ver que a la

entrada del codificador tenemos una secuencia binaria m[l], y a la salida del decodificador nos encontramos con una nueva secuencia binaria m’[l].

• Ambas secuencias tienen únicamente dos símbolos posibles: 0 y 1.

• Sería posible establecer un modelo especial de canal discreto denominado canal binario, que relacione ambas secuencias:

0|0 1|0

0|1 1|1

p p

p p

0

1

0

1

p0|0

p1|0 p0|1

p1|1

Page 66: Tema 1   canales en comunicaciones digitales

Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 67

Obtención del canal binario equivalente• Para obtener el canal binario equivalente

necesitaremos conocer:• El canal discreto equivalente• El funcionamiento del codificador/decodificador.

• Deseamos calcular• p0|0 Probabilidad de recibir un ‘0’ si se transmite un ‘0’

• p0|1 Probabilidad de recibir un ‘0’ si se transmite un ‘1’

• p1|0 Probabilidad de recibir un ‘1’ si se transmite un ‘0’

• p1|1 Probabilidad de recibir un ‘1’ si se transmite un ‘1’

• Nótese que p0|0 + p1|0 = p0|1 + p1|1 = 1

• Será necesario identificar todas las posibles situaciones y realizar un promedio.

• Normalmente explotaremos la simetría.

Page 67: Tema 1   canales en comunicaciones digitales

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Obtención del canal binario equivalente• EJEMPLO:

• Codificador QPSK (no Gray)• Canal discreto equivalente

• Supongamos que se transmite un ‘0’. Hay 4 posibles situaciones:

• 1) 1er cero de s0

• 2) 2º cero de s0

• 3) 1er cero de s1

• 4) 2º cero de s2

Re

Im

1 -1

j

-j

00

01

10

11

s0

s1

s2

s3

0.75 0.1 0.05 0.1

0.1 0.75 0.1 0.05

0.05 0.1 0.75 0.1

0.1 0.05 0.1 0.75

Page 68: Tema 1   canales en comunicaciones digitales

Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 69

Obtención del canal binario equivalente• EJEMPLO (continuación)

• Debemos determinar la probabilidad de que se reciba un ‘0’ para cada una de las situaciones anteriores.

• Situación 1): Se recibirá un ‘0’ si se recibe el símbolo s0 o s1

p0|01 = p(r0|s0) + p(r1|s0) = 0.85

• Situación 2): Se recibirá un ‘0’ si se recibe el símbolo s0 o s2

p0|02 = p(r0|s0) + p(r2|s0) = 0.8

• Situación 3): Se recibirá un ‘0’ si se recibe el símbolo s1 o s0

p0|03 = p(r1|s1) + p(r0|s1) = 0.85

• Situación 4): Se recibirá un ‘0’ si se recibe el símbolo s2 o s0

p0|04 = p(r2|s2) + p(r0|s2) = 0.8

• Suponiendo equiprobables las cuatro situaciones anteriores:

p0|0 = ¼ · (p0|01 + p0|0

2 + p0|03 + p0|0

4 )

p0|0 = 0.825

p1|0 = 1 - p0|0 = 0.175

Page 69: Tema 1   canales en comunicaciones digitales

Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 70

Obtención del canal binario equivalente• EJEMPLO (continuación)

• En este caso hay simetría en el problema, luegop1|1 = p0|0 = 0.825

p0|1 = p1|0 = 0.175

• Se trataría de un canal binario simétrico.

• También podemos describirlo diciendo que se trata de un canal binario simétrico con una probabilidad de error

Pe = 0.175

0.825 0

1

0

1

0.175 0.175

0.825

Page 70: Tema 1   canales en comunicaciones digitales

Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 71

Conclusiones• 4 modelos de canal

• Canal analógico o de forma de onda• Muchos parámetros, mayor complejidad• Diseño de moduladores, demoduladores…

• Canal digital equivalente• Pocos parámetros, más versatilidad• Diseño de ecualizadores, análisis de ISI, ruido, …

• Canal discreto equivalente• Matriz de probabilidades de transición• Diseño de codificadores, criptografía

• Canal binario equivalente• Modelo más sencillo posible• Diseño de codificadores de fuente, protocolos de

enlace…

• La obtención sólo es posible en un sentidoAnalógico Digital Discreto Binario

Page 71: Tema 1   canales en comunicaciones digitales

Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 72

Referencias• Communication Systems, 3rd .ed.

• Simon Haykin, John Wiley & Sons, 1994.• Apartados 1.1, 1.3, 1.4, 1.7, 2.11 a 2.13, 4.10 a 4.14,

7.1 a 7.4, 7.10, 8.2, 8.7, 8.8 y 8.22, 10.5, Apéndices 6 (Figura de Ruido), 8 (Caracterización estadística de procesos aleatorios complejos) y 10 (Criptografía)

• Digital Communications, 4th ed.• John G. Proakis, McGraw-Hill, 2001.• Apartados 1.1, 1.2, 1.3, 3.3, 4.1 a 4.3, 5.1, 5.2, 6.3, y

7.1• An Introducction to Digital Communications

• Jack Kurzweil, John Wiley & Sons, 2000.• Apartados 3.1, 3.2, 3.6, 3.8, 3.10, 3.12, 3.18, 4.1 a

4.6, 4.A, 5.3 a 5.6, 6.8 a 6.10, 7.1, 8.1 a 8.3.• Digital Transmission Engineering

• John B. Anderson, 1999.• Apartados 2.4, 3.1, 3.3, 3.8, 3.A a 3.C, 4.8, 6.1 y 7.1