EL3001 - Análisis y Diseño de
Circuitos EléctricosCircuitos Eléctricos
Profesor Pablo Estévez V.
Otoño 2009
T í d i it t dTeoría de circuitos concentrados
! Circuito físico Interconexión de componentes y !! Circuito físico Interconexión de componentes y dispositivos eléctricos reales.
! D d i it fí i i t d i
!
! Dado un circuito físico interesa predecir su comportamiento en términos de voltajes y corrientes
2 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Marzo de 2009
T í d i it t dTeoría de circuitos concentrados
! Sistema de luz en un ! Representación mediante ! Sistema de luz en un automóvil
! Representación, mediante elementos ideales, del sistema de luz de un sistema de luz de un automóvil
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T í d i it t dTeoría de circuitos concentrados
! Circuito Interconexión de elementos ideales.!! Circuito Interconexión de elementos ideales.! Elementos Ideales:
! Representan o aproximan las propiedades de los elementos
!
! Representan o aproximan las propiedades de los elementos físicos simples o fenómenos físicos. Están precisamente definidos o caracterizados.
! El análisis de circuitos consiste en determinar los voltajes y corrientes en cada uno de los elementos, dado que se y , qconocen el circuito y sus señales de entrada.
! El diseño de circuitos consiste en encontrar un circuito (típicamente los parámetros de los elementos) de modo de producir una salida determinada ante ciertas señales pde entrada.
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T í d i it t dTeoría de circuitos concentrados
! ¿Qué es un circuito concentrado?! ¿Qué es un circuito concentrado?! Un circuito concentrado es aquel cuyas dimensiones físicas son
pequeñas comparadas con la longitud de onda asociada con la pequeñas comparadas con la longitud de onda asociada con la mayor frecuencia de interés.
! Desde el punto de vista de la teoría electromagnética el ! Desde el punto de vista de la teoría electromagnética el circuito se reduce a una singularidad puntual y las ondas
i t tá t l i itse propagan instantáneamente por el circuito.
! Elementos ideales concentrados no tienen dimensiones físicas ni orientación espacial preferencial.
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T í d i it t dTeoría de circuitos concentrados
! Sea ! Sea ! d: dimensión del circuito
! c l id d d ió d d l t éti! c: velocidad de propagación de ondas electromagnéticas
! !: longitud de onda de la mayor frecuencia de interés
f f! f: frecuencia
1!! Periodo de la máxima frecuencia de interésT
fc""
1!
! Tiempo requerido por las ondas electromagnéticas para propagarse de un extremo a otro del circuitoc
d"#
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T í d i it t dTeoría de circuitos concentrados
! Condición ! Condición ! d<<!
! Ti d ió d i bl t l
$ Tcc
d"%%"
!#
T%%! Tiempo de propagación es despreciable con respecto al periodo de la máxima frecuencia de interés.
T%%#
! Ejemplo 1:! Circuito de audio
8
& ' & '8
max 3
3 1025 12
25 10
cf kHz km
f!
(" ) " " "
(
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T í d i it t dTeoría de circuitos concentrados
! Ejemplo 2:! Ejemplo 2:Cable coaxial para TV
c& ' & 'max 1000 0.3c
f MHz mf
!" ) " "
________________________________________________
Si la aproximación concentrada no es válida deben considerarse las dimensiones físicas del circuito.
Teoría de circuitos distribuidos (Líneas de transmisión, guías de onda).
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V i bl d Ci it V lt j C i tVariables de Circuito: Voltaje y Corriente
! Corriente Eléctrica = Tasa de cambio neta de la carga ! Corriente Eléctrica Tasa de cambio neta de la carga transferida a través de una sección transversal arbitraria de un elemento conductor por unidad de tiempo de un elemento conductor por unidad de tiempo.
* + * + & 'dq t
! Ampere = Coulomb/Segundo * + * + & 'dq t
i t Adt
"
! En materiales conductores, como aluminio o cobre, la corriente corresponde al movimiento de los electrones libres.
& '_
181 6.242 10 /A e s, -" ( . /0 1. /0 1
* +191.602 10eq Coulomb2" 2 (
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* +e
C i t lé t iCorriente eléctrica
Si una carga positiva +q0se transfiere de izquierda a derecha en un volumen a derecha en un volumen previamente neutro, se establece un diferencial de carga.
Si una carga negativa -q0se transfiere de derecha a izquierda en un volumen qpreviamente neutro, se establece la misma condición electro-estática condición electro estática que en el caso anterior.
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C i t lé t iCorriente eléctrica
! Por razones históricas se utiliza como referencia de ! Por razones históricas se utiliza como referencia de dirección un flujo de cargas positivas.! i(t)>0 cuando un flujo de cargas positivas entra por el nodo a y ! i(t)>0 cuando un flujo de cargas positivas entra por el nodo a y
sale por el nodo b (ver figura en página anterior).
! Fí i t i d í t l fl j ! Físicamente se requiere de energía para sostener el flujo de corriente eléctrica, usualmente a través de la
li ió d f d l j ( ) l aplicación de una fuente de voltaje v(t) entre los terminales del elemento.
! La fuente no crea carga, si no que las desplaza. El efecto se produce a la velocidad de la luz, pero las cargas p p gindividuales se mueven más lentamente.
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V lt jVoltaje
! Volts= Joules/Coulomb * + * + & 'dw t
v t V"! Volts= Joules/Coulomb (Trabajo por unidad de carga)
* +* +
& 'v t Vdq t
"
! Corresponde al trabajo w(t) requerido para transferir una unidad de carga q(t) a través de una sección transversal unidad de carga q(t) a través de una sección transversal arbitraria del elemento contra la fuerza eléctrica (debido a la presencia de otras cargas => campo eléctrico).
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p g p )
F t d i tFuente de corriente
! Alternativamente! Alternativamente
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P t i E íPotencia y Energía
* +ti
Fuente
* +ti
3
2v Carga
! p(t)=v(t)i(t) [W] Potencia instantánea absorbida por la
* +
! p(t)=v(t)i(t) [W] Potencia instantánea absorbida por la carga (entregada por la fuente)
! Energía entregada por la fuente entre t1 y t2g g p 1 y 2
* + * + * +2 2
1 11 2 ' ' ' ' '
t t
t tW[t ,t ] p t dt v t i t dt" "4 4
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1 1
El t C t d d 2 T i lElemento Concentrado de 2 Terminales
! El comportamiento ! El comportamiento del elemento está completamente completamente determinado por su característica v icaracterística v-i.
! La corriente eléctrica que ingresa por un q g pterminal es igual a la que sale por el otro q pterminal.
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El t C t d d 2 T i lElemento Concentrado de 2 Terminales
! Direcciones de referencia asociadas para el voltaje y la ! Direcciones de referencia asociadas para el voltaje y la corriente:! La flecha indica la dirección de referencia para la corriente.! La flecha indica la dirección de referencia para la corriente.
! i(t)>0 Cuando flujo neto de cargas positivas entra a la rama en el nodo A y la deja por el nodo B.
! Las marcas +/- indican las direcciones de referencia para el voltaje.! (t)>0 ( iti ) d > t i l did t ! v(t)>0 (positivo) cuando vA>vB potenciales medidos con respecto a
una misma referencia.
! CONVENCIÓN de direcciones de referencia asociadas ! CONVENCIÓN de direcciones de referencia asociadas (para elementos pasivos):! Una corriente positiva entra al elemento por el terminal ! Una corriente positiva entra al elemento por el terminal
marcado con un signo + y deja la rama por el terminal marcado por el signo -.
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P t i I t táPotencia Instantánea
! Tasa de cambio de la energía aplicada! Tasa de cambio de la energía aplicada.
* + * + * +dw t dw t dq t* + * +* +
* + * + * +( ) [ ]dw t dw t dq t
p t v t i t W wattsdt dq t dt
5 " "
! Al usar direcciones de referencia asociadas, el producto v(t)i(t)es la potencia instantánea entregada a la rama en el tiempo t (absorbida por el elemento).
* + * + [ ]
tdw tp w t pd J Joules
dt#" ) " 4dt 26
4
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C ió d P t iConservación de Potencia
! Teorema de Tellegen (versión muy simplificada pero útil): ! Teorema de Tellegen (versión muy simplificada pero útil): Para una red concentrada arbitraria de B ramas, con voltajes y corrientes de ramas v ivoltajes y corrientes de ramas
se cumple que ,k kv i
( ) ( ) 0B
k kv t i t "7
! Conservación de potencia:! Potencia suministrada por las fuentes= potencia absorbida por los
1k"
! Potencia suministrada por las fuentes= potencia absorbida por los elementos pasivos
* +ti * +* +tis * +ti
3* +t * +t2
* +tvs * +tv* + * + * + * +titvtitv ss "
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N ió d i id dNoción de pasividad
! Pasividad! Un elemento es pasivo si no entrega energía neta a la red. Ejemplos
son los elementos que siempre disipan energía, es decir
( ) ( ) ( ) 0p t v t i t" 8 t9Sin embargo, también son elementos pasivos aquellos capaces de acumular energía durante un período de tiempo, y que luego devuelven esta energía al resto de la red La clave para la definición devuelven esta energía al resto de la red. La clave para la definición de pasividad es que no exista generación neta de energía. Formalmente se debe cumplir que
* + ( ) 0
t
w t p d t# #" 8 94Con condiciones iniciales nulas (no puede haber energía acumulada
l l t )
0
4
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en el elemento)
N ió d i id dNoción de pasividad
! Activa! Si no es pasiva. Una fuente de voltaje o de corriente es activa.
! Notar que la dirección de la corriente va del signo menos al q gsigno más, contrario a la convención pasiva de direcciones de referencia asociadas. El producto v(t)i(t) corresponde a la potencia entregada por la fuente al resto de la red
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CLASE 2
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N t ióNotación
! Ramas ! Elementos de 2 terminales ! Nodos ! Unión de 2 o más terminales ! Voltaje de rama ! Voltaje presente entre los terminales de j j p
dicha rama! Corriente de rama ! Intensidad de corriente que circula por
dicha rama
! Ejemplo:
23 4v
! Ejemplo:
6,5,4,3,2,1 iiiiii
6,5,4,3,2,1 vvvvvv3
26v
3
25v
3
21v
23 3v
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23 2v
Elementos ideales de los circuitos
dconcentrados
! 1) Elementos resistivos! 1) Elementos resistivos! Un elemento de dos terminales se denomina resistivo si
para cualquier instante de tiempo t su voltaje v(t) y su para cualquier instante de tiempo t, su voltaje v(t) y su corriente i(t) satisfacen una relación definida por una curva en el plano v i (ó i v)curva en el plano v-i (ó i-v).
! A esta curva se le llama la característica del elemento resistivo en el tiempo t.
! Hay cuatro categorías de elementos resistivos:y g! Lineal o no-lineal
! Invariante o variante en el tiempo! Invariante o variante en el tiempo
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El i i li l i iElementos resistivos lineales invariantes
! Ley de Ohm: v(t)=Ri(t) ó i(t)=Gv(t)! Ley de Ohm: v(t) Ri(t) ó i(t) Gv(t)
! donde R R [!](Oh ) C d [Mh ]
1! R =Resistencia[!](Ohms) y Conductancia[Mhos]
VoltsOhms "
RG
1"
! La característica es lineal
AmperesOhms "
! La característica es lineal –invariante, ya que es una
t l 3
iR
V
recta que pasa por el origen y la curva es una f ió i d di d
RV3
2
ifunción independiente de t
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El i i li l i iElementos resistivos lineales invariantes
! Casos limites:! Casos limites:V
vEjei) Ci it bi t 0i V9
i
vEjei) Circuito abierto 0
Luego R , G 0
i V" 9
)6 )
V
iEje
i
iEjeii) Corto-Circuito 0 ,
Luego R 0, G
V i" 9
" " 6
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El i i li l i iElementos resistivos lineales invariantes
! En términos de potencia:p
* + * + * + * +2 0 0p t v t i t Ri t si R" " 8 :
! Un elemento resistivo lineal-invariante (resistencia) siempre consume (disipa) potencia. La energía eléctrica se transforma en calor y luz.y
! Físicamente el flujo de carga que atraviesa cualquier material encuentra una “resistencia” similar a la fricción mecánica, debido a que las colisiones entre electrones y átomos estacionarios que las colisiones entre electrones y átomos estacionarios convierten la energía eléctrica en calor o luz.
! La resistencia de un material depende de :! Tipo de material
L d! Longitud! Área transversal! Temperatura
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! Temperatura
C d t idi i lConductor unidireccionalMientras más
largo más
l
lR ;"
largo más
colisiones
A
AR ;
Mas grande
facilita el flujo de
electronesA electrones
& 'resistividad m; " <
8
b 1 7 10; 2 =" ( Cobre es maleable, dúctil, asequible. cobre
8
aluminio
8
plata
1.7 10
2.8 10 onductores
1.6 10
C
!
!
"#$
% # &$% # '
Cobre es maleable, dúctil, asequible. Bajo costo, buenas propiedades térmicas
p 'germanio
silicio
0.45Semiconductores
2500
% "&
% '1010 "
La resistividad de los semiconductores puede controlarse agregando otros elementos: Galio, Zinc, Fosforo
10
papel
11
m ica
12
vidrio
10
5 10 A isladores
10
"%$
% # &$% '
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vidrio '
S d tSuperconductores
alconvencion
Conductor
K23a1911en osDescubiert
ctoresSupercondu
KK
K
12595luegoy
30superan se1986En
!
KT 0 CRITICAT(
S d ti id d Z d i t i
Ejemplo:
: Superconductividad Zona de resistencia cero
Motor superconductor 5[MW] (2004) Estator estacionario de cobre Rotor enrollado superconductor enfriado con helio gaseoso a
32 [K]
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L d Ki hh ffLeyes de Kirchhoff:
Resultan de aproximaciones de las ecuaciones de Maxwell Resultan de aproximaciones de las ecuaciones de Maxwell que describen la teoría del electromagnetismo. Son válidas para circuitos concentradosválidas para circuitos concentrados.
Ley de voltajes de Kirchhoff (LVK)
Ley de corrientes de Kirchhoff (LCK)
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LVKLVK
Bucle trayectoria cerrada, a través de un 0*V " Bucle trayectoria cerrada, a través de un circuito eléctrico, que comienza y termina en
el mismo nodo
0%*Bucle
nV
el mismo nodo
L d l lt j d l i b l La suma de los voltajes de rama para cualquier bucle es cero.
El bucle de un circuito es un sistema conservativo, ya que l b j ll d d d i i i l el trabajo neto para llevar una carga desde un nodo inicial
al mismo nodo final es cero. Como el voltaje es trabajo id d d l lt j l d d d l b l por unidad de carga, el voltaje alrededor del bucle es
cero.
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LVKLVK
El voltaje es la diferencia de potencial eléctrico entre dos El voltaje es la diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos con respecto a una referencia (tierra).
El voltaje expresa el potencial eléctrico para realizar trabajo El voltaje expresa el potencial eléctrico para realizar trabajo entre dos nodos, es decir, mide la cantidad de trabajo que se realizaría para mover una carga eléctrica de un nodo al otrorealizaría para mover una carga eléctrica de un nodo al otro.
Ejemplo: Ejemplo:
rRlR
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A li ió d LVKAplicación de LVK
Se da una dirección de referencia al bucle y se asigna el Se da una dirección de referencia al bucle, y se asigna el signo + a los voltajes de rama cuyas direcciones de referencia concuerden con las del bucle de otra forma es referencia concuerden con las del bucle, de otra forma es signo negativo.
Bucle I+ ,12.6 0 12.6l lV V V! - % . %
Bucle II
V- -
+ ,12.6 0 12.6l lV V V- .
+ ,0 12 6V V V V V- .
Bucle III (externo)rRlR
/ //
lV!
rV!
+ ,0 12.6l r R lV V V V V! - % . % %
+ ,///
+ ,12.6 0 12.6R RV V V! - % . %
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A li ió LVKAplicación LVK
Los tres elementos están conectados al mismo par de Los tres elementos están conectados al mismo par de nodos, por lo tanto, tienen el mismo voltaje, luego se dice que están en paraleloque están en paralelo.
Notas: LVK expresa la ley de la conservación de la energíap y g
LVK es independiente de la naturaleza de los elementos
LVK impone una restricción lineal entre los voltajes de rama de LVK impone una restricción lineal entre los voltajes de rama de un bucle.
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LCKLCK
0* i 0%*nodo
ni
LCK es una expresión de la ley de conservación de la carga. La carga es indestructible, no puede perderse ni crearse, se conserva.
La suma de todas las corrientes que dejan (o entran) a q j ( )una superficie cerrada Gaussiana (S) es cero
Para aplicar LCK hay que definirse un sentido para las t0
Para aplicar LCK hay que definirse un sentido para las corrientes ya sea entrando o saliendo de la superficie.
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LCKLCK
Ejemplo Ejemplo/
si li riSea + para corriente
que entran
rRlR
s
//
Nodo I RlsRls iiiiii -%.%!! 0
Nodo II 0%--! Rls iii
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LCKLCK
321 ,, iii
1i
i2i
3i
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LCKLCK
LCK son ecuaciones algebraicas lineales homogéneas con LCK son ecuaciones algebraicas lineales homogéneas con coeficientes constantes en las corrientes de ramas.
LCK es independiente de la naturaleza de los elementos. Estos pueden ser lineales no lineales, activos, pasivos, variantes o invariantes en el tiempo.
LCK expresa la conservación de la carga en cualquier LCK expresa la conservación de la carga en cualquier nodo.
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Clase 3
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F t i d di t id lFuentes independientes ideales
1) Fuente independiente de voltaje 1) Fuente independiente de voltaje Elemento de 2 terminales que mantiene un voltaje vs(t)
determinado a través de los terminales de un circuito determinado a través de los terminales de un circuito arbitrario al cual está conectado, cualquiera que sea la corriente i(t) que fluya a través de la fuente.corriente i(t) que fluya a través de la fuente.
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F t i d di t d lt jFuente independiente de voltaje
Si vs(t)=V0 cte., Batería o Fuente de voltaje continuocontinuo
Una fuente independiente de voltaje se considera como un Una fuente independiente de voltaje se considera como un elemento resistivo no lineal controlado por corriente. No lineal porque recta no pasa con por el origen Controlada por corriente: Para cada valor de corriente corresponde
un único voltaje Variante en el tiempo si v (t) no es constante (por ejemplo una Variante en el tiempo si vs(t) no es constante (por ejemplo una
sinusoide) Si vs(t)=0 es un corto-circuitot0
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F t i d di t d i tFuente independiente de corriente
Elemento de dos terminales que mantiene una corriente Elemento de dos terminales que mantiene una corriente determinada is(t) hacia el circuito arbitrario al que está conectada, es decir cualquiera que sea el voltaje v(t) entre los q q j ( )terminales del circuito, la corriente que entra al circuito es is(t).
v
arbitrario
Circuito
1-
v2 3tis !
i2 3si t
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F t i d di t d i tFuente independiente de corriente
Una fuente independiente de corriente puede Una fuente independiente de corriente puede considerarse como un elemento resistivo no lineal variante en el tiempo controlado por voltaje.p p j
Si i (t)=0 la fuente de corriente se reduce a un circuito t0 Si is(t) 0 la fuente de corriente se reduce a un circuito abierto
p(t)=v(t)i(t) Es la potencia entregada por la fuente al circuito
t0
p( ) ( ) ( ) p g pexterno
El interés por la fuente de corriente se debe principalmente a los dispositivos semiconductores como el transistor.
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Di i d lt jDivisor de voltaje
LVK: LVK: vs=v1+v2+v3 (1)
LCK:1R
i
i i=i1=i2=i3 (2)
E ió El t-
v
!- 1v
-
v R
1i
2i
- Ecuación Elementos:
v1=R1i1 (3) v2=R2i2 (4)
!sv
!2v 2R
3R
!2 2 2 ( )
v3=R3i3 (5)!- 3v3i
vs=R1i1+R2i2+R3i3
v =(R1+R2+R3)i
.
. vs (R1+R2+R3)i
Se define Req=R1+R2+R3: Resistencia equivalente de la conexión en serie.
.
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Di i d lt jDivisor de voltajei
v
-eqR
-
sveqR
sv
! eq!s
Luego :
is
R
vi % 1
1 1 s
Rv R i v
R
4 5% % 6 76 7
8 9
22 2 s
Rv R i v
R
4 5% % 6 76 7
8 9
33 3 s
Rv R i v
R
4 5% % 6 76 7
8 9
Regla de división de Voltaje:
eqR eqR6 78 9 eqR
6 78 9 eqR
6 78 9
4 5 A con 1, 2,3...k
k total
eq
Rv v k n
R
4 5% %6 76 78 9 1
n
eq k
k
R R%
%*
El voltaje se divide entre las resistencias en serie en proporción a sus resistencias sobre la resistencia equivalente de la conexión en serie.
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Di i d i tDivisor de corriente
LVK LVK v=v1=v2
LCK LCK is=i1+i2 (2)i
1i 2i
1R2R
Ecuación Elementos: i1=G1i1 (3)
si 1R2R
(G G )
1 1 1 ( )
i2=G2i2 (4)
is=(G1+G2)v
Se define:
.
11 RR
21
21//
21
21
11
RR
RRR
RRGGGeq -
%.-%-% Combinación paralela de resistencias
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Di i d i tDivisor de corriente
i
v
-
i G
si
G
21 GG -
-
vsi eqG
2G
1G
La corriente a través de la conductancia n-ésima es: v
iG
Regla de división de corriente:
2,121
%-
%% nGG
iGvGi snnn
Regla de división de corriente:
*%%N
neqsn
n GGG
iGi
1
La corriente se divide entre conductancias en paralelo en proporción al valor de sus conductancias sobre la conductancia equivalente de la conexión paralela.
%neqG 1
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q p
Ejemplo: Circuito de luz del automóvil
+ ,12.6 V + ,5.25LR % : + ,5.25RR % :
Encontrar corriente i y la potencia suministrada por la eqR
Encontrar corriente i y la potencia suministrada por la fuente
A //
5.25 5.25 5.25[ ]
2 5.25 2eqR R
#% % % :
#
A12.6 2
4.8[ ] 60.5[ ]5.25eq
vi p vi WR
#% % % : . % %
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q
El t i ti li l i tElementos resistivos lineales variantes
Ley de Ohm v(t)=R(t)i(t) ó i(t)=G(t)v(t) Ley de Ohm v(t) R(t)i(t) ó i(t) G(t)v(t)
Donde:R( ) G( ) 1
2 30tR
2 31tRv
R(t)=G(t)-1
!2tR
Ejemplo 1: Potenciómetroj pi
i
Contacto móvil se desplaza si iend na f nción de t
(1 )R"#
sv
$
$ v
siguiendo una función de tR"
sv v"%
s
#
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48
#$ v
El t i ti li l i tElementos resistivos lineales variantes
Ejemplo 2: Interruptor ideal (switch) Ejemplo 2: Interruptor ideal (switch) !tS
!
!tS
1abierto abierto
!$ t
!ti 1
Es un circuito abierto cuando está abierto y un corto-circuito
!#$ tvcerrado1t
Es un circuito abierto cuando está abierto y un corto-circuito cuando está cerrado.
cerrado
i
0p vi t% % '
En la práctica un switch tiene una i t á i l t
abierto v
0p vi t'
corriente máxima al estar cerrado y un voltaje máximo al estar abierto.
v
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49
estar abierto.
El i i li l i iElementos resistivos no- lineales invariantes
Ejemplo 1:Diodo de Germanio (real no ideal) Ejemplo 1:Diodo de Germanio (real, no ideal) La corriente de rama es una función no lineal del voltaje
! ! !/1
qv t kT
si t I e% #
I C i d ió i d <0 ( 10 4[A])
!
Is cte: Corriente de saturación inversa cuando v<0 (~10-4[A])
q: Carga de un electrón
k: Constante de Boltzman
T: Temperatura en grados Kelvin
Es un elemento resistivo controlado por voltaje.
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50
El i i li l i iElementos resistivos no- lineales invariantes
Ejemplo 2: Diodo Ideal Ejemplo 2: Diodo Ideal
i=0 si v<0: circuito abierto al estar polarizado en reversa (OFF) i=0 si v<0: circuito abierto al estar polarizado en reversa (OFF)
Si i>0 !> v=0: Corto circuito cuando está conduciendo (ON)
La potencia entregada al diodo ideal es p(t)=v(t)i(t)=0 t'
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51
Ci it i l tCircuitos equivalentes
Sea N un una-puerta resistivo Circuito de 2-terminales ! Sea N un una puerta resistivo Circuito de 2 terminales compuesto por elementos resistivos
!
La característica v-i del una-puerta se conoce como la pcaracterística de punto motriz.
Dos redes una-puerta son equivalentes si y solo si sus p q ycaracterísticas v-i son iguales.
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C ió iConexión serie
Sea llama conexión serie de los elementos en la figura, 1 2y( (Sea a a co e ó se e e os e e e tos e a gu a, al una-puerta cuyos terminales son los nodos A y C
i A
1 2y
R1+
i A
+
v1
-
i1
1 2LVK v=v +vN
R2
V
-
B+
v21 2LCK i=i =i
C
-i2
La característica de la conexión serie se puede obtener gráficamente sumando para cada valor de i los valores de gráficamente sumando, para cada valor de i, los valores de voltajes de las curvas características de
1 2y( (
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53
C ió iConexión serie
Analíticamente se puede determinar el equivalente de la Analíticamente se puede determinar el equivalente de la conexión serie de los elementos , solo si ambos son controlados por corriente es decir
1 2y( (
son controlados por corriente, es decir
1 1 1 2 2 2v =f (i ), v =f (i )
1 2 1 2( ) ( ) ( )v v v f i f i f i% $ % $ %
Generalizando para m elementos resistivos contralados por corriente se tiene el siguiente equivalentepor corriente, se tiene el siguiente equivalente
v =f (i ), =1,2, ,mk k k k "
( ) ( )m
kv f i f i i% % ')Marzo de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos
Eléctricos54
1k%
)
Ej l d ió iEjemplos de conexión serie
1) Resistencias lineales invariantes 1) Resistencias lineales invariantes
i kv = R i , = 1 ,2 , ,m
co n
k k k
m
k
v R i R R% % )
"
2) Fuentes de voltaje
1
co n k
k
v R i R R%
% % )
2) Fuentes de voltaje
M
)k=1
V= vk)
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Ej l d ió iEjemplos de conexión serie
3) Fuentes de corriente Viola LVK salvo que las 3) Fuentes de corriente. Viola LVK salvo que las corrientes sean idénticas, sino no tiene sentido físico
1 2 m= i =i i%"1 2 m
4) Resistencia lineal y fuente de voltajei
i l i+
vR
-R
+
i
0LVK v=v +v
v Ri+V (1)
RLCK i es la misma
para ambos
vo
V
-
0v=Ri+V (1) para ambos
elementos
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-
Ej l d ió iEjemplos de conexión serie
Si se dibuja la característica en el plano (-i)v se obtiene la Si se dibuja la característica en el plano (-i)v se obtiene la características de la batería de un automóvil
0sc
int
VI =
R
En la zona achurada, la batería se carga por lo queabsorbe potenciaabsorbe potencia
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Ej l d ió iEjemplos de conexión serie
4) Resistencia lineal y fuente de voltaje 4) Resistencia lineal y fuente de voltaje
La característica v-i de la conexión serie es la suma de las característicasde los elementos individuales
De (1) v=0 => i=-Vo/R
0V
R#
Corriente de corto-circuito
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Ej l d ió iEjemplos de conexión serie
5) Resistencia lineal y diodo ideal5) es ste c a ea y o o eai
+
V
R1
V
-
V2
+
-
Característica v-i de la conexión serie
Diodo Ideal
Para i>0 el diodo es corto-circuito => 1v R i%
Para v<0 el diodo es un circuito abierto => por lo tanto la conexión serie también es c. abierto
0i %
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59
Clase 4
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60
Rectificador de Media OndaRectificador de Media Onda
!
"
! Sea
una sinusoide
# $( ) cossv t A t" !% & 2T
'
!
una sinusoide
A: Amplitud
"f l d/ #"frecuencia angular en rad/s
$# fase en radianes
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Rectificador de Media OndaRectificador de Media Onda
VV
R1
i
s
1
V
R 0 0v i% & !
R f d ñ l d l d l d
10i i v R' & !
Rectificador convierte señal sinusoidal de valor medio cero a una señal de valor medio distinto de cero
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Valor Medio de una SeñalValor Medio de una Señal
Valor Medio ( )2
1 1( ) ,
T
f t dt f t d t*
+ + ( )0 0
( ) ,2
f t dt f t d tT
*+ +
Sinusoide ( )2
0
10
2Asen t d t
*
*
!+
Señal Rectificada de Media Onda Señal Rectificada de Media Onda
( )1AR
Asen t d t
*
!+ ( )1
102
Rsen t d t
R
* *+
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Conexión paralelaConexión paralela
Sea llama conexión paralela de los elementos en la figura al una puerta cuyos terminales son los nodos A y B
1 2y, ,figura, al una-puerta cuyos terminales son los nodos A y B
1 2LVK v=v =v
LCK i=i +i1 2LCK i i +i
La característica de la conexión paralela se puede obtener p pgráficamente sumando, para cada valor de v, los valores de corrientes de las curvas características de
1 2y, ,
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Conexión paralelaConexión paralela
Analíticamente se puede determinar el equivalente de la conexión paralela de los elementos , solo si ambos son controlados por corriente, es decir
1 2y, ,
1 1 1 2 2 2=g (v ), =g (v )
( ) ( ) ( )
i i
i i i g v g v g v! . ! . !
Generalizando para m elementos resistivos controlados
1 2 1 2( ) ( ) ( )i i i g v g v g v! . ! . !
ppor voltaje, se tiene el siguiente equivalente
=g (v ), =1,2, ,mk k ki k !g ( ), , , ,
( ) ( )
k k k
m
ki g v g v v! ! /0Marzo de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos
Eléctricos65
1
( ) ( )k
k
g g!0
Ejemplos de conexión paralelaEjemplos de conexión paralela
1) Resistencias lineales invariantes
= G , = 1 ,2 , ,mk k ki v k !
1
co nm
k
k
i G v G G!
! ! 0
2) Fuentes de corriente
1k
M
k=1
i= ik0
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Transformaciones de FuentesTransformaciones de Fuentes
1) Desplazamiento: Se eliminan ramas consistentes de f d l j á i i ú fuentes de voltaje que no están en serie con ningún elemento
2) LVK para todos los bucles que contienen ramas 2 y 3 en ambas redes son igualesen ambas redes son iguales
LCK en nodo es idéntica a la suma de las ecuaciones en los nodos 1 y 2 => supernodo
11
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e os o os y supe o o
Transformaciones de FuentesTransformaciones de Fuentes
3) Desplazamiento: Se eliminan ramas consistentes de f d i á l l i ú fuentes de corriente que no están en paralelo con ningún elemento
LCK en nodos 1,2, y 3 son idénticas en ambos casos
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Transformaciones de FuentesTransformaciones de Fuentes
Elemento en serie con fuente de corriente
is
isElemento en serie con fuente de corrientePuede reemplazarse con corto-circuito
Elemento en paralelo con fuente de voltajepuede reemplazarse por circuito abiertopuede reemplazarse por circuito abierto
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Equivalente de Thévenin NortonEquivalente de Thévenin-Norton
Eq. Thévenin Eq. Nortonv
0 sLVK v=V -R i
V v
0LCK =I -s
vi
R
0i=s s
V v
R R& 2 0
0 =s
VI
R&
Los dos circuitos son equivalentes porque tienen la misma característica en el plano i-v
s
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70
p
Fuente práctica de voltajeFuente práctica de voltaje
Una fuente ideal de voltaje provee un voltaje constante a é d i l i i l i través de sus terminales sin importar la corriente que se
extraiga de ésta.
v
v
vo
i
En la práctica (realidad) si
La caída de voltaje respecto del valor ideal V se puede LR I V3 4 3
La caída de voltaje respecto del valor ideal V0 se puede modelar como una resistencia interna de la fuente intR
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F t á ti d lt jFuente práctica de voltaje
LVK V =R I+V
( )0 int
0 int
LVK V =R I+V
1V V R I! 2 ( )( )2LV R I!
Recta de carga (1)Cualquier que sea RL,t das las s l ci nes deben
0sc
i t
Vi
R!
todas las soluciones deben caer en la característicade la fuente
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intR
ParámetrosParámetros
V0: voltaje de circuito abierto de la fuente
0ocV V!
: Resistencia interna de la fuente práctica
: Corriente de corto-circuitointR
I : Corriente de corto circuitoscI
intocVRI
!
El punto de operación del circuito es:scI
00
int int
, L
L L
V RI V V
R R R R! !
. . (Divisor de voltaje)
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int intL L
TierraTierra
Ya que el voltaje es la diferencia de potencial entre dos puntos, ú f f ú es útil definir un punto de referencia común llamado tierra. A
este punto se le asocia un potencial 0 y se denota por el siguiente símbolosiguiente símbolo.
La tierra ede ser física o irt al En el rimer caso e iste La tierra puede ser física o virtual. En el primer caso, existe una conexión física a la tierra a través de conductores y mallas en el terreno. La tierra es un buen conductor y corresponde en el terreno. La tierra es un buen conductor y corresponde al potencial en que nos encontramos los seres humanos. La conexión a tierra física se hace por razones de seguridad.
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Transformación Delta EstrellaTransformación Delta-Estrella
Las resistencias o elementos pueden no estar conectados ni en paralelo ni en serie. Ejemplo son las siguientes redes.
Conexión Y(estrella)
Conexión T(té)( )
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Transformación Delta EstrellaTransformación Delta-Estrella
Conexión 5(delta)
Conexión 6(pi)(p )
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Transformación Delta EstrellaTransformación Delta-Estrella
1b cR R
RR R R
!
Transformación 5-Y
1
a b cR R R. .
c aR RR ! a bR R
R !2
a b c
RR R R
!. . 3
a b c
RR R R
!. .
R R R R R R. .Transformación Y-5
1 2 2 3 3 1
1
a
R R R R R RR
R
. .!
R R R R R R. . R R R R R R. .1 2 2 3 3 1
2
b
R R R R R RR
R
. .!
1 2 2 3 3 1
3
c
R R R R R RR
R
. .!
Nota: Se deja como tarea propuesta la demostración de estas relaciones
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Nota: Se deja como tarea propuesta la demostración de estas relaciones
Clase 5
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Teoremas Generales de RedesTeoremas Generales de Redes
1. Teorema de superposición. Aplica a redes lineales en compuestas por :
Elementos lineales : resistencias (R), inductancias (L), capacitores (C), fuentes dependientes (invariantes o variantes en el tiempo).p ( p )
Fuentes independientes (cualquier forma de onda tal que la respuesta sea única).
Aplica sólo a la respuesta de estado cero de un circuito lineal Aplica sólo a la respuesta de estado cero de un circuito lineal, es decir con condiciones iniciales nulas!
Para circuitos lineales la respuesta completa se descompone en p p pla respuesta de estado-cero (RESC) y la respuesta de entrada-cero (RENC).
Estado cero = condiciones iniciales nulas Estado cero = condiciones iniciales nulas
Entrada-cero = fuentes independientes se hacen cero
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Teorema de SuperposiciónTeorema de Superposición
Establece que:( ) ( )
n
v t v t!0 donde v(t) es la respuesta de estado cero ante n-fuentes
independientes actuando simultáneamente
1
( ) ( )i
k
v t v t!
!0
independientes actuando simultáneamente
vi(t) es la respuesta de estado cero ante la fuente i-ésimaactuando aisladamente. Para calcular esto todas las fuentes menos una se hacen cero.
Si es una fuente de voltaje, hacer vs=0 significa reemplazarla por un corto-circuitopor un corto-circuito
Si es una fuente de corriente, hacer is=0 significa reemplazarla por un circuito abierto
NOTA: Sólo se hacer cero las fuentes independientes, las fuentes dependientes se mantienen
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80
Ejemplo1: SuperposiciónEjemplo1: Superposición
Encontrar v0 por superposición
a) vs=0Divisor voltaje
Equivalente T-N0
240
10v1 ! 7
Divisor voltaje
10
8[ ]V!
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Continuación Ejemplo 1Continuación Ejemplo 1
b) is=0
Usando divisor de voltaje se tiene:
20
220 4[ ]
10v V11 ! 7 !
Por superposición se obtiene:
0 0 0 12[ ]v v v V1 11! . !
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Ejemplo 2Ejemplo 2
El circuito de la figura a) se usa para sumar señales. Determine v0 usando superposición.
Respuesta: Haciendo como en la fig. b)1 2 0s sv v! !
Queda un circuito divisor de voltaje entre R y R/2
32 svRv v111 7
R
30 3
2 3
ssv v
R R! 7 !
.
R
R +
Vs3
Vo3
-
(a) (b)
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Ejemplo 2Ejemplo 2
Por simetría aplica la misma técnica a las 3 entradas de modo que
2 10 0y
3 3
s sv vv v11 1! !
Por superposición la respuesta a todas las fuentes es:
0 03 3
p p p
8 91v v v v v v v1 11 111! . . ! . .8 90 0 0 0 1 2 3
3s s sv v v v v v v! . . ! . .
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Fuentes Dependientes o ControladasFuentes Dependientes o Controladas
Son elementos acoplados muy útiles en la modelación de dispositivos y circuitos electrónicos.
Elementos de 2-puertas, en los que la rama 2 es una fuente de voltaje o de corriente, mientras que la rama 1 es un circuito abierto o un corto-circuito. La fuente en la rama 2 está controlada por el voltaje o la corriente de la
1rama 1.
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Fuentes dependientes lineales invariantesFuentes dependientes lineales-invariantes Existen 4 tipos:
0i ii i
2v.
01 !i 2i
1vmg1v.
1i 2i
2v.
1i:1v 0.
!
Fuente de corriente controlada por corriente Fuente de corriente controlada por voltaje
22212
i
v 0.
!
1i 2i
i;.
v.
.
01 !i 2i
v< v
v
1v 0!
" 1m i#! 2v!
Fuente de voltaje controlada por corriente
! 1v$2v!
1v!
Fuente de voltaje controlada por voltaje
Los parámetros , gm, !m y ", son constantes para elementos lineales invariantes
Fuente de voltaje controlada por corriente Fuente de voltaje controlada por voltaje
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Fuentes dependientesFuentes dependientes
La potencia instantánea ingresando al 2-puertas es
Ya que en la rama 1, 1 1 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )p t v t i t v t i t v t i t" "
1 1( ) 0 ó ( ) 0v t i t" "q1 1( ) ( )
En R2 se tiene
2( ) ( ) 0R %
2
2 2 2( ) ( )v t R i t" !2
2 2( ) ( ) 0p t R i t t" ! & %
La potencia instantánea ingresando al 2-puertas es siemprenegativa, es decir la fuente dependiente es activa, entrega
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87
potencia al resto del circuito.
Amplificación de potencia (transistor)Amplificación de potencia (transistor)
LCKLCK
3 1 1 1(1 )i i i i' '" "
1 3 1 1(1 )iv R i R i
v R i R i
'
'
" "
0 2 2 2 1v R i R i'" ! " !
Potencia entregada por la fuente al circuito2(1 )p v i R i'" "
Potencia entregado por el circuito a la carga1 1 1(1 )i ip v i R i'" "
2 2( )p v i R i'" "Marzo de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos
Eléctricos88
2 2 1( )o op v i R i'" ! "
Amplificación de potencia (transistor)Amplificación de potencia (transistor)
La ganancia de potencia es
2
2op R' 2
1(1 )
o
ip R'"
Típicamente ' es del orden de 100 para un transistor. Escogiendo R1 y R2 apropiadamente se pueden obtener g 1 y 2 p p pganancias arbitrarias
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Ejemplo con fuentes dependientesEjemplo con fuentes dependientes
El circuito de la figura representa a un tocadiscos. D i l l d R d d l l j é Determine el valor de R de modo que el voltaje a través de la carga sea de 16[V].
Solución Solución
6
ab 6
10v ×0,2=0,1999 0,2[V]
10 500" )
o 2 2v =16=10I I =1,6[A]*
610 500
ab120v -16 8R= = =5[!]
1,6 1,6
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Clase 6
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Teorema de Thevenin Norton:Teorema de Thevenin-Norton:
Aplica a red lineal (R, L, C, fuentes dependientes, fuentes independientes) terminada en carga arbitraria (lineal o no independientes) terminada en carga arbitraria (lineal o no lineal, variante o invariante en el tiempo).
A ilineal Red
A
v
i
Si
N
A'
!carga
Si:a) Red N tiene solución única cuando está terminada por la carga y
también cuando la carga es reemplazada por una fuente g p pindependiente.
b) No hay acoplamiento entre red y carga (magnético o a través de fuentes dependientes).
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92
fuentes dependientes).
Teorema de Thévenin NortonTeorema de Thévenin-Norton
Entonces i(!) y v(!) en terminales A- A’ no se alteran al remplazar la red N por su equivalente de Thévenin o de Norton.
N i
i Equivalente de Norton
0N cci !v
N
iEquivalente de
!0N
e
!v
qThévenin
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cae
Teorema de Thévenin NortonTeorema de Thévenin-Norton
Red No:
Red N relajada, red equivalente de entrada-cero y estado-cero. Todas las fuentes independientes y las condiciones iniciales se h i l F t d di t d i lhacen igual a cero. Fuentes dependientes quedan igual.
eca:
V l j i i bi d N b d l Voltaje en circuito abierto de N, observado entre los terminales A-A’, considerando todas la fuentes independientes y el estado inicialel estado inicial
N A
N!cae
'A
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Teorema de Thévenin NortonTeorema de Thévenin-Norton
icc:
Corriente de corto-circuito de N, que fluye del terminal A hacia A’. Se consideran todas las fuentes independientes y el
t d i i i lestado inicial.
A
N cci'A
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Ejemplo T NEjemplo T-N
Equivalente de Thévenin visto desde los terminales A-B hacia la izquierda
1R 3R iA ca
eq
e
R
E 2R
!v
B
R R
B
cae
eqR i
1 23
1 2
eq
R RR R
R R"
A
cae
!v
2
1 2
ca
R Ee
R R"
B
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!B
Ejemplo 2: Puente de WheatstoneEjemplo 2: Puente de Wheatstone
a Reóstato
1R 3R
E
b d
2R 4R
E!
b d
GR Galvanómetro
Para determinar el valor de la resistencia desconocida (R4), el reóstato (R3) se ajusta para tener una lectura nula
c
( 4), ( 3) j pen el galvanómetro.a) Determinar el equivalente de Thévenin visto desde los
i l b dterminales b-d.
b) Determinar la incidencia de la resistencia del galvanómetro en la corriente medida.
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97
en la corriente medida.
a) Determinación de No:1R
b
1R
2R2R
3R 4R
3 41 2eq
R RR RR
R R R R"
d1 2 3 4
qR R R R
b) Determinación de eca:
1R 3R
E
I3 4
b
EI
R R"
2R 4R
E! aI
bI
EI "
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98
4
1 2
aIR R
"
2 4
2 4ca a b
R Re R I R I E
R R R R
+ ," ! " !- .
/ 01 32 4R R R R / 0
R R3 24
1
R RR
R"
Si eca=0 puente balanceado
Luego el equivalente de Thévenin queda:
eqR b
R
gI
gRcae
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99
d
Análisis de sensibilidadAnálisis de sensibilidad
b) Se tiene que:
cag
eI
R R"
ca
g g
eI I
R R R 1 "
1*
eq gR R eq g gR R R 1
2 3 0g eq g g g g gI R R I R I R1 1 1 1 " (*)
g g
g
eq g
I RI
R R
! 1* 1 )
eq g
Aproximación que desprecia el término de segundo orden en *
Marzo de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
100
Clase 7
Abril de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
101
Ej l 3 F t d di tEjemplo 3: Fuentes dependientes
! Encuentre el Eq Thévenin y la resistencia de entrada R Encuentre el Eq Thévenin y la resistencia de entrada Rin
del circuito de la figura
a) Voltaje Circuito-Abiertoa) Voltaje Circuito-Abierto
! svi=0 v = 1+ v v =" "
v = v = v
v = v !s F Fi 0 v 1+ v v
1+ " " o F sv v v
1+ TH sv v
1+
Abril de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
102
Ej 4 ti ióEj. 4 continuación
b) Red Relajada b) Red Relajada
!1 0 0 R R !F F TH ov 1+ =0 v =0 R R" " #
Resistencia de entrada (usar fuente de corriente 1[A]) Resistencia de entrada (usar fuente de corriente 1[A])
v R 1+ R# $
!IN F F
F
v R 1+ R
= 1+ R
# $
!IN FR = 1+ R
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103
Amplificadores Operacionales
(OP i l AMPlifi OPAMP)(OPerational AMPlifier: OPAMP)
Entrada Alimentación
i %I
ccV%Inversora positiva Av: Ganancia
de voltaje de lazo abierto
&&v
&i%
cI
!0 vv A v v% &# &0i
lazo abierto
%%v %i
&
cI
V
!0 v %
Entrada no-vd= (v+-v- ) Voltaje de entrada
ccV&Inversora
Alimentación
Voltaje de entrada diferencial
negativa
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104
OPAMPOPAMP
Frecuentemente los terminales de las fuentes de poder se Frecuentemente los terminales de las fuentes de poder se omiten en los diagramas de circuitos. Sin embargo las fuentes tienen que estar presentes, ya que la potencia requerida para tienen que estar presentes, ya que la potencia requerida para amplificar la señal proviene de estas fuentes.
La ecuación correcta de LCK es:
i
LCK implicaría
LO QUE ES
0 c ci i i I I% &
& %# % % %0i i i& %# %
La corriente de salida proviene fundamental-mente de las fuentes de
d l i d %
&
i
&
0i INCORRECTO!
poder, las corrientes de entrada son muy pequeñas, idealmente cero.
%i
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105
OPAMP: Diagrama de BloquesOPAMP: Diagrama de Bloques
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106
OPAMP: Circuito IntegradoOPAMP: Circuito Integrado
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107
C t í ti d T f iCaracterística de Transferencia
0v0
ccv%Ganancia de Voltaje: A
Rango de &% &# vvvd
Voltaje: Av
gexcursión
v
%d
ccv&
Saturación Negativa
Saturación Positiva
Lineal
Existen 3 modos de operación:
Negativa Positiva
Saturación +: Av(v+-v-)>+Vcc y Vo=+Vcc
Saturación - : Av(v+-v-)<-Vcc y Vo=-Vcc
Li l A | |<V V =A ( ) V <V <+V
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108
Lineal Av|v+-v-|<Vcc y Vo=Av(v+-v-), - Vcc<Vo <+Vcc
Ci it E i l t M d Li lCircuito Equivalente en Modo Lineal
-i
iZ
0Z
d
%&
i
v d
do
Zi: Impedancia Zo: Impedancia +i
de entrada (resistencia)
o pde salida (resistencia)
Valores típicos: 6 12
010 10 [ ], 10 100[ ]iR R( ( ) ( ( )
5 810 10A( (
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109
10 10vA( (
A lifi d O i l Id lAmplificador Operacional Ideal
Modelo válido en la zona linealo e o vá o e a o a ea
1. Av!" (ganancia)
2. Zi!" (impedancia entrada)
"
Cuando el OPAMP se conecta a cualquier circuito, no fluye corriente hacia los terminales de entrada0i i%# #
3. Zo=0 vo= Avvd (impedancia de salida)
hacia los terminales de entrada
! "
0 0d
v
vv
A# $ v v! "#
Se dice que existe un corto-circuito virtual entre los terminales de entrada ya que vd=0, pero la corriente a través
v
terminales de entrada ya que vd 0, pero la corriente a través de este cortocircuito es cero.
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110
M d l d OPAMP li lModelo de OPAMP en zona lineal
"!
Ideal A.O. Modelo
En la zona lineal el OPAMP no opera en lazo abierto sino que con realimentación negativa es decir existe una que con realimentación negativa, es decir existe una conexión entre la salida y el terminal inversor del OPAMP.
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111
A lifi d N IAmplificador No-Inversor
!vR 'R "v
!v
"!% 0v
!" %
"v 0v"!sV
'R
"!sV
R
1. Corto-Circuito virtual entre los terminales
v-=v+=vs
2 Amplificador no extrae corriente2. Amplificador no extrae corriente
i-=i+=0
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112
A lifi d N IAmplificador No-Inversor
Ganancia de Ganancia de Lazo Cerrado
R'
R R R' R's
0 0s v
s
Rv v R+R' R'v = A = = =1+ 1
R+R' v R R '
R
Si R=!, y/o R’=0 se tiene Avs=1 Ganancia Unitaria
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113
S id d V lt jSeguidor de Voltaje
0#i
""
!"!
sv!0vsv "
!"!
svv #0"
sv
La salida es vo=vs independiente de las resistencias de carga y de fuente (contrario a lo que ocurre cuando la carga y de fuente (contrario a lo que ocurre cuando la fuente se aplica directamente a la carga)
La fuente se aísla de la carga La fuente se aísla de la carga
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114
A lifi d IAmplificador Inversor
R’I R
I
z'I
R
"!zI R
-
+
o
""!s
+
Existe una tierra virtual a la entrada del OPAMP
i- =i+ =0v- =v+=0
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115
A lifi d IAmplificador InversorR'R
vI I 'LCK I +I =0
-vzI z'
I
+
z z'
s 0
LCK I +I 0
v v+ =0
R R' Ganancia de "!
+
o-
vvI =0
sv
R R
0v R'
=-
Ganancia de lazo cerrado
s
=-v R
Aún cuando la ganancia de lazo abierto es infinita, la ganancia de lazo cerrado es finita
Para construir un amplificador lineal con un OPAMP basta pseleccionar un par de resistencias
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116
S dSumador
v =v =0 Tierra Virtual1R1i 3i v- v+ 0 Tierra Virtual
LCK:!
11
i
3
i1+i2=i31sv
"
"!
"!
2sv
2R 2i
2s
1 2
1 2
v v vs s o
FR R R" # !
R R( )
Si R1=R2=R1 2
1 2
v v vF Fo s s
R R
R R
( ) # ! "* +
, -R1 2
. /1 2v v vFo s s
R
R# ! "
Nota: Encuentre este resultado por superposición
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117
R t d A lifi d Dif i lRestador o Amplificador Diferencial
Aplicando superposiciónR R Aplicando superposición
1R 2R
2 0v # 21
1
'o
Rv
Rv # ! Amplificador
inversor
"!
"!
3R
1
R R" Amplificador
"!
2sv
3
4R 10v # 1 2
1
''o
R Rv v
R"
"#
4Rv v#
Amplificador no inversor
Divisor
2
3 4
v vR R
" # "Divisor de voltaje
Luego
. /22 1' ''o o o
Rv v v v v# " # ! si 3 4
R R#. /2 1
1
o o oR 1 2R R
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118
A lifi d O i l Id lAmplificador Operacional Ideal
A1. Av=!
2 Z=! i =i =0 2. Zi=! i+=i-=0
3. Zo=0
3. Zo 0
!i "!v0v!
"i"v
0
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119
Ci it E i l tCircuitos Equivalentes
Existen tres circuitos equivalentes una para cada región Existen tres circuitos equivalentes, una para cada región de operación.
1) Zona lineal (modelo del corto-circuito virtual)
"!vv0#v
0#dv "! # vv
2) Zona saturación + 0#!i
!"i"
v0v0#dv
satsat EvE 00! 0
)
01dv satE 0
0
sat
d
v E
v
# "
1 3) Zona saturación –
0#"i
0dv 1
0#!i
v E
0i
satE00dv0
0
sat
d
v E
v
# !
0
Abril de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
120
0#"i
C dComparadores
Lineal
) Región Lineal: v =0 => v =E E <v <Ea) Región Lineal: vd=0 => vi=ET, -Esat<vo<Esat
b) sat +: vd>0 => vi>ET, vo=Esat
c) sat -: vd<0 => vi<ET, vo=-Esat
El circuito compara vi con ET. Si ET=0 se llama detector de El circuito compara vi con ET. Si ET 0 se llama detector de cruces por cero
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121
D t t d Detector de cruces por cero
vs(t)5 V
t
-5 V
vo
Esat
vi
Esat
-Esat
Abril de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
122
OPAMP: Realimentación positivaOPAMP: Realimentación positiva
Cuando el OPAMP se realimenta positivamente opera en Cua o e O se ea e ta pos t va e te ope a e modo de saturación, oscilando entre los voltajes +Esat y -Esat
(osciladores, generadores de señal, comparadores con histéresis)
En este curso solo veremos OPAMP ideales operando en la l lzona lineal
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123
Clase 8
Abril de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
124
Mét d d A áli i N d lMétodo de Análisis Nodal
! Plantear las ecs nodales en el circuito puente de la figura! Plantear las ecs nodales en el circuito puente de la figura
i1R 2R
av
1Si2Si
R
bv cv
P 1
3R4R
dv
! Paso 1:! Darse direcciones de
referencia asociadas para todas i
1R 2R
av
0i 1i 2i
plas corrientes de ramas y aplicar transformaciones de fuentes para dejar sólo fuentes
1Si2Si
bv cv3i 4i
5i
fuentes para dejar sólo fuentes de corriente en paralelo con algún elemento.
3R4R
dv
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125
Mét d N d lMétodo Nodal
! Paso 2: Numerar nodos Escoger un nodo de referencia e ! Paso 2: Numerar nodos. Escoger un nodo de referencia e identificar las incógnitas (voltajes de nodo a nodo referencia). Usualmente el nodo referencia es el terminal negativo del Usualmente el nodo referencia es el terminal negativo del elemento activo. Se identifica por el símbolo tierra al que se le asocia potencial cero.p
v
i2Si
1R 2R
av
0i 1i 2i
Nodo 11Si
3R R
bv cv3i 4i
5i
Nodo 3
Nodo 23
4R
dv
Nodo
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126
Referencia
Mét d N d lMétodo Nodal
! Paso 3: Aplicar LCK a cada nodo de voltaje desconocido y ! Paso 3: Aplicar LCK a cada nodo de voltaje desconocido y expresar cada corriente de rama en términos de voltajes de nodo a nodo referencia y los parámetros del circuito.y p
! Nodo 1: ! Nodo 2: ! Nodo 3:
! isi-i1-i2=0 ! i1-i3+is2=0 ! i2-i4-is2=0
! Las ecuaciones de los elementos son:
! i =G ( )! i1=G1(va-vb)
! i2=G2(va-vc)
! i3=G3vb
! i4=G4v
Abril de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
127
! i4 G4vc
Pl t i t M t i i l d E N d lPlanteamiento Matricial de Ecs Nodales
! Reemplazando las expresiones se obtiene:! Reemplazando las expresiones se obtiene:
! Nodo 1: (G1+G2) va-G1vb-G2vc=is1
! Nodo 2: -G1va+ (G1+G3) vb=is2
! Nodo 3: -G2va+ (G2+G4) vc=-is2
! Matricialmente queda:! Matricialmente queda:
1 2 1 2 1a SG G G G v i! " "# $ # $ # $% & % & % &
1 2 1 2 1
1 1 3 20
0
a S
b SG G G v i
G G G v i
% & % & % &" ! '% & % & % &% & % & % &!( ) ( ) ( )2 2 4 20 c SG G G v i% & % & % &" ! "( ) ( ) ( )
Abril de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
128
R l ió Mét d d CResolución por Método de Cramer
1 1 2Si G G* " " +# $, -% &
1 2 1 2SG G i G* ! " +# $, -% &
2 1 3
2 2 4
det 0
0
S
S
i G G
i G G
, -% &!, -% &, -% &" !( ). /
1 2
2 2 2 4
det 0
S
S
S
G i
G i G G
, -% &", -% &, -% &" " !( ). /
av( ). /'
02 2 2 4S
bv( ). /'
0
1 2 1 1SG G G i* ! " +# $, -% &
1 1 3 2
2 2
det
0
S
S
G G G i
G i
, -% &" !, -% &, -% &" "( ). /
cv( ). /'
0
1 2 1 2G G G G* ! " " +# $, -
1 2 1 2
1 1 3
2 2 4
det 0
0
G G G
G G G
# $, -% &0 ' " !, -% &, -% &" !( ). /
Con:
Abril de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
129
2 2 4( ). /
A áli i d l OPAMPAnálisis nodal con OPAMPs
! Generalmente se quiere Resto del qencontrar Vo
! Se asignan N-1 nodos, incluyendo
Resto del Circuito
Vo, V+, V-
! Como el OPAMP actúa comofuente dependiente se tiene que:fuente dependiente se tiene que:Vo=f(V+-V-) , por lo que no senecesita escribir una ecuaciónnodal en el nodo de salida
! Se formulan sólo N-2 ! Se formulan sólo N 2 ecuaciones nodales, y se impone V+=V- en zona lineal
Abril de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
130
Ej l Mét d N d l OPAMPEjemplo: Método Nodal con OPAMPs! Nodos A y B están conectados y
a fuentes de voltajes independientes
! Nodos C y E están conectados ! Nodos C y E, están conectados a la salida de OPAMPs
! basta plantear ecuaciones d l D Fnodales en D y F
! LCK en D: ! LCK en D:
G1(vC-vD)-G2(vD-vE)=0
G1vC+G2vE-(G1+G2)vD=01 C 2 E ( 1 2) D
! LCK en F:
G3(vE-vF)-G4vF=0
G3vE-(G3+G4)vF=0
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131
Ej l (C ti ió )Ejemplo (Continuación)
! Sistema de ecuaciones nodales! Sistema de ecuaciones nodales
1 2 1 2 1( ) (1)c EG v G v G G v! ' !
3 3 4 2( ) (2)EG v G G v' !
! Reemplazando (2) en (1) se tiene que:
* +* +3 41 2 2
0 1 2
1 1 3
C
G GG G Gv v v v
G G G
* +* + !!' ' " , -, -
. / . /
1 21 4 2 3 0 1 2
2
( ), ( ) (2)
R RSi R R R R v v v
R
. / . /!
' ' 1 ' "2R
! Se obtiene un sustractor que no carga las fuentes, ya que ambas están conectadas a terminales no inversores
Abril de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
132
ambas están conectadas a terminales no-inversores
Método de Análisis de Mallas o Circuitos
R i lRegionales
! Planteamiento de ecuaciones de mallas (LVK + ecuaciones ! Planteamiento de ecuaciones de mallas (LVK + ecuaciones de ramas)
1R 2R
v! v!
!"
!"3R0v
!
"4v!
"
1v! " 2v! "
3v!
"1sv 2sv
! Paso 1
"
! Aplicar transformaciones de fuentes para dejar sólo
1R 2R
1v! " 2v! "fuentes de voltaje en serie con algún elemento
! D di i d
!"
!"3R0v
!
"4v!
"
1 2
3v!
"1sv 2sv
i1 i2! Darse direcciones de referencia para las corrientes de mallas.
i1 i2
Abril de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
133
corrientes de mallas.
Mét d d A áli i d M llMétodo de Análisis de Mallas! Paso 2
! Escoger una malla de referencia, usualmente la externa. Identificar las incógnitas (corrientes de mallas) ! i1,i2
1R 2R
!"
!"3R0v
!
4v!
1v! " 2v! "
3v!
1sv 2sv
Malla de referencia Incógnitas
i1 e i2
P 3
" ""i1 i2
1 2
! Paso 3! Aplicar LVK en cada malla y expresar cada voltaje de rama en términos
de las corrientes de malla y los parámetros del circuito.y p! Bucle 1: -vs1+v1+v3=0 (1)! Bucle 2: -v3+v2+vs2=0 (2)
Abril de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
134
Pl t i t d E i d M llPlanteamiento de Ecuaciones de Mallas
! Ecuaciones de los elementos:! Ecuaciones de los elementos:
! v1=R1i1! v2=R2 i2! v3= R3(i1-i2 )3 3( 1 2 )
! Sustituyendo en (1) y (2) se tiene que:
(R R )i R i R i (R R )i! (R1+R3 )i1-R2i2=vs1 ! -R3i1+(R2 +R3 )i2=-vs2
! En forma matricial:
1 3 3 11 SR R R vi! "# $ # $# $% & % &% &
3 2 3 22 SR R R vi'% & % &% &" ! "( )( ) ( )
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135
R l ió R l d CResolución por Regla de Cramer
1 3Sv R"# $% &
11i
0'0
' 2 2 3
1 3 3
Sv R R
R R R
% &" !( )! "# $
% &
' 2 32 3 1 3 2
1 2 1 3 2 3
S SR R v R v
R R R R R R
! "
! !
3 2 3R R R% &" !( )
01 3 1SR R v
R
!# $% &( ) 2 3R R R
22i
0'0
3 2
1 3 3
SR v
R R R
% &" "( )! "# $
% &
2 33 1 1 3 2
1 2 1 3 2 3
S SR v R R v
R R R R R R
" !
! !' '
3 2 3R R R% &" !( )
Abril de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
136
Métodos Generales de Análisis de Redes con
F D diFuentes Dependientes
! Paso I: Plantear las ecuaciones nodales o de mallas ! Paso I: Plantear las ecuaciones nodales o de mallas siguiendo el procedimiento anterior, tratando las fuentes dependientes como si fueran independientesdependientes como si fueran independientes
! Paso 2: Resolver la dependencia en términos de variables i d di independientes:
! Voltajes de nodo a nodo de referencia en el análisis nodal
! Corrientes de mallas en el método de análisis de mallas
! Nota: En el caso matricial, la fuente dependiente aparece , p pprimero en el vector de fuentes, y luego se traslada a la matriz invirtiendo el signomatriz invirtiendo el signo
Abril de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
137
A áli i N d l F D diAnálisis Nodal con Fuentes Dependientes
! Se desea obtener i3 en el circuito de la figura3 g
! a) Transformar fuentes de voltaje a fuentes de corriente di t T N d di i d f i i dmediante T-N y darse direcciones de referencia asociadas.
! Nota: Se puede aplicar transformación T-N a fuentes dependientes siempre y cuando no se afecte la variable de la dependientes siempre y cuando no se afecte la variable de la cual depende la fuente.
Abril de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
138
A áli i N d l F D diAnálisis Nodal con Fuentes Dependientes
! El circuito que resulta de aplicar el paso a) es:! El circuito que resulta de aplicar el paso a) es:
i3
G31 2
i3
G1 +G2G1vs G4 +G5 G58i3
b) Identificar nodosy las incógnitas (v1 y v2)G58 3
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139 3
A áli i N d l F D diAnálisis Nodal con Fuentes Dependientes
! c) Plantear ecs nodales tratando las fuentes dependientes ! c) Plantear ecs. nodales tratando las fuentes dependientes como si fueran independientes
( ) ( )G G G G! LCK en 1)
! LCK en 2)
1 1 2 1 3 1 2
5 3 4 5 2 3 1 2
( ) ( )
8 ( ) ( )
sG v G G v G v v
G i G G v G v v
' ! ! "
' ! " ")
! En forma matricial se tiene que:
5 3 4 5 2 3 1 2( ) ( )
! En forma matricial se tiene que:
1 2 3 3 11 sG G G G G vv! ! "# $ # $# $% & % &% &
3 3 4 5 5 32 8G G G G G iv'% & % &% &" ! ! ( )( ) ( )
Abril de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
140
A áli i N d l F D diAnálisis Nodal con Fuentes Dependientes
! d) Resolver la dependencia en función de v1 v2 y trasladar ! d) Resolver la dependencia en función de v1,v2 y trasladar términos del vector de fuentes a la matriz invirtiendo el signosigno
3 3 1 2( )
8 8 ( )
i G v v
G i G G
' "
1 5 3 3 5 1 28 8 ( )G i G G v v1 ' "
! El resultado final en forma matricial es:
G G G G v G v! !# $ # $ # $1 2 3 3 1 1
3 3 5 3 4 5 3 5 28 8 0
sG G G G v G v
G G G G G G G G v
! ! "# $ # $ # $'% & % & % &" " ! ! ! ( )( )( )
Abril de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
141
A áli i d M ll F D diAnálisis de Mallas con Fuentes Dependientes
! Se desea obtener la corriente por R3 en el circuito de la figuraSe esea obte e a co e te po 3 e e c cu to e a gu a
) T f f d f d l ! a) Transformar fuentes de corriente a fuentes de voltaje mediante T-N y darse direcciones de referencia asociadas.
N E i h f i d ! Nota: En este caso no es necesario hacer transformaciones de fuentes.
Abril de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
142
A áli i d M ll F D diAnálisis de Mallas con Fuentes Dependientes
! b) Darse direcciones de referencia para las ramas y las ! b) Darse direcciones de referencia para las ramas y las mallas. Definir las incógnitas i1,i2,i3
Abril de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
143
A áli i d M ll F t D di tAnálisis de Mallas con Fuentes Dependientes
! c) Plantear ecs de mallas tratando las fuentes ! c) Plantear ecs. de mallas tratando las fuentes dependientes como si fueran independientes
! LVK en 1) ( ) ( )v R i i R i i' !! LVK en 1)
! LVK en 2)
LVK 3)
1 1 3 2 1 2
3 2 3 2 2 1
( ) ( )
15 ( ) ( )
s
x
v R i i R i i
i R i i R i i
' " ! "
" ' " ! "! LVK en 3)
4 3 3 3 2 1 3 10 ( ) ( )R i R i i R i i' ! " ! "
! En forma matricial se tiene que:
R R R R i!# $ # $ # $1 2 2 1 1
2 2 3 3 2 15
s
x
R R R R i v
R R R R i i
! " "# $ # $ # $% & % & % &" ! " ' "% & % & % &
1 3 1 3 4 3 0R R R R R i% & % & % &% & % & % &" " ! !( ) ( ) ( )
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144
A áli i d M ll F t D di tAnálisis de Mallas con Fuentes Dependientes
! c) Resolver la dependencia en función de las variables ! c) Resolver la dependencia en función de las variables independientes y trasladar términos del vector de fuentes a la matriz
1 2
15 15 15
xi i i
i i i
' "
1 " ' " !
Fi l l i i i l d ll
1 215 15 15xi i i1 ' !
! Finalmente, las ecuaciones matriciales de mallas son:
R R R R i!# $ # $ # $1 2 2 1 1
2 2 3 3 215 15 0
sR R R R i v
R R R R i
! " "# $ # $ # $% & % & % &" ! ! " " '% & % & % &
1 3 1 3 4 3 0R R R R R i% & % & % &% & % & % &" " ! !( ) ( ) ( )
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145
Clase 9
Abril de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
146
F d O dFormas de Onda
! La descripción completa de una fuente de voltaje v o de ! La descripción completa de una fuente de voltaje vs o de una fuente de corriente is requiere la especificación de la función completa en el tiempofunción completa en el tiempo.
! Ejemplo: La forma de onda vs (!) donde:
1. vs(t) = K , Constante.t!s( )
2. vs(t) = Acos("t+#), Sinusoide.
! A: Amplitudp
! ": Frecuencia angular [rad/s]
! #: Fase en radianes
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147
F d dFormas de onda
3 v (t) = u(t) escalón unitario3. vs(t) u(t) escalón unitario
0 0t"# $ No importa en este curso,
% &0 0
1 0
1
t
u t t
# $#
' ()
p ,pero u(0)=1/2 es preferible para transformada de Fourier
10, 1 0
2ó t
!"
# $ # $ttu
1
# $tu # $0ttu %
1
t0t
R t d
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148
seg.en Retardo 0t
F d dFormas de onda
4 v (t)=r(t) Rampa Unitaria # $tr4. vs(t) r(t) Rampa Unitaria
! r(t)= t u(t) t'
# $tr
1# $dr t! A
! a
1# $ # $dr t
u tdt
!
# $ # $' 't
u t dt r t!(! a
5 v (t)=p (t) Pulso
t# $ # $u t dt r t
%)!(
# $P5. vs(t)=p!(t) Pulso
# $
0 0
1
t *+
# $t,P
1área = 1
! A # $ 10 t
0 t
p t,
! * * ,-
, , * "
,
! Nota:
t,# $ # $ # $u t u tp t t,
% % ,! '
,Abril de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos
Eléctricos149
,# $p, ,
I l U it i (D lt d Di )Impulso Unitario (Delta de Dirac)
! v (t)="(t) Impulso Unitario! vs (t) "(t) Impulso Unitario
+
# $t.
# $0 0
singular 0
tt
t.
/+! -
!"
! La singularidad es tal que para cualquier !>0
singular 0t"
! La singularidad es tal que para cualquier !>0
A # $ # $00 1
( (! A # $ # $0
1 1t dt t dt0
. .%%
! 2 !( (
Abril de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
150
I l U it iImpulso Unitario
! Impulso es un pulso de amplitud infinita para un tiempo ! Impulso es un pulso de amplitud infinita para un tiempo infinitesimal cuya área es finita
! A# $ # $limt p t.! A# $ # $0
limt p t. ,,2!
! Propiedad:
! Si f(t) es función continua # $ # $ # $0 0f t t dt f
0
. 0! ' 3(( )
! Relación entre impulso unitario y escalón unitario
# $ # $ # $0%(
! Relación entre impulso unitario y escalón unitario
# $ # $ # $ # $ -+ *
!!! (00
´´t
dtttutdu
t
t
.. # $ # $ # $"-
3()% 01
,t
dtttudt
t ..
Abril de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
151
D i d d i lDerivadas de impulsos
! Las derivadas de impulsos son también funciones ! Las derivadas de impulsos son también funciones singulares! doblete unitario# $( )v t t. 4!! doblete unitario# $( )sv t t.
# $0 0t
t./+
4 ! -
! La singularidad es tal que
# $singular 0
tt
. ! -!"
! La singularidad es tal que
# $ ( )( ) ( )
td t
t t dt t.
. . .4 4! !(! Las derivadas de orden superior se llaman tripletes
# $( ) , ( )t t dt tdt
. . .%)
! !(! Las derivadas de orden superior se llaman tripletes,…. ,
n-pletes
Abril de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
152
EL3001 - Análisis y Diseño de
Circuitos EléctricosCircuitos Eléctricos
Unidad 2
Profesor Pablo Estévez V.
Elementos CapacitivosElementos Capacitivos
! Fenómeno físico: La presencia de cargas en dos sustancias (conductores) espacialmente separadas causa una fuerza eléctrica entre ambas sustancias.
! Ej. Condensador de placas metálicas paralelas
Q! !
!!
!!
!!
!!
!!!
!!
!!
ai
!C lé i
FE
Q
d
!!!!
V
Campo eléctrico
Un dieléctrico (aislador) separa las
Eq
"
Q
d
###
##
##
##
########
(aislador) separa las placas: papel, aire, mica, cerámica, etc.
2 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Abril de 2009
Q#
bi
Condensador de placas paralelasCondensador de placas paralelas
! Supuestos:1) Placas y alambres son conductores perfectos.
2) La aislación entre placas es perfecta de modo que no fluyen cargas de una placa a la otra.
3) Siempre hay un numero igual y opuesto de cargas en ambas placas Todas las líneas de campo que dejan una placa placas. Todas las líneas de campo que dejan una placa terminan en la otra.
4) No hay campos magnéticos cercanos al capacitor.4) No hay campos magnéticos cercanos al capacitor.
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3
Condensador de placas paralelasCondensador de placas paralelas
! En esas condiciones se tiene que:
! donde C es la capacitanciaQ C V" $
Á
% &0r AC F
d
' '" Farad=Coulomb/Volt
1 0 VacíoA: Área de placa [m2]d: Separación entre placas [m]
1.0 Vacío1.0006 Aire5.0 Mica6 0 Porcelana
0: Constante dieléctrica en espacio vacío [F/m] r: Permitividad relativa.
6.0 Porcelana7500 Titanato
de Bario
La constante dieléctrica indica la facilidad con que un material aislante puede establecer un campo eléctrico.
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4
Carga de un condensador Carga de un condensador s 1
2
!
!!
!!
!!
!!
!!!
!!
!!
Q!
2
e
!!!!
""""""""""""""""
E
!
" Q"
Q C V# $
e
Al i l ! Al comienzo placas neutras.! Al cerrar el interruptor S, los electrones de la placa
superior son atraídos por el terminal + de la fuente el superior son atraídos por el terminal + de la fuente, el mismo número de electrones es repelido por el terminal – de la fuente y se acumula en el plato inferior.
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5
y p
Carga de un condensadorCarga de un condensador
! Eventualmente se establece un equilibrio entre la energía potencial que da la fuente y las fuerzas de atracción y repulsión en las placas.
! Una vez que el condensador ha alcanzado el potencial E, el proceso se detiene y permanece cargado (si no hay pérdidas). En equilibrio la corriente es nula porque no hay d f d l l d d l b ídiferencia de potencial entre el condensador y la batería.
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6
Descarga de un condensadorDescarga de un condensador
!
!!
!!
!!
!!
!!!
!!
!!
Q!
""""""""""""""""
Q"e"
! El exceso de electrones (e-) de la placa inferior fluirá a la superior, hasta que exista un número igual de e- a ambos lados. El capacitor se dice descargado.
Q = C V = 0
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7
NotasNotas
! Nota 1. Las corrientes de carga y descarga fluyen en g y g ydirecciones opuestas.
! Nota 2. Idealmente el material dieléctrico aislante se comporta b (R 0)como un circuito abierto (R!" ! i=0)
En la práctica se tiene una resistencia de fuga Rd # 1000 [M!]finita por la cual el condensador se descarga
Modelo C
finita, por la cual el condensador se descarga.
dR
Capacitor Práctico
%
dR
! Nota 3. El material dieléctrico tiene un voltaje de ruptura, más allá de éste saltan chispas o arcos entre las placas. Se puede destruir el capacitor.
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8
capacitor.
Elementos Capacitivos IdealesElementos Capacitivos Ideales
! Elementos de 2 terminales en los que para cualquier instante t la carga almacenada q(t) y su voltaje v(t), satisfacen una relación definida por una curva en el plano v-q.
Característica de un condensador no-lineal
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9
SimbologíaSimbología
( )i t
( )t
!i(t)
( )
!
( )v t
"( )q tv(t)
"q(t)
(t) car a en la laca a la e a nta dq q(t) carga en la placa a la que apunta la flecha de la corriente i(t)
( ) , ( ) 0dq
i t i tdt
# & %
Se traen cargas positivas a la placa superior
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10
Condensador lineal invarianteCondensador lineal invariante
q(t)= C v(t)[Coloumb]= [Farad][Volt]
q
[Coloumb]= [Farad][Volt]
C: Capacitancia en Farads.E
C
En este caso es una constante, independiente de t y v.
v
! La relación entre la corriente y el voltaje de rama es:
( )( )
dq dv ti t C# #
! Integrando se obtiene que
( )i t Cdt dt
1( )
t
C$'C "(
'0
0
1 1 1( ) ( ) ( ) ( )
t t
v t i d i d i dC C C
) ) ) ) ) )"( "(
# # !' ' '
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11
(0)v
!"#"$
Condensador lineal invarianteCondensador lineal-invariante
L d ó l (0) l f d d d ( )! La condición inicial v(0) resume el efecto de desde
a .
( )i )
) #"( 0) #! Se dice que los condensadores tienen memoria ya que su
voltaje v(t) depende del valor inicial v(0) y de todos los valores de corriente entre 0 y t.
t
0
1( ) (0) ( )
t
v t v i dC
) )# ! '0
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12
Conexión Serie y Paralela de Elementos
CapacitivosCapacitivos
! Conexión Serie! LCK:
!
i
( ) ( )ki t i t k# *
1 tn n + ,!
!
1v
!
"
2v
!
1i
2i
2C
1C
v
!
C
i 1 1 0
1( ) ( ) (0) ( ') '
tn n
k k
k k k
v t v t v i t dtC# #
+ ,# # !- .
/ 01 1 '
1( ) (0) ( ') '
t
v t v i t dt# ! '!
! donde :
2v
"
i
2C v
"
C0
( ) (0) ( )v t v i t dtC
# ! '
!nv
!
"
ni
nC
(0) (0)n
kv v#11
1 1n
k kC C#
#1
1
(0) (0)k
k
v v#1
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13
Conexión paralela de condensadoresConexión paralela de condensadores
! ! !1i 2i ni!
i
! i
1v
"
2v
"nv
"
2C1C nCv
"
v
"
C
LCK D d
(0) (0)kv v k# *
! LCK
!
! Donde
!
1 1
n n
k k
k k
dv dvi i C C
dt dt# #
# # #1 11
n
k
k
C C#
#11 1k k# # 1k
! Se supone que los condensadores tienen los mismos voltajes iniciales,
i i l LVK
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14
sino se viola LVK.
EjemploEjemplo
! Para la red de la Figura 1, determinar el voltaje si la forma d d d l i á d d l Fi 2
( )cv t
de onda de la corriente está dada por la Figura 2.
( )
!
( )si t
10!
( )si t ( )Cv t
"2 35 FC #
2 3(0) 0Cv V#
[s]t1 2 3 4
2 3( )C
10"
1( ) ( )d
t
4 4'1
[10 ( ') 20 ( ' 1) 20 ( ' 2) 20 ( ' 3) ] 't
t t t t dt'0
1( ) ( )d
0
Cv t i t tC
t
4 4#
&
'0
[10 ( ') 20 ( ' 1) 20 ( ' 2) 20 ( ' 3) ] '5
u t u t u t u t dt# " " ! " " " !' %
2 ( ) 4 ( 1) 4 ( 2) 4 ( 3)r t r t r t r t# " " ! " " " !
Abril de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
15
2 ( ) 4 ( 1) 4 ( 2) 4 ( 3)r t r t r t r t# ! !%
EjemploEjemplo
! Notar que:
( )r t
( 2)r t "( 1)r t "
( ) 1 ( 1) 1
( 1) 1 ( 2) 2
r t r t t
r t r t t
# ! " &
" # ! " &( 2)r t( 3)r t " ( 2) 1 ( 3) 3r t r t t" # ! " &
! Luego:1 32 t
5
[V]cv2 ( ) 0 1
2(1 ( 1)) 1 2
( ) 2 ( 2) 2 3
r t t
r t t
v t r t t
6 657 " " 6 677
6 68 2( ) 2 ( 2) 2 3
2(1 ( 3)) 3 4Cv t r t t
r t t
# " 6 687 " " 6 6779 %
1 32 t4
2
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16
79 %
Propiedad de continuidadPropiedad de continuidad
! Si la forma de onda ic(!) en un capacitor lineal e invariante está acotada en el intervalo cerrado [ta,tb], entonces la forma de onda del voltaje vc(!) es una función continua en l i l bi ( ) el intervalo abierto (ta,tb).
! En particular:
( ) ( )c c a bv T v T T t T t" !# * : :
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17
Propiedad de continuidadPropiedad de continuidad
! Dem: Ya que ic(•) es acotada en [ta,tb],
L
/ ( ) [ , ]c a bM i t M t t t; : * <
! Luego, 1( ) ( ) ( )
T dt
c c c
T
Mv T dt v T i d dt
C C) )
!
! " # 6'T
a b
a b
t T t
t T dt t
6 6
6 ! 6a b
0 cuando 0
( ) ( ) d 0
Mdt dt
C
d d
= =
( ) ( ) cuando 0 c cv T dt v T dt% ! = =
La forma de onda ( ) es continua en cv t t T> #
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18
( )c
Propiedad de continuidadPropiedad de continuidad
Cv
! No puede ocurrir un salto instantáneo en el voltaje
0!
del capacitor, salvo que la corriente sea !.
0!
0"
0 t
Debe cumplirse que vc(0-)=vc(0
+) si ic es finita
! La capacitancia se puede interpretar como la propiedad de un circuito eléctrico de oponerse al cambio de voltaje entre sus terminales.
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19
EjemploEjemplo
( )i t
( )si t( )v t
!( )
C( )s
"(0) 0v #
1 1a) ( ) ( ) ( ) ( ') ' ( )
t
si t u t v t u t dt r tC C
# # #'0
1 1b) ( ) ( ) ( ) ( ') ' ( )
t
s
C C
i t t v t t dt u tC C
? ?# # #
'
'0
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sC C'
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20
Circuito para generar impulso de corrienteCircuito para generar impulso de corriente
! Si la corriente por el ( )Ci t pcapacitor no está acotada entonces la propiedad de
( )t 1FC continuidad del voltaje no se cumple
( )sv t 1FC #
( )sv t( )Ci t
11
@
@ t @ t
( ) ( )C Cdv dvi t C p t# # #
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21
( ) ( )Ci t C p tdt dt
@# # #
Circuito para generar impulso de corrienteCircuito para generar impulso de corriente
! Cuando 0@=
( ) ( )sv t u t# ( ) ( )Ci t t?#
1
1
tt
( )( )
( ) lim ( )
CC
C
dv du ti t
dt dt
i t p t
?
? @
# # #
# #0
( ) ( )C p@@=
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22
Elementos inductivosElementos inductivos! Fenómeno físico: Una corriente por un conductor produce una fuerza
a distancia (campo magnético).a distancia (campo magnético).
I
B
! Líneas de flujo magnéticos son concéntricas y siguen regla de la mano derecha.
! Para reforzar el campo magnético producido se puede hacer un enrollado de muchas vueltas en la forma de una bobina.
! En una espira se refuerza el flujo concentrándolo en un área pequeña.
! Fuera del solenoide los campos se cancelan y
I
I
I
I
! Fuera del solenoide los campos se cancelan y dentro se refuerzan.Solenoide: Alambre largo enrollado en una hélice apretada y que lleva una corriente i
Abril de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
23
hélice apretada y que lleva una corriente i
EjemploEjemplo
! Toroide de material no ferro-magnético
! Suposiciones:a) El campo magnético fuera de ) p g
la bobina es despreciableb) Se desprecia también la
resistencia eléctrica asociada resistencia eléctrica asociada al alambre
c) Se desprecian también las id d á i
( )v t
!
"
( )i t
capacidades parásitas que se forman entre espiras contiguas (conductores
d l separados por esmalte o barniz aislante que actúa como dieléctrico)
Abril de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
24
)
ToroideToroide
! En estas condiciones:
! $=L·i
! $: Flujo magnético medido en Webersj g L: Parámetro inductancia se mide en Henry (H)
L= [H] [volt·seg/Amp.]2
0 N A [ ] [ g p ]
0:4 ·10-7 [Wb/A·m] constante de permeabilidad del vacío
0
l
0 [ ] p Si el material es ferro-magnético = (i) es no-lineal
N: Número de vueltas A: Área, sección transversal en [m2] l: Largo efectivo del solenoide [m]
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25
g [ ]
Ley de FaradayLey de Faraday
Un campo magnético variable induce un voltaje:( )d t!( )
( )d t
v tdt
!"
Esto se puede deber a que la corriente que produce el campo cambia en el tiempo, a que se mueve un magneto con respecto a un conductor, o a que se mueve una bobina en presencia de un campo magnético.
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26
Elementos Inductivos IdealesElementos Inductivos Ideales
Elemento de 2 terminales, en el que para cualquier tiempo t, su q p q pflujo !(t) y su corriente i(t) satisfacen una relación definida por una curva en el plano i-!.
!!
Simbología
( )i t
( )v t
#
i
g ( )v t
$
(t)=L i(t) (t)=L i(t)
L constante que se llama inductancia se mide en Henry [ ·seg]
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27
Elementos inductivos lineales invariantesElementos inductivos lineales invariantes
Por la ley de Faraday se inducirá un voltaje:
( )d
v tdt
!"
Luego,
dt
( )di
v t Ldt
"
1( ) (0) ( )
t
dt
i t i v dL
% %" # & Las inductancias tienen “memoria”. El valor de i(t) depende del
valor inicial i(0) y de todos los valores de la forma de onda del
0L
( ) yvoltaje v(•) en [0,t].
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28
Propiedad de continuidadPropiedad de continuidad
Si ( ) [0, ]fv t M t t( ) * acotado
entonces la corriente i(t) en una inductancia lineal invariante es una función continua en el intervalo abierto (0,t).
La corriente en una inductancia no puede saltar instantáneamente de un valor a otro. si el voltaje es acotado.
“La inductancia se opone al cambio de la corriente”.
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29
Conexión Serie y Paralela de Elementos
InductivosInductivos
Conexión Serie LCK:
ki i k" )
En t=0
LVK:
1v
#
$#
1i
2i
1L(0) (0)ki i k" )
LVK:
2v
$
i
2L
1 1
n n
k k
k k
div v L
dt
+ ," " - .
/ 01 1
nv
#
$
ni
nL
1 1k k dt" "/ 0
n
L L1 (0) (0)di
L i i
1, 2,...,kk k
div L k n
dt" " 1
eq k
k
L L"
2 "1 , (0) (0)eq kv L i idt
" "
Abril de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
30
Conexión paralelaConexión paralela
1v
#
2v
#
v
#1i 2i ni
v
#
i
L L L v
# i
1v
$
2
$ nv
$
v
$ 1L 2LnL v
$ L
1 1 0
1(0) ( ') '
tn n
k k k
k k k
i i i v t dtL" "
3 4" " #5 6
7 81 1 &
LVK
0k k k7 8
v v k" )
Sea y
kv v k" )
1
(0) (0)n
k
k
i i"
"11
1 1n
k kL L"
"10
1( ) (0) ( ') '
t
i t i v t dtL
" # &
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31
Potencia y energíaPotencia y energía
( )i t
( )v t
#
$
p(t)=v(t)·i(t) [W]
P i i á b bid l Potencia instantánea absorbida por el una-puerta (entregada por el generador)
2 2
1 2[ , ] ( ') ' ( ') ( ') 't t
t t
W t t p t dt v t i t dt" "& &
Energía entregada por el generador de t1 a t2.
1 1t t
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32
PasividadPasividad
Un elemento resistivo se dice pasivo si su característica t)pestá en el primer y tercer cuadrantes, incluyendo los ejes i-v
Independiente de la forma de v
( ) 0p t t9 )
onda de la corriente por la resistencia.
N i l i Nunca entrega potencia al
mundo exterior
i
Activa: Si no es pasiva. Una resistencia lineal es activa si y sólo si R(t)<0 para algún t.
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33
Elementos ResistivosElementos Resistivos
La energía que entra al elemento de 2 terminales durante [t1,t2] depende de la forma de onda completa de v(•) ó i(•) en el intervalo [t1,t2].
22 ( )
( ) ( )R
v tp t R i t
R !
2 2
1 1
2 21 2
1[ , ] ( ) ( )
t t
R
t t
W t t R i t dt v t dtR
" "
0 0 RR W t# $ # % La energía se disipaen forma de calor.
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34
EjemploEjemplo
1i2i
2sin(2 )t& 2
18
2i t
( ) * *+ ,- .
22
2
2
314 4t
- .
/ /
( )i t 10 0[s]t1
41
2
3
4
1 [s]t1
4
1
23
4
1
22*3
42
11
4
1 3, 10 (2sin(2 ))
4 4W t dt&( ) + ,
- . "
2*3 24
21
4
1 3 1, 10 8
4 4 2W t dt
1 2( ) ( ) * *+ , + ,3 4- . - .5 6"
W1 W2 a pesar de que valores iniciales y finales son
4
10 [Joules] 4
6,67 [Joules]
W1 W2 a pesar de que valores iniciales y finales son iguales:
1 2
1 12Ai i
( ) ( ) + , + , 1 2
3 32Ai i
( ) ( ) *+ , + ,
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35
1 2 2A4 4
i i+ , + ,- . - .
1 2 2A4 4
i i+ , + ,- . - .
Energía en Elementos CapacitivosEnergía en Elementos Capacitivos
Si , capacitor controlado por carga, invariante. ˆ( )v v q v
ˆ( )v v q
2 2
1 1
1 2 ˆ ˆ( , ) ( ) ( )t q
c
t q
dqW t t v q dt v q dq
dt " "
L í d l
1( )q t 2( )q t q
La energía entregada al capacitor entre t1 y t2 esindependiente de la forma de onda de v(•) e i(•)
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36
Energía en capacitoresEnergía en capacitores
Para un capacitor lineal: ˆ( )q
v qC
pC
2
2 2 2 21 2 2 1 2 1
1 1( , ) [ ] [ ]
2 2
q
c
qW q q dq q q C v v
C C * ! *"
Visto de otra forma:
12 2
qC C
2 2 22
11 1 1
21 2
1( , )
2
t t vv
c vt t v
dvW t t v i dt v C dt C v dv C v
dt ! ! ! !" " "
a) Si q1=0 v1=01 1 1
$2 21 1
(0, ) ( ) ( )2 2cW t q t C v tC
!
Capacitor absorbe energía, se almacena en su campo eléctrico.
2 2C
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Energía en capacitoresEnergía en capacitores
b) Si q1=Q=CV carga inicial, v1=V en t1q1 g 1 1
2 2 21 2 2 2
1 1( , ) [ ( ) ] [ ( ) ]
2 2cW t t q t Q C v t VC
* ! *
La energía absorbida por el capacitor será negativa si
1 2 2 22 2cC
La energía absorbida por el capacitor será negativa siq(t2)<Q ó v(t2)<V.
Si q(t2)=0=v(t2)
21( )W C V
La energía es devuelta al circuito!
21 2( , )
2cW t t C V * !$
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Capacitor PasivoCapacitor Pasivo
Si la característica v-q pasa por el origen y está en el primer y l d L í l d i en el tercer cuadrante. La energía almacenada es no negativa
siempre ( C!0 caso lineal-invariante),( ) 0
fq
W v q dq '" Si un elemento es pasivo la transferencia neta de energía es !0.
Si v(t) y q(t) son periódicas de períodoT=t1-t2,
0
( ) 0cW v q dq '"
( ) y q( ) p p 1 2,q(t2)=q(t1+T)=q(t1) Wc(t1,t1)=0.
Bajo estimulación periódica la energía total que absorbe un it t l d b l i í d
$
capacitor controlado por carga sobre cualquier período es nula.
La potencia entregada al capacitor no se disipa, es un elemento p g p p ,sin pérdida.
La energía se acumula en el campo eléctrico durante un i i l d l l i it d t t it d
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39
semiciclo y se devuelve al circuito durante otra mitad.
Energía en Elementos InductivosEnergía en Elementos Inductivos
Si i=î(8), inductor controlado por flujo, invariante.ii
ˆ( )i i 8 2 2
ˆ ˆt
d88
" "1 1
1 2( , ) ( ) ( )L
t
dW t t i dt i d
dt 8
88 8 8 " "
Para cualquier par de formas de onda [i(•),!(•)] si se
81( )t8 2( )t8
toman los mismos valores iniciales [i(t1),!(t1)] en t1 y finales [i(t2),!(t2)] en t2, se obtiene la misma energía W ( ) WL(t1,t2).
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Energía en elementos inductivosEnergía en elementos inductivos
Para un inductor lineal: ˆ( )i qL
8
L
2
2 2 2 21 2 2 1 2 1
1 1( , ) [ ] [ ]
2 2LW d L i iL L
8 88 8 8 8 8 * ! *"
Visto de otra forma:
12 2L L8
"
2 2 22
11 1 1
21 2
1( , )
2
t t ii
L it t i
diW t t v i dt i L dt L i di L i
dt ! ! ! !" " "
a) Si 81=0 i1=01 1 1
$2 21 1
(0, ) ( ) ( )2 2LW t t L i t
L8 !
Inductor absorbe energía, se almacena en su campo magnético.
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Energía en elementos inductivosEnergía en elementos inductivos
b) Si "1="=LI carga inicial, i1=I en t11 1 1
2 2 2 21 2 2 2
1 1( , ) [ ( ) ] [ ( ) ]
2 2LW t t t L i t IL8 *9 ! *
La energía absorbida en el inductor será negativa si 8( )< " ó i( )<I8(t2)< " ó i(t2)<I
Si "(t2)= 0= i(t2)
$2
1 2
1( )LW t t L I * !
La energía es devuelta al circuito!
$ 1 2( , )2LW t t L I
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42
Inductor PasivoInductor Pasivo
Si la característica " - i pasa por el origen y está en el primer y en el t d t L í l d ti i tercer cuadrante. La energía almacenada es no negativa siempre
( L!0 caso lineal-invariante). ( ) 0
f
LW i d
8
8 8 '" Si un elemento es pasivo la transferencia neta de energía es !0.
Si i(t) y "(t) son periódicas de período T=t2-t1, "(t2)="(t1+T)= "(t1)
0"
Si i(t) y "(t) son periódicas de período T t2 t1, "(t2) "(t1 T) "(t1) Wc(t1,t2)=0.
Bajo estimulación periódica la energía total que absorbe un
$
inductor controlado por flujo sobre cualquier período es nula.
La potencia entregada al inductor no se disipa, es un elemento i é did sin pérdida.
La energía se acumula en el campo magnético durante un semiciclo y se devuelve al circuito durante la otra mitad
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43
semiciclo y se devuelve al circuito durante la otra mitad.
Ci it d P i O dCircuitos de Primer Orden
! Circuitos compuestos por fuentes independientes ! Circuitos compuestos por fuentes independientes, elementos resistivos y un elemento capacitivo o inductivo.
! S N i it i ti li l i i t! Sea N un circuito resistivo lineal e invariante.
( )Li t
( )i t
( )
( )i t
( )Li t
( )Lv t
!
L( )v t
!
"
( )ci t
( )cv t
!
"
C( )v t
!
"
"
eqR
( )cav t C
eq
( )Ci t
( )Cv t
!
eqG L( )cci t
( )Li t
( )Lv t
( )ca
Eq. Thèvenin
C ( )Cv t
!eqcc
!
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44
q
Eq. Norton
D fi i iDefiniciones
! Circuito Lineal: Cada elemento del circuito es lineal o una ! Circuito Lineal: Cada elemento del circuito es lineal o una fuente independiente.
! Circuito Invariante: Cada elemento es invariante o una fuente ! Circuito Invariante: Cada elemento es invariante o una fuente independiente.
! Respuesta: Conducta de una variable de circuito: voltaje de ! Respuesta: Conducta de una variable de circuito: voltaje de rama, corriente de rama, o una combinación lineal de estas.
! Entradas: Fuentes Independientes! Entradas: Fuentes Independientes.
! Entrada-Cero: Si no hay entradas la respuesta depende de las condiciones iniciales y de las características del circuitocondiciones iniciales y de las características del circuito.
! Estado-Cero: Si no hay condiciones iniciales la respuesta depende exclusivamente de las entradas y de las características depende exclusivamente de las entradas y de las características del circuito.
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45
Respuesta de entrada-cero de un circuito de
i d li l i iprimer orden lineal e invariante.1k
(0) V
RC
2k
0V
( )i t
0v(0) V#
!
RC0V
!
a) El capacitor C se carga a potencial V0 (k1 cerrado, k2 abierto por largo tiempo).g p )
b) En t=0 se abre k1 y se cierra k2 simultáneamente.
! Debido a la carga inicial en el capacitor, circulará una corriente i(t) en la dirección indicada. La carga a través del capacitor disminuirá gradualmente y eventualmente se hará cero. La energía eléctrica almacenada en el capacitor se disipa como calor en la resistencia.
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R t d t d (RENC)Respuesta de entrada-cero (RENC)
LVK ( ) ( ) >0! Analíticamente:1. LVK: vC(t)=vR(t) t>0
2 LCK: i (t)+i (t)=0 t>0
! Analíticamente:
Ri (t)Ci (t)
2. LCK: iC(t)+iR(t)=0 t>0
3. vR=R iR Ecuaciones C RCv (t)
Rv (t)
3. vR R iR
4. iC=C dvC/dt
Ecuaciones de ramas
C RC
!R
!
C C
Ecuación diferencial de primer orden,
C 0v (0)=V
! Luego :C CR
C R
dv vvC i idt R R
# # ! # ! # !lineal homogénea con coeficientes constantes
00 0 con (0)C Cc
dv vC t v Vdt R
# $ # (1)
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47
dt R
RENCRENC
! La solución de la EDO (1) es una exponencial de la forma ( ) p! . Por sustitución directa en (1), se obtiene:
0 0 01
e e e 0s t s t s tk
Cks k Cs% & # #' (
0( )s t
cv t ke#
0 0e e e 0Cks k CsR R
# #' () *
10C E ó
0
10Cs
R # Ecuación
característica.
0
1s # !+
! K es una constante que se determina de la condición inicial: v (0) = k = V
0sRC
+
vc(0) = k = V0
! Luego: , -0( ) e 0
tRC
Cv t V t!
# $
! En un circuito de primer orden todas las demás formas de onda son exponenciales.
0( )C
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48
onda son exponenciales.
C t t d TiConstante de Tiempo
! Se define: “Constante de Tiempo”: T=RC ! Se define: Constante de Tiempo : T=RC
! Dimensionalmente T R C# .
/ 0Volt Coulomb Coulombseg
CoulombAmp Voltseg
1 21 2 1 2 3 45 # #3 4 3 4 3 46 76 7 3 46 7
!
seg3 46 7
( ) e 0tTv t V t
!# $
1
0 0( ) e 0,368cv T V V!# #
V
! 0( ) e 0cv t V t# $ 2
0 0(2 ) e 0,135cv T V V!# #3
0 0(3 ) e 0,0498cv T V V!# #4(4 ) e 0 0183v T V V!# #Como sólo interesa la
0V
0 0(4 ) e 0,0183cv T V V# #Como sólo interesa la respuesta para t !0, se adopta la convención de
l t d
36,8%
0 0e Tangente cruza eje ent
c Tdv v v
t t T!
# # #
que la respuesta de entrada-cero es nula para t<0 . tT 3T2T 4T 5T
2%
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49
00
e Tangente cruza eje en .tt
t t Tdt T T ##
# ! # ! #
R t d E t d C (RESC)Respuesta de Estado Cero (RESC)
0t #
RC
0t #
+
vsi (t)=I v
-
! t<0: La fuente de corriente produce una corriente v(0)=0
circulante en el corto-circuito
! t=0: Se abre el interruptor y la fuente de corriente queda ! t 0: Se abre el interruptor y la fuente de corriente queda
conectada al circuito RC
LVK l l l d l l! LVK: el voltaje v es el mismo para todos los elementos
! LCK: (2)1( ) 0, (0) 0
dvC v i t I t v # # $ #
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50
( )( ) 0, (0) 0sC v i t I t vdt R
$
RESCRESC
! Razonamiento:! Razonamiento:
! En t=0+, v(0+)=0, ya que el voltaje en el capacitor no puede saltar abruptamente a menos que la corriente sea infinitamente saltar abruptamente a menos que la corriente sea infinitamente grande.
(0 )(0 ) 0Rvi
8
Inicialmente toda la ( )(0 ) 0R
RiR
8 # #
(0 )Ci I #
corriente de la fuente ingresa al capacitor.
! De (2)
( )C
dv I# Tasa de aumento
! De (2)
Al l i ! i /R !
0dt C del voltaje.
! Al pasar el tiempo v! e iR=v/R !
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51
RESCRESC
! Largo tiempo después de haber abierto el interruptor el ! Largo tiempo después de haber abierto el interruptor el capacitor está completamente cargado y el voltaje es prácticamente constanteprácticamente constante.
0dv
v RIdt
9 + 9
! Toda la corriente de la fuente pasa por la resistencia y el capacitor se comporta como un circuito abiertocapacitor se comporta como un circuito abierto.
! Analíticamente, la EDO a resolver es:
0dv v
C I tdt R # $
(0) 0v #
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52
RESCRESC
! La solución se descompone en: ! La solución se descompone en:
h pv v v# S l ió Solución Particular
Solución Homogénea
0
1 e
1
s t
hv k#
0
1con s
RC# !
pv RI#
( )v t
1
( ) 0t
RCt k RI t!
$RI
0 98RI
( )v t
1( ) e 0RCv t k RI t# $
1 1(0) 0v k RI k RI# # + # !0,63RI
I
C
0,98RI
1 1( )
1
( ) 1 e 0t
RCv t RI t!% &
8 # ! $' () * T RC 3T2T 4T 5T t
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53
) * T RC# 3T2T 4T 5T t
RENC d i it RLRENC de circuito RL
LCK! LCK
! 0i i i i # + # ! !
! LVK
0L R R Li i i i # + #
Lv
Rv
! 0 0LL
diL R i tdt
. # $! !
LiRi
!
dt
0(0)Li I#0(0)Li I#
! La solución es de la forma:
( ) 0RtL
!!
! donde T=L/R es la Constante de Tiempo.
0( ) e 0LLi t I t# $
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p
RESC d i it RLRESC de circuito RL
EDO! EDO
diLi
Rt=0
( )LL
diL R i Vu tdt
. #
(0) 0i
LV
(0) 0Li #
, -i 0 0
! La solución es de la forma: ( ) e 0RtL
L
Vi t k t
R
!# $
, -Li 0 0#
R
(0) e 0RtL
L
V Vi k k
R R
!# # + # !
! RESC
R R
( ) (1 e ) ( )RtL
L
Vi t u t
R
!# !
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R
R t l t d i it RLRespuesta completa de circuito RL
EDO! EDO
di( )L
L
diL R i Vu tdt
. #
(0)i I0(0)Li I#
! La solución es de la forma: RENC+RESC
( ) (1 ) ( )R Rt tL L
Vi t I t
! !1 23 4
! En régimen permanente , la inductancia se
0( ) (1 ) ( )L LLi t I e e u t
R# !3 46 7
( )i t V R#! En régimen permanente , la inductancia se
comporta como un corto-circuito ante la continua
( )Li t V R#
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56
R t l lóRespuesta al escalón
! Cuando la entrada de la red de primer orden es una ! Cuando la entrada de la red de primer orden es una fuente continua, la ecuación del circuito es de la forma
! (*)0
( )( ) ( ) x tdx t x tt t
dt : :; # $
donde:
dt : :
! Circuito RC
! Circuito RLe, ( ) , R
( )
c qx v x t V C
i t I G L
!# # # Circuito RL
D d l di ió i i i l (t ) t=t l ió (*) ti
e, ( ) ,L qx i x t I G L !# # #
Dada la condición inicial x(t0) en t=t0, la ecuación (*) tiene solución única
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57
R t l lóRespuesta al escalón
( )t t$ % 00
( )( ) ( ) ( ) ( ) exp
t tx t x t x t x t
! !
& && # &
La solución está determinada por 3 parámetros:
Condición inicial 0( )x t
Valor final o estado de equilibrio
Constante de tiempo
( )x t!
0( )
Constante de tiempo
El valor final se obtiene imponiendo dx/dt=0.
Para el circuito RC C es circuito abierto
dv Para el circuito RC, , C es circuito abierto( ) 0c
c
dvi t C
dt# #
di Para el circuito RL, , L es corto-circuito( ) 0L
L
div t L
dt# #
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58
Ej l i t tEjemplo con interruptores
Si el interruptor ha estado cerrado por un tiempo suficientemente p p plargo y se abre en t=0, encontrar vc(t), t 0
0t #
R CAv
' 1R
2R CA
&
( ) 0cdvi t C(( )v t cte#a) Interruptor cerrado,
Capacitor se comporta como un circuito abierto, se dice que bloquea la continua
( ) 0cCi t C
dt!( # #( )Cv t cte! #
bloquea la continua
' R '2( )C A
Rv t v
R R! #
2RAv
' 1R
Cv
'
&
1 2
( )C AR R
! '
Por divisor de voltaje
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59
& de voltaje
Ej l ( ti ió )Ejemplo (continuación)
b) Interruptor abierto la constante de tiempo es T=R2Cb) Interruptor abierto, la constante de tiempo es T R2C
La condición inicial de la parte b) es la condición de final d ilib i d l t ) Ro de equilibrio de la parte a) 2
1 2
(0)C A
Rv v
R R#
'
RENC:2R C
22( ) e 0tR C
C A
Rv t v t
R R
&# )
'
C:
(0)Cv1 2R R'
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60
R C l Ci i Li lRespuesta Completa para Circuitos Lineales
Respuesta Completa = Respuesta de Entrada Respuesta Completa = Respuesta de Entrada Cero + Respuesta de Estado Cero
E t lt d f d t l d l t í d i it Este es un resultado fundamental de la teoría de circuitos lineales y de la teoría de sistemas lineales.
k
BA
El switch k 1
GR
#C v
'( )si t
El switch k pasa de A a Ben t=0
0(0)v V#
&
0( )
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61
R t C l tRespuesta Completa
La EDO del circuito es La EDO del circuito es
( ) 0s
dvC Gv i t t' # ) (1)( ) 0sC Gv i t tdt
0(0)v V#
( )
(2)
RENC: vi por definición es la solución de:dv (3)0 0i
i
dvC Gv tdt
' # )
0(0)iv v#
(3)
(4)
RESC: v0 por definición es la solución de:
( ) 0odvC G i t t ) (5)( ) 0oo sC Gv i t t
dt' # )
(0) 0ov #
(5)
(6)
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62
R t C l tRespuesta Completa
Sumando (3) con (5) y (4) con (6) se obtiene Sumando (3) con (5), y (4) con (6) se obtiene
( )( ) ( ) 0o id v v
C G i t t'
' ' )
0(0) (0)o iv v V' #
( )( ) ( ) 0o io i sC G v v i t t
dt' ' # )
La forma de onda vi(•)+v0(•) satisface las ecuaciones (1) y (2) Y l l ió d (1) (2) ú i ti l (2). Ya que la solución de (1) y (2) es única se tiene que la respuesta completa es:
( ) ( ) ( ) 0o iv t v t v t t# ' )
Si ( ) ( )i t I u t# "1 1
0( ) e 1 e 0t t
RC RCv t V RI t& &+ ,
# ' & )- ./ 0
Si ( ) ( )si t I u t
RESC
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63
/ 0RENC RESC
Ré i T it i P tRégimen Transitorio y Permanente
Reordenando términos se obtiene: Reordenando términos se obtiene:
1t
1 2 0( ) e 0t
RCv t v RI RI t&
# & ' )
Régimen Transitorio: Transitorio Permanente
Régimen Transitorio: Es despreciable para t grande. Físicamente el transitorio es resultado
de las condiciones iniciales y de la aplicación súbita de una entrada.
Régimen Permanente: Términos dominantes para t grande. El régimen permanente es
resultado de la entrada solamente (no depende de las condiciones resultado de la entrada solamente (no depende de las condiciones iniciales) y tiene generalmente una forma de onda relacionada a la de la entrada.
Abril de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
64
Ré i t it i tRégimen transitorio y permanente
RI
0vv
Transitorio Permanente
RIov
v
Entrada Régimen Permanente
Constante Constante
NOTA:
ivConstante Sinusoide !
Constante Sinusoide !
NOTA:
En determinadas condiciones podrían no existir los regímenes t it i t P j l i l i t i R<0 transitorio y permanente. Por ejemplo si la resistencia R<0 y C>0 entonces el exponente de la exponencial es positivo, y este término crece con el tiempo en vez de decaer Se dice que este término crece con el tiempo, en vez de decaer. Se dice que el circuito es inestable en ese caso.
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65
R t l E lóRespuesta al Escalón
Una definición alternativa a los interruptores es aplicar un Una definición alternativa a los interruptores es aplicar un escalón de entrada que comienza en t=0.
k
( ) ( )i t I u t# "
RC v
'
&I ( )I u t" C Rv
'
&
( ) ( )si t I u t# "
I& &
tFuente de corriente Fuente de corriente
permanente conectada aplicada en t=0 permanente conectada al circuito (sin switch)
Respuesta al escalón s(•) de un circuito: Respuesta al escalón s( ) de un circuito:
Se define como la respuesta de estado-cero a una entrada escalón unitario u(•).escalón unitario u( ).
s(t)=0 t<0 por convención.
Abril de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
66
R t l lóRespuesta al escalón
P l i i RC i Para el circuito RC anterior:
+ , j1 21
( ) 1 e ( )t
RCs t R u t&+ ,# &- .
/ 0
jo :
1
o
I #
Para indicar que la respuesta es válida respuesta es válida
para t"0
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67
Li lid d I i iLinealidad e Invariancia Para cualquier circuito lineal (elementos lineales invariantes o q (
variantes en el tiempo), excitado con una única fuente independiente, se tiene que: La respuesta de estado cero es una función lineal de la entrada La respuesta de estado cero es una función lineal de la entrada.
Lo anterior por unicidad de la solución de la EDO y linealidad.
La respuesta completa en cambio, en general, no es una función p p glineal de la entrada (por efecto de las condiciones iniciales).
Se define: Se define: Operador respuesta de estado-cero Zt0
(is)
Forma de onda de la respuesta de estado C d respuesta de estado
cero (RESC)Circuito en estado cero en t=t0 y se
aplica entrada en ese
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68
instante
O d RESCOperador RESC Para el ejemplo del circuito RC sea:
v0"Z0(i0) Respuesta de estado cero a entrada i0 aplicada en t=0, por convención es 0 para t<0.
v es la solución de: v0 es la solución de:
( ) 0CC o
dvC Gv i t tdt
! "
Operador lineal cumple las siguientes propiedades ( a esto nos referimos
(0) 0cv !
cuando decimos de que la RESC es función lineal de la entrada)
i ( ) i ( ) d fi id i l < 1) i1(•), i2(•) definidos para t t0 e iguales a cero para t<t0:
Zt0(i1+i2)=Zt0
(i1)+Zt0(i2) Aditividad
#
# 2) Zt0( i)= Zt0
(i) Homogeneidad$# %
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69
O d d D l i t !Operador de Desplazamiento !&
Sea f(•) cualquier forma de onda definida t# Sea f( ) cualquier forma de onda definida t#
( )f t( )f t &'( ) ( ) ( ) ( )f t f t f t t&+ # ( )f( ) ( ) ( ) ( )f t f t f t t& &&+ ! ' ! #
El operador desplazamiento es lineal:
t&
p p
Aditividad
Homogeneidad
( )f g f g& & &+ ! + +
( )f f$ $+ ! + Homogeneidad( )f f& &$ $+ ! +
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70
P i d d d i i i l tiPropiedad de invariancia en el tiempo
( ) , -0 0 0 0 0 , 0T Z i Z T i i& & &! # ". /0 1
Los operadores de respuesta de estado-cero y 0Zp p y
desplazamiento conmutan para circuitos lineales-invariantes
&+0
Esta propiedad es válida para cualquier sistema lineal-invarianteinvariante
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71
Ej lEjemploLa respuesta de estado cero vo de un circuito RC lineal
óinvariante a un escalón unitario de corriente es:
( ) 2(1 ) ( )tt t'
( ) ( )i t u t! ( ) [ ( )]o ov t Z u t!
0 ( ) 2(1 ) ( )tv t e u t! '
1
( ) ( )oi t u t!2
E l d d
1
tt
i
Encuentre la respuesta de estado-cero v
ante una corriente con la forma de onda
t
1 32 4
1
2
5t
i(•) siguiente: 1 32 4
1'5
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S l ióSolución
La forma de onda de la corriente se puede expresar
( ) ( ) 3 ( 3) 2 ( 4)i t u t u t u t! ' ' ' '
p pcomo suma de escalones desplazados
3 4( ) ( ) 3 ( ) 2 ( )i t u t u t u t! ' + ' +
0 ( )v Z i!P li lid d d l
0 3 4
0 0 3 0 4
[ ( ) 3 ( ) 2 ( )]
[ ( )] 3 [ ( )] 2 [ ( )]
Z u t u t u t
Z u t Z u t Z u t
! ' + ' +
! ' + ' +
Por linealidad del operador Z0
v
0 0 3 0 4
0 3 0 4 0
[ ( )] 3 [ ( )] 2 [ ( )]
[ ( )] 3 [ ( )] 2 [ ( )]
( ) 3 ( 3) 2 ( 4)
Z u t Z u t Z u t
Z u t Z u t Z u t
t t t
+ +
! ' + ' +
Propiedad de Invariancia
4
6( 3)
( ) 3 ( 3) 2 ( 4)
2 ( )(1 e ) 6 ( 3)(1 e )
o o o
t t
v t v t v t
u t u t' ' '
! ' ' ' '
! ' ' ' '
1 32 4
2
2'5 t
( 4)4 ( 4)(1 e )tu t ' '' ' '
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4'
R t l i lRespuesta al impulso
! Sea h(t) respuesta en el tiempo t de un circuito dado que: Sea h(t) respuesta en el tiempo t de un circuito dado que:
a) Su entrada es un impulso unitario (t).
b) E tá t d j t t d l li ió d l i lb) Está en estado-cero justo antes de la aplicación del impulso.
h(t)=v(t) es la solución a:
RC v
( )si t!"
( ), (0 ) 0dv
C Gv t vdt
! # " "
Debido a la presencia del impulso debe distinguirse
RC
#
( )s
impulso debe distinguirse entre 0- y 0+.
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74
R t l i lRespuesta al impulso
Metodo 1: Metodo 1:
Para circuitos lineales invariantes se tiene que:t
d( ) ( ) ( ') '
tds
h t ó s t h t dtdt #$
" " % s(t): respuesta al escalón
Demostración: Demostración:
( )oh Z p& &'
0 0
1( ) 0
t
p t t&
()*
" ( ( &+ &*
( ) 1p t dt&
& "%
h : es la respuesta de estado cero del circuito RC al pulso p
.
( )o p& &
0 t
&*
, &-0
%
p p p
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R t l i lRespuesta al impulso1 1 1
[ ( ) ( )]t t .#
/
[ ( ) ( )]p u t u t u u.& &" # # " /& & &
1 1 1 1( ) ( ) ( )Z p Z u u Z u Z u
# #0 1" / " /2 3
0 0 0 0( ) ( ) ( )Z p Z u u Z u Z u& & &" / " /2 3& & & &4 5
0 0 0
1 1( ) ( ) ( )Z p Z u Z u& &
#" / Propiedad de
I i i
respuesta al escalón
0 0 0( ) ( ) ( )p& && & Invariancia
0( ) ( ( ))s t Z u t"
0
1 1( )h Z p s s& & &" # /
& &
( ) ( )( )
s t s th t t&
# # &" 6
&ds
0lim ( ) ( )
dsh t h t
dt&&7
" "
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R t l i l i it RCRespuesta al impulso circuito RC
Para el circuito RC paralelo sabemos que la respuesta al Para el circuito RC paralelo sabemos que la respuesta al escalón es:
9 :1
( ) ( ) 1t
RCR#0 1
2 39 :
( ) ( ) 1 e RCs t u t R 0 1" #2 34 5
0
Luego
9 : 9 :1 11t tRC RC
ds # #0 12 3
9 : 9 :1( ) ( ) 1 e e ( )
t tRC RC
dsh t t R u t
dt C! 0 1" " # 2 3
4 5
0 en t=0"(t)=0 t#09 :11
( ) e ( )t
RCh t u t#
" 9 :( ) e ( )h t u t
C"
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Mét d 2 R t l I lMétodo 2, Respuesta al Impulso
Solución directa de la ecuación diferencial Solución directa de la ecuación diferencial
9 :( ) con (0 ) 0dv
C Gv t v! # ;
D d (t) 0 t>0 l t l i l h(t)
9 :( ) con (0 ) 0C Gv t vdt
! " " ;
Dado que (t)=0 para t>0, la respuesta al impulso h(t)para t>0 se puede calcular como una respuesta de
d di i i i i l 0+ entrada cero con condiciones iniciales en t=0+.
( ) (0 ) e 0tRCy t y t
# " ,
( ) 0 0y t t" (
( ) ( ) (0 ) e (1)tRCy t u t y t
# < " 6
Solo falta por calcular y(0+)
( ) ( ) ( ) ( )y y
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R t l I lRespuesta al Impulso
La derivada de (1) es: La derivada de (1) es:
1( ) (0 )e ( ) (0 ) e
t tRC RC
dyt y u t y
dt RC!
# # #0 1" 2 34 5
1 ( ) (0 ) ( ) (0 ) e (2)
tRC
dt RC
t y u t y!#
2 34 5
#0 1" 2 34 5
Sustituyendo (1) y (2) en (*) y balanceando la ecuación
( ) ( ) ( ) ( ) ( )y yRC
2 34 5
Sustituyendo (1) y (2) en (*) y balanceando la ecuación diferencial se obtiene:
( ) (0 ) ( ) (0 ) ( ) (0 ) ( )t tRC RCt C t G G t t! !
# # ( ) (0 ) ( ) (0 ) e ( ) (0 )e ( )RC RCt Cy u t y G Gu t y t! ! # "1
(0 )y = "( )yC
1( ) e ( )
tRCh t u t
C
#< "
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79
C
At j t (0+)Atajo para encontrar v(0+)
La solución de la EDO La solución de la EDO
idé ti l l ió d
( ) con (0 ) 0 para 0 (3)dv
C Gv t v tdt
! # " " ,
es idéntica a la solución de1
0 con (0 ) para 0dv
C Gv v tdt C
" " ,
Se puede integrar a ambos lados de (3) entre t=0- y t=0+dt C
0 0 0
( ) 1dv
C dt G vdt t dt!
" "% % %
El segundo término es 0 ya que v(t) es finito. Si no fuera así "0 0 0
0
( ) 1C dt G vdt t dtdt
!# # #
" "% % %
g y q ( )v(t)= (t) y , la EDO contendría un doblete que no se podría balancear.
( ) ( ) 1(0 ) (0 ) 1Cv Cv ## " 1
(0 )vC
< "Es 0, por definición la
respuesta al impulso es una
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respuesta de estado cero
Ej l Ci it RL S iEjemplo: Circuito RL Serie
LVK Circuito RL Serie LVK
Circuito RL SerieL
i
( ), (0 ) 0di
L Ri t id
!" # #
Aplicando se tiene:R( )sv t #
( ), ( )dt
+0
( )$%p
-0
%+
-
0
+
0
(0 ) (0 ) ( ) 1Li Li R i t dt!! " #%0 por i(t) finita
Para t>0
+ 1(0 )i
L& #
( )h t
1
L
( )h t
1 t
10, (0 )
diL Ri idt L
"" # #L 1
( ) ( ) etTh t u t
L
!#
' (1( ) e ( )
R tL
dt
h t u tL
!#
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81
t
R t l ló d i it RLRespuesta al escalón de circuito RL
Y la respuesta al escalón es Y la respuesta al escalón es
' ( ' (' '1 1( ) e ( ') ' e ' ( )
t tR Rt tL Ls t u t dt dt u t
L L
! !) *# # + ,
- .% %
' (
0
1( ) 1 e ( )
R tL
L L
Ls t u t
!/
!
+ ,- .
) *0 10 12 32 3+ ,
% %
' (
' (
( ) 1 e ( )
1
L
R t
s t u tL R
!
0 1# !2 32 3+ ,4 54 5- .
0 1' (1( ) 1 e ( )
R tLs t u t
R
!0 1# !2 34 5
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R t l ló i it RL iRespuesta al escalón circuito RL serie
1
R
( )s t1L
L1
0,63R
L
R( )u t
T 4T3T2T t
di
En t=0+ i(0+)= i(0-) ya que v es finito
' (( ), 0 0di
L Ri u t idt
!" # #
En t=0+, i(0 )= i(0 ), ya que vL es finito
' ( ' ( 10 0, 0 1R L
di div v L
dt dt L
" "6 # # # 6 #
Inicialmente todo el voltaje de la fuente aparece en la inductancia.
0 0t tdt dt L" "# #
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R t l ló i it RLRespuesta al escalón circuito RL
Después de largo tiempo la corriente es Después de largo tiempo la corriente es aproximadamente constante
di di0 0L
di div L
dt dt7 6 # 7
Y todo el voltaje de la fuente cae en la resistencia
1' ( 1i
R/ #
La inductancia se comporta como un corto circuito en régimen permanente para un escalón de entrada
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84
Ejemplo: Circuito que contiene impulsos en
l ló su respuesta al escalón
LVKL LVKL
Ri v
" ' (, 0 0ss L
div Ri L i
dt
!# " #R
si v
!
dt
Respuesta al escalón
is(t)=u(t)
Respuesta al impulso
is(t)=!(t)s( ) ( )
s(t)=v(t)=Ru(t)+L!(t)s( ) ( )
s(t)=v(t)=R !(t)+L!’(t)v v
( )Ru tLR NOTA: La respuesta al
impulso puede contener impulsos y derivadas de
t t
L
impulsos y derivadas de impulsos.
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t t
R t l ló l i lRespuestas al escalón y al impulso
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86
Respuestas al escalón y al impulso (2)Respuestas al escalón y al impulso (2)
Abril de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
87
Elementos variantes en el tiempoElementos variantes en el tiempo
Elemento Capacitivo Lineal Elemento Inductivo Lineal Elemento Capacitivo Lineal Variante
Elemento Inductivo Lineal Variante
( ) ( ) ( )q t C t v t# ( ) ( ) ( )t L t i t8 # ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
q t C t v t
dq dv dCi t C t v t
dt dt dt
#
# # "
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
t L t i t
d di dLv t L t i t
dt dt dt
88
#
# # "
8 tq
1t
3t 8
1t
3t
t2t 2t
Ejemplo: condensador de placas paralelas: una fija y otra móvil. Se puede cambiar el á ú t l l di t i
Ejemplo: El número de vueltas puede cambiarse deslizando un contacto
di t t
v i
área común entre las placas o su distancia en forma manual o mecánica.
mediante un motor
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88
Condiciones iniciales como fuentesCondiciones iniciales como fuentes
1 Equivalente a Capacitor 2 Equivalente a Inductor con 1. Equivalente a Capacitor Cargado Inicialmente
2. Equivalente a Inductor con Flujo Inicial
( )i t ( )i t ( )i t ( )i t
"
( )i t
C"
( )i t
(0) 0Cv
"
#"
( )i t
"
( )i t
(0) 0iC( )v t
!
C( )v t
!
(0) 0Cv
!
' (0E=v u t
"L( )v t
!
( )v t
!
L
' (0I u t
(0) 0Li #
0v(0)=V!
1t
1( ) (0) ( ') '
t
Li t i v t dt# " %
0(0)i I#
!0
0
1( ) (0) ( ') '
t
C
V
v t v i t dtC
# " %0
1( ) (0) ( ') '
t
Cv t v i t dt V# " "%
!0
0
( ) (0) ( )L
I
i t i v t dtL
" %
0
1( ) (0) ( ') '
t
Li t i v t dt IL
# " "%! 0
00
( ) ( ) ( )CC % ! 0
00
LL %
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89
Equivalentes de Thévenin-NortonEquivalentes de Thévenin Norton
1. Capacitor 2. Inductancia
( )i t ( )i t
( )
"
( )i t
"
( )i t
( )v t
"
( )i t
"
( )i t
LC( )v t
!( )sv t
( )v t
!
C
( )si t
( )v t
!( )sv t
( )v t
! ( )si t
L L
(0) 0 Li #(0) 0 Li #
(0) 0 (Sino se pasa a fuenteCv #di
de voltaje en serie)
1( ) ( ') '
t
s sv t i t dtC
# %
( )
1( ) ( ') '
ss
t
div t L
dt
i t v t dt
#
# %0
( )
Si ( ) ( ) ( ) ( )
ss
C
dvi t C
dt
i C
#0
( ) ( )
1Si ( ) ( ) ( ) ( )
s s
s s
i t v t dtL
v t t i t u tL
# 6 #
%
Abril de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
90
Si ( ) ( ) ( ) ( )s sv t u t i t C t # 6 # $L
Ci it d S d O dCircuitos de Segundo Orden
Circuito RLC paralelo lineal-invariante Circuito RLC paralelo lineal-invariante.
Respuesta de entrada ceroCi Li Ri
Ecuaciones de Rama
C L R( )v t
"
( )v t
"
( )v t
"
C L Ri
' (1Ri i G C L R( )Cv t
!
( )Lv t
!
( )Rv t
!' (, 1R R R Rv R i i Gv# #
' (0 0
1( ) (0) ; ( ) ( ') ' 2
t
LL L L L
div t L i I i t I v t dt# # # " %
0 0(0) V , (0) IC Lv i# #
' (0 0
0
( ) , (0) ; ( ) ( ) 2L L L Lv t L i I i t I v t dtdt L
" %
' (0 0
1( ) ( ') ' ; ( ) , (0) 3
t
CC C C C
dvv t V i t dt i t C v V
C dt# " # #%
LVK
0C dt
' (4C R Lv v v# #
LCK ' (0 5C R Li i i" " #
Abril de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
91
RENC i it RLCRENC circuito RLC
L i bl á i l i Las variables más convenientes a resolver son vC o iL
De (4) y (5) 0LL L
dvC Gv i" " # De (4) y (5)
Usando (2)
0L LC Gv idt
" "
' (2
20 6L L
L
d i diLC GL i" " # ' (2
00
0 6
(0)(0)(0) , (0)
L
CL LL
LC GL idt dt
v Vdi vi I
" "
# # # #
Reescribiendo (6) por
0( ) , ( )Ldt L L L
1 Reescribiendo (6) por
LC
22L Ld i di EDO lineal homogénea 2
022 0L L
L
d i dii
dt dt: ;" " #
EDO lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes
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92
Ci it d d d RLC l lCircuito de segundo orden RLC paralelo
D d Donde:
Constante de amortiguamiento2
G
C: " g
Frecuencia de resonancia !0=2"f0 , f0 en [Hz]
2C
!0
1rad seg
LC"
Estos 2 parámetros caracterizan la conducta del circuito RLC.
El polinomio característico para esta ecuación diferencial es: El polinomio característico para esta ecuación diferencial es:
2 2
02s s# "$ $ La raíces del polinomio característico son las frecuencias
naturales del circuito:
2 2
1,2 0s # # "%& ' &
Abril de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
93
RENC i it d d dRENC circuito de segundo orden
La forma de la respuesta de entrada cero depende de los La forma de la respuesta de entrada cero depende de los valores relativos de y !0.
H 4 Hay 4 casos:
1. Sobre Amortiguado ( >!0)
S1,2 reales negativas iL(t)=k1es1t+k2e
s2t
k1 y k2 reales dependen de la condición inicialIm(s)
iLPlano de la f i k1
k1+k2
frecuencia compleja S
120 Re(s) tk2
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94
2 C íti t ti d ( )2. Críticamente amortiguado (#="0)
S1,2=- = -!0 son iguales y reales
i (t)=(k+k’t)e - t iL(t)=(k+k t)e t
k y k’ constantes que dependen de las condiciones i i i liniciales.
iL
k
t1 k-
k'
( )* +, -
Abril de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
95
3 I f ti d ( )3. Infra-amortiguado (#<"0)
s = +j! s = j! son complejos conjugados s =s *s1=- +j!d , s2=- -j!d son complejos conjugados s1=s2*donde !d
2=!02 - 2
La respuesta es de la forma: iL(t)=k1es1t+k2es2t
Sea , real implica que:j k1
1k= k e , ( )Li t! -j k1
2 1 1k =k k e. % !Sea , ea p ca que:1k k e , ( )Li t 2 1 1k k k e
/ 0 / 0d 1 d 1
d d
j ! t+ k -j ! t+ k
j! t -j! t- t * - t - t
L 1 1 1
e +ei (t)=k e e +k e e =2 k e
1 23 4
! !
/ 0
L 1 1 1
- t
i (t) k e e +k e e 2 k e2
i (t)=ke cos ! t+"
3 45 6
/ 0L di (t)=ke cos ! t+"
donde constantes reales que dependen k=2 "= kk !donde constantes reales que dependen de las condiciones iniciales.
1 1k=2 ,"= kk !
Abril de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
96
C I f ti dCaso Infra-amortiguado
- tke #
k
k cos 8
Envolvente
- t-ke #
d
2$Periodo
!
Abril de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
97
4 C i é did ( 0)4. Caso sin pérdidas (#=0)G
= =0 G=0# 9
s1=j!o , s2=-j!o Frecuencias naturales imaginarias puras
0 G 02C
# 9
/ 0 / 00 1 0 1
0 0
j ! t+ k -j ! t+ k
j! t -j! t
L 1 1 1
e +ei (t)=k e +k e =2 k
2
.1 23 45 6
! !
/ 0L 0 1 1
2
i (t)=k cos ! t+" , 2 ,k k k85 6
% %!/ 0L
k cos 8
2$
!
Abril de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
98
0!
C i é didCaso sin pérdidas
/ 0 di
L í t t l l d l i it LC
/ 00 0 0( ) cos ( ) ( ) ( ) ( )LL c L
dii t k t v t v t L Lk sen t
dt" 8 " " 8% $ 9 % % % & $
La energía total almacenada en el circuito LC es,2 21 1
2 2( ) ( ) ( )LC L CW t Li t Cv t !
2 2
2 2 2 21 10 0 02 2
( ) ( ) ( )
cos ( ) ( ) ( )
LC L C
Lk t C Lk sen t" # " " # ! ! !
$ %
donde se ha utilizado la igualdad
2 2 2 21 10 02 2
cos ( ) ( )Lk t sen t Lk t" # " #$ % ! ! ! &' (
1 LC donde se ha utilizado la igualdad La energía total se mantiene constante, se
fi L C i é did
0 1 LC"
transfiere entre L y C sin pérdidas. La constante k depende de las cond. iniciales
Abril de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
99
p
Ci it d S d O d (RLC)Circuitos de Segundo Orden (RLC)
Los parámetros se determinan de las condiciones iniciales Los parámetros se determinan de las condiciones iniciales
1. Sobre amortiguado
1 2 1 2
1 2 1 1 2 2
( )( ) e e e es t s t s t s tL
L
di ti t k k k s k s
dt ! !
01 2 0 1 1 2 2
(0)(0) = L
L
dt
Vdii k k I k s k s
dt L ! !0
0 01 2 0 2 1 0
1 1
dt L
V Vk s I k s I
) * ) *+ , ,- . - ./ 0 / 0
1 2 0 2 1 0
1 2 2 1s s L s s L- . - ., ,/ 0 / 0
Abril de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
100
D t i ió d á tDeterminación de parámetros
2. Críticamente Amortiguado2. Críticamente Amortiguado
2 3 2 3( ) ' e ' e 'et t tLL
dii t k k t k k t k
dt
4 4 44, , , ! , ! !
3 I f ti d
0 00 0
(0)(0) , ' 'L
L
V Vdii k I k k k I
dt L L4 4 , ! 5 !
3. Infra-amortiguado
2 3 2 3( ) e cos e cost tLL d d
dii t k t k t
dt
4 4" # 4 " #, , ! , !
2 30
e sin
(0)(0) cos
t
d d
L
k t
Vdii k I
4 " " #
#
,, !
0
0 0
(0) cos
tan
Li k Idt L
I Vk
I L
#
4#
#
) * 5 , !- .
/ 00
1 0
cos
tan
d d I L
V
I L
# " "
4# ,
- ./ 0
) * , !- .
/ 0Abril de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos
Eléctricos101
0d d I L" "- ./ 0
D t i ió d á tDeterminación de parámetros
4. Sin Pérdidas4. Sin Pérdidas
2 3 2 30 0 0
( )( ) cos sinL
di ti t k t k t
d" # " " # ! , !2 3 2 30 0 0
00 0
( )
(0)(0) cos sin
L
L
dt
Vdii I k k
dt L# " # , 0 0
10 0tan
Ldt L
I Vk #
#, ) *
, - .0 0cos LI# "- .
/ 0
Abril de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
102
RENC i it d dRENC circuito segundo orden
Abril de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
103
RENC i it d d dRENC circuito de segundo orden
Abril de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
104
R t l ló d i it RLCRespuesta al escalón de circuito RLC
! ! !
Ci Li Ri
( ) ( )si t u t 2
2( )L L
L
d i diLC LG i u t
dt dt! !
C L R( )Cv t
,
( )Lv t
,
( )Rv t
,
(0)(0) 0, 0LL
dii
dt
Solución particular Solución particular
ip(t)=1 para t>0
Solución general es de la forma:
iL(t)=k1es1t+k2e
s2t+1 Si las frecuencias naturales son distintas
iL(t)=(k+k’t)e-!t+1 Si las frecuencias naturales son iguales
Abril de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
105
R t l E ló Respuesta al Escalón
Para el caso de frecuencias naturales distintas
1 2
2 1
(0) 1 0
(0)
Li k ks s
k kdi
! ! 6,7
8 2 11 2
1 2 1 21 1 2 2
,(0)0L
k kdis s s sk s k s
dt
8, , ! 79
I ( ) La respuesta al escalón es:
2 3 2 31( ) 1 ( ) 1s t s t
$ %: ;: ;
Im( )s
1sdj"
<"=77
E l i f i d
2 3 2 31 2
2 1
1 2
(*)
1( ) e e 1 ( ) 1s t s ts t s s u t
s s , !: ;
,: ;: ;' (!"""#"""$
Re( )s04,
<0"77>777?
1 2 2 ds s j",
En el caso infra-amortiguado2s dj",
cos d"<
7?
2 3
2 3
21 0 e
j
ds j@<
4 " "!
, !
0
0
(2)
sin
< "
4< "
2 322 0
2 2 1
e
Donde tan
j
ds j
s s
@<4 " "
4" 4 " <
, !
,
, ,
) *! - .
Abril de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
106
0 1 2Donde tand
d
s s" 4 " <"
! - ./ 0
R t l E lóRespuesta al Escalón
El término (*) de (1) se puede escribir como: El término ( ) de (1) se puede escribir como:2 3 2 32 2
0
1e e e
2
d dj t j tt
dj
@ @" < " <4""
, , , , ,, ) *,- ./ 0
2 30 e 2 sin22
d
t
d
d
j
j tj
4" @" <"
,
/ 0
, ,
2 30( ) e cos 1 ( )
d
t
d
j
s t t u t4"" <
",$ %,
+ , !: ;' (d"' (
Li 01 e Envolvente (cuando cos 1)t
d
4"<
",! A
"
1
01 e t
d
4""
,,
t
Abril de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
107
Infra-amortiguado
A áli i d t l lóAnálisis de respuesta al escalón En el caso sobre amortiguado (raíces reales y distintas), la respuesta tiende
ó 1asintóticamente a 1Li
1
En t=0+ el voltaje en el capacitor y la corriente en la inductancia no cambian
tSobre-amortiguado
j p yinstantáneamente.
(0 ) 0Li! 6
7( )
(0 ) 1(0 )(0 ) 0 (0 )
L
ccL R
ivv i
R
!
! !
75 8!
5 79
Toda la corriente inicial va al capacitor. En t=0+ el capacitor actúa como un cortocircuito.
Abril de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
108
A áli i d t l lóAnálisis de respuesta al escalón
A medida que pasa el tiempo aumenta v y la corriente A medida que pasa el tiempo, aumenta vc y la corriente fluye por iR e iL. Después de un tiempo suficientemente grande el circuito alcanza el régimen permanentegrande el circuito alcanza el régimen permanente.
2
0 0 ( ) 1L Ldi d ii i t 5
Toda la corriente de la fuente se va por la inductancia
20, 0 ( ) 1L si i t
dt dt 5
Toda la corriente de la fuente se va por la inductancia.
0; 0, 0L C R R Cv v v i i En la inductancia actúa como un corto-circuito a una
fuente de corriente constante.t B
Abril de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
109
R l I l (Ci i 2d d )Respuesta al Impulso (Circuito 2do orden)
2d i di
2 32
( )
3(0 )
L LL
d i diLC LG i t
dt dt
di
C
,
! !
Método 1
(0 )(0 ) 0, 0LL
dii
dt
,
para circuitos lineales invariantes( )ds
h tdt
"$ %, 2 30( ) e cos 1 ( )t
d
d
s t t u t4"" <
",$ %,
, !: ;' (
$ %: ;
2 3 2 30 0
0 de (2)
( ) ( ) cos 1 ( ) cos sin e t
d d d
d d
dsh t t u t t t
dt
4" "C < 4 " < " " <
" ",
: ; ) *, , ! ! , , , ,$ %: ; - .' (
: ; / 0: ;' (!""#""$
2 3 2 3
0 de (2)
2 20
2 2 2 2( ) ( ) e cos sint d
d d d
d
h t u t t t4" "44 " " < " <
" 4 " 4 "
,
: ;' (
=7 ! , ! ,>
! !7?!"#"$
(4)67879
Abril de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
110
0
d d d"4 " 4 "! !7?
# 79
R t l i lRespuesta al impulso
De (2) y la igualdad trigonométrica De (2) y la igualdad trigonométricasin( ) sin cos sin cosx y x y y x! !
2 31 < con
Se tiene que
2 31tan dy 4 " <,
q
2 32
0( ) ( ) t
d
d
h t u t e sen t4""
",$ %
: ;' (d' (
Abril de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
111
R t l I l (S l ió di t )Respuesta al Impulso (Solución directa)
Método 2 Método 2
2 302
2
0
( )L LL
d i diLC LG i t
dt dtC
!
,
! ! D EF0
0(0 ) (0 )
(0 ) (0 ) ( ) 1L LL L L
di diLC LC LGi LGi i t dt
dt dt
!! ,! ,, ! , ! F
=0 =0 =0 =0
0dt dt ,
F
Las condiciones iniciales en 0- son nulas al calcular RESC
Por propiedad de continuidad la corriente no puede saltar en t=0, es una función continua, y la integral entre 0- y 0+ es cero
( )Li t(0 ) 0Li
! una función continua, y la integral entre 0 y 0 es cero
Si hubiera un escalón en entonces la segunda derivada sería un doblete, y el lado derecho de la EDO (3) no se podría balancear
2
( )Li t
(0 ) 0Li
2
2( ) ( ) ( ) ( )L LL
di d ii t u t t t
dt dtC C G 5 5
Abril de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
112
R t l I l (S l ió di t )Respuesta al Impulso (Solución directa)
Por lo tanto (0 ) 1Ldi!
Por lo tanto (0 ) 1Ldi
dt LC
Para t>0 la ecuación (3) es equivalente a una ecuación homogénea con condiciones iniciales en t=0+g
2
20L L
L
d i diLC LG i
dt dt! !
2
(0 ) 1(0 ) 0, LL
dt dt
dii
dt LC
!!
En el caso infra-amortiguado la respuesta al impulso es
dt LC
2 32
0( ) ( ) t
L d
d
i t u t e sen t4""
",
Abril de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
113
R t l I l (Th i N t )Respuesta al Impulso (Thevenin-Norton)
Dado el circuito RLC de 2do orden Dado el circuito RLC de 2do orden
!0 0Li" #
!0 0
T f d l f i l d Th i
!Cv 0 0" #
Transformando la fuente por su equivalente de Thevenin
0t $
Mayo de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
114
R t l I l (Th i N t )Respuesta al Impulso (Thevenin-Norton)
El circuito en t=0+ es equivalente a El circuito en t=0+ es equivalente a
! !0 0 1C Lv v C% %# # !C
1v 0
C
%
%
#
" ! ! 10 0L Ldi v% %
!0 0Li% #
! !0 0L L
dt L LC
% %# #
Mayo de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
115
Ci it OPAMP di á iCircuitos OPAMP dinámicos
El circuito de la figura es un integrador inversor El circuito de la figura es un integrador inversor
Por tierra virtual a la entrada del OPAMP0v # Por tierra virtual a la entrada del OPAMP
LCK en nodo A
0Av #
0 0sC R
dv vi i C
dt R% # % #
Resolviendo para v0(t) se tiene que
dt R
0 0
0
1( ) (0) ( )
t
sv t v v dRC
& &# " '
Mayo de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
116
D i d iDerivador inversor
El circuito de la figura es un derivador inversor El circuito de la figura es un derivador inversor
Por tierra virtual a la entrada del OPAMP0v # Por tierra virtual a la entrada del OPAMP
LCK en nodo A
0Av #
0 0sC R
dv vi i C
dt R% # % #
Resolviendo para v0(t) se tiene que
dt R
0( ) sdvv t RCdt
#"
Mayo de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
117
Ej l Ci i OPAMP d i dEjemplo: Circuito OPAMP de primer orden
Por tierra virtual a la entrada del OPAMP0v # Por tierra virtual a la entrada del OPAMP
LCK en nodo A
0Av #0 0
1 2
1 2
0sc
v v dvi i i C
R R dt% % # % % #
EDO de primer orden
1 2 dt
0 22 0
1
( )s
dv RRC v v t
dt R% #"
Mayo de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
118
Ej l Ci i OPAMP d d dEjemplo: Circuito OPAMP de segundo orden1
2
o1 2
1
2
2s
Por seguidor de voltajev v# Por seguidor de voltaje
LCK en nodo 1 2 0v v#
1 21 1 1 2 1 2
( )( ) ( ) (1)s
d v vG v v C G v v
dt
"" # % "
d LCK en nodo 2
22 2 1 2( ) (2)dv
C G v vdt
# "
Mayo de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
119
Ej l Ci i OPAMP d d dEjemplo: Circuito OPAMP de segundo orden
! De (2) 2 (3)dv
v RC v# %! De (2)
R l d (3) (1) i
1 2 2 2 (3)v RC vdt
# %
! Reemplazando (3) en (1) se tiene
2 2 2dv dv dvdGv G RC v C RC v v G RC v v
) * ) * ) *" % # % " % % "+ , + , + ,
! Re-arreglando términos se puede reescribir como
1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2sGv G RC v C RC v v G RC v vdt dt dt dt
" % # % " % % "+ , + , + ,- . - . - .
g p
2
2 21 2 1 2 2 1 2 22
( ) ( )s
d v dvRRCC C R R v v t
dt dt% % % #
! Poniendo la ecuación característica de la forma estándar
1 2 1 2 2 1 2 22 sdt dt
2 2
02 0s s/ 0% % #
Mayo de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
120
Ej l Ci i OPAMP d d dEjemplo: Circuito OPAMP de segundo orden
! De donde se identifican los parámetros! De donde se identifican los parámetros
2
0 1 1 2 21 RCRC0 #
1 2
1 2 1
1 1
2
R R
RR C/
1 2%# 3 4
5 6
! Si se tiene que (sobre-amortiguado)1 2R R R# # 0 2 1C C/ 07 8 $q ( g )
! Nota: Circuitos con 2 elementos L y/o C son de 2do orden salvo que estos elementos se reduzcan por combinaciones
1 2 0 2 1
salvo que estos elementos se reduzcan por combinaciones serie-paralelo
! La forma de la RENC está determinada por las raíces de la ! La forma de la RENC está determinada por las raíces de la ecuación característica, también llamadas frecuencias naturales
Mayo de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
121
C t d A álComputador Análogo
Elementos del computador análogo Elementos del computador análogo (0)y
!0
1( ) (0)
t
y t x d yRC
& &#" %'0
!1 2( )y t x x#" %
( ) ( ) 1t t( ) ( ), 1y t ax t a# 7
Mayo de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
122
Ej l t d álEjemplo computador análogo
Se desea resolver la EDO Se desea resolver la EDO
2d y dy1 22
( )
(0) (0)
d y dya a y f t
dt dt
dy
% % #
0 1(0) , (0)dy
y y ydt
# #
Esta ecuación se puede reescribir como
1 1 2y a y a y f# " " %!! !
El circuito OPAMP que resuelve esta EDO esMayo de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos
Eléctricos123
El circuito OPAMP que resuelve esta EDO es
Ej l t d álEjemplo computador análogo
-y!y!!
y
y!
Este circuito simula la solución de la EDO de 2do orden. Se observa en tiempo real. Se puede escalar en el tiempo si fuera necesario. 9 : 9 :0,1; 1 10t si t s s/& / &# # # 8 #9 : 9 :
1dy dy d dy
dt d dt d
&& / &
# #
Mayo de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
124
dt d dt d& / &
R t t d bit iRespuesta a una entrada arbitraria
Sea la entrada aplicada en con( )i t t t# ( ) 0i t t t# ; 7 Sea la entrada aplicada en con
Consideremos la aproximación escalonada de en
( )si t 0t t# 0( ) 0,si t t t# ; 7
( )si t !0,t t
( )si < ( )sai <0 0 1( ) '
( ) '
si t t t t
i t t t t
= =>? = =? 1 1 2( )
( ')
' [ ] ( ) '
s
sa
i t t t t
i t
t t t i t t t t
= =???
# @A = =?
"
0t 1t#
1nt " t
0 1
1 1
[ , ] ( )
( ) '
s k k k
s n n n
t t t i t t t t
i t t t t t
%A = =???
= = #?B
"
01 0,
t tt t
n
"C # # % C# 1 1( )s n n n" "?B
Mayo de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
125
R t t d bit iRespuesta a una entrada arbitraria
La aproximación i (t) se puede interpretar como la suma La aproximación isa(t) se puede interpretar como la suma de pulsos rectangulares del mismo ancho !, pero
distinta altura y posición a lo largo del tiempodistinta altura y posición a lo largo del tiempo.C
0t 1t 't
0 0( ) ( ' )si t p t tC " C
C
1 1( ) ( ' )si t p t tC " C1
( ) ( ) ( )n
sa s k ki t i t p t t"
CD D# " CEC
0t 1t 't2t0
( ) ( ) ( )sa s k k
k
pC#E
0t 1t 't
2 2( ) ( ' )si t p t tC " C
2t 3t
Mayo de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
126
0 1 2 3
R t t d bit iRespuesta a una entrada arbitraria
Calculemos la RESC a una entrada ( )sai tD Calculemos la RESC a una entrada
li lid d9 : 9 :1
( ) ( ) ( )n
Z i t Z i t t t"
D D CE
( )sa
por linealidad9 : 9 :0 0
0
( ) ( ) ( )sa s k k
k
Z i t Z i t p t tC#
D D# " CE
Basta encontrar la respuesta de estado-cero del circuito al pulso (k+1)-ésimo . Sea .( ) ( )s k ki t p t tC D " C 0( ) ( ( ))h t Z p tC C#
Por linealidad e invariancia se tiene que:
9 :( ) ( ) ( ) ( )Z i t t t Z i t T t) *D DC C- .9 :
9 :0 0
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
k
k k
s k k s k t
s k t s k t
Z i t p t t Z i t T p t
i t Z T p t i t T Z p t
C C
C C
) *D D" C # C #- .
) *D DC # C #- . 9 :0 0( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
k ks k t s k t
s k k
p p
i t h t t
C C
C
- .D " C
Mayo de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
127
R t t d bit iRespuesta a una entrada arbitraria
Luego la RESC a una entrada arbitraria es( )sai tD Luego la RESC a una entrada arbitraria es
9 :1
( ) ( ) ( ) (1)n
Z i t i t h t t"
D D CE
( )sa
9 :0
0
( ) ( ) ( ) (1)sa s k k
k
Z i t i t h t tC#
D D# " CE
El intervalo es fijo, luego si
( ) ( )
, 0nF G C F0t t"
9 : 9 :0 0
( ) ( )
( ) ( )
sa s
sa s
i t i t
Z i t Z i t
F
F9 : 9 :9 : 9 :0 0( ) ( ) ( ) ( )h t Z p t h t Z tHC C# F #
Mayo de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
128
I t l d l ióIntegral de convolución
Cuando la suma (1) se transforma en la integral de 0C F ( ) gconvolución
t
'
0F
0
0( ) ( ) ( ) (2)s
t
v t h t i d t t& & &# " I'
Para calcular la RESC de cualquier circuito lineal-invariante a una entrada arbitraria se tiene que:una entrada arbitraria se tiene que: Determinar la respuesta la impulso h(t) Calcular la integral de convolución (2)g ( )
La respuesta de estado-cero de un circuito lineal-invariante a una t d bit i f ió li l d l t d El d entrada arbitraria, es una función lineal de la entrada. El operador
respuesta de estado-cero Z0 es la convolución de la entrada con la respuesta la impulso.
Mayo de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
129
Ci it Li l V i tCircuitos Lineales-Variantes
El concepto de respuesta al impulso aplica también a circuitos p p p plineales variantes
Sea h(t, ) la respuesta de estado-cero en t debido a un i l li d impulso aplicado en .
En general para un circuito lineal-variante
1( , )h t
! " ! "1 2 1 2, ,h t h t para # #1 t
t2
2( , )h t
t
Mayo de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
130
Ci it Li l V i tCircuitos Lineales-Variantes
Para circuitos lineales variantes se puede demostrar que la p qRESC es una función lineal de la entrada
t
$0
0( ) ( , ) ( ) (3)s
t
v t h t i d t t % &$
Para circuitos invariantes:
Ya que esta ecuación es válida para todo T la expresión h(t ) está
! " ! ", ,h t h t T T T % ' ' )
Ya que esta ecuación es válida para todo T, la expresión h(t, ) está únicamente definida por la diferencia
Por ejemplo, sea
t *! ",0T h t % * + *! "
Mayo de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
131
Cál l d i t l d l ióCálculo de integrales de convoluciónt
$0
1 1 0( ) ( ) ( )t
h t t t d h t t t t , * * % * -$
donde t. es el instante de aplicación del impulso. Demostración:
1
1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )
tt
v t h t t d h t t d , , '
% * * % * * %$ $0 1
1
( ) ( ) ( )
t t
t
h t t t d h t t t t t,
*
'
- -
$ $
$
Y h f ió
1
1 1 1 1 0( ) ( ) ( ),
t
h t t t d h t t t t t, *
* * % * - -$
! "t, t Ya que es cero excepto en , y h es una función continua en
! "1t, * 1t %! "0,/
Mayo de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
132
Cál l d i t l d l ióCálculo de integrales de convoluciónt t
$ $0 0
( ) ( ) ( ) ( ) 0s sh t i d i t h d t * % * &$ $
Sea Demostración
, (2)t z t z d dz en * % + % * % *
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
t
s sv t h t i d h z i t z dz % * % * * %$ $0 0
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
t t t
t t t t
h z i t z dz h i t d
*
* *
$ $
$ $
Si l l i ld d d i l i é i
0 0
( ) ( ) ( ) ( )s sh z i t z dz h i t d * % *$ $
0t Si se cumple la igualdad a demostrar y existe un rol simétrico de la entrada y la respuesta al impulso
0 0t %
Mayo de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
133
C l ió áfiConvolución gráficaR
iv (t)
' '
i ( )
1
iv
'
*
ov
*C
T 3T2T tT
vd
2
1*
Calculemos la respuesta al impulso
oi o
vv v
dRC
dt% '
0 0 0' ' '
!
0 0 0
00
0 0 0
1 1( ) 1 (0 ) ( ) ( )t RCdv
RC dt v dt t dt v h t e u tdt RC RC
,' ' '
* * *
' *' % % + % + %$ $ $!
0
1 ( ) ( )tSi RC h t e u t*% + %
Mayo de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
134
C l ió áfiConvolución gráfica
( )h ( )h
1
( )h *
1
( )h t *
1
e t*1 1
! El método de la convolución gráfica consiste en dibujar primero h(- ) y luego desplazar la curva h(t- ) sobre la curva
t
primero h(- ), y luego desplazar la curva h(t- ) sobre la curva de entrada en la medida que aumenta t.
! En este caso se desea calcular:! En este caso se desea calcular:
( ) ( ) ( )
t
c iv t h t v d % *$0
( ) ( ) ( )c i$
Mayo de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
135
C l ió áfiConvolución gráfica
Para el intervalo 0T
t( (2( )iv
( ) ( ) ( )
t
o iv t v h t d % *$1
( )h t *0
( )
( ) ( ) ( )
1 e 1 e
o i
t
t td * * *% 1 % *
$
$
Para el intervalo
t0
2
T 0
$
Tt T( (
2( )iv
1
2( ) ( )( ) 1 e ( 1) e
Tt
t tv t d d * * * *% 1 ' * 1$ $1
( )h t *'
''
''
***
' ' '
*** *
*'''
''
'''
02
( ) ( )2
0
( ) 1 e ( 1) e
e e
o
T
T tt t
T
v t d d
* * * *
'
% *
$ $
t02
T T' ' ' * *
1
'''''' 02
2 2e e 1
T
Tt
t
2 3* *4 5 *6 7% * *
Mayo de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
136
1*
C l ió áfiConvolución gráfica
Gráficamente se obtiene aproximadamente la siguiente Gráficamente se obtiene aproximadamente la siguiente solución:
iv (t)v (t)ov (t)
t
¿Qué sucede si la misma entrada rectangular del problema anterior se aplica al siguiente circuito RC?p g
' '
C
0 0 (*)idv dv v
iv
'
*
ov
'
*R
0 0 (*)i
dt dt RC% '
Mayo de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
137
C l ió áfiConvolución gráfica
Calculemos la respuesta al impulso: Calculemos la respuesta al impulso:
( ) ( ) ( )t RCh t ke u t t,*% '
( ) ( ) ( ) ( )t RC t RCkh t ke t e u t t
RC, ,* *8 8% * '
Reemplazando en (*) y balanceando impulsos y dobletes se obtiene:
1 RC1, 1 ( ) ( ) ( )t RCk si RC h t e u t t
RC,*% * % + % * '
( )h ( )h ( )h t *( )h ( )h * ( )h t
Propuesto:Calcular la RESC al tren de pulsos
1*
1*
1*
t
al tren de pulsosrectangular porconvolución
áfi
Mayo de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
138
gráfica
EL3001 Análisis y Diseño de EL3001 - Análisis y Diseño de
Circuitos Eléctricos
Unidad 3
Profesor Pablo Estévez VProfesor Pablo Estévez V.
T f d d L lTransformada de Laplace
! Herramienta fundamental para estudiar sistemas lineales ! Herramienta fundamental para estudiar sistemas lineales e invariantes. Reduce la solución de EDOs lineales a la solución de ecuaciones algebraicas lineales.g
! Sea una función del tiempo definida enf(t) [0, ) !
" #!
$" #
" #0
1
( ) ( ) ( )
( ) ( )
stF s L f t f t e dt
f t L F
%
! %
%
& & $ Transformada de Laplace
A tit f d d L l
! Nota: El límite inferior de integración es 0- para incluir la ibilid d d i l 0 E d fi i ió
" #1( ) ( )f t L F s& Antitransformada de Laplace
posibilidad de un impulso en t=0. Esta definición corresponde a la transformada unilateral de Laplace útil
áli i d í t it i di i en análisis de regímenes transitorios con condiciones iniciales.
2 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Mayo de 2009
T f d d L lTransformada de Laplace
! Donde es la frecuencia complejas j' (& )! Donde es la frecuencia compleja
! La región de convergencia o el dominio de existencia de l T d L l l i l d h i i l i l j
s j' ()
la T. de Laplace es el semiplano derecho sin incluir el eje imaginario.
( )
0 0 0 0cosst j t t te dt e dt e tdt j e sen tdt' ( ' '( (
% % % %
! ! ! !% % ) % %& & %$ $ $ $
! Si fi i t t d t
donde cosj te t jsen t ! " !
# $R 0 Si suficientemente grande, entonces
suficientemente rápido para que la integral sea
# $Re 0s %" &
0te %! 'finita debido a que el intervalo de integración es infinito
3 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Mayo de 2009
Ej l 1 E ló it iEjemplo 1: Escalón unitario
( ) ( )f t u t"( ) ( )f t u t
( )0 0
1( ) ( ) st st stL u t u t e dt e dt e
s! !
** *! ! !" " " !+ +0 0
0
( )1 11j t
s
e %
!
! ,- ." ! ! "/ 0
+ +
Donde cuando
# $1e
j s% *- ." ! ! "/ 0,
# $0
j t% ! , t'* Donde cuando # $0
j te
% ! , ' t'*
( ) 1( ) para Re( ) 0L u t s
s" &
4 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Mayo de 2009
Ej l E i l i lEjemplos: Exponencial e impulso
Exponencial ( ) atf t e" Exponencial ( )f t e
( ) ( )
0 0
1
( )
at at st s a t s a tL e e e dt e dt es a
! !
** *! ! ! ! !- . " " " !/ 0 + +0 0
0( )
1para Re( ) 0
s a
s a
!/ 0 !
" &
+ +
# $para Re( ) 0s a
s a" ! &
!1
R ( ) 0atL - .
Impulso# $
1para Re( ) 0atL e s a
s a- . " ! &/ 0 !
Impulso
( )( ) ( ) ( ) 1stL t e t dt t dt s1 1 1* *
!" " " 2+ +( )0 0
( ) ( ) ( )! !+ +
5 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Mayo de 2009
P i d d d T f d d L lPropiedades de Transformada de Laplace
1 Unicidad: Una función del tiempo f(t) está especificada 1. Unicidad: Una función del tiempo f(t) está especificada únicamente por su transformada de Laplace y viceversa
( ) ( )f t F
2. Linealidad
( ) ( )f t F s3
( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )L c f t c f t c L f t c L f t, " ,
1 1 2 2 1 2( ) ( ) , constantesc F s c F s c c" ,
También( )1
1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )L c F s c F s c f t c f t! , " ,
6 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Mayo de 2009
Ej l C Ejemplos: Coseno y seno
Coseno ( ) cosf t t " Coseno ( ) cosf t t
( ) 1 1 1 1cos j t j tL t L e e !- ." , " ,5 6( )cos
2 2 2( ) 2( )L t L e e
s j s j
s
, ,5 6 ! ,/ 0
# $2 2
s
s "
,
Seno ( )f t sen t " Seno ( )f t sen t
( ) # $1 1j t j tL sen t L e e
!- ." ! "5 6( ) # $2 22 2
L sen t L e ej j s
5 6 ,/ 0
7 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Mayo de 2009
P i d d d T f d d L lPropiedades de Transformada de Laplace
3 Regla de diferenciación 3. Regla de diferenciación
( )( ) (0 )df
L sL f t f !- . " !5 6/ 0 Ejemplo
( )( ) ( )f fdt5 6/ 0
j p
( ) ( ) ( )( ) 1, ( ) , , ( )n nL t L t s L t s1 1 17 - ." " "/ 0!
La regla se extiende de modo que
( ) ( ) / 0
( ) ( )( )
2
( ) 1 ( 2) ( 1)
( ) ( ) (0 ) (0 )L f t s L f t sf f! !77 7" ! !
- . ( )( ) 1 ( 2) ( 1)( ) ( ) (0 ) (0 ) (0 )n n n n nL f t s L f t s f sf f! ! ! ! ! !- . " ! ! !/ 0 !
8 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Mayo de 2009
P i d d d T f d d L lPropiedades de Transformada de Laplace
3 Regla de integración ( )1t- .5 6+
3. Regla de integración ( )0
1( ) ( )L f d L f t
s8 8
!
- ."5 6
5 6/ 0+
t Ejemplo ( ) ( )
0
1 1( ) ( ) ( ) ( )
t
d u t L u t L ts s
1 8 8 1!
" ' " "+
( ) ( )
0
2
1 1( ) ( ) ( ) ( )
t
u d r t L r t L u t8 8 " ' " "+ ( ) ( )
( )
2
0
2 2
( ) ( ) ( ) ( )
1 1t
s s
t t
!
- .
+
+ ( ) 3
0
1 1( ) ( ) ,
2 2
t tr d L L r t
s s8 8
!
- ." ' " "5 6
/ 0+ !
# $
1
1
1
! 1 ! !
t n n n
n
td L n
n n n s
8 88
,
,
- ." ' " 25 6, / 0
+9 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos
EléctricosMayo de 2009
# $0
! 1 ! !n n n s! , / 0
T d C l ióTeorema de Convoluciónt,
+3 1 2 1 2
0
( ) ( )* ( ) ( ) ( ) , 0f t f t f t f t f d t8 8 8!
" " ! 9+ Si f2 tiene un impulso en el origen, este debe incluirse.
Igualmente si f1 tiene un impulso en t=8, debe incluirse.
( )3 3 1 2( ) ( ) ( ) ( )L f t F s F s F s" "
donde
( ) ( )1 1 2 2( ) ( ), ( ) ( )L f t F s L f t F s" "
10 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Mayo de 2009
D t ió T d C l ióDemostración Teorema de Convolución
t,- .( )1 2 1 2
0
( )* ( ) ( ) ( )
t
L f t f t L f t f d8 8 8!
- ." ! "5 6
5 6/ 0+0
1 2( ) ( )
t
stf t f d e dt8 8 8,*
!
5 6/ 0
- .!5 6+ +
Como se puede reemplazar el
1 2
0 0
( ) ( )f t f d e dt8 8 8! !
5 65 6/ 0+ +
( ) 0f t t8 8! " 2 & Como se puede reemplazar el límite superior de integración por
1,2 ( ) 0f t t8 8! " 2 &
*
( )( )* ( ) ( ) ( ) stL f t f t f t f d e dt8 8 8* *
!- .
" !5 6+ +( )1 2 1 2
0 0
( ) ( ) ( ) ( )L f t f t f t f d e dt8 8 8! !
" 5 65 6/ 0+ +
11 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Mayo de 2009
Dem. Teorema de Convolución (2)
Reemplazando Reemplazando( )st s t se e e8 8! ! ! !"
y reagrupando términos se tiene
* *- .( ) ( )
1 2 2 1
0 0
( )* ( ) ( ) ( )s s tL f t f t f e d f t e dt8 88 8 8! !
! ! !- .
" ! "5 65 6/ 0
+ +
2 1( ) ( ) cons sf e d f e d t8 :8 8 : : : 8* *
! !- .
" !5 65 6
+ +
Por lo tanto
2 1
0 0
( ) ( )f f! !
5 65 6/ 0
+ +
Por lo tanto
( )1 2 1 2( )* ( ) ( ) ( )L f t f t F s F s"
12 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Mayo de 2009
Respuesta de estado cero
Para cualquier circuito lineal-invariante la RESC se Para cualquier circuito lineal-invariante la RESC se obtiene por convolución
,
0
( ) ( ) ( ) 0
t
sv t h t i d t8 8 8,
!
" ! 9+ Si tiene un impulso en el origen debe incluirse. Lo
mismo para , luego podría contener un ( )si "
0
( )h " ( )h t 8!p , g pimpulso en .
La Transformada de Laplace de la respuesta al impulso es
( ) ( )
t 8"
La Transformada de Laplace de la respuesta al impulso es la Función de Red (o Función de Transferencia)
( )( ) ( )L h t H s"
13 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Mayo de 2009
Función de Red
La función de red es por definición La función de red es por definición
; <; <
( )L RESC
H sL Entrada
"; <L Entrada
( )( ) ( ) ( ) ( )
t
L v t L h t i d V s8 8 8,- .
" ! "5 6+( )0
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
sL v t L h t i d V s
V s H s I s
8 8 8!
" ! "5 65 6/ 0
"
+
En general hay 4 combinaciones posibles, ya que tanto la
( ) ( ) ( )sV s H s I s"
En general hay 4 combinaciones posibles, ya que tanto la variable de salida como la entrada pueden ser un voltaje o una corriente
14 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Mayo de 2009
R t l i l T d L lRespuesta al impulso y T. de Laplace
h(t)=v(t) es la solución a: h(t)=v(t) es la solución a:
RC v
,( )si t1"
( ), (0 ) 0dh
C Gh t h1 !, " "
Y
!( ), (0 ) 0C Gh t h
dt1,
dh- .( )( ) ( )H s L h t" Y
( )( ) 1dh
L C Gh L tdt
1- ., " "5 6/ 0
- .
( )( ) ( )
( ) ( ) (0 ) ( ) 1dh
CL GL h C sH s h GH Sdt
!- . - ., " ! , "/ 05 6/ 0
# $1 1 1
( ) ( ) 1 ( )1
Cs G H s H sCs G C s RC
, " = " ", ,# $
; <# $
1 11 1 1( ) ( ) ( )
1
t RCh t L H s L e u t tC s RC C
! ! !> ?@ @
" " " 2A B,@ @C D
Mayo de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
15
# $1C s RC C,@ @C D
Representación de entrada-salida
Para circuitos lineales invariantes con una entrada w(t) y Para circuitos lineales invariantes con una entrada w(t), y una salida, y(t), la relación entrada-salida puede en general expresarse como una EDO de n ésimo orden con expresarse como una EDO de n-ésimo orden con coeficientes constantes de la forma
1 1n n m md d d d! !1 1
0 1 0 11 1(1)
n n m m
n mn n m m
d y d y d w d wa a a y b b b wdt dt dt dt! !
, , , " , , ,! !
Los coeficientes dependen de los valores de los elementos y de la topología del circuito
,j ja b
elementos y de la topología del circuito
Las condiciones iniciales son:
1
1(0), (0), , (0)
n
n
dy dyy
dt dt
!
!!
16 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Mayo de 2009
Respuesta de estado cero caso orden n
Aplicando transformada de Laplace con condiciones Aplicando transformada de Laplace con condiciones iniciales nulas a (1) se obtiene
# $ # $1 1( ) ( ) ( )n n m mb b b
De donde se obtiene la función racional en s# $ # $1 1
0 1 0 1( ) ( ) (2)n n m m
n ma s a s a Y s b s b s b W s! !, , , " , , ,! !
# $# $
1
0 1
1
( )( ) (3)
( )
m m
m
n n
b s b s bY sF s
W s a s a s a
!
!
, , ," "
, , ,
!
Factorizando los polinomios en términos de sus ceros se ti
# $0 1( )
nW s a s a s a, , ,!
tiene
1
( )( )
( ) (4)
m
i
i
K s zY s
F s "
!E1
1
( )( ) (4)
( )( )
i
n
j
j
F sW s
s p"
" "!E
17 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Mayo de 2009
1j"
Función de red
A los ceros del polinomio en el numerador se les iz A los ceros del polinomio en el numerador, , se les llama CEROS
A l d l li i l d i d l p
iz
A los ceros del polinomio en el denominador, , se les llama POLOS (o frecuencias naturales)
jp
En particular si
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 1, ( ) ( )
w t t y t h t
L w t W s L h t H s
1" ' "
" " "
Recordar que por definición la función de red es la razón entre las T de Laplace de las RESC y de la entrada
( ) ( )( ) ( ) , ( ) ( )
entre las T. de Laplace de las RESC y de la entrada
1
( )( )
( ) (5)
m
i
i
K s zY s
H "
!E1
1
( )( ) (5)
( )( )
i
n
j
j
H sW s
s p
"" "!E
18 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Mayo de 2009
1j"
Ecuaciones de los elementos
Resistencia ( ) ( ) ( ) ( )v t Ri t V s RI s' Resistencia ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
v t Ri t V s RI s
I s GV s
" ' "
"
Capacitorp
01( ) ( )C C
VV s I s" F , V
G( ) ( )I s C s V s C V
( ) ( )C CV s I sC s s
,F Gs
Vo
Cs
1oCV
Cs
0( ) ( )C CI s C s V s C V" F F ! F
( )0
( )( ) ( ) ( )cc c c
dv ti t C I s C sV s V
dt" ' " !
19 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Mayo de 2009
Ecuaciones de los elementos
Inductancia InductanciaiL(t) iL(t)
++
G Iou(t)vL(t)
-
LvL(t)
-
Gs
I o
( )0
( )( ) ( ) ( )LL L L
di tv t L V s L sI s I" ' " !
iL(0-)=Io
!0
0
( ) ( ) ( )
1 1( ) ( )
L L Lv t L V s L sI s Idt
II s V s
"
# " $ % "( ) ( )
1( ) ( ) ( )
L L
t
I s V sLs Ls s
i t d I t
# " $ % "
%& 0
0
( ) ( ) ( )L Li t v d I u tL
' '$ %&
20 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Mayo de 2009
Impedancia
Se define la impedancia de punto motriz del una-puerta N Se define la impedancia de punto motriz del una-puerta N como la razón entre la transformada de Laplace del voltaje y la transformada de Laplace de la corriente en la voltaje y la transformada de Laplace de la corriente en la puerta, con condiciones iniciales nulas y fuentes independientes nulas (red N relajada)independientes nulas (red N relajada).
I(s)
L[vs(t)] N
+
V(s)
-
( )( )
( )
V sZ s
I$
21 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Mayo de 2009
( )I s
Admitancia
Se define la admitancia de punto motriz del una-puerta N Se define la admitancia de punto motriz del una-puerta N como la razón entre la transformada de Laplace de la corriente y la transformada de Laplace del voltaje en la corriente y la transformada de Laplace del voltaje en la puerta, con condiciones iniciales nulas y fuentes independientes nulas (red N relajada)independientes nulas (red N relajada).
( )( )
I sY s $
Para los elementos R,L,C las impedancias y admitancias son:
( )( )
Y sV s
$
Para los elementos R,L,C las impedancias y admitancias son:
Elemento Impedancia Admitancia
R R GR R G
L Ls 1/Ls
C 1/Cs Cs
22 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Mayo de 2009
C 1/Cs Cs
Ejemplo Función de Red
Para el circuito de la figura determine la función de red Para el circuito de la figura determine la función de red
0 0( ) [ ( )]( )
E s e tH s $ $
!( )
( ) [ ( )]i i
H sE s e t
$ $!
1 [ ])i
% %%%
1 [ ])
2 [ ])
%
i
2mg v*
3v
%
+
3mg v*
0e
%
+
1mg v*
2v
%
+ie
%
+1v
%
+
1 [F] 1 [ ])!""#""$
1 [F] 1 [ ])!""#""$
1 [F] 1 [ ])!""#""$!""#""$
1 mhomg $
23 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Mayo de 2009
Ejemplo Función de Red (2)
LCK en el bloque 2 LCK en el bloque 2
21 2 0 /m
dvg v C G v* % * % * $ !1 2
1 2( ) ( ) ( ) 0
m
m
gdt
g V s Cs G V s* % % * $
2
1
( ) 1 (1)
( ) ( ) 1
mgV s
V s Cs G s
+ +$ $
% %
En bloque 3
1( ) ( )
3( ) 1 (2) ya que es igual al bloque 2)
( ) 1
V s
V s s
+$
%2 ( ) 1V s s %
24 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Mayo de 2009
Ejemplo Función de Red (3)
En el bloque 1 En el bloque 1
2 1 22 ( ) /i !1 0 0
01
2 ( ) /3 3 3
( )( )1 2 1 2( ) ( ) ( ) (3)
i i i iv e i e e e e e
E sV sV E E
$ + * $ + * + $ * % * !
011 0
( )( )( ) ( ) ( ) (3)
3 3 ( ) 3 3 ( )i
i i
VV s E s E s
E s E s$ * % , $ %
Luego de (1), (2) y (3)
3 3 02 1
2
( ) ( )1 1 2 (4)
( ) ( 1) 3 3 ( )
V s V E sV V
E V V E E
- .$ * * $ * %/ 0
1 22
2 1( ) ( 1) 3 3 ( )i i iE s V V E s E s/ 0% 1 2
25 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Mayo de 2009
Ejemplo Función de Red (4)
En el bloque 4 En el bloque 4
03 0 0( ) 3 /m i
deg v C G e e e
dt* % * % * $ + !
3 0
4( ) ( ) ( ) ( ) 3
3i
dt
V s s E s E s% % * $
%
3 0 0
2 2
(4)
( ) ( ) ( )4 1 2 3 4 1 1( ) ( ) 1
( ) 3 ( ) 3 ( 1) 3 ( ) 3 ( 1)i i ide
V s E s E ss s
E s E s s E s s
3 4 3 4% % * $ , % % * $ * +5 6 5 6% %7 8 7 8
De aquí se despeja
(4)( ) ( ) ( ) ( ) ( )i i ide 7 8 7 8
( )0 ( )
( )i
E s
E s
26 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Mayo de 2009
Mét d N d l T d L lMétodo Nodal con T. de Laplace
1) Incorporar las condiciones iniciales como fuentes 1) Incorporar las condiciones iniciales como fuentes
o
+o+
2
-
S 121
-
Mayo de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
27
Mét d N d l T d L lMétodo Nodal con T. de Laplace
2) Transformar fuentes de voltaje a fuente de corriente, ) j ,usar admitancias e identificar las incógnitas, es decir los voltajes de nodo a nodo de referencia e1 y e2. Plantear voltajes de nodo a nodo de referencia e1 y e2. Plantear LCK aplicando Transformada de Laplace
01 1 1 0 1 2
1( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ))
II s G E s CsE s CV E s E s
L$ % + % % +
9 :
1 1 1 0 1 2
02 2 1 2
10 ( ) ( ) ( )
s Ls
IG E s E s E s$ + + +
Mayo de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
28
9 :2 2 1 2( ) ( ) ( )s Ls
Mét d N d l T d L l (3)Método Nodal con T. de Laplace (3)
Reescribiendo en forma matricial se tiene que Reescribiendo en forma matricial se tiene que
0 01 11 1 ( ) ( )sI s CVG Cs Ls Ls E s I s + %% % + 3 43 4 3 4 3 4
5 65 6 5 60 01 1
02 2
( ) ( )
1 ( ) 0
s
I sLs G Ls E s
3 43 4 3 4 3 4$ % 5 65 6 5 6 5 6+ % 7 87 8 7 8 7 8
Matriz de Admitancias NodalesEl d i d i
Condiciones inicialesVector defuentesEl determinante de esta matriz es: fuentesindependientes
2
- .- . - .2
1 2
1 1 1G Cs G
Ls Ls Ls
- .- . - .; $ % % % + $/ 0/ 0 / 01 21 2 1 2
1 21 2 2
G G CGG G Cs
Ls L
% - .% % %/ 01 2
Mayo de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
29
1 2
Mét d N d l T d L l (3)Método Nodal con T. de Laplace (3)
Por Regla de Cramer Por Regla de Cramer
0 0
1
11( )
1
sI I s CV LsE s
I G L
+ % +$
;
9 : 9 :
1
0 2
1 2 2 0 0 0
( )1
1 s
I s G Ls
E G Ls I G I s CV CV Ls
%;
;# $ % + + %
Reemplazando ; y multiplicando por Ls/G2 se obtiene T. de Laplace de EDO 2do orden con condiciones iniciales de Laplace de EDO 2do orden con condiciones iniciales incorporadas
3 4- .2 1 21 2 1
2 2
( )G GLs C
LCs GG E sG L G
3 4%- .% % %5 6/ 01 27 8
00 0
1( )s
I CLs I s Ls CV V
G s G
- . - .% + + %/ 0 / 01 21 2
Mayo de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
30
2 2G s G1 21 2
Mét d d l M ll T d L lMétodo de las Mallas con T. de Laplace
1) Incorporar las condiciones iniciales como fuentes 1) Incorporar las condiciones iniciales como fuentes
R1CVou(t)
vS(t)L R2
+
vLIou(t)
-
Mayo de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
31
Mét d d l M ll T d L lMétodo de las Mallas con T. de Laplace
2) Aplicar transformaciones de fuentes para dejar sólo 2) Aplicar transformaciones de fuentes para dejar sólo fuentes de voltaje en serie con algún elemento. Usar i d i T d L l D di i d impedancias con T. de Laplace. Darse direcciones de referencia para las corrientes de mallas. Escoger una malla d f i l l Id ifi l de referencia, usualmente la externa. Identificar las incógnitas, las corrientes de mallas I1 e I2.
Mayo de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
32
Mét d d l M ll T d L lMétodo de las Mallas con T. de Laplace
2) Aplicar LVK en cada malla y expresar cada voltaje de 2) Aplicar LVK en cada malla y expresar cada voltaje de rama en términos de las corrientes de mallas y los
á t d l i itparámetros del circuito
9 :0 1( )
VV s R I I LI Ls I I$ % % + % +9 :
9 :
1 1 1 0 1 2
2 2 0 2 1
( )
0
sV s R I I LI Ls I Is Cs
R I LI Ls I I
$ % % + % +
$ % % +
En forma matricial
9 :2 2 0 2 1
0 01 11 ( )
0
sLI V sR Cs Ls Ls I V s
LILs R Ls I
+% % + 3 43 4 3 4 3 4$ % 5 65 6 5 6 5 6 ++ % 7 87 8 7 8 7 802 2 0 LILs R Ls I ++ % 7 87 8 7 8 7 8
Mayo de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
33
Mét d d l M ll T d L lMétodo de las Mallas con T. de Laplace
El determinante es: El determinante es:
9 : 9 : 9 :2 21 RLR L R L L R R R R L
- . - .; % % % % % % %/ 0 / 0
Por regla de Cramer
9 : 9 : 9 :21 2 1 2 1 2R Ls R Ls Ls R R R R LsCs C Cs
; $ % % % + $ % % % %/ 0 / 01 2 1 2
Por regla de Cramer
1 0 01 ( )1 R Cs Ls V s LI V s% % % +1 0 0
2
0
1 ( )1 sR Cs Ls V s LI V sI
Ls LI
% % %$
+ +;
3 4 021 2 1 2 2 1 0 0( ) s
LIRL sR R Ls R R I LR I LsV LV
C Cs Cs L
3 4- .% % % % $ + + % + #/ 05 61 27 8
2 2 01 2 21 2 2 1 0 0
1( ) s
IR R RR R s s I s V R I s V s
L C LC C
3 4- .% % % % $ + + +/ 05 61 27 8
Mayo de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
34
L C LC C1 27 8
Ej l Ci i OPAMP T d L lEjemplo: Circuito OPAMP con T. de Laplace
1
2
Encontrar f ió d d
o
1 21
2 función de red usandométodo nodal
2s
(admitancias)
Por seguidor de voltajeV V Por seguidor de voltaje
LCK en nodo 1 2 0V V
! "1 1 1 1 2 2 1 2( ) ( ) (1)sG V V Cs V V G V V# # $ #
LCK en nodo 2 2 2 2 1 2( ) (2)C sV G V V #
Mayo de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
35
Ci i OPAMP F ió d d 2d dCircuito OPAMP: Función de red 2do orden
En forma matricial se tiene En forma matricial se tiene
1 2 1 2 1 1 1 sG G C s G C s V GV$ $ # #% & % & % &
' ( ' ( ' (
El determinante de la matriz es2 2 2 2 0G G C s V
' ( ' ( ' (# $ ) *) * ) *
! "! " ! " ! "2
1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2G G Cs G C s G G Cs CC s G G C s GG+ $ $ $ # $ $ $ $
Por regla de Cramer
G G C G1 2 1 1 1 22
2
1
0s
G G C s G s GG VV
G
$ $
#+ +
! "2
2
1 2 1 2 1 2 2
1( )
1
VH s
V R R C C s R R C s
$ $ $
Mayo de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
36
! "1 2 1 2 1 2 2 1sV R R C C s R R C s$ $ $
L d Ki hh ff l D i iLeyes de Kirchhoff en el Dominio-s
Las leyes de Kirchhoff no cambian bajo la Transformada de Las leyes de Kirchhoff no cambian bajo la Transformada de Laplace, por lo que pueden plantearse directamente en el dominio-sdominio s
LCK en nodo
1 1
( ) 0 ( ) 0N N
n ni t I s , - -
donde . /( ) ( )n nI s i t n 0
1 1n n
LVK en malla
. /
( ) 0 ( ) 0N N
t V,- -
1 1
( ) 0 ( ) 0n n
n n
v t V s
, - -
donde . /( ) ( )n nV s v t n 0
Mayo de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
37
E i l t S i Di i d V lt jEquivalente Serie y Divisor de Voltaje
1 2 LVK
1 1
( ) ( ) ( ) ( )N N
n n
n n
V s V s Z s I s
1 2 3 4
5 6- -
1
( )( ) ( )
( )
N
eq n
V sZ s Z s
I s -
Divisor de voltaje
1( ) nI s
! "( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n eqV s Z s I s Z s Z s V s n 0
Mayo de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
38
j ! "n n n eq
E i l P l l Di i d C iEquivalente Paralelo y Divisor de Corriente
N N1 2
LCK 1 1
( ) ( ) ( ) ( )n n
n n
N
I s I s Y s V s
1 2 3 4
5 6- -
1
( )( ) ( )
( )
N
eq n
n
I sY s Y s
V s
-
Divisor de corriente ! "( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n eqI s Y s V s Y s Y s I s n 0
Mayo de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
39
! "n n n eq
Ej lEjemplo
Encontrar a) V2(s)/V1(s) b) Zeq(s) Encontrar a) V2(s)/V1(s), b) Zeq(s)
a) Por divisor de voltaje
b) 2 1 2( ) ( ) ( )V s V s Ls R Ls $
! " ! " b) ! " ! "! "! "
1 1 2
1 1 2
( ) 1
1
eqZ s R C s R Ls
RC s R Ls
$ $
$ $! "! "1 1 2
2
1 1 2 1
1
( ) 1
RC s R Ls
LC s R R C s
$ $
$ $ $
Mayo de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
40
T d S i ióTeorema de Superposición
Para redes lineales invariantes el teorema de Para redes lineales invariantes el teorema de superposición puede expresarse en términos de funciones de redfunciones de red
! " ! " ! "m
-! " ! " ! "1
k k
k
X s H s I s
-T.Laplace
de RESC debido
a todas las fuentes
t d i ltá t
T.Laplace de entradas
Funciones de red
! "X
actuando simultáneamente Funciones de red
de las m entradas
a la salida
! " ! "! " 0m
k
Ikk
X sH s
I s 0
Mayo de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
41
m k0 8
Ej l d S i ióEjemplo de Superposición
i$
L1R ! " ! " ! " ! " ! "
! " ! "! " ! "! "
1 1 2 2
1
1
1
V s H s E s H s I s
V sH s
G C
$
#$
2iRv#
C1e
! "! " ! "! "
! " ! "! " ! "! "
2
1
1 1 20
12
1I
E s R Ls G Cs
V s R LsH s
$ $ $
$ ! "
! " ! "! "1
2
2 1 201
EI s R Ls G Cs
$ $ $
" 0a I P di i d lt j" 2 0a I 1R L s$
! "! "
1
2
Por divisor de voltaje
1
1
EV s
G CsR Ls
$ % &
$ $' (
2
1
G Cs$#$ ! "V s
$
#
! "1E s! "
! "! "! "
1
2
1
1
R LsG Cs
V s
E R L G C
$ $' ($) *
! "! "1 1 21E R Ls G Cs$ $ $
b) Propuesto de Tarea
Mayo de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
42
b) Propuesto de Tarea
T d Th i N tTeorema de Thevenin-Norton
Para redes lineales invariantes los equivalentes de T-N Para redes lineales invariantes los equivalentes de T-N
toman la forma! "I s
! "eqZ s
! "I s
! "V s$
A
! "Y s ! "V s$
! "I s
! "I s
A
! "Eca s$#
! "V s#
'A
! "eqY s ! "V s#
! "ccI s
'A
! " ! ". /Sean
E t
Eq. de Thévenin E q. de N orton
Ad á l l l ió! " ! ". /! " ! ". /
Eca ca
cc cc
s e t
I s i t
Además se cumple la relación:( )
( )( )
caeq
cc
E sZ s
I s
! " 1eq
eq
Z sY
0
Impedancia de punto motriz
de la red relajada vista
desde los terminales '
N
A A#
Que es muy útil para determinar laimpedancia de Thévenin cuando hay fuentesdependientes
Mayo de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
43
desde os e es p
Diagrama de Polos y Ceros
La función de red es una función racional en s La función de red es una función racional en s
! "! "
1
0 1( )( ) (1)
m m
mb s b s bP sF s
#$ $ $
!
En la forma estándar, se factoriza el polinomio en el
! "1
0 1
( ) (1)( ) n n
n
F sQ s a s a s a#$ $ $!
En la forma estándar, se factoriza el polinomio en el numerador por sus CEROS, zi, y el polinomio en el denominador por sus raíces denominadas POLOS pjdenominador por sus raíces denominadas POLOS, pj
( )( )
m
iK s zP s
#91( )
( ) (2)( )
( )
i
n
j
P sF s
Q ss p
#
9
9
La constante se llama factor de escala
1
( )jj
p 9
0bKa
La constante se llama factor de escala
44 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Mayo de 2009
0a
Diagrama de Polos y Ceros
Una función de red está únicamente determinada por la Una función de red está únicamente determinada por la ubicación de sus ceros y polos, y por el factor de escala K.
El di d l t l bi ió d El diagrama de polos y ceros, muestra la ubicación de estos en el plano de la frecuencia compleja s.
Los polos se representan por una X y los ceros por O
j :; plano s j :; plano s j :; plano s
<
j p
<
j p
<
j p
j =;
># >#
(2)j =# ;
( ) ( )tf t e u t># ; ; ( ) [ cos( )] ( )tf t A e t u t> =# ; ; ; ; ; ( ) ( )f t t u t ;
1( )F s
s >
$ 2 2
( )( )
( )
A sF s
>=
; $
$ $ 2
1( )F s
s
45 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Mayo de 2009
s >$ 2 2( )s > =$ $ s
Anti-transformada de Laplace
1) Si la función (grado ( ) grado ( ))m n P s Q s? ? 1) Si la función racional es impropia
(grado ( ) grado ( ))m n P s Q s? ?
"Resto
Cuociente""Cuociente
( ) ( )ˆ( ) ( ) grado ( ) < grado ( )( ) ( )
P s R sF s P s R s Q s
Q s Q s $
Donde es un polinomio en s, luego las funciones di l i l li i
( ) ( )Q Q
( )P s#
correspondientes en el tiempo al aplicar anti-transformada de Laplace son:
L i
( ), '( ), ''( ), etc.t t t ( ) ( ) 1 2n n Lo anterior ya que
Como H(s) es la T. Laplace de la respuesta al impulso, si
( ) ( ) 1,2,n nt s n ! "
, la respuesta al impulso contendrá a su vez un impulso y sus derivadas hasta orden m-n.m n#
46 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Mayo de 2009
Expansión en Fracciones Parciales
1) Si la función (grado ( ) grado ( ))m n P s Q s% % 1) Si la función racional es propia. Hay 4 casos:
) P l i l
(grado ( ) grado ( ))m n P s Q s% %
a) Polos simples
Sea el denominador de F(s)& '1
( )n
j
j
Q s s p" () La expansión en fracciones parciales es de la forma
1j"
njk*
1
( )j
j j
kF s
s p"
"(*
El residuo del polo se calcula con la fórmula jp
& 'lim ( )k s p F s" (& 'lim ( )j
j js p
k s p F s+
"
47 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Mayo de 2009
Ejemplo caso polos simples
1 k k
& '& '1 21
( )1 3 1 3
k kF s
s s s s" " ,
, , , ,
& '
1 21, 3
1 1
p p" ( " (
& '1 11
1 11 ( )
3 2ss
k s F ss"(
"(
" , " ",
& '1 33
1 13 ( )
1 2ss
k s F ss"(
"
" , " " (,
& '3
31( ) e e ( )
2
s
t tf t u t
"(
( (" (& '2
48 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Mayo de 2009
a) Polos Simples
La expansión en fracciones parciales y su anti- La expansión en fracciones parciales y su anti-transformada son de la forma
n k
1
( )n
j
j j
kF s
s p"
"(
- .
*
/ 01
1
( ) ( ) e ( )j
np t
j
j
f t F s k u t(
"
- ." " 1 2
3 4*!
Si polo en semiplano derecho abierto, se ti i l i t
& ' 0je p5 6tiene una exponencial creciente.
Si polo en semiplano izquierdo abierto, se & ' 0je p5 %
tiene una exponencial decreciente.
49 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Mayo de 2009
b) Polos Múltiples
& ' & ' & '1 2
1 2( )
d d ( )
rn n n
r
r
Q s s p s p s p
Q
" ( ( (
*
"
1
con , grado de ( )i
i
n n Q s"
"*
La expansión en fracciones parciales es de la formakk k
& ' & '1
1
111 12
2
1 1 1
( )n
n
kk kF s
s p s p s p
kk k
" , , ,( ( (
& ' & '2
2
221 22
2
2 2 2
n
n
kk k
s p s p s p, , , ,
( ( (
,
& ' & '1 2
2
r
r
r nr r
n
r r r
kk k
s p s p s p
,
, , , ,( ( (
50 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Mayo de 2009
& ' & 'r r rp s p s p
b) Polos Múltiples (2)
Los residuos se calculan como Los residuos se calculan como
& ' 1
11
1 1 ( )n
ns p
k s p F s"
" (
& '
1
1
1
1
1 1 1 ( )n
n
s p
dk s p F s
ds(
"
7 8" (9 :
& ' 1
1
1
2
1 2 12
1( )
2!
n
n
s p
dk s p F s
ds(
"
7 8" (9 :1
etc.
p
Luego ser aplica anti-transformada de Laplace
1
1 nt(!
& ' 1
1e
!
nat
n
t
ns a
(, +
,
!
51 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Mayo de 2009
c) Polos Complejos Conjugados
Los polos complejos ocurren en pares conjugados ya que Los polos complejos ocurren en pares conjugados ya que F(s) es una razón de polinomios de coeficientes reales.
Si l t j, ( ) 0Q Si es un polo, , entonces
también es un polo,
1 1 1p j; <" , 1( ) 0Q p "*
1 1 1p j; <" ( & '*
1 0Q p "
En el caso de polos simples la expansión en fracciones parciales queda de la forma,p q ,
1 2
1 1 1 1
k k
s j s j; < ; <,
( ( ( , & ' & '1 1 1 1e ej t j t
k k; < ; <, (= ,
Y su anti-transformada es
1 1 1 1s j s j; < ; <, & ' & '
& ' & '& '1
1 2
*
2 1 1 1
e e .
, ek
k k
k k
k k k k >
= ,?
" "??@ & ' & '& '
& '
1 1 1 11
1
1
1 1 1
e e e
2 e cos
j t k j t kt
t
k
k t k
< <;
; <
,> ( ,>@,?
?,>?A
52 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Mayo de 2009
& '1 1 1?A
Valor Inicial y Valor Final
Las propiedades de valor inicial y final son las siguientes: Las propiedades de valor inicial y final son las siguientes:
0Valor inicial: lim ( ) lim ( )
stf t sF s
, +B+"
0
0Valor final: lim ( ) lim ( )
st
t sf t sF s
+B+
+B +"
Demostración (caso valor final):
dfB
C0
( ) (0 ) stdfsF s f e dt
dt(
( (( " C Propiedad de diferenciación
0 00
lim ( ) (0 ) lim ( ) (0 )st
s s
dfsF s f e dt f f
dt(
B( ( (
+ +
7 87 8( " " B ( DE F9 :
E F9 :C
G H0
0lim ( ) lim ( )s t
sF s f t+ +B
E F9 :"
53 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Mayo de 2009
Ejemplo Respuesta Completa
Encontrar respuesta completa ante ambas entradas Encontrar respuesta completa ante ambas entradas, utilizando el método nodal y Transformada de Laplace
G H G H(0) 5 (0) 10 1 1 1 1/ 2V V RC R C R C R C
Luego ser aplica anti-transformada de Laplace
G H G H1 2 1 1 2 1 3 2 2 2(0) 5 , (0) 10 , 1, 1, 1, 1/ 2v V v V RC R C R C R C" " " " " "
g p p
54 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Mayo de 2009
Respuesta Completa
Incorporar C I como fuentes transformar a fuentes de Incorporar C.I. como fuentes, transformar a fuentes de corriente, usar admitancias y Transformada de Laplace. Definir incógnitas E y EDefinir incógnitas E1 y E2.
55 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Mayo de 2009
Respuesta Completa (2)
Plantear LCK en función de incógnitas Plantear LCK en función de incógnitas.
LCK en 1)1 1 1 1 1 1 1 10 2 1 2( ) (1)sGV GE CsE CV G E E" , ( , (
LCK en 2)
En forma matricial3 2 3 1 2 2 2 2 1 2 20( ) (2)sGV GE C sE G E E CV" , , ( (
1 2 1 2 1 1 1 101 sG G C s G GV CVE, , ( ,7 8 7 87 8E F E FE F
1 2 1 2 1 1 1 101
2 2 3 2 3 2 2 202
s
sG G G C s G V C VE"E F E FE F( , , ,9 :9 : 9 :
El determinante es
& ' & ' 2
1 2 1 3 2 3 1 2 2 2 3 1 1 2GG GG GG G G C s G G Cs CC sI" , , , , , , ,& ' & '1 2 1 3 2 3 1 2 2 2 3 1 1 2
2
1 2
5 4s sCC
I" , ,
56 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Mayo de 2009
1 2CC
Respuesta Completa (3)
Por regla de Cramer Por regla de Cramer
1 1 1 10 21 21
1 sGV CV GCCE
, ("1
3 2 2 20 2 3 21 2
365 35
sGV C V G G C sC C
s
, , ,I
- ., ,1 2
& '2
2 2
5 355 35 36
(3)5 4 5 4
ss ss
s s s s s
, ,1 2 , ,3 4" ", , , ,
Expandiendo en fracciones
& '5 4s s s, ,2
1 20
5 35 36 36lim 9
5 4 4s
s sK
s s+
, ," " "
, ,en los polos simples 0, -1, -4
31 2( )KK K
E s " , ,
2
21
5 4 4
5 35 36 6lim 2
( 4) 3s
s s
s sK
s s+(
, ,, ,
" "( "(,
& '1
4
1
( )1 4
( ) 2 2 9 ( )t t
E ss s s
e t e e u t( (
" , ,, ,
" ( ( ,& '
2
34
( 4) 3
5 35 36 24lim 2
1 12s
s s
s sK
s s+
,
, ," "( "(
,57 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos
EléctricosMayo de 2009
& ' & '4 1 12s s s+( ,
Suma de Residuos
La suma de residuos de una función racional propia debe La suma de residuos de una función racional propia debe cumplir ciertas restricciones que son útiles para verificar que los cálculos sean correctosque los cálculos sean correctos
& '1 10 1
lim ( ) lim lim
m m mmb s b s b s
sF s s K
( ,, , ," " "
"
& '1
0 1
lim ( ) lim limnn ns s s
n
n n
sF s s Ksa s a s a
K s
(+B +B +B, , ,
* *
"
Donde K es el factor de escala
D d > h 2 lt d ibl1 1
limj
js
j jj
K sK
s p+B" "
",* * Donde K es el factor de escala
y los Kj son los residuos
Dado que n>m, hay 2 resultados posibles
0 si n 1n mK
6 ,=@* Nota: Verificar que esto
1 si n 1j
j
KK m"
" @" ,A
* Nota: Verificar que estose cumple en el ejemplo anterior. Comprobar con el valor inicial
58 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Mayo de 2009
valor inicial.
Diseño de Funciones de Red
Diseño: Encontrar un circuito que realice una función de Diseño: Encontrar un circuito que realice una función de red dada, con valores prácticos para los elementos.
Divisor de voltaje
1
2 21
1 1 2
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
V s Z sH s
V s Z s Z s" "
,
22
1
1 1 2( ) ( ) ( )
Divisor de corriente
2 2( ) ( )( )
I s Y sH 2 2
2
1 1 2
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )H s
I s Y s Y s" "
,
59 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Mayo de 2009
Circuitos de Primer Orden
Se desea realizar la función de red Se desea realizar la función de red.
( )K
H s "
Esto se puede hacer con un divisor de voltaje
( )H ss J,
p j
2
1 2
( )( )
( ) ( )
Z sKH s
s Z s Z sJ" "
, ,
Donde
1 2( ) ( )s Z s Z sJ, ,
2
1 2 1
( )
( ) ( ) ( )
Z s K
Z s Z s s Z s s KJ J
"
, " , D " , (
Existen muchas formas de realizar Z1 y Z2
1 2 1( ) ( ) ( )Z s Z s s Z s s KJ J, , D ,
60 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Mayo de 2009
Diseño RL
( )2 2
1 1
( )
( ) , con 1[ ], [ ]
Z s K R
Z s s K Ls R L H R KJ J
" "
" , ( " , " " ( K
Sujeto a la restricción K JL
61 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Mayo de 2009
Diseño RC
( )Z sK s 2
1 2
( )( )
1 ( ) ( )
Z sK sH s
s Z s Z sJ" "
, ,
& '2 2 2( ) 1 con 1 [ ]
1 1
Z s K s C s C K F
KJ
" " "
(& '1 1
1
1 1( ) 1 , con [ ], 1[ ]
KZ s R C F R
s C s K
JJ
" , " , " " K(
Sujeto a la restricción K JL
62 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Mayo de 2009
Ejemplo 2
Se desea realizar la siguiente función de red con R y C Se desea realizar la siguiente función de red con R y C
( )Ks
H s "
Esto se puede hacer con un divisor de voltaje
( )H ss J,
p j
2
1 2
( )( )
1 ( ) ( )
Z sKH s
s Z s Z sJ" "
, ,
Donde
1 21 ( ) ( )s Z s Z sJ, ,
2 2( ) [ ]
1 1( ) 1 1 [ ] [ ]
Z s K R
Z K R R K C FJ
" " K
K1 1 1 1
1
( ) 1 , con 1 [ ], [ ]Z s K R R K C Fs C s J
" ( , " , " ( K "
63 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Mayo de 2009
Diseño de Circuitos Activos con OPAMP
Combinan ganancia de amplificación con características Combinan ganancia de amplificación con características de respuesta de frecuencia de los elementos pasivos RLC
L di ñ i d i d t i Los diseños no requieren de inductancias que son grandes y costosas, basta elementos R y C
OPAMP tiene una baja impedancia de salida, lo que hace que pueda conectarse en cascada sin alterar la función de red de la etapa (a diferencia del divisor de voltaje)
La función de red puede dividirse en etapas que se La función de red puede dividirse en etapas que se diseñan en forma independiente, y que al conectarse en cascada realizan la función deseadacascada realizan la función deseada
64 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Mayo de 2009
Factor de Escala
En general los valores típicos de elementos pasivos son: En general los valores típicos de elementos pasivos son:
:1 a 100
100 100
C pF F
L H H
M:100 a 100
:10 a 100
L H mH
R M
MK K
Un OPAMP debe tener una resistencia de realimentación mayor a 10kK para mantener una corriente de salida mayor a 10kK para mantener una corriente de salida dentro de sus capacidades
C it i d di ñ T d l i t i d b Criterio de diseño: Todas las resistencias deben ser mayores a 10kK
65 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Mayo de 2009
Factor de Escala (2)
Se puede escalar la magnitud de las impedancias sin Se puede escalar la magnitud de las impedancias sin cambiar la función de red
( )( )k k ZZ 22
1 2 1 2
( )( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
m m
m m m
k k Z sZ sH s
k Z s Z s k Z s k Z s" "
, ,
Sea p: posterior y a: anterior
C, , a
p m a p m a p
m
CR k R L k L C
k" " "
Usualmente se obtiene primero un prototipo con valores de elementos demasiado pequeños o grandes. Se aplica el factor de escala para producir el diseño final con valores prácticos para los elementos.
66 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Mayo de 2009
Prototipo 1: Divisor de Voltaje con Ganancia
2 ( )( ) con
( ) ( )
A BZ s R RH s K K
Z s Z s R
! !
1 2( ) ( ) BZ s Z s R
67 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Mayo de 2009
Prototipo 2: Amplificador Inversor
( ) ( )V s Z s0 2
1
( ) ( )( )
( ) ( )i
V s Z sH s
V s Z s! ! "
68 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Mayo de 2009
Prototipo 3: Amplificador No-Inversor
0 1 2( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
V s Z s Z sH s
V s Z s
! !
1( ) ( )iV s Z s
69 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Mayo de 2009
Diseño: No existe solución única
Una función de red se puede particionar en etapas de Una función de red se puede particionar en etapas de primer orden de distinta manera
S d l i d l t ti (i Se puede ocupar cualquiera de los prototipos (inversor, no-inversor, divisor de voltaje + OPAMP) para realizar un blbloque
Una vez seleccionado un prototipo hay varias formas de asignar valores a los elementos
Cada etapa requiere un factor de escala diferente para Cada etapa requiere un factor de escala diferente para obtener valores de elementos en los rangos prácticos
70 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Mayo de 2009
Diseño con Amplificador Inversor
( )Z ss $ 2
1
( )( )
( )
Z ssH s K
s Z s
$
%
! " ! "
Diseño RC
& ' & '1 1 1 1 1( ) 1 1 con ,Z s Ks K C s G G K C K$ $! ! ! !& ' & '1 1 1 1 1
2 2 2
1 1( ) , con 1,Z s C G
s C s G
$ $
%%
! ! ! ! 2 2s C s G%
1/!1/(k")
1
+
-
k
71 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Mayo de 2009
Diseño en Cascada
Diseñar un circuito RC que realice la siguiente función de Diseñar un circuito RC que realice la siguiente función de red
1 100( ) 10
sH s
!
& '& '( ) 10
1 20 1 1000H s
s s!
Para lograr este objetivo se descompone la función de rede en el producto de 2 bloques de primer orden. p q pExisten varias formas de hacer esto mismo.
& '1 100 10& '
& ' & '
1 100 10( )
1 20 1 1000
sH s
s s
!
Seleccionaremos prototipos con amplificadores inversores
72 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Mayo de 2009
Bloque 1
La función de red a realizar es La función de red a realizar es
& '
& '2
1 100( ) sZ s !& '1( ) 1 20Z s s
& ' & '1 1 1 1 1( ) 1 1 100 1 con |1, 1 100Z s s C s G G C! ! ! !& ' & '
& '
1 1 1 1 1
2 2 2
1 1( ) , con 1 20, 1
1 20Z s C G
s C s G! ! ! !
Prototipo de diseño bloque 1
& ' 2 21 20s C s G
73 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Mayo de 2009
Bloque 1
Para hacer que las resistencias sean del orden de 10k( o Para hacer que las resistencias sean del orden de 10k( o más, se usa un factor de escala 410mk !
10 , 1y5p pR k C F)! ( !
Diseño final bloque 1
74 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Mayo de 2009
Bloque 2
La función de red a realizar es La función de red a realizar es
& '2 ( ) 10Z s
!& '1( ) 1 1000Z s s
1( ) 1 10Z s !
& '
1
2 2 2
2 2
1 1( ) , con 1 1000, 1
1 1000Z s C G
s C s G! ! ! !
Prototipo de diseño bloque 2
& ' 2 21 1000s C s G
75 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Mayo de 2009
Bloque 2
Para hacer que las resistencias sean del orden de 10k( o Para hacer que las resistencias sean del orden de 10k( o más, se usa un factor de escala 510mk !
10 y100 , 10p pR k k C nF! ( ( !
Diseño final bloque 210[nF]
10 [k#]100 [k#]
76 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Mayo de 2009
Régimen Permanente Sinusoidal (RPS)
! Considere una red lineal-invariante con una única entrada ! Considere una red lineal invariante con una única entrada sinusoidal
! Notar que ! "1 m m( ) I I cosj ti t e e t# #$% $! Notar que
! donde es el operador parte real
! "1 m m( ) cosi t e e t#%
! "e% !
! Es más conveniente trabajar con la exponencial compleja, ya que su anti-transformada de Laplace es
! " & 'm mI Ij tL e s j# #$ (
77 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
Régimen Permanente Sinusoidal (2)
! La T de Laplace de las ecuaciones nodales dan origen a la ! La T. de Laplace de las ecuaciones nodales dan origen a la siguiente expresión matricial
& '( ) IE j) *) *
+ ,
& '1 m
2
( ) I
( ) 0( )
e
e
E s s j
E sY s
#) ( *) *- .- .- .- . $- .- .
+ ,( )
( ) 0
n
ne
Y s
E s
- . $- .- .- .- .
/ 0 / 0
" "
! donde el subíndice “e” en los voltajes de nodo a nodo de f i (i ó it ) d b l t d i l
( )ne/ 0 / 0
referencia (incógnitas) se debe a la entrada exponencial
! es la matriz nxn de admitancias nodales, cuyo ( )nY sn
determinante es 1
( ) ( ) ( ) para algunn
n ij ij
i
s Y s s j$
1 $ 12
78 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
Régimen Permanente Sinusoidal (3)
! Donde & '( ) cofactor 1 veces el determinantej i
ij ijs Y es3
1 $ (! Donde
que se obtiene de eliminar la fila i y la columna j de
& '( ) cofactor 1 veces el determinanteij ijs Y es1
( )nY s
! Por regla de Cramer se obtiene la incógnita E2e como
12 ( ) Ims1
! Donde
& '12
2
( ) Im( )
( )e
n
sE s
s s j#1
$1 (
! Donde12 ( )
( )( )
sH s
s
1$1
! Suponiendo que todos los polos de H(s) están en el
( )n s1
! Suponiendo que todos los polos de H(s) están en el semiplano izquierdo abierto, es decir ! " 0je p j% 4 5
79 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
Régimen Permanente Sinusoidal (4)
! La expansión en fracciones parciales de (1) se puede ! La expansión en fracciones parciales de (1) se puede agrupar en 2 tipos de términos
a)& '
1 ( 1)
( 1)!
j
kLp tjk
jkk
K tK e
ks p
( (
6(
Todos estos términos tienden acero cuando t tiendo a infinito
b)1
m( ) I( ) I
Lj tH jK
H j e ###
(
$ 6
& ' ( 1)!j
ks p(
Este es el únicotérmino que b)
& ' & ' m( ) IH j es j s j
## #
6( (
término que sobrevive en régimenpermanente, por esoRPS! Ya que el residuo K es calcula como
mIlim ( ) ( ) ( ) IK s j H s H j# #$ ( $
RPS
& ' mlim ( ) ( ) ( ) Is j
K s j H s H js j#
# ##6
$ $(
80 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
Régimen Permanente Sinusoidal (5)
! Para t suficientemente grande la respuesta en el tiempo ! Para t suficientemente grande la respuesta en el tiempo es
1
2 2 m( ) [ ( )] ( ) I j t
e ee t L E s H j e ##($ 7
& '2 2 m
2 2 m( ) [ ( )] ( ) I cos ( )
e e
ee t e e t H j t H j# # #$% 7 3#
Cuando la respuesta en régimen permanente sinusoidal se obtiene evaluando la función de red en
t !s j"#
( ) ( )s j
H s H j"
"##
j
Esto corresponde a la razón entre el fasor de entrada y el
s j"
fasor de salida en RPS a la frecuencia "
81 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
Filtros La idea es eliminar o atenuar ciertas componentes de La idea es eliminar o atenuar ciertas componentes de
frecuencia de la forma de onda.
R
( )t
SR
R( )v t LR
Fuente Periódica
o de Frecuencia Variable
Carga
Filtro Pasa Bajos: Deja pasar bajas frecuencias y bloquea las altas.
Filtro Pasa Altos: Deja pasar las altas frecuencias y atenúa las bajas frecuenciasj
82 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
Ejemplo: Circuito RL Serie
SR
Lz j L"#
0 en 0" #
( )V sen t"% % LRLI
Lz j L" en "! # !
A una determinada frecuencia se tiene:" A una determinada frecuencia se tiene:
L
L
VI
R R j L"#
& &!
"
' ( ' ( ' (2 2 2
1
1
s L
L
s Ls L
R R j L
V VI
R RR R L L
R R
"
" "
& &
# #&& & ) *
& + ,- .
!
1tan
s L
L
s L
R R
LI
R R
"/
+ ,&- .
) *# / + ,&- .!"
83 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
Respuesta de Frecuencia
I ' (' ( cIH jw
V#
1
R R
' (H jw"
0
s LR R&0.707
s LR R&
s LR R& w0 w90/ #
Filtro pasa bajos ideal
s Lcw
L#
Filtro pasa-bajos ideal
Magnitud unitaria0' (H jw
Magnitud unitaria
Frecuancia de corte cw
0
01
0cw w
10 Ancho de bandaB w# /
84 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
0 Ancho de bandacB w#
Frecuencia de corte
Frecuencia de corte frecuencia a la cual la magnitud $ Frecuencia de corte frecuencia a la cual la magnitud de la función de transferencia es igual a .
P l filt b j RL i
max
1
2H
$
Para el filtro pasa-bajos RL serie
1 1 1
2
1 1 1( ) ( 0)
21
C
s LC
H j H jR R
L
""
# #& ) *
& + ,1
1
s L
C s L
R R
L R R""
& + ,&- .&
2 # 2 #1 C
s LR R L"2 # 2 #
&
85 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
Frecuencia de corte (2)
A la frecuencia de corte la potencia media entregada por A la frecuencia de corte la potencia media entregada por el circuito es la mitad de la máxima potencia media.
max
max
max
max
1 1( ) ( )
2 2
L
L C C L
I H V
I j H j V H V I" "
#
# # #max
max
max
2
2
2 2
1 1 1( ) ( )
2 2 2
L C C L
C L C L L LP j I j R I R" " ) *# # + ,
- .
max
2
max
2 2 2
1 1( )
2 2 2
L
C L
IP R P"
- .
# #
En la banda aceptada la potencia media entregada a la p p gcarga es al menos el 50% de .maxP
86 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
Filtro Pasa-bajos de Primer Orden
Cualquier circuito con función de transferencia Cualquier circuito con función de transferencia,
1( ) CH
"( )
1
C
C
C
H sss ""
# #& &
es un filtro pasabajos de primer orden, con frecuencia de corte "corte
Ejemplo: Circuito RC serieR
c"
R
&
iv 0v
/C
87 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
Diagrama de Bode
La ganancia de amplitud se expresa en Decibeles [dB] La ganancia de amplitud se expresa en Decibeles [dB]
10( ) 20log ( )dB
H j H j" "#
Puede ser positiva, negativa o cero
10( ) 0 og ( )dB
j j" "
p g
El decibel proviene originalmente de una razón de potencias Ppotencias
10Número de 10 log salida
entrada
PdB
P#
Suponiendo que se mide sobre una misma resistencia se tiene 2
Salvi
) *) * ) *+ ,
2Número de 10 log 20log ó 20logSal Sal
En En En
v iRdBv v iR
) * ) *+ ,# # + , + ,+ ,- . - .+ ,
- .
88 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
Diagrama de Bode
Los diagramas de Bode pueden ser de magnitud o fase Los diagramas de Bode pueden ser de magnitud o fase
20log ( ) vs log Magnitud en [ ]H j dB" "
Para el filtro pasa-bajos de primer orden ( ) vs log FaseH j" ""
p j p
1 1( ) ( )
1 1
H s H js
j
""
# 2 #& &
2
1 1
1( ) 20log ( ) 10log 1
C C
j
H j H j
" "
"" "
& &
3 4) *5 6# 2 # / & + ,
2( ) 20log ( ) 10log 1
1C
C
H j H j" """
"
5 6# 2 # & + ,5 6- .) * 7 8
& + ,- .
Si 20log Recta de pendiente -20
Si 0 Si 10l 2 3[ ]
C
C
dBdécada
dB
"" "
") * 3 49 / + , 7 8- .
%
&
89 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
Si 0; Si 10log 2 3[ ]C C dB" " " "9 # 9 / # /&
Diagramas Asintóticos de Bode
Diagrama de Bode de magnitud Diagrama de Bode de magnitud
Asíntotas0
dB
20dB década/20/
0
1 10
Una década es un rango de frecuencia de razón 10:1
C
""
1 10
Una década es un rango de frecuencia de razón 10:1
Diagrama de Bode de fase) *1( ) tan
C
H j"
""
/ ) *% # / + ,
- .'
0º
Grados90ºC" ":: 2 /
45ºC" "# 2 /0ºC" ";; 2
1 100 1
0º
45º/90º/
"
C
90 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
1 100,1C"
Filtro Pasa-altos de Primer Orden
Cualquier circuito con función de transferencia Cualquier circuito con función de transferencia,
s
( )
1
C
C
C
sH s
ss
""
"
# #& &
es un filtro pasa-altos de primer orden, con frecuencia de corte
C
"corte
Ejemplo 1: Circuito RL serie
c"
R
&
V! 0V
/
!L
91 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
Ejemplo 2: Circuito RC Serie
RSR
!
1Cz
j C"#
en 0"! #
( )V sen t"% % LRCIj
0 en " # !
La frecuencia de corte se calcula como1V V | |I
' (
1
1 11
C
s Ls L
s L
V VI
R RR R
j C j C R R" "
# #& ) *& & &+ ,
&- .
! | || ( ) | CIH
V" #
1
R R&' (
2max
( ) 1 1
21
1
C s LI R RH j
H V
" &# # #
) *& + ,
!S LR R&
0,707
S LR R&
' (
' (
1
1
s L
C
C R R
C R R
"
"
& + ,&- .
2 #&
"1
( )C
S LC R R" #
% &
92 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
' (s LC R R&
Diagrama de Bode filtro pasa-altos
Para el filtro pasa-altos de primer orden Para el filtro pasa altos de primer orden
( ) ( )CC
js
H s H j
"""
"2
2
( ) ( )
1 1
C
C C
H s H js
j
""
" "
# 2 #& &
El segundo término a la derecha de la igualdad ya es
2
20log ( ) 20 log 20log 1 (*)C C
H j" "
"" "
) *# / & + ,
- .
El segundo término a la derecha de la igualdad ya es conocido, es aprox. 0 hasta y luego cae con 20 dBc"
Cuando hay polos en el origen se tiene:
(20 [ / ]
120log 20 log
( )N N dB década
Nj
"" /
# /
93 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
Diagrama de Bode filtro pasa-altos
Caso de polos o ceros en el origen Caso de polos o ceros en el origen
20
40( )j "
2( )j "%dB
( )j
2( )j "%( ) 90 N< " # / %
90
180
0
20
20/40
101
( )j "%
1( )j " /%2
2( )j " /
1( )j " /%
( )j "%0( )j "%
90/
90
180
0
El diagrama de magnitud de Bode para el filtro pasa altos
40/ 2( )j " /% ( )j "%180/
El diagrama de magnitud de Bode para el filtro pasa-altos es !H!dB
0
0.1 1 10
"/"c
-20 -20 dB/Decada
c
94 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
-40
Ejercicio
Un circuito tiene el diagrama de Bode de magnitud de la Un circuito tiene el diagrama de Bode de magnitud de la figura
) E t l f ió d t f i ' (H j a) Encuentre la función de transferencia
b) Encuentre el valor ' (lim H j"
" !
' (H j"
" !
dBH
17
?
"2 8
95 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
Forma estándar de H(s)
1
2
1
( )
2
i i
sK
H s"
=
#
) *&+ ,
- .#) *) * ) *) *
>
1 1 0 0
21 1
Polos Complejos Conjugados
k k
N k
m km
ss ss
=" " "# #
) *) * ) *) * + ,& & &+ , + ,+ , + , + ,+ ,- . - . - .- .> >
p j j g
20log ( ) 20log 20 log 1 20log ( )N
i
H j K j j"
" ""
# & & /?2
2 20 log 1 20 log 1
i i
k
k
jj j
"
=" ""
" " "
) * ) */ & / & &+ , + ,+ , + ,
- . - .? ?
Propuesto: Trazar diagrama de Bode para
0 0k km km" " "+ , + ,
- . - .
1 100"@ @ Propuesto: Trazar diagrama de Bode para 10 1
50( )
1 1 1
j
H j
j j j
"
"" " "
) *&+ ,- .#
) *) *) *& & &+ ,+ ,+ ,- .- .- .
1 100"@ @
96 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
2 20 80j j j+ ,+ ,+ ,- .- .- .
Filtro Pasa-Banda Deja pasar intervalo específico de frecuencias, si es pasivo Deja pasar intervalo específico de frecuencias, si es pasivo
utiliza el fenómeno de resonancia.( )H j
1 Pasa-Banda ideal, no cambia
C C 0
ni la magnitud ni la fase en labanda de paso
Posee tres parámetros característicos
1C
2C
0
B
1) frecuencia central o frecuencia de resonancia
2) ancho de banda
0 1 2c c !
2 1c cB ! "2) ancho de banda
3) factor de calidad, es una medida de la discriminación en frecuencia del filtro
2 1c c
0Q B !discriminación en frecuencia del filtro
97 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
Resonancia
Circuito RLC serie o paralelo Circuito RLC serie o paralelo( )i t
Condición de Resonancia:(t) i(t) d b t f
( )e t RLCe(t) y i(t) deben estar en fase
0Im0Im !#%&
'()!#
%&
'()*
++
TT YóZ
RLC serie SR
TZ
RLC serie
V ,!
S
LRLI
En el capacitor presenta una impedancia infinita.0 ! En el capacitor presenta una impedancia infinita.
En la inductancia es un circuito abierto.
0
! -
98 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
Resonancia
La impedancia de la combinación LC es La impedancia de la combinación LC es
2
1 ) &
" ' #20
11 1
LC
LCZ j L
j C j C j C
"' #" ( %! $ ! !
Cuando se tiene que y
donde la función de transferencia es
0
1
LC ! ! 0LCZ ! 0 max
1( )
s L
H HR R
! !$
donde la función de transferencia es
1( ) LIH ! !
) &
/ 0
( )1
1 1 1( )
s L
HV
R R j LC
H
) &$ $ "' #( %
/ 0/ 0
/ 0
2 222
( )1 1
1s L
s L
s L
HR R
LCR R LC C R R
! !$) & ) &"$ $ " $' # ' #( % $( %
99 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
Frecuencias de corte
La condición para las frecuencias de corte es La condición para las frecuencias de corte es
/ 0
2
max 1( ) 1 (*)
2C
H LCH
C R R
"! * ! 1
$
a) Considerando +1 en (*)
/ 02 s LC R R $
) ( )
2 10s LR R
L LC
$) &$ " !' #( %
/ 0R R$
/ 0 / 02
2
1 4,
2 2
s L s LR R R R
L L LC $ " " $ $
! 1 $
Se define
Se encuentra que (la solución de frecuencia negativa no
/ 0 2 2
0,2
s LR R
L2 2 2 $ "$
* ! " 1 $#
Se encuentra que (la solución de frecuencia negativa no tiene sentido)
1
2 2
0C 2 2 ! " $ $
100 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
1
Frecuencias de corte b) Considerando -1 en (*) se obtiene) ( )
2 2
0C 2 2 ! $ $ Ancho de Banda
1 0C 2 2
2 12 s L
C C
R RB
L 2
$! " ! !
F d lid d0
Si la carga afecta el ancho de banda
Si varía, varía pero es fijo.
R B
C B 3 3
Factor de calidad
(1)0 0 0LQ
! ! !
Para
2 s L
QB R R2 $
0010
2Q
Q
2 !$ %
1 20 0,C C 2 24 " 4 $
101 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
Q
Resonancia
Para el circuito RLC serie Para el circuito RLC serie
/ 0 / 01 1 1
( )1
L
HR R
R R j L
! !$) & ) &
' #
Sea
/ 0 / 00
0
11s L
s L
R RR R j L jQ
C
$) & ) &$ $ " $ "' # ' #( % ( %
1s LR R$ !
1 0
12 2
02 0
1( ) , ( ) tan , ( )
2 2H H Q H
5 5
") &) &
! ! " " " 6 6' #' #' #( %( %7 8) &9 :
& &
2 0
0
1 Q
) &
9 :$ "' #9 :( %; <
102 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
Filtros Pasa-banda y Rechaza-Banda
Filtro pasa-banda tiene función de transferencia Filtro pasa banda tiene función de transferencia,
2 2( )
BsH s !
2 2
0
( )H ss Bs $ $
Filtro rechaza-banda tiene función de transferencia,
2 22 2
0
2 2
0
( )s
H ss Bs
$!
$ $( )H j
FiltroRechaza Banda Ideal"
103 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
1C
2C
Filtro Pasa-bajos Activo
1 'R1R
0 0 iV
S i S
v v vA
v v v! ! =
"
$R
Sv 0viv 0i iv v v"
!C
1 1
0 1
'
'1
R R
v R
!
) &* ! $' #
1iv R' #( %
1 1conS i iv v v
s C v "
! = = * ! !0
0
con
1i
S
s C vsR v R C
! * ! !=$
1 1
0
(1 ' )
1V
R RA
s
$!
$
104 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
0
Filtro Pasa-altos Activo
0 0 iV
v v vA ! ! =
1 'R1R
S i Sv v v
0 1 '1
v R) &! $' #
"
1
1
Divisor de voltaje
i
S
v R
R vv
$' #( %
=* !
$C
Sv 0viv
Divisor de voltaje1
iv
Rs C
* !) &$' #=( %
R
0
0
1, i
S
v s
v s R C
! !
$ =
105 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
Filtros Pasa-banda Activo
Conexión en cascada de circuitos pasa-alto y pasa-bajo Conexión en cascada de circuitos pasa alto y pasa bajo
( )H s ( )H s$ $
1( )
Pasa-alto
H s 2 ( )
Pasa-bajo
H s1( )V s
"2 ( )V s
"
1 21 2 1 2( ) ( ) ( ) , con
K s KH s H s H s
s s
) & ) &=
! = ! = >>' # ' #$ $( % ( %1 2
1 2
2 2 2 2
1 2
| | | || ( ) |
s s
K KH j
$ $( % ( %
) & ) &=' # ' #= ! =' # ' #$ $( % ( % | ( ) |H j1 2
1 21 2
1 2
| |
| |
K K
K K
( % ( %= =
>> >> ?=
| ( ) |H j =
1 21 2
2
1 22 1
| |
| |
K K
K K
=>> >> ?
=@@ @@ ?
1 2
106 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
2 1
Filtros Pasa-banda Activo
Conexión en cascada Conexión en cascada
'RR'RR
"
$2R
0v"
'v
2C$
1C
1R
Sv 0v
2
0 0 0 1' ' 1
1v v v sR
A ) &
' # P Dib j0 0 0 1
0
1 2
1'
1 1V
S S
As sv v v R
) &! ! = ! $ = =' #( % $ $
Propuesto: Dibujarel diagrama de Bode de magnitud
1 2
1 1 2 2
1 1
R C R C ! >> !
= =
107 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
Filtros Rechaza-banda Activo
Conexión en paralelo Conexión en paralelo
1( )H s
Pasa-alto
1( )V s 2 ( )V s$
$
1 21 2
2 2 2 2
1 2
| | | || ( ) |
K KH j
) & ) &=' # ' #= ! $ @@' # ' #$ $( % ( %
2 ( )
Pasa-bajo
H s
1 2
22 1
2
| || | cte.
KH
( % ( %
>> >> ? !
1 2 1
21
| | | | cte.
| | (Se escoje | | )
H K
KK
@@ @@ ? !
!| |H 2
22
2
| |K
@ ?
| |H
11
1
| |K
=
> ? 1
Pasa-alto
'()(*2
Pasa-bajo
'()(*
108 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
EL3001 - Análisis y Diseño de
Circuitos EléctricosCircuitos Eléctricos
Unidad 4
Profesor Pablo Estévez V.
Nú C l jNúmeros Complejos! Representación en coordenadas rectangulares
! Representación en coordenadas polares
! ", , Im( )z x jy e z x z y# $ % # #
2 2 1, , tanj yz z e z x y z& ! " #$ $ % $ $& '
( ) , ,
cosj
yx
e jsen
& '( )
$ %
Nota: Tomar en cuenta los
cos ,x z y z sen $ $
Nota: Tomar en cuenta los
signos de x e y para
especificar el cuadrantep
2 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
FFasores
Fasor: Número complejo que representa una sinusoide de determinada frecuencia
Fasor
( ) cos( )mx t A t+ ,$ - - % | |j
mA A e A, ,-$ - $" #
( )j te A e +- -. -" +
( )( ) ( )j t j te A e e A e+ + ,- - - %. - $ . -"( ) ( )me A e e A e. .
[ cos( ) ( )]m me A t j A sen t+ , + ,$. - - % % - - - %
cos( )A t+ ,$ %
Im( )j tA e +- --"
( ) ( )y t A sen t+ ,$ %
3 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
cos( )mA t+ ,$ - - % ( ) ( )my t A sen t+ ,$ - - %
T P i i lTeorema Principal
La suma algebraica de cualquier número de sinusoides de la misma frecuencia angular y de cualquier número de sus derivadas de cualquier orden es también una sinusoide de l i f i lla misma frecuencia angular
La demostración de este teorema se basa en tres lemas l i l d
+
( ).relativos al operador
Lema 1: Operador es lineal
( )e. -
( )e. -
Sean números complejos
Aditividad
1 2,Z Z
1 2 1 2[ ( ) ( )] [ ( )] [ ( )]e Z t Z t e Z t e Z t. % $. %.
Homogeneidad 1 1[ ( )] [ ( )],e Z t e Z t/ / /. - $ -. 0$
4 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
T P i i l (2)Teorema Principal (2)
Lema 2: Operadores conmutan1 2
( ) yd
edt
. -%
dt
( )( ) ( ) [ cos( )]j t j t
m m
d d de A e e A e A t
dt dt dt
+ + , + ,%. - $ . - $ - %"
( )( ) ( ) ( )j t j t
m m
dt dt dt
A sen t e j A e e j A e+ , ++ + , + +% -$ ! - - % $ . - - $ . - -"( ) ( ) ( )m mj j,
( ) ( ) ( )j t j t j td de Ae e Ae e j Ae
dt dt
+ + ++. $. $. -" " "
Lema 3: Unicidad
" " " "( ) ( )j t j te A e e B e+ +. - $. -" " t A B3 4 $" "
A B" " ( ) ( )j t j tA B+ +. ." "
5 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
A B$ ( ) ( )j t j te A e e B e+ +4. - $ . -
Ej lEjemplo
cos( ) ( )A t B sen t+ +% 0ºA B5
%# #cos( ) ( )m mA t B sen t+ +- - % - 0º2
m mA B% !# #
m mA j B$ ! -
2 2 cos( )m mA B t+ ,$ % - - ! 2 2
m mA B ,$ % !#
B
2 2 j j,
1tan m
m
B
A, !$
2 2[ ]j j t
m me A B e e, +! - - -. % - -
6 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
Mét d F i lMétodo Fasorial
Permite determinar la solución particular de una ecuación diferencial lineal ordinaria con coeficientes constantes, cuando la función forzante es una sinusoide.
1
0 1 11..... cos( ) (1)
n n
n n mn n
d x d x dxx A t
dt dt dt/ / / / + ,
!
!!- % - % % - % - $ - %
donde son constantes reales
Fasores
0 1, ,...., , , ,n mA/ / / + ,
jA A e ,-" & Función forzantemA A e
j
mX X e 6-" &
Función forzante
Solución particular
Reemplazando en (1)( ) ( )j tx t e X e +$ . -"
7 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
Mét d F i l (2)Método Fasorial (2)
0 ( ) ..... ( ) ( )n
j t j t j t
n
de X e e X e e A e+ + +/ /- . - % % -. - $ . -"" "
Por lema 1
0 ( ) ( ) ( )nndt
nd
Por lema 2 aplicado repetidamente
0( ) ..... ( ) ( )n
j t j t j t
nn
de X e e X e e A e
dt
+ + +/ /. - - % %. - - $ . -"" "
Por lema 2 aplicado repetidamente
Por lema 1
0( ( ) ) ..... ( ) ( )n j t j t j t
ne j X e e X e e A e+ + +/ + /. - - % %. - - $ . -"" "
Por lema 1
P l 3
1
0 1 1{[ ( ) ( ) ..... ( ) ] } ( )n n j t j t
n ne j j j X e e A e+ +/ + / + / + /!!. - - % - % % - % - - $ . -""
Por lema 31
0 1 1
(*)
[ ( ) ( ) ..... ( ) ]n n
n nj j j X A/ + / + / + /!!- % - % % - % - $ ""
'(((((((()((((((((*
8 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
(*)
Mét d F i l (3)Método Fasorial (3)
Si (*) es distinto de cero
1
0 1 1( ) ( ) ..... ( )n n
n n
AX
j j j/ + / + / + /!!
$- % - % % - %
""
La magnitud es
mAX $1
2 2 3 2 22 1 3
potencias pares de potencias impares de
[ ( ...) ( ...) ]
m
n n n n
X
+ +
/ / + / + / +! ! !
$
! - % % - ! - %'((()(((* '(((()((((*
Y la fase es3" #%3
1 1 3
2
2
....tan
....
n n
n n
/ + / +6 ,
/ / +! ! !
!
" #- ! - %$ ! & '! - %( )
9 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
Mét d F i l (4)Método Fasorial (4)
Si (*) es igual a cero, quiere decir que jw es una raíz del polinomio característico, o sea la frecuencia de la función forzante coincide con una frecuencia natural.
En ese caso la solución particular es del tipo
cos( )t A t+ ,- - %
Por lo tanto no existe régimen permanente sinusoidal
cos( )t A t+ ,%
g p(RPS) en esta situación.
10 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
C G lCaso General
El desarrollo previo se puede generalizar a un circuito lineal-invariante descrito por la ecuación diferencial
1 1n n m md y d y d w d w! !
1 0 11 1..... .....n mn n m m
d y d y d w d wa a y b b b w
dt dt dt dt! !% - % % - $ % - % % -
Donde y son números reales1 2, ,..., na a a1 2, ,..., mb b b
( ) ( ) | | cos( )j tw t e A e A t+ + ,$ . - $ - %"| | jA A ,-"
Las k ésimas derivadas de w(t) e y(t) se reemplazan
( ) ( ) | | cos( )w t e A e A t+ ,$ . - $ - % | | jA A e ,$ -
( ) ( ) | | cos( )j t
py t e B e B t+ + 6$ . - $ - %" | | jB B e 6-$ -"
Las k-ésimas derivadas de w(t) e y(t) se reemplazan, respectivamente, por ( ) , 0, ,kj A k m+ - $" +
( ) 0kj B k"
11 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
( ) , 0, ,kj B k n+ - $ +
C G l (2)Caso General (2)
Se obtiene la ecuación algebraica
1 1
1 0 1[( ) ( ) ... ] [ ( ) ( ) ... ]n n m m
n mj a j a B b j b j b A+ + + +! !4 - % - % % - $ - % - % % - ""
Ejemplo
i2
( ) L Ld i dii t LC LG i
si R L C
Li 2( ) L Ls Li t LC LG i
dt dt$ % %
( ) | | cos( ) ( )j t
s si t I t e I e ++ ,$ % $ . "
j,"
S l ó l
| | j
sI I e ,$
j t" Solución particular ( ) ( ) | | cos( )j t
Lp L Li t e I e I t+ + 6$. $ %
12 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
Ej l (C ti ió )Ejemplo (Continuación)
La relación entre los fasores de entrada y salida es:
2[ ( ) ( ) 1] L sLC j LG j I I+ +- % - % - $" "
2[ ( ) ( ) 1]
sL
II
LC j LG j+ +$
- % - %
""
12 2 2 2
| || |
(1 ) ( )
sL
II
LC LG+ +$7 8! %9 :
""
Magnitud(1 ) ( )LC LG+ +7 8%9 :
1
2tan
1
LG
LC
+6 , ! " #$ ! & '
( )Fase
21 LC+& '!( )
13 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
R t C l t RPSRespuesta Completa y RPS
( ) cos( )s mv t V t+ ,$ - - %
La respuesta de cualquier variable de red “y” es de la La respuesta de cualquier variable de red y es de la forma:
( ) ( ) ( )h py t y t y t t$ % 3
( ) is t
h i
i
y t k e-$ -;
k
( ) cos( )p my t A t+ ,$ - - %
ik
14 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
Ré i P t Si id lRégimen Permanente Sinusoidal
1) Si todas las frecuencias naturales de la red están en el semiplano izquierdo abierto, entonces ésta se dice asintóticamente estable.
lim ( ) 0hty t
<=$
lim ( ) ( ) cos( )y t y t A t+ 6$ $ %
Independiente de las condiciones iniciales
A esta respuesta se le denomina régimen permanente
lim ( ) ( ) cos( )p mty t y t A t+ 6
<=$ $ - %
p g psinusoidal (RPS)
2) Si una o más de sus frecuencias naturales están en el )semiplano derecho abierto (del plano de la frecuencia compleja), el circuito es inestable, y lim ( )h
ty t
<$ =
15 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
t<=
Ré i P t Si id l (2)Régimen Permanente Sinusoidal (2)
3) Para frecuencias naturales imaginarias puras.
i) Raíces simples:
Solo si no es una frecuencia natural existirá régimen á d l
j+permanente aunque no será sinusoidal
Si
2 2
0 1 0 2 0,s s j s j+ + +% < $ - $ ! -
+ +> Si 0+ +>0 0
1 2 0( ) cos( )
( ) cos( )
j t j t
h
p
y t k e k e k t
y t B t
+ + + ,
+ 6
- ! -$ - % - $ - %
$ - %
Si la respuesta contiene un término
( ) ( )py 6
0+ +$
cos( )A t t+ ,%
Es inestable, no existe RPS en este último caso
ii) Raíces múltiples: es siempre inestable no existe RPS
cos( )A t t+ ,- - %
ii) Raíces múltiples: es siempre inestable, no existe RPS
16 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
R l i F i l El tRelaciones Fasoriales para Elementos
j t"
( ) ( )j tv t e V e +- -$. -"( ) ( )j ti t e I e +- -$ . -
Resistencia ( ) ( ) ( ) ( )j t j tv t R i t e V e R e I e+ +- - - -$ - <. - $ -. -" "
( )j te R I e +- -$. - -"( ) ( )i t G v t$ ( )e R I e$. - -V R I4 $ -" "
I G V$ -" "
( ) ( )i t G v t$ -
+
I"
V R I$ -" "
V I $ $" "# #V" I"
Fasor rota a frecuencia angular w, su proyección sobre el eje real es x(t)
( )
17 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
R l i F i l El tRelaciones Fasoriales para Elementos
Capacitor
Lema 2
dvi C I j CV+$ < $" "
+V"
90ºI V$ %" "# #
"
1 1
jdt
v idt V IC j C+
$ $? " "V"#
I
El fasor corriente
Inductoradelanta al fasor voltaje en 90º
div L V j LI
d+$ < $" "
+ V"
1
jdt
ó I Vj L+
$" "
90ºI V$ !" "# #V"#
+ V 90I V# #
El fasor corriente está 90º en atraso con respecto al fasorvoltaje
18 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
I"voltaje
I d iImpedancia
N: Una-puerta lineal-invariante
j t"
( )si t( )v t
Se define impedancia de punto motriz del una puerta N, a la
( ) ( ) | | cos( )
( ) ( ) | | cos( )
j t
s s s s
j t
i t e I e I t I
v t e Ve V t V
+
+
+
+
- -
- -
$ . $ %
$. $ %
#
" #
Se define impedancia de punto motriz del una puerta N, a la frecuencia , como la razón entre el fasor voltaje de salida y el fasor corriente de entrada
+
| |( ) | ( ) |
| |s s
V VZ j Z j
I I+ +< $
"& "
,
( ) sZ j V I+ $ !" "# # #
( ) ( ) ( ( ) )j t
s sV Z j I v t e Z j I e ++ +$ < $." " "
19 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
( ) | ( ) || | cos( ( ) )s sv t Z j I t Z j I+ + +$ % %# #
Ad it iAdmitancia
( )i t
( )sv t
( )i t
( ) ( ) | | cos( )
( ) ( ) | | cos( )
j t
s s s
j t
v t e Ve V t V
i t e Ie I t I
+
+
+
+
$. $ %
$. $ %
" "#
" "#
Se define admitancia de punto motriz del una puerta N, a la
( ) ( ) | | ( )
Se define admitancia de punto motriz del una puerta N, a la frecuencia , como la razón entre el fasor corriente de salida y el fasor voltaje de entrada
+
s sV V I I$ 4 $" " " "Si
I"&
| || ( ) |
| |s
IY j
V+ $
1( )
1| ( ) |
| ( ) |Z j
Y j+ $
( )s
IY j
V+ & "
( ) sY j I V+ $ !# # #
1( )
( )Z j
Y j+
+$ | ( ) |Y j+
( ) ( )Z j Y j+ +$ !# #
20 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
s
R I d i /Ad it iResumen Impedancias/Admitancias
En resumen para los elementos RLC se tiene
R G
1/ j C+j L+
j C+1/ j L+
R G
Un circuito lineal-invariante está en RPS a frecuencia si+y solo si todos los voltajes de ramas, corrientes de ramasy voltajes nodales son sinusoides de la misma frecuenciaangular. Por lo tanto todos los voltajes y corrientes sepueden describir por fasores.
21 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
F l ió F i l L d Ki hh ffFormulación Fasorial Leyes de Kirchhoff
En RPS las ecuaciones de Kirchhoff se pueden escribir directamente en términos de voltajes fasoriales y corrientes fasoriales.
1v 2v
3v
2i1i 3i
1v 2v
4v4i4i 1 2 3( ) ( ) ( ) 0i t i t i t% ! $ t3
Sea el fasor que representa a la sinusoide con b el número de ramas
kI" ( ), 1, ,ki t k b$ +
( ) ( )j t
k ki t e I e +$. -"
22 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
F l ió F i l L d Ki hh ffFormulación Fasorial Leyes de Kirchhoff
Reemplazando en (*)
1 2 3( ) ( ) ( ) 0j t j t j te I e e I e e I e t+ + +. - %. - !. - $ 3" " "
1 2 3[( ) ] 0j te I I I e +. % ! - $" " " Lema 11 2 3[( ) ]
1 2 3 0I I I% ! $" " "Lema 3
LCK se puede plantear directamente con corrientes fasoriales
Del mismo modo aplicando LVK en el bucle 1-2-3-1
1 2 4 1 2 4( ) ( ) ( ) 0 0v t v t v t V V V! ! $ 4 ! ! $" " "
donde es el fasor que representa a la sinusoide
LVK se puede plantear directamente con voltajes fasoriales
kV" ( )kv t
p p j
23 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
C ió i d i d iConexión serie de impedancias
En RPS, las impedancias se combinan como ( )kZ j resistencias en serie
+++ - --V V V I
1Z 2Z nZ
+
+++ 1V nV2VnI
2I
1I
I
-
V
( ) ( )nV
Z j Z j ! 1 2 ... nI I I I
V V V V
" " " "
# # #
1
( ) ( )i
i
Z j Z jI
"
" $ " $! 1 2 ... n
i i i
V V V V
V Z I
" # # #
" $ 1,...,i n"
24 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
C ió l l d d it iConexión paralela de admitancias
En RPS, las admitancias se combinan como ( )kY j conductancias en paralelo
I
1Y
+
1V
V nV
2V
nI
2I
1I
nY2Y1
-
-1V n2- -n2
1
( ) ( )n
i
i
IY j Y j
V
"
" $ " $!
1 2
1 2
...
...
n
n
I I I I
V V V V
I Y V
" # # #
" " " "
"
1i n"
LCK
LVK
i i iI Y V" $ 1,...,i n"
25 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
Ej lEjemplos
12Z R j L " # $ $ [ ]% 12
1Z R
j C " #
$ $[ ]%
12
1Y G" #
12Y G j C " # $ $
26 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
12j L $ $ 12 j
A áli i N d l RPSAnálisis Nodal en RPS
0v1R 4R3R2R
si
j C
G G3G2G
I 1ee
En RPS usando admitancias3e1G 4GsI
j L 2e1e
( ) cos( ) j
s si t A t I Ae ' ' $" # ( "
27 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
A áli i N d l RPS (2)Análisis Nodal en RPS (2)
1 1 2 1 2 1 3( ) ( )sI G E G E E j C E E " # ) # ) 3s
2 1 2 2 3 2 3
10 ( ) ( )G E E E G E E
j L " ) ) # # )
$ $
0 ( ) ( )G E E G E j C E E 3 2 3 4 3 1 30 ( ) ( )G E E G E j C E E " ) ) # ) )
G G C G C* +1 2 2
1
2 2 3 3 2
3
10
0
s
G G j C G j CE I
G G G G Ej L
E
* +# # ) )* + * +, -, - , -, -) # # ) ", - , -, -, - , -, - . / . /
3
3 3 4
0Ej C G G G j C
, - . / . /) ) # #. /
Fuera de la diagonal:
suma de admitancias entre
Diagonal: Suma de
admitancias en nodo i i
Suma de fuentes de corriente
ingresando al nodosuma de admitancias entre
nodos y
-
i j
admitancias en nodo i iingresando al nodo
28 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
A áli i d ll RPSAnálisis de mallas en RPS
Determinar en RPS( )Li t
1C 2Cse1
1
j C sE
2
1
j C
3R
1R
R 3R
1R
R
1I
2I
0 11 1R " %Li
32R
L
2R
j L $ $
3I
0 10 10 10 1
1
1
1
1
1
1
R
R
L H
" %
" %
" 0 10 10 1
0 1
1
2
1
4
cos(2 )s
C F
C F
e t V
"
"
"
29 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
0 1( )s
A áli i d M ll RPS (2)Análisis de Mallas en RPS (2)
Fuera de la diagonal:
!suma de impedancias comunes
entre mallas i y j
1 2 1 2
1
1R R R R
j CI E
* +# # ) ), -, - * + * +
entre mallas i y j
11
1 1 3 3 2
2
3
1
0
s
s
jI E
R R R R I Ej C
IR R R R j L
, - * + * +), - , - , -
) # # ) " #, - , - , -, - , - , -. / . /, -
3
2 3 2 3R R R R j L . / . /, -) ) # #, -. /
Suma"de"fuentes"de"
voltaje con subidaDiagonal: Suma de
impedancias en malla i
voltaje"con"subida"
de"voltaje"en"la"
dirección"de"la"
corriente
30 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
corriente
A áli i d M ll RPS (3)Análisis de Mallas en RPS (3)1
2 1 12j
# ) )2
11 2 1
8
j
j) # #
3
1 1 0
12 1 1
I
) )
"# ) )
2 1 12
11 2 1
8
j
j
#
) # )
1 1 2 2j) ) #
31 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
P t i RPSPotencia en RPS
La potencia instantánea entregada al una-puerta N de la figura es ( ) ( ) ( )p t v t i t"
( )i t
( )v t
En RPS ( ) cos( ) ( ) conj t
m mv t V t V e V e V V V " $ # "2 $ " ! !( ) ( ) ( )m m
( ) cos( ) ( ) conj t
m mi t I t I e I e I I I " $ # "2 $ " ! !
( ) ( ) ( ) cos( ) cos( )m mp t v t i t V I t V t I " $ " $ $ # $ #! !( ) ( ) ( ) ( ) ( )m mp
té i t t Si id d f i 2
1 1cos( ) cos(2 )
2 2m m m mV I V I V I t V I " $ ) # $ # #! ! ! !
#$$$%$$$& #$$$$$%$$$$$&
32 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
término constante Sinusoide de frecuencia 2
P t i M diPotencia Media
Se define potencia media como el promedio sobre un período 2T 3 "
1 1( ') ' cos( )
t
P p t dt V I V I$ $ " $ $ $4' ! !
Nota 1:
0( ) cos( )
2m mP p t dt V I V I
T$ $ " $ $ $ )4' ! !
, ya queV I Z V ZI) " " ! ! !
Nota 2: Si N contiene sólo elementos pasivos (R,L,C > 0) por el principio de conservación de energía
, y q
p p p g
0 90º 90º | ( ) | 90ºP V I Z j 5 6) 7 ) 7 6 $ 7 8! ! !
pero p(t) puede ser negativo sobre algunos intervalos de tiempotiempo.
33 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
P t i C l jPotencia Compleja
Se define la potencia compleja entregada al una-puerta N como
*1
2S V I" $ $
( )
2
1 1 1| | | | | || | cos( ) | || | ( )
2 2 2
j V IV I e V I V I j V I sen V I)" $ $ $ " $ ) # $ )! ! ! ! ! !
Potencia activa o media
0 1*1 1( ) ( ) | || | cos( )
2 2P e S e V I V I V I W"2 "2 $ " $ ) ! !
Potencia reactiva
0 1( ) ( ) | || | ( )2 2
0 1*1 1I ( ) I ( ) | || | ( )Q S V I V I V I VAR ! !
Potencia compleja
0 1Im( ) Im( ) | || | ( )2 2
Q S V I V I sen V I VAR" " $ " $ )! !
0 1S P j Q VA" # $
34 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
0 1j Q
P t i C l j I d iPotencia Compleja e Impedancia
Sea la impedancia de punto motriz del una-puerta 9 :Z j N a la frecuencia
Sea la admitancia de punto motriz del una-puerta N
9 :Y j
"V Z I" $ I Y V" $
*1S V I" $ $ 21
| |Z I$ $ * 21| |Y V$ $""
2S V I | |
2Z I | |
2Y V"
2 21 1| | ( ( )) | | ( ( ))P I e Z j V e Y j " $ $2 " $ $2| | ( ( )) | | ( ( ))
2 2j j
2 21 1| | Im( ( )) | | Im( ( ))
2 2Q I Z j V Y j " $ $ " ) $ $
35 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
P t i C l j I d iPotencia Compleja e Impedancia
Luego 0 si ( ( )) 0P e Z j 5 2 5 8
Im( )Z
, , 0R L C 50 90ºZ; 7 !
( )e Z2
0P 5
90º 0Z) 7 ; !
36 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
P t i C l j I d iPotencia Compleja e Impedancia
Resistencia2 2| | | |2 2| | | |
2 2
0 ya que V= I
R I VV R I P
R
Q
$" $ 6 " "
$"
( (
Inductancia0, ya que V IQ ( (
90ºV j L I V I " $ 6 ) " ! !| | | |
cos90º 0;V I
P$
" $ "90V j L I V I 6! ! cos90 0;2
P
| | | | 190º | | | | 0
2 2
V IQ sen V I
$" $ " $ $ <
2 2| | | |
2 2L
I IQ L X ! " ! "
Capacitor
2 2 2 2
190ºV I V I
j C ! # $ ! $ ! !j
221 1 1 1 | |
0, | || | ( 90º ) | || | 0 | |2 2 2 2
C
IP Q V I sen V I I X
C % '! ! " $ ! $ ( ! $ " ! $ ") *+ ,
37 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
V l Ef ti RMSValor Efectivo o RMS
Valor RMS (Root Mean Square) es equivalente a Valor Cuadrático Medio o Valor Efectivo
Para una resistencia en RPS
2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) cos ( )mp t v t i t R i t R I t -! " ! " ! " " .
2 2 2 21 1T T
/ /
Usando la identidad trigonométrica
2 2 2 2
0 0
1 1cos ( ) cos ( )m mP R I t dt R I t dt
T T - -! " " " . " ! " " " . "/ /
2 1cos (1 cos2 )x x! . Usando la identidad trigonométrica
se obtiene
Se define valor efectivo de una señal sinusoidal como:
( )2
21 1
2m m mP R I V I
T! " " ! " "
Se define valor efectivo de una señal sinusoidal como:
2, tal que P=2 2
m mef ef ef ef ef
I VI V RI V I! ! !
38 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
2 2
V l Ef ti RMS (2)Valor Efectivo o RMS (2)
Ejemplo: La línea doméstica es de 220 volts efectivos luego su amplitud es
Para una onda periódica de periodo T
220 2"
2 2
0 0
1 1( ) , ( )
T T
ef efI i t dt V v t dtT T
! " ! "/ /
2 2 2
0 0 0
1 1 1( ) ( ) ( )
T T T
efP p t dt R i t dt R i t dt R IT T T
! " " ! " " " ! " " " ! "/ / /
La potencia media entregada por una onda periódica a una resistencia R esuna resistencia R es
2
2 2 2ef
ef ef ef
VP R I V I
R! " ! ! "
39 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
R
V l Ef ti RMS (3)Valor Efectivo o RMS (3)
Al usar valores efectivos las expresiones de potencia quedan
*
ef efS V I! " Potencia complejaef ef
& 1| | ef efS V I VA! "
| | [W]P S - 2
Potencia aparente
| | cos [W]
| | s [VAR]
P SQ P tg
Q S en
--
-! " 2
! "3! " 4
| | , con S P j Q S Z V I- -! . " ! ! ! $ ! ! ! !
40 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
Inductancias Acopladas Lineales e
InvariantesInvariantes
Dos bobinas de alambre cercanas físicamente, o en un núcleo común de material ferro magnético2v1v
1i 2i
g
Potencia instantánea entregada por el exterior a las inductancias
1 1 2 2( ) v ( ) ( ) v ( ) ( )p t t i t t i t! "
1i 2i
v
# $ # $1 s
2 2
v v
Aún si 0, habrá un voltaje inducido v 0
t t
i
%! &
! '1v 2v( )sv t # $1
2 12 1 2
siempre que t sea variable
, v = d di
Mi Mdt dt
%
%% ! !
Junio de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
41
dt dt
Inductancias Acopladas Lineales e
InvariantesInvariantes
! Caracterización !-i :
1 1 1 12 2
2 2 2 21 1
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
t L i t M i t
t L i t M i t
%
%
! "
! "
L1,L2 [H] Auto Inductancia L1,L2 >0
(Puede ser positiva o negativa
M[H]: Inductancia Mutua12 21M M M! !
!""#""$
De consideraciones energéticas
! De la Ley de Faraday
dependiendo de la disposición relativa de las bobinas)
De consideraciones energéticas, mismo camino magnético
! De la Ley de Faraday
1 21 1v ( )
di dit L M
dt dt! "
1 1 1 2V j L I j MI( (! "% % %RPS
1 22 2v ( )
dt dt
di dit M L
dt dt! "
2 1 2 2V j MI j L I( (! "% % %
Junio de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
42
Inductancias Acopladas Lineales e
InvariantesInvariantes
! En notación Matricial:
1 1,
ii
i
%%
%) * ) *
! !+ , + ,- . - .
& & / 0 1
2
L ML
M L
) *! + ,- .
Matriz de inductancias
2 2i%- . - . 2- .
/ 0 / 0 / 0v= Vdi
L i L j L Idt
% (! !& ' '& & ' %
! Para el análisis nodal conviene tomar el recíproco de la matriz de inductanciasmatriz de inductancias.
/ 0 / 0 11=
1
L i i L
L M
% %11! 2 3 3 !
) *
& && &
/ 0# $ / 0# $2 1
11 22det det
L L
L L3 ! 3 !
/ 0# $2
1
1
det
L M
M LL
1) *3 ! + ,1- .
# $ # $
/ 0# $ # $12 21 0 si M>0det
M
L
13 ! 3 ! 4
Junio de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
43
Inductancias Acopladas Lineales e
InvariantesInvariantes
! En el dominio del tiempo
1 11 1 12 2 1
0 0
' ' (0)
t t
i v dt v dt i! 3 " 3 "5 5
! En RPS2 21 1 22 2 2
0 0
' ' (0)
t t
i v dt v dt i! 3 " 3 "5 5! En RPS
1 11 1 12 2( / ) ( / )I j V j V( (! 3 " 3% % %1 11 1 12 2
2 21 1 22 2( / ) ( / )I j V j V( (! 3 " 3% % %
Junio de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
44
Inductancias Acopladas Lineales e
InvariantesInvariantes
! Marcas de polaridad:
! Asignar direcciones de referencia asociadas
! Seleccionar un enrollado y marcar un punto en el terminal d d l l b bdonde la corriente entra a la bobina
! Determinas la dirección del flujo creado por esa corriente aplicando la regla de la mano derechaaplicando la regla de la mano derecha
! La marca de polaridad en el segundo enrollado se ubica de tal manera que una corriente positiva que entre por la marca manera que una corriente positiva que entre por la marca produzca un flujo en la misma dirección
! Marcas de polaridad sirven para indicar la posición relativa de dos enrollados entre los cuales existe acoplamiento magnético.
Junio de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
45
Inductancias Acopladas Lineales e
InvariantesInvariantes
6 61i 2i
1v 2v
61i 2i
1v 2v
6
1 21 1v
di diL Mdt dt
! " 1 21 1v
di diL Mdt dt
! 1
1 22 2v
di diM Ldt dt
! " 1 22 2v
di diM Ldt dt
! 1 "
Junio de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
46
Inductancias Acopladas Lineales e
InvariantesInvariantes
! Convención para el signo de M
! Si ambas corrientes (>0) entran o salen por las marcas de polaridad, el signo del voltaje mutuo es igual al del voltaje
ipropio
=> Flujos mutuos y propios se refuerzan.
! En caso contrario si una corriente entra por la marca y la otra ! En caso contrario si una corriente entra por la marca y la otra sale, el signo del voltaje mutuo es opuesto al el voltaje propio (flujos mutuos y propios se oponen).( j y p p p )
Junio de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
47
Inductancias Acopladas Lineales e
InvariantesInvariantes
! Conexión Serie
1v 1v
v
v
1i 1i
2v2v
v2i 2i
! LCK
! i=i =i
! LCK
! i=i =-i! i=i1=i2
! LVK
! v=v + v
i=i1=-i2
LVK
v=v v
Suposición 1(0)= 2(0)=0
v=v1 + v2
=> = 1 + 2
v=v1 – v2
=> = 1 - 2
Junio de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
48
Inductancias Acopladas Lineales e
InvariantesInvariantes
Conexión en Serie
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
( )
( )
L i Mi L M i
Mi L i L M i
! " ! "
! " ! "1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
( )
( )
L i Mi L M i
Mi L i L M i
! " ! #
! " " ! # #
1 2 1 2( 2 | |)
eqL
L L M i ! " ! " " !!!"!!!# 1 2 1 2( 2 | |)
eqL
L L M i ! # ! " # !!!"!!!#
1 2 2 | |eqL L L M! " $La inductancia de la
Si los flujos se suman
1 2 | |eq
conexión serie esSi los flujos se oponen
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49
Inductancias Acopladas Lineales e
InvariantesInvariantes
Conexión Paralelo 1ii
1v
v2i
2v
1 2 1 2
1 2
LVK v =v
si (0) (0) 0
t
% ! ! &
! !
1 2LCK i i i! "
11 22 12( 2 | |)i ! ' " ' $ 'Flujos opuestos
11 22 12( | |)i Flujos misma dirección
Matriz de inductancias recíprocas( ) 1L
#' !
Junio de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
50
Matriz de inductancias recíprocas( )L' !
Transformador IdealTransformador Ideal
Elemento de 2-puertas 1. Acoplamiento perfecto, no é fhay pérdidas de flujo
1i 2i
1 1 , : flujo es el mismo por vueltan !
Los transformadores permiten subir y/o b j l j /
1v 2v
1 2:n n
2 2 1,2 : número de vueltasn n !
1 1 1v n d dt n bajar voltajes y/o corrientes alternas
1 2:n n1 1 1
2 2 2
v
v
n d dt nt
n d dt n
+ ! ! &
2. Auto inductancias son ", #$ ", en circuito abierto si i2=0 => i1=0 (la corriente i2 depende de i1 solamente, no de v1)1)
1 2
2 1
( )
( )
i t nt
i t n! # &
, -1 1 2 2n n 0,
: Reluctancia 0
i i
.
" !/ ! 01%2
/ 34%/3 15
Junio de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
51
Transformador IdealTransformador Ideal
Propiedad de cambio de impedancias (Transformadores i d i d i )permiten adaptar impedancias)
1I%
2I%
1
2
nV
nV
6 78 9: ;
%%
1V%
1 2
2V%
2Z
21
1
1 2
2
1
nVZ
I nI
n
: ;! !6 7
#8 9: ;
%%
1 2:n n1Z
2 2
1 2 1
1 2
2 22
n V nZ Z
n nI
6 76 7 6 7! !8 98 9 8 9
#: ; : ;: ;
%
%
2
1
1 2
2
nZ Z
n
6 7! 8 9: ;
Z1: impedancia reflejada o impedancia del circuito secundario referida al primario Sólo la magnitud de Z es
1 21
secundario referida al primario. Sólo la magnitud de Z2 es afectada, el ángulo de fase no se altera.
Junio de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
52
Transformador IdealTransformador Ideal
Si se cambian las marcas de polaridad se invierten los signos de las ecuaciones de voltaje y corriente
%
1V%
1I%
2I%
2V%
2Z1 1 1 2,v n i n
i! ! #
1 2:n n1Z
2 2 2 1v n i n
V%
1I%
2I%
V%1 1 1 2v n i n! # !
1V 2V
1 2:n n
2Z
1Z
2 2 2 1
,v n i n
! !
Junio de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
53
1 21Z
Transformador IdealTransformador Ideal
Un transformador ideal no disipa potencia ni almacena energía, ya que:
, - , - , -1 2n n6 7 6 7, - , - , -1 2
1 1 2 2 2 2
2 1
,en sal
n nP t v i v i v i P t t
n n
6 7 6 7! ! # ! # ! &8 9 8 9
: ; : ;
Lo anterior en RPS, significa que la potencia compleja de entrada es igual a la potencia compleja de salidag p p j
, -* *1 21 1 1 2 2 2 2 2
2 1
1 1 1
2 2 2
n nS V I V I V I S t
n n
6 7 6 7! ! # ! # !8 9 8 9
: ; : ;% % % % % %
2
2 2 21
1 1 1 1 2 2 2 2
2
| | ( ) | | ( ) | | ( )n
P I e Z I e Z I e Z Pn
6 7! / ! / ! / !8 9
: ; !"!#
Junio de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
54
22
| |I
Transformador IdealTransformador Ideal
Aplicaciones:S bi /B j V l j Subir/Bajar Voltaje
Adaptación de Impedancia
Aislación Eléctrica Aislación Eléctrica
Subir/bajar voltaje Si n2>n1 entonces v2>v1 e i2<i1, sube el voltaje
Si n1>n2 entonces v1>v2 e i1<i2, baja el voltaje
Adaptación de Impedancias1I%
2I%
1V%
1 2
2V%
2Z
La impedancia vista desde el primario se llama impedancia reflejada 1 2:n n
1Z
Junio de 2009EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
55
La impedancia vista desde el primario se llama impedancia reflejada
G ió d C i t AltGeneración de Corriente Alterna
Caso monofásico (1 )
( )t ( )
56 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
G ió d C i t AltGeneración de Corriente Alterna
Caso bifásico (2 )
cos( )
cos( 90º )
a
b
v V t
v V t
<
<
! = =
! = = #
57 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
G ió d C i t AltGeneración de Corriente Alterna
Caso trifásico (3 ): tres enrollados separados 120° c/u, permiten que se induzcan voltajes desfasados 120° entre si.
cos( )
cos( 120º )
cos( 120º )
a
b
v V t
v V t
v V t
<
<
<
! = =
! = = #
! "cos( 120 )cv V t<! = = "
58 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
F t 3 Fuentes 3 Tres fuentes monofásicas en conexión estrella (Y) o delta
(>)
anv
a
+
-a b c
x yz
Conexión Ycnv bnv
bc
+ +
--n(z,x,y)
b
a,z
a b cConexión >
abvcav+
+ -
-
x yz
Conexión >
bcvb,x
c,y
+-
59 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
V lt j F t 3 Voltajes en Fuentes 3
Voltajes fase-neutro en la Voltajes fase-fase en la jfuente Y (fase ´a´ es la referencia)
Voltajes fase fase en la fuente !
( ) cos( )
( ) cos( 120º )
an Yv t V t
v t V t
<
<
! = = ( ) cos( )
( ) ( )
abv t V t<
>! = = #
( ) cos( 120º )
( ) cos( 120º )
bn Y
cn Y
v t V t
v t V t
<
<
! = = #
! = = "( ) cos( 120º )
( ) cos( 120º )
bc
ca
v t V t
v t V t
<
< >
>
! = = # #
! = = " #
Definición: Si los tres voltajes tienen la misma magnitud y frecuencia, y cada voltaje está 120º fuera de fase con respecto a los otros dos, se dice que la fuente trifásica es simétrica y equilibrada.
60 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
Di F i lDiagrama Fasorial
Secuencia positiva: abc
V%:<
cnV
abV%
caV%
%
anV%
bnVbcV%
0an bn cnV V V" " !% % % 0ab bc caV V V" " !% % %
61 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
O d d S iOrden de Secuencia
Orden en que las ondas de voltaje de cada fase alcanzan sus respectivos valores máximos positivos.
Secuencia positiva: abc (ab-bc-ca)
120º
cnV%
Basta usar el primer subíndice
a b bc ca120120º
120º
bnV%
anV%
a b- bc- ca
abc !"!#
Secuencia negativa: acb
bn
bnV%
cnV%
anV%
62 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
O d d S i (2)Orden de Secuencia (2)
El orden de secuencia depende del sentido de la rotación, las conexiones de los enrollados y la numeración de los terminales.
La secuencia de fases de la fuente puede tener un gran efecto en el comportamiento de la carga:
Si se invierte la secuencia de las fases de la tensión en un motor 3 , se invierte su sentido de rotación
I ti l d d i d 3 té Invertir el orden de secuencia en un generador 3 que esté en paralelo con otro generador puede causar graves daños a ambas máquinasq
63 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
R d 3 E ilib dRedes 3 Equilibradas
Están compuestas por fuentes 3 simétricas y equilibradas, y cargas 3 equilibradas
Carga n equilibrada: Las “n” cargas asociadas a los “n” voltajes de las fuentes de un sistema polifásico son iguales.
Z Z Z (n=3 caso 3 ) ! ! !% % %
Existen 2 tipos básicos de conexiones:
1 2Z Z ... Z (n=3 caso 3 )n ! ! !
p
Conexión Y-Y
Conexión >->
64 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
C ió Y Y N tConexión Y-Y con Neutro
Neutro: Conductor común usado como trayectoria de retorno de los tres circuitos
Z
anV
'aaI
I
LZ
YZ
'nnZ
Notación
cnV
bnV
'nnI
Z
YZ
YZ
nn
' ' ', , corrientes de línea
, , voltajes fase neutro en la fuente
i d i d lí
aa bb cc
an bn cn
I I I
V V V
Z
'ccI
'bbI
LZ
LZ impedancia de línea
impedancia de carga en Y
L
Y
Z
Z
cc
65 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
C ió Y Y N t (2)Conexión Y-Y con Neutro (2)
LCK I I I I I ! " "' ' ' ' 'LCK
LVK
Bucle naa'n'n = ( ) ( ) (1)
n n nn aa bb ccI I I I I
V I Z Z Z I I I
" "
# " " # " " ' ' ' ' '
' ' ' ' '
Bucle naann ( ) ( ) (1)
nbb'n'n = ( ) ( ) (2)
ncc'n'n
an aa L nn aa bb cc
bn bb L nn aa bb cc
V I Z Z Z I I I
V I Z Z Z I I I
" " " "
# " " # " "
= ( ) ( ) (3)V I Z Z Z I I I# " " # " " nccnn ' ' ' ' '= ( ) ( ) (3)cn cc L nn aa bb ccV I Z Z Z I I I# " " # " "
' ' ' 'Sumando (1-3) 0 ( 3 ) ( )L nn aa bb ccZ Z Z I I I " " # # " "
' ' ' ' ' 0n n nn aa bb ccI I I I I$ ! " "
E d 3% l b d l l En una red 3% equilibrada no circula corriente por el neutro
66 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
E i l t 1% d C ió Y YEquivalente 1% de Conexión Y-Y
Los puntos n y n´ están al mismo potencial, por lo tanto
' ' ' 0n n nn n nV Z I #
El problema se reduce a analizar el siguiente circuito monofásico (basta resolver para la fase a)( p )
'aaI LZ
Equivalente 1%
anV Z
Equivalente 1
para red Y-Y
equilibrada
%
'an
aa
L
VI
Z Z$
"
67 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
L
E i l t 1% d C ió Y Y (2)Equivalente 1% de Conexión Y-Y (2)
En una red 3% equilibrada las corrientes de línea también son equilibradas y suman cero
'an
aa
L
VI
Z Z
"
' '
120º120ºbn an
bb aa
L L
V VI I
Z Z Z Z
! !
" "
" "
' '
120º120ºan an
cc aa
L L
V VI I
Z Z Z Z
"
" "
" " L L
68 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
E i l t 1% Y Y Equivalente 1% Y-Y
Si existieran impedancias internas de fuente, el equivalente monofásico quedaría como sigue
fZ
anV 'an An f aaV V Z I ! #
AnV
an
fZ
V
LZ
AnV
'An
aa
f L
VI
Z Z Z
" "
'aaI
Z
69 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
C ió ' 'Conexión '!'
Notación
l j f f d l f
aLZ
a’
baI
' 'a bI
'aaI
' ' ' ' ' '
, , voltajes fase-fase de las fuentes
, , voltajes fase-fase de las cargas
corrientes de línea
ab bc ca
a b b c c a
V V V
V V V
I I I
abV
caV
+
+ -
- Z' Z'
Z'
' 'c aI
I acI
I ' ' ', , corrientes de línea
, , corrientes de fase en fuentes
aa bb cc
ba cb ac
I I I
I I I
I
' ' ' ' ' ', , corrientes de fase en cargaa b b c c aI I
bcV
bc
+-
Z
LZ c’ b’
'' 'b cI
'bbI
accbI
ga b b c c aLZ
'ccI
70 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
C ió ' ' (2)Conexión '!' (2)
LVK en carga 0 (1)V V V" " ' ' ' ' ' '
' ' ' ' ' '
LVK en carga 0 (1)
Carga equilibrada ( ) 0
a b b c c a
a b b c c a
V V V
Z I I I'
" "
$ # " "
' ' ' ' ' ' de (1) 0 (2)a b b c c aI I I" "
(3)I I I (
LCK
' ' ' ' '
' ' ' ' ' ' ' '
(3)
(4) 0 (6)
aa a b c a
bb b c a b aa bb cc
I I I
I I I I I I
( !)
! $ " " *)
La ecuación (6) se cumple siempre para una red sin neutro
' ' ' ' ' (5)cc c a b cI I I) ! +
La ecuación (6) se cumple siempre para una red sin neutro (supernodo)
71 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
C ió ' ' (3)Conexión '!' (3)
' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 'De (3) - (4) 2bb b b b bI I I I I I I$ ! # ! ! ! " ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '
0 por (2)
De (3) (4) 2aa bb a b c a b c a b a bI I I I I I I$ "#$$%$$&
' ' ' '3 (7)bb bI I I! # ' ' ' '
' ' ' '
3 (7)
3 (8)
( )
aa bb a b
bb cc b c
I I I
I I I! #
LVK
' ' ' '3 (9)cc aa c aI I I! #
B l 'b'b (10)V Z I Z I Z I ' ' ' '
' ' ' '
Bucle aa'b'ba = (10)
bb'c'cb = (11)
ab L aa a b L bb
bc L bb b c L cc
V Z I Z I Z I
V Z I Z I Z I
'
'
# " # ! #
# " # ! #
' ' ' ' cc'a'ac = (12)ca L cc c a L aaV Z I Z I Z I'# " # ! #
72 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
E i l t 1% C ió ' 'Equivalente 1% Conexión '!' Introduciendo (7) en (10), (8) en (11), y (9) en (12) se tiene
' '=(3 ) (13)
=(3 ) (14)
ab L a bV Z Z I
V Z Z I
'# " #
# " #
' '
' '
=(3 ) (14)
=(3 ) (15)
bc L b c
ca L c a
V Z Z I
V Z Z I
'
'
# " #
# " #
Equivalente 1%,conexión '!' equilibrada:
3 LZ#
0ºV V "
abV Z'
' 'a bI
' '
0º
3 3
120º120º
aba b
L L
bc
V VI
Z Z Z Z
V VI I
'
' '
'
# " # "
!
"
" "
Equivalente 1 para%
' ' ' '
' ' ' '
120º3 3
120º120º
bcb c a b
L L
cac a a b
I IZ Z Z Z
V VI I
'
' '
'
!# " # "
" "
"
" "
73 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
para red - equilibrada' ' 3 3c a a b
L LZ Z Z Z' '# " # "
C ió ' ', I d i d F t Conexión '!',con Impedancias de Fuente
a
+
LZ
a’
I 'aaI
acI
aBV
V
+
-
-
Z' Z'
' 'c aI' 'a bI
fZ
fZ
BA
bCV
cAV
bc
+
+
-LZ
c’ b’
Z'
baI
' 'b cI
'bbI
cbI
fZ
fZ
C
LZ
'ccI
'bbI
' '=(3 ) = (13a)ab L a b aB f baV Z Z I V Z I'# " # ! #
' '
' '
=(3 ) = (14a)
=(3 ) = (15a)
bc L b c bC f cb
ca L c a cA f ac
V Z Z I V Z I
V Z Z I V Z I
'
'
# " # ! #
# " # ! #
74 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
f
C ió ' ', I d i d F t Conexión '!',con Impedancias de Fuente
LCK 0ab bc caV V V" "
( ) ( ) 0aB bC cA f ba cb acV V V Z I I I" " ! # " "
0ba cb acI I I" " $
LCK ' ' ' (3a); (4a); (5a)aa ba ac bb cb ba cc ac cbI I I I I I I I I ! ! !
De (3a) (4a) 2 3I I I I I I I I$ " ' '
0
De (3a) - (4a) 2 3aa bb ba ac cb ba ba baI I I I I I I I$ ! # ! ! ! " #$$%$$&
' ' ' ' ' '3 (7a); 3 (8a); 3 (9a)bb b bb bI I I I I I I I I! # ! # ! #
De (7-9) y (7a-9a) se tiene:
' ' ' ' ' '3 (7a); 3 (8a); 3 (9a)aa bb ba bb cc cb cc aa acI I I I I I I I I
' ' ' ' ' '; ;ba a b cb b c ac c aI I I I I I
75 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
Equivalente 1% Conexión '!' con
I d i d F tImpedancias de Fuente Reemplazando en (13a), (14a), y (15a) se tiene
' '
' '
=(3 )
=(3 )
aB L f a b
bC L f b c
V Z Z Z I
V Z Z Z I
'
'
# " " #
# " " #
' '=(3 )cA L f c aV Z Z Z I'# " " #
Equivalente 1%,conexión '!' equilibrada con impedancias internas de fuente:
fZ
+V
3 LZ#
aBV
-' '
3
aBa b
f L
VI
Z Z Z'
" " #
' 'a bI Z'
76 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
T f i ' Y Y ', l Transformaciones '!Y o Y-',en la carga
Y'-
ABZ
CAZ AZ
AB CAA
AB BC CA
Z ZZ
Z Z Z
#
" "
A B B C C AAB
C
Y
Z Z Z Z Z ZZ
Z
-'
# " # " #
ABZCAZ
CZ
BZ
AB BCB
AB BC CA
Z ZZ
Z Z Z
Z Z
#
" "
C
A B B C C ABC
A
Z Z Z Z Z ZZ
Z
Z Z Z Z Z Z
# " # " #
BCZ
BC CAC
AB BC CA
Z ZZ
Z Z Z
#
" "
A B B C C A
CA
B
Z Z Z Z Z ZZ
Z
# " # " #
3 , 3
Y Y
ZZ Z Z '' # Caso equilibrado:
3
77 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
T f i ' Y Y ', l f tTransformaciones '!Y o Y-',en la fuente Estas transformaciones dependen del orden de secuencia
abV
caV
Sean los voltajes fase-neutro
de secuencia positivaV abca p
0º
120º
an Y
bn Y
V V
V V
!
"
"
cnV
bnV
anV
V lt j f f
bcV
120ºcn YV V "
Voltajes fase-fase
(1 0º 1 120º ) 3 30º 30º
(1 120º 1 120º ) 3 90º 90º
ab an bn Y YV V V V V V
V V V V V V
' ! # ! ! # " " " "
(1 120º 1 120º ) 3 90º 90º
(1 120º 1 0º ) 3 150º 150º
bc bn cn Y Y
ca cn an Y Y
V V V V V V
V V V V V V
'
'
! # ! ! # ! !
! # ! #
" " " "
" " " "
78 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
3 YV V' # Ejemplo: Si 220, 380 VYV V'
Di F i lDiagrama Fasorial Regla para transformación Y-': rotar vectores en +30° y
multiplicar por (suponiendo secuencia positiva)3multiplicar por (suponiendo secuencia positiva)
Diagrama fasorial
3
cnV
abV
bnV!
caV
3 YV
30º
90ºV! V
3YV# 3
YV#
ref.
90º
anV anV
3YV#
cnV! bnV
3
79 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
bcV
T bl R T f ió Y 'Tabla Resumen Transformación Y-' Sec +, abc Sec -,acb
30º
a 0º
120º
an Y
bn Y
V V
V V
!
"
"
0º
120º
an Y
bn Y
V V
V V
"
"
30ºV
abV
caV
bc
anV
bnV
cnV
V
abV
caV
anV
bnV
cnV
120ºcn YV V "120ºcn YV V !"
30ºbcV
bcV
3 30º 3 30º
3 90º 3 30º
ab Y an
bc Y bn
V V V
V V V
# #
# ! #
" "
" "
3 30º 3 30º
3 90º 3 30º
ab Y an
bc Y bn
V V V
V V V
# ! # !
# # !
" "
" "
3 150º 3 30ºca Y cnV V V # # " " 3 150º 3 30ºca Y cnV V V # ! # ! " "
80 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
T bl R T f ió ' YTabla Resumen Transformación '-Y Sec +, abc Sec -,acb
30º
a 0º
120º
ab
b
V V
V V
'
'
!
"
"
0º
120º
ab
bc
V V
V V
'
'
"
"
30ºV
abV
caV
bc
anV
bnV
cnV
V
abV
caV
anV
bnV
cnV
120
120º
bc
ca
V V
V V
'
'
"
"120ºcaV V' ! "
30ºbcV
bcV
130º 30º
3 3
1
an ab
VV V
V
' ! # ! " "
130º 30º
3 3
1
an ab
VV V
V
'
'
# " "
1
150º 30º3 3
190º 30º
bn bc
VV V
VV V
'
'
! # !
# !
" "
" "
1150º 30º
3 3
190º 30º
bn bc
cn ca
VV V
VV V
'
'
#
! #
" "
" "
81 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
90 303 3
cn caV V # !" "3 3
cn ca
Ej l ' ',E ilib dEjemplo '!',EquilibradaLZ
'aaI
0ºabV V' "120ºcaV V' "Z' Z'
Z'
Aplicando transformacionesde carga y fuente, se obtiene una
120ºbcV V' ! "
LZ
LZ
'
'ccI
'bbI
g yconexión Y-Y equivalente
cc
'aaI LZ
Z
90º3
cn
VV ' "
150º3
bn
VV ' ! "
30º3
an
VV ' ! "
3
Z' 3
Z'
3
Z'
3
I
'bbI
LZ
LZ
82 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
'ccI LZ
Ej l ' ',E ilib d (2)Ejemplo '!',Equilibrada (2)
'aaI LZ
Equivalente 1% 30º3
V
I
' !"
30º3
an
VV ' ! "
3
Z'
'
' ' '
3
3 30º3 30º
3
aa
L
aa a b
IZ Z
VI I
Z Z
'
'
"
# ! # !
" " 3
aa a b
LZ Z' " #
83 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
Relación entre corrientes de línea y
i t d fcorrientes de fase
Sea I ( 'aaI
' '
' ' ' '
' ' ' '
Sea
120 Sec(+)
120
a b
b c a b
b
I
I I
I I
()
! *) +
"
"
' 'c aI
' 'a bI
aa
3YI I' #
Las corrientes de línea son 3 ' ' ' ' 120c a a bI I +"
' 'b cI
'ccI
veces las corrientes de fase en
la carga. Además, hay que rotar en
-30º para sec (+)
'bbI
p ( )
' ' ' ' ' ' ' ' '
' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '
(1 0º 1 120º ) 3 30º
(1 120º 1 0º ) 3 150º 3 30º
aa a b c a a b a b
bb b b b b b
I I I I I
I I I I I I
! # ! # !
! # ! ! # ! # !
" " "
" " " "' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '
' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '
(1 120 1 0 ) 3 150 3 30
(1 120º 1 120º ) 3 90º 3 30º
bb b c a b a b a b b c
cc c a b c a b a b c a
I I I I I I
I I I I I I ! # ! ! # # !
" " " "
" " " "
84 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
Di F i lDiagrama Fasorial
'ccI
'bcI!
I ' ' 'c aI
3#
' 'bI
' 'bI!
3I'
# 3I '#
' 'a bI' 'a bI
'bbI
' 'b cI
' 'c aI! 'aaI
85 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
T bl R T f ió C i tTabla Resumen Transformación Corrientes
30º,secY !' "
,sec
1
Y !' !
'I 'bbI
' 'bI 'aaI
'bbI
' 'a bI
' ' '
130º
3
190º
a b aaI I
I I
#
# !
"
"
' ' '
' ' '
130º
3
190º
3
a b aa
b c aa
I I
I I
# !
#
"
"
I
'aaI 'bbI' 'a bI
' 'c aI
' 'b cI
I
aabb a b
' 'c aI
' 'b cI
' ' '
' ' '
903
1150º
3
b c aa
c a aa
I I
I I
#
"
"' ' '
3
1150º
3c a aaI I # ! "
'-Y sec + sec -
'ccI 'ccI
' ' '
' ' ' ' '
3 30º
3 150º 3 30º
aa a b
bb a b b c
I I
I I I
# !
# ! # !
"
" "
' ' '
' ' ' ' '
3 30º
3 150º 3 30º
aa a b
bb a b b c
I I
I I I
#
# #
"
" "
' ' ' ' '3 90º 3 30ºaa a b c aI I I # # ! " "' ' ' ' '3 90º 3 30º
bb a b b c
aa a b c aI I I # ! # " "
86 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
P t iPotencia! Sean! En sistemas de potencia la magnitud de los fasoresV e I se
, 0ºV V I I!" "! !" "
! En sistemas de potencia la magnitud de los fasoresV e I se expresa en valor efectivo o RMS
| | | | cos cos [W] Potencia activa o mediaVP V I V I !" # # " # #
!
Q 0 i l i d i ( l f
| | | | cos cos [W] Potencia activa o media
| | | | [VAR] Potencia reactiva
I
V
I
P V I V I
Q V I sen V I sen
! " " ! " "
! " " ! " "
!
!
Q>0 si la carga es inductiva (o en atraso ya que el fasorcorriente está en atraso c/r al fasor voltaje, >0)
Q<0 si la carga es capacitiva (o en adelanto ya que el fasorQ g p ( y qcorriente está en adelanto c/r al fasor voltaje, <0)
Potencia complejaS P j Q! # "
2 2
| | | | | | [VA] Potencia aparente
| |
S V I
S P Q
! "
! #
87 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
Di d P t iDiagrama de Potencia
$
cosP SQ P tg
Q S sen
! " $
! "%! " &
Factor de potencia
| | | | coscos
| | | | | |
V
IV IP
FPS V I
" "
! ! !"
!
FP=1 elemento resistivo puro, FP=0 elemento capacitivo o inductivo puro
Relación con impedancia V ZI! Relación con impedancia
2VVV '(
V ZI!
2
VVV
S VI Z Z
ZII Z I S Z
' ' '
'
(!)
! ! *) ! + ! !,
" "
88 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
,
P t i Si t 3 -E ilib dPotencia en Sistemas 3 -Equilibrados
3 13P P ! "
#
3 1
1
3
cos 3 cosY
YV V
P I V I V
. . .
.! "
! " " ! " " "
$
1
3
cos cos3
Y
YY Y
YI I
IV I V
. . .
.
.! "! " " ! " "
Y .
3 cos 3 cos 3 cos [W]P V I V I V I ! " " " ! " " " ! " " "3
3
3 cos 3 cos 3 cos [W]
3 3 3 [VAR]
Y Y Y
Y Y Y
P V I V I V I
Q V I sen V I sen V I sen
Q P
. . .
. . .
! ! !
! " " " ! " " " ! " " "
3 3
2 2
3 3 3 3 3 3, | |
Q P tg
S P j Q S P Q
! "
! # " ! #
89 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
Ej l 1Ejemplo 1 Para el sistema 3 equilibrado de la figura determine: a) La potencia compleja y el del sistema a) La potencia compleja y el del sistema b) La corriente de línea
cos
PN t 1 HP 746 W Efi i i salidaNota: 1 HP=746 W, Eficiencia=
P
salida
entrada
90 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
Ej l 1 ( ti ió )Ejemplo 1 (continuación) a) Potencia activa
746 200 (746)HP 746 200 (746)158,7 [kW]
0,94 (1000)
50 [kW], 40 [kW]
M
C O
HPP
EF
P P
" "! ! !
"
! !
b) Potencia reactiva
[ ], [ ]
248,7 [kW]
C O
T M C OP P P P! # # !
1
1
158,7 {cos 0,88} 85,7 [kVAR]
0 [kVAR]
M M M
C
Q P tg tg
Q
0! " ! " !
!
Potencia compleja
1Q 40 {cos 0,7} 40,8 [kVAR]
126,5 [kVAR]
O O O
T M C O
P tg tg
Q Q Q Q
0! " ! " !
! # # !
Potencia compleja
3 3 3
3
248,7 126,5 279 27º [kVA]
248,7cos =cos(27º)=0.89; 0,89 en atraso
S P j Q j
PFP
! # " ! # " !
! ! !
!
91 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
3
cos cos( 7 ) 0.89; 0,89 e at aso| | 279S
Ej l 1 ( ti ió )Ejemplo 1 (continuación)
Corriente de línea
3
3
| | 3
| | 279 10
YS V I
S
.! " "
3| | 279 10
358 [A]3 3 (450)
Y
SI
V
.
"+ ! ! !
" "
92 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
M j i t d l F t d P t iMejoramiento del Factor de Potencia Determine la capacitancia en cada rama de un banco de
condensadores conectado en estrella necesaria para ajustar el condensadores conectado en estrella, necesaria para ajustar el factor de potencia a 0,95 en atraso.
Cargas240 Vff
3
equilibradas
100 [kW]
240 Vff
25 Hz
Banco de condensadores en Y
FP=0,6 atraso
Diagrama de potencia
1cos 0,6 53,1ºoriginalQ 0! !originalQ
1
, ,
cos 0,95 18,1º
original
deseado
Q
Q 0! !53º
18º
deseadoQCQ
93 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
P=100 [kW]
M j i t d l F t d P t i (2)Mejoramiento del Factor de Potencia (2)
100 53,1º 133,33 [ ]orig origQ P tg tg kVAR ! " ! " !
100 18,1º 32,86 [ ]des desQ P tg tg kVAR ! " ! " !
100, 47 [kVAR]C i dQ Q Q! 0 !3
3
1
100, 47 [kVAR]
Banco en Y 33,49 [kVar]3
C orig des
C
C
Q Q Q
+ ! !
1
2
voltaje fase neutro
1, reactanciaC
C C
C
VQ X
X C 1! !
"
1
2 2
3
voltaje fase-neutro
( 240 3 )0,57 [ ]
33,49 10
CC
C
VX
Q
! ! ! 2"
&'(')
1,
1 1 10,57
2 2 (25)
C
C
Q
XC f C C
1 3 3! ! ! !
" " " " " " "
94 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
311,1 10 [F]C 0+ ! "
Ej l 2Ejemplo 2 Para el sistema 3 equilibrado de la figura determinar los
voltajes en la fuente La lectura del voltímetro es de 190 [V] voltajes en la fuente. La lectura del voltímetro es de 190 [V] efectivos. Tome como referencia. a bV 4 4
Resultado V 512,9 9,1ab ! 0 5 "
95 EL 3001 - Análisis y Diseño de Circuitos Eléctricos
Junio de 2009
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