Download - Solucionario unidades 1-6€¦ · 4 Unidad 1| Matrices 1 Matrices EJERCICIOS PROPUESTOS 1 y 2. Ejercicios resueltos. 3. Escribe una matriz A de orden 3 × 4 tal que: 1 si 2 si 3 si

1. Matrices ...................................................................................................................... 4

2. Determinantes .......................................................................................................... 40

3. Sistemas de ecuaciones lineales .............................................................................. 80

4. Programación lineal ................................................................................................ 136

Fin bloque I ............................................................................................................. 180

5. Funciones, límites y continuidad ............................................................................. 186

6. Derivadas................................................................................................................ 234

(*) Una pequeña cantidad de ejercicios o apartados de ejercicios han sido marcados porque tienen alguna corrección en su

enunciado respecto del que aparece en el libro del alumno.

4 Unidad 1| Matrices

1 Matrices

EJERCICIOS PROPUESTOS

1 y 2. Ejercicios resueltos.

3. Escribe una matriz A de orden 3 × 4 tal que:

( )

+ − >= =− <

1 si 2

si

3 si ij

i

i j i j

a ij i j

j i j

Haciendo los cálculos correspondientes tenemos

1 6 91 2 812

31 32

3 522 2

A

− − =

4. Los pueblos A, B, C, D y E están unidos por carreteras de doble sentido tal y como muestra el grafo de la figura. Escribe la correspondiente matriz de adyacencia.

0 1 0 0 11 0 0 1 10 0 0 1 10 1 1 0 01 1 1 0 0

M

=


7. Calcula el valor de a, b y c para que las siguientes matrices sean simétricas.

− − +

= − − =

20 2 123 3

6 49 2

a ba aA a B

c

Para la matriz A tenemos:

− = ⇒ =

= ⇒ = = −

2 1 1

9 813

a a a

b bc

Para la matriz B tenemos: 2 26 6 0 2 3a a a a a a+ = ⇒ + − = ⇒ = = −

Matrices | Unidad 1 5

8. Indica, razonadamente, si las siguientes matrices son o no escalonadas.

− − − − = = = −

1 2 4 83 3 0

0 3 4 5 0 0 11 0 0

0 0 4 5 0 0 20 0 0

0 0 0 0

A B C

La matriz A sí es escalonada, ya que la fila formada por todo ceros ocupa el último lugar y el primer elemento no nulo de las filas segunda y tercera está más a la derecha que el primer elemento no nulo de las filas primera y segunda, respectivamente.

La matriz B no es escalonada, ya que el primer elemento no nulo de la segunda fila no está más a la derecha que el primer elemento no nulo de la fila primera.

La matriz C no es escalonada, ya que el primer elemento no nulo de la segunda fila no está más a la derecha que el primer elemento no nulo de la fila primera.


11. Dadas las matrices:

− = = − −

A B2 1 0 1 0 03 3 5 0 1 32 2 1 0 2 2

Calcula:

a) 3 2A B+

b) 1 32

A B−

c) Comprueba que se verifica la propiedad ( )t t tA B A B+ = + .

a) 6 3 0 2 0 0 4 3 0

3 2 9 9 15 0 2 6 9 7 216 6 3 0 4 4 6 2 7

A B− − + = + − = − −

b)

1 11 0 4 02 23 0 0

1 3 3 5 3 9 133 0 3 92 2 2 2 2 2 20 6 61 111 1 1 7

2 2

A B

− −

− = − − = − − − −

c) ( )1 1 0 1 3 23 2 8 1 2 02 0 3 0 8 3

tA B A B− − + = ⇒ + =

2 3 2 1 0 0 1 3 21 3 2 , 0 1 2 1 2 00 5 1 0 3 2 0 8 3

t t t tA B A B− − = − = − ⇒ + =


12. Calcula, en cada caso, el valor de las letras que aparecen para que:

a) + + = +

32 13x y y x

Ax y

y 2

3 6 4 114 3x y

Bx y

− + − − = − − + sean opuestas.

b) Si

2

2 2

22 2 5

41

a b cA b c a

b c

+ = + − +

y 2 2

5 4 168 3a

Ba a b

− = + , entonces tA B= .

a)

2 2

3 6 2 63 4 1 1

5, 42 14 2 1413 3 3 13

x y x x yy x y x y

A B x yx y x y

x y x y

+ = − − + = − + = + − = = − ⇒ ⇒ ⇒ = = + = + = = − − =

b)

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

5 5 02 4 2 4

16 16 5, 4, 02 8 2 82 5 3 541 41

t

a a a ab c b cb c b cA B a b cb c b ca a a

a b a b

= − + = + = + = + = + = = ⇒ ⇒ ⇒ = − = =

+ = + = − = = −

= + + =

13 a 16. Ejercicios resueltos.

17. Calcula 2 3A A I− − , siendo 2 31 1

A =

e I la matriz identidad de orden 2.

2 2 3 2 3 2 3 1 0 7 9 6 9 1 0 0 03 3

1 1 1 1 1 1 0 1 3 4 3 3 0 1 0 0A A I − − = − − = − − =


1 1 1 0 2 1 02 1 1 0 3 2 02 3 1 2 1 0 1

A B = =

Explica razonadamente si puedes realizar los productos AB y BA. En caso afirmativo, halla los resultados. La matriz A tiene dimensión 3 x 4 y la matriz B es de orden 3, es decir, tiene dimensión 3 x 3. Por tanto, el producto AB no se puede realizar, pues no coincide el número de columnas de A con el de filas de B. En cambio, sí se puede realizar el producto BA, pues coincide el número de columnas de B con el de filas de A, y el resultado es una matriz de dimensión 3 x 4.

2 1 0 1 1 1 0 4 3 3 03 2 0 2 1 1 0 7 5 5 01 0 1 2 3 1 2 3 4 2 2

BA = =

19. Dada la matriz 1 3 2 14 5 3 2

A = − , explica razonadamente si existen matrices B y C tales que AB y CA

sean matrices de tres filas. La matriz A tiene dimensión 2 x 4. Para que pueda efectuarse el producto AB, la matriz B debe tener 4 filas, ya que el número de columnas de A debe coincidir con el de filas de B. Del mismo modo, para que pueda efectuarse el producto CA la matriz C debe tener 2 columnas.

Así, si la dimensión de B es 4 x b, la matriz producto AB tendrá dimensión 2 x b, es decir, la matriz AB tendrá 2 filas independientemente de qué valor tome b, luego no existe ninguna matriz B tal que AB sea una matriz de 3 filas.

Análogamente, si la dimensión de C es c x 2, la matriz CA tendrá dimensión c x 4, por lo CA tendrá 3 filas si 3c = , es decir, siempre que C sea una matriz de dimensión 3 x 2.


20. Dadas las matrices 2 1 13 2 01 0 1

A− = −

y 1 2 13 2 41 0 1

B−

= − −

, comprueba que se verifica la propiedad:

( )t t tAB B A=

( )2 1 1 1 2 1 4 2 5 4 9 23 2 0 3 2 4 9 2 11 2 2 21 0 1 1 0 1 2 2 2 5 11 2

tAB AB− − − − − = − − = − ⇒ = − − − − −

1 3 1 2 3 1 4 9 22 2 0 1 2 0 2 2 21 4 1 1 0 1 5 11 2

t tB A− − −

= − = − − − − −

21. Ejercicio interactivo.

22. Ejercicio resuelto.

23. Calcula el rango de las siguientes matrices.

1 2 3 1 1 0 2 3 5 04 5 6 2 3 6 3 51 07 8 9 4 6 12 2 2

A B C− −

= = − = − −

→ − → −→ −

= − − − − ⇒ =→ → − −

2 2 1 3 3 23 3 1

4 27

1 2 3 1 2 3 1 2 34 5 6 0 3 6 0 3 6 rg( ) 27 8 9 0 6 12 0 0 0

F F F F F FF F F

A A

2 2 1 3 3 23 3 1

2 24

1 1 0 1 1 0 1 1 02 3 6 0 5 6 0 5 6 rg( ) 24 6 12 0 10 12 0 0 0

F F F F F FF F F

B B→ − → −→ −

− − − = − − − ⇒ =→ → − −

2 2 12

2 3 5 0 2 3 5 0rg( ) 13 5 0 0 0 01 0

2 2F F F

C C→ −

− − = ⇒ =→ −

24. Aplica el método de Gauss para calcular el rango de:

− = = − −

1 1 2 1 3 0 1 4 41 1 3 2 1 2 1 2 31 1 2 1 7 2 3 18 13

A B

2 2 13 3 1

1 1 2 1 3 1 1 2 1 31 1 3 2 1 0 0 1 1 2 rg( ) 31 1 2 1 7 0 0 0 0 4

F F FF F F

A A→ −→ −

= − ⇒ =→

1 2 3 3 1 3 3 24

0 1 4 4 2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 32 1 2 3 0 1 4 4 0 1 4 4 0 1 4 4 rg( ) 22 3 18 13 2 3 18 13 0 4 16 16 0 0 0 0

F F F F F F F FB B

↔ → − → −

− − − − = − − − − ⇒ =→ → → − − −



28. Aplicando la definición, calcula las matrices inversas de:

− = = − −

A B1 0 1

1 10 1 1

1 20 0 1

Pongamos − =

1 a bA

c d, tenemos 1 1 1

1 2 2 2a b a c b d

AAc d a c b d

− − − + − + = = − − + − + y, por tanto:

1 11 0 2 1 y 2, 1, 1, 1

2 0 2 1 1 1a c b d

AA I a c b d Aa c b d

− −− + = − + = − = ⇒ ⇒ = − = − = = ⇒ = − + = − + = −

Pongamos 1

a b cB d e f

g h i

−

=

, tenemos 1

1 0 10 1 10 0 1

a b c a g b h c iBB d e f d g e h f i

g h i g h i

−

+ + + = − = − − −

y, por tanto:

1

1 0 0 1, 0, 1 1 0 10, 1 0 0, 1, 1 0 1 1

0 0 1 0, 0, 1 0 0 1

a g b h c i a b cd g e h y f i d e f Bg h i g h i

−

+ = + = + = = = = − − − = − = − = ⇒ = = = ⇒ = = = = = = =

29. Calcula X de forma que AX B C+ = , siendo:

1 3 2 4 0 22 5 2 3 4 6

A B C− − − = = = − − −

( ) ( )1 1 1AX B C AX C B A AX A C B X A C B− − −+ = ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = −

Calculemos 1A− con el método de Gauss-Jordan:

2 2 1 1 1 2 1 1

1

2 3

1 3 1 0 1 3 1 0 1 0 5 3 1 0 5 3 5 32 5 0 1 0 1 2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 2 1F F F F F F F F

A−

→ + → − →−

− − − − − ⇒ =→ → → −

Por tanto, ( )1 5 3 2 6 16 392 1 2 3 6 15

X A C B− − − = − = = − − .

30. Calcula X de forma que 2XA B C− = , siendo:

1 1 1 1 0 40 2 3 3 0 3

A B C− − − = = = − −

( ) ( )1 1 12 2 2 2XA B C XA C B XAA C B A X C B A− − −− = ⇒ = + ⇒ = + ⇒ = +

Calculemos 1A− con el método de Gauss-Jordan:

1 1 2 2 2

1

1 12 2

1 11 1 0 1 11 1 1 0 1 0 1 2 220 2 0 1 1 10 2 0 1 0 1 0 02 2

F F F F F

A−

→ − →

− − − ⇒ = → →

Por tanto, ( ) −

− − − − − = + = = − −

1

111 9 1 4223 9 1 3 60

2

X C B A .


31. Comprueba que el rango de 1 1 10 1 21 2 3

A−

= −

es 2 y observa qué ocurre si se intenta calcular 1A− por el

método de Gauss.

3 3 1 3 3 2

1 1 1 1 1 1 1 1 10 1 2 0 1 2 0 1 2 rg( ) 21 2 3 0 1 2 0 0 0

F F F F F FA A

→ − → −

− − − = ⇒ =→ → −

Si intentamos aplicar el método de Gauss-Jordan tenemos:

3 3 1 3 3 2

1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 00 1 2 0 1 0 0 1 2 0 1 0 0 1 2 0 1 01 2 3 0 0 1 0 1 2 1 0 1 0 0 0 1 1 1

F F F F F F→ − → −

− − − → → − − − −

El hecho de que en la parte izquierda de la expresión aparezca una fila de todo ceros indica que no es posible obtener la matriz identidad en la parte izquierda, con lo que la matriz A no tiene inversa.

32. Utilizando el método de Gauss-Jordan, calcula las matrices inversas de:

1 2 12 1 0 2

0 5 31 2 1 3

1 0 0A B C

− − = = = − −

Inversa de A:

2 2 1 1 1 2 1 1

2 2

1

12 51015

2 1 2 11 02 1 1 0 2 1 1 0 10 0 4 2 5 5 5 51 2 0 1 0 5 1 2 0 5 1 2 1 2 1 20 1

5 5 5 5F F F F F F F F

F F

A−

→ − → + →

→

− − ⇒ =→ → → − − − −

Inversa de B:

1 2 1 1 2 1 1

2 2

1

12 32

12

3 31 0 1 10 2 1 0 1 3 0 1 2 0 3 2 2 21 3 0 1 0 2 1 0 0 2 1 0 1 10 1 0 0

2 2F F F F F F F

F F

B−

↔ → − →−

→

− − − − − ⇒ = → → → −

Inversa de C:

3 3 1 1 1 2 1 1 33 3 2 2 2 3

5 25 2 3

1 2 1 1 0 0 1 2 1 1 0 0 5 0 1 5 2 00 5 3 0 1 0 0 5 3 0 1 0 0 5 3 0 1 01 0 0 0 0 1 0 2 1 1 0 1 0 0 1 5 2 5

F F F F F F F F FF F F F F F

→ − → + → +→ − → +

− − − − −→ → → − − − − −

1 1

2 2

3 3

1

15

15

5 0 0 0 0 5 1 0 0 0 0 1 0 0 10 5 0 15 5 15 0 1 0 3 1 3 3 1 30 0 1 5 2 5 0 0 1 5 2 5 5 2 5F F

F FF F

C−

→

→−

→−

→ − − − − ⇒ = −→ − − − − −



34. Una empresa monta ordenadores de dos tipos, de mesa y portátiles, y de tres calidades: alta, media y baja.

En un mes monta 100 ordenadores de cada tipo, de los cuales 20 son de calidad alta, 40, de media, y 40, de baja para los de mesa, y 30 de calidad alta, 30, de media, y 40, de baja para los portátiles.

Para los ordenadores de mesa se invierten cuatro horas de montaje y siete de instalación del software, y para los portátiles seis y ocho horas respectivamente.

a) Escribe la matriz A que determina el número de ordenadores montados atendiendo a su calidad (filas) y su tipo (columnas).

b) Escribe la matriz B que determina el número de horas utilizadas de montaje y de software (filas) para cada tipo de ordenador (columnas).

c) Calcula e interpreta la matriz tAB .

a)

Mesa Portátil20 30

Alta 20 3040 30

Media 40 3040 40

Baja 40 40

A ⇒ =

b) Mesa Portátil

4 6Montaje 4 6

7 8Software 7 8

B ⇒ =

c) 20 30 260 380

4 740 30 340 520

6 840 40 400 600

tAB

= =

Los elementos de esta matriz representan el número total de horas invertidas en un mes en montaje y software (columnas) para cada calidad (filas), por ejemplo, el número de horas mensuales invertidas en instalación de software para todos los ordenadores de gama media es de 520.

35. Observa el siguiente grafo e indica:

a) Todos los caminos de longitud 3 que se pueden seguir para ir de C a D.

b) Todos los caminos de longitud 4 que se pueden seguir para ir de C a A. La matriz de adyacencia del grafo y sus potencias segunda, tercera y cuarta son:

2 3 4

0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 2 2 2 2 1 11 0 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 3 2 3 30 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 2 1 2 21 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 2 2

M M M M

= = = =

a) El número de caminos de longitud 3 que se pueden seguir para ir de C a D viene dado por el elemento de la tercera fila y cuarta columna de 3M , es decir, hay un único camino, en concreto, C B A D→ → → .

b) El número de caminos de longitud 4 que se pueden seguir para ir de C a A viene dado por el elemento de la tercera fila y primera columna de 4M , es decir, hay dos posibles caminos, en concreto, estos dos caminos son C B A D A→ → → → y C B C B A→ → → → .



EJERCICIOS

Matrices. Grafos

46. Dada la matriz:

− − = − − − −

A1 5 2 4 2 25 1 1 3 5 04 1 3 3 2 3

a) Indica su dimensión.

b) Indica los elementos que forman su cuarta columna.

c) Indica los elementos que forman su tercera fila.

d) Indica el valor de los elementos 22 32 23 45, , ,a a a a

e) ¿Cómo designas la ubicación del elemento cuyo valor es −5? ¿Y del que es 0?

a) 3 x 6

b) 14 24 344, 3, 3a a a= = = −

c) 31 32 33 34 35 364, 1, 3, 3, 2, 3a a a a a a= − = = = − = =

d) 22 32 23 451, 1, 1, no existea a a a= − = = −

e) 12 265 , 0a a− = =

47. Escribe una matriz cuadrada B de orden 3 tal que todos sus elementos verifiquen que = − +2 3 1ijb i j .

− −

= − − −

0 3 62 1 44 1 2

B

48. Escribe una matriz cuadrada C de orden 4 tal que sus elementos verifiquen que:

+ ≤= + >

2 si 3

2 si 3

ij

i j i jc

i j i j

=

5 71 33 3

5 8 1023 3 37 8 1133 3 3

10 113 43 3

C


49. Calcula el valor de las letras a, b y c para que las matrices A y B sean iguales.

2 2

2 2

2 3 4 5 0 0 02 2 1 2 1

2 3 1 3 1

a b a b a bA a a c b c c a b B

a b c a c b c a

+ − + = − + + + + − = − − + + − + + − − −

+ =

− = ⇒ = = = −− + + = − 2

02 3 0 0, 0, 1

1

a ba b a b ca a c

Para estos valores de a, b y c se cumple que todos los elementos de las matrices coinciden y, por tanto, A B= .

50. Calcula el valor de las letras x, y para que las matrices A y B sean iguales:

+ = = −+ −

2 2 2 4 135 112 3 3

x x yA Bx y x y

=

+ = ⇒ = = −+ = −

− =

2

2 2

413 2, 3

2 3 53 11

xx y x yx y

x y

51. Escribe la matriz asociada a cada uno de los siguientes grafos.

1 2 3 4

0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 01 1 1

1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 01 0 0

0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 00 1 1

0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0

M M M M

= = = =

52. La figura siguiente representa la planta de un museo con sus siete salas. En ella, se aprecian las puertas que permiten ir de una sala a otra contigua.

Dibuja un grafo que represente la situación y escribe su matriz asociada.

0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 1 00 0 0 1 0 1 00 0 1 0 0 1 00 0 0 0 0 1 00 1 1 1 1 0 11 0 0 0 0 1 0

A

=


Operaciones con matrices


− − = − = − − −

A B1 2 0 2 0 10 3 2 y 0 1 20 4 2 1 2 3

Calcula:

a) , y 2 3A B A B A B+ − − b) AB y BA c) ABA

a) 3 2 1 1 2 1 4 4 30 2 4 0 4 0 2 3 0 9 21 2 5 1 6 1 3 14 5

A B A B A B− − − − − −

+ = − − = − = − − − − − − −

b) 1 2 0 2 0 1 2 2 3 2 0 1 1 2 0 2 0 20 3 2 0 1 2 2 7 12 0 1 2 0 3 2 0 5 20 4 2 1 2 3 2 8 14 1 2 3 0 4 2 1 8 2

AB BA− − − − −

= − − − = − − − = − − − = − − − −

c) ( )2 2 3 1 2 0 2 10 22 7 12 0 3 2 2 31 102 8 14 0 4 2 2 36 12

ABA AB A− −

= = − − − − = − − − −


− − − − = − = − = − −

A B C2 1 1 1 2 2 1 0 01 0 3 3 1 1 2 2 02 1 3 0 1 0 3 3 0

Calcula:

a) +2 3A B , − −2 3A B C y − +2 4A B C

b) ABC y BAB

c) 2 3A B

a) 7 4 8 3 5 3 1 4 0

2 3 11 3 9 2 3 11 8 1 2 4 7 7 54 1 6 7 6 3 16 15 6

A B A B C A B C− − −

+ = − − − = − − − − + = − − − − − − −

b) 24 19 0 7 4 9

5 4 0 11 5 1220 15 0 1 1 2

ABC BAB− − − − = − − = − − − − − −

c) 2 3

3 1 2 11 8 12 27 7 144 2 8 6 9 8 8 18 241 1 4 6 4 7 7 17 24

A B− − −

= − − − − − = − − − −

55. Efectúa, si es posible, la siguiente operación matricial.

− − − − − − − − −

1 0 0 31 1 3

2 3 4 52 3 2

4 8 5 6

1 0 0 3 1 1 3 0 3 19 26

1 1 32 3 4 5 8 7 12 4 5 32 61

2 3 24 8 5 6 20 20 28 5 6 60 128

− − − − − − − − − − = − − = − − − − − − − −



− − − − = = = − − −

A B C2 3 1 2 1 1 1 2

2 3 4 20 1 0 2 1 1 0 2

1 0 1 10 0 1 3 0 3 0 4

a) Calcula ( )+ tA B C .

b) Comprueba que ( ) t t tA B C AC BC+ = + .

c) Comprueba que ( )tt tAC CA= .

a) ( )

2 13 4 2 4 10 5

3 01 2 0 4 0 3

4 10 3 1 1 15 0

2 1

tA B C

− − − − + = = − − − − −

b)

2 1 2 12 3 1 2 1 1 1 2 3 3 7 2 10 5

3 0 3 00 1 0 2 1 1 0 2 1 2 1 1 0 3

4 1 4 10 0 1 3 0 3 0 4 2 4 17 4 15 0

2 1 2 1

t tAC BC

− − − − − − − − − + = + = − + − − = − − − − − − − −

c) ( )

2 0 03 3

3 1 2 2 3 4 2 3 1 0 3 1 21 2

3 2 4 1 0 1 1 1 0 1 3 2 42 4

2 2 3

t

tt tAC CA

− − − − = − = = = − − − − − − − − −


( )− = = − −

1 3 2 4 01 2 1 0 4

2 3 1 1 4A B

a) Comprueba que ( ) =tt tAB BA .

b) Calcula ( ) +tt tAB BA .

a) ( ) ( )

12

1 3 2 4 0 99 191

2 3 1 1 4 1904

tt tAB AB

− − = = ⇒ = −

( ) ( )

1 23 3

1 2 1 0 4 9 192 14 10 4

tBA

− = − =−

b) ( ) ( )+ = + = =2 18 38tt t t t tAB BA BA BA BA


58. Dadas la matrices:

1 0 1 1 0 0 1 2 11 1 1 0 0 0 0 2 21 2 1 0 0 1 1 2 1

A B C− −

= = = − − − − −

Calcula:

a) ABC b) CBA c) 2AB C d) 3CB A

a) 0 4 22 0 02 0 0

ABC−

=

c) 2

2 0 00 4 20 4 2

AB C = − −

b) 2 2 02 4 20 2 2

CBA−

= − −

d) 3

2 2 02 4 20 2 2

CB A−

= − −

59. Dada la matriz = −

0 0 01 0 01 2 0

A , calcula:

a) +A I b) ( )2A I+ c) ( )3A I+ d) ( )4A I+

a) 1 0 01 1 01 2 1

A I + = −

c) ( )31 0 03 1 03 6 1

A I + = − −

b) ( )21 0 02 1 00 4 1

A I + = −

d) ( )41 0 04 1 08 8 1

A I + = − −

60. Dadas la matrices:

− − = = − − − −

A B1 1 0 2

2 1 02 1 2 1

3 2 30 2 2 0

Calcula, si es posible, la expresión de la matriz AB. ¿Se puede calcular BA?

1 1 0 22 1 0 4 3 2 5

2 1 2 13 2 3 7 1 2 8

0 2 2 0AB

− − − − = − − = − − − −

No es posible calcular el BA, ya que el número de columnas de B no coincide con el de filas de A.


61. Se consideran las matrices:

( )

1 4 3 1 0 1 7 5 4 2 1 74 0 1 1 1 9 2 0 2 1 0 0

1 2 2 3 4 2 1 1 0 1 0 13 4 2 9 6 3 2 2 1 0 0 80 3 0 3 0 3 1 0 0 1 7 7

A B

− − − − = = − − − − − − −

a) Calcula el valor del elemento de la tercera fila y primera columna de la matriz = tC AB .

b) Calcula el valor del elemento de la primera fila y tercera columna de la matriz tD BA= .

c) ¿Cómo son estos valores?

a) Multiplicando la tercera fila de A por la primera columna de tB obtenemos 31 26c = .

b) Multiplicando la primera fila de B por la tercera columna de tA obtenemos 13 26d = .

c) Son iguales, ya que ( )tt t tC AB BA D= = = .


− = − = − −

M N2 1 0 1 0 03 2 1 0 2 12 0 1 0 1 1

a) Calcula −2 2M N .

b) Calcula ( ) ( )M N M N+ − .

c) Explica la razón de que ( ) ( )2 2M N M N M N− ≠ + − .

a) 2 2

7 0 1 1 0 0 6 0 12 7 1 0 5 1 2 2 06 2 1 0 1 2 6 3 1

M N− −

− = − − − − = − − − − −

b) ( ) ( )1 1 0 3 1 0 6 3 23 0 0 3 4 2 9 3 02 1 0 2 1 2 3 6 2

M N M N− − − + − = − = − − − − −

c) Observemos que ( ) ( ) 2 2M N M N M MN NM N+ − = − + − , como en general MN NM≠ , se sigue que, en general, MN NM O− + ≠ y ( ) ( )2 2M N M N M N− ≠ + − .

63. Sean las matrices =

1 00 1

I y 1 23 4

A− = −

. Calcula:

a) 2 3 4, y A A A b) 2 3 2A A I− +

a) − − − = = = − − − 2 3 45 6 13 14 29 30

9 10 21 22 45 46A A A

b) 2 5 6 3 6 2 0 6 123 2

9 10 9 12 0 2 18 24A A I

− − − − + = − + = − − −


64. Calcula la matriz X para que verifique la siguiente ecuación matricial:

− − − − − − = − − −

0 22 1 1 0 2 5 1

2 3 3 3 62 3 3 1 0 3 4

1 2X

0 2

2 1 1 0 2 5 1 1 1 16 322 3 3 3 6 2 3

2 3 3 1 0 3 4 11 6 5 261 2

X X−

− − − − − − − = ⇒ − = ⇒ − − −

13 2916 32 3 3 13 292 2 25 26 33 18 38 44 19 22

X X − − ⇒ = + = ⇒ =

65. Resuelve el sistema:

− + =

− − = − −

7 22 3

3 815 14

3 44 22

A B

A B

7 2 28 8

2 3 8 123 8 12 32

15 14 45 423 4 9 12

4 22 12 66

A B A B

A B A B

− − + = + = ⇒ ⇒

− − − = − = − − − −

Sumando obtenemos 17 34 1 2

170 34 0 2

A A− − = ⇒ = − −

.

7 2 21 62 3 6 9

3 8 9 2415 14 30 28

3 4 6 84 22 8 44

A B A B

A B A B

− − + = + = ⇒ ⇒

− − − = − + = − −


1717 68 1 4

B B− − = ⇒ =

.

66. Resuelve el sistema + =− + =

3 23

X Y AX Y B

, siendo:

5 4 6 2 5 92 10 12 3 4 4

A B− = = − − −

+ = + = ⇒ ⇒ − + = − + =

3 2 3 23 3 9 3

X Y A X Y AX Y B X Y B

Sumando obtenemos 11 11 33 1 1 3

11 311 22 0 1 2 0

Y A B Y = + = ⇒ = − − .

Despejando en la segunda ecuación: 1 2 0

30 2 4

X Y B− = − =


67. Resuelve el sistema:

− = − − −

− − − + = − − −

0 102 4 2 4

14 44 3

3 2 5 25 2

X Y

X Y

0 10 0 10

2 4 2 4 2 4 2 414 4 14 4

4 3 8 63 2 5 2 6 4 10 4

5 2 10 4

X Y X Y

X Y X Y

− = − − − = − − − − ⇒ ⇒

− − − − − + = − − − + = − − − −


4 12 8 3 24 0 1 0

X X− −

− = − − ⇒ = −

.

0 10 0 302 4 2 4 6 12 6 12

14 4 42 124 3 8 6

3 2 5 2 6 4 10 45 2 10 4

X Y X Y

X Y X Y

− = − − − = − − − − ⇒ ⇒

− − − − − + = − − − + = − − − −


8 16 16 2 232 8 4 1

Y Y− −

− = − − ⇒ = − −

.

68. Dada la matriz =

A1 20 1

, calcula:

a) 2 3 4, y A A A b) 23A

a) = = =

2 3 41 4 1 6 1 80 1 0 1 0 1

A A A

b) En general, tenemos =

1 20 1

n nA , por tanto, 23 1 46

0 1A =

.

Rango de una matriz

69. Indica el rango de las matrices:

a) 2 21 1

A− = −

b) 2 21 1

B− =

c) 0 0

0 0C =

a) rg( ) 1A = ya que las dos filas de A son proporcionales.

b) rg( ) 2B = ya que las dos filas de B no son proporcionales.

c) rg( ) 0C = ya que la matriz C es la matriz nula.


70. Aplicando el método de Gauss, calcula el rango de las siguientes matrices:

a) = − − − −

A1 2 31 2 31 2 3

c) 1 1 1 12 2 2 25 5 5 3

C = − −

b) 1 2 40 1 51 0 1

B−

=

d) 1 1 4 5 33 6 8 3 02 5 12 8 3

D− −

= − − − −

a) → +→ +

= − ⇒ =→ − − −

2 2 13 3 1

1 2 3 1 2 31 2 3 0 4 6 rg( ) 21 2 3 0 0 0

F F FF F F

A A

b) → − → +

− − − = ⇒ =→ → −

3 3 1 3 3 22

1 2 4 1 2 4 1 2 40 1 5 0 1 5 0 1 5 rg( ) 31 0 1 0 2 5 0 0 15

F F F F F FB B

c) 2 2 1 3 3 23 3 1

2 25

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 2 2 2 0 0 0 4 0 0 0 4 rg( ) 25 5 5 3 0 0 0 8 0 0 0 0

F F F F F FF F F

C C→ − → −→ −

= − − − ⇒ =→ → − −

d) 2 2 1 3 3 23 3 1

32

1 1 4 5 3 1 1 4 5 3 1 1 4 5 33 6 8 3 0 0 3 20 18 9 0 3 20 18 9 rg( ) 22 5 12 8 3 0 3 20 18 9 0 0 0 0 0

F F F F F FF F F

D D→ + → −→ +

− − − − − − = − − − − ⇒ =→ → − − −

71. Calcula el rango de la matriz, observando si existe dependencia lineal entre sus filas.

− − − − − −

1 2 5 3 12 2 1 0 41 2 17 9 11

11 1 0 22

Observemos que 4 212

F F= − y 3 1 23 2F F F= + , por lo que podemos eliminar la tercera y cuarta fila, obteniendo

1 2 5 3 12 2 1 0 4 1 2 5 3 1

rg rg 21 2 17 9 11 2 2 1 0 411 1 0 22

− − − − − = = − − − −

, ya que las dos filas que quedan no son proporcionales.

72. Calcula el rango de la siguiente matriz.

1 1 1 1 22 1 0 1 23 3 1 1 24 2 0 2 4

− − − − − − − −

4 2 5 4 2 2 1 3 23 3 1

2 2 2 23

1 1 1 1 21 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1

2 1 0 1 2rg rg 2 1 0 1 2 rg 2 1 0 1 rg 0 3 2 1

3 3 1 1 23 3 1 1 2 3 3 1 1 0 6 4 2

4 2 0 2 4F F C C F F F F F

F F F=− =− → − =

→ −

− − − − − − − − − = − = − = − = − − − − − − − − − −

1 1 1 1rg 2

0 3 2 1− − = −


Matriz inversa

73. Aplicando directamente la definición, calcula las matrices inversas de:

= = −

0 2 1 72 0 2 15

A B

Pongamos − =

1 a bA

c d, tenemos 1 0 2 2 2

2 0 2 2a b c d

AAc d a b

− = =

y, por tanto:

1 1

102 1 2 0 1 1 2 y 0, , 0,2 0 2 1 12 2 0

2

c dAA I a c b d A

a b− −

= = = ⇒ ⇒ = = = = ⇒ = = =

Pongamos 1 a bB

c d− =

, tenemos 1 1 7 7 7

2 15 2 15 2 15a b a c b d

BBc d a c b d

− + + = = − − + − + y, por tanto:

1 1

15 77 1 7 0 15 2 7 1 29 29 y , , , ,

2 15 0 2 15 1 2 129 29 29 2929 29

a c b dBB I a c b d B

a c b d− −

− + = + = = ⇒ ⇒ = = = − = ⇒ = − + = − + =

74. Comprueba que las matrices A y B son inversas.

− − = = − − − − − −

1 1 4 42 12 4 3 312 0 36 24 302 16 101 41 2 3 33

A B

Basta comprobar que AB I= , y, en efecto,

1 1 4 42 12 4 1 0 03 312 0 36 24 30 0 1 02 16 10 0 0 11 41 2 3 33

AB

− − = − − = − − − −

75. Aplicando directamente la definición, calcula la matriz inversa de −

= − −

1 0 12 1 02 0 1

A .

Pongamos 1

a b cA d e f

g h i

−

=

, tenemos 1

1 0 12 1 0 2 2 22 0 1 2 2 2

a b c a g b h c iAA d e f a d b e c f

g h i a g b h c i

−

− − − − = − = − − − − − − −

y, por tanto:

1

1 0 0 1, 0, 1 1 0 12 0, 2 1 2 0 2, 1, 2 2 1 22 0 2 0 2 1 2, 0, 1 2 0 1

a g b h c i a b ca d b e y c f d e f Aa g b h c i g h i

−

− = − = − = = − = = − − = − = − = ⇒ = − = − = ⇒ = − − − = − = − = = − = = −


76. Aplicando el método de Gauss, calcula las matrices inversas de:

a) − − =

1 12 3

A c) −

= − −

1 1 12 1 03 4 2

C

b) − = −

1 21 3

B d) −

= − −

1 0 22 1 00 1 3

D

a) 2 2 1 1 1 2 1 1

1

2

1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 3 1 1 0 3 1 3 12 3 0 1 0 1 2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 2 1F F F F F F F F

A−

→ + → + →−

− − − − − − − − − ⇒ =→ → →

b) 2 2 1 1 1 2 1 1

2 2

1

2

1 2 1 0 1 2 1 0 1 0 3 2 1 0 3 2 3 21 3 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1F F F F F F F F

F F

B−

→ + → + →−→−

− − − − − − − ⇒ =→ → → − − − − − − −

c) 2 2 1 1 1 2 1 1 33 3 1 3 3 2 2 2 3

2 33 3 7 2

1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 3 0 1 1 1 02 1 0 0 1 0 0 3 2 2 1 0 0 3 2 2 1 03 4 2 0 0 1 0 7 5 3 0 1 0 0 1 5 7 3

F F F F F F F F FF F F F F F F F F→ + → − → +→ − → + → +

− − − − − − −→ → → − − −

1 1

2 2

1

1313

3 0 0 6 6 3 1 0 0 2 2 1 2 2 10 3 0 12 15 6 0 1 0 4 5 2 4 5 20 0 1 5 7 3 0 0 1 5 7 3 5 7 3F F

F F

C−

→

→

→ ⇒ =→

d) 2 2 1 3 3 2 1 1 3

2 2 3

2 24

1 0 2 1 0 0 1 0 2 1 0 0 1 0 2 1 0 02 1 0 0 1 0 0 1 4 2 1 0 0 1 4 2 1 00 1 3 0 0 1 0 1 3 0 0 1 0 0 1 2 1 1

F F F F F F F F FF F F

→ − → + → +→ −

− − − − − − − −→ → → − − − −

1 13 3

1

1 0 0 3 2 2 1 0 0 3 2 2 3 2 20 1 0 6 3 4 0 1 0 6 3 4 6 3 40 0 1 2 1 1 0 0 1 2 1 1 2 1 1

F FF F

D−

→−→−

− − − − − − → − − − − ⇒ = − −→ − − − − − −

77. Dada la matriz 5 32 1

A− = −

, calcula:

a) −1A y tA b) ( )− 21tA A A

a) −

→ − → + →

− − − − − ⇒ =→ → → − − − − − 2 2 1 1 1 2 1 1

1

15 2 35

5 3 1 0 5 3 1 0 5 0 5 15 1 0 1 3 1 32 1 0 1 0 1 2 5 0 1 2 5 0 1 2 5 2 5F F F F F F F F

A

= − −

5 23 1

tA

b) ( )− − − − − − − = = = = − − − − −

21 1 1 1 5 2 1 3 5 2 120 433 1 2 5 3 1 67 24

t t t t tA A A A A A A A A A A


78. Dadas las matrices 1 12 3

A− =

y 0 21 3

B− =

:

a) Calcula ( )−

−− −

111 1 1, , 2 y

3A B A B . c) Comprueba que

−− =

111 3

3B B .

b) Comprueba que ( )− −=1 1122

A A . d) Comprueba que ( )−

− − =

11 11 32

3 2A B B A .

a) −

→ + → − →−

→

− − − − − − ⇒ =→ → →

2 2 1 1 1 2 1 1

2 2

1

12 55

15

3 1 3 11 01 1 1 0 1 1 1 0 5 0 3 1 5 5 5 52 3 0 1 0 5 2 1 0 5 2 1 2 1 2 10 1

5 5 5 5F F F F F F F F

F F

A

−

↔ → + →

→−

− ⇒ = → → → − − − −

1 2 1 1 2 1 1

2 2

1

12 32

12

3 31 0 1 10 2 1 0 1 3 0 1 2 0 3 2 2 21 3 0 1 0 2 1 0 0 2 1 0 1 10 1 0 0

2 2F F F F F F F

F F

B

→ + → − →−

→

− − − − − ⇒→ → →

2 2 1 1 1 2 1 1

2 2

12 5101

10

3 11 02 2 1 0 2 2 1 0 10 0 3 1 10 104 6 0 1 0 10 2 1 0 10 2 1 2 10 1

10 10F F F F F F F F

F F

( )− − ⇒ =

1

3 110 1022 1

10 10

A

−

↔ → + →

→−

− ⇒ = → → → − − − −

1 2 1 1 2 1 1

2 2

1

32 32

32

2 1 2 9 90 1 0 1 0 1 0 3 2 1 0 3 313 3 3 2 21 2 2 3 331 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 03 3 3 2 2

F F F F F F F

F F

B

b) Es una comprobación directa.

c) Es una comprobación directa.

d) ( ) ( ) ( )− −

− − − − − = = =

1 11 1 1 1 11 1 1 32 2 3

3 3 2 2A B B A B A B A

79. Dada la matriz a cA

c d =

a) Comprueba que su rango vale 2 cuando − ≠ 0ad bc .

b) Comprueba que su inversa es: − − = −− 1 1 d b

Ac aad bc

.

c) Comprueba que − − =

1 22 5

A tiene inversa y calcúlala.

a) → −

= = − 2 2 1

rg( ) rg rg0F aF cF

a c a cA

c d ad bc, por tanto, =rg( ) 2A si y solo si − ≠ 0ad bc .

b) − − − = = = = − −− − 1 0 1 01 1

0 0 1a b d b ad bc

AA Ic d c a ad bcad bc ad bc

c) Según el apartado anterior A tiene inversa y − − − = = − −− + 1 5 2 5 21

2 1 2 15 4A .


80. Dada la matriz 2 13 1

A− = −

, calcula:

a) La matriz inversa de A. b) La matriz X que verifica la ecuación − = −

1 23 4

AX .

a) −

→ − → + →

− − − − − ⇒ =→ → → − − − − − 2 2 1 1 1 2 1 1

1

12 32

2 1 1 0 2 1 1 0 2 0 2 2 1 0 1 1 1 13 1 0 1 0 1 3 2 0 1 3 2 0 1 3 2 3 2F F F F F F F F

A

b) −− − − − − = ⇒ = = = − − − − − 11 2 1 2 1 1 1 2 4 6

3 4 3 4 3 2 3 4 9 14AX X A

81. Resuelve las siguientes ecuaciones matriciales.

a) −

− = −

4 52 2

0 30 1

2 5X

b) − −

= − − −

2 1 1 5 3 02 1 0 4 0 10 1 1 1 1 0

X

c) −

− = − −

1 1 0 50 1 1 70 2 1 10

X

a) La matriz −

2 20 1

tiene inversa, − − =

1 12 2 120 1 0 1

, por tanto:

−− − − − = = = − − −

14 5 4 5 2 112 2 10 3 0 3 0 320 1 0 12 5 2 5 1 3X

b) La matriz −

−

2 1 12 1 00 1 1

tiene inversa,

− − = − − − − −

1 1 12 1 1 02 22 1 0 1 1 1

0 1 1 1 1 2

, por tanto:

− − − − − = − = − = − − − − − − − − −

1 1 12 1 1 5 3 0 5 3 0 2 1 002 22 1 0 4 0 1 4 0 1 0 2 11 1 1

0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 11 1 2

X

c) La matriz −

− −

1 1 00 1 10 2 1

tiene inversa,

−− − − − = − − − − −

11 1 0 1 1 10 1 1 0 1 10 2 1 0 2 1

, por tanto:

−− − − = − − = − − − = − − − −

11 1 0 5 1 1 1 5 20 1 1 7 0 1 1 7 30 2 1 10 0 2 1 10 4

X


82. Halla la matriz X tal que 2A X BX C+ = , siendo:

1 2 1 2 0 121 1 0 1 2 4

A B C = = = − − −

( )+ = ⇒ + =2 2A X BX C A B X C , así, si la matriz +2A B tiene inversa podemos despejar ( )−= +12X A B C .

La matriz − + = + = − − −

2 1 4 1 2 0 62 1 0 1 2 0

A B tiene inversa ( )− −

+ =

12

102

1 06

A B , por lo que:

( )− − = + = = − −

12

10 0 12 1 221 2 4 0 206

X A B C

83. Halla la matriz X sabiendo que 3X BA AB+ = y que:

2 0 3 2 0 12 1 1 2 3 20 0 4 5 0 1

A B− − − = − = − − −

[ ]

− − − − + = ⇒ = − = − − − − = − − − −

5 0 519 0 5 4 0 101 1 13 23 3 3 3 10 3 5 03 3 3 320 0 4 10 0 19 10 0 5

X BA AB X AB BA

84. Halla la matriz X tal que AXB I= , siendo I la matriz unidad de orden 2 y:

1 0 2 11 1 1 1

A B = =

Las matrices A y B tienen inversa, − = − 1 1 0

1 1A y − − = −

1 1 11 2

B , por tanto:

− − − − − − = ⇒ = = = = − − − 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1

1 1 1 2 2 3AXB I X A IB A B

Síntesis 85. Dadas las matrices:

2 2 2 1 27 6 5 2 4 65 4 3 1 2 3

A B− + +

= − − = − −

λ λ λ

a) Calcula el valor de λ para que el producto AB dé como resultado la matriz nula.

b) Para el valor de λ hallado, calcula el resultado de + + 2BA BAB BAB .

a) 2 2 2 2 2 27 7 7 7 7 7 0 15 5 5 5 5 5

ABλ − λ − λ −

= − λ − λ − λ = ⇔ λ = − λ − λ − λ

b) 2

1 2 3 2 2 2 27 22 170 0 2 4 6 7 6 5 54 44 34

1 2 3 5 4 3 27 22 17BA BAB BAB BA B B B BA

− − − + + = + + = = − − = − − − − − −


86. Sean las matrices:

1 12 2 0

a bA B

a− = =

¿Qué condiciones deben verificar los números reales a y b para que A y B sean conmutables, es decir, para que AB BA= ?

= +− + − + = λ = ⇒ = ⇒ − = − + ⇒ + = + =

22 2

22 2 2 2 2 0

2 2 2

a a ba b a a b a b a

AB BA b a a ba b a a a b

b a a

Por tanto, para que AB BA= , b debe ser nulo y a puede ser cualquier número real.

87. Dada la matriz − =

1 12 3

A :

a) Halla todas las matrices posibles que conmuten con A.

b) Da un ejemplo de matriz de la forma

10a

b que conmute con A.

a)

2 2 01 1 1 1 3 2 02 3 2 3 2 3 2 0 2

2 3 3 2 0 2

a c a b b c a sa b a b b d a b a b d b tc d c d a c c d a c d c t

b d c d b c d s t

− = + + = = − − − = − + − − = = = ⇒ ⇒ ⇒ + = + + − = = − + = − + + = = −

Las matrices que conmutan con A son de la forma 2 2s t

t s t − −

con ,s t ∈ .

b) Teniendo en cuenta el apartado anterior, para 1s = y 12

t = la matriz 112

1 0

−

conmuta con A.

88. Sea la matriz =

1 03 1

A , y n un número natural cualquiera. Encuentra el valor de nA para cada n y halla

360 250A A− . Calculemos las primeras potencias de A:

= = =

2 3 41 0 1 0 1 06 1 9 1 12 1

A A A

Por tanto, deducimos que 1 0

3 1nA

n =

y 360 250 1 0 1 0 0 01080 1 750 1 330 0

A A − = − =

.


89. Estudia el rango de las siguientes matrices según el valor del parámetro t:

a) 2 32

At

− =

c) 2 1 31 2 2

3C

t t

− = −

b) 22

tB

t− = −

d) 1 0 12 0 24 4

Dt t

− = − − +

a) 2 2 1

2 3 2 3 Si 3 rg( ) 22 0 3 Si 3 rg( ) 1F F F

t AA

t t t A→ +

− − ≠ − ⇒ = = ⇒→ + = − ⇒ =

b) 2 2 1

2 2rg( ) 1

2 0 0F F F

t tB A

t → +

− − = ⇒ =→ − para cualquier valor de t.

c) 2 2 1 3 3 23 3 1

2 5 ( 6)2

2 1 3 1 2 2 1 2 2Si 1 rg( ) 3

1 2 2 0 5 1 0 5 1Si 1 rg( ) 2

3 0 6 0 0 6 6F F F F F t FF F tF

t CC

t Ct t t t t

→ − → − −→ −

− ≠ ⇒ = = ⇒→ → = ⇒ = − − − −

d) 2 2 13 3 1

24

1 0 1 1 0 1Si 0 rg( ) 2

2 0 2 0 0 0Si 0 rg( ) 1

4 4 0F F FF F F

t DD

t Dt t t t

→ −→ +

− − ≠ ⇒ = = − ⇒→ = ⇒ = − +

90. Estudia el rango de la matriz A según los diferentes valores de λ.

a) 2 4 1 23 6 1 15 10 1 4

A−

= − + − λ λ b)

1 3 2 16 4

3 9 6 1B

− = − − +

λ λλ

a) → − → + λ−→ −

− − − = − − − ⇒→ → λ + λ − λ − λ + λ −

2 2 1 3 3 23 3 1

2 3 (2 3)2 5

2 4 1 2 2 4 1 2 2 4 1 23 6 1 1 0 0 1 4 0 0 1 45 10 1 4 0 0 2 3 2 2 0 0 0 10 10

F F F F F FF F F

A

λ ≠ ⇒ = λ = ⇒ =

Si 1 rg( ) 3Si 1 rg( ) 2

AA

b) 2 2 13 3 13

1 3 2 1 1 3 2 1Si 2 rg( ) 3

6 4 0 6 3 4 2 0Si 2 rg( ) 1

3 9 6 1 0 0 0 2F F FF F F

BB

B→ −λ→ −

− − λ ≠ ⇒ = = λ − λ − + λ − λ ⇒→ λ = ⇒ = − λ + λ −

91. Halla los valores k para los que el rango de la matriz es inferior a 3.

=

2 2

2

1 1 1A k k k

k k k

Para estos casos, indica su rango.

2 2 13 3 1

2 2 2 2

2 2

1 1 1 1 1 1Si 0 y 1 rg( ) 3

0Si 0 o 1 rg( ) 1

0 0F F kFF F kF

k k AA k k k k k k k

k k Ak k k k k

→ −→ −

≠ ≠ ⇒ = = − − ⇒→ = = ⇒ = −

Por tanto, el rango de A es inferior a 3 si 0k = o 1k = , en ambos casos el rango de A es 1.


92. Sea la matriz:

− = − −

1 1 00 1 1

0 1A

α

a) Indica para qué valores de α la matriz A posee inversa.

b) Calcula la matriz inversa de A para el valor 0α = .

a) 3 3 1 3 3 2

1 1 0 1 1 0 1 1 0Si 1 rg( ) 3

0 1 1 0 1 1 0 1 1Si 1 rg( ) 2

0 1 0 1 0 0 1F F F F F F

AA

A→ −α → +α

− − − α ≠ ⇒ = = − − − ⇒→ → α = ⇒ = α − α − − + α

Por tanto, la matriz A tiene inversa si 1α ≠ .

b) Si 0α = tenemos:

1 1 2 2 2 3 2 2

3 31 1 3

1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 10 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 10 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1

F F F F F F F FF FF F F

→ − → + →−→−→ −

− − − − − − − −→ → → − − −

1

1 0 0 1 1 1 1 1 10 1 0 0 1 1 0 1 10 0 1 0 0 1 0 0 1

A−

− − − − → − − ⇒ = − − − −

93. Dada la matriz −

= − −

1 0 11 1

1 4A t

t

a) Indica para qué valores de t la matriz A posee inversa.

b) Mediante el método de Gauss-Jordan, calcula la matriz inversa de A para el valor 2t = .

a) 2 2 1 3 3 23 3 1

4

1 0 1 1 0 1 1 0 1Si 1 rg( ) 3

1 1 0 1 1 0 1 1Si 1 rg( ) 2

1 4 0 4 1 0 0 3 3F F tF F F FF F F

t AA t t t

t At t t

→ − → −→ +

− − − ≠ ⇒ = = − − − ⇒→ → = ⇒ = − − − +

Por tanto, la matriz A tiene inversa si 1t ≠ .

b) Si 2t = tenemos:

2 2 1 3 3 2 1 1 33 3 1 2 2 3

2 4 33

1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 02 1 1 0 1 0 0 1 1 2 1 0 0 1 1 2 1 01 4 2 0 0 1 0 4 1 1 0 1 0 0 3 9 4 1

F F F F F F F F FF F F F F F→ − → − → −→ + → +

− − − − − −→ → → − − −

1 1

2 2

3 3

1

1313

13

4 1 4 11 0 0 2 23 3 3 33 0 0 6 4 11 1 1 10 3 0 3 1 1 0 1 0 1 13 3 3 30 0 3 9 4 1 4 1 4 10 0 1 3 33 3 3 3

F F

F F

F F

A−

→

→

→−

− − − − − −

→ − − ⇒ = −→ − − − − − −


94. Comprueba que el rango de 1 1 10 1 21 0 1

A− = − −

es 2 y observa qué ocurre si se intenta calcular 1A− por el

método de Gauss.

→ − → +

− − − = ⇒ =→ → − − − −

3 3 1 3 3 2

1 1 1 1 1 1 1 1 10 1 2 0 1 2 0 1 2 rg( ) 21 0 1 0 1 2 0 0 0

F F F F F FA A

→ − → +

− − − → → − − − − − −

3 3 1 3 3 2

1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 00 1 2 0 1 0 0 1 2 0 1 0 0 1 2 0 1 01 0 1 0 0 1 0 1 2 1 0 1 0 0 0 1 1 1

F F F F F F

El hecho de que en la parte izquierda de la expresión aparezca una fila nula indica que A no tiene inversa.


− = − = = − − − − −

1 3 2 1 4 2 12 1 3 2 1 3 24 3 1 1 2 2 5

A B C

a) Demuestra que =AB AC .

b) Calcula el rango de la matriz A. ¿Podrá tener inversa?

c) Comprueba que si 000

aX a AX

a

= ⇒ =

a) 3 31 153 15

AB AC− − = = −

b) 2 2 1 3 3 23 3 1

2 7 94

1 3 2 1 3 2 1 3 22 1 3 0 7 7 0 7 7 rg( ) 24 3 1 0 9 9 0 0 0

F F F F F FF F F

A A→ − → −→ −

− − − = − − − ⇒ =→ → − − −

.

Como el rango de A no coincide con su orden, no puede tener inversa.

c) 1 3 2 02 1 3 04 3 1 0

aAX a

a

− = − = − −

96. Se dice que dos matrices cuadradas, A y B, de orden n, son semejantes si existe una matriz invertible, P, tal que −= 1B P AP , donde −1P denota la matriz inversa de P.

Determina si son semejantes las matrices A y B: = = −

1 2 1 00 1 0 1

A B

Para ello, intenta calcular una matriz =

a bP

c d que verifique la relación anterior.

1

2 0 02 2 0

2 00 0

0 0

a a c c ba b a c b d a

B P AP PB AP b b d b d c Pc d c d

d d d d

−

= + = = − + + = ⇒ = ⇒ = ⇒ − = + ⇒ = ⇒ = ⇒ = − − = = =

Pero la matriz P obtenida no es invertible para ningún valor de t, es decir, las matrices A y B no son semejantes.


97. Una matriz cuadrada A es idempotente cuando verifica que =2A A .

a) Escribe algún ejemplo de matriz cuadrada de orden 3 distinta de la matriz unidad y de la matriz nula y que sea idempotente.

b) Calcula el valor de λ que hace que la matriz 4 2

3A = λ −

sea idempotente.

c) Encuentra todas las matrices del tipo 1

0a

b

que sean idempotentes.

a) 1 0 00 0 00 0 0

A =

b) 2 2 16 2 4 2 2 16 46

2 9 3 2 9 3A A

λ + λ + = = ⇒ = ⇒ ⇒ λ = − λ λ + λ − λ + = −

c) 1 1 1 1 1 1 10 0 o 0

0 0 0 0 0a a a ab a a ab

ab a bb b b b ab b ab

+ + = = ⇒ = ⇒ ⇒ = ⇒ = = =

Por tanto, las matrices buscadas son de la forma 1 0

0t

, 10 0

t

o 1 00 0

con 0t ≠ .

98. Una matriz cuadrada es nilpotente cuando alguna de sus potencias es igual a la matriz nula. Si n es el menor entero positivo que hace que = 0nA , se dice que A es una matriz nilpotente de grado n.

a) Demuestra que la matriz 1 1 35 2 62 1 3

A = − − −

es nilpotente de grado 3.

b) Encuentra todas las matrices del tipo 0

0a

b

que sean nilpotentes de grado 2.

a) 2

1 1 3 1 1 3 0 0 05 2 6 5 2 6 3 3 92 1 3 2 1 3 1 1 3

A = = − − − − − − − − −

3

0 0 0 1 1 3 0 0 03 3 9 5 2 6 0 0 01 1 3 2 1 3 0 0 0

A = = − − − − − −

Al ser 3A la primera potencia de A nula, la matriz A es nilpotente de grado 3.

b) 0 0 0 0 0 0 00 0 o 0

0 0 0 0 0 0 0a a ab

ab a bb b ab = ⇒ = ⇒ = ⇒ = =


0t

, 00 0

t

con 0t ≠ .

NOTA: Observemos que no incluimos como solución la matriz 0 00 0

, que se obtiene cuando 0a b= = , ya

que esta matriz es nilpotente de grado 1.


99. Dada la matriz, = −

1 0 00 1 00 1 1

A :

a) Calcula 2A , 3A y 4A .

b) Induce la expresión de nA y calcula 99A .

c) Calcula 1A− .

d) Calcula la matriz inversa de B siendo 2 3B I A A A= + + + .

a) 2 3 4

1 0 0 1 0 0 1 0 00 1 0 0 1 0 0 1 00 2 1 0 3 1 0 4 1

A A A = = = − − −

b) 99

1 0 0 1 0 00 1 0 0 1 00 1 0 99 1

nA An

= = − −

c) 1

1 0 00 1 00 1 1

A−

=

d) 2 3 1

1 0 044 0 0

10 4 0 0 040 6 4 3 108 4

B I A A A B−

= + + + = ⇒ = −

CUESTIONES 100. Calcula los valores de m, n, p y q para que el producto de matrices 3 4mxn x pxqA B C dé como resultado una

matriz de dos filas y una columna. Para que los productos se puedan realizar debe ser 3, 4n p= = . Para que el resultado sea una matriz 2 x 1 debe ser 2, 1m q= = .

101. Se sabe que las matrices A, B y C son todas cuadradas y del mismo orden. Además, A, B y −A B poseen inversa. Despeja X en las igualdades siguientes:

a) AXB C= c) AXA C= e) 2A XB C=

b) AX BX C= + d) tA XB C= f) AX BX A B− = −

a) 1 1AXB C X A CB− −= ⇒ =

b) ( ) ( ) 1AX BX C AX BX C A B X C X A B C−= + ⇒ − = ⇒ − = ⇒ = −

c) 1 1AXA C X A CA− −= ⇒ =

d) ( ) ( )1 1 1 1tt tA XB C X A CB A CB− − − −= ⇒ = =

e) ( ) ( )1 22 2 1 1 1A XB C X A CB A CB− − − −= ⇒ = =

f) ( ) ( ) ( )1AX BX A B A B X A B X A B A B I−− = − ⇒ − = − ⇒ = − − =


102. Sea A una matriz cuadrada tal que = 0nA y sea I la matriz unidad del mismo orden que A.

a) Calcula ( ) ( )2 3 1... nI A A A A I A−+ + + + + − .

b) Calcula la suma 2 3 1... nI A A A A −+ + + + + .

a) ( ) ( )2 3 1 2 3 1 2 3... ... ...n n n nI A A A A I A I A A A A A A A A I A I− −+ + + + + − = + + + + + − − − − − = − =

b) Según el apartado anterior, 2 3 1... nI A A A A −+ + + + + es la matriz inversa de I A− .

103. Escribe dos matrices cuadradas de orden 2 que posean inversa pero tales que su suma no posea inversa.

Las matrices 1 11 2

A =

y B A= − poseen inversa 1 2 11 1

A− − = − y 1 1B A− −= − , pero 0A B+ = no tiene inversa.

Otro ejemplo podría ser 1 10 1

A− =

y

2 30 1

B = − .

104. Escribe dos matrices A y B cuadradas de orden 2 tales que = 0AB y sin embrago ni A ni B sean la matriz nula.

Si 1 10 0

A =

y 1 01 0

B− =

, tenemos 0 00 0

AB =

.

105. Sean dos matrices cuadradas A y B tales que = 0AB y tal que existe la inversa de A. Demuestra que = 0B .

10 0 0 0AB A AB IB B−= ⇒ = ⇒ = ⇒ =

106. Dada la matriz − = −

1 11 1

A . Escribe dos matrices diferentes B y C tales que =AB AC .

Si 1 01 0

B =

y 0 10 1

C =

tenemos 0 00 0

A B A C ⋅ = ⋅ =

.

107. Sean A, B y C tres matrices cuadradas y tales que A posee inversa. Demuestra que si =AB AC entonces, obligatoriamente, B y C deben ser iguales.

1 1AB AC A AB A AC IB IC B C− −= ⇒ = ⇒ = ⇒ =

108. ¿Qué condiciones debe verificar las dimensiones de las matrices A y B para que se pueda calcular el producto ABA? Comprueba que, en ese caso, también se puede calcular BAB. Supongamos que las dimensiones de A y B son m x n y p x q respectivamente, para que se pueda realizar el producto m n p q m nA B A× × × debe ser n p= y m q= , es decir, el número de filas de A debe coincidir con el de columnas de B y el número de columnas de A debe coincidir con el de filas de B.

En este caso el producto p q m n p qB A B× × × también se puede realizar.


109. a) Si A es una matriz simétrica, ¿qué relación existe entre ella y su transpuesta?

b) Se consideran dos matrices A y B simétricas y tales que su producto AB da como resultado una matriz también simétrica. Demuestra que A y B conmutan.

a) Una matriz A es simétrica si y solo si coincide con su traspuesta.

b) Como A y B son simétricas tenemos ( )tt tBA B A AB= = . Por otro lado, como AB también es simétrica tenemos

( )tAB AB= . Por tanto, ( )tAB AB BA= = , es decir, A y B conmutan.

110. a) Demuestra que si A y B son matrices invertibles, se cumple que ( ) 1 1 1AB B A− − −= .

Nota: Para ello calcula el producto 1 1ABB A− − .

b) Suponiendo que exista 1A− , ¿se cumple que ( ) ( )1 22 1A A− −= ? ¿Y que ( ) ( )1 33 1A A

− −= ?

a) Queremos probar que 1 1B A− − es la inversa de AB, y, en efecto,

( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1 1AB B A ABB A A BB A AIA AA I− − − − − − − −= = = = =

b) Se cumplen ambas igualdades:

( ) ( ) ( )1 212 1 1 1A AA A A A− − − − −= = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 33 2 2 1 1 1 1A AA A A A A A

− − − − − − −= = = =

PROBLEMAS 111. Una tienda de música ha vendido dos tipos de productos: música grabada en CD y música en archivos

digitales. La matriz A muestra el total de canciones, tanto grabadas en CD como en archivos digitales, vendidas durante los años 2014, 2015 y 2016. La matriz B muestra los precios a los que se ha vendido una canción según el tipo de grabación y según los años indicados anteriormente.

2014 2015 2016CD's 1150 1360 1400

Digital 780 950 1350A

=

CD's Digital2014 1,25 0,752015 1,30 0,652016 1,40 0,50

B =

a) Calcula el producto de matrices C AB= e indica qué significan sus elementos de la diagonal principal.

b) Calcula el producto de matrices D BA= e indica qué significan sus elementos de la diagonal principal.

c) Indica un significado para los términos 12c y 23d .

a) 1,25 0,75

1150 1360 1400 5165,5 2446,51,30 0,65

780 950 1350 4100 1887,51,40 0,50

C AB

= = =

Los elementos de la diagonal principal indican los ingresos obtenidos en el total de los tres años por las ventas de CD (término 11c ) y por las ventas de los archivos digitales (término 22c ).

b) 1,25 0,75 2022,5 2412,5 2762,5

1150 1360 14001,30 0,65 2002 2385,5 2697,5

780 950 13501,40 0,50 2000 2379 2635

D BA

= = =

Los elementos de la diagonal principal indican los ingresos obtenidos por el total de ventas de CD y de archivos digitales para los años 2014 (término 11d ), 2015 (término 22d ) y 2016 (término 33d )

c) El término 12c determina los ingresos por ventas para el total de los tres años para los CD pero si se hubieran aplicado los precios de archivos digitales en los años correspondiente.

El término 23d determina los ingresos por ventas para el total de CD y de archivos digitales para el año 2016 pero si se hubieran aplicado los precios de 2015.


112. En cierta zona de montaña existen cuatro refugios A, B, C y D que están comunicados por sendas según se establece en el siguiente grafo.

Debido a la pendiente, el recorrido en alguno de los sentidos de ciertas sendas carece de interés para los deportistas.

a) Forma la matriz M asociada al grafo.

b) Calcula la matriz M2 e interpreta los resultados.

a)

0 1 1 11 0 0 00 1 0 10 0 1 0

M

=

b) 2

1 1 1 10 1 1 11 0 1 00 1 0 1

M

=

Los elementos de 2M indican el número de caminos diferentes de longitud 2 que se pueden seguir para ir de un vértice a otro.

113. Una partícula puede tomar una de las cuatro posiciones A, B, C o D.

En cada instante cambia de posición con las siguientes condiciones:

• Si está en A, se queda fija en ese lugar.

• Si está en D, se queda fija en ese lugar.

• Si está en B, pasa a A con probabilidad 0,25, a C con probabilidad 0,25 y se queda en B con probabilidad 0,5.

• Si está en C, pasa a B con probabilidad 0,25, a D con probabilidad 0,25 y se queda en C con probabilidad 0,5.

Escribe la matriz de transición del proceso estocástico y estudia el valor de sus potencias sucesivas. Interpreta el resultado.

1 0 0 00,25 0,5 0,25 0

0 0,25 0,5 0,250 0 0 1

T

=

2

1 0 0 00,375 0,3125 0,25 0,0625

0,0625 0,25 0,3125 0,3750 0 0 1

T

=

3

1 0 0 00,45313 0,21875 0,20313 0,125

0,125 0,20313 0,21875 0,453130 0 0 1

T

=

4

1 0 0 00,50781 0,16016 0,15625 0,175780,17578 0,15625 0,16016 0,50781

0 0 0 1

T

=

En general los elementos de nT representan las probabilidades de, comenzando en una posición (filas), acabar en otra (columnas) tras n cambios de posición.

NOTA: Según crece el exponente, se puede probar que nT se aproxima a

1 0 0 02 10 03 31 20 03 30 0 0 1

, es decir, a largo plazo,

si el proceso comienza en A, la partícula se mantiene en A; si comienza en B, la partícula acaba en A con

probabilidad 23

y en D con probabilidad 13

; si comienza en C, acaba en A con probabilidad 13

y en D con

probabilidad 23

, y si comienza en D, se mantiene en D.


114. Una empresa empaqueta cinco tipos de lotes de herramientas para bricolaje y las reparte a cuatro provincias A, B, C y D. La siguiente tabla muestra el número de lotes de cada tipo que debe repartir en cada provincia.

Lote 1 Lote 2 Lote 3 Lote 4 Lote 5

A 12 10 10 30 10

B 15 9 15 25 12

C 23 8 12 25 15

D 12 12 20 15 12

Cada tipo de lote está formado por un número de piezas P, Q y R según la siguiente distribución.

Lote 1 Lote 2 Lote 3 Lote 4 Lote 5

P 2 1 2 0 1

Q 2 1 2 2 0

R 0 2 2 3 3

Escribe la matriz que determina el número de piezas de cada clase que se van a repartir a cada provincia. Consideremos la matriz M que representa el número de lotes (columnas) que se reparte en cada provincia (filas):

12 10 10 30 1015 9 15 25 1223 8 12 25 1512 12 20 15 12

M

=

Consideremos la matriz N que representa el número de piezas de cada clase (filas) que componen cada lote (columnas):

2 1 2 0 12 1 2 2 00 2 2 3 3

N =

La matriz que determina el número de piezas de cada clase (columnas) que se reparten en cada provincia (filas) es:

2 2 012 10 10 30 10 64 114 160

1 1 215 9 15 25 12 81 119 159

2 2 223 8 12 25 15 93 128 160

0 2 312 12 20 15 12 88 106 145

1 0 3

tMN

= =

P Q R

A 64 114 160

B 81 119 159

C 93 128 160

D 88 106 145


AUTOEVALUACIÓN

Comprueba qué has aprendido 1. Dadas las matrices:

− = − − −

2 3 40 2 31 0 2

M y −

= − −

2 1 10 0 40 3 2

N , calcula:

a) M N+ b) 122

M N− c) MN d) ( )3 2tM M N−

a) 2 3 4 2 1 1 0 4 30 2 3 0 0 4 0 2 71 0 2 0 3 2 1 3 4

M N− − + = − + = − − − − − − − −

b)

1 1 11 171 54 6 8 2 2 2 212 0 4 6 0 0 2 0 4 42 2 0 4 3 30 1 2 3

2 2

M N

− − − − − = − + − = − − − − −

c) 2 3 4 2 1 1 4 14 60 2 3 0 0 4 0 9 141 0 2 0 3 2 2 5 5

MN− − − − = − = − − − − − − −

d) ( )2 0 1 6 9 12 4 2 2 2 0 1 10 7 14

3 2 3 2 0 0 6 9 0 0 8 3 2 0 0 6 14 3 2 3 0 6 0 6 4 4 3 2 3 6 2

tM M N− − − − − − − − = − − − = − − = − − − − − − − −

23 20 2630 33 4034 2 63

− − = − − −

2. Calcula el rango de las matrices:

− − − = − = − − − −

10 2 5 1 4 6 24 2 3 1 4 2 00 14 5 1 4 10 2

A B

2 2 1 3 3 25 2

10 2 5 10 2 5 10 2 54 2 3 0 14 5 0 14 5 rg( ) 20 14 5 0 14 5 0 0 0

F F F F F FA A

→ + → −

− − − = − − − ⇒ =→ → − −

2 2 1 3 3 23 3 1

2

1 4 6 2 1 4 6 2 1 4 6 21 4 2 0 0 0 8 2 0 0 8 2 rg( ) 21 4 10 2 0 0 16 4 0 0 0 0

F F F F F FF F F

B B→ + → −→ +

− − − − − − = − − − ⇒ =→ → − − −


3. Calcula las matrices inversas de:

− = = − −

2 1 13 4

0 1 22 4

2 2 0A B

2 2 1 1 1 2 1 1

2 2

1

13 2314

1 0 1 1 1 13 4 1 0 3 4 1 0 3 0 3 31 3 1 32 4 0 1 0 4 2 3 0 4 2 3 0 12 4 2 4

F F F F F F F F

F F

A−

→ + → + →−

→−

− − − − − − − ⇒ =→ → → − − − − − − −

3 3 1 1 1 2 1 1 33 3 2 2 2 3

32

2 1 1 1 0 0 2 1 1 1 0 0 2 0 3 1 1 00 1 2 0 1 0 0 1 2 0 1 0 0 1 2 0 1 02 2 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1


→ − → − → −→ − → +

− − − −→ → → − − − −

1 1

112

3 32 0 0 4 2 3 1 0 0 2 1 2 12 20 1 0 2 1 2 0 1 0 2 1 2 2 1 2

0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1F F

B−

→

− − − → − − → ⇒ = − − − − − − − − − −

4. Dada la matriz − = −

1 11 0

A :

a) Calcula 2A , 3A y 4A . b) Calcula 35A y 94A .

a) 2 3 2 4 31 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 01 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1

A AA A A A I A A A IA A− − − − − = = = = = = = = = = − − − − −

b) ( ) ( )11 3135 33 2 3 2 11 2 2 2 94 93 3 31A A A A A I A IA A A A A A A I A IA A= = = = = = = = = =

5. Estudia el rango de la siguiente matriz A según los valores del parámetro t: −

= −

2 1 3 11 0 2 30 7 5

A tt

2 2 1 3 3 22 2

2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 11 0 2 3 0 1 4 3 5 0 1 4 3 50 7 5 0 7 5 0 0 4 3 7 5 5

F F F F F tFA t t t

t t t t t→ − → −

− − − = − −→ → − − − + + − −

Tenemos 2 74 3 7 0 1,

45 5 0 1

t t t t

t t

− + + = ⇒ = − =− − = ⇒ = −

, por tanto, Si 1 rg( ) 2Si 1 rg( ) 3

t At A= − ⇒ =

≠ − ⇒ =.


= −

2 1 11 2 2

1A

t t:

a) Indica para qué valores de t no posee inversa. b) Calcula la inversa para 0t = .

a) 2 2 1 3 3 23 3 1

2 5 ( 2)2

2 1 1 2 1 1 2 1 1Si 3 rg( ) 3 y tiene inversa

1 2 2 0 5 3 0 5 3Si 3 rg( ) 2 y no tiene inversa

1 0 2 0 0 2 6F F F F F t FF F tF

t A AA

t A At t t t t

→ − → − −→ −

− − − ≠ − ⇒ = = ⇒→ → = − ⇒ = − − +

b) 2 2 1 1 1 2 1 1 3

3 3 2 2 2 3

2 5 3 85

2 1 1 1 0 0 2 1 1 1 0 0 10 0 8 4 2 01 2 2 0 1 0 0 5 3 1 2 0 0 5 3 1 2 00 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 3 1 2 5


→ − → + → −→ + → −

− − − −→ → → − − −

1 1

2 2

3 3

11

301513

2 1 4 2 1 41 0 030 0 0 20 10 40 3 3 3 3 3 30 5 0 0 0 5 0 1 0 0 0 1 0 0 10 0 3 1 2 5 1 2 5 1 2 50 0 1

3 3 3 3 3 3

F F

F F

F F

A−

→

→

→

− − − − − − → − → − ⇒ = − − − −


7. Calcula la matriz X tal que + =XA B C siendo:

− = = = − − − − −

1 1 1 1 0 2 2 1 30 2 0 1 0 2 0 1 21 1 0 1 1 3 1 1 4

A B C

Si A tiene inversa podemos despejar:

( ) 1XA B C XA C B X C B A−+ = ⇒ = − ⇒ = −

3 3 1 1 1 2 1 1 32 2

1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 2 0 2 2 1 0 2 0 0 0 1 20 2 0 0 1 0 0 2 0 0 1 0 0 2 0 0 1 0 0 2 0 0 1 01 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1

F F F F F F F F F→ + → − → −

− − − →→ → → − −

1 1

2 2

1

1212

1 11 0 0 0 1 0 12 21 10 1 0 0 0 0 02 2

0 0 1 1 0 1 1 0 1

F F

F F

A−

→

→

− − − −

⇒ =→

Por tanto,

( ) 1

10 11 1 1 1 1 021 1 0 0 1 110 00 2 1 1 1 12

1 0 1

X C B A−

− − − − = − = − =

8. Dibuja un grafo que tenga asociada la matriz

=

1 0 1 00 0 1 10 1 0 11 0 0 0

A .


Relaciona y contesta

Elige la única respuesta correcta en cada caso

1. Dadas las matrices A y B cuadradas y tales que ambas poseen inversa, la matriz X tal que ( )−− = 11BXA AB se puede obtener mediante la expresión:

A. ( ) 11X BA AB −−= B. X BA= C. 1 1X B B− −= D. 1 1X A B− −=

( ) ( )1 11 1 1 1 1 1 1BXA AB X B AB A B B A A B B− −− − − − − − −= ⇒ = = = , la respuesta correcta es C.

2. El producto AB es una matriz de dimensión 2 x 4. La matriz A tiene tres columnas. Las dimensiones de A y B son:

A. dim( ) 2 4A = × y dim( ) 4 4B = × C. dim( ) 2 3A = × y dim( ) 3 2B = ×

B. dim( ) 2 3A = × y dim( ) 3 4B = × D. dim( ) 3 3A = × y dim( ) 3 4B = ×

Si 3nxA A= y pxqB B= , para poder calcular AB y que su dimensión sea 2 x 4, debe ser 2n = , 3p = y 4q = , por tanto, la respuesta correcta es B.

3. Los valores de λ para los que el rango de la matriz −

=

A1 20 1 31 0

λ

λ es distinto de tres son:

A. λ = 3 o 13

λ = C. Únicamente para λ = 3 , rg( ) 3A ≠

B. 3λ ≠ y 13

λ ≠ D. Para cualquier valor de λ , rg( ) 3A ≠

3 3 1 3 3 2( 2)

1 2 1 2 1 2Si 3 rg( ) 3

0 1 3 0 1 3 0 1 3Si 3 rg( ) 2

1 0 0 2 0 0 6 2F F F F F F

AA

A→ − → − λ−

−λ −λ −λ λ ≠ ⇒ = = ⇒→ → λ = ⇒ = λ λ − λ − λ

La respuesta correcta es C.

Señala, en cada caso, las respuestas correctas

4. Dadas las matrices ( )= 2 1A y ( )2 2B = − :

A. =t tAB BA C. tAB es cuadrada de orden 1.

B. tAB no está definida. D. Todas son ciertas. Las respuestas correctas son A y C, ya que 2t tAB BA= = − .

5. Dada la matriz 3 3 41 6 52 1 9

A = −

, se verifica que:

A. = + < si ija i j i j B. = + =2 si ija i j i j C. = − > si ija i j i j D. = − > si ija i j i j

Una simple comprobación permite verificar que las respuestas correctas son A, B y D.


Elige la relación correcta entre las dos afirmaciones dadas 6. Cinco localidades vecinas 1, 2, 3, 4 y 5 están unidas por una serie de carreteras de doble sentido.

Se conoce la matriz A de adyacencia del correspondiente gráfico que representa dichas carreteras.

1. El elemento 23a de la matriz 3A vale 3.

2. El número de caminos distintos que se pueden seguir comenzando en 2 y acabando en 3 y visitando en total 4 ciudades (repetidas o no) es 3.

A. 1 2⇒ pero 2 1⇒ C. 1 2⇔

B. 2 1⇒ pero 1 2⇒ D. Nada de lo anterior.

Recordemos que los elementos de 3A determinan el número de caminos distintos que pueden seguirse para ir de una localidad (filas) a otra (columnas) en tres pasos, es decir, visitando un total de 4 ciudades (repetidas o no), por tanto, las dos afirmaciones son equivalentes y la relación correcta es C.

Señala el dato innecesario para contestar 7. De una matriz de dimensión 3 x 4 se quiere hallar su rango. Se conocen los siguientes datos:

1. La primera fila no es nula y es proporcional a la tercera.

2. La primera columna no es nula y se verifican las relaciones siguientes: 2 1 3 2 4 1 2 32 4C C C C C C C C= = = + +

A. El dato 1 es innecesario. C. Son necesarios los dos datos.

B. El dato 2 es innecesario. D. Son innecesarios todos los datos.

Del dato 2 podemos deducir que el rango de la matriz es 1, ya que 2 3 4, y C C C son proporcionales a 1C y esta columna no es nula:

2 1 3 2 1 4 1 2 3 12 4 8 11C C C C C C C C C C= = = = + + =

En cambio, del dato 1 solo podemos deducir que el rango es 1 (al menos 1F no es nula) o 2, dependiendo de si 2F es proporcional o no a 1F .

Por tanto, la respuesta correcta es A.

40 Unidad 2| Determinantes

2 Determinantes



3. Calcula el valor de los siguientes determinantes.

a) 4 36 1−

c) 2

23

aa a− e)

3 2 11 2 42 1 1

− − −− −

− −

b) 5 27 4− −

d) 1 0 24 1 11 3 1

− −

− f)

11 11 1

a aa

a a− −+ −

a) ( )4 34 1 3 6 4 18 22

6 1= ⋅ − − ⋅ = − − = −

−

b) 5 220 14 6

7 4= − + = −

− −

c) 2 2 2 22

23 2 3 2 5

3a

a a a a a aa a−

= − ⋅ − ⋅ = − − = −

d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 24 1 1 1 1 1 2 4 3 1 0 1 2 1 1 1 3 1 1 0 4 1 24 0 2 3 0 181 3 1

− −= − ⋅ ⋅ − + − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ = − + + + + = −

−

e) 3 2 11 2 4 6 1 16 4 12 2 392 1 1

− − −− − = − + + + + =

− −

f) ( ) ( )3 2 2

11 1 1 1 11 1

a aa a a a a a a a a

a a− − = + − + − + − + = − −+ −

Determinantes | Unidad 2 41

4. Comprueba que se obtiene el mismo valor al desarrollar el determinante

−−

−−

1 2 1 02 2 3 22 1 1 11 0 2 3

por los elementos

de la tercera fila y al desarrollarlo por los de la cuarta columna. Desarrollando por la tercera fila:

( ) ( ) ( )3 1 3 2 3 331 32 33 34

1 2 1 02 1 0 1 1 0 1 2 0

2 2 3 22 2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 2 2

2 1 1 10 2 3 1 2 3 1 0 3

1 0 2 3

A A A A + + +

−− −

−= − + + = − − − − − + − +

−− −

−

( ) ( )3 41 2 1

1 2 2 3 2 16 1 14 4 491 0 2

+−

+ − − = ⋅ − + − − = −−

Desarrollando por la cuarta columna:

( ) ( ) ( )4 2 4 3 4 441 42 43 44

1 2 1 01 2 1 1 2 1 1 2 1

2 2 3 20 2 3 2 1 2 1 1 1 2 2 3 3 1 2 2 3

2 1 1 11 0 2 1 0 2 2 1 1

1 0 2 3

A A A A + + +

−− − −

−= + + + = − − + − − + − − =

−− − −

−

( )2 9 4 3 21 49= ⋅ − + ⋅ − = −

5. Calcula el valor del determinante

1 6 3 32 1 0 41 2 3 07 1 0 5

−

−−

desarrollándolo por los elementos de la línea que creas

más conveniente. Desarrollamos por la tercera columna:

( ) ( ) ( )3 1 3 331 33

1 6 3 32 1 4 1 6 3

2 1 0 43 3 3 1 1 2 0 3 1 2 1 4 3 75 3 202 831

1 2 3 07 1 5 7 1 5

7 1 0 5

A A + +

−−

= − = − − − = ⋅ − ⋅ − =−

− −−

6. Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) 3 12

2 x−

= c) 2 1

1 0 130 2 1

xx

−=

−

b) 111

1 2x

x x−

=+

d) 1 2 2

1 1 71 1 2

xx x

− −− − = −

−

a) 3 12 3 2 2 0

2x x

x−

= ⇒ + = ⇒ =

b) 2 21 511 2 1 11 2 10 0 2,1 2 2

xx x x x x x

x x−

= ⇒ + + = ⇒ + − = ⇒ = = −+

c) 2 2

2 11 0 13 2 2 13 9 3, 30 2 1

xx x x x x

−= ⇒ + + = ⇒ = ⇒ = − =

−

d) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2

1 1 7 2 1 2 2 2 1 1 4 7 5 3 7 21 1 2

xx x x x x x x x x x

− −− − = − ⇒ − − + + − − − − + − = − ⇒ − + = − ⇒ =

−



8. Justifica, sin desarrollar, las siguientes igualdades.

a) 2 1 83 5 1 00 0 0

−− = b) 0

2 2 2

a b cb c a c a b+ + + = c) p q q s

r s p r= −

a) 2 1 83 5 1 00 0 0

−− = , ya que los elementos de la tercera fila son nulos.

b) 1 1 2 3 12

1 1 1( ) 0

2 2 2 2 2 2 2 2 2F F F F F

a b c a b c a b c a b cb c a c a b b c a c a b a b c b c a c a b

→ + =

+ + + + + ++ + + = + + + = + + + + + =

c) 1 2 Propiedad 7C C

p q q p q sr s s r p r↔

= − = −

9. Comprueba, sin desarrollar, la siguiente igualdad.

+ −+ −

=+ −+ −

0

a b a b c cd e d e f fp q p q r rs t s t u u

El determinante es nulo, ya que = + −3 1 2 4C C C C .


13. Reduce los siguientes determinantes de orden tres a un determinante de orden 2.

a) 1 2 32 5 62 7 9

−− b)

3 2 52 1 34 5 6

−−−

a) 2 2 13 3 1

22

1 2 3 1 2 39 12

2 5 6 0 9 1211 3

2 7 9 0 11 3F F FF F F→ −→ −

− −−

− = − = b) 1 1 23 3 2

25

3 2 5 7 0 117 11

2 1 3 2 1 36 9

4 5 6 6 0 9F F FF F F→ −→ −

− −−

− = − =−

− −

14. Reduce el siguiente determinante de orden 4 a un determinante de orden 3 y, posteriormente, a un determinante de orden 2.

−− −

− −

1 2 1 32 1 2 11 2 3 42 3 4 5

→ − → −→ −→ −

− −− − − −

− − − − −= = = = −

−− − − −

− − − −2 2 1 2 2 33 3 14 4 1

2 4

2

1 2 1 3 1 2 1 35 4 7 5 32 7

2 1 2 1 0 5 4 7 5 320 4 1 0 0 1

1 2 3 4 0 0 4 1 7 507 6 11 7 50 11

2 3 4 5 0 7 6 11F F F C C CF F FF F F



a)

1 1 2 01 1 2 33 3 2 11 0 1 5

−−

−

b)

1 1 2 21 1 1 22 2 2 22 2 2 2

− −− − −

c)

4 3 2 25 3 3 22 1 5 45 6 3 2

−−

− −

a) 2 2 1

1 1 2 0 1 1 2 01 1 2

1 1 2 3 0 0 0 33 3 3 2 42

3 3 2 1 3 3 2 11 0 1

1 0 1 5 1 0 1 5F F F→ −

− −−

−= = = −

−− −

b) 2 2 13 3 14 4 1

22

1 1 2 2 1 1 2 22 3 0

1 1 1 2 0 2 3 04 6 6 24

2 2 2 2 0 4 6 60 2 2

2 2 2 2 0 0 2 2F F FF F FF F F

→ −→ −→ −

− −− − − −

= = − − − =− − − − − −

− −− −

c) 1 1 32 2 34 4 3

336

4 3 2 2 2 0 17 102 17 10

5 3 3 2 1 0 12 141 12 14 1702

2 1 5 4 2 1 5 417 27 26

5 6 3 2 17 0 27 26F F FF F FF F F

→ −→ −→ −

− − − −− − −

− − − −= = − − − − =

− − −− − − − −

16. Calcula el valor de k para que se cumpla: =

2 3 1 11 1 3 3

114 4 1 11 1 2 k

1 1 23 3 24 4 2

24

2 3 1 1 0 1 5 51 5 5

1 1 3 3 1 1 3 3 11 110 11 11 11 22

4 4 1 1 0 0 11 11 1 30 1 3

1 1 2 0 0 1 3F F FF F FF F F

kk

kk k

→ −→ −→ −

− −− −

− −= = − − − = − = −

− − − −− −

− −

Por tanto, tenemos 11 22 11 3k k− = ⇒ = .

17. Halla el valor de los siguientes determinantes haciendo previamente ceros.

a) + + ++ + ++ + +

5 8 116 9 127 10 13

x x xx x xx x x

b) 2

2 3

2 3 4

1 b ab a aa a a

a) 2 2 1 3 3 23 3 1

2

5 8 11 5 8 11 5 8 116 9 12 1 1 1 1 1 1 07 10 13 2 2 2 0 0 0

F F F F F FF F F

x x x x x x x x xx x xx x x

→ − → −→ −

+ + + + + + + + ++ + + = = =+ + +

b) ( ) ( ) ( )3 3 2 2 2 1

2 22 2

22 3 2 2 2 2 22 3 2

2 3 4 2 3

1 10

00C C aC C C aC

b a b a abb a b a abb a a b a a ab a ab a a aba a aa a a a a

→ − → −

−−

= = − = − = − − =

( ) ( )2 22 4a a a b a a b= − − = − −


18. Transforma los siguientes determinantes en sus equivalentes triangulares y calcula su valor.

a)

2

2

2

1 2 21 3 31 4 4

b) x x x

x y x xx x z x+

+

a) 2 2 1 3 3 23 3 1

2

2

22

1 2 2 1 2 4 1 2 4 1 2 41 3 3 1 3 9 0 1 5 0 1 5 21 4 4 1 4 16 0 2 12 0 0 2

F F F F F FF F F→ − → −→ −

= = = =

b) 2 2 1 3 3 23 3 1

Transponiendo0 00 0 0 0

F F F F F FF F F

x x x x x y x x x y x x x y xx y x x x x x z y z y z xyz

x x z x x x x y z→ − → −→ −

+ + ++ = + = − = − =

+ − −




− =

2 1 32 1 50 2 1

A 1 3 2 02 6 4 01 3 2 1

B− = − − − −

4 0 rg( ) 3A A= − ≠ ⇒ =

2 11 3 2 0

2 rg( ) rg1 3 2 1

F F B− = − ⇒ = − −

. Como 2 0

2 02 1

= − ≠−

, rg( ) 2B = .

23. Estudia el rango de la matriz según los diferentes valores del parámetro λ .

1 1 10 2 10 1 1

Aλ

λ+

= +

( ) ( ) ( ) ( )21 2 1 1A = λ + λ + − λ + = λ + , por tanto, el único menor de orden 3 se anula si 1λ = − .

Así, si 1λ ≠ − tenemos rg( ) 3A = y si 1λ = − tenemos 0 1 1 1

rg( ) rg 0 1 1 rg 1 10 1 1 1

A = = =

.




− − − = = = −

12 1 1 1 221 0 2 2 1 3

A B C

Inversa de A: 1 0A A= − ≠ ⇒ es invertible, ( ) 0 1Adj

1 2A

− = − − y ( )( )1 0 1 0 11 1Adj

1 2 1 21tA A

A− − = = = − −−

.

Inversa de B: 4 0B B= ≠ ⇒ es invertible, ( ) 2 2Adj

1 1B

− =

y ( )( )1

1 12 11 1 2 4Adj2 1 1 14

2 4

tB BB

−

= = = − −

.

Inversa de C: 1 02

C C= ≠ ⇒ es invertible, ( )3 1

Adj 122

C− − =

y ( )( )13 2 6 41 1Adj 11 2 11

22

tC CC

−

− − = = = −−

.


1 2 2 1 1 11 1 1 1 1 00 2 5 2 1 1

A B− −

= = − − −

Inversa de A: = ≠ ⇒1 0A A es invertible, ( )− −

= − − −

7 5 2Adj 6 5 2

4 3 1A y ( )1

7 6 41 Adj( ) 5 5 3

2 2 1

tA AA

−

− = = − − − −

Inversa de B: 3 0B B= − ≠ ⇒ es invertible, ( )1 1 3

Adj 0 3 31 1 0

B− − − = − − − −

y

( )1

1 101 0 1 3 31 1Adj(B) 1 3 1 1 113 3 3 0 3 31 1 0

tBB

−

− − = = − − − = − − −

28. Calcula los valores de a para los cuales la matriz − = − −

21 1

aA

a posee inversa y halla dicha matriz inversa

para 2a = − . La matriz A tiene inversa si 0A ≠ :

( )= ⇒ − − = ⇒ − + + = ⇒ = − =20 2 1 0 2 0 1, 2A a a a a a a

Por tanto, si ≠ −1a y 2a ≠ , la matriz A tiene inversa.

Para 2a = − tenemos 2 23 1

A− − = − −

y ( )( )1

1 11 31 1 4 2Adj2 2 3 14

4 2

ttA A

A−

− − = = = −− −

.

29. Halla los valores de k para los cuales no posee inversa la matriz = − − − −

1 21 1 12 2 1

kA k

k.

La matriz A tiene inversa si 0A ≠ :

( ) ( ) ( ) ( ) 2 30 1 2 4 1 2 2 2 1 0 2 9 9 0 3,2

A k k k k k k k k k k= ⇒ − + − − − − − + + − = ⇒ − + = ⇒ = =

Por tanto, la matriz A no tiene inversa si 3k = o 32

k = .



32. Suponiendo que, en cada caso, todas las matrices que aparecen son cuadradas del mismo orden y que las matrices A y B poseen inversa, despeja la matriz X en las siguientes expresiones.

a) XA AB= c) XA AB C+ = e) 2AXB A= g) XAB AB BA+ =

b) AX AB= d) AXA B= f) ( )tt tXA B AB+ = h) AXB AB BA+ =

a) 1XA AB X ABA−= ⇒ =

b) 1AX AB X A AB B−= ⇒ = =

c) ( ) 1XA AB C XA C AB X C AB A−+ = ⇒ = − ⇒ = −

d) 1 1AXA B X A BA− −= ⇒ =

e) 2 1 2 1 1AXB A X A A B AB− − −= ⇒ = =

f) ( ) ( ) ( ) ( ) 1t t tt t t t t tXA B AB XA AB B X AB B A− + = ⇒ = − ⇒ = −

g) ( ) ( ) 1 1XAB AB BA XAB BA AB X BA AB B A− −+ = ⇒ = − ⇒ = −

h) ( )1 1AXB AB BA AXB BA AB X A BA AB B− −+ = ⇒ = − ⇒ = −

33. Halla todas las matrices X tales que 1 0 1 01 0 1 0

X X− = −

.

2

01 0 1 0 0 0

01 0 1 0 0

0

b aa

a b a b a b a b a b bX b

c d c d c d c d a b c a dc d

b

= =− − − − = = ⇒ = ⇒ = ⇒ ⇒ = − − = + = =


Xc c =

para algún c ∈ .

34. Calcula la matriz X tal que − =3 4XA B C , siendo:

2 1 1 2 1 01 3 1 3 3 4

A B C− − = = = − −

Si A tiene inversa tendremos ( ) 13 4 4 3 4 3XA B C XA C B X C B A−− = ⇒ = + ⇒ = + .

Como 7 0A = − ≠ , existe ( )( )1

3 13 11 1 7 7Adj1 2 1 27

7 7

ttA A

A−

− − = = = − −−

, por tanto:

( ) 1

3 1 27 57 6 7 74 3 7 715 25 1 2 10 57 7

X C B A−

− − − − = + = = − − −




EJERCICIOS

Determinantes de orden 2 y 3


a) 1 23 4

c) 2 33 8− −

− e)

3 2

4 4

2 22 2

−

−

b) 1 36 7−

d) 1 25 8

− f) 2

4 5

a aa a

a) 1 22

3 4= − c) 2 3

253 8− −

=−

e) 3 2

1 24 4

2 2 1 72 2 42 2 2 2

−−

−= − = − = −

b) 1 325

6 7−

= − d) 1 218

5 8−

= f) 2

6 64 5

0a a a aa a

= − =


a) 1 2 34 5 67 8 9

c) 1 3 05 7 12 4 6

−− e)

2 2 31 0 42 3 5

−−−

g) 2

22

a aa aa a

b) 1 2 34 5 67 8 9

− −−

− − d)

1 5 83 5 9

10 10 19

−−

− f)

00 1

1

a ab

a a b+ h)

0 log2 log4log2 log4 log8log4 log8 log16

a) 1 2 34 5 6 45 96 84 105 48 72 07 8 9

= + + − − − =

b) 1 2 34 5 6 45 96 84 105 48 72 07 8 9

− −− = − − − + + + =

− −

c) 1 3 05 7 1 42 6 4 90 582 4 6

−− = − − − = −

d) 1 5 83 5 9 95 240 450 400 90 285 330

10 10 19

−− = − + + − − =

−

e) 2 2 31 0 4 9 16 24 10 212 3 5

−− = − − + = −−

f) ( ) 2 2

00 1

1

a ab ab a b a b a ab a

a a b= + − − = −

+

g) 3 3 2 2 2 3 2

22 8 2 2 2 2 6 8

2

a aa a a a a a a a aa a

= + + − − − = − +

h)

2

2 3 3 3 3 3

2 3 4

0 log2 log4 0 log2 log2 0 log2 2log2log2 log4 log8 log2 log2 log2 log2 2log2 3log2 6log 2 6log 2 8log 2 4log 2 0log4 log8 log16 log2 log2 log2 2log2 3log2 4log2

= = = + − − =


50. Calcula el valor de las expresiones siguientes.

a) 5 8 5 8 5 53 4 5

4 2 3 2 3 4− +

− − b)

2 1 0 0 1 21 2 3 1 3 2 2 32 1 1 2 3 4 5

− −− − −− −

a) ( ) ( )5 8 5 8 5 53 4 5 3 42 4 34 5 5 35

4 2 3 2 3 4− + = ⋅ − − ⋅ − + ⋅ =

− −

b) 2 1 0 0 1 2

1 1 52 3 1 3 2 2 3 13 3 32 2 21 1 2 3 4 5

− −− − − = ⋅ − ⋅ = −− −


a) 1 30

2x−

= b) 1 32

4 4 x=

− c) 3

202 8

xx x

−= −

− d) 2 3

05 11

xx x

−=

− +

a) 1 3 20 2 3 02 3

x xx−

= ⇒ − − = ⇒ = −

b) 1 32 4 12 2 10

4 4x x

x= ⇒ − − = ⇒ = −

−

c) 2 23 520 8 6 20 8 6 20 0 2,2 8 4

xx x x x x x

x x−

= − ⇒ − + = − ⇒ − + + = ⇒ = = −−

d) ( ) ( ) ( ) 22 30 2 11 3 5 0 6 7 0 1, 7

5 11x

x x x x x x xx x

−= ⇒ − + − − = ⇒ − − + = ⇒ = = −

− +


a) 1 02 5 6 01 1 1

x−− = c)

3 13 1 30

1 1 2

xx

x

−=

+ − −

b) 2 3

4 5 6 481 2 3

x x x− =

− −

d) 1 2

2 2 2 61 2 3

x x xx x+ +

− − + = −

a) 1 0

12 5 6 0 5 2 5 6 071 1 1

xx x x

−− = ⇒ − − − + = ⇒ =

b) 2 3

4 5 6 48 15 24 12 15 12 24 48 21 2 3

x x xx x x x x x x− = ⇒ + − − − + = ⇒ =

− −

c) 2 2 2

3 13 1 30 2 3 3 3 18 30 5 6 0 2, 3

1 1 2


x

−= ⇒ − + + + + + + + = ⇒ − + − = ⇒ = =

+ − −

d) 2 2 2

1 22 2 2 6 3 4 8 2 2 2 4 6 6 2 6 2 4 2 0 11 2 3

x x xx x x x x x x x x x x x x+ +

− − + = − ⇒ − − − − − − + + + + = − ⇒ + + = ⇒ = −


53. Resuelve las ecuaciones siguientes.

a) 3 1 3 1

1 2 5 5 1 52 1 1 1 0

x xx

x

− −+ =

− b)

2 32 0 180 3

xx

x

−=

−

a) 2 2 2

3 1 3 171 2 5 5 1 5 2 30 4 5 3 5 1 3 5 4 6 28 0 2,22 1 1 1 0

x xx x x x x x x x x x

x

− −+ = ⇒ − − + + − + − + + − = ⇒ − − + = ⇒ = = −

−

b) 3 3

2 32 0 18 18 4 18 4 0 0, 2, 20 3

xx x x x x x x x

x

−= ⇒ + − = ⇒ − = ⇒ = = = −

−

Propiedades de los determinantes


1 33 4 2 1 1 02 0 2 2 2 30 1

A B

− − = = − −

a) Calcula los productos AB y BA.

b) Calcula el valor de los determinantes AB y BA y comprueba si son iguales.

a)

4 7 7 914 5 5 12

4 2 2 02 2 2 3

AB

− − = − − − −

y 3 20 11

BA− =

.

b) 2 1

4 7 7 914 5 5 12

04 2 2 02 2 2 3

C CAB

=−

−−

= =−

− − −

y 3 2

330 11

BA−

= = − no son iguales.


− = − = − − −

1 2 2 1 5 00 1 0 2 5 02 2 4 0 1 1

A B

a) Calcula los productos AB y BA.

b) Calcula el valor de los determinantes AB y BA y comprueba si son iguales.

a) 5 7 22 5 06 4 4

AB− − = − −

y 1 3 22 9 42 1 4

BA− −

= − − − −

.

b) 5 7 22 5 0 1206 4 4

AB− −

= − = −−

y 1 3 22 9 4 1202 1 4

BA− −

= − − = −− −

son iguales.


56. Calcula el valor de los siguientes determinantes sabiendo que:

= −2x ya b

a) ++

22

x x ya a b

b) a xb y

c) 10 10010 100

a xb y

d) 3 3a bx y− −

a) Propiedad 9 Propiedad 2

2 22

2 2x x y x x x ya a b a a a b

+= + = −

+

b) Propiedad 5 Propiedad 7

2a x x a x yb y y b a b

= − = − =

c) Propiedad 6 Propiedad 5 Propiedad 7

10 1001000 1000 1000 2000

10 100a x a x x a x yb y b y y b a b

= = − = − =

d) Propiedad 6 Propiedad 5

3 33 3 6

a b a b x yx y x y a b

= − = = −− −

57. Calcula el valor de los siguientes determinantes sabiendo que:

= 6a b cx y zp q r

a)

2 2 2

2 2 24 4 4

x y za b c

p q r

c) x p ay q bz r c

b) 2 2 2a b c

x a y b z ca x p b y q c z r

+ + ++ + + + + +

d) 222

a x x p pb y y q qc z z r r

+ ++ ++ +

a) Propiedad 6 Propiedad 5

2 2 2

4 4 242 2 2

4 4 4

x y z x y z a b ca b c a b c x y z

p q r p q rp q r

= = − = −

b) 2 2 1 3 3 23 3 1

22 2 2 6

F F F F F FF F F

a b c a b c a b cx a y b z c x y z x y z

a x p b y q c z r x p y q z r p q r→ − → −→ −

+ + + = = =+ + + + + + + + +

c) Propiedad 7 Propiedad 5 Propiedad 5

6x p a x y z a b c a b cy q b p q r p q r x y zz r c a b c x y z p q r

= = − = =

d) 2 2 3 1 1 2Propiedad 6 Propiedad 7

22 2 2 2 2 122

C C C C C C

a x x p p a x x p p a x x p a x p a b cb y y q q b y y q q b y y q b y q x y zc z z r r c z z r r c z z r c z r p q r

→ − → −

+ + + + ++ + = + + = + = = =+ + + + +


58. Sabiendo que = −3a b cx y zr s t

, calcula el valor de los determinantes siguientes.

a) 2 2 23 3 3a b cx y zr s t

− − −− − −

b) 2 2 2r s ta b c

x a y b z c− − −

a) Propiedad 6

2 2 23 3 3 6 18a b c a b cx y z x y zr s t r s t

− − − = = −− − −

b) 3 3 2Propiedad 6 Propiedad 5 Propiedad 5

2 2 22 2 2 2 6

F F F

r s t r s t r s t a b c a b ca b c a b c a b c r s t x y z

x a y b z c x a y b z c x y z x y z r s t→ +

= = = − = = −− − − − − −

59. Se sabe que = −3 3 3 51 2 3

m n p. Calcula el valor de los determinantes:

a) + + +1 1 1

1 2 3

m n p

m n p b)

1 1 1

1 2 3

m n pm n p

m n p

+ + +

− − −

a) 3 3 1 Propiedad 6

1 51 1 1 1 1 1 3 3 33 31 2 3 1 2 3 1 2 3

F F F

m n p m n p m n p

m n p→ −= = = −

+ + +

b) 1 2 2 2 1

3 3 1

Propiedad 6

1 1 11 51 1 1 1 1 1 3 3 33 31 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

F F F F FF F F

m n p m n p m n p m n pm n p m n p

m n p m n p↔ → −

→ −

+ + += − + + + = − = = −

− − − − − − − − −

60. Calcula el valor de siguiente suma de determinantes sin desarrollar previamente cada determinante por separado.

− −− + − −− −

2 4 2 2 4 23 4 1 2 4 50 4 5 0 4 5

− − − −− + − − = − − − + = = −− − − −

Propiedad 9

2 4 2 2 4 2 2 4 2 2 4 23 4 1 2 4 5 3 2 4 4 1 5 1 0 4 200 4 5 0 4 5 0 4 5 0 4 5

61. Prueba, sin necesidad de desarrollar, que el valor del siguiente determinante es nulo.

1 3 5 79 11 13 15

17 19 21 2325 27 29 31

Las filas del determinante son linealmente dependientes, ya que = − + +4 1 2 3F F F F , por tanto, el determinante es nulo.


62. Calcula el valor de la suma de determinantes:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ + +

+ + + + + + ++ + + + + +

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2

a b x y p q ab xy pqa b x y p q a b x y p qa b x y p q a b x y p q

Aplicando la propiedad 9 tenemos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

02 2 2 2 2 2 2 2 2

F F

a b x y p q ab xy pq a b ab x y xy p q pq

a b x y p q a b x y p q a b x y p qa b x y p q a b x y p q a b x y p q

=

+ + + + + + + + +

+ + + + + + + = + + + =+ + + + + + + + +

Cálculo de determinantes

63. Desarrolla el siguiente determinante por los elementos de su tercera columna y calcula su valor.

− −−

− −

1 0 2 31 2 3 11 1 0 12 2 0 4

1 0 2 3

1 2 1 1 0 31 2 3 1

2 1 1 1 3 1 1 1 12 54 421 1 0 1

2 2 4 2 2 42 2 0 4

−− −

= − + − = − = −−

− − − −− −

64. Desarrolla los siguientes determinantes por los elementos de la fila o columna que más ceros posea y calcula su valor.

a)

0 1 6 02 0 5 43 3 0 42 5 1 2

b)

1 2 0 34 3 1 21 2 0 23 2 3 1

− −− −−

a) Desarrollando por los elementos de la primera fila:

( )

0 1 6 02 5 4 2 0 4

2 0 5 41 3 0 4 6 3 3 4 14 48 34

3 3 0 42 1 2 2 5 2

2 5 1 2

= − + = − + =

b) Desarrollando por los elementos de la tercera columna:

1 2 0 31 2 3 1 2 3

4 3 1 21 2 2 3 4 3 2 8 15 23

1 2 0 23 2 1 1 2 2

3 2 3 1

− −− − − −

− −= − − − = − − = −

−−


65. Haz ceros en una de las filas o columnas de los siguientes determinantes y calcula su valor.

a)

1 2 3 02 1 2 21 1 1 02 2 1 4

−−

−−

b)

1 1 0 20 1 5 23 2 2 11 1 2 2

−

−

c)

1 2 2 12 1 1 21 1 2 13 1 1 2

−−

−−

d)

1 3 5 73 5 7 95 7 9 117 9 11 13

a) 4 4 22

1 2 3 0 1 2 3 01 2 3

2 1 2 2 2 1 2 22 1 1 1 10

1 1 1 0 1 1 1 02 4 5

2 2 1 4 2 4 5 0F F F→ −

− −−

− −= = − = −

− −− −

− − −

b) 2 2 14 4 12

1 1 0 2 1 0 0 01 5 2

0 1 5 2 0 1 5 21 2 7 18

3 2 2 1 3 1 2 70 2 0

1 1 2 2 1 0 2 0C C CC C C

→ −→ +

−

= = − = −−

−

c) 4 4 2

1 2 2 1 1 2 2 12 2 1

2 1 1 2 2 1 1 21 1 2 9

1 1 2 1 1 1 2 11 2 1

3 1 1 2 1 0 0 0F F F→ −

− −−

− −= = − − = −

− −−

−

d) 2 2 1 4 4 24 4 3

1 3 5 7 1 3 5 7 1 3 5 73 5 7 9 2 2 2 2 2 2 2 2

05 7 9 11 5 7 9 11 5 7 9 117 9 11 13 2 2 2 2 0 0 0 0

F F F F F FF F F→ − → −→ −

= = =

66. Calcula los siguientes determinantes por el método de Gauss.

a) 1 2 32 3 14 2 3

−− b)

1 1 21 2 11 2 a

−− −

−

a) 2 2 1 3 3 23 3 1

2 104

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 32 3 1 0 7 7 7 0 1 1 7 0 1 1 74 2 3 0 10 9 0 10 9 0 0 1

F F F F F FF F F→ − → −→ −

− − − −− = − = − = − =

− −

b) 2 2 1 3 3 23 3 1

1 1 2 1 1 2 1 1 21 2 1 0 1 3 0 1 3 11 2 0 1 2 0 0 1

F F F F F FF F F

aa a a

→ − → +→ +

− − −− − = − − = − − = −

− + −

67. Transforma el siguiente determinante para que la primera fila tenga dos ceros y calcula su valor.

+ + ++ + +

1 2 34 5 6

a a aa a aa a a

2 2 13 3 1

0 01 2

1 2 3 1 1 2 01 2

4 5 6 4 1 2C C CC C C

a a a aa a a a aa a a a

→ −→ −

+ + + = + = =+ + + +


68. Calcula los siguientes determinantes de orden 4por el método de Gauss.

a)

1 1 3 22 2 3 21 3 1 21 1 3 2

−−

− b)

1 2 1 10 2 2 23 3 2 11 1 2 2

−

−− −

c)

1 2 3 42 3 4 13 4 1 24 1 2 3

d)

1 0 0 11 0 0 10 1 0 12 2 2 2

−− −

−

a) 2 2 1 2 4 3 43 3 14 4 1

2

1 1 3 2 1 1 3 2 1 2 3 1 1 2 1 32 2 3 2 0 0 3 2 0 2 3 0 0 2 0 3

481 3 1 2 0 4 4 0 0 0 4 4 0 0 4 41 1 3 2 0 0 6 0 0 0 6 0 0 0 0 6

F F F C C C CF F FF F F

→ − ↔ ↔→ −→ −

− − − −− − − −

= = − = =− − − −

b) 3 3 1 3 3 2 4 4 34 4 1 4 4 2

13 93 2

1 2 1 11 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 10 1 1 10 2 2 2 0 2 2 2 0 1 1 1 0 1 1 1

2 2 2 720 0 8 133 3 2 1 0 9 1 4 0 9 1 4 0 0 8 1391 1 2 2 0 3 1 1 0 3 1 1 0 0 4 2 0 0 02

F F F F F F F F FF F F F F F→ − → + → −→ − → +

−− − − −

= = = = = −− − − − −− − − − − − −

c) 2 2 1 3 3 2 4 4 33 3 1 4 4 24 4 1

2 23 74

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 42 3 4 1 0 1 2 7 0 1 2 7 0 1 2 7

1603 4 1 2 0 2 8 10 0 0 4 4 0 0 4 44 1 2 3 0 7 10 13 0 0 4 36 0 0 0 40

F F F F F F F F FF F F F F FF F F

→ − → − → +→ − → −→ −

− − − − − − − − −= = = =

− − − − −− − −

d) 2 2 1 2 3 4 4 2 3 44 4 1

22

1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 11 0 0 1 0 0 0 2 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

40 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 2 62 2 2 2 0 2 2 4 0 2 2 4 0 0 2 6 0 0 0 2

F F F F F F F F F FF F F→ + ↔ → + ↔→ −

− − − − −− − − − − −

= = − = − = =− − − −

−

Rango de una matriz

69. Dada la matriz:

− − − = − − −

3 4 4 2 65 0 2 1 32 2 5 4 21 1 2 2 3

A

a) Escribe todos los menores de orden 3 a partir del menor de orden 2 determinado por las filas 1.ª y 3.ª y las columnas 2.ª y 4.ª

b) Escribe todos los menores de orden 4 a partir del menor de orden 3 determinado por las filas 1.ª, 2.ª y 3.ª, y las columnas 2.ª, 3.ª y 4.ª

a) El menor de orden 2 indicado es −4 22 4

. Los menores de orden 3 construidos a partir de este menor son:

3 4 25 0 12 2 4

−−

−,

4 4 20 2 12 5 4

−−

, 4 2 60 1 32 4 2

−−

−,

3 4 22 2 41 1 2

−−− −

, 4 4 22 5 41 2 2

−− −

y 4 2 62 4 21 2 3

−−− −

b) El menor de orden 3 indicado es 4 4 20 2 12 5 4

−−

. Los menores de orden 4 construidos a partir de este menor son:

3 4 4 25 0 2 12 2 5 41 1 2 2

−−

−− −

y

4 4 2 60 2 1 32 5 4 21 2 2 3

−−

−− −



a)

223113

A

= − −

c) 1 3 22 4 02 2 2

A− =

e) 1 2 1 23 0 1 14 2 0 5

A− −

= − −

g)

2 3 0 1 21 2 3 2 13 1 3 1 35 4 3 0 5

A

− − − = − − − −

b) 1 2 34 2 1

0,5 1 1,5A

− = − −

d) 1 3 22 4 07 1 6

A− = − −

f) 1 2 3 41 0 1 03 4 1 8

A = − − − − −

h)

1 2 3 05 4 3 42 1 0 2

10 8 6 8

A

− − − = − − −

a) 0 rg( ) 1A A= ⇒ = .

b) 0 rg(A) 2A = ⇒ ≤ . Como 1 2

6 0 rg( ) 24 2

A= − ≠ ⇒ = .

c) 28 0 rg( ) 3A A= − ≠ ⇒ = .

d) 0 rg(A) 2A = ⇒ ≤ . Como 1 3

10 0 rg( ) 22 4

A−

= − ≠ ⇒ = .

e) Como 1 2

6 0 rg( ) 23 0

A−

= ≠ ⇒ ≥ . Ampliando este menor de orden 2 añadiendo la cuarta columna y la tercera

fila obtenemos 1 2 23 0 1 36 04 2 5

− −= ≠

−, luego rg( ) 3A = .

f) Como 1 2

2 0 rg( ) 21 0

A= ≠ ⇒ ≥−

. Los dos menores de orden 3 que se obtienen ampliando este menor de

orden 2 son:

1 2 31 0 1 03 4 1− − =

− − y

1 2 41 0 0 03 4 8− =

− −,

Por tanto, rg( ) 2A = .

g) 3 1 2 1 5

2 3 0 1, rg( ) rg 1 2 3 2

5 4 3 0F F F C C A

− − = + = ⇒ = − − −

. Como 2 3

7 0 rg( ) 21 2

A−

= ≠ ⇒ ≥ . Los menores de orden 3

que se obtienen ampliando este menor de orden dos son:

2 3 01 2 3 05 4 3

−− =

− − y

2 3 11 2 2 05 4 0

− −=

−,


h) Como 1 2

6 0 rg( ) 25 4

A−

= − ≠ ⇒ ≥−

. Los menores de orden 3 que se obtienen ampliando este menor de

orden dos son:

1 2 35 4 3 02 1 0

−− − =−

, 1 2 05 4 4 02 1 2

−− =−

, 1 2 35 4 3 0

10 8 6

−− − =

− y

1 2 05 4 4 0

10 8 8

−− =

− −,



71. Estudia, en cada caso, según los valores del parámetro a, el rango de las matrices:

a) 1 23 1 3

1

aA

a a

− = −

b) 2 14 16 3

aA a

a

− = − −

a) 2 2 2 50 1 6 3 3 6 0 4 9 5 0 1,4

A a a a a a a a a= ⇒ − − + + − + = ⇒ − + = ⇒ = =

Si 1a ≠ y 54

a ≠ tenemos 0A ≠ , por tanto, rg( ) 3A = .

Si 1a = tenemos 1 2 13 1 31 1 1

A−

= −

, con 0A = y 1 2

5 03 1

−= ≠

−, por tanto, rg( ) 2A = .

Si 54

a = tenemos

51 24

3 1 35 5 14 4

A

−

= −

, con 0A = y 1 2

5 03 1

−= ≠


b) 2 2 20 2 6 12 6 6 4 0 8 16 0 0, 2A a a a a a a a a= ⇒ − + + + + = ⇒ + = ⇒ = = −

Si 0a ≠ y 2a ≠ − tenemos 0A ≠ , por tanto, rg( ) 3A = .

Si 0a = tenemos 2 1 0

4 0 16 3 0

A− = −

, con 0A = y 2 1

4 04 0−

= − ≠ , por tanto, rg( ) 2A = .

Si 2a = − tenemos 2 1 24 2 16 3 2

A− − = − −

, con 0A = y 1 2

3 02 1

−= − ≠


72. Estudia, según los valores del parámetro a, el rango de la matriz:

− = − + − +

2 1 23 2 25 1 1

aA a

a

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= ⇒ − + + − − + + − − + + = ⇒ + + + = ⇒ = −3 20 2 2 1 10 6 10 2 2 2 3 1 0 7 7 0 1A a a a a a a a a a a

Si ≠ −1a tenemos 0A ≠ , por tanto, rg( ) 3A = .

Si = −1a tenemos − = − −

3 1 23 1 25 1 0

A , con 0A ≠ y 1 1

2 02 0

= − ≠ , por tanto, rg( ) 2A = .


73. Estudia, según los valores de los parámetros a y b, el rango:

+ = + +

a b a aA a a b a

a a a b

( ) ( )1 1 2 3 2 2 1

3 3 1

3 1 13 3 1 3 0 03 1 0 0

C C C C F F FF F F

a b a a a b a a a a a aA a a b a a b a b a a b a b a a b b

a a a b a b a a b a a b b→ + + → −

→ −

+ += + = + + = + + = + =

+ + + +

( ) 23a b b= + , con lo que ( ) 20 3 0 0, 3A a b b b b a= ⇒ + = ⇒ = = − .

Si 0b ≠ y 3b a≠ − tenemos 0A ≠ , por tanto, rg( ) 3A = .

Si 0b = tenemos 1 si 0

rg( ) rg0 si 0

a a aa

A a a aa

a a a

≠ = = =

Si 3b a= − tenemos 22 2

2 si 0, ya que 3 0 en este casorg( ) rg 2 2

2 0 si 0

a a a a aa a

A a a a a aa a a a

− − ≠ = ≠ = − = − − =

Matriz inversa

74. Calcula las matrices adjuntas de las siguientes y halla, para cada caso, ( )Adj( ) tA A .

a) − =

3 45 2

A b) 2 3 11 0 22 2 0

A− = − −

c) 4 5 11 0 11 5 6

A− =

a) 2 5Adj( )

4 3A

− = − −

3 4 2 4 26 0

(Adj( ))5 2 5 3 0 26

tA A− − − = = − − −

b) 4 4 2

Adj(A) 2 2 26 3 3

− − − = − − − − −

2 3 1 4 2 6 6 0 0

(Adj( )) 1 0 2 4 2 3 0 6 02 2 0 2 2 3 0 0 6

tA A− − − − − = − − − − = − − − − −

c) 5 5 5

Adj( ) 25 25 255 5 5

A− −

= − − −

4 5 1 5 25 5 0 0 0

(Adj( )) 1 0 1 5 25 5 0 0 01 5 6 5 25 5 0 0 0

tA A− − − = − − = −

Nota: Observemos que, en cada caso, ( )Adj( ) tA A A I= .



a) 1 32 7

A− = −

b) 0 31 5

B− =

c)

1 32 41 22

C

− = −

d) 1 0 32 1 11 2 1

D− = − −

a) 1 0A A= − ≠ ⇒ es invertible y ( )( )1 7 2 7 31 1Adj3 1 2 11

ttA A

A− − − − = = = −−

.

b) 3 0B B= ≠ ⇒ es invertible y ( )( )1

5 15 11 1 3Adj3 0 13 0

3

ttB B

B−

− = = = −

.

c) 5 08

C C= ≠ ⇒ es invertible y ( )( )1

16 6121 1 5 52Adj 5 3 1 4 48 4 2 5 5

t

tC CC

−

= = =

.

d) 18 0D D= ≠ ⇒ es invertible y ( )1

1 1 16 3 63 1 5

1 1 1 2 7Adj( ) 6 4 218 18 9 183 7 1 5 1 1

18 9 18

t

tD DD

−

− − − = = = − −

−

.


a) 1 1 32 1 12 2 13

A−

= − −

b) 4 1 00 1 21 1 2

B−

= −

a) 1 0A A= ≠ ⇒ es invertible y ( )1

11 28 6 11 7 21 Adj( ) 7 19 4 28 19 5

2 5 1 6 4 1

t

tA AA

−

− = = − − − = − −

.

b) 2 0B B= ≠ ⇒ es invertible y ( )1

0 1 10 2 11 1 1 4 4Adj( ) 2 8 3

2 1 32 8 4 22 2

t

tB BB

−

− − − − = = − = − − −

.

77. Calcula la matriz inversa de: − −

− = − − − −

1 1 1 21 1 0 11 3 2 41 2 1 3

A

2 2 13 3 14 4 1

1 1 1 2 1 1 1 22 1 1

1 1 0 1 0 2 1 12 1 2 1 0

1 3 2 4 0 2 1 21 0 1

1 2 1 3 0 1 0 1F F FF F FF F F

A A→ +→ +→ −

− − − −− −

− − −= = = − = − ≠ ⇒− − −

−− − −

es invertible y

( )1

3 1 1 2 3 1 2 11 1 0 1 1 1 1 11 1Adj( )2 1 1 1 1 0 1 211 1 2 0 2 1 1 0

t

tA AA

−

− − − − − − − − − = = = − −− − − −

.


78. Calcula, en función de a, las matrices inversas de:

a) + =

1 11

aA

a b)

1 01 0 11 1

aB

a

= −

a) 1 1 0A a a A= + − = ≠ ⇒ es invertible para cualquier valor de a y

( )( )1 1 1 11 Adj1 1 1

tt a

A Aa a aA

− − − = = = − + − + .

b) 1 1 0B a a B= + − = ≠ ⇒ es invertible para cualquier valor de a y

( )1 2 2

1 1 1 1 11 Adj( ) 1 1

1 1 1 1 1

t

ta a

B B a a a a a aB a a

−

− − − = = − + = − − − − − + −

.

Ecuaciones matriciales

79. Resuelve la siguiente ecuación matricial.

− − − = − − −

1 12 4 2 32 6 71 3 1 1 0

6X

Si la matriz 2 41 3

A− = −

tiene inversa tendremos:

11 1 2 3 2 12 2 12

6 27 1 1 2 9 2 906

AX X A−

− − − = + = ⇒ = − − −−

Como 2 0A = ≠ , existe ( )( )1

3 23 11 1 2Adj4 2 12 1

2

ttA A

A−

= = =

y, por tanto:

1

3 22 12 2 12 1 022 9 1 2 9 1 31

2

X A−

− − = = = − − −

80. Resuelve la ecuación matricial siguiente.

( )−

− = − −

1 1 00 1 1 1 0 21 0 2

X

Si la matriz 1 1 00 1 11 0 2

A−

= − −

tiene inversa tendremos ( ) 11 0 2X A−= − . Como 1 0A = ≠ , existe

( )( )1

2 1 1 2 2 11 Adj 2 2 1 1 2 1

1 1 1 1 1 1

t

tA AA

−

= = =

y, por tanto:

( ) ( ) ( )1

2 2 11 0 2 1 0 2 1 2 1 0 0 1

1 1 1X A−

= − = − = −

.



− − = = = − − −

2 3 1 3 1 54 6 2 2 2 2

A B C

Resuelve la ecuación matricial − =AX B C .

Si la matriz A tiene inversa tendremos ( )1AX B C X A B C−= + ⇒ = + .

Como 0A = , no existe 1A− , por tanto, usaremos el método directo para calcular X.

Pongamos a b

Xc d =

, tenemos:

2 3 02 3 0 2 2 3 2 3 0 2 4 6 04 6 0 4 4 6 4 6 0 4 2 3 2

4 6 4

a ca b a c b d a c

AX B C AX B Cc d a c b d b d

b d

+ =− + + − + = − = ⇒ = + ⇒ = ⇒ = ⇒ ⇒ − + + − + = − + = −

3 313 3, 1 2 22 2c da c b d Xc d

− − − ⇒ = − = − − ⇒ =

con ,c d ∈ .

82. Resuelve la ecuación matricial + =2AX X B , siendo:

− = −

1 2 10 2 02 1 1

A − −

= − − −

1 0 12 2 23 0 3

B

Tenemos ( )2 2AX X B A I X B+ = ⇒ + = , por tanto, si la matriz 1 2 1

2 0 4 02 1 3

C A I = + = −

tiene inversa tendremos

1X C B−= . Como 20 0C = ≠ , existe

( )( )1

3 1 15 4 512 0 8

1 1 1Adj 5 5 5 0 020 44 0 4 2 1 1

5 4 5

t

tC CC

−

− −

= = − − = − −

y, por tanto:

1

3 1 1 1 1 15 4 5 2 2 21 0 1

1 1 1 10 0 2 2 24 2 2 23 0 32 1 1 3 1 3

5 4 5 2 2 2

X C B−

− − − − − −

= = − = − − − − − −


83. Resuelve la ecuación matricial + =XA B C , siendo:

− = −

1 2 10 2 02 1 1

A = − − −

1 4 41 1 17 1 0

B = − − −

0 0 51 2 12 1 3

C

Si la matriz A tiene inversa tendremos ( ) 1XA C B X C B A−= − ⇒ = − . Como 2 0A = ≠ , existe

( )( )1

11 122 0 4

1 1 1Adj 1 1 3 0 02 22 0 2 32 1

2

t

tA AA

−

− −

= = − − = − − − −

y, por tanto:

( ) 1

11 1 1 3 021 4 11 92 1 2 0 0 6 42 29 0 3 3 15 9 122 12

X C B A−

− − − − − = − = − = − − − − − − −

84. Resuelve, sin usar el método directo, − =AX BX C , siendo:

− − = = = − −

2 3 4 5 10 21 1 2 1 1 2

A B C

Tenemos ( )AX BX C A B X C− = ⇒ − = , por tanto, si la matriz 2 21 0

D A B− − = − = −

tiene inversa tendremos

1X D C−= . Como 2 0D = − ≠ existe

( )( )10 10 11 1Adj 12 2 122

ttD D

D−

− = = = − −−

y, por tanto:

10 1 10 2 1 21 1 2 4 112

X D C−

− − − = = = − − −−



− = −

2 31 2

A − − = − − −

4 4 03 2 1

B =

1 00 1

I

a) Resuelve la ecuación AX B= .

b) Resuelve la ecuación XA B= .

c) Resuelve la ecuación ( )A I X B− = .

a) Si la matriz A tiene inversa tendremos 1X A B−= . Como 1 0A = − ≠ existe

( )( )1 2 1 2 31 1Adj3 2 1 21

ttA A

A− − − − = = = −−

y, por tanto:

1 2 3 4 4 0 1 2 31 2 3 2 1 2 0 2

X A B− − − − − = = = − − − −

b) La ecuación XA B= no puede tener solución, ya que XA debería tener 2 columnas y B tiene tres columnas.

De hecho, si despejamos 1 4 4 0 2 33 2 1 1 2

X BA− − − − = = − − − − no se puede realizar.

c) Si la matriz 1 31 3

A I− − = −

tiene inversa tendremos ( ) 1X A I B−= − . Como 0A I− = , no existe 1A− , por tanto,

usaremos el método directo para calcular X. Observemos que X tiene que tener dimensión 2 x 3, pongamos a b c

Xd e f =

, tenemos:

( ) 1 3 4 4 0 3 3 3 4 4 01 3 3 2 1 3 3 3 3 2 1

a b c a d b e c fA I X B

d e f a d b e c f− − − − − − − − − = ⇒ = ⇒ = ⇒ − − − − − − − − − −

3 4 3 4 3 0

, y3 3 3 2 3 1

a d b e c fa d b e c f− = − − = − − = ⇒ − = − − = − − = −

Estos sistemas no tienen solución, por tanto, la ecuación matricial no tiene solución.

86. Resuelve la ecuación =ABXBA C , siendo las matrices:

1 22 1

A− =

1 1

1 0B = −

21 222 14

C− = −

Si las matrices A y B tienen inversa tendremos − − − −= 1 1 1 1X B A CA B . Como 5 0A = ≠ y 1 0B = ≠ existen

( )1 1 2 1 21 1 1Adj( )2 1 2 15 5

ttA A

A− − = = = −

y ( )1 0 1 0 11 Adj( )1 1 1 1

ttB B

B− − = = = −

Por tanto:

1 1 1 1 0 1 1 2 21 2 1 2 0 1 2 1 21 2 2 11 1 11 1 2 1 22 14 2 1 1 1 1 3 22 14 1 35 5 25

X B A CA B− − − − − − − − − = = = = − − − − −

20 10 2 1 50 50 2 21 145 40 1 3 50 75 2 325 25 = = = − − −



= −

2 13 2

A − =

3 21 4

B

a) Efectúa la operación tAB .

b) Determina la matriz X tal que 2A X B+ = .

c) Halla la matriz Y tal que 69

BY =

.

a) 2 1 3 1 4 63 2 2 4 13 5

tAB = = − − −

b) ( )1 31 31 12 2 22 62 2 1 3

A X B X B A − − + = ⇒ = − = = − −

c) Si la matriz B tiene inversa tendremos 1 69

Y B− =

.

Como 14 0B = ≠ existe ( )1 4 1 4 21 1 1Adj( )2 3 1 314 14

ttB B

B− − = = = −

y, por tanto:

136 4 2 6 421 139 1 3 9 2114 142

Y B− = = = = −

Síntesis 88. Se considera la ecuación =AX B . Siendo:

2 11 00 1

A =

2 11 10 1

B = −

a) ¿Cuál debe ser la dimensión de X?

b) ¿Crees que sería correcto escribir −= 1X A B ?

c) Encuentra todas las posibles matrices X que verifiquen la ecuación.

a) X debe ser una matriz cuadrada de orden 2.

b) No es correcto, ya que al no ser cuadrada, A no tiene inversa.

c) Si a b

Xc d =

tenemos:

2 22 1 2 1 2 2 2 1

2 11 0 1 1 1 1 1, 1, 0, 1

1 10 1 0 1 0 1

0 1

a ca c b d

a b b dAX B a b a b c d

c d a bc d

c d

+ =+ + + = = ⇒ = ⇒ = ⇒ ⇒ = = = = − = = − − = = −

Luego, 1 1

.0 1

X = −


89. Considerando la ecuación =AX B y las matrices:

=

1 0 20 1 01 1 2

A 422

B− = −

a) ¿Es correcto escribir −= 1X A B ?

b) ¿Cuál debe ser la dimensión de X?

c) Calcula todas las matrices X soluciones de la ecuación. a) No es correcto, ya que = 0A y, por tanto, A no tiene inversa.

b) La dimensión de X debe ser 3 x 1.

c) Si =

aX b

c tenemos:

1 0 2 4 2 4 2 44 2

0 1 0 2 2 22

1 1 2 2 2 2 2 2

a a c a ca c

b b bb

c a b c a b c

− + − + = − = − − = ⇒ = ⇒ = ⇒ = − + + − + + = −

Las matrices del tipo 4 2

2c

Xc

− − =

con c ∈ verifican la ecuación.

90. Estudia, según los valores del parámetro a, el rango de las siguientes matrices.

= − = = = − − − +

1 1 2 1 2 1 2 1 1 13 2 3 2 4 1 2 2 2 22 5 6 9 1 4 3 3 2

a aA B a C a D a a

a a a a a

Rango de A: 0 9 27 0 3A a a= ⇒ − − = ⇒ = −

Si 3a ≠ − tenemos 0A ≠ y, por tanto, rg( ) 3A = .

Si 3a = − tenemos 1 1 23 2 32 3 5

A = − − −

con 0A = y 1 1

5 03 2

= ≠−

, por tanto, rg( ) 2A = .

Rango de B: 20 2 6 0 2 ( 3) 0 0, 3B a a a a a a= ⇒ − + = ⇒ − − = ⇒ = =

Si 0a ≠ y 3a ≠ tenemos 0B ≠ y, por tanto, rg( ) 3B = .

Si 0a = tenemos 1 2 02 4 00 6 9

B =

con 0B = y 2 4

12 00 6

= ≠ , por tanto, rg( ) 2B = .

Si 3a = tenemos 1 2 32 4 33 6 9

B =

con 0B = y 2 3

6 04 3

= − ≠ , por tanto, rg( ) 2B = .

Rango de C: 20 6 12 0C a a= ⇒ − + = sin solución, por tanto, para cualquier valor de a, 0C ≠ y rg( ) 3C = .

Rango de D: 20 4 8 4 0 1D a a a= ⇒ − + − = ⇒ =

Si 1a ≠ tenemos 0D ≠ y, por tanto, rg( ) 3D = .

Si 1a = tenemos 1 1 12 2 23 3 3

D =

con 0D = y rg( ) 1D = , ya que las tres filas de D son proporcionales.


91. Estudia, según los valores de m, el rango de la siguiente matriz.

− = − −

1 22 2 41 1 2

mA m

m

0A = para cualquier valor de m, por tanto, rg( ) 2A ≤ para cualquier valor de m.

Observemos que 1

0 1 0 11 1m

m m= ⇒ − = ⇒ = , por tanto, si 1m ≠ tenemos rg( ) 2A = y si 1m = tenemos

2 13 1

2

1 1 2rg( ) 2 2 4 1

1 1 2F FF F

A rg==

− = − = −

.

92. Estudia, según los valores de λ , el rango de las siguientes matrices.

1 1 1 1 22 3 4 2 1 1 21 4 5 1 1 2

A Bλ λ λ

λλ λ λ

− = − = −

Rango de A: Como −

= − ≠ ⇒ ≥−2 3

5 0 rg( ) 21 4

A para cualquier valor de λ .

Analicemos los menores de orden 3 a partir de este determinante de orden 2:

12 3 4 6 6 6( 1)1 4 5

λ λ− = − λ + = − λ −−

2

1 12 3 2 3( 1)1 4

λ −− = λ −− λ

Si 1λ = estos dos menores se anulan y, por tanto, rg( ) 2A = .

Si 1λ ≠ cualquiera de estos menores es no nulo y, por tanto, rg( ) 3A = .

Rango de B: 4 32

1 1rg( ) rg 1 1

1 1C C

B=

λ = λ λ

y 3

1 11 1 0 3 2 0 2, 11 1

λλ = ⇒ λ − λ + = ⇒ λ = − λ =

λ

Si 2λ ≠ − y 1λ ≠ tenemos 0B ≠ y, por tanto, rg( ) 3B = .

Si 2λ = − tenemos 2 1 1

rg( ) rg 1 2 1 21 1 2

B− = − = −

ya que 2 1

3 01 2

−= ≠

−.

Si 1λ = tenemos 1 1 1

rg( ) rg 1 1 1 11 1 1

B = =

.

93. Estudia, según los valores de k, el rango de la matriz:

− = +

1 0 10 1 11 1 21 0 0

kA

k

El menor de orden 3 1 0 10 1 1 11 0 0

k− = − para cualquier valor de k, por tanto, rg( ) 3A = para cualquier valor de k.


94. a) Determina para que valores de λ tiene inversa la matriz:

1 11 4

A− − − λ = − − λ −

b) Calcula la expresión de dicha matriz inversa para 4λ = .

c) Para dicho valor, resuelve la ecuación AX I= siendo I la matriz identidad de segundo orden.

a) ( )2 1 2 10 4 1 0

1 2 3A

+ λ = ⇒ λ == ⇒ − + λ = ⇒ + λ = − ⇒ λ = −, por tanto, A tiene inversa si 1λ ≠ y 3λ ≠ − .

b) Para 4λ = tenemos 1 55 4

A− − = − −

y ( )1

4 54 51 1 21 21Adj( )5 1 5 121

21 21

ttA A

A−

− − = = = −− −

.

c) 1 1

4 521 215 121 21

AX I X A I A− −

− = ⇒ = = =

−

95. ¿Para qué valores de λ tiene inversa la matriz A?

12 1 2

3 2A

λ λ

λ

= − −

Calcula la expresión de dicha matriz inversa para 0λ = .

2 30 2 6 0 2,

2A = ⇒ λ + λ − = ⇒ λ = − λ = , por tanto, A tiene inversa si 2λ ≠ − y 3

2λ ≠ .

Para 0λ = tenemos 0 0 12 1 20 3 2

A = − −

y ( )1

2 1 14 4 6 3 2 61 1Adj( ) 3 0 0 2 106 1 2 0 3 3

1 0 0

t

tA AA

−

− − − − = = − = −−

96. ¿Para qué valores de λ tiene inversa la siguiente matriz?

= −

1 13 07 3

Aλ

λλ

Calcula la expresión de dicha matriz inversa para 3λ = .

= ⇒ λ + λ = ⇒ λ = − λ =20 6 12 0 2, 0A , por tanto, A tiene inversa si 2λ ≠ − y 0λ ≠ .

Para 3λ = tenemos 1 3 13 0 37 3 3

A = −

y ( )1

1 2 110 15 109 30 9

1 1 1 1Adj( ) 12 10 18 090 3 99 0 9 1 1 1

10 5 10

t

tA AA

−

− − = = − = − −

−

.


97. Calcula los valores del parámetro λ para los cuales la siguiente matriz cuadrada tiene inversa. Calcula el valor de dicha matriz inversa para el valor = 4λ .

1 31 14 2 2

λλ−

−

20 2 10 12 0 2, 3A = ⇒ λ − λ + = ⇒ λ = λ = , por tanto, A tiene inversa si 2λ ≠ y 3λ ≠ .

Para 4λ = tenemos

1

5 1122 44 1 3 10 6 14

1 3 71 4 1 8 4 12 14 2 44 2 2 11 7 17 7 173

2 4

t−

− − − −

− = − − = − − − − −

.

98. Calcula todas las matrices X tales que:

= −

2 0 2 02 0 2 0

X X

Si =

a bX

c d tenemos:

2 0 2 0 2 0 2 0 2 2 2 02 0 2 0 2 0 2 0 2 2 2 0

a b a b a b a bX X

c d c d c d a b = ⇒ = ⇒ = ⇒ − − − −

( ) ( )( ) ( )

( )( )( )( )

( )( )

2 2 12 22 2 2 0 1

2 2 2 0 2 0 0 o 0 o 2 0

a a b a a ba c da a b b a b a c d

a c d b c d b a b b a bb c db c d

− = − = − =− − − = ⇒ = ⇒ ⇒ − − − = = = = =− =

Si 0b = tenemos ( )2 1 1, 1

1, 11a a c d

a c da c d= = − = − + ⇒ = = +− =

; si 0b ≠ tenemos

( )( )

10 1

1a a ba c d a ba b c dc d

− ==

− = ⇒ = = = =

, que no tiene

solución, por tanto, las soluciones de la ecuación son las matrices de la forma 1 0

1X

d d− = − +

o 1 0

1X

d d = +

para d ∈ .



=

1 1 00 11 2

A tt

,

a) Calcula los valores de t para los cuales existe 1A− .

b) Calcula dicha matriz inversa para 2t = .

c) Resuelve la ecuación matricial AX B= siendo A la matriz correspondiente al valor 2t = y 1 12 23 3

B−

= − −

.

a) 2 2 0 2, 1A t t t t= − − + = ⇒ = − = , por tanto, A tiene inversa si 2t ≠ − y 1t ≠ .

b) Para 2t = tenemos 1 1 00 1 21 2 2

A−

=

y ( )1

1 1 12 2 22 2 1

1 1 1 1 1Adj( ) 2 2 34 2 2 22 2 1 1 3 1

4 4 4

t

tA AA

−

− − − = = − = − − − − −

−

.

c) 1

1 1 12 2 2 1 1 1 11 1 1 2 2 0 02 2 2 3 3 1 11 3 14 4 4

X A B−

− − −

= = − − − = − − −

100. Sea la matriz = −

2 2 00 3 21 2

Ak

.

a) Estudia el rango de A según los valores del parámetro real k.

b) Calcula, si existe, la matriz inversa de A para 3k = .

a) 0 8 4 0 2A k k= ⇒ − = ⇒ =

Si 2k ≠ tenemos 0A ≠ y, por tanto, rg( ) 3A = .

Si 2k = tenemos 2 2 00 3 21 2 2

A = −

con 0A = y 2 2

6 00 3

= ≠ , por tanto, rg( ) 2A = .

b) Según el apartado anterior, para 3k = tenemos 2 2 00 3 21 3 2

A = −

y 0A ≠ , con lo que existe

( )1

0 1 10 2 3 11 1 1 1Adj( ) 4 4 8 24 4 4 6 3 32

4 2

t

tA AA

−

− − − = = − − = − − − −

.


101. Resuelve la ecuación:

− − − − + = − − −

1 2 1 3 2 5 9 8 561 1 3 0 4 0 5 4 331 2 14 2 2 3 3 4 28

X

Si la matriz 1 2 11 1 31 2 14

A−

= − −

tiene inversa tendremos:

1 1

9 8 56 3 2 5 6 6 615 4 33 0 4 0 5 0 333 4 28 2 2 3 5 2 25

X A A− −

− − − − − = − = −

Como 1 0A = − ≠ existe ( )1

20 11 3 20 26 71 1Adj( ) 26 15 4 11 15 4

1 7 4 1 3 4 1

t

tA AA

−

− − − = = − − = − − − − −

y, por tanto:

6 6 61 20 26 7 3 2 55 0 33 11 15 4 1 2 25 2 25 3 4 1 3 0 2

X− − − − − = − = − − −

102. Calcula el valor de los determinantes de Vandermonde:

1 1 12 3 44 9 16

1 1 1 11 2 3 41 4 9 161 8 27 64

El determinante de Vandermonde de orden 3 es:

2 2 13 3 1

2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 0 01 1

( )( ) ( )( )( )C C CC C C

b a c aa b c a b a c a b a c a b a c a c b

b a c a b a c aa b c a b a c a

→ −→ −

− −= − − = = − − = − − −

− − + +− −

En particular, 2 2 2

1 1 1 1 1 12 3 4 2 3 4 (3 2)(4 2)(4 3) 24 9 16 2 3 4

= = − − − =

De manera análoga se demuestra que el determinante de Vandermonde de orden 3 es:

2 2 2 2

3 3 3 3

1 1 1 1

( )( )( )( )( )( )a b c d

b a c a d a c b d b d ca b c da b c d

= − − − − − −

En particular, 2

3 2 2 2

4 3 3 3

1 1 1 1 1 1 1 11 2 3 4 1 2 3 4

(2 1)(3 1)(4 1)(3 2)(4 2)(4 3) 121 4 9 16 1 2 3 41 8 27 64 1 2 3 4

= = − − − − − − =

103. Calcula el valor de + + ++ + ++ + +

1 12 23 3

x y x yu v u vs t s t

sabiendo que =12 53

x yu vs t

.

3 3 1 2 1 1 32 2 3

1 1 1 1 2 1 1 1 12 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 103 3 3 3 6 3 3 3 3

C C C C C C CC C C

x y x y x y x y x yu v u v u v u v u vs t s t s t s t s t

→ − − → −→ −

+ + + + + − + ++ + + = + + − = − + + = − = −+ + + + + − + +


104. Calcula el valor de los siguientes determinantes:

a)

1 1 1 11 2 3

1 2 3 41 4 9 16

x x x x− − − b)

1 2 3 42 3 4 13 4 1 24 1 2 3

a) 2 2 1 2 12 2 12 2 1

1 1 1 1 1 0 0 01 2 3

1 2 3 1 2 31 2 3 0

1 2 3 4 1 1 2 33 8 15

1 4 9 16 1 3 8 15C C C F FC C CC C C

x x x x x→ − =−→ −→ −

− − −− − − − − −

= = =

b) 1 1 2 3 4 2 2 1

3 3 14 4 1

1 2 3 4 10 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 41 1 3

2 3 4 1 10 3 4 1 1 3 4 1 0 1 1 310 10 10 2 2 2 160

3 4 1 2 10 4 1 2 1 4 1 2 0 2 2 21 1 1

4 1 2 3 10 1 2 3 1 1 2 3 0 1 1 1C C C C C F F F

F F FF F F

→ + + + → −→ −→ −

−−

= = = = − − =− −

− − −− − −

105. Resuelve la siguiente ecuación: = −

1 2 33 1 2

80 962 3 11 2 3

xx

xx

x

( ) ( )1 1 2 3 4 2 2 1

3 3 14 4 1

1 2 3 6 1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 33 1 2 6 1 2 1 1 2 0 1 1 1

6 62 3 1 6 3 1 1 3 1 0 2 2 21 2 3 6 2 3 1 2 3 0 1 1 3

C C C C C F F FF F FF F F

x xx x x x x

x xx x x x x

x x x x x→ + + + → −

→ −→ −

++ − − −

= = + = + =+ − −+ −

( ) ( ) ( )3 2 4 2

1 1 16 2 2 2 6 6 16 16 20 80 96

1 1 3

xx x x x x x x x x

x

− − −= + − − = + − + − = − + −

−

Por tanto,

( )4 2 4 2 2 220 80 96 80 96 20 0 20 0 0, 20 2 5, 20 2 5x x x x x x x x x x x− + − = − ⇒ − = ⇒ − = ⇒ = = = = − = −

106. Indica si el resultado del siguiente producto de matrices tiene inversa.

( ) − −

12 2 3 54

( )1 2 3 52 2 3 5 4 6 104 8 12 20

− − − = − − −

Las filas de esta matriz son proporcionales, por tanto su determinante es 0 y no tiene inversa.


CUESTIONES

107. Los elementos de la matriz cuadrada de orden 4, ( )= ijA a son:

= == = ≠− ≠

1 si 10 si 1

1 si ij

i ja i j

i j

a) Escribe la matriz.

b) Calcula el valor del determinante de la matriz.

a)

1 1 1 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0

A

− − − − − − = − − − − − −

b) 2 2 13 3 14 4 1

1 1 1 1 1 1 1 11 2 2

1 0 1 1 0 1 2 22 1 2 5

1 1 0 1 0 2 1 22 2 1

1 1 1 0 0 2 2 1F F FF F FF F F

A→ +→ +→ +

− − − − − −− − −

− − − − − −= = = − − − = −− − − − − −

− − −− − − − − −

108. Calcula el valor del determinante de orden 2, A , tal que = + 2ija i j .

3 5

24 6

A = = −

109. Calcula el valor del determinante de orden 3, A , tal que = −2ija i j .

1 0 13 2 1 05 4 3

A−

= =

110. Determina las matrices de la forma − = −

a bA

b a para que no admita inversa. Escribe algún ejemplo.

La matriz A no admite inversa si 0A = , es decir, si 2 2 2 20a b b a b a− + = ⇒ = ⇒ = ± , por tanto, las matrices de la

forma a a

Aa a− = −

o a a

Aa a− − =

no admiten inversa. Por ejemplo, la matriz 1 11 1

A− = −

no admite inversa.

111. Despeja X en las siguientes ecuaciones suponiendo que las matrices que intervienen son todas cuadradas del mismo orden y poseen matriz inversa.

a) AX BX AB+ = b) AXB C D+ = c) 2XA BA= d) ( )A X B CX+ =

a) ( ) ( ) 1AX BX AB A B X AB X A B AB−+ = ⇒ + = ⇒ = +

b) ( )1 1AXB C D AXB D C X A D C B− −+ = ⇒ = − ⇒ = −

c) 2 1 1 1XA BA X BAA A BA− − −= ⇒ = =

d) ( ) ( ) ( ) 1A X B CX AX AB CX AX CX AB A C X AB X A C AB−+ = ⇒ + = ⇒ − = − ⇒ − = − ⇒ = − −


112. Dada la matriz regular A de orden tres, con = 5A , calcula el valor del determinante de su inversa y el valor del determinante de su adjunta.

1 1 1 1 1 115

AA I AA I A A AA

− − − −= ⇒ = ⇒ = ⇒ = =

( ) ( ) ( ) ( )3 2 2Adj( ) Adj( ) Adj( ) Adj( ) Adj( ) 25t t t tA A A I A A A I A A A A A A A= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = =

113. Escribe, si es posible, una matriz de dimensión tres por cuatro tal que su rango valga:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3

a) 0 0 0 00 0 0 00 0 0 0

b) 1 0 0 00 0 0 00 0 0 0

c) 1 0 0 00 1 0 00 0 0 0

d) 1 0 0 00 1 0 00 0 1 0

114. Aplicando las propiedades de los determinantes, indica la razón por la que los siguientes determinantes son todos nulos.

a) 0,3 0,5 0,75

2 3 52,3 2,5 4,25−

− − b)

0,25 0,6 0,750,05 0,8 1

0,5 0,2 0,25− − −

a) El determinante es 0, ya que 3 1 2F F F= − . b) El determinante es 0, ya que 3 21,25C C= .

115. Indica, sin resolverlos, la razón por la que los siguientes determinantes son todos nulos.

a)

2 1 2 32 2 1 55 2 4 69 3 3 14

−−−−

b)

12 10 22 512 20 15 1013 14 16 723 14 13 7

− −− −

− −− −

a) El determinante es 0, ya que 4 1 2 3F F F F= + + . b) El determinante es 0, ya que 2 42C C= − .

116. Di si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas para un determinante de orden 4:

a) Si la fila primera y la columna segunda son iguales, el determinante vale 0.

b) Si el producto de las dos primeras filas es igual a la tercera, el determinante vale 0.

a) Falsa,

1 1 1 10 1 0 0

10 1 1 00 1 0 1

= b) Falsa,

1 1 2 10 1 2 1

60 1 4 10 0 0 3

=

117. ¿Qué relación deben verificar los números a, b y c para que =2 2 2

1 1 10a b c

a b c?

Observemos que el determinante de Vandermonde 2 2 2

1 1 1( )( )( )a b c b a c a c b

a b c= − − − , con lo que el determinante

será nulo si al menos dos de los tres números a, b y c son iguales.


PROBLEMAS 118. a) Comprueba que los números 297, 351 y 405 son todos múltiplos de 27.

b) Demuestra, sin necesidad de desarrollarlo, que el determinante 2 9 73 5 14 0 5

es múltiplo de 27.

Nota: Aplica 3 3 2 110 100C C C C→ + +

a) 297 27 11= ⋅ 351 27 13= ⋅ 297 27 15= ⋅

b) 3 3 2 110 100

2 9 7 2 9 297 2 9 27 11 2 9 113 5 1 3 5 351 3 5 27 13 27 3 5 134 0 5 4 0 405 4 0 27 15 4 0 15

C C C C→ + +

⋅= = ⋅ =

⋅ es múltiplo de 27.

119. Calcula el valor del determinante:

−− −− − −

x x x xx y x xx x y xx x x y

2 2 13 3 14 4 1

30 2 2( )

0 0 20 0 0

F F FF F FF F F

x x x x x x x xx y x x x y x x

x x yx x y x x y xx x x y x y

→ +→ +→ +

− += = +

− − +− − − +

120. En un país hay tres comunidades autónomas A, B y C. La probabilidad de que un residente en A permanezca en A al año siguiente es de 0,90; la de que se vaya a B, de 0,06, y la de que se vaya a C, de 0,04. La probabilidad de que un residente en B permanezca en B es de 0,95; la de que se vaya a A, de 0,03, y la de que se vaya a C, de 0,02. Finalmente, la probabilidad de que un residente en C se quede en C es de 0,96; la de que se vaya a A, de 0,02, y la de que se vaya a B, de 0,02.

Si las poblaciones en 2015 eran de 1,52, 2,56 y 5,48 millones de personas, respectivamente, ¿cuáles eran las de 2014?

La matriz de transición de la población de un año al siguiente es 0,90 0,06 0,040,03 0,95 0,020,02 0,02 0,96

T =

, por tanto, si 2014P y

2015P son las matrices 3 x 1 cuyos elementos son las poblaciones de las comunidades en 2014 y 2015, tenemos:

12015 2014 2014 2015P P T P P T −= ⇒ = con

( )1

0,9116 0,0284 0,0184 1,1144 0,0694 0,04501 1Adj( ) 0,0568 0,8632 0,0168 0,0347 1,0553 0,0205

0,818 0,0184 0,0168 0,8532 0,0225 0,0205 1,0430

t

tT TT

−

− − − − = = − − = − − − − − −

.

Por tanto:

( ) ( )12014 2015

1,1144 0,0694 0,04501,52 2,56 5,48 0,0347 1,0553 0,0205 1,48 2,48 5,59

0,0225 0,0205 1,0430P P T −

− − = = − − = − −

Es decir, en 2014 las poblaciones respectivas de cada comunidad eran 1,48, 2,48 y 5,59 millones.


121. En una determinada localidad existen tres compañías A, B y C que ofrecen el suministro de electricidad.

La siguiente matriz representa las probabilidades que tiene un cliente de cada zona de permanecer en la misma compañía o cambiarse a otra el año que viene:

=

0,80 0,15 0,050,10 0,70 0,200,05 0,05 0,90

T

Calcula el número de clientes correspondientes a los años 2013 y 2014 si el número de clientes en 2015 es:

A: 12 500 B: 25 000 C: 18 000

Tenemos 2015 2014P P T= y 2014 2013P P T= , es decir, 12014 2015P P T −= y 1

2013 2014P P T −= , con

( )1

0,62 0,08 0,005 1,285 0,2746 0,01041 1Adj( ) 0,1325 0,7175 0,155 0,1658 1,487 0,3212

0,4825 0,005 0,0325 0,545 0,0622 0,0674 1,1295

t

tT TT

−

− − − − = = − − = − − − − − −

.

Por tanto:

( ) ( )12014 2015

1,285 0,2746 0,010412500 25000 18000 0,1658 1,487 0,3212 10798 32531 12171

0,0622 0,0674 1,1295P P T −

− − = = − − = − −

( ) ( )12013 2014

1,285 0,2746 0,010410798 32531 12171 0,1658 1,487 0,3212 7725 44590 3185

0,0622 0,0674 1,1295P P T −

− − = = − − = − −


AUTOEVALUACIÓN

Comprueba qué has aprendido 1. Calcula el valor de los determinantes:

a)

1 323 54

−

− b)

3 2 54 1 35 3 6

−−

−

a)

1 3 5 9 123 2 4 454

−= − + = −

− b)

3 2 54 1 3 18 60 30 25 27 48 1725 3 6

−− = − + + + + + =

−

2. Resuelve la ecuación: −− = −

1 31 4

1 0 4

xx x

2 2

1 311 4 4 3 4 4 4 6 4 0 2,21 0 4


−− = − ⇒ − + − = − ⇒ − − = ⇒ = = −

3. Calcula el valor del determinante

− −−

−−

2 2 3 13 2 3 4 .2 1 4 55 2 1 6

2 2 13 34 4

456

2 2 3 1 2 2 3 111 6 9

3 2 3 4 11 6 9 012 11 19 2057 1080 1938 1683 2090 1224 78

2 1 4 5 12 11 19 017 10 17

5 2 1 6 17 10 17 0F F FF F FF F F

→ +→ +→ +

− − − −−

− −= = − = − − − + + + = −

− −−

− −

4. Calcula el rango de las matrices:

a) 2 1 32 2 32 5 3

A− = − −

b) 2 1 2 04 2 0 30 3 2 4

B− = −

a) 0A = y 2 1

6 02 2−

= − ≠ , por tanto, rg( ) 2A = .

b) Como 2 1

6 00 3−

= − ≠ , rg( ) 2B ≥ . Ampliando este menor de orden 2 con la segunda fila y tercera columna

tenemos 2 1 24 2 0 24 0

0 3 2

−− = − ≠ , con lo que rg( ) 3A = .



= =

1 0 1 9 5 112 1 0 13 5 151 1 3 12 8 28

A B

Calcula la matriz X tal que =AXA B . Si la matriz A tiene inversa, tendremos 1 1X A BA− −= . Como 4 0A = ≠ existe

( )1

3 6 1 3 1 11 1 1Adj( ) 1 2 1 6 2 2

4 41 2 1 1 1 1

t

tA AA

−

− − = = − = − − −

.

Por tanto:

1 1

3 1 1 9 5 11 3 1 1 32 32 16 2 2 11 1 16 2 2 13 5 15 6 2 2 32 32 16 2 2 14 4 161 1 1 12 8 28 1 1 1 0 0 32 0 0 2

X A BA− −

− − = = − − = − = − − −

6. Calcula el rango de las matrices A y B para los diferentes valores del parámetro t.

− − = = −

2 1 1 2 1 1 32 1 3 4 1 2 50 0 1

A Bt t t t

Rango de A: 0A = para cualquier valor de t y 2 1

4 02 1

−= ≠ , con lo que rg( ) 2A = para cualquier valor de t.

Rango de B: 2 1

2 0 rg( ) 24 1

B−

= ≠ ⇒ ≥−

para cualquier valor de t. Ampliando este menor de orden 2 obtenemos:

2 1 14 1 2 2

0 1t

t

−− = −

2 1 34 1 5 0

0t t

−− =

Por tanto, si 2t = tenemos rg( ) 2B = y si 2t ≠ tenemos rg( ) 3B = .

7. Calcula la inversa de la matriz:

− = −

10 1 48 7 30 32 1

A

2 0A A= ≠ ⇒ tiene inversa y ( )1

103 129 25103 8 2561 1 2 2 2Adj( ) 129 10 320 4 5 12 25 2 62 128 160 31

t

tA AA

−

− − − = = − = − − − −

.


8. Dada las matrices − − − = − − −

2 32 0 11 1

aA

a y

− − = − − − − −

7 1 40 6 85 4 3

B :

a) Calcula los valores de a para los cuales la matriz A tiene inversa.

b) Calcula la inversa de A para 1a = − .

c) Para 1a = − resuelve la ecuación matricial XA B= .

a) La matriz A tiene inversa si 0A ≠ :

40 5 4 05

A a a= ⇒ + = ⇒ = −

Por tanto, la matriz A tiene inversa si 45

a ≠ − .

b) Para 1a = − tenemos 1 2 32 0 11 1 1

A− −

= − − − −

y ( )1

1 3 2 1 1 21 1Adj( ) 1 4 3 3 4 5

1 2 5 4 2 3 4

t

tA AA

−

− − − − = = − = − − − − −

.

c) 1

7 1 4 1 1 2 2 1 30 6 8 3 4 5 2 0 25 4 3 2 3 4 1 2 2

XA B X BA−

− − − − − = ⇒ = = − − − = − − − − − − −

9. Sabiendo que − =−

2 1 0 42 3 1

a b c, calcula:

a) 2 2 22 1 02 3 1

a b c−

− b)

2 2 4 2 12 1 0

2 3 1

a b c+ −−

−

a) 2 2 22 1 0 2 2 1 0 82 3 1 2 3 1

a b c a b c− = − =

− −

b) 2 2 4 2 1 2 2 2 0 4 12 1 0 2 1 0 2 1 0 8 0 8

2 3 1 2 3 1 2 3 1

a b c a b c+ − −− = − + − = + =

− − −




1. Los valores de a que anulan el valor del determinante −

−−

1 34 1 20 3 4

a

a son:

A. 2a = C. 2a = y 3a = −

B. 2a = y 92

a = − D. Es nulo para cualquier valor de a.

2

1 394 1 2 0 4 10 36 0 2,20 3 4

aa a a a

a

−− = ⇒ − − + = ⇒ = = −−

, la respuesta B.

2. Sabiendo que − = −1 2 3 50 1 2

x y z, el valor de

+ + −−−

1 2 31 2 31 0 7

x y zes :

A. 10 C. −10

B. 52

D. 52

−

1 1 2 3 3 2

1 2 31 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 101 0 7 1 0 7 0 2 4 0 1 2

F F F F F F

x y z x y z x y z x y z

→ − → −

+ + −− = − = − = − − =− − − −

, la respuesta A.

3. Los adjuntos 32A y 13A de la matriz −

= − −

2

1 02

1 2

aA a a

a se anulan a la vez en el caso de que:

A. 1a = C. 0a =

B. 1a = − D. Ningún valor de a anula los dos adjuntos a la vez.

32 2

10

aA

a a−

= − =−

para cualquier valor de a y 132

2 21 2a

A a−

= = − − , por tanto, la respuesta correcta es B.



4. En relación con el rango de la matriz −

= − − − −

2

1 2 22 3 1

1 1 1 1

mA m

m:

A. Como 2 3

01 1

−≠

− entonces rg( ) 2A = .

B. Como 2 3

01 1

−≠

− entonces rg( ) 2A ≥ .

C. El valor del rango de A solo puede ser 2 o 3.

D. El valor del rango de A es 3 en todos los casos excepto para 0m = , 4m = o 1m = , que vale 2.

A es falsa y B verdadera, 2 3

01 1

−≠

− implica rg( ) 2A ≥ , pero no necesariamente implica rg( ) 2A = . Como además

rg( ) 3A ≤ , también C es verdadera.

Para verificar la validez de D observemos que ampliando el menor de orden 2 anterior obtenemos:

( )2 2

2 2 1 2 22 3 1 4 4 0 1 3 1 4 4 4 1 0 0, 11 1 1 1 1 1

mm m m m m m m m m

m

− −− = − = ⇒ = − = − + = − − = ⇒ = =− − − − −

Por tanto, si 1m = tenemos rg( ) 2A = y si 1m ≠ tenemos rg( ) 3A = , con lo que D es falsa.

En conclusión, las respuestas correctas son B y C.

Elige la relación correcta entre las dos afirmaciones dadas

5. Sea la ecuación matricial =AXA B donde A y B son matrices cuadradas de orden 3 y la matriz X es la matriz incógnita.

1. Tiene solución, es decir, se puede calcular X.

2. La matriz A es regular, es decir, det( ) 0A ≠ .

A. 1 2⇒ pero 2 1⇒ C. 1 2⇔


2 implica 1, ya que si det( ) 0A ≠ existe 1A− y obtenemos 1 1X A BA− −= . En cambio 1 no implica necesariamente 2, por tanto, la relación correcta es B.

80 Unidad 3| Sistemas de ecuaciones lineales

3 Sistemas de ecuaciones lineales


1. Escribe en forma matricial los sistemas:

a) 2 2 4

03 3 5

x y zx yx z

+ − = − = + =

b) 1 2 3 4

1 2 3

1 4

2 32 2

5

x x x xx x xx x

− + − = − − =− − =

a) 2 1 2 41 1 0 03 0 3 5

xyz

− − =

b)

1

2

3

4

1 2 1 1 32 1 1 0 21 0 0 1 5

xxxx

− −

− − = − −

2. Desarrolla el siguiente sistema dado en forma matricial.

− − = −

2 3 3 12 1 0 2

xyz

2 3 3 12 2

x y zx y− + = −

− =

3. Dado el sistema + − =

+ + = − + = −

4 2 62 2 3 43 6 9

x y zx y zx z

, escribe sistemas equivalentes a él aplicando sucesivamente las

siguientes transformaciones.

I. 3 313

E E→ III. 2 2 12E E E→ − V. 3 3 2E E E→ −

II. 1 3E E↔ IV. 3 3 14E E E→ −

1 3 2 2 1 3 3 13 31 2 43

4 2 6 4 2 6 2 3 2 3 2 32 2 3 4 2 2 3 4 2 2 3 4 2 2 2 23 6 9 2 3 4 2 6 4 2 6 2 9 18

E E E E E E E EE E

x y z x y z x z x z x zx y z x y z x y z y z y zx z x z x y z x y z y z

↔ → − → −=

+ − = + − = + = − + = − + = − + + = − → + + = − → + + = − → − = → − = → + = − + = − + − = + − = − =

3 3 2

2 32 2

8 16E E E

x zy z

z→ −

+ = −→ − = − =


Sistemas de ecuaciones lineales | Unidad 3 81

9. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por el método de Gauss.

a) 3 7 147 3 6x y

x y+ =

− + = c)

32 45 2 4 9

x y zx y zx y z

+ + = + − = + − =

b) 2 1

2 72

x y zx y z

x z

+ − =− + + = − = −

d)

52 3 04 3 2 62 8

x y zx y zx y zy z

+ + = + − = + − = − = −

a) 2 2 13 7

3 7 14 3 7 14 3 7 14 07 3 6 0 58 116 58 116 2F F F

x y xy y→ +

+ = = → ⇒ ⇒ − = =

b) 2 2 1 3 3 23 3 1

2 3

1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 22 1

2 1 1 7 0 3 3 9 0 3 3 9 33 3 9

1 0 1 2 0 1 1 3 0 0 0 0F F F F F FF F F

xx y z

yy z

z→ + → +→ −

− − − = − + λ + − = − → − → − ⇒ ⇒ = + λ − = − − − − = λ

c) 2 2 1 3 3 23 3 1

2 35

1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3 1 23

2 1 1 4 0 1 3 2 0 1 3 2 2 33 2

5 2 4 9 0 3 9 6 0 0 0 0F F F F F FF F F

xx y z

yy z

z→ − → −→ −

= + λ + + = − → − − − → − − − ⇒ ⇒ = − λ − − = − − − − − = λ

d) 2 2 1 3 3 2 4 4 33 3 1 4 4 2

2 9 54 2

1 1 1 5 1 1 1 5 1 1 1 5 1 1 1 52 3 1 0 0 1 3 10 0 1 3 10 0 1 3 104 3 2 6 0 1 6 14 0 0 9 24 0 0 9 240 2 1 8 0 2 1 8 0 0 5 12 0 0 0 12

F F F F F F F F FF F F F F F→ − → + → +→ − → −

− − − − − − − → → → − − − − − − − − − − − − −

Como la matriz de la derecha es escalonada y su cuarta fila es nula salvo el último elemento, el sistema es incompatible, es decir, no tiene solución.

10. Resuelve, si es posible, los siguientes sistemas aplicando el método de Gauss.

a) 2 53 2

2 3

x y zx y z

x y

+ − = − − = − =

c)

12 2 13 2 3 2

0

x y zx y zx y z

x z

+ − = + − = + − = − =

b) 2 8

73 2 4

x y zx y zx y z

+ + = + − = − − =

d) 2 7

3 72 5 15

x yx yx y

+ = − = + =

a) 2 2 1 3 3 23 3 1

2 32

2 1 1 5 2 1 1 5 2 1 1 53 1 1 2 0 5 1 11 0 5 1 111 2 0 3 0 5 1 1 0 0 0 12

F F F F F FF F F→ − → −→ −

− − − − − → − − → − − ⇒ − −

No tiene solución.

b) 2 2 1 3 3 23 3 1

2 72 3

2 1 1 8 2 1 1 8 2 1 1 8 2 8 31 1 1 7 0 1 3 6 0 1 3 6 3 6 33 2 1 4 0 7 5 16 0 0 26 26 26 26 1

F F F F F FF F F

x y z xy z y

z z→ − → +→ −

+ + = = − → − → − ⇒ − = ⇒ = − − − − − − − = = −

c) 2 2 1 3 3 23 3 1 4 4 24 4 1

23

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 1 2 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1

13 2 3 2 0 1 0 1 0 0 0 0 11 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0

F F F F F FF F F F F FF F F

xx y z

yy

z→ − → −→ − → −→ −

− − − = λ − − − − − + − = → → ⇒ ⇒ = − − − − = − = λ − − −

d) 2 2 1 3 3 23 3 1

3 72

1 2 7 1 2 7 1 2 73 1 7 0 7 14 0 7 142 5 15 0 1 1 0 0 7

F F F F F FF F F→ − → +→ −

− → − − → − − ⇒ −

No tiene solución.



13. Para cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, comprueba si verifica las condiciones para aplicar la regla de Cramer y, en caso afirmativo, resuélvelos.

a) 2 3 54 5 43x yx y+ =

− = c) ( )2 1

6 12 1x y

x y+ =

+ = −

b) 3 5 86 10 14

x yx y

− + = − =

d) 2 13 2 7

5

x zx y

y z

+ = − = − + =

a) El sistema es cuadrado y el determinante de la matriz de coeficientes es 2 3

22 04 5

A = = − ≠−

, por lo que se

puede aplicar la regla de Cramer.

La solución es:

5 315443 5 722

xA

−−= = =

−

2 5664 43 322

yA

= = = −−

b) El sistema es cuadrado pero el determinante de la matriz de coeficientes es 3 5

06 10

A−

= =−

, por lo que no

se puede aplicar la regla de Cramer.

c) ( )2 1 2 2 16 12 16 12 1

x y x yx yx y

+ = + =⇒ + = −+ = − .

El sistema es cuadrado y el determinante de la matriz de coeficientes es 2 2

12 06 12

A = = ≠ , por lo que se

puede aplicar la regla de Cramer.

La solución es:

1 214 71 1212 6

xA

−= = =

2 18 26 1

12 3y

A−−

= = = −

d) El sistema es cuadrado y el determinante de la matriz de coeficientes es 2 0 13 2 0 1 00 1 1

A = − = − ≠ , por lo que

se puede aplicar la regla de Cramer.

La solución es:

1 0 17 2 05 1 1 1 1

1x

A

− −

= = = −−

2 1 13 7 00 5 1 2 2

1y

A

−−

= = =−

2 0 13 2 70 1 5 3 3

1z

A

− −−

= = =−


14. Resuelve los siguientes sistemas aplicando la regla de Cramer a los mismos.

a) 2 43 3 3 1

x y zx y z+ − =

+ − = − c)

2 72

13 2 2 41

x y zx y z

x y z

+ + = − − = + + =

b) 04

x yx y z+ =

+ + = d)

2 22 1

2 2

x y tx y z tz t

+ + = + − − = − + =

a) El sistema no es cuadrado, pero haciendo z = λ obtenemos un sistema cuadrado al que se le puede aplicar la regla de Cramer:

4 1 2 42 4 13 14 3 141 3 3 3 1 3, ,

2 1 2 13 3 1 3 3 3 33 3 3 3

x yx y z

x y

+ λ + λ+ = + λ − + λ− + λ − + λ ⇒ = = = = = − + λ = λ + = − + λ

b) El sistema no es cuadrado, pero haciendo y = λ obtenemos un sistema cuadrado al que se le puede aplicar la regla de Cramer:

0 14 1 1 4, , 4

1 0 1 041 1 1 1

xx y z

x z

−λ −λ= −λ − λ − λ ⇒ = = −λ = λ = = + = − λ

c) El sistema es cuadrado pero el determinante de la matriz de coeficientes es 2 1 11 1 1 0

13 2 2A = − − = , por lo que

no se puede aplicar directamente la regla de Cramer.

Pero observemos que 3 1 25 3E E E= + , por lo que podemos suprimir la tercera ecuación obteniendo el sistema 2 7

2x y z

x y z+ + =

− − =, que no es cuadrado, pero haciendo z = λ obtenemos un sistema cuadrado al que se le puede

aplicar la regla de Cramer:

7 1 2 72 7 9 3 32 1 1 23, 1 ,

2 1 2 12 3 31 1 1 1

x yx y z

x y

− λ − λ+ = − λ − − + λ+ λ − + λ ⇒ = = = = = = − λ = λ − = + λ − −

− −

d) El sistema no es cuadrado, pero haciendo z = λ obtenemos un sistema cuadrado al que se le puede aplicar la

regla de Cramer: 2 2

1 22 2

x y tx y tt

+ + = + − = − + λ = − λ

− + λ −− λ

= = − + λ

−

2 1 11 2 1 1

2 2 0 11 2

2 1 11 1 10 0 1

x

2 2 11 1 2 10 2 2 1

2 22 1 11 1 10 0 1

y

− + λ −− λ

= = − λ

−

z = λ

2 1 21 1 1 20 0 2 2

2 22 1 11 1 10 0 1

t

− + λ− λ

= = − λ

−



19. Analizando los rangos de las matrices del sistema y la matriz ampliada, estudia la compatibilidad de los siguientes sistemas.

a) + − =

− − = − + − =

2 5 4 72 23 3

x y zx y zx y z

e) 2 2 4

3 24 2 2 3

x y zx y zx y z

− + =− + − =− − + =

b) 4 2 22 3x y zx y z− − =

− − = f)

62 2 5

2 11

x y zx y zx y z

+ + = − + = − + =

c) 3 2 1

2 3 03 2 1

x y zx y z

x y z

+ + =− + + = + − =

g) 2 1

14 2

x y zx y zx y z

+ + = + + = + + =

d) − − + = + − =

4 2 8 32 4 3

x y zx y z

h)

32 3 22 2 43 3 2 7

x y zy z tx y z tx y z t

+ + = + + = + + + = + + + =

a) Las matrices del sistema son 2 5 41 2 11 3 1

A−

= − − −

y 2 5 4 7

* 1 2 1 21 3 1 3

A−

= − − − −

.

Como 10 0 rg( ) rg( *) 3 nº de incógnitasA A A= − ≠ ⇒ = = = y el sistema es compatible determinado.

b) Las matrices del sistema son 1 4 22 1 1

A− − = − −

y 1 4 2 2

*2 1 1 3

A− − = − −

.

Como 1 4

7 0 rg( ) rg( *) 2 nº de incógnitas2 1

A A−

= ≠ ⇒ = = <−

y el sistema es compatible indeterminado.

c) Las matrices del sistema son 1 3 22 1 33 2 1

A = − −

y 1 3 2 1

* 2 1 3 03 2 1 1

A = − −

.

Como 0A = y 1 3

7 0 rg( ) 22 1

A= ≠ ⇒ =−

. Para calcular rg( *)A ampliamos el menor anterior añadiendo la

columna de términos independientes y la tercera fila:

1 3 12 1 0 0 rg( *) 23 2 1

A− = ⇒ =

Por tanto, rg( ) rg( *) 2 nº de incógnitasA A= = < y el sistema es compatible indeterminado.

d) Las matrices del sistema son 4 2 82 1 4

A− − = −

y 4 2 8 3

*2 1 4 3

A− − = −

.

Observemos que en A 1 22 rg( ) 1F F A= − ⇒ = , en cambio esta relación no se cumple en A*, de hecho tenemos 8 3

36 0 rg( *) 24 3

A= ≠ ⇒ =−

.

Por tanto, rg( ) rg( *)A A≠ y el sistema es incompatible.


e) Las matrices del sistema son 1 2 23 1 14 2 2

A−

= − − − −

y 1 2 2 4

* 3 1 1 24 2 2 3

A−

= − − − −

.

Como 0A = y 1 2

5 0 rg( ) 23 1

A−

= − ≠ ⇒ =−



1 2 43 1 2 45 0 rg( *) 34 2 3

A−

− = ≠ ⇒ =− −


f) Las matrices del sistema son 1 1 11 2 22 1 1

A = − −

y 1 1 1 6

* 1 2 2 52 1 1 11

A = − −

.

Como 6 0 rg( ) rg( *) 3 nº de incógnitasA A A= ≠ ⇒ = = = , el sistema es compatible determinado.

g) Las matrices del sistema son 1 2 11 1 11 4 1

A =

y 1 2 1 1

* 1 1 1 11 4 1 2

A =

.

Como 0A = y 1 2

1 0 rg( ) 21 1

A= − ≠ ⇒ = . Para calcular rg( *)A ampliamos el menor anterior añadiendo la


1 2 11 1 1 1 0 rg( *) 31 4 2

A= − ≠ ⇒ =


h) Las matrices del sistema son

1 1 1 00 2 3 12 2 1 13 3 2 1

A

=

y

1 1 1 0 30 2 3 1 2

*2 2 1 1 43 3 2 1 7

A

=

.

Como 3 3 1 3 44 4 1

23

1 1 1 00 2 3 1

00 0 1 10 0 1 1

F F F F FF F F

A→ − =→ −

= =−−

y 1 1 10 2 3 2 0 rg( ) 32 2 1

A= − ≠ ⇒ = . Para calcular rg( *)A ampliamos el

menor anterior añadiendo la columna de términos independientes y la cuarta fila:

3 3 1 3 44 4 1

23

1 1 1 3 1 1 1 30 2 3 2 0 2 3 2

0 rg( *) 32 2 1 4 0 0 1 23 3 2 7 0 0 1 2

F F F F FF F F

A→ − =→ −

= = ⇒ =− −− −




21. Para cada uno de los siguientes sistemas cuadrados de ecuaciones lineales:

a) Comprueba que la matriz de los coeficientes es regular.

b) Calcula la inversa de la matriz de los coeficientes.

c) Halla la solución única del sistema resolviéndole como si fuera una ecuación matricial.

i) 3 2 75 7x y

x y− = −

− + = iii)

2 2 42 3 74 3 2 1

x y zx y zx y z

− + − = −− + − = −− − + =

ii) 2 3 134 2 3 85 3 2 23

x yx y zx y z

− = − + − = −− + + =

iv) 3 2 02 14 4 3 6

x y zx y zx y z

− − = + − = − + − = −

i) 3 2 7 3 2 75 7 5 1 7x y x

x y y− = − − − ⇒ = − + = −

Como el determinante de la matriz de coeficientes es 7 0A = − ≠ , es regular y

( )1 1

1 21 5 7 11 1 7 7Adj( )2 3 5 3 7 27

7 7

tt x

A A AyA

− −

− − − − = = = ⇒ = = − − −

Por tanto, la solución del sistema es 1, 2x y= − = .

ii) 2 3 13 2 3 0 134 2 3 8 4 2 3 85 3 2 23 5 3 2 23

x y xx y z yx y z z

− = − − − + − = − ⇒ − = − − + + = −

Como el determinante de la matriz de coeficientes es 5 0A = ≠ , es regular y

( )1 1

13 6 95 5 513 7 22 13 2

1 1 7 4 6Adj( ) 6 4 9 8 35 5 5 59 6 16 23 222 9 16

5 5 5

t

tx

A A y AA z

− −

− − = = = ⇒ = − =

Por tanto, la solución del sistema es 2, 3, 2x y z= − = = .

iii) 2 2 4 2 2 1 42 3 7 2 1 3 74 3 2 1 4 3 2 1

x y z xx y z yx y z z

− + − = − − − − − + − = − ⇒ − − = − − − + = − −


( )1 1

7 1 5 536 36 36 67 16 10 4

1 1 4 2 1 1Adj( ) 1 8 14 736 9 9 9 35 4 2 15 7 1 5

18 18 18 3

t

tx

A A y AA z

− −

− − − − −

= = − − − = − − ⇒ = − = − − − −

Por tanto, la solución del sistema es 5 1 5, ,6 3 3

x y z= = − = .


iv) 3 2 0 3 1 2 02 1 2 1 1 14 4 3 6 4 4 3 6

x y z xx y z yx y z z

− − = − − + − = − ⇒ − = − + − = − − −


( )1 1

1 11 37 7 71 2 4 0 1

1 1 2 1 1Adj( ) 11 1 16 1 17 7 7 73 1 5 6 24 16 5

7 7 7

t

tx

A A y AA z

− −

− −

= = − − − = − ⇒ = − = − − − − − −

Por tanto, la solución del sistema es 1, 1, 2x y z= = − = .


24. Discute y resuelve, en el caso de tener solución distinta de la trivial, los siguientes sistemas.

a) 2 3 4 03 2 3 04 7 0

x y zx y zx y z

− + = − + = − + =

b)

3 2 00

4 2 04 3 0

x y z ty z

x z tx y z t

+ − + =− + = − + = + + + =

a) Es un sistema homogéneo y cuadrado. Como el determinante de la matriz de coeficientes es 41 0A = − ≠ , el

sistema es compatible determinado, es decir, su única solución es la trivial ( 0x y z= = = ).

b) Es un sistema homogéneo y cuadrado. Como el determinante de la matriz de coeficientes es 6 0A = ≠ , el sistema es compatible determinado, es decir, su única solución es la trivial ( 0x y z= = = ).

25. Discute y resuelve los siguientes sistemas.

a) 2 3 02 4 6 0

x y zx y z− − + = + − =

b) 2 02 0

x y zx y z+ − =

− + =

a) Es un sistema homogéneo con menos ecuaciones que incógnitas, por lo que es compatible indeterminado.

Como las ecuaciones son proporcionales ( 2 12E E= − ), eliminamos la segunda ecuación y hacemos ,y z= λ = µ , obteniendo que las soluciones del sistema son 2 3x = − λ + µ , y = λ , = µz .

b) Es un sistema homogéneo con menos ecuaciones que incógnitas, por lo que es compatible indeterminado.

Como 2 1

4 02 1

= − ≠−

hacemos z = λ y resolvemos el sistema resultante:

20,

2x y

x yx y+ = λ ⇒ = = λ − = −λ

Por tanto, las soluciones del sistema son 0, ,x y z= = λ = λ .




29. Aplicando el método de Gauss, discute y resuelve los siguientes sistemas.

a) 2 34 113 2 9

x y zx y zx y z

− − = − + = + − = −

c) 3 2 4

2 3 03 3 7

x y zx y zx y z

− + = + + =− − + =

b) 3 4

2 2 73 3 18

x y zx y zx y z

− − =− + + =− − + =

d)

42 5

42 3 2

x zy z

x y zx y

+ = + = + + = + = −

a) 2 2 1 3 3 23 3 1

2 5

1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 31 4 1 11 0 2 2 8 0 2 2 81 3 2 9 0 5 1 12 0 0 8 16

F F F F F FF F F→ − → +→ −

− − − − − − − → − → − − − − −

Sistema compatible determinado con solución:

2 3 12 2 8 2

8 16 2

x y z xy z y

z z

− − = = − + = ⇒ = − = =

b) 2 2 1 3 3 23 3 1

2 23

1 3 1 4 1 3 1 4 1 3 1 42 1 2 7 0 5 0 15 0 5 0 153 1 3 18 0 10 0 30 0 0 0 0

F F F F F FF F F→ + → −→ +

− − − − − − − → − → − − − −

Sistema compatible indeterminado, eliminando la tercera ecuación y haciendo z = λ , las soluciones son:

53 4

35 15

xx y z

yy

z

= − + λ− − = ⇒ = − − = = λ

c) 2 2 1 3 3 23 3 1

2 7 6

1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 42 1 3 0 0 7 1 8 0 7 1 81 3 3 7 0 6 5 11 0 0 29 29

F F F F F FF F F→ − → +→ +

− − − → − − → − − − − −


3 2 4 17 8 1

29 29 1

x y z xy z y

z z

− + = = − − = − ⇒ = − = =

d) → − → − → −→ − → −

→ → →

− − − − − − − − −

3 3 1 3 3 2 4 4 34 4 1 4 4 2

2 72 2 3

1 0 1 4 1 0 1 4 1 0 1 4 1 0 1 40 2 1 5 0 2 1 5 0 2 1 5 0 2 1 51 1 1 4 0 1 0 0 0 0 1 5 0 0 1 52 3 0 2 0 3 2 10 0 0 7 35 0 0 0 0



+ = = − + = ⇒ = − = − =

4 12 5 0

5 5

x z xy z y

z z


30. Aplicando el teorema de Rouché y la regla de Cramer, discute y resuelve los siguientes sistemas.

a) 2 3 143 4

3 2 2 2

x y zx y z

x y z

− + = − − − = −− + + =

b) 2 3 143 4

15 40

x y zx y zx y z

− + = − − − = −− − + = −

c) 2 3 143 44 5 6

x y zx y zx y z

− + = − − − = − − − =

d)

2 42 3

2 22 2

x y zy z

x y zx y

+ + = + = + − = − =


A−

= − − −

y 2 1 3 14

* 3 1 1 43 2 2 2

A− −

= − − − −

.

Como 12 0 rg( ) rg( *) 3 nº de incógnitasA A A= ≠ ⇒ = = = y el sistema es compatible determinado, aplicando la regla de Cramer tenemos:

14 1 34 1 12 2 2 24 2

12x

A

− −− − −

−= = = −

2 14 33 4 13 2 2 12 1

12y

A

−− −

−= = =

2 1 143 1 43 2 2 36 3

12z

A

− −− −

− −= = = −

b) Las matrices del sistema son 2 1 33 1 11 1 15

A−

= − − − −

y 2 1 3 14

* 3 1 1 41 1 15 40

A− −

= − − − − − −

.

Como 0A = y 2 1

1 0 rg( ) 23 1

A−

= ≠ ⇒ =−


columna de términos independientes y la tercera fila: 2 1 143 1 4 4 0 rg( *) 31 1 40

A− −− − = ≠ ⇒ =

− − −

Por tanto, rg( ) rg( *)A A≠ y el sistema es incompatible, no tiene solución.


A−

= − − − −

y 2 1 3 14

* 3 1 1 44 1 5 6

A− −

= − − − − −

.

Como 0A = y 2 1

1 0 rg( ) 23 1

A−

= ≠ ⇒ =−


columna de términos independientes y la tercera fila: 2 1 143 1 4 0 rg( *) 24 1 6

A− −− − = ⇒ =−


Para resolverlo, teniendo en cuenta el menor de orden 2 anterior, eliminamos la tercera ecuación y hacemos z = λ , obteniendo:

14 3 1 2 14 32 14 3 4 1 3 410 4 , 34 11

2 1 2 13 43 1 3 1

x yx y

x y

− − λ − − − λ− = − − λ − + λ − − + λ ⇒ = = + λ = = + λ − −− = − + λ

− −

Por tanto, las soluciones del sistema son 10 4 , 34 11 ,x y z= + λ = + λ = λ .

d) Las matrices del sistema son

2 1 10 2 11 2 12 1 0

A

= − −

y

2 1 1 40 2 1 3

*1 2 1 22 1 0 2

A

= − −

.

Como * 9 rg( *) 4A A= − ⇒ = , por otro lado, rg( ) 3A ≤ , por tanto, rg( ) rg( *)A A≠ y el sistema es incompatible, no tiene solución.



35. Dado el sistema:

+ + = + + = − =

3 2 12 2

x y z aax ay az

ay z

a) Determina el valor del parámetro a para que el sistema sea compatible determinado.

b) ¿Existe algún valor del parámetro a para que el sistema sea compatible indeterminado? ¿E incompatible?

a) Las matrices del sistema son = −

1 1 13 20 2

A a a aa

y = −

1 1 1* 3 2 1

0 2 2

aA a a a

a.

El sistema es compatible determinado si ≠ 0A :

20 2 2 0 0, 1A a a a a= ⇒ + = ⇒ = = −

Por tanto, el sistema es compatible determinado si 0a ≠ y 1a ≠ − .

b) Estudiamos que ocurre si 0a = o 1a = − .

• Para 0a = tenemos 0A = , 1 1 10 0 00 0 2

A = −

y 1 1 1 0

* 0 0 0 10 0 2 2

A = −

.

Como 1 1

2 0 rg( ) 20 2

A= − ≠ ⇒ =−

, ampliando este menor con la columna de términos independientes y la

segunda fila tenemos:

1 1 00 0 1 2 0 rg( *) 30 2 2

A= ≠ ⇒ =−

.


• Para 1a = − tenemos 0A = , 1 1 13 2 10 1 2

A = − − − − −

y 1 1 1 1

* 3 2 1 10 1 2 2

A−

= − − − − −

.

Como 1 1

1 0 rg( ) 23 2

A= ≠ ⇒ =− −

, ampliando este menor con la columna de términos independientes y la

tercera fila tenemos:

1 1 13 2 1 0 rg( *) 20 1 2

A−

− − = ⇒ =−

.


En resumen, el sistema es compatible indeterminado si 1a = − e incompatible si 0a = .


36. Discute en función del valor del parámetro a el sistema: 2 0

3 2 2 32 2 8

x y zx y zx y az

− + = + − = + + =

Las matrices del sistema son 1 2 13 2 22 2

Aa

− = −

y 1 2 1 0

* 3 2 2 32 2 8

Aa

− = −

.

70 8 14 04

A a a= ⇒ + = ⇒ = −

• Para 74

a ≠ − tenemos 0A ≠ , con lo que rg( ) rg( *) nº de incógnitas 3A A= = = y el sistema es compatible

determinado.

• Para 74

a = − tenemos 0A = ,

1 2 13 2 2

72 24

A

− − =

−

y

1 2 1 03 2 2 3*

72 2 84

A

− − =

−

.

Como 1 2

8 0 rg( ) 23 2

A−

= ≠ ⇒ = , ampliando este menor con la columna de términos independientes y la

tercera fila tenemos 1 2 03 2 3 46 0 rg( *) 32 2 8

A−

= ≠ ⇒ = .




40. Tres jugadores convienen que el que pierda una partida doblará el dinero que en ese momento tengan los otros dos. Después de haber perdido todos ellos una partida, cada jugador se retira con 20 €. ¿Cuánto dinero tenían al principio del juego? Sean A, B y C los jugadores, siendo A el primero en perder, B el segundo en perder y C el tercero en perder. Sean x, y y z las cantidades con las que comienza cada jugador respectivamente. La siguiente tabla recoge las condiciones del enunciado:

Jugador A Jugador B Jugador C

Inicio x Y z

Después de la 1ª partida

− −x y z 2y 2z


( )− − =

= − −

22 2 2x y zx y z

( )− − − − =

= − + −

2 23

y x y z zx y z

4z


( )− − =

= − −

2 2 2 24 4 4

x y zx y z

( )− + − =

= − + −

2 32 6 2x y zx y z

( ) ( )− − − − − + − =

= − − +

4 2 2 2 37

z x y z x y zx y z

Obtenemos, por tanto:

− − = ⇒ = = =− + − =− − + =

4 4 4 2032,5 €; 17,5 €; 10 €2 6 2 20

7 20

x y zx y zx y z

x y z


41. Una naviera ha vendido 128 cruceros de los tipos A, B y C, cuyos precios son 1550, 600 y 900 €, respectivamente, recaudando 112 800 €. Si por cada persona que va al crucero A, 2 van al crucero C, ¿cuántas personas van al crucero B? Sean x, y y z las personas que van al crucero A, B y C, respectivamente.

Las condiciones del enunciado nos llevan a plantear el sistema lineal:

1281500 600 900 112800

2

x y zx y z

z x

+ + = + + = =

Resolviendo el sistema obtenemos 24x = , 56y = y 48z = , es decir, van 56 personas al crucero B.

42. Una persona decide invertir un total de 60 000 €, repartidos en tres entidades de ahorro distintas: A, B y C. Esta persona decide que la cantidad invertida en la entidad A sea la mitad que la cantidad invertida en las entidades B y C. Además, se sabe que la entidad A le ha asegurado una rentabilidad del 5 %, la entidad B, una rentabilidad del 10 %, y la entidad C, una rentabilidad el 2 %. Calcula las cantidades invertidas en cada entidad de ahorro si se sabe que los beneficios totales han sido de 4200 €. Sean x, y y z las cantidades invertidas en A, B y C, respectivamente.


+ + = + + =+ = ⇒ − − = + + = + + =

6000060000

2 025 10 2 5 10 2 4200004200

100 100 100

x y zx y zy zx x y zx y zx y z

Resolviendo el sistema obtenemos que se han invertido 20000x = € en la entidad A, 30000y = € en la entidad B y 10000z = € en la entidad C.


EJERCICIOS

Forma matricial de un sistema

52. Escribe en forma matricial los siguientes sistemas.

a) 3 2 45 72 2 3 9

x y zx y zx y z

+ − = − + = + − =

c) 2 3 12 2 0

x y z tx z t+ − + =

− + =

b) 2 2 03 3 14 4 0

x zx yy z

− = + = − =

d)

12 23 2

4

x yx yx yx y

+ = + = − = − + = −

a) 3 2 1 45 1 1 72 2 3 9

xyz

− − = −

c) 2 3 1 1 12 0 2 1 0

xyzt

− = −

b) 2 0 2 03 3 0 10 4 4 0

xyz

− = −

d)

1 1 11 2 21 3 21 1 4

xy

= − − −


53. Para cada uno de los siguientes sistemas, escribe la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada.

a) 2 4

22 2 0

x y zx yx y z

+ − = − = + + =

c) {3 2 0x y+ = e)

2 3 22 4 2

02 3 2 3

x y z tx y z t

x y z tx y z t

+ − + =− − + − = − + + + =− + − + =

b) 2 3 3 23 2

x y zx y z

+ − = − − = −

d) 0

3 23 4

x yx yx y

+ = − = − =

f) 3 04 1xy=

=

a) 2 1 11 1 01 2 2

A−

= −

y 2 1 1 4

* 1 1 0 21 2 2 0

A−

= −

b) 2 3 31 1 3

A− = − −

y 2 3 3 2

*1 1 3 2

A− = − − −

c) ( )3 2A = y ( )* 3 2 0A =

d) 1 11 33 1

A = − −

y 1 1 0

* 1 3 23 1 4

A = − −

e)

1 2 3 11 2 4 11 1 1 12 3 1 2

A

− − − − = − −

y

1 2 3 1 21 2 4 1 2

*1 1 1 1 02 3 1 2 3

A

− − − − − = − −

f) 3 00 4

A =

y 3 0 0

*0 4 1

A =

54. Escribe de forma desarrollada los siguientes sistemas.

a) 2 2 3 11 0 2 22 2 1 3

xyz

− − = − −

b)

1 222 33 12

4

xy

− = −

c) 1 2 1 0 20 2 3 1 3

xyzt

− = − −

a) 2 2 3 1

2 22 2 3

x y zx zx y z

− + = − = + − = −

b)

1 222 3

32 14

x y

x y

− + =− + =

c) 2 22 3 3x y zy z t

− + + =− + + = −

Soluciones de un sistema

55. Dado el sistema de ecuaciones lineales: + − =

− + − = + − = −

2 3 3 12 4 5

3 2 1

x y zx y z

x y z

Escribe sistemas equivalentes a él aplicando sucesivamente las siguientes transformaciones.

I. → +2 2 1E E E II. 3 3 12 3E E E→ − III. 3 3 24 5E E E→ +

2 2 1 3 3 1 3 3 22 3 4 5

2 3 3 1 2 3 3 1 2 3 3 1 2 3 3 12 4 5 4 7 6 4 7 6 4 7 6

3 2 1 3 2 1 5 7 5 7 10E E E E E E E E E

x y z x y z x y z x y zx y z y z y z y z

x y z x y z y z z→ + → − → +

+ − = + − = + − = + − = − + − = → − = → − = → − = + − = − + − = − − + = − − =


56. Escribe un sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas sabiendo que una de sus soluciones es (–2, 3, 7).

8612

x y zx y zx y z

+ + = + − = − − − = −

57. Dado el sistema: + − =

+ − = + − =

3 2 42 23

x y z ax y z bx y z c

Calcula el valor de a, b y c para que la terna (2, −1, 4) sea solución del mismo. Sustituyendo las incógnitas por los valores de la solución tenemos = − = − =12, 2, 1a b c .

Estudio y resolución de sistemas

58. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por el método de Gauss.

a) 2 2 23 5 21

x yx y+ =

− = − b) 3 2 7

2 7 37x yx y

− − =− + = −

a) 2 2 12 3

2 2 2 2 2 2 2 2 2 23 5 21 0 16 48 16 48 3F F F

x y xy y→ −

+ = = − → ⇒ ⇒ − − − − − = − =

b) 2 2 13 2

3 2 7 3 2 7 3 2 7 12 7 37 0 25 125 25 125 5F F F

x y xy y→ −

− − − − − − = = → ⇒ ⇒ − − − = − = −

59. Aplica el método de Gauss para resolver los siguientes sistemas de ecuaciones.

a) 2 2

2 2 12 2 3 1

x y zx y zx y z

+ − = − + = + − =

c) 2 3 3

3 2 75 2 5 1

x y zx y zx y z

+ − = − + = + − =

e) 2 5

5 2 116 5

x y zx y zx y z

+ − = − − + = + + =

g)

3 2 11 2 1 56 3 2 23 11 4 10

x y z

x y z

x y z

− + + = − + =

− + =

b) 3 2 6

2 3 2 84 2 6 6

x y zx y zx y z

+ − = + − = + − =

d) 2 2 4

2 5 2 104 9 6 18

x y zx y zx y z

+ − = + − = + − =

f) 3 2 6

2 3 5 65 3 8 6

x y zx y zx y z

+ − = − − + = − + =

h)

2 3 111 1 1

13 135 8 9 59

x y z

x y

x y z

+ − = + =

+ − =

a) 2 2 1 3 3 23 3 1

2 32

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 12 2 1 1 0 6 3 3 0 6 3 3 6 3 3 12 2 3 1 0 2 1 3 0 0 6 6 6 6 1

F F F F F FF F F

x y z xy z y

z z→ − → −→ −

− − − + − = = − → − − → − − ⇒ − + = − ⇒ = − − − − − − − = − =

b) 2 2 1 3 3 23 3 1

2 3 104

1 3 2 6 1 3 2 6 1 3 2 6 3 2 62 3 2 8 0 3 2 4 0 3 2 4 3 2 44 2 6 6 0 10 2 18 0 0 14 14 14 14

F F F F F FF F F

x y zy z

z→ − → −→ −

− − − + − = − → − − → − − ⇒ − + = − ⇒ − − − − − − = −

221

xyz

=⇒ = =

c) 2 2 1 3 3 23 3 1

35

1 2 3 3 1 2 3 3 1 2 3 33 2 1 7 0 8 10 2 0 8 10 25 2 5 1 0 8 10 14 0 0 0 12

F F F F F FF F F→ − → −→ −

− − − − → − − → − − ⇒ − − − −

Sin solución.


d) 2 2 1 3 3 23 3 1

24

1 2 2 4 1 2 2 4 1 2 2 4 62 2 4

2 5 2 10 0 1 2 2 0 1 2 2 2 22 2

4 9 6 18 0 1 2 2 0 0 0 0F F F F F FF F F

xx y z

yy z

z→ − → −→ −

− − − = λ + − = − → → ⇒ ⇒ = − λ + = − = λ

e) 2 2 1 3 3 23 3 1

56

1 2 1 5 1 2 1 5 1 2 1 55 1 2 11 0 11 7 36 0 11 7 366 1 1 5 0 11 7 35 0 0 0 1

F F F F F FF F F→ − → −→ −

− − − − − − − → − → − ⇒ − −

Sin solución.

f) 2 2 1 3 3 23 3 1

2 25

1 3 2 6 1 3 2 6 1 3 2 63 2 6

2 3 5 6 0 9 9 18 0 9 9 189 9 18

5 3 8 6 0 18 18 36 0 0 0 0F F F F F FF F F

x y zy z→ − → −

→ −

− − − − − − + − = − − → − → − ⇒ ⇒ − + = − −

2xyz

= −λ⇒ = − + λ = λ

g) 2 2 1 3 3 23 3 1

23

1 3 2 1 1 3 2 1 1 3 2 11 4 3 15 0 1 5 16 0 1 5 163 11 4 10 0 2 10 13 0 0 0 19

F F F F F FF F F→ + → −→ +

− − − − → − → − ⇒ − − −

Sin solución.

h) 2 2 1 3 3 23 3 1

25

1 2 3 11 1 2 3 11 1 2 3 11 15 32 3 11

1 1 0 13 0 1 3 2 0 1 3 2 2 33 2

5 8 9 59 0 2 6 4 0 0 0 0F F F F F FF F F

xx y z

yy z

z→ − → −→ −

− − − = − λ + − = → − → − ⇒ ⇒ = − + λ − + = − − = λ

60. Aplicando el método de Gauss, estudia y resuelve los siguientes sistemas de dos ecuaciones lineales con tres incógnitas.

a) 2 9 52 2 2x y zx y+ + =

− = − b) 2 2 4 2

2 1x y zx y z+ − =

− − + = c) 3

2 2 0x y zx y+ + =

+ = d) 6

0x y zx y z+ + =

− − =

a) 2 2 12

1 2 9 5 1 2 9 52 2 0 2 0 6 18 12F F F→ −

→ − − − − −

Sistema compatible indeterminado, haciendo z = λ , las soluciones son:

1 32 5 9

2 36 12 18

xx y

yy

z

= − λ+ = − λ ⇒ = − λ − = − + λ = λ

b) 2 2 12

2 2 4 2 2 2 4 21 1 2 1 0 0 0 4F F F→ +

− − → ⇒ − −

Sistema incompatible, no tiene solución.

c) 2 2 12

1 1 1 3 1 1 1 32 2 0 0 0 0 2 6F F F→ −

→ − −

Sistema compatible indeterminado, haciendo y = λ , las soluciones son:

32 6

3

xx z

yz

z

= −λ+ = − λ ⇒ = λ − = − =

d) 2 2 1

1 1 1 6 1 1 1 61 1 1 0 0 2 2 6F F F→ −

→ − − − − −

Sistema compatible indeterminado, haciendo z = λ , las soluciones son:

36

32 6 2

xx y

yy

z

=+ = − λ ⇒ = − λ − = − + λ = λ


61. Estudia y resuelve, por el método de Gauss, los siguientes sistemas de cuatro ecuaciones lineales con dos incógnitas.

a)

2 32 3 1

12 119 10

x yx y

x yx y

+ = − = − − = − + =

b)

2 3 32 1

2 4 22

x yx yx y

x y

− = − = − − = + =

a) 2 2 1 3 3 23 3 1 4 4 24 4 1

2 2

1 2 3 1 2 3 1 2 32 3 1 0 7 7 0 7 71 12 11 0 14 14 0 0 01 9 10 0 7 7 0 0 0


→ − → −→ − → +→ −

− − − − − − → → − − − −


2 3 17 7 1

x y xy y

+ = = ⇒ − = − =

b) 2 2 1 3 3 23 3 1 4 4 24 4 1

25

2

2 3 3 2 3 3 2 3 31 2 1 0 1 5 0 1 52 4 2 0 1 1 0 0 41 1 2 0 5 1 0 0 24


→ − → −→ − → +→ −

− − − − − − − − − → → ⇒ − − − −

Sistema incompatible, no tiene solución.

62. Aplicando el método de Gauss, estudia y resuelve el siguiente sistema de cuatro ecuaciones lineales con cuatro incógnitas.

a)

2 2 82

2 3 13 3 10

x y z wx y z wx y z wx y z w

+ − + = − − − + = − + − − = − + + − =

b)

2 22 2 42 3 4 23 3 0

x y z wx y z wx y z wx z w

+ − + = − − + = + − − = − − − =

a) 2 2 1 3 3 2 4 4 33 3 1 4 4 24 4 1

2 7 623

1 1 2 2 8 1 1 2 2 8 1 1 2 2 8 1 1 2 2 81 1 1 1 2 0 2 1 1 6 0 2 1 1 6 0 2 1 1 62 3 1 1 1 0 1 3 5 15 0 0 7 11 36 0 0 7 113 1 1 3 10 0 2 7 9 34 0 0 6 8 28


→ − → + → −→ − → −→ −

− − − − − − − − − − − − − − − − − → → → − − − − − − − − − −

360 0 0 10 20

−


2 2 8 12 6 1

7 11 36 210 20 2

x y z w xy z w y

z w zw w

+ − + = − = − + − = = − ⇒ − = = = − = −

b) 2 2 1 3 3 2 4 4 33 3 1 4 4 24 4 1

2 52 5 63

1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 22 1 1 2 4 0 5 1 0 0 0 5 1 0 0 0 5 1 0 02 3 1 4 2 0 1 1 6 6 0 0 4 30 30 0 0 4 30 303 0 1 3 0 0 6 2 6 6 0 0 4 30 30


→ − → − → −→ − → −→ −

− − − − − − − − − → → → − − − − − − − − − − − − − − − − − 0 0 0 0 0

Sistema compatible indeterminado, haciendo w = λ , las soluciones son:

5 72

2 2 3 35 0 2

15 154 30 302

x

x y zyy z

z z

w

− + λ =+ − = − λ − + λ = − + = ⇒

− + λ= − + λ = = λ


63. Comprueba que los siguientes sistemas son compatibles determinados y resuélvelos utilizando la regla de Cramer.

a) 2 3 75 4 14

x yx y− =

− = c) 3 15

5 27x yx y

− + =− − =

b) 5 2 232 4 10x y

x y+ = −

− + = − d)

2 733 3

2 212 5 60

x y

x y

− = − =

a) El determinante de la matriz de coeficientes es 2 3

7 05 4

A−

= = ≠−

.

Por tanto, rg( ) rg( *) nº de incógnitas 2A A= = = y el sistema es compatible determinado.

La solución es:

7 31414 4 27

xA

−−

= = =

2 775 14 1

7y

A−

= = = −

b) El determinante de la matriz de coeficientes es 5 2

24 02 4

A = = ≠−

.


La solución es:

23 27210 4 3

24x

A

−−−

= = = −

5 23962 10 4

24y

A

−−− −

= = = −

c) El determinante de la matriz de coeficientes es 1 3

16 05 1

A−

= = ≠− −

.


La solución es:

15 39627 1 6

16x

A−−

= = = −

1 15485 27 316

yA

−−

= = =

d)

2 73 2 9 73 32 21 10 8 7

2 5 60

x y x yx x yy

− = − = ⇒ − = − =

El determinante de la matriz de coeficientes es 2 9

74 010 8

A−

= = ≠−

.


La solución es:

7 977 8

74x

A

−−

= =

2 756 2810 7

74 37y

A−

= = = −


64. *Comprueba que los siguientes sistemas son compatibles determinados y resuélvelos utilizando la regla de Cramer.

a) 2 3 14

2 2 103 2 5 22

x y zx y z

x y z

− + =− + − = − − + =

c)

2 3 30 41 1 53 33 5 33

x y z

x y z

x y z

− = −− − + =− + − = −

b) 3

2 03 2 1

x y zx y zx y z

− − = − + = + + = −

d) 2 2 33 2 2

2 6 5

x y zx y z

x y z

+ − = − − =− − + =

a) El determinante de la matriz de coeficientes es 1 2 32 1 2 4 03 2 5

A−

= − − = − ≠−

.

Por tanto, rg( ) rg( *) nº de incógnitas 3A A= = = y el sistema es compatible determinado. La solución es:

14 2 310 1 222 2 5 4 1

4x

A

−− −

− −= = =

−

1 14 32 10 23 22 5 8 2

4y

A

− − −

= = = −−

1 2 142 1 103 2 22 12 3

4z

A

−− −

− −= = =

−

b) El determinante de la matriz de coeficientes es 1 1 12 1 1 7 03 1 2

A− −

= − = − ≠ .


3 1 10 1 11 1 2 7 1

7x

A

− −−

− −= = =

−

1 3 12 0 13 1 2 0 0

7y

A

−

−= = =

−

1 1 32 1 03 1 1 14 2

7z

A

−−

−= = = −

−

c)

2 3 30 4 2 3 4 301 1 5 3 153 3 3 5 333 5 33

x y z x y zx y z x y z

x y zx y z

− = − − + = − − + = ⇒ − − + = − + − = −− + − = −

El determinante de la matriz de coeficientes es 2 3 41 1 3 30 03 1 5

A−

= − − = ≠− −

.


30 3 415 1 333 1 5 60 2

30x

A

−−

− −= = =

2 30 41 15 33 33 5 60 2

30y

A

−− − − −

= = = −

2 3 301 1 153 1 33 150 5

30z

A

−− −− −

= = =

d) El determinante de la matriz de coeficientes es 2 2 13 2 1 4 02 6 1

A−

= − − = ≠− −

.


3 2 12 2 15 6 1 36 9

4x

A

−− −− −

= = = −

2 3 13 2 12 5 1 8 2

4y

A

−−

− −= = = −

2 2 33 2 22 6 5 100 25

4z

A

−− − −

= = = −


65. Dado el sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas:

+ + = + + = + + = + + =

445

2 5

x y zx y wy z wx y w

a) Comprueba que verifica las condiciones para aplicar la regla de Cramer.

b) Calcula su solución.

a) El sistema es cuadrado y el determinante de la matriz de coeficientes es:

3 3 1

1 1 1 0 1 1 1 01 1 1

1 1 0 1 1 1 0 11 0 1 1 0

0 1 1 1 1 0 0 12 1 1

2 1 0 1 2 1 0 1F F F→ −= = − = ≠

−

Por tanto, se puede aplicar la regla de Cramer.

b)

4 1 1 04 1 0 15 1 1 15 1 0 1 1x

A= =

1 4 1 01 4 0 10 5 1 12 5 0 1 1y

A= =

1 1 4 01 1 4 10 1 5 12 1 5 1 2z

A= =

1 1 1 41 1 0 40 1 1 52 1 0 5 2w

A= =

66. Comprueba que la matriz de los coeficientes de los siguientes sistemas es regular y resuélvelos como si fueran una ecuación matricial.

a) 3 15 2 1x y

x y− =

− + = − b)

2 32 3 3

2 12

x zx y z

x y z

+ = − + = − + + =

c) 021

x yy zx y

+ =− + =− + =

d)

2 62 2

562

x y zx z

x y

+ + = − = −− − = −

a) 3 1 3 1 15 2 1 5 2 1x y x

x y y− = − ⇒ = − + = − − −


( )1 12 5 2 1 1 11 Adj( )1 3 5 3 1 2

tt x

A A AyA

− − = = = ⇒ = = −

Por tanto, la solución del sistema es 1, 2x y= = .

b) 2 3 1 0 2 3

2 3 3 2 1 3 32 12 1 2 1 12

x z xx y z y

x y z z

+ = − + = − ⇒ − = − + + =


( )1 1

7 4 23 3 37 1 5 3 3

1 1 1 1 1Adj( ) 4 1 2 3 63 3 3 32 1 1 12 35 2 1

3 3 3

t

tx

A A y AA z

− −

− − −

= = − − = − ⇒ = − = − − −

Por tanto, la solución del sistema es 3, 6, 3x y z= − = = .


c) 0 1 1 0 02 0 1 1 21 1 1 0 1

x y xy z yx y z

+ = − + = ⇒ − = − + = −


( )1 1

1 1 102 2 21 1 1 0

1 1 1 1 1Adj( ) 0 0 2 0 22 2 2 21 1 1 11 1 51

2 2 2

t

tx

A A y AA z

− −

− − − − − = = − = ⇒ = = − − −

Por tanto, la solución del sistema es 1 1 5, ,2 2 2

x y z= − = = .

d)

2 6 1 1 2 62 62 2 2 0 1 22 2

5 12 2 0 512 2 562

x y z xx y zx z yx z

zx yx y

+ + = + + = − = − ⇒ ⇒ − = −− = − − − −− − = −− − = −


( )1 1

1 11 22 12 4 62 21 1Adj( ) 4 24 10 25 16 122 1 5 2 52 22 5 1 3

t

tx

A A y AA z

− −

− − − − − = = − − = ⇒ = − = − − − − − − −

Por tanto, la solución del sistema es 1 1, , 32 2

x y z= = − = .

67. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones.

+ = + = + =

4 5 14

4 3 512

5 3 13

x y

x z

y z

El sistema es no lineal, pero si hacemos 4 5 3, y a b cx y z

= = = se transforma en un sistema lineal:

14 4 4 15 12 12 5

12 3 3 113

a ba b

a c a cb c

b c

+ =+ =

+ = ⇒ + = + =

+ =

Aplicando el método de Gauss tenemos:

2 2 1 3 3 23 4

164 4 0 1 4 4 0 1 4 4 0 1 4 4 1112 0 12 5 0 12 12 2 0 12 12 2 12 12 2

120 3 3 1 0 3 3 1 0 0 24 6 24 6 14

F F F F F F

aa b

b c bc

c

→ − → +

=+ =

→ − → − ⇒ − + = ⇒ = = =

Deshaciendo los cambios tenemos que la solución del sistema no lineal es 24, 60, 12x y z= = = .


Teorema de Rouché

68. Calcula las soluciones del sistema: − + =

+ − =

22

x y zx y z

Si se añade la ecuación = 3x , ¿tiene solución el nuevo sistema?

Como 1 1

2 01 1

−= ≠ hacemos z = λ y resolvemos el sistema resultante:

222

xx y

yx y

z

=− = − λ ⇒ = λ + = + λ = λ

Si añadimos la ecuación 3x = , las soluciones del nuevo sistema tienen que ser soluciones del sistema original, por tanto, al añadir la nueva ecuación, el sistema resultante no tiene solución.

69. Discute con la ayuda del teorema de Rouché y resuelve mediante la regla de Cramer los sistemas:

a)

2 2 332

3 2 2

x y

x y

x y

+ = + =

− =

c) 2 5 0

2 1 5 03 3

x y

x y

− − =− + − =

b) 7

1 1 7 02 2 2

x y

x y

+ =− − + =

d) 2 3

2

y xxy

= − +

=

a)

2 2 3 2 2 33 2 2 32 3 2 23 2 2

x y x yx y x y

x yx y

+ = + = + = ⇒ + = − =− =

Las matrices del sistema son 2 22 23 2

A = −

y 2 2 3

* 2 2 33 2 2

A = −

.

Como * 0A = y 2 2


A A= − ≠ ⇒ = = =−

y el sistema es compatible

determinado. Para resolverlo eliminamos la primera ecuación:

3 2 2 32 2 3 10 5 12 2 3 21

2 2 2 23 2 2 10 10 23 2 3 2

x yx y

x y+ = − −− ⇒ = = = = = = − = − −

− −

b) 7 7

1 1 7 702 2 2

x y x yx yx y

+ = + = ⇒ + =− − + =

Las matrices del sistema son 1 11 1

A =

y 1 1 7

*1 1 7

A =

con rg( ) rg( *) 1 nº de incógnitasA A= = < , por tanto,

el sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo eliminamos la primera ecuación y hacemos y = λ , obteniendo como soluciones 7 ,x y= − λ = λ .


c) 2 5 0 2 5

2 1 2 155 03 3

x y x yx yx y

− − = − = ⇒ − + =− + − =


A− = −

y 2 1 5

*2 1 15

A− = −

.

Como 0 rg( ) 1A A= ⇒ = , como 1 5

20 0 rg( *) 21 15

A−

= − ≠ ⇒ = , por tanto, rg( ) rg( *)A A≠ y el sistema es

incompatible.

d) 2 3 2 3

2 02

y x x yx x yy

= − + + = ⇒ − + ==


A = − y

2 1 3*

1 2 0A = −

.

Como 5 0 rg( ) rg( *) 2 nº de incógnitasA A A= ≠ ⇒ = = = y el sistema es compatible determinado con solución:

3 1 2 36 30 2 1 05 5

x yA A

−= = = =


a) 3 2 17

5 2 4 174 5 17

x y zx y z

x y z

− + = −− + − = − + − =

c) 2 2 4

2 5 2 104 9 6 18

x y zx y zx y z

+ − = + − = + − =

e) 3 5 3

3 5 7 33 3 1

x y zx y zx z

+ + = + + = − =

b) 2 3 3

3 2 75 2 5 1

x y zx y zx y z

+ − = − + = + − =

d) 2 22 2

2 2 4 3

x zy zx y z

+ = + = + + =

f) 2 2 6 02 5 4 2

3 0

x y zx y z

x y z

+ + = + + = + + =


A−

= − − −

y 3 2 1 17

* 5 2 4 174 1 5 17

A− −

= − − − −

.

Como 51 0 rg( ) rg( *) 3 nº de incógnitasA A A= ≠ ⇒ = = = y el sistema es compatible determinado con solución:

17 2 117 2 417 1 5 357 7

51x

A

− −− −

−= = =

3 17 15 17 44 17 5 1139 67

51 3y

A

−− − −

−= = =

2 2 173 2 172 6 17 340 20

51 3z

A

−− −

− −= = =


A−

= − −

y 1 2 3 3

* 3 2 1 75 2 5 1

A−

= − −

.

Como 0A = y 1 2

8 0 rg( ) 23 2

A= − ≠ ⇒ =−



A− = ≠ ⇒ =




A−

= − −

y 1 2 2 4

* 2 5 2 104 9 6 18

A−

= − −

.

Como 0A = y 1 2

1 0 rg( ) 22 5

A= ≠ ⇒ = . Para calcular rg( *)A ampliamos el menor anterior añadiendo la


A= ⇒ =

Por tanto, rg( ) rg( *) 2 nº de incógnitasA A= = < y el sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo, teniendo en cuenta el menor de orden 2 anterior, eliminamos la tercera ecuación y hacemos z = λ , obteniendo:

4 2 2 1 4 22 4 2 10 2 5 2 10 26 , 2 2 ,

1 2 1 22 5 10 22 5 2 5

x yx y z

x y

+ λ + λ+ = + λ + λ + λ ⇒ = = λ = = − λ = λ + = + λ

d) Las matrices del sistema son 1 0 20 1 22 2 4

A =

y 1 0 2 2

* 0 1 2 22 2 4 3

A =

.

Como 4 0 rg( ) rg( *) 3 nº de incógnitasA A A= − ≠ ⇒ = = = y el sistema es compatible determinado con solución:

2 0 22 1 23 2 4 2 1

4 2x

A= = = −

−

1 2 20 2 22 3 4 2 1

4 2y

A= = = −

−

1 0 20 1 22 2 3 5 5

4 4z

A−

= = =−

e) Las matrices del sistema son 1 3 53 5 73 0 3

A = −

y 1 3 5 3

* 3 5 7 33 0 3 1

A = −

.

Como 0A = y 1 3

4 0 rg( ) 23 5

A= − ≠ ⇒ = . Para calcular rg( *)A ampliamos el menor anterior añadiendo la


A= − ≠ ⇒ =


f) Las matrices del sistema son 2 2 62 5 41 1 3

A =

y 2 2 6 0

* 2 5 4 21 1 3 0

A =

.

Como 0A = y 2 2

6 0 rg( ) 22 5

A= ≠ ⇒ = . Para calcular rg( *)A ampliamos el menor anterior añadiendo la


A= ⇒ =

Por tanto, rg( ) rg( *) 2 nº de incógnitasA A= = < y el sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo, teniendo en cuenta el menor de orden 2 anterior, eliminamos la tercera ecuación y hacemos z = λ , obteniendo:

6 2 2 62 2 6 2 4 5 2 2 44 22 2 11 4 4 2 2, ,

2 2 2 22 5 2 4 6 3 6 32 5 2 5

x yx y z

x y

− λ − λ+ = − λ − λ − λ− − λ − − λ + λ + λ ⇒ = = = = = = = λ + = − λ


71. Estudia y resuelve, si es posible, el sistema:

+ = + = + =

43

2 5

x yz wz w

Las matrices del sistema son =

1 1 0 00 0 1 10 0 2 1

A y =

1 1 0 0 4* 0 0 1 1 3

0 0 2 1 5A .

Como = − ≠ ⇒ = = <1 0 00 1 1 1 0 rg( ) rg( *) 3 nº de incógnitas0 2 1

A A y el sistema es compatible indeterminado.

Para resolverlo, teniendo en cuenta el menor de orden 3 anterior, hacemos x = λ , obteniendo:

43 , 4 , 2, 1

2 5

yz w x y z wz w

= − λ + = ⇒ = λ = − λ = = + =


a)

42 5

42 3 2

x zy z

x y zx y

+ = + = + + = + = −

c)

2 42 3

2 22 2

x y zy z

x y zx y

+ + = + = + − = − =

b)

32 3

3 2 60

x y zy z

x y zx y

+ + = + = + + = − =

d)

2 5 4 18 6 54 8 1

6 4 3

x y zy zy z

x y z

− + + = + = + = + + =

a) Las matrices del sistema son

1 0 10 2 11 1 12 3 0

A

=

y

1 0 1 40 2 1 5

*1 1 1 42 3 0 2

A

= −

.

Como * 0 rg( *) 3A A= ⇒ ≤ . Como 1 0 10 2 1 1 0 rg( ) rg( *) 3 nº de incógnitas1 1 1

A A= − ≠ ⇒ = = = y el sistema es

compatible determinado.

Para resolverlo, teniendo en cuenta el menor de orden 3 anterior, eliminamos la cuarta ecuación y resolvemos el sistema resultante, obteniendo:

4 0 15 2 14 1 1 1 11 0 1 10 2 11 1 1

x = = = −−

1 4 10 5 11 4 1 0 01 0 1 10 2 11 1 1

y = = =−

1 0 40 2 51 1 4 5 51 0 1 10 2 11 1 1

z −= = =

−


b) Las matrices del sistema son

1 1 10 2 11 3 21 1 0

A

= −

y

1 1 1 30 2 1 3

*1 3 2 61 1 0 0

A

= −

.

Como * 0 rg( *) 3A A= ⇒ ≤ . Todos los menores de orden 3 en A son nulos y 1 1

2 00 2

= ≠ , con lo que

rg( ) 2A = . Los menores de orden 3 de A* que se obtienen ampliando el menor de orden 2 anterior son nulos, con lo que rg( *) 2A = .


Para resolverlo, teniendo en cuenta el menor de orden 2 anterior, eliminamos la tercera y cuarta ecuación y hacemos z = λ , obteniendo:

3 1 1 33 3 2 0 33 3, ,

1 1 1 12 3 2 20 2 0 2

x yx y z

y

− λ − λ+ = − λ − λ − λ− λ − λ ⇒ = = = = = λ = − λ

c) Las matrices del sistema son

2 1 10 2 11 2 12 1 0

A

= − −

y

2 1 1 40 2 1 3

*1 2 1 22 1 0 2

A

= − −

.

Como * 9 0 rg( *) 4A A= − ≠ ⇒ = , además, =rg( ) 3A , con lo que rg( ) rg( *)A A≠ y el sistema es incompatible.

d) Las matrices del sistema son

2 5 40 8 60 4 81 6 4

A

− =

y

2 5 4 10 8 6 5

*0 4 8 11 6 4 3

A

− =

.

Como * 154 0 rg( *) 4A A= ≠ ⇒ = , además, =rg( ) 3A , con lo que rg( ) rg( *)A A≠ y el sistema es incompatible.

Discusión y resolución de sistemas con parámetros

73. Estudia los siguientes sistemas según los valores del parámetro a y resuélvelos en los casos en que sea posible.

a) 2 3 03 2

x yx y a− =

− = e)

2 1ax y aa x ay

+ =

+ =

b) 3 (2 3) 13 1

x a yax y+ + =

− = − f) 1

2 ( 1) 2ax y

x a y− =

− + − =

c) 2 (3 ) 263 (2 ) 26x a y

x a y a+ − =

− + + = − − g) 1

2 1ax yx ay a

− = − = −

d) ( )

61 3

ax ayx a y

+ = + − =

h) 13 3

x yax y+ =

+ =

a) Las matrices del sistema son 2 33 2

A− = −

y 2 3 0

*3 2

Aa

− = − , con 5 0A = ≠ , por tanto, para cualquier valor

de a, rg( ) rg( *) 2 nº de incógnitasA A= = = y el sistema es compatible determinado. La solución es:

0 3 2 03 22 35 5a aa ax y

A A

−−

= = = =


b) Las matrices del sistema son 3 2 33 1

aA

a+ = −

y 3 2 3 1

*3 1 1

aA

a+ = − −

.

2 10 6 9 3 0 1,2

A a a a a= ⇒ − − − = ⇒ = − = −

• Para 1a ≠ − y 12

a ≠ − tenemos 0A ≠ , por lo que rg( ) rg( *) 2 nº de incógnitasA A= = = y el sistema es

compatible determinado. La solución es:

2 2

1 2 3 3 12 2 2 3 3 11 1 3 1

6 9 3 6 3 6 9 3 2 1

aa aax y

A a a a A a a a

++ − − −− − −

= = = = = =− − − + − − − +

• Para 1a = − tenemos 0A = , 3 13 1

A = − − y

3 1 1*

3 1 1A = − − −

.

Tanto en A como en A* las filas son proporcionales, por lo que rg( ) rg( *) 1 nº de incógnitasA A= = < y el sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo eliminamos la segunda ecuación y hacemos x = λ , obteniendo 1 3y = − λ .

• Para 12

a = − tenemos 0A = , 3 23 12

A = − −

y = − − −

3 2 1* 3 1 1

2A .

Las filas de A son proporcionales, pero no las de A*, por lo que rg( ) 1 rg( *) 2A A= ≠ = y el sistema es incompatible.

c) Las matrices del sistema son 2 33 2

aA

a− = − +

y 2 3 26

*3 2 26

aA

a a− = − + − −

.

0 13 0 13A a a= ⇒ − = ⇒ =

• Para 13a ≠ tenemos 0A ≠ , por lo que rg( ) rg( *) 2 nº de incógnitasA A= = = y el sistema es compatible determinado. La solución es:

2

26 3 2 263 130 26 226 2 3 2610 2

13 13

aa a aa a ax a y

A a A a

−− + + −− − + − − −

= = = + = = =− −

• Para 13a = tenemos 0A = , 2 103 15

A− = −

y 2 10 26

*3 15 39

A− = − −

.

Tanto en A como en A* las filas son proporcionales, por lo que rg( ) rg( *) 1 nº de incógnitasA A= = < y el sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo eliminamos la segunda ecuación y hacemos y = λ , obteniendo 13 5x = + λ .

d) Las matrices del sistema son 1 1a a

Aa

= − y

6*

1 1 3a a

Aa

= − .

20 2 0 0, 2A a a a a= ⇒ − = ⇒ = =

• Para 0a ≠ y 2a ≠ tenemos 0A ≠ , por lo que rg( ) rg( *) 2 nº de incógnitasA A= = = y el sistema es compatible determinado. La solución es:

2 2

6 63 6 3 3 6 33 1 1 3

2 2

a aa aax y

A a a a A a a a− −−

= = = = = =− −


• Para 0a = tenemos 0A = , 0 01 1

A = − y

0 0 6*

1 1 3A = −

.


• Para 2a = tenemos 0A = , 2 21 1

A =

y 2 2 6

*1 1 3

A =

.

Tanto en A como en A* las filas son proporcionales, por lo que rg( ) rg( *) 1 nº de incógnitasA A= = < y el sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo eliminamos la segunda ecuación y hacemos y = λ , obteniendo 3x = − λ .

e) Las matrices del sistema son 2

1aA

a a =

y 2

1*

1a a

Aa a =

, con 0A = para cualquier valor de a.

Como 1 1 0 rg( ) 1A= ≠ ⇒ = para cualquier valor de a, ampliando este menor tenemos:

21 rg( *) 2 si 1 y 11 0 1, 1

1 rg( *) 1 si 1 o 1a A a a

a a aa A a a

= ≠ − ≠= − = ⇒ = − = ⇒ = = − =.

• Para 1a ≠ − y 1a ≠ tenemos rg( ) rg( *)A A≠ y el sistema es incompatible.

• Para 1a = − tenemos rg( ) rg( *) 1 nº de incógnitasA A= = < y el sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo eliminamos la segunda ecuación y hacemos y = λ , obteniendo 1x = + λ .

• Para 1a = tenemos rg( ) rg( *) 1 nº de incógnitasA A= = < y el sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo eliminamos la segunda ecuación y hacemos y = λ , obteniendo 1x = − λ .

f) Las matrices del sistema son 1

2 1a

Aa− = − −

y 1 1

*2 1 2

aA

a− = − −

.

20 2 0 1, 2A a a a a= ⇒ − − = ⇒ = − =

• Para 1a ≠ − y 2a ≠ tenemos 0A ≠ , por lo que rg( ) rg( *) 2 nº de incógnitasA A= = = y el sistema es compatible determinado. La solución es:

−+ +− −

= = = = = =− − − − − −2 2

1 1 11 1 2 2 22 1 2 2

2 2 2 2

aa aax y

A a a a A a a a

• Para 1a = − tenemos 0A = , 1 12 2

A− − = − −

y 1 1 1

*2 2 2

A− − = − −

.

Tanto en A como en A* las filas son proporcionales, por lo que rg( ) rg( *) 1 nº de incógnitasA A= = < y el sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo eliminamos la segunda ecuación y hacemos y = λ , obteniendo 1x = − − λ .

• Para 2a = tenemos 0A = , 2 12 1

A− = −

y 2 1 1

*2 1 2

A− = −

.



g) Las matrices del sistema son 1

1a

Aa− = −

y 1 1

*1 2 1a

Aa a− = − −

.

20 1 0 1, 1A a a a= ⇒ − + = ⇒ = − =


2

2 2

1 1 11 1 2 1 2 12 1 1 2 11 1 1 1

aa a a aa a ax y

A a a A a a

−− − − +− − −

= = = − = = = −− + + − + +

• Para 1a = − tenemos 0A = , 1 11 1

A− − =

y 1 1 1

*1 1 3

A− − = −

.


• Para 1a = tenemos 0A = , 1 11 1

A− = −

y 1 1 1

*1 1 1

A− = −

.

Tanto en A como en A* las filas son proporcionales, por lo que rg( ) rg( *) 1 nº de incógnitasA A= = < y el sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo eliminamos la segunda ecuación y hacemos y = λ , obteniendo 1x = + λ .

h) Las matrices del sistema son 1 1

3A

a =

y 1 1 1

*3 3

Aa =

.

0 3 0 3A a a= ⇒ − = ⇒ =


1 1 1 10 33 3 30 1

3 3aax y

A a A a−

= = = = = =− −

• Para 3a = tenemos 0A = , 1 13 3

A =

y 1 1 1

*3 3 3

A =

.

Tanto en A como en A* las filas son proporcionales, por lo que rg( ) rg( *) 1 nº de incógnitasA A= = < y el sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo eliminamos la segunda ecuación y hacemos y = λ , obteniendo 1x = − λ .

74. Considera el sistema de ecuaciones:

− =− + =

1

2

yaxa

ax ay

Donde a es un cierto parámetro que no es nunca cero. ¿Existe algún valor de a para el que el sistema sea incompatible?

Las matrices del sistema son 1a

A aa a

− = −

y 1 1*

2

aA a

a a

− = −

.

Para que el sistema sea incompatible, es necesario (pero no suficiente) que 0A = :

20 1 0 1, 1A a a a= ⇒ − = ⇒ = − =


• Para 1a = − tenemos 0A = , 1 11 1

A− = −

y 1 1 1

*1 1 2

A− = −

.


• Para 1a = tenemos 0A = , 1 11 1

A− = −

y 1 1 1

*1 1 2

A− = −

.


Por tanto, el sistema es incompatible si 1a = − o 1a = .

75. Discute según los valores del parámetro k el sistema:

+ = − = − =

3 43 22

kx yx yx y k

Resuélvelo cuando sea posible.

Las matrices del sistema son 3

3 12 1

kA

= − −

y 3 4

* 3 1 22 1

kA

k

= − −

.

2* 0 7 8 0 8, 1A k k k k= ⇒ − − + = ⇒ = − =

• Para 8k ≠ − y 1k ≠ tenemos * 0A ≠ , por lo que rg( *) 3A = , además =rg( ) 2A , por tanto rg( ) rg( *)A A≠ y el sistema es incompatible.

• Para 8k = − tenemos * 0A = , 8 33 12 1

A− = − −

y 8 3 4

* 3 1 22 1 8

A− = − − −

.

Como 8 3


A A−

= − ≠ ⇒ = = =−

y el sistema es compatible determinado.

Para resolverlo eliminamos la última ecuación:

8 3 410, 28

3 2x y

x yx y− + = ⇒ = = − =

• Para 1k = tenemos * 0A = , 1 33 12 1

A = − −

y 1 3 4

* 3 1 22 1 1

A = − −

.

Como 1 3


A A= − ≠ ⇒ = = =−


Para resolverlo eliminamos la última ecuación:

3 41, 1

3 2x y

x yx y+ = ⇒ = = − =



a) 2 3 143 44 5

x y zx y zx y z a

− + = − − − = − − − =

e) 2

1

2 2

ax y zx ay z ax y az a a

+ + = + + = + + = − +

b) 2 5

2 3 4 6( 3) 12 ( 3) 27

x y zx y z

a x y a z

+ − =− + + = − + + + =

f) 2

2 3

1x y zax y z aa x ay z a

+ + = − + + = − + + = −

c) 2 2 4

2 5 2 104 9 6

x y zx y zx y z a

+ − = + − = + − =

g) 20

2

x ay zx ay z

ax y z a

+ + =− + − = + + =

d) 3 5

3

x y zx az ax ay az a

+ + = + = + + =

h) 3 12 1

3 2 1

x ayx y az

ax y z

+ = − + = − + =


A−

= − − − −

y 2 1 3 14

* 3 1 1 44 1 5

Aa

− − = − − − − −

.

Como 0A = y 2 1

1 0 rg( ) 23 1

A−

= ≠ ⇒ =−

, ampliando este menor tenemos:

2 1 14rg( *) 3 si 6

3 1 4 6rg( *) 2 si 6

4 1

A aa

A aa

− −= ≠− − = − ⇒ = =−

• Para 6a ≠ tenemos rg( ) rg( *)A A≠ y el sistema es incompatible.

• Para 6a = tenemos rg( ) rg( *) 2 nº de incógnitasA A= = < y el sistema es compatible indeterminado.

Para resolverlo, teniendo en cuenta el menor de orden 2 anterior, eliminamos la tercera ecuación y hacemos z = λ :

2 14 310 4 , 34 11 ,

3 4x y

x y zx y− = − − λ ⇒ = + λ = + λ = λ − = − + λ



Aa a

− = − − +

y 1 2 1 5

* 2 3 4 63 12 3 27

Aa a

− = − − +

.

0 18 36 0 2A a a= ⇒ − = ⇒ =


5 2 1 1 5 1 1 2 56 3 4 2 6 4 2 3 6

27 12 3 3 27 3 3 12 271 7 16 3 6

a a a ax y z

A A A

− −− −

+ − + −= = = = = = −

• Para 2a = tenemos 0A = , 1 2 12 3 41 12 5

A−

= − −

y 1 2 1 5

* 2 3 4 61 12 5 27

A−

= − −

.

Como 1 2

7 0 rg( ) 22 3

A= ≠ ⇒ =−

, ampliando este menor tenemos 1 2 52 3 6 0 rg( *) 21 12 27

A− = ⇒ =−

.

Por tanto, rg( ) rg( *) 2 nº de incógnitasA A= = < y el sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo, teniendo en cuenta el menor de orden 2 anterior, eliminamos la tercera ecuación y hacemos z = λ :

2 5 3 11 16 2, ,2 3 6 4 7 7

x yx y z

x y+ = + λ + λ − λ ⇒ = = = λ− + = − λ


A−

= − −

y 1 2 2 4

* 2 5 2 104 9 6

Aa

− = − −

.

Como 0A = y 1 2

1 0 rg( ) 22 5

A= ≠ ⇒ = , ampliando este menor tenemos:

1 2 4rg( *) 3 si 18

2 5 10 18rg( *) 2 si 18

4 9

A aa

A aa

= ≠= − ⇒ = =

• Para 18a ≠ tenemos rg( ) rg( *)A A≠ y el sistema es incompatible.

• Para 18a = tenemos rg( ) rg( *) 2 nº de incógnitasA A= = < y el sistema es compatible indeterminado.

Para resolverlo, teniendo en cuenta el menor de orden 2 anterior, eliminamos la tercera ecuación y hacemos z = λ :

2 4 26 , 2 2 ,

2 5 10 2x y

x y zx y+ = + λ ⇒ = λ = − λ = λ + = + λ


d) Las matrices del sistema son 1 1 31 03

A aa a

=

y 1 1 3 5

* 1 03

A a aa a a

=

.

20 5 0 0, 5A a a a a= ⇒ − + = ⇒ = =


5 1 3 1 5 3 1 1 50 1 1 0

3 32 4 75 5 5

a a a a aa a a a a a aa a ax y z

A a A a A a−

= = = = − = =− − −

• Para 0a = tenemos 0A = , 1 1 31 0 03 0 0

A =

y 1 1 3 5

* 1 0 0 03 0 0 0

A =

.

Como 1 1

1 0 rg( ) 21 0

A= − ≠ ⇒ = , ampliando este menor tenemos 1 1 51 0 0 0 rg( *) 23 0 0

A= ⇒ = .


5 30, 5 3 ,

0x y

x y zx+ = − λ ⇒ = = − λ = λ =

• Para 5a = tenemos 0A = , 1 1 31 0 53 5 5

A =

y 1 1 3 5

* 1 0 5 53 5 5 5

A =

.

Como 1 1

1 0 rg( ) 21 0

A= − ≠ ⇒ = , ampliando este menor tenemos 1 1 51 0 5 10 0 rg( *) 33 5 5

A= ≠ ⇒ = .


e) Las matrices del sistema son 1 1

1 11 1

aA a

a

=

y 2

1 1 1* 1 1

1 1 2 2

aA a a

a a a

= − +

.

= ⇒ − + = ⇒ = − =30 3 2 0 2, 1A a a a a


2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 11 1 1 1

2 2 1 1 2 2 1 1 2 21 3 12 2 2

a aa a a a a

a a a a a a a aa ax y zA a A a A a

− + − + − +− −= = = = = =

+ + +

• Para 2a = − tenemos 0A = , 2 1 11 2 11 1 2

A− = − −

y 2 1 1 1

* 1 2 1 21 1 2 10

A− = − − −

.

Como 2 1

3 0 rg( ) 21 2

A−

= ≠ ⇒ =−

, ampliando este menor tenemos 2 1 11 2 2 27 0 rg( *) 31 1 10

A−

− − = ≠ ⇒ = .



• Para 1a = tenemos 0A = , 1 1 11 1 11 1 1

A =

y 1 1 1 1

* 1 1 1 11 1 1 1

A =

.

Tanto en A como en A* las filas son iguales, por lo que rg( ) rg( *) 1 nº de incógnitasA A= = < y el sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo, eliminamos dos ecuaciones y hacemos 1y = λ , 2z = λ ,

obteniendo 1 21x = − λ − λ .

f) Las matrices del sistema son 2

1 1 11 1

1A a

a a

=

y 2

2 3

1 1 1 1* 1 1

1A a a

a a a

− = − −

.

20 2 1 0 1A a a a= ⇒ − + = ⇒ =


2 2 2

3 2 3 2 3

1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1

1 11 0

a a a a aa a a a a a a

x a y a zA A A

− − −− − −− − −

= = − − = = = =

• Para 1a = tenemos 0A = , 1 1 11 1 11 1 1

A =

y 1 1 1 1

* 1 1 1 11 1 1 1

A−

= − −

.

Tanto en A como en A* las filas son iguales, por lo que rg( ) rg( *) 1 nº de incógnitasA A= = < y el sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo, eliminamos dos ecuaciones y hacemos 1y = λ , 2z = λ ,

obteniendo 1 21x = − − λ − λ .

g) Las matrices del sistema son 1 11 1

1 1

aA a

a

= − −

y 1 1 2

* 1 1 01 1 2

aA a

a a

= − −

.

20 2 2 0 0, 1A a a a a= ⇒ − + = ⇒ = =


2 1 1 1 1 10 1 1 1 1 1

2 1 1 1 1 1 12 1 1 1

a a aa a a

a a aa ax y zA a A a A a

− − − − −+ − −

= = = = = =

• Para 0a = tenemos 0A = , 1 0 11 0 10 1 1

A = − −

y 1 0 1 2

* 1 0 1 00 1 1 0

A = − −

.

Como 1 0

1 0 rg( ) 20 1

A−

= − ≠ ⇒ = , ampliando este menor tenemos 1 0 21 0 0 2 0 rg( *) 30 1 0

A− = − ≠ ⇒ = .



• Para 1a = tenemos 0A = , 1 1 11 1 11 1 1

A = − −

y 1 1 1 2

* 1 1 1 01 1 1 2

A = − −

.

Como 1 1

2 0 rg( ) 21 1

A= ≠ ⇒ =−


A− = ⇒ = .


21 , 1,

x yx y z

x y+ = − λ ⇒ = − λ = = λ− + = λ

h) Las matrices del sistema son 3 02 1

3 2

aA a

a

= − −

y 3 0 1

* 2 1 13 2 1

aA a

a

= − −

.

30 5 6 0 1A a a a= ⇒ + − = ⇒ =


2 2 2

1 0 3 1 0 3 11 1 2 1 2 1 11 3 2 1 2 3 12 2

6 6 6

a aa a

a aa a ax y zA a a A a a A a a

− −− −+ −

= = = = = =+ + + + + +

• Para 1a = tenemos 0A = , 3 1 02 1 11 3 2

A = − −

y 3 1 0 1

* 2 1 1 11 3 2 1

A = − −

.

Como 1 0

1 0 rg( ) 21 1

A= ≠ ⇒ =−


A− = ⇒ =−

.

Por tanto, rg( ) rg( *) 2 nº de incógnitasA A= = < y el sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo, teniendo en cuenta el menor de orden 2 anterior, eliminamos la tercera ecuación y hacemos x = λ :

1 3, 1 3 , 2 5

1 2y

x y zy z= − λ ⇒ = λ = − λ = − λ− + = − λ


a)

2 2 3 66

3 172

x y z ay zx y zy z a

+ − = + + = + − = − =

b)

3 103

3 3 103 3

ax y zay z

x y zy z

− + = − + =− − + = −− + =

a) Las matrices del sistema son

2 2 30 1 13 1 10 2 1

A

− = − −

y

2 2 3 60 1 1 6

*3 1 1 170 2 1

a

A

a

− + = − −

.

* 0 2 12 0 6A a a= ⇒ − = ⇒ =

• Para 6a ≠ tenemos * 0A ≠ , por lo que rg( *) 4A = , además, =rg( ) 3A , por tanto, rg( ) rg( *)A A≠ y el sistema es incompatible.


• Para 6a = tenemos * 0A = ,

2 2 30 1 13 1 10 2 1

A

− = − −

y

2 2 3 120 1 1 6

*3 1 1 170 2 1 6

A

− = − −

.

Como 2 2 30 1 1 11 0 rg( ) rg( *) 3 nº de incógnitas3 1 1

A A−

= ≠ ⇒ = = =−


Para resolverlo, teniendo en cuenta el menor de orden 3 anterior, eliminamos la cuarta ecuación:

12 2 3 2 12 3 2 2 126 1 1 0 6 1 0 1 6

17 1 1 3 17 1 3 1 1755 44 225 4 22 2 3 2 2 3 2 2 311 11 110 1 1 0 1 1 0 1 13 1 1 3 1 1 3 1 1

x y z

− −

− −= = = = = = = = =

− − −

− − −


3 10 13 3 10 3 1

aa

A

− = − − −

y

3 1 100 1 3

*3 3 1 100 3 1 3

aa

A

− − = − − − −

.

2* 0 13 78 117 0 3A a a a= ⇒ + + = ⇒ = −

• Para 3a ≠ − tenemos * 0A ≠ , por lo que rg( *) 4A = , además, =rg( ) 3A , por tanto, rg( ) rg( *)A A≠ y el sistema es incompatible.

• Para 3a = − tenemos * 0A = ,

3 3 10 3 13 3 10 3 1

A

− − − = − − −

y

3 3 1 100 3 1 3

*3 3 1 100 3 1 3

A

− − − − = − − − −

.

Tanto en A como en A* tenemos 1 3F F= y 2 4F F= , con lo que sus rangos son menores o iguales a 2, como 3 3


A A− −

= ≠ ⇒ = = <−

y el sistema es compatible indeterminado.

Para resolverlo, teniendo en cuenta el menor de orden 2 anterior, eliminamos las ecuaciones tercera y cuarta y hacemos z = λ :

3 3 10 13 3, ,3 3 3 3

x yx y z

y− − = − − λ λ − ⇒ = = = λ− = − λ

Sistemas homogéneos

78. Estudia y resuelve cuando tengan más de una solución los siguientes sistemas homogéneos.

a) 4 3 2 03 4 02 2 3 0

x y zy zx y z

− + = − = − + =

d) 00

x y z wx y z w+ + + =

− + − =

b)

02 2 03 3 02 0

x yx yx yx y

+ = + = + = − =

e) 2 6 8 0

3 04 12 4 0

x y zx y z

x y z

− − = − − =− − + =

c) x y zx y z+ =

− = f) 1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

02 2 0

x x x x xx x x x x+ + + + =

− + − + =


a) Es un sistema homogéneo y cuadrado. Como el determinante de la matriz de coeficientes es 16 0A = ≠ , el sistema es compatible determinado, es decir, su única solución es la trivial ( 0x y z= = = ).

b) Es un sistema homogéneo con más ecuaciones que incógnitas. La matriz de coeficientes es

1 12 23 32 1

−

, como

1 13 0 rg( ) rg( *) 2 nº de incógnitas

2 1A A= − ≠ ⇒ = = =

− y el sistema es compatible determinado, es decir, su

única solución es la trivial ( 0x y z= = = ).

c) 00

x y z x y zx y z x y z+ = + − = ⇒ − = − − =

Es un sistema homogéneo con menos ecuaciones que incógnitas, por lo que es compatible indeterminado.

Como 1 1

2 01 1

= − ≠−

hacemos z = λ y resolvemos el sistema resultante:

, 0,x y

x y zx y+ = λ ⇒ = λ = = λ − = λ

d) Es un sistema homogéneo con menos ecuaciones que incógnitas, por lo que es compatible indeterminado.

Como 1 1

2 01 1

= − ≠−

hacemos ,w z= λ = µ y resolvemos el sistema resultante:

, , ,x y

x y z wx y+ = −µ − λ ⇒ = −µ = −λ = µ = λ − = −µ + λ

e) Es un sistema homogéneo y cuadrado. Como el determinante de la matriz de coeficientes es 0A = , el

sistema es compatible indeterminado. Como 2 6

4 01 1

−= ≠

− hacemos z = λ y resolvemos el sistema

resultante:

2 6 8 5 , ,3 2 2

x yx y z

x y− = λ λ λ ⇒ = = − = λ − = λ

f) Es un sistema homogéneo con menos ecuaciones que incógnitas, por lo que es compatible indeterminado.

Como 1 1

3 01 2

= − ≠−

hacemos 3 1 4 2 5 3, ,x x x= λ = λ = λ y resolvemos el sistema resultante:

1 2 1 2 31 1 3 2 2 3 1 4 2 5 3

1 2 1 2 3

, , , ,2 2

x xx x x x x

x x+ = −λ − λ − λ

⇒ = −λ − λ = −λ = λ = λ = λ − = −λ + λ − λ


Síntesis

79. Calcula los valores de k para que el sistema: ( )( ) ( )

− − = −

− + + =

2 2 21 1 17

k x y kk x k y

a) Sea incompatible. b) Sea compatible indeterminado.


1 1k

Ak k− − = − +

y 2 2 1 2

*1 1 17

k kA

k k− − − = − +

.

Para que el sistema sea incompatible o compatible determinado es necesario que 0A = :

2 30 2 3 0 , 12

A k k k k= ⇒ + − = ⇒ = − =

a) Para 32

k = − tenemos 0A = , 5 15 12 2

A− −

= − −

y 5 1 3

* 5 1 172 2

A− −

= − −

. Las filas de A son proporcionales,

pero no las de A*, por lo que rg( ) 1 rg( *) 2A A= ≠ = y el sistema es incompatible.

Para 1k = tenemos 0A = , 0 10 1

A− =

y

− − =

0 1 2*

0 1 17A . Las filas de A son proporcionales, pero no las

de A*, por lo que rg( ) 1 rg( *) 2A A= ≠ = y el sistema es incompatible.

b) Según el apartado anterior, para ningún valor de k el sistema es compatible indeterminado.

80. Dado el sistema: − + = −

− + = −− + + =

2 52 5 12

4

x y zx y zx y az

a) Discútelo según los distintos valores del parámetro a.

b) Resuélvelo en todos los casos en que sea compatible determinado.

a) Las matrices del sistema son 1 2 12 5 11 1

Aa

− = − −

y 1 2 1 5

* 2 5 1 121 1 4

Aa

− − = − − −

.

0 2 0 2A a a= ⇒ − − = ⇒ = −

• Para 2a ≠ − tenemos 0A ≠ , por lo que rg( ) rg( *) 3 nº de incógnitasA A= = = y el sistema es compatible determinado.

• Para 2a = − tenemos 0A = , 1 2 12 5 11 1 2

A−

= − − −

y 1 2 1 5

* 2 5 1 121 1 2 4

A− −

= − − − −

.

Como 1 2

1 0 rg( ) 22 5

A−

= − ≠ ⇒ =−

, ampliando este menor tenemos 1 2 52 5 12 1 0 rg( *) 31 1 4

A− −− − = − ≠ ⇒ =

−.


b) Según el apartado anterior, el sistema es compatible determinado cuando 2a ≠ − , con solución:

5 2 1 1 5 1 1 2 512 5 1 2 12 1 2 5 124 1 1 4 1 1 45 2 3 1

2 2 2a aa ax y z

A a A a A a

− − − − −− − − − −

− −+ += = − = = = =

+ + +


81. a) Calcula el valor de a para que el siguiente sistema de ecuaciones lineales sea compatible indeterminado y expresa, para este valor, sus infinitas soluciones con ayuda de un parámetro.

− + = − + = − =

4 3 72 2 62

x y zx y zx z a

b) ¿Existe algún valor real de a para el cual el sistema anterior sea compatible determinado?


A−

= − −

y 4 3 1 7

* 2 2 1 62 0 1

Aa

− = − −

, con 0A = .

Como 4 3

2 0 rg( ) 22 2

A−

= − ≠ ⇒ =−

, ampliando este menor tenemos:

4 3 7rg( *) 3 si 4

2 2 6 2 8rg( *) 2 si 4

2 0

A aa

A aa

−= ≠ −− = − − ⇒ = = −

Por tanto, el sistema es compatible indeterminado si 4a = − . Para resolverlo eliminamos la tercera ecuación y hacemos z = λ :

4 3 7 4 , 5,2 2 6 2

x yx y z

x y− = − λ λ − ⇒ = = λ − = λ − = − λ

b) Como 0A = para cualquier valor de a, el sistema nunca es compatible determinado.

82. Dado el sistema: ( )

+ − =− + + = + + + = −

2 2 64 3 4 2

2 12 6 21

x y zx y z

ax y a z a

a) Estudia su compatibilidad según los diferentes valores del parámetro a.

b) Resuélvelo para 1a = − .

c) Resuélvelo para 0a = .

a) Las matrices del sistema son 2 2 14 3 4

2 12 6A

a a

− = − +

y 2 2 1 6

* 4 3 4 22 12 6 21

Aa a a

− = − + −

.

0 36 36 0 1A a a= ⇒ + = ⇒ = −

• Para 1a ≠ − tenemos 0A ≠ , por lo que rg( ) rg( *) 3 nº de incógnitasA A= = = y el sistema es compatible determinado.

• Para 1a = − tenemos 0A = , 2 2 14 3 42 12 5

A−

= − −

y 2 2 1 6

* 4 3 4 22 12 5 22

A−

= − −

.

Como 2 2

14 0 rg( ) 24 3

A= ≠ ⇒ =−


A− = ⇒ =−

.


b) Para 1a = − el sistema es compatible indeterminado, lo resolvemos eliminando la tercera ecuación y haciendo z = λ :

2 2 6 14 11 14 2, ,4 3 2 4 14 7x y

x y zx y+ = + λ + λ − λ ⇒ = = = λ− + = − λ


c) Para 0a = el sistema es compatible determinado con solución:

6 2 1 2 6 1 2 2 62 3 4 4 2 4 4 3 2

21 12 6 0 21 6 0 12 213 1 84 7 42 736 12 36 3 36 6

x y zA A A

− −− −

−= = = = = = = = = −

83. Dado el sistema: + + =

+ + = + + = − + 2

1

2 2

x y zx ay z ax y z a a


b) Resuélvelo para 1a = .

c) ¿Existe algún valor de a para el cual el sistema tenga una única solución?

a) Las matrices del sistema son 1 1 11 11 1 1

A a =

y 2

1 1 1 1* 1 1

1 1 1 2 2A a a

a a

= − +

, con 0A = para cualquier a.

Tenemos 1 1 1

1 1 1 1 1 2 si 1rg rg 1 1 rg rg

1 1 1 1 si 11 1 1

aA a

a a a

≠ = = = = =

.

• Para 1a ≠ tenemos rg( *) 3A = , ya que ( )2

2

1 1 11 1 01 1 2 2

a a aa a

= − ≠− +

, por tanto, rg( ) rg( *)A A≠ y el

sistema es incompatible.

• Para 1a = tenemos 1 1 1 1

rg( *) rg 1 1 1 1 11 1 1 1

A = =

, rg( ) rg( *) 1 nº de incógnitasA A= = < y el sistema es

compatible indeterminado.

b) Para 1a = el sistema es compatible indeterminado y se resuelve eliminando dos ecuaciones y haciendo y = µ y z = λ , obteniendo 1x = − µ − λ .

c) Como 0A = para cualquier a, no existe ningún valor de a para el cual el sistema tenga una única solución.


84. Sean las matrices − = = = = −

2 0 2, , y

1 1 3 1x y m x

A B C Dx mx

.

a) Si ( )− =AB BA C D , plantea un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas (representadas por x e y) en función del parámetro m.

b) ¿Para qué valores de m el sistema anterior tiene solución? En caso de existir solución, ¿es siempre única? Resuelve el sistema para 1m = .

a) ( ) ( ) ( )2 1 02 211 1

x m yy y m x xm yAB BA C D

y mx mxm y mx y m+ − =− − − − − = ⇒ = ⇒ = ⇒ − − + − + =

b) Las matrices del sistema son 2 1

1m

Em

− = − y

2 1 0*

1m

Em m

− = − .

20 2 0 1, 2E m m m m= ⇒ − + + = ⇒ = − =

• Para 1m ≠ − y 2m ≠ tenemos ≠ ⇒ = = =0 rg( ) rg( *) 2 n.º de incógnitasE E E y el sistema es compatible determinado.

• Para 1m = − tenemos 0E = , 2 21 1

E =

y 2 2 0

*1 1 1

E = − .


• Para 2m = tenemos 0E = , 2 12 1

E− = −

y 2 1 0

*2 1 2

E− = −

.


En resumen, el sistema tiene solución cuando 1m ≠ − y 2m ≠ , siendo la solución siempre única.

Para 1m = la solución es: 2 0

0, 11

xx y

x y= ⇒ = =− + =

85. Dado el sistema: ( )

( )+ + − =

+ − = − + =

2 1 14 1 2

2

x y m zx m y m

y z m

a) Estudia su compatibilidad según los diferentes valores del parámetro m.

b) Resuélvelo para 0m = .

c) Resuélvelo para 2m = .


mA m

− = −

y 2 1 1 1

* 4 1 0 20 1 2

mA m m

m

− = − −

.

0 8 16 0 2A m m= ⇒ − = ⇒ =

• Para 2m ≠ tenemos 0A ≠ , por lo que rg( ) rg( *) 3 nº de incógnitasA A= = = y el sistema es compatible determinado.

• Para 2m = tenemos 0A = , 2 1 14 1 00 1 2

A =

y 2 1 1 1

* 4 1 0 00 1 2 2

A =

.

Como 1 1

1 0 rg( ) 21 0


A= ⇒ = .

Por tanto, = = <rg( ) rg( *) 2 n.º de incógnitasA A y el sistema es compatible indeterminado.


b) Para 0m = el sistema es compatible determinado con solución:

1 1 1 2 1 1 2 1 12 1 0 4 2 0 4 1 20 1 2 0 0 2 0 1 04 1 16 8 11

16 4 16 16 2x y z

A A A

− −− − − − −

−= = = − = = = = = = −

− − −

c) Para 2m = el sistema es compatible indeterminado, lo resolvemos eliminando la tercera ecuación y haciendo x = λ :

1 2, 4 , 1 2

4y z

x y zy+ = − λ ⇒ = λ = − λ = + λ = − λ

86. Dado el sistema: + + =

+ = + + =

11

2

kx y zy zx ky z

a) Estudia su compatibilidad según los diferentes valores del parámetro k.

b) Resuélvelo para 2k = .

c) Resuélvelo para 0k = .

a) Las matrices del sistema son 1 1

0 1 11 1

kA

k

=

y 1 1 1

* 0 1 1 11 1 2

kA

k

=

.

20 0 0, 1A k k k k= ⇒ − + = ⇒ = =

• Para 0k ≠ y 1k ≠ tenemos 0A ≠ , por lo que rg( ) rg( *) 3 nº de incógnitasA A= = = y el sistema es compatible determinado.

• Para 0k = tenemos 0A = , 0 1 10 1 11 0 1

A =

y 0 1 1 1

* 0 1 1 11 0 1 2

A =

.

Como 0 1

1 0 rg( ) 21 0


A= ⇒ = .


• Para 1k = tenemos 0A = , 1 1 10 1 11 1 1

A =

y 1 1 1 1

* 0 1 1 11 1 1 2

A =

.

Como 1 1

1 0 rg( ) 20 1

A= ≠ ⇒ = , ampliando este menor tenemos 1 1 10 1 1 1 0 rg( *) 31 1 2

A= ≠ ⇒ = .


b) Para 2k = el sistema es compatible determinado con solución:

1 1 1 2 1 1 2 1 11 1 1 0 1 1 0 1 12 2 1 1 2 1 1 2 20 2 00 1 0

2 2 2x y z

A A A−

= = = = = = = = =− − −

c) Para 0k = el sistema es compatible indeterminado, lo resolvemos eliminando la primera ecuación y haciendo z = λ :

12 , 1 ,

2y

x y zx= − λ ⇒ = − λ = − λ = λ = − λ


87. Dado el sistema: − −

− − + = − −

2 1 5 1 04 2 15 0

2 7 7 0

xa y

a z


b) Resuélvelo para = 3a .

a) Las matrices del sistema son −

= − − − −

2 1 54 2

2 7A a

a y

− = − − − − − −

2 1 5 1* 4 2 15

2 7 7A a

a.

= ⇒ − − = ⇒ = = −2 40 5 11 12 0 3,5

A a a a a

• Para ≠ −45

a y ≠ 3a tenemos 0A ≠ , por lo que rg( ) rg( *) 3 nº de incógnitasA A= = = y el sistema es

compatible determinado.

• Para = 3a tenemos 0A = , −

= − − − −

2 1 53 4 22 3 7

A y −

= − − − − − −

2 1 5 1* 3 4 2 15

2 3 7 7A .

Como = − ≠ ⇒ =−

2 111 0 rg( ) 2

3 4A , ampliando este menor tenemos − − = ⇒ =

− − −

2 1 13 4 15 0 rg( *) 22 3 7

A .


• Para = −45

a tenemos 0A = ,

− − − −= −

2 1 54 4 25

42 75

A y

− − − − −= − −

2 1 5 14 4 2 15* 5

42 7 75

A .

−= − ≠ ⇒ =

− −1 5

22 0 rg( ) 24 2

A , ampliando este menor tenemos

−− − − = ≠ ⇒ =

−

1 5 114634 2 15 0 rg( *) 3

54 7 75

A .


b) Para = 3a el sistema es compatible indeterminado, lo resolvemos eliminando la tercera ecuación y haciendo z = λ :

+ = + λ ⇒ = − + λ = + λ = λ − = − + λ

2 1 51 2 , 3 ,

3 4 15 2x y

x y zx y


88. Calcula el valor de m para que el siguiente sistema de ecuaciones lineales sea compatible indeterminado y escribe las infinitas soluciones para este valor hallado.

2 3 44 2 12 4 32 4

x y zx y zx y zx my z

+ − = − − = − − = − − − =

Las matrices del sistema son

− − − = − − − −

2 3 14 1 22 4 12 1

A

m

y

− − − = − − − − −

2 3 1 44 1 2 1

*2 4 1 32 1 4

A

m

.

Como = − ≠ ⇒ ≥−

2 314 0 rg( ) 2

4 1A , ampliando este menor tenemos:

−− − =− −

2 3 14 1 2 02 4 1

y −

− − = ⇒ =− −

2 3 14 1 2 0 rg( ) 22 1

Am

− =− −

2 3 44 1 1 02 4 3

y = −− = − − ⇒ = ≠ −−

2 3 42 si 3

4 1 1 14 42 rg( *)3 si 3

2 4

mm A

mm

Por tanto, el sistema es compatible indeterminado si = −3m . Para resolverlo, teniendo en cuenta el menor de orden 2 anterior, eliminamos las ecuaciones tercera y cuarta y hacemos z = λ :

2 3 4 1 , 1,4 1 2 2x y

x y zx y+ = + λ + λ ⇒ = = = λ − = + λ

NOTA: Alternativamente, podríamos aplicar el método de Gauss:

2 2 1 2 33 3 14 4 1

2

2 3 1 4 2 3 1 42 3 1 4

4 1 2 1 0 7 0 70 7 0 7

2 4 1 3 0 7 0 70 3 0 0

2 1 4 0 3 0 0F F F F FF F FF F F m

m m→ − =→ −→ −

− − − − − − − → → − − − − − − − − − − − − −

Para que el sistema sea compatible indeterminado, la última fila debe ser nula, por tanto = −3m , siendo la solución del sistema:

2 3 4 1 , 1,7 7 2x y z

x y zy+ − = + λ ⇒ = = = λ− = −

89. Calcula los valores de a y b para que estos sistemas de ecuaciones lineales sean compatibles y

equivalentes.

a) 2 3 9

2 63

x ay zx y zx y z b

+ − = − + − = − − − =

b) 3 14

2 2 64 2 11

ax by zx y zx y z

− + = + + = − + =

Para que los sistemas sean compatibles y equivalentes deben tener las mismas soluciones, es decir, verificarán las seis ecuaciones, en particular, serán soluciones del sistema:

2 62 2 64 2 11

x y zx y zx y z

+ − = − + + = − + =

Resolviendo este sistema tenemos 1, 2, 3x y z= = − = , por tanto, ambos sistemas debe ser compatibles determinados y

2 2 9 93 2 3 1, 2

2 9 14

ab a b

a b

− − = − + − = ⇒ = = + + =


90. Encuentra los valores de a y b que hacen que el siguiente sistema sea incompatible.

− + =− + + = − + =

3 4

2 3 2 4

x y z ax y z bx y z

Las matrices del sistema son −

= − −

3 4 11 1 12 3 2

A y −

= − −

3 4 1* 1 1 1

2 3 2 4

aA b , con = 0A .

Como 3 4

1 0 rg( ) 21 1

A−

= − ≠ ⇒ =−

, ampliando este menor tenemos 3 41 1 42 3 4

ab a b

−− = + −

−.

Por tanto, el sistema es incompatible si 4a b+ ≠ .

CUESTIONES 91. a) Escribe razonadamente un sistema compatible indeterminado y que tenga cuatro ecuaciones y tres incógnitas.

b) Escribe razonadamente un sistema lineal homogéneo con tres ecuaciones y tres incógnitas de forma que (−2, 1, 0) sea una solución.

a) Una forma de conseguirlo es escribir dos ecuaciones independientes, la siguiente igual a la suma de las dos

primeras y la última igual a la diferencia de las dos primeras.

12 23 2 3

1

x y zx yx y zx z

+ + = + = + + =− + = −

b) Se escriben, por ejemplo, dos ecuaciones independientes cuya solución sea (−2, 1, 0) y otra que sea la suma de las dos primeras.

2 02 0

2 4 0

x yx y zx y z

+ = + + = + + =

92. Escribe dos sistemas equivalentes compatibles indeterminados de forma que el primero tenga dos ecuaciones y tres incógnitas y el segundo tenga tres ecuaciones y tres incógnitas.

2 43 5

x y zx y z

+ + = + + =

2 4

3 53 4 2 9

x y zx y zx y z

+ + = + + = + + =

93. Dado el sistema + + =

− + =

2 3 52 1

x y zx y z

:

a) Añade una tercera ecuación para que sea incompatible.

b) Añade una tercera ecuación para que sea compatible determinado.

c) Añade una ecuación para que resulte un sistema compatible indeterminado. a) Basta añadir, por ejemplo, la ecuación + + =2 3 0x y z .

b) Basta añadir, por ejemplo, la ecuación 0z = , obteniendo un sistema compatible determinado con solución 115

x = , 35

y = , 0z = .

c) Basta añadir una ecuación que sea combinación lineal de las dadas, por ejemplo, 3 4 6x y z− + = .


94. Dado el sistema + − =

− + = − − = −

02 3 2

1

x y zx y z

x z:

a) Añade una ecuación para que resulte un sistema incompatible.

b) Añade una ecuación para que resulte un sistema compatible determinado.

c) ¿Se puede añadir alguna ecuación para que resulte un sistema compatible indeterminado? a) Basta añadir, por ejemplo, la ecuación 1x y z+ − = .

b) El sistema dado es compatible determinado con solución 0, 1, 1x y z= = = . Por tanto, basta añadir una ecuación que también tenga esta solución, por ejemplo, 0x = .

c) Como el sistema inicial tiene una única solución, al añadir una nueva ecuación puede ocurrir que siga teniendo esta única solución o ninguna pero no infinitas soluciones.

95. Escribe un sistema homogéneo de tres ecuaciones con tres incógnitas, que sea compatible indeterminado y que tenga como infinitas soluciones = = =x y z λ .

− = − = − − =

00

2 0

x yx zx y z

96. Escribe de forma razonada:

a) Un sistema lineal de tres ecuaciones y dos incógnitas con infinitas soluciones.

b) Un sistema lineal de cuatro ecuaciones y dos incógnitas con infinitas soluciones.

c) Un sistema de dos ecuaciones y tres incógnitas y una única solución.

d) Un sistema lineal homogéneo con tres ecuaciones y tres incógnitas, de tal manera que dos de sus soluciones sean (−2, 0, 1) y (3, 2, −1).

a) Basta con elegir tres ecuaciones proporcionales, por ejemplo:

02 2 03 3 0

x yx yx y

+ = + = + =

.

b) Basta con elegir cuatro ecuaciones proporcionales, por ejemplo: 0

2 2 03 3 04 4 0

x yx yx yx y

+ = + = + = + =

.

c) No es posible, ya que el rango de A no coincidiría con el número de incógnitas.

d) Las soluciones del sistema serán de la forma 2 3

2xyz

= − λ + µ = µ = λ − µ

.

Considerando éste como un sistema de tres ecuaciones y dos incógnitas λ y µ , dicho sistema debe ser

compatible indeterminado, con lo que 2 3

0 2 0 2 4 01 1

xy x y zz

−= ⇒ − + =

−.

Por tanto, es sistema buscado podría ser:

2 4 02 4 02 4 0

x y zx y zx y z

− + = − + = − + =


PROBLEMAS 97. María y Luis han realizado un desplazamiento en coche que ha durado 13 horas, durante el que María ha

conducido una parte y Luis otra, descansando el resto del tiempo. Luis ha conducido 2 horas más de las que han descansado, y el total de horas de descanso junto con las de conducción de Luis es 1 hora menos que las que ha conducido María. Encuentra el número de horas que cada uno ha pasado al volante y las que han descansado. x: horas de conducción de Luis y: horas de conducción de María z: horas de descanso


13 132 2

1 1

x y z x y zx z x zz x y x y z

+ + = + + = ⇒= + − = + = − − + = −

Resolviendo el sistema obtenemos que Luis ha conducido durante 4x = horas, María durante 7y = horas y han descansado durante 2z = horas.

98. Una empresa copra tres inmuebles por un valor total de 2 millones de euros. Al venderlos, espera obtener unas ganancias del 20 %, del 50 % y del 25 %, respectivamente, que le reportarán unos beneficios totales de 600 000 €. Sin embargo, en el momento de ponerlos en venta, consigue unas ganancias del 80 %, del 90 % y del 85 %, respectivamente, lo que le reporta unos beneficios totales de 1,7 millones de euros. ¿Cuánto había pagado por cada inmueble? Sean x, y, y z el precio que pagó la empresa por cada inmueble.


20,20 0,50 0,25 0,60,80 0,90 0,85 1,7

x y zx y zx y z

+ + = + + = + + =

Resolviendo el sistema obtenemos 0,5x = , 0,5y = y 1z = , es decir, pagaron 500 000, 500 000 y 1 000 000 de euros, respectivamente.

99. La producción de bicicletas de montaña precisa las siguientes acciones: montaje de las piezas, ajuste de los cambios y control de calidad. Una empresa produce tres tipos de bicicletas: para niños, para jóvenes y para adultos mayores de 40 años. La siguiente tabla muestra las horas necesarias para llevar a cabo cada una de las acciones en cada una de las clases de bicicleta mencionadas:

Niño Joven Adulto Montaje 2 4 3 Ajuste 1 2 2 Control 2 1 1

La disponibilidad total de horas de trabajo es: Montaje: 510 Ajuste: 270 Control: 180

Comprueba si existe alguna posibilidad de fabricación que consuma todas las horas disponibles. Sean x, y, y z, respectivamente, las bicicletas de niño, joven y adulto fabricadas.


2 4 3 5102 2 270

2 180

x y zx y zx y z

+ + = + + = + + =

Resolviendo el sistema obtenemos que fabricando 30x = bicicletas de niño, 90y = de joven y 30z = de adulto mayor de 40 años, se consumen exactamente las horas disponibles.


100. Se conocen los siguientes datos sobre cómo ha variado la población de una determinada localidad:

• La población al comienzo del período era de 14 520 habitantes, y al final, de 14 958. • El número de nacimientos más el de inmigrantes llegados fue de 900. • El número de fallecimientos más el de emigrantes fue de 462. • El número de emigrantes fue igual al 48 % del número de inmigrantes.

Calcula el número de nacimientos y de emigrantes. La ecuación fundamental de la población es:

P. final = P. inicial + Nacimientos – Defunciones + Inmigrantes – Emigrantes f iP P N D I E⇒ = + − + −

Teniendo en cuenta esta ecuación y los datos del enunciado, se puede escribir el sistema: 14958 14520

900462

0,48

N D I EN ID EE I

= + − + − + = + = =

Resolviendo el sistema obtenemos 900, 462, 0 y 0N D I E= = = = , es decir, hubo 900 nacimientos y ningún emigrante.

101. Un establecimiento pone a la venta tres tipos de abrigos A, B y C. Se sabe que la razón entre los precios de los abrigos A y C es 2 a 3 y entre los de B y A es 3 a 1. Al comprar tres abrigos, uno de cada clase, se pagan 330 €. Plantea el sistema de ecuaciones que permite conocer el precio de cada abrigo. Sean x, y, y z, respectivamente, los precios de un abrigo A, B y C.

Las condiciones del enunciado nos llevan a plantear el sistema lineal

3303302

3 2 033 03

1

x y zx y zxx zzx yy

x

+ + = + + = = ⇒ − = − = =

NOTA: Resolviendo el sistema obtenemos que los abrigos cuestan, respectivamente, 60 €x = , 180 €y = y 90 €z = .

102. En un estudio de mercado, se eligen tres productos, A, B y C y cuatro tiendas. En la primera, por una

unidad de cada producto cobran, en total, 4,25 €. En la segunda, 2 unidades de A y tres de C valen 8,25 € más que una unidad de B. En la tercera, una unidad de A y 2 de C valen 4 € más que 2 unidades de B y, en la cuarta, una unidad de B vale 1,25 € menos que una de C. ¿Tienen A, B y C el mismo precio en las cuatro tiendas? Si la respuesta es no, justifícalo y si la respuesta es sí, indica cuál es el precio. Supongamos que los precios de los tres productos son los mismos en las tres tiendas, pongamos x, y y z, respectivamente. Las condiciones del enunciado nos llevan a plantear el sistema lineal:

4,25 4,252 3 8,25 2 3 8,25

2 2 4 2 2 41,25 1,25

x y z x y zx z y x y z

x z y x y zy z y z

+ + = + + = + = + − + = ⇒ + = + − + = = − − = −

Aplicando el método de Gauss tenemos:

2 2 1 3 3 23 3 1 4 4 2

23

1 1 1 4,25 1 1 1 4,25 1 1 1 4,251 1 1 4,25

2 1 3 8,25 0 3 1 0,25 0 3 1 0,250 3 1 0,25

1 2 2 4 0 3 1 0,25 0 0 0 00 0 2 4

0 1 1 1,25 0 1 1 1,25 0 0 2 4F F F F F FF F F F F F→ − → −→ − → +

− − − − − → → → − − − − − − − − − − − − −

Por tanto, el sistema es compatible determinado, es decir, los precios de los productos sí tienen el mismo precio en las cuatro tiendas, y estos precios son:

4,251,5 €, 0,75 €, 2 €3 0,25

2 4

x y zx y zy z

z

+ + = ⇒ = = =− + = − − = −


103. El cajero de un banco solo dispone de billetes de 10 €, 20 € y 50 €. Se han sacado 16 billetes con un total de 440 €. El doble de billetes de 10 € excede en una unidad al número de billetes de 50 €. Plantea y resuelve el sistema de ecuaciones lineales asociado a este problema para obtener el número de billetes de cada tipo que se han sacado. Sean x, y y z el número de billetes de 10, 20 y 50 euros respectivamente.


16 1610 20 50 440 2 5 442 1 2 1


x z x z

+ + = + + = + + = ⇒ + + = = + − =

Resolviendo el sistema obtenemos que hay 3x = billetes de 10 €, 8y = billetes de 20 € y 5z = billetes de 50 €.

104. El precio de la pensión completa en un hotel es de 30 € por persona y día. A los niños menores de 10 años se les cobra el 50 %, y a las personas mayores de 65, el 70 % de ese precio. Determina el número de niños menores de 10 años y de personas mayores de 65 que había cierto día en el hotel, si se sabe que: había 200 personas, el número de mayores de 65 era igual al 25 % del número de niños y se recaudaron 4620 € por las pensiones completas de todas ellas. Sea x el número de niños menores de 10 años, y, el de mayores de 65 años, y z, el resto de personas.


200 2000,25 0,25 0

0,50 30 0,70 30 30 4620 15 21 30 4620

x y z x y zy x x y

x y z x y z

+ + = + + = = ⇒ − + = ⋅ + ⋅ + = + + =

Resolviendo el sistema obtenemos que hay 80x = niños menores de 10 años e 20y = personas mayores de 65 años (y 100z = personas entre 10 y 65 años).

105. Determina la medida de cuatro pesas de una balanza si se sabe que pesadas en grupos de tres dan como resultados respectivos 9, 10, 11 y 12 g. Si 1 2 3 4, , y x x x x son las medidas de las pesas, las condiciones del enunciado nos llevan a plantear el sistema lineal:

1 2 3

1 2 4

1 3 4

2 3 4

9101112

x x xx x xx x xx x x

+ + = + + = + + = + + =

Resolviendo el sistema obtenemos 1 2 3 42 g, 3 g, 4 g y 5 gx x x x= = = = .

106. La suma de la inversión en acciones de una empresa textil, una empresa de gas y una compañía de telefonía es de 7400 €. Las acciones de la empresa textil pagan un 2 % de interés anual, las de la empresa de gas, un 4 % y las de la compañía de telefonía pagan un 5 %. La suma del interés anual es de 278 €. La inversión en acciones de la compañía de telefonía es de 1000 € menos que la suma de la inversión en acciones de la empresa textil y las acciones de la compañía de gas.

a) Calcula la cantidad invertida en cada una de las acciones.

b) ¿Puede calcularse el capital invertido en cada una de las acciones si se cambia la tercera condición por “el doble de la inversión en acciones de la compañía de telefonía es de 2000 € menos que la diferencia de la inversión en las acciones de la empresa textil y las acciones de la compañía de gas”?


a) Sean x, y y z las cantidades invertidas en acciones de la empresa textil, la empresa de gas y la compañía de telefonía, respectivamente.


7400 74000,02 0,04 0,05 278 0,02 0,04 0,05 278

1000 1000


z x y x y z

+ + = + + = + + = ⇒ + + = = + − − − + = −

Resolviendo el sistema obtenemos que se han invertido 2500 €x = en la empresa textil, 1700 €y = en la empresa de gas y 3200 €z = en la compañía de telefonía.

b) En este caso obtendríamos el sistema lineal:

7400 74000,02 0,04 0,05 278 0,02 0,04 0,05 2782 2000 2 2000


z x y x y z

+ + = + + = + + = ⇒ + + = = − − − + + = −

Al intentar resolver el nuevo sistema concluimos que no tiene solución.

107. Un individuo hace fotografías con una cámara digital. Sabe que cada fotografía de calidad normal ocupa siempre 0,20 MB de memoria. Cada fotografía de calidad óptima ocupa siempre una cantidad a de megabytes que no conoce. Esta semana ha llevado a imprimir 24 fotografías que le han ocupado 9,2 MB de memoria.

a) Plantea un sistema de ecuaciones en función de a donde las incógnitas sean el número de fotos de cada clase que ha realizado. ¿Hay alguna cantidad de megabytes que es imposible que ocupe cada foto de calidad óptima?

b) La semana pasada también hizo 24 fotografías y ocupó 9,2 MB. ¿Es posible que el número de fotografías de cada tipo fuera diferente al de esta semana?

a) Sean x el número de fotografías de calidad normal e y el de calidad óptima que realiza.


240,2 9,2x y

x ay+ =

+ =

Las matrices del sistema son 1 1

0,2A

a =

y 1 1 24

*0,2 9,2

Aa

=

, con 0,2A a= − .

• Para 0,2a ≠ tenemos 0A ≠ , por lo que rg( ) rg( *) 2 nº de incógnitasA A= = = y el sistema es compatible determinado.

• Para 0,2a = tenemos 0A = , 1 1

0,2 0,2A =

y

1 1 24*

0,2 0,2 9,2A =

.

Las filas de A son proporcionales, pero las de A* no, por lo que rg( ) 1 rg( *) 2A A= ≠ = y el sistema es incompatible.

Por tanto, una foto de calidad óptima no puede ocupar 0,2 MB.

b) Según el apartado anterior, si 0,2a ≠ el sistema tiene una única solución, por lo que el número de fotos de cada tipo tiene que ser la misma en las dos semanas.

NOTA: Podemos ajustar mejor el valor que puede tomar a en el primer apartado observando que si 0,2a ≠ ,

resolviendo el sistema, tenemos 22245 1

xa

= −−

e 225 1

ya

=−

, que deben ser enteros no negativos, es decir:

{ }22 1, 2, 3, ..., 245 1

ya

= ∈−

Por tanto, una fotografía de calidad óptima debe ocupar 225

kak+

= MB, donde { }1, 2, 3, ..., 24k ∈ .


108. Un camión trae, en su carga, cajas de tres productos A, B y C. Se ha perdido la hoja de carga, pero uno de los operarios recuerda que en total hay 120 cajas, que las de tipo A eran tantas como del tipo B y C juntas y que las del tipo C eran la cuarta parte de las del tipo B.

a) ¿Cuántas cajas de cada tipo trae el camión?

b) Otro operario dice que del tipo A eran 12 más que del tipo B. Comprueba si esta información se contradice con la del primer operario.

a) Sean x, y y z el número de cajas de tipo A, B y C, respectivamente.


120 1200

4 04


y y zz

+ + = + + = = + ⇒ − − = − + ==

Resolviendo el sistema obtenemos hay 60x = cajas A, 48y = cajas B y 12z = cajas C.

b) Como la solución también cumple la nueva condición, 12x y= + , la nueva información no contradice la anterior.

AUTOEVALUACIÓN

Comprueba qué has aprendido 1. Escribe la expresión matricial del siguiente sistema de ecuaciones lineales y especifica las matrices de los

coeficientes, ampliada y de los términos independientes.

− + = −− − + = = −

2 3 43 2 5

6

x zx y z

y

Expresión matricial: − − − − = −

2 0 3 43 1 2 50 1 0 6

xyz

Matriz de coeficientes: 2 0 33 1 20 1 0

A− = − −

Matriz ampliada: 2 0 3 4

* 3 1 2 50 1 0 6

A− − = − − −

Matriz de términos independientes: 456

B− = −

2. Comprueba que los siguientes sistemas son compatibles determinados y resuélvelos aplicando el método de Gauss.

a)

1 3 232

24 443

x y

x y

− = − =

b) 2 3 5 03 5 172 3 4 2

x y zx y zx y z

− + = + − = + + =

a) 2 2 112

1 3 23 6 46 1 6 46 1 6 4622 12 2 132 12 2 132 0 70 4204 443

F F F

x y x yx yx y

→ −

− = − = − − ⇒ ⇒ → − = − − − =

El sistema es compatible determinado con solución:

6 46 1070 420 6

x y xy y

− = = ⇒ = − = −


b) 2 2 1 3 3 13 3 1

2 3 19 6

2 3 5 0 2 3 5 0 2 3 5 03 5 1 17 0 19 17 34 0 19 17 342 3 4 2 0 6 1 2 0 0 83 166

F F F F F FF F F→ − → −→ −

− − − − → − → − − −

El sistema es compatible determinado con solución:

2 3 5 0 519 17 34 0

83 166 2

x y z xy z y

z z

− + = = − = ⇒ = = − = −

3. Comprueba que los siguientes sistemas son compatibles determinados y resuélvelos aplicando la regla de Cramer.

a) 14 343

5 6 4

x y

x y

− = + =

b) 3 4 3 2

2 3 164 2 5 10

x y zx y zx y z

− + = − − = − − + =

a) 1 12 1024 343 5 6 45 6 4

x yx yx yx y

− =− = ⇒ + = + =

El sistema es cuadrado y el determinante de la matriz de coeficientes es 12 1

77 05 6

A−

= = ≠ , por lo que el

sistema es compatible determinado con solución:

102 14 6 616 8

77x

A

−

= = =

12 1025 4 462 6

77y

A−

= = = −

b) El sistema es cuadrado y el determinante de la matriz de coeficientes es 3 4 31 2 3 38 04 2 5

A−

= − − = ≠−

, por lo que

el sistema es compatible determinado con solución:

2 4 316 2 310 2 5 76 2

38x

A

−− − −

− −= = = −

3 2 31 16 34 10 5 38 1

38y

A

− −

= = =

3 4 21 2 164 2 10 152 4

38z

A

−− −−

= = =

4. Estudia la compatibilidad y resuelve, en cada caso.

a) 2 3 5 3

3 7 25 9 31 4

x y zx y z

x y z

− + = −− − + = + − =

b) 2 3 5 73 2 84 2 2 10

x y zx yx y z

− + = − − = − − − = −

a) 2 2 1 3 3 23 3 1

2 3 32 5

2 3 5 3 2 3 5 3 2 3 5 33 1 7 2 0 11 29 5 0 11 29 55 9 31 4 0 33 87 23 0 0 0 8

F F F F F FF F F→ + → +→ −

− − − − − − − − → − − → − − − −

El sistema es incompatible.

b) 2 2 1 3 3 23 3 1

2 3 5 42

2 3 5 7 2 3 5 7 2 3 5 73 2 0 8 0 5 15 5 0 5 15 54 2 2 10 0 4 12 4 0 0 0 0

F F F F F FF F F→ − → −→ −

− − − − − − − − → − → − − − − −

El sistema es compatible indeterminado, con solución:

2 3 5 72 2, 1 3 ,

5 15 5x y z

x y zy z

− + = − ⇒ = λ − = + λ = λ − =


5. Estudia, según los valores del parámetro a, y resuelve en los casos en que sea posible los siguientes sistemas.

a) 2 4

4 82 11

x y az aax y zx z

− + = − − + = − =

b)

2 143 3 27

52 4

x ay zx y

x azy z

− + = − = − = + = −

a) Las matrices del sistema son 2 4

4 11 0 2

aA a

− = − −

y 2 4

* 4 1 81 0 2 11

a aA a

− − = − −

.

0 4 12 0 3A a a= ⇒ − + = ⇒ =


( )

4 2 4 2 48 4 1 4 1 4 1

11 0 2 1 0 2 1 0 29 29 10

4

a a a aa a

ax y z

A A A

− − − −− − −

− − −+= = − = = − = = −

• Para 3a = tenemos 0A = , 2 4 33 4 11 0 2

A−

= − −

y 2 4 3 3

* 3 4 1 81 0 2 11

A− −

= − −

.

Como 2 4

4 0 rg( ) 23 4

A−

= ≠ ⇒ =−


A− −− = ⇒ = .


2 4 3 3 25 711 2 , ,3 4 8 4

x yx y z

x y− = − − λ + λ ⇒ = + λ = = λ − = − λ


2 13 3 01 00 1 2

a

Aa

− − = −

y

2 1 143 3 0 27

*1 0 50 1 2 4

a

Aa

− − = − −

.

2* 0 12 12 24 0 2, 1A a a a a= ⇒ + − = ⇒ = − =

• Para 2a ≠ − y 1a ≠ tenemos * 0A ≠ , por lo que rg( *) 4A = , además, =rg( ) 3A , por tanto, rg( ) rg( *)A A≠ y el sistema es incompatible.

• Para 2a = − tenemos * 0A = ,

2 2 13 3 01 0 20 1 2

A

− =

y

2 2 1 143 3 0 27

*1 0 2 50 1 2 4

A

− = −

.


A A− = − ≠ ⇒ = = = y el sistema es compatible determinado.


14 2 1 2 14 1 2 2 1427 3 0 3 27 0 3 3 27

5 0 2 1 5 2 1 0 5177 59 12 4 36 122 2 1 2 2 1 2 2 121 7 21 7 21 73 3 0 3 3 0 3 3 01 0 2 1 0 2 1 0 2

x y z

− −−

= = = = = = − = = = −− − −

− − −


• Para 1a = tenemos * 0A = ,

2 1 13 3 01 0 10 1 2

A

− − = −

y

2 1 1 143 3 0 27

*1 0 1 50 1 2 4

A

− − = − −

.


A A−− = ≠ ⇒ = = =

− y el sistema es compatible determinado.


14 1 1 2 14 1 2 1 1427 3 0 3 27 0 3 3 27

5 0 1 1 5 1 1 0 530 24 05 4 02 1 1 2 1 1 2 1 16 6 63 3 0 3 3 0 3 3 01 0 1 1 0 1 1 0 1

x y z

− −− −

− − −= = = = = = − = = =

− − −− − −

− − −

6. Mafalda ha gastado un total de 34 € en la compra de una mochila, un bolígrafo y un libro. Si el precio de la mochila se redujera a la octava parte, el del bolígrafo, a la mitad, y el del libro, a la cuarta parte de sus respectivos precios iniciales, Mafalda pagaría un total de 6 € por ellos. Calcula el precio de la mochila, del bolígrafo y del libro, sabiendo que el precio de la mochila excede en 4 € al doble de la suma de los precios del bolígrafo y del libro juntos. Sea x, y y z, respectivamente, el precio de la mochila, el bolígrafo y el libro.


34 346 4 2 48

8 2 4 2 2 44 2( )


x y zx y z

+ + = + + = + + = ⇒ + + = − − == + +

Resolviendo el sistema obtenemos que la mochila cuesta 24 €x = , el bolígrafo 2 €y = y el cuaderno 8 €z = .



1. Dadas las dos ecuaciones siguientes: − + =

− − = −

2 2 02 2

x y zx y z

¿Qué ecuación de las siguientes debe añadirse a estas dos para que el sistema sea incompatible?

A. − + = −4 2 2x y z B. − + =4 2 2x y z C. =23

z D. + + = 1x y z

Estudiando la compatibilidad de los distintos sistemas posibles se concluye que la respuesta correcta es B.

2. El rango de la matriz de los coeficientes de las incógnitas en un sistema de ecuaciones lineales es 2. El rango de la matriz ampliada:

A. Es seguro que vale 2. C. Puede valer 1 o 2.

B. Es seguro que vale 3. D. Puede valer 2 o 3.

La respuesta correcta es D, ya que en un sistema de ecuaciones lineales, el rango de la matriz ampliada es siempre igual o una unidad mayor que el rango de la matriz de coeficientes.


3. El sistema de ecuaciones lineales:

02

3 4

x y zx yx y z

− − = + = + − =

A. Tiene como única solución ( )= = =1, 1, 0x y z .

B. Una de sus soluciones es ( )= = =2, 0, 2x y z .

C. Es incompatible.

D. Tiene como soluciones únicas ( )= = =1, 1, 0x y z y ( )= = =2, 0, 2x y z .

Sustituyendo comprobamos que ( )= = =1, 1, 0x y z y ( )= = =2, 0, 2x y z son soluciones del sistema, por tanto, A y C son incorrectas y B es correcta.

También D es incorrecta, ya que un sistema lineal o no tiene solución, o tiene solución única o tiene infinitas soluciones.


4. En un sistema de n ecuaciones lineales con m incógnitas:

A. Si = 2n y 3m = , entonces el sistema no puede ser compatible determinado.

B. Si = 2n y 3m = , entonces el sistema es compatible indeterminado.

C. Si = 2n , 3m = y el sistema es homogéneo, entonces es compatible indeterminado.

D. Ninguna de las anteriores opciones es cierta. A es correcta, ya que si = 2n y 3m = , el rango de la matriz de coeficientes no puede coincidir con el número de incógnitas y, por tanto, el sistema no puede ser compatible determinado.

C también es correcta, ya que si el sistema es homogéneo es compatible, y según lo dicho anteriormente, no puede ser determinado, por lo que debe ser compatible indeterminado.

B es incorrecta, si = 2n y 3m = el sistema no puede ser compatible determinado, pero sí puede ser

incompatible, por ejemplo, el sistema 01

x y zx y z+ + =

+ + =.

D es obviamente incorrecta.

En conclusión, las respuestas correctas son A y C.


5. Se considera un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas.

1. El rango de la matriz de los coeficientes es 2.

2. El sistema es compatible determinado.

A. 1 2⇒ pero 2 1⇒ C. 1 2⇔


La segunda afirmación equivale a que rg( ) rg( *) 3 nº de incógnitasA A= = = , por tanto, la relación correcta es D.


Señala el dato innecesario para contestar

6. *Se quiere resolver el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Para ello se dan los siguientes datos:

1. El determinante de la matriz de los coeficientes vale 4.

2. El sistema tiene una única solución.

3. El rango de la matriz de los coeficientes es 3.

A. El dato 1 es innecesario.

B. El dato 2 es innecesario.

C. El dato 3 es innecesario.

D. Nada de lo anterior.

Cualquiera de las afirmaciones, por sí sola, implica que el sistema es compatible determinado, por tanto, la respuesta correcta es D.

136 Unidad 4| Programación lineal

4 Programación lineal


1. Resuelve las siguientes inecuaciones de primer grado.

a) ( ) ( )3 3 2 5 4 2 2x x x x+ − − − ≤ −

b) 1 2 512 6 2x x x− −− > −

c) 3 22 8 2

x x x− −− ≤

a) ( ) ( ) 33 3 2 5 4 2 2 3 6 15 4 8 2 6 92

x x x x x x x x x x+ − − − ≤ − ⇒ + − − + ≤ − ⇒ ≤ ⇒ ≤

Solución: 3,2

x ∈ −∞

b) ( ) ( )1 2 5 51 3 1 6 3 2 5 3 1 6 6 15 8 202 6 2 2x x x x x x x x x x x− −− > − ⇒ − − > − − ⇒ − + > − + ⇒ > ⇒ >

Solución: 5 ,2

x ∈ + ∞

c) ( ) ( )3 2 4 3 2 4 4 12 2 4 10 102 8 2

x x x x x x x x x x x− −− ≤ ⇒ − − − ≤ ⇒ − − + ≤ ⇒ − ≤ ⇒ ≥ −

Solución: [ )10,x ∈ − + ∞

2. Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado.

a) 2 22( 1) 4 (2 1)x x x− + < − +

b) 2 2 1 13 2 2

x x+ −− ≥

a) 2 2 2 2 2 1 12( 1) 4 (2 1) 2 4 2 4 4 4 1 6 1 0 6 02 3

x x x x x x x x x x x x − + < − + ⇒ − + + < − − − ⇒ + − < ⇒ + − <

Solución: 1 1,2 3

x ∈ −

−∞ 12

− 13

+∞

12

x + − + +

13

x − − − +

1 162 3

x x + −

+ − +

Programación lineal | Unidad 4 137

b) ( )2

2 22 1 1 12 4 3 3 3 2 3 2 0 2 2 03 2 2 2

x x x x x x x x+ − − ≥ ⇒ + − + ≥ ⇒ + − ≥ ⇒ + − ≥

Solución: ( ] 1, 2 ,2

x ∈ −∞ − ∪ + ∞

3. Resuelve las siguientes inecuaciones polinómicas.

a) 3 24 31 70 0x x x− − + < c) 3 24 3 10 8x x x+ − − <

b) ( ) ( )3 3 5 6 3 2 5x x x x+ − + ≥ − d) 3 26 5 1 1x x x+ − − >

a) ( ) ( ) ( )3 24 31 70 0 5 2 7 0x x x x x x− − + < ⇒ + − − <

Solución: ( ) ( ), 5 2, 7x ∈ −∞ − ∪

b) ( ) ( ) ( )3 3 2 3 2 23 5 6 3 2 5 3 15 6 6 15 3 0 3 0x x x x x x x x x x x x+ − + ≥ − ⇒ + − + ≥ − ⇒ + ≥ ⇒ + ≥

Solución: [ )3,x ∈ − + ∞

c) ( ) ( )23 2 3 24 3 10 8 4 3 18 0 2 3 0x x x x x x x x+ − − < ⇒ + − − < ⇒ − + <

Solución: ( ) ( ), 3 3, 2x ∈ −∞ − ∪ −

d) ( )3 2 3 2 1 26 5 1 1 6 5 2 0 6 1 02 3

x x x x x x x x x + − − > ⇒ + − − > ⇒ − + + >

Solución: ( )2 1, 1,3 2

x ∈ − − ∪ + ∞


−∞ –2 12

+∞

2x + − + + 12

x − − − +

( ) 12 22

x x + −

+ − +

−∞ −5 2 7 +∞

5x + − + + + 2x − − − + + 7x − − − − +

( ) ( ) ( )5 2 7x x x+ − − − + − +

−∞ –3 0 +∞

3x + − + + 2x + + +

( )2 3x x + − + +

−∞ –3 2 +∞

( )23x + + + + 2x − − − +

( ) ( )22 3x x− + − − +

−∞ 23

− 12

− 1 +∞

23

x + − + + +

12

x + − − + +

1x − − − − +

( ) 1 26 12 3

x x x − + +

− + − +


5. Halla la solución de las siguientes inecuaciones.

a) 2 1 31x

x−

< −−

b) 8410 7 35

xx

+ ≤ − −−

a) 2 1 2 1 2 1 3 3 2 23 3 0 0 0 01 1 1 1 1x x x x x x

x x x x x− − − + − − −

< − ⇒ + < ⇒ < ⇒ < ⇒ <− − − − −

Solución: ( )1, 2x ∈

b) 2 284 84 84 17 85 3 15 3 2 110 7 3 17 3 0 0 0

5 5 5 5x x x x xx x

x x x x+ − + − + −

+ ≤ − − ⇒ + + ≤ ⇒ ≤ ⇒ ≤ ⇒− − − −

( ) 13 1

3 05

x x

x

+ − ⇒ ≤−

Solución: ( ] 1, 1 , 53

x ∈ −∞ − ∪

6. Resuelve las siguientes inecuaciones.

a) 3 2

2

2 19 20 06

x x xx x

− − +≥

+ − b)

3 2

3 2

5 3 010 25

x x xx x x

+ − +≤

+ +

a) ( ) ( ) ( )( ) ( )

3 2

2

1 4 52 19 20 0 06 2 3

x x xx x xx x x x

− + −− − +≥ ⇒ ≥

+ − − +

Solución: [ ) [ ) [ )4, 3 1, 2 5,x ∈ − − ∪ ∪ +∞

−∞ 1 2 +∞

1x − − + + 2x − − − + 21

xx−−

+ − +

−∞ –1 13

5 +∞

1x + − + + + 13

x − − − + +

5x − − − − +

( ) 13 13

5

x x

x

+ − −

− + − +

−∞ −4 −3 1 2 5 +∞

4x + − + + + + + 3x + − − + + + + 1x − − − − + + + 2x − − − − + + + 5x − − − − − − +

( ) ( ) ( )( ) ( )1 4 5

2 3x x x

x x− + −

− + − + − + − +


b) ( ) ( )( )

23 2

23 2

1 35 3 0 010 25 5

x xx x xx x x x x

− ++ − +≤ ⇒ ≤

+ + +

Solución: [ ) { }3, 0 1x ∈ − ∪


8. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones.

a) 2 5 7 33 4 5

x xx x− > −

− > − c)

( )

3 2 52

1 2 3 2

x x

x x

− > − − ≤ −

b) 1 054( 3) 5 4

xx x x

− ≥+

− − > −

d) ( )2 5 93 2 2 7 2

2

x xx x x

x

≤ − − < − − >

a) Inecuación 2 5 7 3x x− > − :

12 122 5 7 3 5 12 ,5 5

x x x x x − > − ⇒ > ⇒ > ⇒ ∈ +∞

Inecuación 3 4 5x x− > − :

1 13 4 5 4 1 ,4 4

x x x x x − > − ⇒ > ⇒ > ⇒ ∈ +∞

La solución es del sistema es: 12 1 12, , ,5 4 5

x ∈ + ∞ ∩ + ∞ = + ∞

b) Inecuación 1 05x

−≥

+:

( )1 0 5 0 5 , 55

x x xx−

≥ ⇒ + < ⇒ < − ⇒ ∈ −∞ −+

Inecuación 4( 3) 5 4x x x− − > − :

( )4( 3) 5 4 7 7,x x x x x− − > − ⇒ > − ⇒ ∈ − + ∞

La solución del sistema es: ( ) ( ) ( ), 5 7, 7, 5x∈ −∞ − ∩ − + ∞ = − −

c) Inecuación 3 2 52x x− > − :

10 103 2 5 ,2 11 11x x x x − > − ⇒ > ⇒ ∈ +∞

Inecuación ( )1 2 3 2x x− ≤ − :

( ) 7 71 2 3 2 ,5 5

x x x x − ≤ − ⇒ ≤ ⇒ ∈ −∞

La solución del sistema es: 10 7 10 7, , ,11 5 11 5

x ∈ + ∞ ∩ −∞ =

−∞ –5 –3 0 1 +∞

( )25x + + + + + + 3x + − − + + +

x − − − + +

( )21x − + + + + + Fracción + + − + +


d) Inecuación 2 5 9x x≤ − :

[ )2 5 9 3 3,x x x x≤ − ⇒ ≥ ⇒ ∈ +∞

Inecuación ( )3 2 2 7 2x x x− < − − :

( ) ( )3 2 2 7 2 5 5,x x x x x− < − − ⇒ > ⇒ ∈ +∞

Inecuación 2x > : ( )2,x ∈ +∞

La solución del sistema es: [ ) ( ) ( ) ( )3, 5, 2, 5,x ∈ +∞ ∩ +∞ ∩ +∞ = + ∞


a) 2

2

9 05 6 0

xx x

− <

− − ≥ b)

3

2

2

1 06 93 0

xx xx x

−≥

− +− − >

a) Inecuación 2 9 0x − < :

( ) ( ) ( )2 9 0 3 3 0 3, 3x x x x− < ⇒ + − < ⇒ ∈ −

Inecuación 2 5 6 0x x− − ≥ :

( )( ) ( ] [ )2 5 6 0 1 6 0 , 1 6,x x x x x− − ≥ ⇒ + − ≥ ⇒ ∈ −∞ − ∪ + ∞

La solución del sistema es la intersección de las soluciones obtenidas: ( ]3, 1x ∈ − −

b) Inecuación 3

2

1 06 9

xx x

−≥

− +:

( ) ( )

( )[ ) ( )

23

22

1 11 0 0 1, 3 3,6 9 3

x x xx xx x x

− + +−≥ ⇒ ≥ ⇒ ∈ ∪ +∞

− + −

Inecuación 2 3 0x x− − > :

( ) ( )2 3 0 3 0 3, 0x x x x x− − > ⇒ − + > ⇒ ∈ −

La intersección de las soluciones obtenidas es vacía, por lo que el sistema no tiene solución.

−∞ –3 3 +∞

3x + − + + 3x − − − +

( ) ( )3 3x x+ − + − +

−∞ –1 6 +∞

1x + − + + 6x − − − +

( ) ( )1 6x x+ − + − +

−∞ 1 3 +∞

1x − − + +

( )23x − + + +

( ) ( )( )

2

2

1 1

3

x x x

x

− + +

− − + +

−∞ –3 0 +∞

3x + − + + x − − +

( )3x x− + − + −




12. Representa los semiplanos determinados por las siguientes expresiones.

a) 2 3x − > c) 4 2 6x y− > e) 13 2x y+ > −

b) 2 4x ≤ d) ( ) ( )3 2 3 2 6 1x y− − − < f) 2 3 63 2x y− ≥ −

a) Semiplano sin borde limitado por la recta d) Semiplano sin borde limitado por la recta

2 3 5x x− = ⇒ = ( ) ( )3 2 3 2 6 1 2x y x y− − − = ⇒ + =

b) Semiplano con borde limitado por la recta e) Semiplano sin borde limitado por la recta

2 4 2x x= ⇒ = 1 2 3 63 2x y x y+ = − ⇒ + = −

c) Semiplano sin borde limitado por la recta f) Semiplano con borde limitado por la recta

4 2 6 2 3x y x y− = ⇒ − = 2 3 6 4 9 363 2x y x y− = − ⇒ − = −

13. Comprueba si los puntos siguientes están o no a un mismo lado de la recta + =: 2 7 3r x y .

a) A(0,–3) y B(–4,1) b) A(2, 3) y B(6, −1) Sustituyendo las coordenadas de A y B en la expresión 2 7 3x y+ − obtenemos:

a) ( ): 2 0 7 3 3 24 0A ⋅ + ⋅ − − = − < y ( ): 2 4 7 1 3 4 0B ⋅ − + ⋅ − = − < , por tanto, A y B están a un mismo lado de r.

b) : 2 2 7 3 3 22 0A ⋅ + ⋅ − = > y ( ): 2 6 7 1 3 2 0B ⋅ + ⋅ − − = > , por tanto, A y B están a un mismo lado de r.


14. Establece las expresiones algebraicas que determinan cada uno de los siguientes semiplanos.

a) y x> − o 0x y+ > b) 5y x< + o 5x y− > −


16. Representa la solución de los siguientes sistemas de inecuaciones, calcula sus vértices e indica si es o no acotada.

a) 2

32 2 5

xyx y

> − ≤ + ≥

b) 4 62 21

x yx yy

+ < − − ≥ − <

c)

3 126 18

506

x yx yx yxy

+ ≤ + > + ≥ − ≥

≤

d)

3 154 16

200

x yx y

x yxy

+ ≤ + ≤ − ≤ ≥

≥

a) c)

Región no acotada. Región acotada.

Vértices: 1 , 32

A −

Vértices: ( )0, 3A , ( )0, 6B , ( )2, 6C y 54 42,17 17

D

La restricción 2x > − es redundante. La restricción 5x y+ ≥ − es redundante.

b) d)


Vértices: 10 2,3 3

A − −

Vértices: ( )0, 0O , ( )0, 5A , ( )3, 4B ,

La restricción 1y < es redundante. 18 8,5 5

C

y ( )2, 0D



18. Considera la región definida por:

+ ≥ + ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

22 60 20 4

x yx y

xy

a) Calcula gráficamente, si existen, los puntos que dan el valor mínimo a la función = −( , ) 2f x y x y en la región S.

b) Obtén de forma gráfica los máximos y mínimos de la función ( , ) 3 3g x y x y= + en la región S.

a) Representamos la región factible S y la recta − =2 0x y .

Al tener la función objetivo coeficiente de la x positivo y coeficiente de la y negativo, el mínimo se localizará en el último punto de S que toque la recta − =2 0x y al desplazarse de forma paralela en el sentido positivo del eje Y.

Por tanto, el mínimo está en el vértice ( )0, 4B y su valor es ( )0, 4 8f = − .

Nota: El máximo se localizaría desplazando la recta − =2 0x y de forma paralela en el sentido negativo del eje Y, siendo el último punto de S que se toca el vértice ( )2, 0E . En este vértice estará el máximo, de valor ( )2, 0 2f = .

b) En este caso, la función objetivo tiene coeficientes de la x, y de la y, positivos, por

lo que el máximo se localizará en el último punto de S que toque la recta − =2 0x y al desplazarse de forma paralela en el sentido positivo del eje Y y el

mínimo en el último punto de S que toque al desplazarse en sentido negativo.

Por tanto:

El máximo se encuentra en el vértice ( )1, 4C y su valor es ( )1, 4 15g = .

Para el mínimo existen infinitas soluciones, cualquier punto del segmento de extremos los vértices ( )0, 2A y ( )2, 0E . Su valor en cualquiera de estos puntos

es ( )0, 2 6g = .

19. Considera la región S del plano definida por:

≥ −≤ −≥≥≥

2 41

200

y xy xy x

xy

Obtén, de forma gráfica, los máximos y mínimos de la función 3z x y= − en la región S.

Representamos la región factible S y la recta − =2 0x y . Como la función objetivo tiene coeficiente de la x positivo, y coeficiente de la y, negativo, el máximo se localizará en el último punto de S que toque la recta 3 0x y− = al desplazarse de forma paralela en el sentido negativo del eje Y y el mínimo en el último punto de S que toque al desplazarse en sentido positivo. Por tanto:

El máximo se encuentra en el vértice ( )1: 2, 1

2y x

A Ay x= − ⇒ =

y su valor

es 1Az = − .

El mínimo se encuentra en el vértice ( )2 4: 3, 2

1y x

B By x= − ⇒ = −

y su valor es 3Bz = − .



21. Resuelve analíticamente el siguiente problema de programación lineal:

Max y Min 2z x y= + sujeto a:

3 2 63 4 63 4 303 2 6

x yx yx yx y

+ ≥ − ≤ + ≤ − ≥ −

Representamos la región factible y calculamos sus vértices:

( )3 2 6: 0, 3

3 2 6x y

A Ax y+ = ⇒ − = −

( )3 4 30: 2, 6

3 2 6x y

B Bx y+ = ⇒ − = −

( )3 4 6: 6, 3

3 4 30x y

C Cx y− = ⇒ + =

( )3 2 6: 2, 0

3 4 6x y

D Dx y+ = ⇒ − =

Evaluamos la función objetivo en los vértices:

6Az = 14Bz = 12Cz = 2Dz =

Por tanto:

El máximo se alcanza para 2x = , 6y = (vértice B) y vale 14Bz = .

El mínimo se alcanza para 2x = , 0y = (vértice D) y vale 2Dz = .

22. Halla el valor máximo de las funciones ( , ) 6 5F x y x y= + y ( , ) 2 4G x y x y= + en la región del plano definida por las inecuaciones: 0 x≤ ; 0 y≤ ; 3 60x y+ ≤ y 2 40x y+ ≤ .


( )0, 0O ( )0, 20A ( )3 60: 16, 12

2 40x y

B Bx y

+ = ⇒ + = ( )20, 0C

Evaluamos las funciones objetivo en los vértices:

0OF = 100AF = 156BF = 120CF =

0OG = 80AG = 80BG = 40CG =

Por tanto:

El máximo de F se alcanza para 16x = , 12y = (vértice B) y vale 156BF = .

El máximo de G se alcanza en cualquier punto del segmento de extremos A y B y vale 80BG = .



24. Una empresa, que abastece los lotes de perfumería de un supermercado, dispone en el almacén de 240 frascos de gel, 95 de champú, y 270 de crema de manos. Los lotes son de dos tipos: A y B, de forma que el lote A está compuesto por 2 frascos de gel, 1 de champú y 3 de crema de manos, mientras que el lote B está formado por 3 frascos de gel, 1 de champú y 2 de crema de manos. Cada lote de tipo A le produce un beneficio de 25 €, y cada lote de tipo B de 22 €. ¿Cuántos lotes de cada tipo debe preparar para maximizar el beneficio? ¿Cuál es ese beneficio máximo? Las variables de decisión son:

x lotes de tipo A y lotes de tipo B

Queremos hallar el máximo de 25 22z x y= + sujeto a:

2 3 240 debido al total de gel disponible95 debido al total de champú disponible

3 2 270 debido al total de crema disponible0, 0 condiciones de no negatividad

x yx yx y

x y

+ ≤ + ≤ + ≤ ≥ ≥


( )0, 0O ( )80, 0A ( )2 3 240: 45, 50

95x y

B Bx y

+ = ⇒ + =

( )95: 80, 15

3 2 270x y

C Cx y+ = ⇒ + =

( )90, 0D


0Oz = 2000Az = 2225Bz = 2330Cz = 2250Dz =

Por tanto, el máximo se alcanza en el vértice C, es decir, para obtener los máximos beneficios hay que preparar 80x = lotes tipo A e 15y = lotes tipo B, siendo el beneficio máximo 2330Cz = €.

25. El terreno dedicado a una plantación de hortalizas precisa semanalmente un mínimo de 16 kg de abono mineral y un mínimo de 18 kg de abono vegetal. En el mercado existen dos paquetes de abonos P1 y P2. El paquete P1 contiene 2 kg de de abono mineral y 5 kg de abono vegetal y cada paquete de tipo P2 contiene 3 kg de abono mineral y 2 kg de abono vegetal. Cada paquete de tipo P1 cuesta 15 euros y cada paquete de tipo P2 cuesta 10 euros. Calcula el número de paquetes de cada tipo que se deben adquirir para que el coste sea mínimo. Las variables de decisión son:

x paquetes P1 y paquetes P2

Queremos hallar el mínimo de 15 10z x y= + sujeto a:

2 3 16 necesidad de abono mineral5 2 18 necesidad de abono vegetal

0, 0 condiciones de no negatividad

x yx y

x y

+ ≥ + ≥ ≥ ≥

Representamos la región factible y, al ser no acotada, la recta 15 10 0x y+ = .

Como la función objetivo tiene coeficientes de la x y de la y, positivos, el mínimo se localizará en el último punto de la región factible que toque la recta 15 10 0x y+ = al desplazarse de forma paralela en el sentido negativo del eje Y.

Por tanto, el mínimo se localiza en el vértice B:

( )2 3 16: 2, 4

5 2 18x y

B Bx y+ = ⇒ + =

Es decir, para obtener el coste mínimo hay que adquirir 2x = paquetes P1 e 4y = paquetes P2, con un coste de 70Bz = €.

Gel Champú Crema Beneficio A (x lotes) 2 1 3 25 € B (y lotes) 3 1 2 22 €

Cantidades máximas 240 95 270

Mineral Vegetal Coste P1 (x paquetes) 2 5 15 € P2 (y paquetes) 3 2 10 €

Cantidades mínimas 16 18


26. Se deben transportar naranjas de las ciudades de Gandía y Cullera a las ciudades de Burgos, Oviedo y Coruña.

Las cantidades ofertadas son 500 kg de Gandía y 750 kg de Cullera. Las cantidades demandadas son 250 kg por Burgos, 500 kg por Oviedo y 500 kg por Coruña. Los costes, en céntimos por kg, de transportar de una ciudad a otra son:

Burgos Oviedo Coruña Gandía 1 2 2 Cullera 2 2 3

Establece la mejor forma de realizar el transporte para que el coste total sea mínimo. ¿Hay una única solución? La siguiente tabla de variables indica los kg de naranjas que se trasporta de un lugar a otro.

Queremos hallar el mínimo coste:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 500 2 250 2 500 3 2500z x y x y x y x y y= + + − − + − + − + + = + .

Las restricciones del problema son las que resultan de obligar a que las variables de la tabla anterior no sean negativas, es decir, queremos resolver el problema de programación lineal:

Min 2500z y= +

Sujeto a:

5000

0 2500 500

x yx y

xy

+ ≤ + ≥ ≤ ≤ ≤ ≤


( )0, 0O ( )0, 500A ( )500: 250, 250

250x y

B Bx+ = ⇒ =

( )250, 0C


2500Oz = 3000Az = 2750Bz = 2500Cz =

Por tanto, el mínimo se alcanza en cualquier punto del segmento de extremos O y C, es decir, 0y = kg pero x puede variar entre 0 y 250 kg. En todas estas las soluciones el coste será de 2500 €.

Las soluciones se muestran en la siguiente tabla, donde 0 250x≤ ≤ .

Por tanto los únicos envíos fijos son de Gandía a Oviedo, que no se envía nada, y de Cullera a Oviedo, que se envían 500 kg.

Dos posibles transportes con coste mínimo son los siguientes:

Burgos Oviedo Coruña Gandía x 0 500 – x Cullera 250 – x 500 x


Burgos Oviedo Coruña Total Gandía x y 500 – x – y 500 Cullera 250 – x 500 – y x + y 750 Total 250 500 500 1250



27. Una persona debe alimentar a un animal. En la tienda de mascotas hay dos tipos de pienso, A y B, para dicho animal, con las siguientes composiciones y precio por paquete:

Proteínas Hidratos de carbono Grasas Precio

A 1 g 5 g 3 g 2 € B 2 g 2 g 2 g 1,7 €

Dicho animal debe comer diariamente, al menos 8 g de proteínas, 20 g de hidratos de carbono y 16 g de grasas. Determina cuántos paquetes de cada tipo debe comer el animal para que la dieta tenga un coste mínimo. Las variables de decisión son:

x paquetes A y paquetes B


2 1,7z x y= +

sujeto a:

2 8 necesidad de proteinas5 2 20 necesidad de hidratos3 2 16 necesidad de grasas

0, 0 condiciones de no negatividad

x yx yx y

x y

+ ≥ + ≥ + ≥ ≥ ≥

Representamos la región factible y, al ser no acotada, la recta 2 1,7 0x y+ = .

Como la función objetivo tiene coeficientes de la x, y de la y, positivos, el mínimo se localizará en el último punto de la región factible que toque la recta 2 1,7 0x y+ = al desplazarse de forma paralela en el sentido negativo del eje Y.


( )2 8: 4, 2

3 2 16x y

B Bx y+ = ⇒ + =

Es decir, para que la dieta tenga el animal debe comer diariamente 4x = paquetes A e 2y = paquetes B, siendo el coste de 11,4Bz = €.



EJERCICIOS

Inecuaciones

35. Resuelve las siguientes inecuaciones de primer grado.

a) ( ) ( )3 2 2 1 3x x x+ − − ≥ − d) 1 3 65 25 3 5

x x xx − +− − ≥ −

b) ( )2 3 3 1 3 4 11x x x− − − ≥ − e) ( )3 3 1 672 13 2 4 12

x x x x− −− + < − −

c) 2 1 1133 4 2

x x x−− ≥ −

a) ( ) ( )3 2 2 1 3 4 8 2x x x x x+ − − ≥ − ⇒ ≥ − ⇒ ≥ − ⇒ Solución: [ )2,x ∈ − + ∞

b) ( )2 3 3 1 3 4 11 11 11 1x x x x x− − − ≥ − ⇒ − ≥ − ⇒ ≤ ⇒ Solución: ( ], 1x ∈ −∞

c) 2 1 113 31 62 23 4 2

x x x x x−− ≥ − ⇒ − ≥ − ⇒ ≤ ⇒ Solución: ( ], 2x ∈ −∞

d) 1 3 6 32 96 35 25 3 5

x x xx x x− +− − ≥ − ⇒ ≥ − ⇒ ≥ − ⇒ Solución: [ )3,x ∈ − + ∞

e) ( )3 3 1 672 1 25 100 43 2 4 12

x x x x x x− −− + < − − ⇒ − < − ⇒ > ⇒ Solución: ( )4,x ∈ +∞

36. Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado.

a) 23 5 2 0x x− + ≤ c) ( ) ( )3 4 13x x x− + − ≥

b) 22 6 4 0x x− + − ≤ d) ( ) ( )22 3 3 2 4 24 0x x x− − − + − ≥

a) ( )2 23 5 2 0 3 1 03

x x x x − + ≤ ⇒ − − ≤

Realizando la correspondiente tabla de signos se obtiene como solución 2 , 13

x ∈ .

b) ( ) ( )22 6 4 0 2 1 2 0x x x x− + − ≤ ⇒ − − − ≤

Realizando la correspondiente tabla de signos se obtiene como solución ( ] [ ), 1 2,x ∈ −∞ ∪ +∞ .

c) ( ) ( ) ( ) ( )23 4 13 25 0 5 5 0x x x x x x− + − ≥ ⇒ − ≥ ⇒ + − ≥

Realizando la correspondiente tabla de signos se obtiene como solución ( ] [ ), 5 5,x ∈ −∞ − ∪ + ∞ .

d) ( ) ( )2 2 302 3 3 2 4 24 0 11 30 0 11 011

x x x x x x x − − − + − ≥ ⇒ − − ≥ ⇒ − + ≥

Realizando la correspondiente tabla de signos se obtiene como solución 30 , 011

x ∈ − .


37. Resuelve las siguientes inecuaciones polinómicas.

a) 3 22 2 0x x x+ − − < b) 3 2 8 12 0x x x− − + ≥ c) 3 26 12 8 0x x x− + − + ≥ d) 3 26 11 19 6 0x x x+ − + ≤

a) ( ) ( ) ( )3 22 2 0 1 1 2 0x x x x x x+ − − < ⇒ − + + <

Realizando la correspondiente tabla de signos se obtiene como solución ( ) ( ), 2 1, 1x ∈ −∞ − ∪ − .

b) ( ) ( )23 2 8 12 0 2 3 0x x x x x− − + ≥ ⇒ − + ≥

Realizando la correspondiente tabla de signos se obtiene como solución [ )3,x ∈ − + ∞ .

c) ( )33 26 12 8 0 2 0x x x x− + − + ≥ ⇒ − − ≥

Realizando la correspondiente tabla de signos se obtiene como solución ( ], 2x ∈ −∞ .

d) ( )3 2 1 26 11 19 6 0 6 3 02 3

x x x x x x + − + ≤ ⇒ + − − ≤

Realizando la correspondiente tabla de signos se obtiene como solución ( ] 1 2, 3 ,2 3

x ∈ −∞ − ∪ .

38. Resuelve las siguientes inecuaciones racionales.

a) 2 4 05

xx−

≥+

b) 3 2 53 4

xx−

≥−

c) 2 2 0

3 6x x

x−

≥−

d) 2

2

6 02 7 3x xx x

+ −≥

− +

a) ( )2 22 4 0 05 5

xxx x

−−≥ ⇒ ≥

+ +

Realizando la correspondiente tabla de signos se obtiene como solución ( ) [ ), 5 2,x ∈ −∞ − ∪ + ∞ .

b) ( )( )

7 13 2 5 03 4 4 3

xxx x

+−≥ ⇒ ≥

− −

Realizando la correspondiente tabla de signos se obtiene como solución ( ] ( ), 1 3,x ∈ −∞ − ∪ + ∞ .

c) ( )( )

2 22 0 0 03 6 3 2 3

x xx x xx x

−−≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥

− −

Realizando la correspondiente tabla de signos se obtiene como solución [ ) ( )0, 2 2,x ∈ ∪ +∞ .

d) ( ) ( )

( )

2

2

2 36 0 012 7 3 2 32

x xx xx x x x

− ++ −≥ ⇒ ≥

− + − −

Realizando la correspondiente tabla de signos se obtiene como solución ( ] ( )1, 3 , 2 3,2

x ∈ −∞ − ∪ ∪ +∞ .


Sistemas de inecuaciones

39. Halla la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales con una incógnita.

a) 4 3( 2) 7 220 2 4(2 15)

x x xx x

− + > + − < −

d) ( ) 1 2 3 52 3 3

3 2 61 1 1 5

2 4 8 2

xx

x x x

− − − + ≤ − − − − − − ≥ −

b) ( )

( )

3 5 2 1 8 532 1 2 3

2

x xxx x

− − ≤ − −

− − ≥ − −

e) ( )

2 3 1 315 10 2

2 3 10 52 13 8 4

x x x

x x x

+ − + − ≥ − + + − < − +

c)

2 2 233 2 6

5 2 2 32 12 4

x x x

x xx

− + − + ≤ − − − − + < −

a) 4 3( 2) 7 2 13 13x x x x x− + > + ⇒ − > ⇒ < − ⇒ Solución: ( ), 13x ∈ −∞ −

20 2 4(2 15) 10 80 8x x x x− < − ⇒ − < − ⇒ > ⇒Solución: ( )8,x ∈ +∞


b) ( )3 5 2 1 8 5 5 0 0x x x x− − ≤ − ⇒ − ≤ ⇒ ≥ ⇒Solución: [ )0,x ∈ +∞

( )32 1 2 3 5 15 32

xx x x x−− − ≥ − − ⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒Solución: [ )3,x ∈ +∞

La solución del sistema es la intersección de las soluciones obtenidas: [ )3,x ∈ +∞

c) 2 2 2 73 4 143 2 6 2

x x x x x− + −+ ≤ − ⇒ − ≤ − ⇒ ≥ ⇒Solución: 7 ,

2x ∈ + ∞

5 2 2 3 92 1 10 92 4 10

x xx x x− −− + < − ⇒ < ⇒ < ⇒Solución: 9,

10x ∈ −∞


d) ( ) 1 2 3 5 412 3 3 24 823 2 6 12

xx x x−− − + ≤ − ⇒ − ≤ − ⇒ ≥ ⇒ Solución: 41,

12x ∈ + ∞

1 1 1 5 5 25 52 4 8 2

x x x x x− − −− − ≥ − ⇒ − ≥ − ⇒ ≤ ⇒ Solución: ( ], 5x ∈ −∞

La solución del sistema es la intersección de las soluciones obtenidas: 41, 512

x ∈

e) 2 3 1 31 0 205 10 2

x x x+ − +− ≥ − ⇒ ≥ − ⇒ Solución: ( ),x ∈ = −∞ + ∞

( )2 3 10 5 712 1 26 713 8 4 26

x x x x x+ +− < − + ⇒ < ⇒ < ⇒ Solución: 71,

26x ∈ −∞

La solución del sistema es la intersección de las soluciones obtenidas: 71,26

x ∈ −∞



a) 2

2

36 115 4 0

xx x

− ≤ −

− + > c)

2

3 324 4 0

xxx x

− ≥ −+

+ + ≥

b) ( )2

2

6 1 5

1

x x

x

− ≥ −

> d)

( )2

01 1

2 4 02 3 5 3

x xx xx x

x x

− ≥ + − − + ≥

− > +

a) ( ) ( )2 236 11 25 0 5 5 0x x x x− ≤ − ⇒ − ≤ ⇒ + − ≤ ⇒ Solución: [ ]5, 5x ∈ −

( ) ( )2 5 4 0 1 4 0x x x x− + > ⇒ − − > ⇒ Solución: ( ) ( ), 1 4,x ∈ −∞ ∪ +∞

La solución del sistema es la intersección de las soluciones obtenidas: [ ) ( ]5, 1 4, 5x ∈ − ∪

b) ( )2 2 3 26 1 5 6 5 6 0 6 02 3

x x x x x x − ≥ − ⇒ + − ≥ ⇒ + − ≥ ⇒

Solución: 3 2, ,2 3

x ∈ −∞ − ∪ + ∞

( ) ( )2 21 1 0 1 1 0x x x x> ⇒ − < ⇒ + − < ⇒ Solución: ( )1, 1x ∈ −

La solución del sistema es la intersección de las soluciones obtenidas: 2 , 13

x ∈

c)

343 3 43 3 0 02 2 2

xx xx x x

+ − − ≥ − ⇒ + ≥ ⇒ ≥ ⇒+ + +

Solución: ( ) 3, 2 ,4

x ∈ −∞ − ∪ − + ∞

( )22 4 4 0 2 0x x x+ + ≥ ⇒ + ≥ ⇒ Solución: x ∈

La solución del sistema es la intersección de las soluciones obtenidas: ( ) 3, 2 ,4

x ∈ −∞ − ∪ − + ∞

d) ( ) ( )

20 01 1 1 1

x x xx x x x

−− ≥ ⇒ ≥ ⇒

+ − + −Solución: ( ) [ ), 1 0, 1x ∈ −∞ − ∪

2 2 4 0x x− + ≥ ⇒ Solución: x ∈

( )2 3 5 3 3 9 3x x x x− > + ⇒ − > ⇒ < − ⇒ Solución: ( ), 3x∈ −∞ −

La solución del sistema es la intersección de las soluciones obtenidas: ( ), 3x∈ −∞ −


41. Para cada uno de los siguientes sistemas de inecuaciones lineales, representa el recinto correspondiente a la solución y calcula las coordenadas de sus vértices. Indica si es o no acotado.

a) 2 0

2 3 70

x yx y

y

− ≥ + ≤ ≥

c) 3 2 0

5 6 0

x yy xx y

+ ≤ ≥ + ≤

e) 0 4

3 150 6

yx y

x

≤ ≤ + ≤ ≤ ≤

b) 1 01 0

4

xyx y

− ≥ − ≥ + ≥

d) 3 4 123 4 12

3

x yx y

y

− ≤ − + ≤ ≥ −

f)

3 39

315

y xy xx yxx

− ≤ − ≤ ≤ − + + ≤ ≥

≤

a) d)

Región acotada. Región no acotada.

Vértices: ( )0, 0O , ( )2, 1A y 7 , 02

B

Vértices: ( )8, 3A − − y ( )0, 3B

b) e)


Vértices: ( )3, 1A y ( )1, 3B Vértices: ( )0, 0O , ( )0, 4A , ( )3, 4B ,

( )6, 3C y ( )6, 0D

c) f)


Vértices: ( )0, 0O Vértices: ( )1, 2A − , ( )1, 2B y ( )3, 0C


42. Para cada uno de los siguientes sistemas de inecuaciones, representa la solución e indica si alguna de las inecuaciones que lo forman es redundante.

a)

0 50 4

2 011

yx

x yx y

≤ ≤ ≤ ≤ − ≤ + ≤

b)

542 0

11

yxx yx y

≥ ≥ − ≤ + ≤

c)

0 542 0

11

yxx yx y

≤ ≤ ≥ − ≤ + ≤

d)

0 50 4

2 011

yx

x yx y

≤ ≤ ≤ ≤ − ≤ + ≥

a) c)

Las inecuaciones 11x y+ ≤ e 0y ≥ La inecuación 0y ≥ es redundante.

son redundantes.

b) d)

La inecuación 2 0x y− ≤ es redundante. La región es vacía.

43. Se considera el sistema de inecuaciones lineales:

+ ≤ + ≤ ≤ ≤ ≥

2 82 70 3

0

x yx y

xy

Comprueba si la intersección de las rectas + =2 8x y y = 3x es o no vértice del recinto solución.

El punto de intersección de las dos rectas es: 2 8 53,3 2

x yP

x+ = ⇒ =

Este punto no es vértice del recinto solución, ya que no verifica la segunda inecuación del sistema.

44. Se considera el sistema de inecuaciones lineales:

− ≤ + ≤ − ≤ ≥

≥

2 72 73 7

00

x yx yx y

xy

Comprueba si la intersección de las rectas + =2 7x y y − =3 7x y es o no vértice del recinto solución.

El punto de intersección de las dos rectas es: 2 7 14 7,3 7 5 5

x yP

x y+ = ⇒ − =

Este punto es vértice del recinto solución, ya que verifica todas las inecuaciones del sistema.


Resolución de problemas de programación lineal

45. Resuelve de forma gráfica los siguientes problemas de programación lineal.

a) Máximo y mínimo de 2z x y= + b) Máximo y mínimo de z x y= +

Sujeta a: Sujeta a:

24

52 16

xyx yx y

≥ ≥ + ≥ + ≥

29

52 5

xxx yx y

≥ ≤ + ≥ − ≤

a) Representamos la región factible y la recta 2 0x y+ = .

Al tener la función objetivo coeficientes de la x, y de la y, positivos, el máximo se localizará en el último punto de la región factible que toque la recta 2 0x y+ = al desplazarse de forma paralela en el sentido positivo del eje Y, y el mínimo, en el último punto que toque al desplazarse en sentido negativo.

Por tanto:

No existe el máximo.

El mínimo se encuentra en el vértice ( )2, 7B y su valor es 11Bz = .

Nota: Observemos que la condición 5x y+ ≥ es redundante.

b) Representamos la región factible y la recta 0x y+ = .

Al tener la función objetivo coeficientes de la x, y de la y, positivos, el máximo se localizará en el último punto de la región factible que toque la recta 0x y+ = al desplazarse de forma paralela en el sentido positivo del eje Y, y el mínimo, en el último punto que toque al desplazarse en sentido negativo.

Por tanto:


El mínimo se encuentra en cualquier punto del segmento de extremos ( )5, 0B y ( )2, 3C y su valor es 5Bz = .

46. Comprueba que la función = +( , ) 2f x y x y no alcanza ni máximo ni mínimo si está sujeta a las restricciones:

+ ≤ − ≥ − ≤

77

5

x yx yy

Representamos la región factible y la recta 2 0x y+ = .

Al tener la función objetivo coeficientes de la x, y de la y, positivos, el máximo se localizará en el último punto de la región factible que toque la recta 2 0x y+ = al desplazarse de forma paralela en el sentido positivo del eje Y, y el mínimo, en el último punto que toque al desplazarse en sentido negativo.

Como al desplazarse en cualquiera de los dos sentidos la recta 2 0x y+ = toca en todo momento la región factible, no existe ni el máximo ni el mínimo.


47. Dibuja la región determinada por las condiciones:

− ≥ −− ≥ −

≥+ ≤≤ ≤

33 13

011

0 7

x yx y

yx y

x

Halla de forma gráfica el máximo y el mínimo de la función = −( , ) 2f x y x y si está sujeta a las anteriores condiciones. Representamos la región factible y la recta − =2 0x y .

Al tener la función objetivo coeficiente de la x positivo y coeficiente de la y negativo, el máximo se localizará en el último punto de la región factible que toque la recta − =2 0x y al desplazarse de forma paralela en el sentido negativo del eje Y, y el mínimo, en el último punto que toque al desplazarse en sentido positivo.

Por tanto:

El máximo se encuentra en el vértice ( )7, 0E y su valor es 7Ez = .

El mínimo se encuentra en el vértice ( )2, 5B y su valor es 8Bz = − .

48. Dibuja la región determinada por las condiciones:

− ≤− ≤+ ≥≥ −

4 7 07 2 14

02

x yx yx yx

Halla de forma gráfica el máximo y el mínimo de la función = −( , ) 4f x y x y si está sujeta a las anteriores condiciones. Representamos la región factible y la recta 4 0x y− = .

Al tener la función objetivo coeficiente de la x positivo y coeficiente de la y negativo, el máximo se localizará en el último punto de la región factible que toque la recta 4 0x y− = al desplazarse de forma paralela en el sentido negativo del eje Y, y el mínimo, en el último punto que toque al desplazarse en sentido positivo.

Por tanto:

El máximo se encuentra en el vértice ( )0, 0O y su valor es 0Oz = .

No existe el mínimo.

49. Evalúa la función objetivo = +1 72 3

z x y en los vértices del recinto de la figura.

Los vértices del recinto son: ( )2, 7A , ( )6, 10B , ( )10, 7C , ( )8, 3D y ( )4, 3E .

Evaluando la función objetivo en ellos tenemos:

523Az = 79

3Bz = 643Cz = 11Dz = 9Ez =


50. Resuelve de forma analítica los siguientes problemas de programación lineal.

a) Min 9z x y= + b) Min 4 5z x y= +

Sujeta a: Sujeta a:

53 23 2 5

0

x yx yx y

x

+ ≤ + ≥ − ≤ ≥

110 8

15 8

110 4

x y

x y

x y

+ ≤ + ≥

+ ≥

a) Representamos la región factible y calculamos sus vértices:

( )1, 1A − , ( )0, 2B , ( )0, 5C y ( )3, 2D


8Az = 2Bz = 5Cz = 29Dz =

Por tanto, el mínimo se alcanza en el vértice ( )0, 2B y su valor es 2Bz = .

b) Representamos la región factible y calculamos sus vértices:

( )10, 0A , 1 8 5 40 10 85 8: ,

2 5 20 3 3110 4

x yx y

B Bx y x y

+ = + = ⇒ ⇒ + = + =

y ( )0, 8C


40Az = 803Bz = 40Cz =

Por tanto, el mínimo se alcanza en el vértice 10 8,3 3

B

y su valor es

803Bz = .

Síntesis 51. Para cada uno de los siguientes casos, escribe un sistema de ecuaciones lineales cuya solución sea el

recinto acotado que tiene como vértices los puntos que se indican:

a) ( ) ( ) ( )2, 0 , 2, 2 y 2, 3A B C− − b) ( ) ( ) ( ) ( )3, 1 , 2, 3 , 3, 2 y 1, 2A B C D− − − −

a) 3 4 6

2 22

x yx y

x

+ ≥ −− + ≤ ≤

b)

2 5 115 133 2 7

2

x yx yx y

y

− + ≤ + ≤ + ≥ − ≥ −


52. Sea R la región factible definida por las inecuaciones:

≥ ≤ ≥3 5 1x x y

a) Razona si el punto ( )4,5; 1,55A pertenece a R.

b) Calcula los extremos de ( , ) 2 3f x y x y= − en R.

c) Razona si hay algún punto de R donde la función f valga 3,5. ¿Y 7,5? a) El punto A pertenece a R, ya que cumple todas las inecuaciones que definen R.

b) Representamos la región R y, al ser no acotada, la recta 2 3 0x y− = .

Al tener la función objetivo coeficiente de la x positivo y coeficiente de la y negativo, el máximo se localizará en el último punto de la región factible que toque la recta 2 3 0x y− = al desplazarse de forma paralela en el sentido negativo del eje Y, y el mínimo, en el último punto que toque al desplazarse en sentido positivo.

Por tanto:

El máximo se encuentra en el vértice ( )5, 1C y su valor es 7Cf = .

No existe el mínimo.

c) La función f alcanza en R cualquier valor menor o igual a 7, por tanto alcanza el valor 3,5 pero no el 7,5.

53. Considera la región factible de la figura y copia y completa la tabla en tu cuaderno.

Los vértices del recinto son: ( )0, 3A , ( )2, 5B , ( )6, 3C , ( )3, 0D y ( )1, 1E .

Evaluando las funciones objetivo en ellos tenemos:

Función objetivo Máximo Mínimo z x y= +

z x y= −

2z x y= +

2z x y= +

2z x y= −

Función objetivo Máximo Mínimo

z x y= + Se alcanza en C y vale 9Cz = . Se alcanza en E y vale 2Ez = .

z x y= − Se alcanza en cualquier punto de CD y vale 3Cz = .

Se alcanza en cualquier punto de AB y vale 3Az = − .

2z x y= + Se alcanza en cualquier punto

de BC y vale 12Bz = . Se alcanza en cualquier punto

de DE y vale 3Dz = .

2z x y= + Se alcanza en C y vale 15Cz = . Se alcanza en cualquier punto

de AE y vale 3Az = .

2z x y= − Se alcanza en D y vale 3Cz = . Se alcanza en B y vale 8Bz = − .


54. Resuelve el problema de programación lineal entera.

Máx = +z x y

Sujeto a:

3 63 3

5 4 200 0 donde ,

x yx y

x yx y x y

− ≤− + ≤ + ≤ ≥ ≥ ∈

Representamos la región factible, de hecho, la región factible la forman únicamente los puntos de coordenadas enteras del recinto representado. Por este motivo, aunque la región es acotada, vamos a usar el método gráfico, por lo que también representamos la recta 0x y+ = .

Al tener la función objetivo coeficientes de la x, y de la y, positivos, el máximo se localizará en el último punto de la región factible que toque la recta 0x y+ = al desplazarse de forma paralela en el sentido positivo del eje Y.

Por tanto, el máximo se alcanza en los puntos ( )1 1, 3P , ( )2 2, 2P , ( )3 3, 1P y

( )4 4, 0P , y su valor es 4z = .

Nota: Si hubiéramos usado el método analítico obtendríamos que el máximo se alcanza en el punto:

3 3 8 75: ,5 4 20 17 17

x yP P

x y− + = ⇒ + =

Cuyas coordenadas no son enteras y, por tanto, no puede ser la solución del problema de programación entera.

Por ello, al resolver un problema de programación entera usando el método analítico, si el vértice donde se alcanza el máximo o mínimo no tuviera coordenadas enteras, debemos recurrir al método gráfico.

55. Dado el siguiente problema de programación lineal.

Máx = +2z x yλ

Sujeto a: − ≥ −

+ ≤ ≤ ≤ ≥

2 3 95 2 250 5 0

x yx y

x y

Halla los valores de λ para los cuales la solución óptima del problema se encuentra en el vértice B(3, 5).

Los vértices de la región factible son:

O(0, 0) A(0, 3) B(3, 5) C(5, 0)

El valor de la función objetivo en ellos es:

0Oz = 3Az = λ 6 5Bz = + λ 10Cz =

Para que el máximo se alcance en B debe ser:

66 5 0 5 46 5 3 3

56 5 10 45

λ ≥ −+ λ ≥ + λ ≥ λ ⇒ λ ≥ − ⇒ λ ≥

+ λ ≥ λ ≥


56. Dado el siguiente problema de programación lineal.

Mín = +3z x yλ

Sujeto a:

+ ≥ + ≥ + ≥ ≥ ≥

2 64

2 50 0

x yx yx yx y

Halla los valores de λ para los cuales la solución óptima del problema se encuentra en el vértice C(3, 1). ¿Cuánto vale z en este caso? Los vértices de la región factible son:

A(0, 6) B(2, 2) C(3, 1) D(5, 0)

El valor de la función objetivo en ellos es:

6Az = λ 6 2Bz = + λ 9Cz = + λ 15Dz =

Para que el mínimo se alcance en C debe ser:

99 659 6 2 3 63

9 15 6

+ λ ≤ λ λ ≥ + λ ≤ + λ ⇒ ⇒ ≤ λ ≤ λ ≥ + λ ≤ λ ≤

CUESTIONES 57. Se considera un problema de programación lineal con dos variables. Indica si las siguientes afirmaciones

son verdaderas o falsas:

a) Si el punto (a, b) es una solución óptima del problema, entonces obligatoriamente es un vértice de la región factible.

b) Si el punto (a, b) es la única solución óptima del problema, entonces (a, b) obligatoriamente pertenece a la región factible.

c) Si el punto (a, b) es la única solución óptima del problema, entonces es obligatoriamente un vértice de la región factible.

d) Si (a, b) no pertenece a la región factible, entonces no puede ser solución del problema. a) Falsa. Una solución puede ser óptima y no ser vértice, ya que puede ser una de las infinitas soluciones de un

problema de programación lineal.

b) Verdadera. Si el punto (a, b) es la única solución óptima del problema, entonces (a, b) obligatoriamente pertenece a la región factible, de hecho, cualquier solución óptima (sea única o no) debe pertenecer a la región factible.

c) Verdadera. Si el punto (a, b) es la única solución óptima del problema, entonces es obligatoriamente un vértice de la región factible.

d) Verdadera, cualquier posible solución del problema debe pertenecer a la región factible.

58. Escribe un problema de programación lineal con una región factible que sea no vacía y que esté determinada por restricciones de desigualdad no estrictas, y que no tenga solución ni para el mínimo ni para el máximo. ¿Podría ser acotada esta región factible? Nos sirve de ejemplo el problema del ejercicio 46.

Cualquier región que nos sirva de ejemplo debe ser no acotada.


59. La recta + =2 5x y k se desplaza de forma paralela desde el origen de coordenadas hacia la parte positiva del eje OY. Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

a) El valor de k es menor cuanto mayor es la distancia que separa a la recta del origen de coordenadas.

b) El valor de k es mayor cuanto mayor es la distancia que separa a la recta del origen de coordenadas.

c) El valor de k permanece constante. La única respuesta correcta es la b. El valor de k es mayor cuanto mayor es la distancia que separa a la recta del origen de coordenadas, ya que al ser los coeficientes de x y de y positivos, el valor de k es mayor cuanto más se aleje la recta del origen de coordenadas en el sentido positivo del eje Y.

PROBLEMAS 60. En una granja hay un total de 9000 conejos. La dieta mensual mínima que debe consumir cada conejo es

de 48 unidades de hidratos de carbono y 60 unidades de proteínas. En el mercado hay dos tipos de productos, A y B, que aportan estas necesidades de consumo. Cada envase A contiene 2 unidades de hidratos de carbono y 4 unidades de proteínas y cada envase de B contiene 3 unidades de hidratos de carbono y 3 unidades de proteínas. Sabiendo que cada envase de A cuesta 0,24 € y que cada envase de B cuesta 0,20 €, determina, justificando la respuesta:

a) El número de envases de cada tipo que deben adquirir los responsables de la granja con objeto de que el coste sea mínimo y se cubran las necesidades de consumo mensuales de todos los conejos.

b) El valor de dicho coste mensual. a) Las variables de decisión son:

x envases tipo A (para un conejo) y envases tipo B (para un conejo)

Queremos hallar el mínimo coste 0,24 0,2z x y= + sujeto a:

2 3 484 3 60

0, 0

x yx y

x y

+ ≥ + ≥ ≥ ≥

Representamos la región factible y, al ser no acotada, la recta 0,24 0,2 0x y+ = .

Como la función objetivo tiene coeficientes de la x, y de la y, positivos, el mínimo se localizará en el último punto de la región factible que toque la recta 0,24 0,2 0x y+ = al desplazarse de forma paralela en el sentido negativo del eje Y.


( )2 3 48: 6, 12

4 3 60x y

B Bx y+ = ⇒ + =

Es decir, para obtener el coste mínimo hay que adquirir 6x = envases A e 12y = envases B para cada conejo. Por tanto, para los 9000 conejos hay que adquirir 54 000 envases A y 108 000 envases B.

Nota: Observando la representación gráfica podrían surgir dudas sobre si el mínimo se alcanza en el vértice B o en el vértice C, en este caso podemos calcular dichos vértices y evaluar la función objetivo en ellos para determinar en cual se alcanza verdaderamente el mínimo.

b) El coste mensual es 3,84Bz = € por conejo, es decir, el coste mensual total es 34 560 €.


61. En un hospital se irradia con dos bombas de cobalto, C1 y C2. Cada dosis de radiación con C1 aporta 0,3 kilorads al centro del tumor, 0,25 kilorads a otras regiones del tumor, 0,15 kilorads a regiones críticas colindantes y 0,2 kilorads a zonas de anatomía sana colindante. Cada dosis de radiación con C2 aporta a esas mismas zonas 0,2, 0,25, 0,05 y 0,25 kilorads respectivamente. Para tratar un tumor en el mediastino el equipo médico considera necesario aportar al menos 6 kilorads al centro del tumor y se debe aportar exactamente 6 kilorads a otras regiones del tumor. Sin embargo el aporte de más de 2,4 kilorads a las regiones críticas colindantes sería fatal. ¿Con cuántas dosis de cada fuente deberá realizarse el tratamiento para minimizar el aporte de kilorads a la anatomía sana? Las variables de decisión son:

x dosis con la bomba C1 y dosis con la bomba C1

Queremos hallar el mínimo de 0,2 0,25z x y= + sujeto a:

0,3 0,2 6 dosis mínima al centro del tumor0,25 0,25 6 dosis exacta en otras regiones del tumor0,15 0,05 2,4 dosis máxima en regiones críticas colindantes

0, 0 condici

x yx yx y

x y

+ ≥+ =+ ≤

≥ ≥ ones de no negatividad

De la segunda restricción obtenemos 0,26 0,25 6 24x y y x+ = ⇒ = − , con lo que podemos simplificar el problema buscando el mínimo de ( )0,2 0,25 24 6 0,05z x x x= + − = − sujeto a:

( )( )

0,3 0,2 24 6 120,15 0,05 24 2,4 12 12

0 240 24

x x xx x x x

xx

+ − ≥ ≥ + − ≤ ⇒ ≤ ⇒ = ≤ ≤≤ ≤

Por tanto, el mínimo de radiación a la anatomía sana se producirá al realizar el tratamiento con 12 dosis de cada fuente.

62. Un astillero recibe un encargo para reparar barcos de la flota de un armador, compuesta por pesqueros de 500 toneladas y yates de 100 toneladas. Cada pesquero se tarda en reparar 100 horas, y cada yate, 50 horas. El astillero dispone de 1600 horas para hacer las reparaciones. Por política de empresa, el astillero no acepta encargos de más de 12 pesqueros ni más de 16 yates. Las reparaciones se pagan a 100 euros la tonelada, independientemente del tipo de barco. ¿Cuántos barcos de cada clase debe reparar el astillero para maximizar el ingreso con este encargo? ¿Cuál es dicho ingreso máximo? Las variables de decisión son:

x pesqueros y yates

Queremos hallar el máximo ingreso 50000 10000z x y= + sujeto a:

100 50 1600 2 320 12 0 120 y 16 0 y 16

x y x yx x+ ≤ + ≤

≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤


( )0, 0O ( )0, 16A ( )8, 16B ( )12, 8C ( )12, 0D


0Oz = 160000Az = 560000Bz = 680000Cz = 600000Dz =

Por tanto, el máximo ingreso se localiza en el vértice C y su valor es 680000Cz = , es decir, hay que reparar 12x = pesqueros e 8y = yates, obteniéndose unos ingresos de 680 000 €.


63. Un agricultor tiene 40 ha de terreno en las que puede plantar cebada o maíz (o no plantar nada). Cada ha de cebada necesitará 5 hm3 de agua mientras que cada Ha de maíz necesitará 10 hm3 de agua. El agricultor podrá disponer de 225 hm3 de agua. El beneficio que obtendrá por cada ha de cebada es de 100 € mientras que por cada ha de maíz obtendrá un beneficio de 160 €; además, las ha en las que no plante nada las arrendará y obtendrá un beneficio de 50 € por ha. La normativa no le permite plantar más ha de maíz que de cebada ¿Cuántas ha de cebada y cuántas de maíz tiene que plantar para maximizar su beneficio? ¿Cuál será el beneficio? Las variables de decisión son:

x hectáreas de cebada y hectáreas de maíz 40 x y− − hectáreas sin plantar

Queremos hallar el máximo beneficio 100 160 50(40 ) 50 110 2000z x y x y x y= + + − − = + + sujeto a:

40 405 10 225 2 45

0, 0 0, 0

x y x yx y x y

y x y xx y x y

+ ≤ + ≤ + ≤ + ≤ ⇒ ≤ ≤ ≥ ≥ ≥ ≥


( )0, 0O ( )15, 15A ( )35, 5B ( )40, 0C


0Oz = 4400Az = 4300Bz = 4000Cz =

Por tanto, el máximo beneficio se localiza en el vértice A y su valor es 4400Az = , es decir, hay que plantar 15x = hectáreas de cebada, 15y = hectáreas de maíz y dejar sin plantar 10 hectáreas, obteniéndose unos beneficios de 4400 €.

64. En un almacén de productos perecederos disponen de 70 cajas de naranjas, 120 cajas de peras y 110 cajas de manzanas que quiere vender antes de que no sean aptos para el consumo. Para vender las existencias, se hacen dos tipos de lotes: el lote A contiene una caja de naranjas, dos cajas de peras y una caja de manzanas y se venderá a 6 euros y cada lote B contiene una caja de naranjas, una de peras y dos de manzanas y se venderá a 7 euros. Calcula cuántos lotes se deberán hacer de cada tipo para que los ingresos por las ventas sean máximos. Las variables de decisión son:

x nº de lotes A y nº de lotes B


702 120

2 1100, 0

x yx y

x yx y

+ ≤ + ≤ + ≤ ≥ ≥


( )0, 0O ( )0, 55A ( )30, 40B ( )50, 20C ( )60, 0D


0Oz = 385Az = 460Bz = 440Cz = 360Dz =

Por tanto, el máximo se localiza en el vértice B y su valor es 460Bz = , es decir, hay que hacer 30x = lotes A e 40y = lotes B, obteniéndose unos ingresos de 460 €.


65. *Una refinería produce gasolina sin plomo y gasoil en las siguientes condiciones: no puede producir más de una tonelada ni menos de 100 kg de cada producto. Los precios de venta son de 0,8 unidades monetarias para cada kg de gasolina y 0,85 para cada kg de gasoil. Se produce como máximo un total de 1700 kg entre los dos productos. ¿Cuál es la producción que maximiza los ingresos? Las variables de decisión son:

x gasolina sin plomo y gasoil

Queremos hallar el máximo de = +0,8 0,85z x y sujeto a:

+ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

1700100 1000100 1000

x yxy


( )100, 100A ( )100, 1000B ( )700, 1000C

( )1000, 700D ( )1000, 100E


= 165Az = 930Bz = 1410Cz = 1395Dz = 885Ez

Por tanto, el máximo se localiza en el vértice C y su valor es = 1410Cz , es decir, hay que producir = 700x kg de gasolina sin plomo e = 1000y kg de gasoil, obteniéndose unos ingresos de 1410 unidades monetarias.

66. Un mayorista vende productos congelados que presenta en envases de dos tamaños, pequeños y grandes. La capacidad de sus congeladores no le permite almacenar más de 1000 envases en total. En función de la demanda sabe que debe mantener un stock mínimo de 100 envases pequeños y 200 envases grandes. La demanda de envases grandes es igual o superior a la de envases pequeños. El coste por almacenaje es de 10 céntimos de euro por cada envase pequeño y de 20 céntimos de euro por cada envase grande. ¿Qué número de envases de cada tipo proporciona el mínimo coste de almacenaje? Las variables de decisión son:

x envases pequeños y envases grandes

Queremos hallar el mínimo de = +10 20z x y sujeto a:

+ ≤ ≥ ≥ ≥

1000100200

x yxyy x


( )100, 200A ( )100, 900B ( )500, 500C ( )200, 200D


= 5000Az = 19000Bz = 15000Cz = 6000Dz

Por tanto, el mínimo se localiza en el vértice A y su valor es = 5000Az , es decir, hay que almacenar = 100x envases pequeños e = 200y envases grandes, con un coste de 5000 cts = 50 €.


67. Los empleados de un banco deben rellenar cada tarde el cajero automático de una sucursal con billetes de 20 y 50 €. Por motivos de seguridad, la máquina nunca debe contener más de 20 000 €. Por otro lado, dado que los clientes prefieren los billetes de 20 €, deben introducir al menos el doble de billetes de 20 que de 50 €. Si quieren que el cajero tenga el menor número posible de billetes, ¿cuántos debe haber de cada tipo? Las variables de decisión son:

x billetes de 20 € y billetes de 50 €

Queremos hallar el mínimo de = +z x y sujeto a:

20 50 20000 2 5 20002 20, 0 0, 0

x y x yx y x yx y x y

+ ≤ + ≤ ≥ ⇒ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥


( )0, 0O + = ⇒ =

2 5 2000 4000 2000: ,2 9 9

x yA A

x y ( )1000, 0B


= 0Oz =2000

3Az = 1000Bz

Por tanto, el mínimo se localiza en el vértice O y su valor es = 0Oz , es decir, el mínimo de billetes se obtiene, obviamente, al no introducir ninguno en el cajero. Obsérvese que esta solución verifica todas y cada una de las condiciones.

68. En un taller de artesanía se fabrican jarrones de adorno de dos tipos A y B. Cada jarrón de tipo A precisa 30 minutos de modelado, 40 minutos de pintura y se vende a 40 €. Cada jarrón de tipo B precisa 40 minutos de modelado, 30 minutos de pintura y se vende a 35 €. Para fabricar estos jarrones se cuenta con dos empleados que hacen el modelado y que trabajan 5 horas por día, con dos empleados que hacen la pintura y que trabajan 5,5 horas por día. Halla el número óptimo de jarrones que se pueden fabricar al día para que los ingresos sean máximos. Las variables de decisión son:

x jarrones tipo A y jarrones tipo B

Queremos hallar el máximo de = +40 35z x y sujeto a:

30 40 600 3 4 6040 30 660 4 3 66

0, 0 0, 0

x y x yx y x y

x y x y

+ ≤ + ≤ + ≤ ⇒ + ≤ ≥ ≥ ≥ ≥


( )0, 0O ( )0, 15A ( )12, 6B

33 , 02

C


= 0Oz = 525Az = 690Bz = 660Cz

Por tanto, el máximo se localiza en el vértice B y su valor es = 690Bz , es decir, hay que fabricar diariamente = 12x jarrones de tipo A e = 6y jarrones de tipo B, obteniéndose unos ingresos de 690 €.


69. Un heladero artesano elabora dos tipos de helados A y B. Los helados tipo A llevan 1 gramo de nata y los helados tipo B llevan 2 gramos de chocolate. Se dispone de 200 gramos de nata, 400 gramos de chocolate y le da tiempo a elaborar como máximo 350 helados diariamente. Por cada helado tipo A obtiene un beneficio de 1,5 € y por cada helado tipo B el beneficio es de 1€. Determina las unidades de cada tipo de helado que debe elaborar diariamente para que su beneficio sea máximo y calcula dicho beneficio. Las variables de decisión son:

x helados tipo A y helados tipo B

Queremos hallar el máximo de = +1,5z x y sujeto a:

≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ + ≤ + ≤

0 200 0 2000 2 400 0 200

350 350

x xy y

x y x y


( )0, 0O ( )0, 200A ( )150, 200B ( )200, 150C ( )200, 0D


= 0Oz = 200Az = 425Bz = 450Cz = 300Dz

Por tanto, el máximo se localiza en el vértice C y su valor es = 450Cz , es decir, hay que elaborar diariamente 200x = helados de tipo A e 150y = helados de tipo B, obteniéndose unos beneficios de 450 €.

70. Un distribuidor de aceite acude a una almazara para comprar dos tipos de aceite, A y B. La cantidad máxima que puede comprar es de 12 000 litros en total. El aceite de tipo A cuesta 3 €/L y el de tipo B cuesta 2 €/L. Necesita adquirir al menos 2000 litros de cada tipo de aceite. Por otra parte, el coste total por compra de aceite no debe ser superior a 30 000 €. El beneficio que se conseguirá con la venta del aceite será de un 25 % sobre el precio que ha pagado por el aceite de tipo A y de un 30 % sobre el precio que ha pagado por el aceite de tipo B. ¿Cuántos litros de cada tipo de aceite se deberán adquirir para maximizar el beneficio? Obtén el valor del beneficio máximo. Las variables de decisión son:

x litros de aceite A y litros de aceite B

Queremos hallar el máximo de = ⋅ + ⋅ = +0,25 3 0,3 2 0,75 0,6z x y x y sujeto a:

+ ≤ ≥ ≥ + ≤

1200020002000

3 2 30000

x yxyx y


( )2000, 2000A ( )2000, 10000B ( )6000, 6000C

26000 , 20003

D


2700Az = 7500Bz = 8100Cz = 7700Dz =

Por tanto, el máximo se localiza en el vértice C y su valor es 8100Cz = , es decir, hay que adquirir 6000 litros de cada tipo de aceite, obteniéndose unos beneficios de 8100 €.


71. Cierto taller se dedica a la revisión de dos marcas A y B de automóviles. Debe revisar tanto el sistema eléctrico como el funcionamiento del motor. Cada automóvil de tipo A precisa 30 minutos para la revisión eléctrica y otros 30 minutos para la revisión del motor. Cada automóvil de tipo B precisa 30 minutos para la revisión eléctrica y 60 minutos para la revisión del motor.

Las disponibilidades de los operarios hacen que se cuente con un máximo de 25 horas de trabajo semanales para la revisión eléctrica y de 35 horas de trabajo semanales para la revisión del motor.

La revisión de un automóvil de tipo A proporciona unos beneficios de 35 €, y la de uno de tipo B, 50 €.

a) ¿Cuántos automóviles de cada tipo se deben admitir a la semana de forma que se maximicen los beneficios?

b) Para esta solución óptima, ¿qué beneficios máximos se obtendrán?

c) ¿Con esta producción puede prescindirse de alguna de las horas disponibles? a) Las variables de decisión son:

x automóviles de tipo A y automóviles de tipo B


30 30 1500 5030 60 2100 2 70

0, 0 0, 0

x y x yx y x y

x y x y

+ ≤ + ≤ + ≤ ⇒ + ≤ ≥ ≥ ≥ ≥


( )0, 0O ( )0, 35A ( )30, 20B ( )50, 0C


0 0z = 1750Az = 2050Bz = 1750Cz =

Por tanto, el máximo se localiza en el vértice B, es decir, semanalmente hay que admitir 30x = coches tipo A e 20y = coches tipo B.

b) Los beneficios obtenidos son 2050Bz = €.

c) No se puede prescindir de ninguna de las horas disponibles, ya que en el vértice B son necesarias todas las horas disponibles, tanto para revisar el sistema eléctrico como el funcionamiento del motor.

72. En cierta quesería producen dos tipos de queso: mezcla y tradicional. Para producir un queso de mezcla son necesarios 25 cL de leche de vaca y otros 25 cL de leche de cabra; para producir uno tradicional, solo hacen falta 50 cL de leche de vaca. La quesería dispone de 3600 cL de leche de vaca y 500 cL de leche de cabra al día. Por otra parte, puesto que los quesos tradicionales gustan más, cada día produce al menos tantos quesos de tipo tradicional como de mezcla.

a) ¿Cuántas unidades de cada tipo podrá producir en un día cualquiera? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones.

b) Si la quesería vende todo lo que produce y obtiene un beneficio de 3 € por cada queso de tipo mezcla y 4 € por cada queso de tipo tradicional. ¿Cuántas unidades de cada tipo debe producir diariamente para maximizar beneficios? ¿Qué beneficio obtiene en ese caso?

a) Las variables de decisión son:

x quesos mezcla y quesos tradicionales

Las restricciones del problema son:

25 50 3600 2 14425 500 20

0, 0 0, 0

x y x yx x

y x y xx y x y

+ ≤ + ≤ ≤ ≤ ⇒ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥

Cuyo conjunto de soluciones (región factible) representamos.


b) Queremos hallar el máximo de 3 4z x y= + sujeto a las restricciones anteriores.

Calculamos los vértices de la región factible anterior:

( )0, 0O ( )2 144: 0, 72

0x y

A Ax+ = ⇒ =

( )2 144: 20, 62

20x y

B Bx+ = ⇒ =

( )20: 20, 20

xC C

y x= ⇒ =


0 0z = 288Az = 308Bz = 140Cz =

Por tanto, el máximo se localiza en el vértice B y su valor es 308Bz = , es decir, diariamente hay que producir 20x = quesos mezcla e 62y = quesos tradicionales, obteniéndose unos beneficios de 308 €.

73. En un edificio público se quieren colocar, al menos, 20 máquinas expendedoras entre las de bebidas calientes y las de bebidas frías. Hay disponibles 12 máquinas de bebidas calientes y 40 de bebidas frías. Se pretende que el número de expendedoras de bebidas calientes no sea superior a una tercera parte del de bebidas frías y que, por lo menos, una quinta parte del total de máquinas que se coloquen sean de bebidas calientes. Cumpliendo las condiciones anteriores, ¿qué combinación de máquinas de cada tipo hace que la diferencia del número de máquinas de bebidas frías menos el de bebidas calientes colocadas sea mayor? Las variables de decisión son:

x máquinas de bebidas calientes y máquinas de bebidas frías

Queremos hallar el máximo de z y x= − sujeto a:

20200 12

0 120 400 403 034 0

5

x yx yx

xyyyx x y

x yx yx

+ ≥ + ≥≤ ≤ ≤ ≤≤ ≤ ⇒ ≤ ≤

≤ − ≤ − ≥+ ≥


( )20: 4, 16

4 0x y

A Ax y+ = ⇒ − =

( )40: 10, 40

4 0y

B Bx y= ⇒ − =

( )12: 12, 40

40x

C Cy= ⇒ =

( )12: 12, 36

3 0x

D Dx y= ⇒ − =

( )20: 5, 15

3 0x y

E Ex y+ = ⇒ − =


12Az = 30Bz = 28Cz = 24Dz = 10Ez =

Por tanto, el máximo se localiza en el vértice B y su valor es 30Bz = , es decir, el máximo de diferencia entre las bebidas de uno y otro tipo (30) se alcanza al colocar 10 máquinas de bebidas calientes y 40 de bebidas frías.


74. Las fábricas de automóviles de Fráncfort y de Milán proveen de un cierto modelo a las ciudades de París, Viena y Praga.

Las producciones de las fábricas son:

Las demandas de las ciudades son:

Los costes de transporte, en unidades monetarias, de cada automóvil desde un punto de origen a uno de destino son:

Halla cuántos automóviles deben llevarse desde cada fábrica a cada ciudad para que el coste total de los gastos de transporte sea mínimo y calcula dicho coste mínimo. La siguiente tabla de variables indica el número de automóviles que se trasporta de un lugar a otro.


( ) ( ) ( ) ( )5 10 15 150 20 125 15 100 20 125 3750 10z x y x y x y x y x= + + − − + − + − + + − = −


Min 3750 10z x= − sujeto a 0 1250 100125 150

xy

x y

≤ ≤ ≤ ≤ ≤ + ≤


( )25, 100A ( )50, 100B ( )125, 25C ( )125, 0D


3500Az = 3250Bz = 2500Cz = 2500Dz =

Por tanto, el mínimo se alcanza en cualquier punto del segmento de extremos C y D (de hecho, solo en los puntos de coordenadas enteras), es decir, 125x = pero y puede variar entre 0 y 25. En todas estas las soluciones el coste será de 2500 unidades monetarias.

Las soluciones se muestran en la siguiente tabla, donde 0 25y≤ ≤ , y ∈ .

Por tanto los únicos envíos fijos son a París, 125 automóviles desde Fráncfort y ninguno desde Milán.

Dos posibles transportes con coste mínimo son los siguientes:

París Viena Praga París Viena Praga Fráncfort 125 0 25 Fráncfort 125 25 0

Milán 0 100 0 Milán 0 75 25

París Viena Praga Fráncfort 125 y 25–y

Milán 0 100–y y

París Viena Praga Total Fráncfort x y 150–x–y 150

Milán 125–x 100–y x+y–125 100 Total 125 100 25 250

París Viena Praga Fráncfort 5 10 15

Milán 20 15 20

París Viena Praga 125 100 25

Fráncfort Milán 150 100


75. El dueño de una tienda de golosinas dispone de 10 paquetes de pipas, 30 chicles y 18 bombones. Decide que para venderlas mejor va a confeccionar dos tipos de paquetes. El tipo A estará formado por un paquete de pipas, dos chicles y dos bombones y se venderá a 1,50 €. El tipo B estará formado por un paquete de pipas, cuatro chicles y un bombón y se venderá a 2 €. ¿Cuántos paquetes de cada tipo conviene preparar para conseguir los ingresos máximos? Determina los ingresos. Las variables de decisión son:

x paquetes A y paquetes B

Queremos hallar el máximo de 1,5 2z x y= + sujeto a:

10 102 4 30 2 152 18 2 18

0, 0 0, 0


x y x y

+ ≤ + ≤ + ≤ + ≤ ⇒ + ≤ + ≤ ≥ ≥ ≥ ≥


( )0, 0O 150,2

A

( )5, 5B ( )8, 2C ( )9, 0D


0Oz = 15Az = 17,5Bz = 16Cz = 13,5Dz =

Por tanto, el máximo se localiza en el vértice B y su valor es 17,5Bz = , es decir, hay que preparar 5 paquetes de cada tipo, obteniéndose un ingreso de 17,5 €.

76. Una ONG va a realizar un envío compuesto de lotes de alimentos y de medicamentos. Como mínimo se han de mandar 4 lotes de medicamentos, pero por problemas de capacidad no pueden mandarse más de 8 lotes de estos medicamentos. Para realizar el transporte se emplean 4 contenedores para cada lote de alimentos y 2 para cada lote de medicamentos. El servicio de transporte exige que al menos se envíe un total de 24 contenedores, pero que no superen los 32.

a) ¿Qué combinaciones de lotes de cada tipo pueden enviarse? Plantea el problema y representa gráficamente las soluciones. ¿Pueden enviarse 4 lotes de alimentos y 5 de medicamentos?

b) Si la ONG quiere maximizar el número total de lotes enviados, ¿qué combinación debe elegir? a) Las variables de decisión son:

x lotes de medicamentos y lotes de alimentos


4 8 4 824 2 4 32 12 2 16

0 0

x xx y x y

y y

≤ ≤ ≤ ≤ ≤ + ≤ ⇒ ≤ + ≤ ≥ ≥


Observemos que el punto P(5, 4) pertenece a la región factible, ya que verifica todas las restricciones, por tanto, es posible enviar 4 lotes de alimentos y 5 de medicamentos.

b) Queremos hallar el máximo de z x y= + sujeto a las restricciones anteriores.

Calculamos los vértices de la región factible:

( )4, 4A ( )4, 6B ( )8, 4C ( )8, 2D


8Az = 10Bz = 12Cz = = 10Dz

Por tanto, el máximo se localiza en el vértice C y su valor es 12Cz = , es decir, hay que enviar 8x = lotes de medicamentos e 4y = lotes de alimentos.


77. Un profesor proporciona a sus alumnos un listado con 20 problemas del tema 1 y 20 del tema 2. Cada problema del tema 1 vale 5 puntos y cada problema del tema 2 vale 8 puntos. Los alumnos pueden hacer problemas de los dos temas, pero con las siguientes condiciones.

1. El número de problemas realizados del tema 1 no puede ser mayor que el número de problemas del tema 2 más 2, ni ser menor que el número de problemas del tema 2 menos 8.

2. La suma de 4 veces el número de problemas realizados del tema 1 con el número de problemas realizados del tema 2 no puede ser mayor que 38.

Halla cuantos problemas del tema 1 y del tema 2 hay que hacer para obtener la máxima puntuación. Las variables de decisión son:

x ejercicios tema 1 y ejercicios tema 2


8 24 380 200 20

y x yx y

xy

− ≤ ≤ + + ≤ ≤ ≤ ≤ ≤


( )0, 0O ( )0, 8A ( )6, 14B ( )8, 6C ( )2, 0D


0Oz = 64Az = 142Bz = 88Cz = 10Dz =

Por tanto, el máximo se localiza en el vértice B y su valor es 142Bz = , es decir, hay que hacer 6x = problemas del tema 1 e 14y = problemas del tema 2, obteniéndose 142 puntos.

78. En cierta zona de una comunidad autónoma hay tres fábricas de televisores, O1, O2 y O3, que proveen de aparatos a dos ciudades, D1 y D2.

Las producciones de las fábricas son:

Las demandas de las ciudades son:

Los costes de transporte, en euros, de cada unidad desde un punto de origen a uno de destino son:

Halla cuántos televisores deben llevarse desde cada fábrica a cada ciudad para que el coste total de los gastos de transporte sea mínimo. Calcula dicho coste mínimo.

D1 D2

O1 10 8 O2 6 5 O3 4 5

D1 D2

175 300

O1 O2 O3

100 150 225


La siguiente tabla de variables indica el número de televisores que se trasporta de un lugar a otro.


( ) ( ) ( ) ( )10 6 4 175 8 100 5 150 5 50 3 2 2500z x y x y x y x y x y= + + − − + − + − + + + = + +


Min 3 2 2500z x y= + + sujeto a 0 1000 150

50 175

xy

x y

≤ ≤ ≤ ≤− ≤ + ≤


( )0, 0O ( )0, 150A ( )25, 150B ( )100, 75C ( )100, 0D


2500Oz = 2800Az = 2875Bz = 2950Cz = 2800Dz =

Por tanto, el mínimo se alcanza en el vértice O y vale 2500Oz = , es decir, el coste mínimo es 2500 € trasportando los televisores como se muestra en la siguiente tabla.

79. Un estudiante reparte propaganda publicitaria para conseguir ingresos. Le pagan 8 céntimos de euro por cada impreso colocado en el parabrisas de un coche, y 12 céntimos., por cada uno depositado en un buzón. Ha calculado que cada día puede repartir como máximo 150 impresos y la empresa le exige diariamente que la diferencia entre los colocados en coche y el doble de los colocados en buzones no sea inferior a 30 unidades. Además, tiene que introducir en buzones al menos 15 impresos diariamente.

a) ¿Cuántos impresos debe colocar en coches y buzones para maximizar sus ingresos diarios?

b) ¿Cuál es ese ingreso máximo? a) Las variables de decisión son:

x impresos colocados en parabrisas y impresos introducidos en buzones

Queremos hallar el máximo de 0,08 0,12z x y= + sujeto a:

1502 30015

x yx yxy

+ ≤ − ≥ ≥ ≥


( )2 30: 60, 15

15x y

A Ay− = ⇒ =

( )150: 110, 40

2 30x y

B Bx y+ = ⇒ − =

( )150: 135, 15

15x y

C Cy+ = ⇒ =


6,60Az = 13,6Bz = 12,6Cz =

Por tanto, el máximo se localiza en el vértice B y su valor es 13,6Bz = , es decir, el estudiante debe colocar cada día 110x = impresos en parabrisas e 40y = impresos en buzones.

b) El ingreso que obtiene el estudiante es de 13,6 €.

O1 O2 O3 D1 0 0 175 D2 100 150 50

O1 O2 O3 Total D1 x y 175–x–y 175 D2 100–x 150–y x+y+50 300

Total 100 150 225 475


80. Un ayuntamiento desea ajardinar dos tipos de parcelas, tipo A y tipo B, y dispone de 6000 € para ello. El coste de la parcela A es de 100 € y el de la B de 150 €. Se considera conveniente ajardinar al menos tantas parcelas de tipo B como las del tipo A y, en todo caso, no ajardinar más de 30 parcelas de tipo B.

a) ¿Cuántas parcelas de cada tipo tendrá que ajardinar para maximizar el número total de parcelas ajardinadas?

b) ¿Agotará el presupuesto disponible?


x parcelas ajardinadas de tipo A y parcelas ajardinadas de tipo B

Queremos hallar el máximo de = +z x y sujeto a:

+ ≤ + ≤ ≥ ≥ ⇒ ≤ ≤ ≥ ≥ ≥ ≥

100 150 6000 2 3 120

30 300, 0 0, 0

x y x yy x y xy yx y x y


( )0, 0O ( )0, 30A ( )15, 30B ( )24, 24C


= 0Oz 30Az = 45Bz = 48Cz =

Por tanto, el máximo se localiza en el vértice C y su valor es 48Cz = , es decir, hay que ajardinar 24 parcelas de cada tipo.

b) El coste de ajardinar 24 parcelas de cada tipo es 100 24 150 24 6000⋅ + ⋅ = €, por lo que se agota el presupuesto disponible.

81. Una persona preocupada por su salud desea consumir al día un mínimo de 18 unidades de vitamina A, 16 unidades de vitamina C y 12 unidades de vitamina D. Una unidad del producto 1 cuesta 5 € y proporciona 9 unidades de vitamina A, 4 unidades de vitamina C y 2 unidades de vitamina D. Una unidad del producto 2 cuesta 4 € y proporciona 3 unidades de vitamina A, 4 unidades de vitamina C y 6 unidades de vitamina D. ¿Cuál es la combinación más económica de los productos 1 y 2 que garantiza las necesidades diarias?

a) Plantea el problema.

b) Resuélvelo gráficamente.

c) Analiza gráficamente qué ocurriría si cada unidad del producto 1 costara 4 €. a) Las variables de decisión son:

x unidades de producto 1 y unidades de producto 2


9 3 18 3 64 4 16 42 6 12 3 6

0, 0 0, 0


x y x y

+ ≥ + ≥ + ≥ + ≥ ⇒ + ≥ + ≥ ≥ ≥ ≥ ≥

b) Representamos la región factible y la recta 5 4 0x y+ = .

Como la función objetivo tiene coeficientes de la x y de la y positivos, el mínimo se localizará en el último punto de la región factible que toque la recta 5 4 0x y+ = al desplazarse de forma paralela en el sentido negativo del eje Y.

Por tanto, el mínimo se localiza en el vértice ( )1, 3C y vale 17Cz = , es decir, la persona debe comprar 1x = unidad de producto 1 e 3y = unidades de producto 2, con un coste de 17Cz = €.

Nota: Observando la representación gráfica podrían surgir dudas sobre si el mínimo se alcanza en el vértice B o en el vértice C, en este caso podemos calcular dichos vértices y evaluar la función objetivo en ellos para determinar en cual se alcanza verdaderamente el mínimo.


c) En este caso el problema será:

Min 4 4z x y= + sujeto a:

3 64

3 60, 0

x yx yx yx y

+ ≥ + ≥ + ≥ ≥ ≥

Tenemos que representar la región factible junto con la recta 4 4 0x y+ = y trasladarla de forma paralela en sentido negativo del eje Y para localizar el último punto de la región que se toca.

Por tanto, el mínimo se localiza ahora en cualquier punto (de coordinas enteras) del segmento de extremos ( )1, 3C y ( )3, 1B , es decir, la persona puede comprar 1x = unidad de producto 1 e 3y = unidades de

producto 2, 2x = unidad de producto 1 e 2y = unidades de producto 2 o 3x = unidad de producto 1 e 1y = unidades de producto 2. En los tres casos el coste es de 16 €.

82. En una bodega se producen vinos de crianza y de reserva. Por problemas de diseño, la producción de ambos tipos de vino no debe superar los 60 millones de litros y la producción de vinos de crianza debe ser al menos 10 millones de litros. Además, la producción de vino de reserva no debe superar el doble de la de vino de crianza ni ser inferior a su mitad.

a) Determina mediante inecuaciones las restricciones del problema y representa gráficamente el recinto definido.

b) Si la bodega vende el litro de vino de crianza a 4 € y el de reserva a 9 €, ¿cuál es el diseño de producción que maximiza los ingresos? ¿Cuál es el beneficio máximo?


x millones de litros de vino crianza

y millones de litros de vino reserva


6010

22

0, 0

x yxx y x

x y

+ ≤ ≥

≤ ≤

≥ ≥


b) Queremos hallar el máximo de 4 9z x y= + sujeto a las restricciones anteriores.

Calculamos los vértices de la región factible:

( )10, 5A ( )10, 20B ( )20, 40C ( )40, 20D


85Az = 220Bz = 440Cz = 340Dz =

Por tanto, el máximo se localiza en el vértice C y su valor es 440Cz = , es decir, hay que producir 20x = millones de litros de crianza e 40y = millones de litros de reserva, obteniéndose unos beneficios de 440 millones de euros.


AUTOEVALUACIÓN

Comprueba qué has aprendido 1. Halla el conjunto de soluciones del siguiente sistema de inecuaciones lineales con una incógnita.

( ) ( ) ( )

7 12

2 3 7 1 1

xxx

x x x x

− ≥ −+

− + > − +

Inecuación −≥ −

+7 1

2xx

x:

( ) ( )2 1 57 7 4 51 1 0 0 02 2 2 2

x xx x x xx xx x x x

− +− − + −≥ − ⇒ + − ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒

+ + + +[ ) [ )5, 2 1,x ∈ − − ∪ + ∞

Inecuación ( ) ( ) ( )2 3 7 1 1x x x x− + > − + :

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )22 3 7 1 1 6 8 0 2 4 0 , 2 4,x x x x x x x x x− + > − + ⇒ − + > ⇒ − − > ⇒ ∈ −∞ ∪ + ∞

La solución es la intersección de las soluciones obtenidas:

[ ) [ ) ( )5, 2 1, 2 4,x ∈ − − ∪ ∪ +∞

2. Escribe un sistema de inecuaciones lineales que tenga como recinto solución la figura sombreada.

Los vértices de la región son A(1, 0), B(1, 3), C(5, 5) y D(9, 0). Considerando las rectas que los unen según muestra la figura y los correspondientes semiplanos obtenemos que la región viene definida por el sistema de inecuaciones:

5 4 452 5

01

x yx y

yx

+ ≤− + ≤ ≥ ≥

−∞ −5 −2 1 +∞

5x + − + + + 2x + − − + + 1x − − − − +

( ) ( )1 52

x xx

− ++

− + − +

−∞ 2 4 +∞

2x − − + + 4x − − − +

( ) ( )2 4x x− − + − +


3. Halla analíticamente el máximo y mínimo de = −15 10z x y sujeto a:

2 3 67 4 5

3 2 9

x yx y

x y

+ ≥ − + ≤− + ≤


( )3, 4A − ( )3, 0B − ( )1, 3C −


85Az = 45Bz = − 45Cz = −

Por tanto:

El máximo se localiza en el vértice A y su valor es 85Az = .

El mínimo se localiza en cualquier punto del segmento de extremos B y C y su valor es 45Bz = − .

4. Determina gráficamente el máximo y mínimo de = +12 6z x y en la región definida por:

4 7 28 4 0x y x y y+ ≥ − ≥ − ≥

Representamos la región factible junto con la recta 12 6 0x y+ = .

Como la función objetivo tiene coeficientes de la x y de la y positivos, el máximo se localizará en el último punto de la región factible que toque la recta 12 6 0x y+ = al desplazarse de forma paralela en el sentido positivo del eje Y, y el mínimo, en el último punto que toque al desplazarse en sentido negativo. Por tanto:


El mínimo se localiza en el vértice B(0, 4) y su valor es 24Bz = .

5. Un fabricante de perfume compra la misma materia prima a dos distribuidores, A y B. Los distribuidores A y B venden la materia a 20 y 30 € por kilogramo respectivamente. Cada distribuidor vende un mínimo de 2 kg y el distribuidor B un máximo de 7 kg. El fabricante debe comprar en total un mínimo de 6 kg y quiere comprar como máximo al distribuidor A el doble que al distribuidor B. ¿Qué cantidad de materia prima debe comprar a cada distribuidor para que el coste sea mínimo? Determina dicho coste mínimo. Las variables de decisión son:

x kg de materia prima comprados a A y kg de materia prima comprados a B


22 7

62

xy

x yx y

≥ ≤ ≤ + ≥ ≤


( )4, 2A ( )2, 4B ( )2, 7C ( )14, 7D


140Az = 160Bz = 250Cz = 490Dz =

Por tanto, el mínimo se localiza en el vértice A y su valor es 140Az = , es decir, hay que comprar 4x = kg al distribuidor A e 2y = kg al distribuidor B, con un coste de 140 €.


6. Una fábrica de tablones de madera tiene almacenados 200 kg de pasta de madera de baja calidad y 150 kg de pasta de madera de alta calidad. La fábrica elabora dos tipos de tablones: los tablones de tipo A precisan 2 kg de pasta de de baja calidad y 1 kg de pasta de alta calidad y los de tipo B precisan 2 kg de baja calidad y 3 kg de alta calidad. La fábrica obtiene unos beneficios de 5 euros por cada tablón de tipo A y de 6 euros por cada tablón de tipo B. ¿Cuántos tablones de cada tipo elaborará para obtener el máximo beneficio? Las variables de decisión son:

x tablones tipo A y tablones tipo B


2 2 200 1003 150 3 1500, 0 0, 0


+ ≤ + ≤ + ≤ ⇒ + ≤ ≥ ≥ ≥ ≥


( )0, 0O ( )0, 50A ( )75, 25B ( )100, 0C


0Oz = 300Az = 525Bz = 500Cz =

Por tanto, el máximo se localiza en el vértice B y su valor es 525Bz = , es decir, hay que elaborar 75x = tablones

tipo A e 25y = tablones tipo B, obteniéndose un beneficio de 525Bz = €.




1. Se consideran los puntos M(6, 2) y N(1, –2), y el semiplano determinado por la expresión 2 3 6x y− ≥ :

A. Los dos puntos M y N pertenecen al semiplano.

B. El punto M pertenece, pero el N no.

C. El punto N pertenece, pero el M no.

D. Ninguno de los dos puntos pertenece al semiplano.

La respuesta correcta es A, ambos puntos pertenecen al semiplano, ya que ambos verifican la inecuación

− ≥2 3 6x y .

2. El interior del triángulo de vértices ( )2, 1A , ( )1, 0B − y ( )1, 1C − queda determinado por las siguientes condiciones.

A. 3 1 2 3 2 1y x x y x y− ≥ − ≥ + ≥

B. 3 1 2 3 2 1y x x y x y− ≤ − ≥ + ≤ −

C. 3 1 2 3 2 1y x x y x y− ≤ − ≤ + ≥ −

D. Ninguna de las anteriores opciones es cierta.

Los lados del triángulo están determinados por las rectas:

AB: 3 1y x− = AC: 2 3x y− = BC: 2 1x y+ = −

Como cada vértice debe estar incluido en el semiplano determinado por el lado opuesto, la respuesta correcta es C.


3. La solución del problema de programación lineal:

Mínimo = −2 3z x y

Sujeta a:

+ ≥ + ≥ ≥ ≥

2 32 30 0

x yx yx y

se alcanza en:

A. 3, 0x y= =

B. 0, 3x y= =

C. 1, 1x y= =

D. El problema no tiene solución.

Representamos la región factible y, al ser no acotada, la recta 2 3 0x y− = .

Al tener la función objetivo coeficiente de la x positivo y coeficiente de la y negativo, el mínimo se localizará en el último punto de la región factible que toque la recta 2 3 0x y− = al desplazarse de forma paralela en el sentido positivo del eje Y.

Como la recta no deja de tocar a la región factible al desplazarse, no existe el mínimo, es decir, la respuesta correcta es D.


4. Se considera la región factible determinada por las restricciones:

{ }+ ≤ + ≤ + ≤ ≥ ≥3 21, 12, 4 40, 0, 0x y x y x y x y

A. El punto (9, 4) pertenece a la región factible.

B. El punto 15 9,2 2

es un vértice de la región factible.

C. El punto (5, 5) pertenece a la región factible.

D. El punto (5, 5) es uno de los vértices de la región factible. A es incorrecta, ya que el punto (9, 4) no verifica la segunda restricción.

B es correcta, el punto 15 9,2 2

verifica todas las restricciones, con lo que pertenece a la región factible, y es el

punto de corte de las rectas 3 21x y+ ≤ y 12x y+ ≤ , por lo que es un vértice de la región factible.

C es correcta, ya que el punto (5, 5) verifica todas las restricciones.

D es incorrecta, aunque el punto (5, 5) verifica todas las restricciones, no es el punto de corte de ninguna pareja de rectas, con lo que no es un vértice de la región factible.



5. Se considera un problema de programación lineal con dos variables y tal que la región factible no es vacía.

1. El problema no tiene solución. 2. La región factible es no acotada.

A. 1 2⇒ pero 2 1⇒ C. 1 2⇔


1 2⇒ ya que si la región factible es acotada el problema siempre tiene solución. En cambio 2 1⇒ , puede ocurrir que la región factible sea no acotada y el problema tenga solución.

Por tanto, la relación correcta es A.


6. La región factible correspondiente a un problema de programación lineal está determinada por las siguientes restricciones.

1. 5x y+ ≥ 2. 2 3 24x y+ ≤ 3. 4 20x y− ≤ 4. 6 30x y+ ≤

¿Qué restricción es redundante y, por tanto, innecesaria?

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Representando la región factible comprobamos que la restricción redundante es 2 3 24x y+ ≤ , la respuesta B.

180 Bloque I Números y álgebra

PRUEBA I SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Determina las matrices A y B que verifican:

3 2 3 15 3 2 1

1 1 6 32 3

0 4 1 2

A B

A B

− − + =

− = − −

¿Es regular la matriz AAt?

Se multiplica por 3 la primera ecuación: − − + =

9 6 9 33 3

15 9 6 3A B

Sumando ambas ecuaciones: − =

10 5 15 05

15 5 5 5A

Despejando A: − =

2 1 3 03 1 1 1

A

Sustituyendo en la primera ecuación y despejando: − − − − − = − =

3 2 3 1 2 1 3 0 1 1 0 15 3 2 1 3 1 1 1 2 2 1 0

B

Para que AAt sea regular su determinante tiene que ser no nulo. Como A no es una matriz cuadrada, debemos calcular primero el producto que si que resulta ser una matriz cuadrada.

2 32 1 3 0 1 1 14 8 14 8

104 0 es regular3 1 1 1 3 1 8 12 8 12

0 1

t t tAA AA AA

− − = = ⇒ = = ≠ ⇒

.

2. Sean las matrices 1 21 4

A = − ,

2 21 1

B = − y

1 11 3

C− = −

.

a) Halla la matriz X que satisface la ecuación AX − BCX = 3C.

b) Calcula la matriz inversa de At + B, donde At representa la matriz traspuesta de A.

a) Se despeja la matriz X.

( ) ( )−− = ⇒ − = ⇒ = − 13 ( ) 3 3AX BCX C A BC X C X A BC C

− − − − = − = − = − − − − −

1 2 2 2 1 1 1 2 4 8 3 101 4 1 1 1 3 1 4 0 2 1 2

A BC

( ) ( )− − − − = − = − = = − − − −

1

1 52 1 2 101 2 24 Adj

10 3 1 3 1 344 4

A BC A BC A BC

−− − = = − − −

1 5 6 213 32 2 31 3 3 9 624 4

X

b) − + = + = −

1 1 2 2 3 12 4 1 1 3 3

tA B

( ) ( )−

− − − + = + = − = = − − −

1

1 13 3 3 11 2 66 Adj1 3 3 3 1 16

2 2

t t tA B A B A B

Bloque I Números y Álgebra 181

3. Considera las matrices: 3 16 2

A = − − y

1 31 2

B− = −

a) Calcula A15 e indica si la matriz A tiene inversa. b) Calcula el determinante de la matriz (−2BAtB−1I)3.

a) = = = = − − − − − − − − 2 153 1 3 1 3 1 3 1

6 2 6 2 6 2 6 2A A A A

La matriz A tiene inversa si su rango es 2. Como F2 = –3F1, sigue que el rango de A es 1 y por tanto la matriz A no tiene inversa.

b) Aplicando las propiedades de los determinantes:

[ ] ( ) ( )( )

− − − = − = ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ = −

3 3331 2 1 1 12 ( 2) 4 1 1 4 1 0 1 0

1t tBA B I B A B I A

B

4. *Se considera el sistema de ecuaciones lineales:

2

2 2 1(2 ) 0

3 2

x ay zx a y zx a y z a

− + = + + + = + + =

a) Discútelo en función del parámetro real a. b) Resuélvelo para a = 0.

a) Las matrices del sistema son − −

= + = + 2 2

2 2 1 2 2 1 11 2 1 y * 1 2 1 03 2 3 2

a aA a A a

a a a.

= + − = ⇒ = − =2 2 0 2 1A a a a a

Si a ≠ −2 y a ≠ 1, |A| ≠ 0 y por tanto rg(A) = rg(A*) = 3 = n.º de incógnitas. Sistema compatible determinado.

Para a = −2, = = −

2 4 1 2 4 1 11 0 1 y * 1 0 1 03 4 2 3 4 2 2

A A

Como = − ≠2 4

4 01 0

, rg(A) = 2. Añadiendo al menor anterior C4 y F3, se tiene = ≠−

2 4 11 0 0 12 03 4 2

y, por tanto,

rg(A*) = 3, lo que implica que el sistema es incompatible.

Para a = 1, − −

= =

2 2 1 2 2 1 11 3 1 y * 1 3 1 03 1 2 3 1 2 1

A A

Como −

= ≠2 2

8 01 3

, rg(A) = 2.

Por otro lado rg(A*) = 2, ya que F3 = F1 + F2. Como rg(A) = rg(A*) = 2 < n.º de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado.

b) Para a = 0 el sistema es compatible determinado. Lo resolvemos aplicando el método de Gauss:

2 1 2 2 1 3 3 2

3 3 1

2 2 33

2 1 2 0 2 0 2 02 0 2 1 4 1 4 1

3 2 0 3 2 0 6 0 3E E E E E E E E

E E E

x z x y z x y z x y zx y z x z y z y zx z x z y z z

↔ → − → −→ −

+ = + + = + + = + + = + + = → + = → − − = − → − − = + = + = − − = = −

Sustituyendo y despejando de abajo a arriba, se obtiene:

x = 2 y = 12

z = −3


5. La empresa de dulces navideños La Soteña comercializa en sus tres tiendas tres únicos productos: polvorones, mazapanes y mazapanes con chocolate. La tabla que aparece a continuación muestra la cantidad (en kg) de cada uno de los productos vendidos durante un día de la pasada Navidad y los ingresos de ese día en cada una de las tiendas:

Tienda 1 Tienda 2 Tienda 3

Polvorones 10 20 20

Mazapanes 30 20 30

Mazapanes con chocolate 20 10 30

Ingresos 240 170 310

a) Determina un sistema de ecuaciones que permita conocer el precio del kilo de cada uno de los productos que comercializa la empresa.

b) Si el coste de elaboración y venta de un kilo de polvorones es de 1 €, el de un kilo de mazapanes es de 2 € y el de un kilo de mazapanes de chocolate es de 3 €, determina los beneficios de la empresa del día reflejado en la tabla.

(Nota: para calcular los beneficios aplica que Beneficios = Ingresos − Gastos)

a) Sea x el precio del kilo de polvorones, y el precio del kilo de mazapanes y z el precio del kilo de mazapanes de

chocolate.

→ − → −→ −

+ + = + + = + + = + + = + + = → + + = → − − = − → − − = − + + = + + = − − = − =

2 2 1 3 3 43 3 1

2 4 32

10 30 20 240 3 2 24 3 2 24 3 2 2420 20 10 170 2 2 17 4 3 31 4 3 3120 30 30 310 2 3 3 31 3 17 5 25

E E E E E EE E E

x y z x y z x y z x y zx y z x y z y z y zx y z x y z y z z

x = 2 y = 4 z = 5 El precio del kg de polvorones es de 2 €, el del kg de mazapanes es de 4 € y el de mazapanes de chocolate de 5 €.

b) El beneficio obtiene es: 50(2 – 1) + 80(4 – 2) + 60(5 – 3) = 330 €


6. Una compañía dispone de 96 000 € para comprar ordenadores y licencias de un determinado software. Se sabe que necesita adquirir al menos 20 ordenadores y que el número de licencias debe ser mayor o igual que el de ordenadores. Además se tiene que el precio de cada ordenador es de 400 € y el de cada licencia es de 800 €.

a) ¿Cuántos ordenadores y cuántas licencias puede comprar para cumplir todos los requisitos anteriores? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones.

b) ¿Cuántos ordenadores y cuántas licencias debe comprar para que el coste total de la compra sea mínimo?, ¿y para que el número de licencias sea máximo?

a) x: n.º de ordenadores

y: n.º de licencias Región factible:

20

400 800 960000, 0

xy x

x yx y

≥ ≥ + ≤ ≥ ≥

El conjunto de soluciones está formado por todos los pares de coordenadas enteras que quedan dentro de la región factible.

b) Sea C(x, y) = 400x + 800y C(A) = 24 000 C(B)= 96 0000 C(C) = 96 800 El coste mínimo se consigue comprando 20 ordenadores y 200 licencias. Sea L(x, y) = y. L(A) = 110 L(B)= 80 C(C) = 20 El número máximo de licencias es 110.


PRUEBA II SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Indica cuál de las siguientes afirmaciones es cierta si se consideran A y B, matrices cuadradas de orden 2.

A. Siempre se verifica que (A + B)2 + A2 + B2 + 2AB.

B. En ningún caso se verifica que (A + B)2 + A2 + B2 + 2AB.

C. En todos los casos, (A + B)2 ≠ A2 + B2 + 2AB.

D. Solo se verifica que (A + B)2 = A2 + B2 + 2AB cuando A y B conmutan entre sí.

Solución: D

2. Dado el determinante − −

∆ =−

2 1 34 2 21 3 2

, su valor se puede calcular mediante el desarrollo:

A. 1 3 2 3 2 1

4 2 23 2 1 2 1 3− − − −

∆ = − +− −

C. 4 2 2 1 2 1

3 2 21 3 1 3 4 2

− −∆ = + −

− −

B. 4 2 2 1 2 1

3 2 21 3 1 3 4 2

− −∆ = − + +

− − D.

4 2 2 3 2 32 3

1 2 1 2 4 2− −

∆ = + +

La respuesta correcta es D, ya que es el desarrollo por C2 4 2 2 3 2 32 31 2 1 2 4 2

− −∆ = + + .

3. Se quiere obtener el valor del rango de la matriz A = (aij), de dimensión 3 × 4. Para ello, se sabe que:

∆ = ≠11 121

21 220

a aa a

y ∆ = ≠11 132

21 230

a aa a

, y se dan, como dato, los valores de:

1. Todos los menores de orden 2 que contienen a ∆1.

2. Todos los menores de orden 3 que contienen a ∆2.

Indica cuál de las siguientes afirmaciones, referidas a los datos conocidos, es cierta.

A. Las informaciones 1 y 2 son suficientes por sí solas para obtener el rango.

B. La información 1 es suficiente por sí sola, pero la 2 no.

C. La información 2 es suficiente por sí sola, pero la 1 no.

D. Son necesarias las dos informaciones juntas.

La respuesta correcta es C La información 2 es suficiente por sí sola, pero la 1 no, ya que se debería tener información acerca de los menores de orden tres que contienen a 1∆ .

4. El valor de m que hace que las rectas del plano r: 2x − 3y + 5 = 0 y s: −3x + my + 5 = 0 sean paralelas es:

A. m = 2 B. m = 3 C. m = −3 D. =92

m

La respuesta correcta es la D, m = 29 , para que las rectas sean paralelas, el sistema debe ser incompatible. Por

tanto, los coeficientes de las incógnitas deben ser proporcionales pero los coeficientes independientes no deben guardar esta proporción.


5. Indica cuál o cuáles de las afirmaciones siguientes son ciertas si se considera un problema de programación lineal con dos variables.

A. Si el punto (a, b) es una solución óptima del problema, entonces obligatoriamente es un vértice de la región factible.

B. Si el punto (a, b) es la única solución óptima del problema, entonces (a, b) obligatoriamente pertenece a la región factible.

C. Si el punto (a, b) es la única solución óptima del problema, entonces es obligatoriamente un vértice de la región factible.

D. Si (a, b) no pertenece a la región factible, entonces no puede ser solución del problema.

Las soluciones correctas son la B, la C y la D. Una solución puede ser óptima y no ser vértice, ya que puede ser una de las infinitas soluciones de un problema de programación lineal. Sin embargo, si es única, debe ser vértice. Obviamente, para que sea solución óptima, lo primero que debe verificar es que pertenezca a la región factible.

6. La región factible de un determinado problema de programación lineal es acotada. La función objetivo es f(x, y) = ax + by. Se afirma que el máximo de dicha función se alcanza en el último vértice que la recta ax + by = k toca a la región factible en su desplazamiento paralelo en dirección hacia +∞ del eje Y. Analiza si la siguiente información proporcionada es suficiente para asegurar que la afirmación anterior es cierta.

1. a > 0, b > 0 2. a < 0, b > 0

A. Tanto la información 1 como la 2 son suficientes para asegurar que la afirmación es correcta.

B. La información 1 es suficiente, pero la 2 no.

C. La información 2 es suficiente, pero la 1 no.

D. Son necesarias las dos informaciones juntas.

La solución correcta es la A. Al ser positivo el coeficiente de y en la función objetivo, el máximo de dicha función se alcanza en el último vértice que la recta ax + by = k toca a la región factible en su desplazamiento paralelo en dirección hacia +∞ del eje Y.

186 Unidad 5| Funciones, límites y continuidad

5 Funciones, límites y continuidad


1. Una empresa fabrica botes de latón de forma cilíndrica y sin tapa para almacenar un líquido colorante con un volumen de 500 cm3. Si x es el radio de la base, encuentra una función que dé los metros cuadrados de latón necesarios en función de x.

Si h es la altura de la caja, su superficie es S(x) = 2πxh + πx2; como el volumen V = πx2h, entonces la altura de la

caja es =π 2500h

x, y la superficie, ( ) = + π 21000S x x

x.

2. Encuentra la expresión matemática que nos da el producto de dos números en función de uno de ellos, sabiendo que la suma de ambos es 100.

x + y = 100, y = 100 − x ⇒ ( )= −100xy x x . Luego ( ) ( )= −100P x x x .

3. La función ( ) 2 120 3200f x x x= − + − representa el beneficio, en euros, que obtiene una empresa en la fabricación de x unidades de un producto.

a) ¿Cuántas unidades hay que fabricar para obtener el máximo beneficio posible? ¿Cuál es este beneficio máximo?

b) Halla la función que expresa el beneficio unitario.

c) ¿Cuál es el beneficio unitario al fabricar 60 unidades?

a) Como es una parábola cóncava hacia abajo, el máximo lo alcanza en el vértice: 120 602vx = = . Luego el

máximo beneficio se obtiene fabricando 60 unidades de producto.

Como ( ) 260 60 120 60 3200 400f = − + ⋅ − = , el beneficio es de 400 euros.

b) ( ) ( ) − + −= =

2 120 3200f x x xB xx x

c) ( ) ( ) − + ⋅ −= =

260 60 120 60 320060 6,6760 60

fB €/unidad. Producir 60 unidades produce unas ganancias de 6,67

euros por unidad producida.

Funciones, límites y continuidad | Unidad 5 187

4. Dada las funciones ( ) 2 3f x x= − y ( ) 214

xg xx

+=

−, calcula el dominio y la expresión de las funciones:

a) f + g b) f − g c) f · g d) 1f

e) fg

( ) ( ) = −∞ − ∪ +∞ , 3 3,D f ( ) { }= − − 2, 2D g

a) ( ) ( ) { } + = −∞ − ∪ +∞ − − , 3 3, 2, 2D f g ( ) ( ) ( ) ( ) 22

134

xf g x f x g x xx

++ = + = − +

−

b) ( ) ( ) { } − = −∞ − ∪ +∞ − − , 3 3, 2, 2D f g ( ) ( ) ( ) ( ) 22

134

xf g x f x g x xx

+− = − = − −

−

c) ( ) ( ) { } ⋅ = −∞ − ∪ +∞ − − , 3 3, 2, 2D f g ( )( )( )( )− +

⋅ =−

2

23 1

4x xf g x

x

d) Como ( ) ( )− = =3 3 0f f

( ) ( ) = −∞ − ∪ +∞

1 , 3 3,Df

( )( ) 2

1 1 1

3x

f f x x

= = −

e) ( )1 0g − = , pero −1 no pertenece al dominio de f.

( ) { } = −∞ − ∪ +∞ − − , 3 3, 2,2fD

g ( ) ( )

( )( )2 24 3

1

x xf xf xg g x x

− − = = +

Observación: A pesar de que la expresión de fg

sí está definida si x = 2 y x = −2, al provenir dicha función de

un cociente de funciones en las que una de ellas no está definida en x = 2 y x = −2, estos números no están en el dominio del cociente.

5. Sean:

( ) 1f xx

= ( ) 12

g xx

=−

Calcula f g y g f y sus respectivos dominios.

( ) ( )0,D f = +∞ , ( ) { }2D g = −

( ) ( )= +∞ 2,D f g ( ) ( ) ( )( ) 1 22

f g x f g x f xx

= = = − −

( ) ( ) = +∞ −

10,4

D g f ( ) ( ) ( )( ) 1 11 1 22

xg f x g f x gx x

x

= = = = − −



10. Ayudándote de la calculadora, obtén los siguientes límites.

a) ( )→−

+3

lim 5x

xe b)

→

−0

1limx

x

ex

c) →0

limx

xx

d) ( )→

−−2

ln 1lim

2x

xx

a) −

→−+ = +

3

3lim 5 5 5,05x

xe e

b) →

−=

0

1lim 1x

x

ex

c) 0

limx

xx→

. No existe. Si nos acercamos al cero por la izquierda, obtenemos que el límite es −1, pero si nos

acercamos por la derecha, el límite nos da 1, es decir, los límites laterales no coinciden.

d) ( )→

−=

−2

ln 1lim 1

2x

xx

11. Calcula a para que exista ( )2

limx

f x→

, siendo:

( )1 si 22 si 2

ax xf x

x x+ <= − ≥

( )→ →

= + = +- -2 2

lim ( ) lim 1 2 1x x

f x ax a y ( )+ +→ →

= − =2 2

lim lim 2 0x x

f x x

Para que exista ( )2

limx

f x→

debe ser 2a + 1 = 0, es decir, a = 12

− .

12. Escribe una posible expresión para una función f, definida a trozos, que cumpla que ( )1

lim 3x

f x−→

= y

( )1

lim 2x

f x+→

= − y ( )1 2f = − .

Respuesta abierta, una posible expresión para la función f sería: ( ) { 2 si 12 si 1

x xf x x+ <= − ≥

13. Calcula, si existen, ( )1

limx

f x→−

y ( )4

limx

f x→

, siendo f la función:

( ) 2

3 si 11 si 1 4

3 5 si 4

x xf x x x

x x

+ < −= + − ≤ ≤ − >

( )( )

( )1

211

lim 3 2lim

lim 1 2x

xx

xf x

x−

+

→−

→−→−

+ == + = ⇒ Luego ( )

1lim 2

xf x

→−=

( )( )

( )

2

44

4

lim 1 17lim

lim 3 5 17x

xx

xf x

x−

+

→→

→

+ == − = −

⇒ Como los límites a izquierda y a derecha no coinciden, no existe el límite.


14. Calcula los siguientes límites.

a) −→

−−

2

1

3lim1x

x xx

, +→

−−

2

1

3lim1x

x xx

y →

−−

2

1

3lim1x

x xx

b) ( )−→−

− −

− 41

3 2lim1x

xx

, ( )+→−

− −

− 41

3 2lim1x

xx

y ( )→−

− −

− 41

3 2lim1x

xx

c) −→0

limx

x

ex

, +→0

limx

x

ex

y →0

limx

x

ex

a) −→

−= +∞

−

2

1

3lim1x

x xx

; +→

−= −∞

−

2

1

3lim1x

x xx

; →

−−

2

1

3lim1x

x xx

⇒ No existe.

b) ( )−→−

− −= −

− 41

3 2 1lim161x

xx

; ( )+→−

− −= −

− 41

3 2 1lim161x

xx

; ( )→−

− −= −

− 41

3 2 1lim161x

xx

c) −→

= −∞0

limx

x

ex

; +→

= +∞0

limx

x

ex

; →0

limx

x

ex

⇒ No existe.

15. Calcula ( )4

limx

f x−→

, ( )4

limx

f x+→

y ( )4

limx

f x→

en cada caso.

a) b)

a) ( )

−→= −∞

4lim

xf x ; ( )

+→= +∞

4lim

xf x ; No existe ( )

4lim .x

f x→

b) ( )−→

= +∞4

limx

f x ; ( )+→

= +∞4

limx

f x ; ( )4

limx

f x→

= +∞




a) ( )( )→+∞

− +

−2

2 1 2 3lim

2 5x

x xx

b) →+∞

−+

23 5lim2x

xx

c) →−∞

−−21lim4x

xx

a) ( )( )

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

+ − + −− + + − + += = = = =

+− − −−

2

2 2 2 2 2

2 2 2

22 2

6 2 1 262 1 2 3 6 2 6 0 0lim lim lim lim 35 2 02 5 2 5 2 5 2x x x x

x xx x x x xx x x x

x x xxx x

b) →+∞ →+∞ →+∞ →+∞

− −−= = = = +∞

+ − +

2

23 5 533 5lim lim lim lim 3

2 22 1x x x x

x xx x x x xxxx x x

c) →−∞ →−∞ →−∞

− −− −= = = =

−− −−

2 2 2

2 2

22 2

1 1 11 0 0lim lim lim 0

4 1 04 4 1x x x

xx xx x x

x xxx x

18. Calcula los valores de a para que se cumpla: ( ) ( )2

2lim 2

3 1x

ax x axx→−∞

− +=

+.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2

2 2

2

2 22 22

lim lim lim 21 33 1 3 1 3x x x

aa ax a a x a a aax x ax x

x xx

→+∞ →+∞ →+∞

−− +− + − −− +

= = = =+ + +

a2 − a = 6 ⇒ a2 − a − 6 = 0 ⇒ a = 3 o a = −2


19. La población de bacterias de cierto cultivo sigue la ley ( )( ) ( )

( )

2

3

3 2 5 1

2 1

t tP t

t

+ +=

+ miles de bacterias, donde t

indica los días transcurridos desde su inicio.

a) ¿Qué población había al principio del estudio? ¿Y al cabo de una semana?

b) Al aumentar el tiempo, ¿tiende a estabilizarse la población?

a) ( ) ( ) ( )( )3

3·0 2 5·0 1 20 212·0 1

P + +

= = = +

miles de bacterias. Había 2000 bacterias.

( )( ) ( )

( )

2

3 3

3·7 2 5·7 1 149 367 1,589 33152·7 1

P + + ⋅

= = +

miles de bacterias. Habrá 1589 bacterias, aproximadamente.

b) ( )( ) ( )

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

+ + ++ + + + += = = =

+ + + ++ + +

3 22 3 2 3 3 3 3

3 3 2 3 2

3 3 3 3

15 3 10 23 2 5 1 15 3 10 2lim lim lim lim

(2 1) 8 12 6 1 8 12 6 1x x x x

t t tt t t t t t t t tP t

t t t t t t tt t t t

→+∞

+ + += = =

+ + +

2 3

2 3

3 10 215 15lim 1,87512 6 1 88x

t t t

t t t

miles de bacterias

El número de bacterias se aproxima cada vez más a 1875.


21. Calcula ( )2

limx

f x→

en los siguientes casos.

a) ( )+

=−

1

1

xxf x

xx

c) ( ) 22

xf xx

−=

+

b) ( ) − +=

−

2

27 10

4x xf x

x d) ( ) −

=−

2 42

xf xx

a) ( )→ →

+ += = =

− −2 2

1 12 52lim lim1 1 32

2x x

xxf x

xx

b) ( ) ( )( )( )( )

( )( )→ → → →

− − −− += = = = −

− + +−

2

22 2 2 2

2 5 57 10 3lim lim lim lim2 2 2 44x x x x

x x xx xf xx x xx

c) ( )→ →

−= = =

+2 2

2 0lim lim 02 4x x

xf xx

d) →

−−

2

2

4lim2x

xx

da lugar a una indeterminación del tipo 00

. ( ) ( ) ( )( )

( )2 2 2

2 2lim lim lim 2 4

2x x x

x xf x x

x→ → →

+ −= = + =

−


22. Calcula estos límites.

a) →−∞ +

3lim5x x

b) ( )→−∞

−2limx

x x

c) ( )→−∞

−lim 2x

x

d) ( )( )→+∞

− +lim 5 3x

x x

e) −

→+∞lim x

xe

f) →−∞

+ + 2lim

3 1xx

x

a) → −∞ → −∞ → −∞

= = = =+ ++ +

3 33 0lim lim lim 0

5 55 1 01x x xx x

xxx x x

b) ( )→ −∞

− = +∞2limx

x x

c) ( )→ −∞

− = +∞lim 2x

x

d) ( )( )→ +∞

− + = −∞lim 5 3x

x x

e) −

→+∞ →+∞= =

1lim lim 0xxx x

ee

f) →−∞

+ = − ∞ = − ∞ = −∞ + −∞ 2 2lim 0

3 1xx

x


23. Calcula estos límites. Si dan lugar a indeterminaciones indica de qué tipo son y resuélvelas.

a) →+∞

−

3lim 7x x

d) →

−−

3

22

8lim4x

xx

g) ( )

3 2

31

4 4lim1x

x x xx→

− − +

− j)

→+∞

+ − −2 21 1limx

x xx

b) →−

− +−

2

3

1lim2x

x xx

e) →

− − 2

20

1 1limx

xx

h) ( )2lim 3 5x

x x→+∞

+ −

c) ( )→−∞

+ −2lim 3 5x

x x f) 2

1 2

1lim2 3x

x

x→

−

− + i) 21

2 3lim1 3 2x

x xx x x→

+ − − − − +

a) → +∞

− = − =

3lim 7 7 0 7x x

b) → −

− + + += = −

− −

2

3

1 9 3 1 13lim2 5 5x

x xx

c) ( ) ( )( )→ −∞ → −∞

+ − = + − = −∞ −∞ = +∞

2 5lim 3 5 lim 3 1x x

x x x xx

d) →

−−

3

22

8lim4x

xx

. Indeterminación tipo 00

. ( ) ( )

( ) ( )( )

( )

2 23

22 2 2

2 2 4 2 48lim lim lim 32 2 24x x x

x x x x xxx x xx→ → →

− + + + +−= = =

+ − +−

e) →

− − 2

20

1 1limx

xx


. ( ) ( )

( )2 2

2

20 0 2 2

1 1 1 11 1lim lim1 1x x

x xxx x x→ →

− − + −− −= =

+ −

( )( ) ( ) ( )

2 2

0 0 02 2 2 2 2

1 1 1 1lim lim lim21 1 1 1 1 1x x x

x x

x x x x x→ → →

− −= = = =

+ − + − + −

f) 2

1 2

1lim2 3x

x

x→

−

− +. Indeterminación tipo 0

0.

( ) ( )( ) ( )

2 22

1 12 2 2

1 2 31lim lim2 3 2 3 2 3x x

x xx

x x x→ →

− + +−= =

− + − + + +

2 22

21 1

(1 )(2 3 )lim lim(2 3) 41x x

x x xx→ →

− + += = + + =

−

g) ( )→

− − +

−

3 2

31

4 4lim1x

x x xx


. ( )

( )( )

( )( )→ → →

− − −− − += = = −∞

− − −

2 23 2

3 3 21 1 1

1)( 4 44 4lim lim lim1 1 1x x x

x x xx x xx x x

h) ( )→ +∞

+ − = +∞2lim 3 5x

x x

i) →

+ − − − − + 21

2 3lim1 3 2x

x xx x x

. Indeterminación ∞ − ∞ .

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

21

221 1

1

1lim2 3 1 1 2lim lim

11 1 23 2 lim1 2

x

x x

x

x xx x x x x x

x xx x xx xx x

−

+

→

→ →

→

− −= −∞+ − − − − − − = = − −− − −− + = +∞

− −

⇒ Luego no existe el límite.

j) 2 21 1lim .

x

x xx→+∞

+ − − Indeterminación tipo ∞ − ∞ .

( ) ( )( ) ( )

2 2 2 22 2

2 2 2 2

1 1 1 11 1 2lim lim lim 01 1 1 1x x x

x x x xx xx x x x x x x→+∞ →+∞ →+∞

+ − − + + −+ − −= = =

+ + − + + −



28. Calcula los siguientes límites realizando en cada caso las transformaciones adecuadas.

a) −

→+∞

+ −

2 12lim5

x

x

xx

b) +

→+∞

− −

53 2lim5

x

x

xx

c)

++

→+∞

− +

+ −

2 12 3

23lim

3 1

xx

x

x xx x

d) +

−

→

+

15

5

2lim5

x

x

xx

a) Indeterminación del tipo 1+∞.

( )

→+∞

−− − −− −−

→+∞ →+∞ →+∞

+ = + = + = = −− −

7 2 15 5 14 72 1 2 1 lim7 1452 7 1lim lim 1 lim 155 5

7

x

xx x xx xx

x x x

x e exx x

b) Como →+∞

−=

−3 2lim 3

5x

xx

y ( )lim 5x

x→+∞

+ = +∞ ; 53 2lim

5

x

x

xx

+

→+∞

− = +∞ − .

c) Indeterminación del tipo 1+∞.

− + +⋅+ ++ + − + −

+ + − +

→+∞ →+∞ →+∞

− + − + = + = + = + − + − + −

− +

22 2 2 2

4 4 11 31 3 1 3 12 3 3 4 4

2 2 23 4 4 1lim lim 1 lim 1

3 1 3 1 3 14 4

x xx xx x x x xx x x

x x x

x x xx x x x x x

x

3 2

3 24 4 4 4lim

46 8 3x

x x x

x x xe e→+∞

− + − +−+ + −= =

d) Indeterminación del tipo 1+∞.

5

15 551 1 1 1lim5 5 5 10

5 5 5

2 5 1lim lim 1 lim 155 55

x

x xx

x x x

x x x

x x e exx xx

+→+ + +

+ +−

− − +

→ → →

− = + = + = = ++ + −

29. A partir del resultado 1lim 1x

xe

x→+∞

+ =

, justifica 1lim 1x

xe

x→−∞

+ =

. Ayuda: escribe 1lim 1x

x x

−

→+∞

−

y opera

con esta última expresión.

1 1 1 1lim 1 lim 1 lim lim lim 11 1

x x x x x

x x x x x

x xx x x x x

− −

→−∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞

− + = − = = = + = − −

1 1 lim11lim 1

1x

xxx x

xx

e ex

→+∞

− −−

→+∞

= + = = −




32. Estudia la continuidad de las siguientes funciones, especificando en su caso el tipo de discontinuidad.

a) ( ) +=

− − +3 21

2 7 5 4xf x

x x x c) ( ) 2

1 si 01 si 0 1

2 1 si 1

x xf x x x

x x

+ ≤= + < ≤ + >

b) ( ) = −3ln 2f x x d) ( )3

xf xx

=−

a) Por ser un cociente de polinomios, la función es continua en todo su dominio, que son todos los números reales

excepto los que anulan al denominador, es decir, la función es continua en 11,4,2

− −

. En x = 4 y x = 12

la

discontinuidad es de salto infinito y en x = −1 es evitable.

b) Las funciones logaritmo y raíz cúbica son continuas en todo su dominio.

Como la función está definida si x − 2 > 0, f es continua en ( ) ( )2,D f = +∞ .

c) ( )+ ≤

= + < ≤ + >

2

1 si 01 si 0 1

2 1 si 1

x xf x x x

x x

Como las funciones que definen cada trozo son continuas, pues son trozos de rectas y parábolas, basta ver qué ocurre en x = 0 y en x = 1.

( )( ) ( )

( )0

200

lim 1 1 0lim

lim 1 1x

xx

x ff x

x−

+

→

→→

+ = == + =

⇒ Luego ( )0

lim 1x

f x→

= y la función es continua en x = 0.

( )( ) ( )( )

2

11

1

lim 1 2 2lim

lim 2 1 3x

xx

x ff x

x−

+

→→

→

+ = == + =

⇒ Luego no existe ( )1

limx

f x→

, pues, aunque existen los límites laterales,

estos no coinciden. Así pues, en x = 1 hay una discontinuidad de salto finito.

d) ( )3

xf xx

=−

. Comencemos definiendo la función como una función a trozos:

3 3

x xx x

=− −

, si 03

xx

≥−

. Resolviendo la inecuación tenemos que ( ] ( ),0 3,x ∈ −∞ ∪ + ∞ .

3 3

x xx x

= − − −

si 03

xx

<−

. Resolviendo la inecuación se tiene que ( )0,3x ∈ . La función no está definida

en x = 3, luego allí no será continua.

( )( )

00

0

lim 0 03lim

lim 03

xx

x

x fxf x x

x

−

+

→→

→

= = −= − =

−

⇒ Luego 0

lim ( ) 0x

f x→

= y la función es continua en x = 0.

( ) 33

3

lim3lim

lim3

xx

x

xxf x x

x

−

+

→→

→

− = +∞ −= = +∞

−

⇒ La función tiene una discontinuidad esencial en x = 3. La recta x = 3 es una

asíntota vertical.


33. Determina para qué valores de a y b es continua la siguiente función.

( )

2

2

si 0si 0 2si 2

x b xf x ax b x

x b x

− ≤= + < ≤ + ≥

Si x ≠ 0 y x ≠ 2, la función es continua por ser trozos de parábolas y rectas.

Calculemos los límites laterales en x = 0 y en x = 2.

( )( ) ( )( )

2

00

0

lim 0lim

limx

xx

x b b ff x

ax b b−

+

→→

→

− = − == + =

Si queremos que en x = 0 sea continua, entonces −b = b ⇒ b = 0.

( )( ) ( )

( )2

222

lim 2 2lim

lim 4x

xx

ax b a b ff x

x b b−

+

→

→→

+ = + == + = +

Si queremos que sea continua en x = 2 debe ser 2a + b = 4 + b, y como b = 0, debe ser a = 2.

La función es: ( ) ≤= < ≤ >

2

2

si 02 si 0 2

si 2

x xf x x x

x x



38. Demuestra que la siguiente ecuación tiene alguna solución real. 5 3 1 0x x x+ + + =

Aplicando el teorema de Bolzano a la función continua ( ) 5 3 1f x x x x= + + + en el intervalo [ ]1,0− , por ejemplo,

como ( )1 2f − = − y ( )0 1f = , se deduce que existe c en ( )1,0− con ( ) 0f c = .

Luego x = c es una solución de la ecuación.

39. Demuestra que la ecuación 3 5 1 0x x+ + = tiene alguna solución real y da una aproximación correcta hasta las décimas.

De nuevo se aplica el teorema de Bolzano a la función ( ) 3 5 1f x x x= + + en intervalos cada vez más pequeños hasta obtener la aproximación deseada:

[ ]−1, 0 ( )− = −1 5f y ( ) =0 1f

[ ]− −0,2; 0,1 ( )− = −0,2 0,008f y ( )− =0,1 0,499f

La solución es x = –0,1, …


40. La función ( ) 32

f xx

=−

cumple que ( )1 3f = − y ( )3 1f = y no corta al eje X en ningún punto. ¿Contradice

este ejemplo el teorema de Bolzano? No lo contradice, pues la función no cumple todas las hipótesis del teorema de Bolzano. La función no es continua

en el intervalo [ ]1,3 , tiene una discontinuidad esencial en x = 2.

41. Encuentra el máximo de la función ( ) ( )5P x x x= − .

Como se vio en el texto, la función tiene un máximo. Al ser una parábola, sabemos que dicho máximo lo alcanzará

en el vértice 5 25,2 4

V

. Comprobamos que el máximo se alcanza en el intervalo [ ]0,5 .


46. Se define poder adquisitivo, PA, como la cantidad de bienes o servicios (de precio unitario, PU) que

podemos adquirir con una determinada cantidad de dinero, T, es decir: TPAPU

= . Por ejemplo, si

disponemos de 180 € para la compra de libros que cuestan 15 € cada uno, tenemos un poder adquisitivo de 12 libros.

Calcula el límite del poder adquisitivo cuando T y PU dependen del tiempo t y este tiende a más infinito, en los casos siguientes.

a) ( ) = +5 1T t t y ( ) = +2 1PU t t

b) ( ) = +28T t t t y ( ) = −22 3PU t t

c) ( ) = +3 12T t t y ( ) = 250PU t

a) ( )( )→+∞ →+∞ →+∞

+= = =

+25 1lim lim lim 0

1t t t

T t tPAPU t t

b) ( )( )→+∞ →+∞ →+∞

+= = =

−

2

28lim lim lim 42 3t t t

T t t tPAPU t t

c) ( )( )→+∞ →+∞ →+∞

+= = = +∞

3 12lim lim lim250t t t

T t tPAPU t



EJERCICIOS Funciones reales

57. Sean las funciones ( ) 2f x x ax b= + + y ( ) 2g x x c= − + . Determina a, b y c sabiendo que las gráficas de ambas funciones se cortan en los puntos ( )2, 3− − y ( )1, 0 .

Ambas funciones deben pasar por esos puntos, planteamos el sistema y se resuelve:

( )( )

− = − + − + − = − + ⇒ = − − = − + ⇒ =− = − − + ⇒ = + + ⇒ = + + − ⇒ = = −= + + = − + ⇒ = = − +

2

2

2

2

3 2 ( 2) 3 4 2 2 73 4 13 2

0 1 0 1 2 7 2 30 1 ·10 1 10 1

a b a b b ac cc

a b a a a ba bc cc

Las funciones son: ( ) = + −2 2 3f x x x y ( ) = − +2 1g x x

58. Encuentra la parábola que pasa por los puntos ( )0, 1A − , ( )1,2B y ( )2,3C .

La ecuación de la parábola es y = ax2 + bx + c. Planteamos el sistema:

123 4 2

ca b c

a b c

− = = + + = + +

cuyas soluciones son a = −1, b = 4 y c = −1.

La parábola es y = −x2 + 4x − 1.

59. Expresa la función ( ) 2 4 1f x x x= + − − como una función definida a trozos y dibuja su gráfica.

+ = +2 4 2 4x x si 2x ≥ − y ( )+ = − + = − −2 4 2 4 2 4x x x si x < −2

− = −1 1x x si 1x ≥ y ( )− = − − = − +1 1 1x x x si x < 1

Observa cómo queda la expresión dependiendo de los valores de x:

La expresión de f como función definida a trozos es:

( )5 si 2

3 3 si 2 15 si 1

x xf x x x

x x

− − < −= + − ≤ < + >

−2 1 ( )2 4 1 5x x x− − − − + = − − ( )2 4 1 3 3x x x+ − − + = + ( )2 4 1 5x x x+ − − = +


60. Calcula el dominio de estas funciones.

a) ( ) −= 3 6xf x e

b) ( ) 2 16f x x= +

c) ( ) =− 5

xf xx

d) ( ) = − −−3 2

2f x x

x

e) ( ) − =

21x

xf x

x

f) ( ) ( )= −ln 3 7f x x

a) ( ) = D f

b) Como x2 + 16 > 0 siempre, ( )D f = .

c) Debe ser x − 5 > 0, ( ) ( )= +∞5,D f .

d) Por un lado debe ser x − 2 ≠ 0 y por otro x − 2 ≥ 0.

Así pues, debe ser x − 2 > 0 y, por tanto, ( ) ( )2,D f = +∞ .

e) Para que la potencia esté siempre definida debe ser 1 0x

> , es decir, x > 0.

Además, para que no se anule el denominador del exponente debe ser x − 2 ≠ 0 por lo que ( ) ( ) { }0, 2D f = +∞ − .

f) Debe ser 3x − 7 > 0.

Así pues ( ) = +∞

7 ,3

D f

61. Sea la función ( ) 22 5

4xf x

x+

=−

. Calcula:

a) Su dominio. b) ¿Para qué valores de x es ( ) 0f x > ?

a) Como el denominador se anula si x = −2 o x = 2, ( ) { }2,2D f = − − .

b) Estudiamos el signo del numerador y del denominador:

5,2

−∞ −

5 , 22

− −

( )2,2− ( )2,+∞

Signo de 2x + 5 – + + +

Signo de x2 − 4 + + – +

Signo de ( )f x – + – +

( ) > 0f x en ( )5 , 2 2,2

− − ∪ +∞


Operaciones con funciones 62. Escribe las siguientes funciones como composición de funciones elementales.

a) ( ) ( )= − 125 2A x x

b) ( ) −= 1cos xB x e

c) ( ) = 21

lnC x

x

d) ( ) =5sen xD x e

a) ( ) ( ) ( ) ( )( )= − = ⇒ =

125 2;f x x g x x A x g f x

b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )= − = = = ⇒ = 1; ; ; cosxf x x g x e h x x p x x B x p h g f x

c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )= = = ⇒ =

2 1; ln ;f x x g x x h x C x h g f xx

d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )= = = = ⇒ =

5; sen ; ; xf x x g x x h x x p x e D x p h g f x

63. Sea ( ) 11

f xx

=+

.

a) Calcula la función ( )( )f f x .

b) Catalina asegura que ( ) ( )1 0f f − = y Gloria afirma que ( ) ( )1f f − no existe. ¿Quién de las dos tiene razón?

a) ( )( ) + = = = + + ++

1 1 111 21

1

xf f x fx x

x

b) Gloria tiene razón, pues como ( ) { }1D f = − − , x = −1 no está en el dominio de ( )f f .

64. Calcula la función inversa de:

a) ( ) 3 8f x x= −

b) ( ) −=

2 53

xf x

a) ( )− = +31 8f x x

b) ( )− +=1 3 5

2xf x


65. Sean las funciones f y g definidas así:

( ) 5 7 si 11 3 si 1

x xf x

x x− < −

= − ≥ − ( ) 3 2 si 2

7 si 2x x

g xx x

− <= + ≥

Encuentra la expresión de la función suma:

La expresión de la función suma es: ( )3 4 si 14 5 si 1 28 2 si 2

x xs x x x

x x

− < −= − − ≤ < − ≥

Límite de una función en un punto

66. La función ( )f x no está definida para x = 1. Observando la tabla de valores siguiente, contesta razonadamente:

x 0,99 0,999 1,001 1,01

f(x) 3,02 3,001 −2,99 −2,95

a) ¿Existe ( )→1

limx

f x ? b) ¿Crees que existe ( ) 2

1lim ?x

f x→

a) Parece que no, pues a la vista de los datos parece que ( )

1lim 3

xf x

−→= y ( )

1lim 3

xf x

+→= − .

b) Parece que sí; por lo visto en el apartado a, sería [ ]2

1lim ( ) 9x

f x→

= .

67. La función ( )3

284

xf xx

−=

− no está definida para x = 2. Con ayuda de la calculadora obtén el límite ( )

2limx

f x→

.

x 1,9 2,1 1,99 2,01

f(x) 2,925 64 3,075 61 2,992 51 3,007 51

A la vista de los datos, parece que ( )2

lim 3x

f x→

= .

−1 2 ( ) 5 7f x x= −

( ) 3 2g x x= −

( ) 3 4s x x= −

( ) 1 3f x x= −

( ) 3 2g x x= −

( ) 4 5s x x= −

( ) 1 3f x x= −

( ) 7g x x= +

( ) 8 2s x x= −


68. Si ( )lim 3x a

f x→

= y ( )lim 5x a

g x→

= , calcula, en cada caso, el siguiente límite.

a) ( ) ( )→

+ limx a

f x g x

b) ( ) ( )→

− limx a

f x g x

c) ( ) ( )→

− lim 3x a

f x g x

d) ( )→

2lim

x af x

e) ( ) ( )→

+ 2lim 2

x af x g x

f) ( ) ( )→

+ + 2lim 2

x af x g x

g) ( )( )→

2

limx a

f xg x

h) ( ) ( ) ( )+

→

2lim f x g x

x af x

a) ( ) ( ) ( ) ( )

→ → →+ = + = + = lim lim lim 3 5 8

x a x a x af x g x f x g x

b) ( ) ( ) ( ) ( )→ → →

− = − = − = − lim lim lim 3 5 2x a x a x a

f x g x f x g x

c) ( ) ( ) ( ) ( )→ → →

− = − = − = lim 3 3 lim lim 9 5 4x a x a x a

f x g x f x g x

d) ( ) ( )→ →

= = =

22 2lim lim 3 9

x a x af x f x

e) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )→ → →

+ = + = + ⋅ =

22 2lim 2 lim 2 lim 3 2 5 169

x a x a x af x g x f x g x

f) ( ) ( ) ( ) ( )( )→ →

+ + = + + = + + = 2 2lim 2 lim 2 9 5 2 4

x a x af x g x f x g x

g) ( )( )

( )( )

( )( )

→

→ →→

= = = =

222 2lim 3 9lim limlim 5 25x a

x a x ax a

f xf x f xg x g x g x

h) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

→ →++ ⋅ +

→ → = = =

2 lim lim2 2 3 5 11lim lim 3 3x a x af x g xf x g x

x a x af x f x


69. Dibuja, aproximadamente, en cada caso una gráfica para una posible función que se comporte de la siguiente manera cerca de x = 2.

a) ( ) =2 1f y ( )2

lim 1x

f x→

=

b) ( ) =2 1f , ( )−→

=2

lim 1x

f x y ( )+→

= −2

lim 1x

f x

c) ( ) =2 2f , ( )−→

=2

lim 1x

f x y ( )+→

=2

lim 3x

f x

d) ( )2f no está definida, ( )−→

=2

lim 1x

f x y ( )+→

=2

lim 1x

f x .

e) ( )2f no está definida, ( )−→

=2

lim 1x

f x y ( )+→

=2

lim 2x

f x .

f) ( )2f no está definida, ( )2

lim 1x

f x−→

= y ( )2

limx

f x+→

no existe.

a) d)

b) e)

c) f)


70. La función f está definida a trozos.

( )2

1

1 si 11

si 1x

x xf x xe x+

−≤ −= +

> −

a) Ayudándote de la calculadora, obtén los límites laterales ( )1

limx

f x−→−

y ( )1

limx

f x+→−

.

b) Decide si existe o no el límite ( )1

lim .x

f x→−

a)

x −1,1 −1,01 −0,9 −0,99 f(x) −2,1 −2,01 1,105 171 1,010 05

b) ( )−→−

= −1

lim 2x

f x y ( )+→−

=1

lim 1x

f x , luego no existe ( )1

lim .x

f x→−

71. ¿Existe el límite 3

3lim

3x

xx→

−−

?

− −→ →

− − += = −

− −3 3

3 3lim lim 13 3x x

x xx x

, + +→ →

− −= =

− −3 3

3 3lim lim 13 3x x

x xx x

, luego el límite no existe.

72. Calcula 1

0lim x

xx

+→.

x 0,1 0,01

f(x) 0,110 = 0,000 000 000 1 0,01100 = 0,000 0…

1

0lim 0x

xx

+→=


Límites infinitos y en el infinito 73. Dibuja posibles gráficas para las siguientes cuatro funciones.

a) ( )+→

= +∞2

limx

f x y ( )−→

= +∞2

limx

f x

b) ( )+→

= +∞2

limx

g x y ( )−→

= −∞2

limx

g x

c) ( )+→

= −∞2

limx

h x y ( )−→

= +∞2

limx

h x

d) ( )+→

= −∞2

limx

i x y ( )−→

= −∞2

limx

i x

a) c)

b) d)


74. Las gráficas siguientes corresponden a cuatro funciones que no están definidas en x = 1. Asocia cada gráfica con alguna de estas funciones.

( ) 21

1f x

x=

− ( )

( )21

1g x

x=

− ( ) 1

1h x

x=

− ( )

( )22

1

1i x

x=

−

I. III.

II. IV.

I. ( ) =−2

11

f xx

II. ( ) =−1

1h x

x III. ( )

( )21

1g x

x=

− IV. ( )

( )22

1

1i x

x=

−

Cálculo de límites


a) ( )→+∞

+ +2lim 3 1x

x x d) ( )→−∞

+ +2lim 3 1x

x x

b) ( )→+∞

− + +2lim 4 5x

x x e) ( )→−∞

− + +2lim 4 5x

x x

c) ( )→+∞

−2 4limx

x x f) ( )→−∞

−2 4limx

x x

a) ( )→ +∞

+ + = +∞2lim 3 1x

x x

b) ( )→ +∞

− + + = −∞2lim 4 5x

x x

c) ( )→ +∞

− = −∞2 4limx

x x

d) ( )→ −∞

+ + = +∞2lim 3 1x

x x

e) ( )→ −∞

− + + = −∞2lim 4 5x

x x

f) ( )→ −∞

− = −∞2 4limx

x x



a) →+∞

++

29 3lim2 5x

xx

b) ( )→+∞+ + −2lim 9 4 1 3

xx x x

a) → +∞ → +∞ → +∞ → +∞

+ + + + + = = = = =+ + + + +

22 2 2 2

3 3 39 9 99 3 9 0 3lim lim lim lim

5 5 52 5 2 0 22 2 2x x x x

x xx x x xx x x

x x x

b) ( ) ( )( )→ +∞ → +∞ → +∞

+ + − + + + + + −+ + − = = =

+ + + + + +

2 22 2

2

2 2

9 4 1 3 9 4 1 3 9 4 1 9lim 9 4 1 3 lim lim9 4 1 3 9 4 1 3x x x

x x x x x x x x xx x xx x x x x x

22

1 14 4 4 0 2lim lim34 1 9 0 0 34 1 9 39 3

x x

xx x

xxx xx

→ +∞ → +∞

+ + + = = = = + + +

+ + ++ + +


a) ( )→+∞

+ −lim 3x

x x

b) →+∞ + − −

1lim1 1x x x

a) ( ) ( ) ( )→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

+ − + + + −+ − = = = =

+ + + + + +

3 3 3 3lim 3 lim lim lim 03 3 3x x x x

x x x x x xx xx x x x x x

b) ( ) ( )→+∞ →+∞

+ + −= =

+ − − + − − + + −

1 1 1lim lim1 1 1 1 1 1x x

x xx x x x x x

( ) ( )1 1 1 1lim lim1 1 2x x

x x x xx x→+∞ →+∞

+ + − + + −= = = +∞

+ − −


78. Calcula estos límites. No olvides estudiar, si es necesario, los límites laterales.

a) ( )→

+−

2

3

1lim

3x

xx

c) →−

++1

2 1lim1x

xx

b) → −21

1lim1x x

d) →

− +− −

2

22

5 6lim4 4x

x xx x

a) ( )→

+−

2

3

1lim

3x

xx

. No existe, pues

( )

( )

2

32

3

1lim

3 .1

lim3

x

x

xxxx

−

+

→

→

+= −∞

−

+ = +∞ −

b) → −21

1lim1x x

. No existe, pues 21

21

1lim1 .1lim1

x

x

x

x

−

+

→

→

= −∞ − = +∞ −

c) → −

++1

2 1lim1x

xx

. No existe, pues 1

1

2 1lim1 .2 1lim1

x

x

xxxx

−

+

→ −

→ −

+ = +∞ + + = −∞ +

d) ( )( )

( )( )( )→ − → →

− − −− += =

−− + −

2

2 21 2 2

2 3 35 6lim lim lim24 4 2x x x

x x xx xxx x x

. No existe, pues

( )( )( )( )

2

2

3lim

2 .3lim

2

x

x

xxxx

−

+

→

→

−= +∞ −

− = −∞ −


a) →−

+ −

− −1

2 1lim8 3x

xx

b) →

+

+ − +1

8lim3 2 2x

xx x

a) ( )( )( )( )→ − → − → −

+ − ++ − + − + + − += = =

− − − − + + − + − − + +1 1 1

1 8 32 1 2 1 2 1 8 3lim lim · · lim8 3 8 3 2 1 8 3 1 2 1x x x

x xx x x xx x x x x x

( )1

8 3 6lim 322 1x

xx→ −

− += = = −

−− + +

b) Este límite no existe, pues:

( )( ) ( )

( )1 1 1

8 3 2 2 8 3 2 28lim lim lim( 1)3 2 2 3 2 2 3 2 2x x x

x x x x x xxxx x x x x x→ → →

+ + + + + + + ++= = =

− −+ − + + − + + + +

( )

( )1

1

8 3 2 2lim

( 1)8 3 2 2

lim( 1)

x

x

x x x

xx x x

x

−

+

→

→

+ + + + = +∞ − −=

+ + + += −∞

− −



a) ( )→+∞

−lim 20x

x x

b) ( )( )→+∞

− +

− +2

3 2 1lim

4 3 1x

x xx x

c) ( )→−∞

+2lim 25 3000x

x x

d) ( )→−

+

+

2

22

2lim2x

xx

e) →0

5limx x

f) ( )( )−

→+

121

1lim 3

x

xx

a) ( )→ +∞ → +∞

− = − = −∞

20lim 20 lim 1x x

x x xx

b) ( )( )→ +∞ → +∞ → +∞

− + − ⋅ + − + ⋅ = = = = − + − + − +

22

2 2

3 1 3 11 2 1 23 2 1 1 2 1lim lim lim3 1 3 1 4 24 3 1 4 4

x x x

x xx x x x x xx x x

x xx x

c) ( )→ −∞ → −∞

+ = + = +∞

2 2 3000lim 25 3000 lim 25x x

x x xx

d) ( )

2

22

2lim2x

xx→ −

+

+ el numerador tiende a 6 y el denominador, que es siempre positivo, tiene a cero por lo que

( )

2

22

2lim2x

xx→ −

+= +∞

+

e) →0

5limx x

no existe pues −→

= −∞0

5limx x

y +→

= +∞`0

5limx x

f) ( )( )

121

1lim 3

x

xx

−

→+ . La base tiende a 4 y el exponente tiende a +∞, por tanto: ( )

( )1

21

1lim 3 .

x

xx

−

→+ = +∞



a) →

−

−1

1lim1x

xx

b) ( )→ + −20

lim1 1x

xx

c) →

+−

2

22

3limx

x xx x

d) →−

+−

2

23

3limx

x xx x

e) →−

+−

2

21

3limx

x xx x

f) →

+−

2

20

3limx

x xx x

g) →

−− +

2

21

1lim3 2x

xx x

h) →

+ −

−

2

9

90lim3x

x xx

a) ( )→ → →

− − += = + =

− − +1 1 1

1 1 1lim lim · lim 1 21 1 1x x x

x x x xx x x

b) ( ) ( )→ →

= =++ −20 0

1lim lim2 21 1x x

x xx xx

c) →

+ += = =

−−

2

22

3 4 6 10lim 54 2 2x

x xx x

d) →−

+ −= =

+−

2

23

3 9 9lim 09 3x

x xx x

e) →−

+ −= = −

+−

2

21

3 1 3lim 11 1x

x xx x

f) ( )( )→ → →

++ += = = = −

− − −−

2

20 0 0

33 3 3lim lim lim 31 1 1x x x

x xx x xx x xx x

g) ( )( )( )( )→ → →

− +− += = = −

− − −− +

2

21 1 1

1 11 1lim lim lim 21 2 23 2x x x

x xx xx x xx x

h) ( )( ) ( )( )( )→ → →

− + +− ++ − += ⋅ = =

−− − +

2

9 9 9

9 10 39 1090 3lim lim lim93 3 3x x x

x x xx xx x xxx x x

( ) ( )

9lim 10 3 19 6 114x

x x→

= + + = ⋅ =



a) −→

−−20

1limx

xx x

b) +→

−−20

1limx

xx x

c) +→

−−

4

3 22

3lim2x

x xx x

d) −→

−−

4

3 22

3lim2x

x xx x

e) −→

− + 0

2 3lim1x x x

f) +→

+ +−

2

3

6 9lim3x

x xx

a) ( )− − −→ → →

− −= = = −∞

−−20 0 0

1 1 1lim lim lim1x x x

x xx x xx x

b) ( )+ + +→ → →

− −= = = +∞

−−20 0 0

1 1 1lim lim lim1x x x

x xx x xx x

c) +→

−= +∞

−

4

3 22

3lim2x

x xx x

d) −→

−= −∞

−

4

3 22

3lim2x

x xx x

e) −→

− = −∞ + 0

2 3lim1x x x

f) +→

+ += +∞

−

2

3

6 9lim3x

x xx


83. Calcula estos límites en el infinito.

a) →+∞

−+

3 2lim2 5x

xx

b) →+∞

−+

5lim5x

xx

c) ( )→+∞

−lim 3 5x

x x

d) ( )→+∞

− +3 2lim 3 2x

x x x

e) →+∞

− + 2 2lim

3 2 1x x x

f) →+∞

− + 2 1 1lim

1xx

x x

g) →+∞

+ + − + 1 2lim

1x

x xx x

h) ( )( )( )→+∞

− −

− 2

2 8 3lim

2 1x

x x

x

a) →+∞

−=

+3 2 3lim2 5 2x

xx

b) →+∞

−= −

+5lim 1

5x

xx

c) ( )→+∞

− = +∞lim 3 5x

x x

d) ( )→+∞

− + = +∞3 2lim 3 2x

x x x

e) →+∞

− = − = +

2 3lim 0 0 03 2 1x x x

f) ( )→+∞ →+∞ →+∞

+ − − = = = + + +

2 21 1 1lim lim lim 11 1 1x x x

x x xx xx x x x x

g) →+∞

+ + − = − = + 1 2lim 1 1 0

1x

x xx x

h) ( )( )( )→+∞

− −= −

− 2

2 8 3lim 2

2 1x

x x

x



a) →+∞

+

23lim 1x

x x c)

→+∞

−

3

lim2 7

x

x

xx

e) ( )21

1

1lim x

xx −

→ g)

23 22

25lim

3

x

x

xx x

+

→+∞

− −

b) →+∞

+ −

52lim7

x

x

xx

d) ( ) ( )

22lim

1 1

x

x

xx x

+

→+∞

− +

f) ( )12

0lim 1

x

xx

→+ h)

+

→+∞

− +

2 15lim7

x

x

xx

a) →+∞ →+∞ →+∞

+ = + = + =

6623 3 63 1 1lim 1 lim 1 lim 1

3 3

x xx

x x xe

x xx.

b) →+∞

⋅− −

−→+∞ →+∞ →+∞

+ = + = + = = −− −

97 5 7 9 9lim5 5 9 5 35 52 9 1lim lim 1 lim 1

77 79

x

xx x x x x

xx x x

x e exx x

.

c) 3

lim2 7

x

x

xx→+∞

−

La base tiende a 12

y el exponente a +∞ por lo que 3

lim 02 7

x

x

xx→+∞

= − .

d) ( )( )

→+∞

++ +− −

−→+∞ →+∞

= + == = = − + −

2 22

22 212 1 lim

0121lim lim 1 1

1 1 1x

xx xx x

xx x

x e ex x x

.

e) ( ) −− −

→ → →

= + − = + = −

11 1 11 11 1 1

1lim lim 1 1 lim 11

1

xx xx x x

x x e

x

.

f) ( ) →

→ →

+ = + =

02

11 11 lim

0 0

1lim 1 lim 11

x

xx xx

x xx e

x

. Como 0

1lim0x xe −→ = y 0

1limx xe +→ = +∞ , no existe el límite pedido.

g)

−+ ⋅

− −+ +−

→+∞ →+∞ →+∞

− − = + = + = − − −

−

22 22 2

3 53 23 33 2 3 22 3 5

2 2 25 3 5 1lim lim 1 lim 1

3 3 33 5

xxx x x xx x

x

x x x

x xx x x x x x

x

( )( )2

2

3 2 3 5lim

3x

x x

x xe →+∞

+ −

−= = +∞

h)

++ ⋅− −+ +

+

→+∞ →+∞ →+∞

− − = + = + = ++ + −

22 2

7112 121 175 12 1lim lim 1 lim 1

77 712

xxx x

x

x x x

xxx x

( )( )2 1 7lim

12 0x

x x

e →+∞

+ +−

= =


85. Calcula este límite: 20

0,000 01limx

xx→

−

20

0,000 01lim ,x

xx→

−= −∞ pues el numerador tiende a −0,000 01 y el denominador es positivo y tiende a cero. Si este

límite se aproxima con la calculadora, se deben tomar valores de x menores que 0,000 01.

86. Calcula el valor de a para que se verifique que: ( )2lim 1 2x

x ax x→+∞

+ + − =

( ) ( ) ( )( ) ( )

2 22

2 2

1 1 1lim 1 lim lim 221 1x x x

x ax x x ax x ax ax ax xx ax x x ax x→+∞ →+∞ →+∞

+ + − + + + ++ + − = = = =

+ + + + + + .

Luego a = 4

Continuidad de una función en un punto y en un intervalo

87. Estudia la continuidad de las funciones siguientes.

a) ( ) = senf x x e) ( ) = −2 lnf x x x

b) ( ) = + 2xf x xe x f) ( ) = + 2f x x

c) ( ) +=

−213

xf xx

g) ( ) +=

1xf xx

d) ( ) +=

+2125

xf xx

h) ( ) +=

−

2

21

25xf x

x

a) ( ) senf x x= Es continua en todo .

b) ( ) 2xf x xe x= + Es continua en todo por ser producto y suma de continuas.

c) ( ) +=

−213

xf xx

Es continua en { }3, 3− − .

d) ( ) 2125

xf xx

+=

+ Es continua en todo por ser cociente de continuas y no anularse nunca el

denominador.

e) ( ) = −2 lnf x x x Es continua en ( )+∞0, .

f) ( ) 2f x x= + Es continua en todo .

g) ( ) 1xf xx+

= Es continua en { }0− .

h) ( )2

21

25xf x

x+

=−

Es continua en { }5, 5− − .


88. Sea ( )2

2

2 1 si 13 si 1

x ax xf x

x x b x − + ≤=

− + − >. Determina los valores a y b que hacen que f sea continua en x = 1 y que

3 12 4

f =

.

( ) ( ) ( )2

1 1lim lim 2 1 2 1 3 1

x xf x x ax a a f

− −→ →= − + = − + = − =

( ) ( )2

1 1lim lim 3 1 3 2

x xf x x x b b b

+ −→ →= − + − = − + − = −

Para que sea continua en x = 1 debe ser 3 − a = 2 − b, es decir, a = b + 1.

Como 23 3 3 13

2 2 2 4f b = − + ⋅ − =

, entonces 9 9 1 2

4 2 4b = − + − = .

Luego para que se cumplan ambas condiciones debe ser a = 3 y b = 2.

89. Estudia la continuidad de: ( )2

2

16 si 2 2si 2 3

x xf x

x x − − ≤ <=

≤ ≤

La función es continua en [ )−2,2 y en [ ]2, 3 por ser continuas las funciones 16 − x2 y x2.

Debemos estudiar qué ocurre en x = 2:

( )( ) ( )( ) ( )

2

2 222

2 2

lim lim 16 12lim

lim lim 4 2x x

xx x

f x xf x

f x x f− −

+ +

→ →→

→ →

= − == = = =

La función no es continua en x = 2, pues no existe ( )2

limx

f x→

al no coincidir los límites laterales. Es una

discontinuidad de salto finito.

90. Se considera la función real de variable real definida por:

( )2

24 si 2

5 63 si 2

x xf x x xx m x

−<= − +

+ ≥

a) Calcula el valor del parámetro real m para que la función f sea continua en x = 2.

b) Calcula ( )→−∞lim

xf x y ( )

→+∞lim

xf x .

a) ( )( ) ( )( )

( )( )

( ) ( ) ( )

− − −

+ +

→ → →

→

→ →

− +−= = = − − −− +=

= + = + =

2

22 2 2

2

2 2

2 24lim lim lim 42 35 6

lim

lim lim 3 6 2

x x x

x

x x

x xxf xx xx x

f x

f x x m m f

Para que sea continua debe ser −4 = 6 + m, luego m = −10.

b) ( )→−∞ →−∞

−= =

− +

2

24lim lim 1

5 6x x

xf xx x

( ) ( )lim lim 3

x xf x x m

→+∞ →+∞= + = +∞


91. Se considera la función: ( )2 9 si 0

9 27 si 03

x xf x x x

x

− ≤= −

> +

a) Estudia la continuidad en el punto x = 0.

b) Calcula el límite cuando x tiende a −∞ y cuando x tiene a +∞.

a) ( ) ( ) ( )

( )

2

0 0

0 0

lim lim 9 9 0

9 27lim lim 93

x x

x x

f x x f

xf xx

− −

+ +

→ →

→ →

= − = − = −

= = −+

. Luego la función es continua en x = 0.

b) ( ) ( )( )

→−∞ →−∞

→+∞ →+∞

= − = +∞ −

= = +

2lim lim 99 27lim lim 9

3

x x

x x

f x xxf xx

92. Se considera la función real de variable real definida por: ( ) 2

si 12 si 1 3

si 3

x a xf x x x

x b x

+ <= − ≤ ≤ + >

Determina a y b para que f sea continua en todo . Como las funciones ( )g x x a= + , ( ) 2 2h x x= − y ( )i x x b= + son continuas cualesquiera sean a y b, solo debemos estudiar los límites laterales en x = 1 y x = 3.

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )− −

+ +

→ →

→

→ →

= + = +=

= − = − =

1 121

1 1

lim lim 1lim

lim lim 2 1 1x x

xx x

f x x a af x

f x x f⇒ 1 + a = −1 ⇒ a = −2

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )− −

+ +

→ →

→

→ →

= − = ==

= + = +

2

3 33

3 3

lim lim 2 7 3lim

lim lim 3x x

xx x

f x x ff x

f x x b b ⇒ 3 + b = 7 ⇒ b = 4

Los valores buscados son a = −2 y b = 4.

93. Calcula los valores de ,a b ∈ para que la función: ( )

si 01 1 si 0 1

3si 1

x a xx xf x x

xbx x

+ ≤

+ − −= < <

≥

sea continua en

todo punto. Debemos ver qué ocurre en x = 0 y en x = 1, ya que en el resto es continua.

( )( )

( ) ( )

0 0

00 0 0 0

lim lim ( ) (0)

lim : 1 1 1 1 1 1 2 1lim lim lim · lim3 3 31 1 3 1 1

x x

xx x x x

f x x a a f

f x x x x x x x xf xx x x x x x x

− −

+ + + +

→ →

→→ → → →

= + = =

+ − − + − − + + − = = = = + + − + + −

Para que sea continua en x = 0, debe ser a = 13

.

( ) ( )( ) ( )

1 11

1 1

1 1 2lim limlim : 3 3

lim lim 1x x

x

x x

x xf xf x x

f x bx b f− −

+ +

→ →→

→ →

+ − −= =

= = =

⇒ Para que sea continua en x = 1, debe ser 23

b = .


94. Estudia la continuidad de: ( ) 2

2 si 21

3 2 si 22

x xxf xx x xx

+ ≤ −= − >

+

En ( ) { },2 1−∞ − , la función es continua, y en ( )2,+∞ también, por ser cocientes de polinomios y no anularse los denominadores. Veamos qué ocurre si x = 1 y si x = 2:

( )( )

( )1 1

1

1 1

2lim lim1lim : 2lim lim1

x xx

x x

xf xxf x xf xx

− −

+ +

→ →→

→ →

+ = = −∞ − + = = +∞−

⇒ La función tiene una discontinuidad de salto infinito en x = 1.

( )( ) ( )

( )2 2

22

2 2

2lim lim 4 21lim :

3 2lim lim 22

x xx

x x

xf x fxf x

x xf xx

− −

+ +

→ →

→

→ →

+ = = = − − = = +

⇒ La función tiene una discontinuidad de salto finito en x = 2.

Así pues, la función es continua en { }1,2− .

95. Dada la siguiente función real de variable real:

( )( )

3

2

si 0

1 si 02

xe xf x x x

x

<

= + ≥ −

Estudia su continuidad.

La función ( ) xg x e= es continua en todo , la función ( )( )

3

2 12

xh xx

= +−

no está definida si x = 2 y es continua

en su dominio, por lo que el dominio de la función f es ( ) { }2D f = − .

Estudiemos la continuidad en x = 0.

( )( )

( )( )

( )

0 03

020 0

lim lim 1

limlim lim 1 1 0

2

x

x x

x

x x

f x e

f x xf x fx

− −

+ +

→ →

→

→ →

= ==

= + = = −

Así pues, la función es continua en { }2− .

96. Sea la función:

( )( )

1

2

si 1

si 1

xe xf x

x a x

− <= + ≥

¿Para qué valores del parámetro a es continua la función? La función es continua si x ≠ 1.

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

1

1 12 21

1 1

lim lim 1lim :

lim lim 1 1

x

x xx

x x

f x ef x

f x x a a f− −

+ +

−

→ →

→→ →

= =

= + = + =

Debe ser ( )21 1a+ = , a = 0 o a = −2.


97. Determina el valor de a para que sea continua en x = −1 la función:

( )3 2

si 113 6 2 si 1

ax xf x x

x x x x

≤ −= − − + − > −

( )( )

( ) ( ) ( )1 1

1 3 2

1 1

lim lim1 2lim 12; 24

2lim lim 3 6 2 12 1x x

x

x x

ax af x axf x af x x x x f

− −

+ +

→− →−→−

→− →−

= = −= ⇒ = − = − = − + − = − = −

Para que la función sea continua en x = −1 debe ser a = −24.

98. Determina a y b para que la siguiente función sea continua en todos sus puntos:

( )

2 si 0si 0 1

si 1

ax b xf x x a x

a b xx

+ <

= − ≤ < + ≤

Como a bx

+ es continua en ( )1,+∞ , solo debemos estudiar qué ocurre en x = 0 y en x = 1.

( )( ) ( )( ) ( ) ( )

2

0 00

0 0

lim limlim :

lim lim 0x x

xx x

f x ax b bf x

f x x a a f− −

+ +

→ →→

→ →

= + = = − = − =

⇒ Para que sea continua, debe ser b = −a.

( )( ) ( )

( ) ( )1 1

11 1

lim lim 1lim :

lim lim 1x x

xx x

f x x a af x af x b a b f

x

− −

+ +

→ →

→

→ →

= − = −

= + = + =

⇒ Para que sea continua en x = 1, debe ser 1 − a = a + b.

Resolviendo el sistema {1 b aa a b

= −− = + obtenemos a = 1, b = −1.

99. Se considera la función:

( ) 1 si 25 si 2

x t xf x

x x− − − ≤

= − >

Halla el valor de t para que f sea continua en x = 2.

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

− −

+ +

→ →

→

→ →

= − − − = − == = − = −

2 2

2

2 2

lim lim 1 3 2

limlim lim 5 3

x x

x

x x

f x x t t f

f xf x x

⇒ 3 − t = −3 ⇒ t = 6


Teoremas relacionados con la continuidad 100. Demuestra que la ecuación x5 − x2 + x − 5 = 0 tiene alguna solución real.

( ) 5 2 5f x x x x= − + − es continua en [ ]0,2 , ( )0 5 0f = − < y ( )2 25 0f = > . Usando el teorema de Bolzano

sabemos que hay un número c entre 0 y 2 con c5 − c2 + c − 5 = 0.

101. Demuestra que la ecuación x3 + x − 5 = 0 tiene al menos una solución real menor que 2 y mayor que 1.

( ) 3 5f x x x= + − es continua en [ ]1,2 , ( )1 3 0f = − < y ( )2 5 0f = > . Usando el teorema de Bolzano sabemos que

hay un número c entre 1 y 2 con c3 + c − 5 = 0.

Síntesis

102. Pon un ejemplo de dos funciones f y g tales que se cumplan las condiciones:

1. No existan ( )1

limx

f x→

ni ( )1

limx

g x→

.

2. Exista ( ) ( )( )1

limx

f x g x→

+ .

Si ( ) 11

xf xx

+=

− y ( ) 1

1x xg x e

x+

= −−

, se cumplen las condiciones. En general, si ( )H x es una función tal que existe

( )1

limx

H x→

y F(x) otra función con ( )1 0F ≠ , las condiciones se cumplen para ( ) ( )1

F xf x

x=

− y ( ) ( ) ( )

1F x

g x H xx

= −−

.

103. Calcula los límites siguientes.

a) →−∞

−+

3lim5x

xx

c) ( )3 2lim 3 25x

x x x→−∞

− + e) 31

1 3lim1 1x x x→

− − −

b) ( )→+∞

+ −lim 2 5x

x x d) ( ) ( )

212 7 1lim2 1 1 4x

x xx x→−∞

− + ++ −

f) 1

3

5lim1

x

x

xx

−

→

+ −

a) →−∞

−= −

+3lim 15x

xx

b) ( ) ( ) ( )( ) ( )→+∞ →+∞ →+∞

+ − + + ++ − = = = +∞

+ + + +

2 5 2 5 5lim 2 5 lim lim2 5 2 5x x x

x x x x xx xx x x x

c) ( )→−∞

− + = −∞3 2lim 3 25x

x x x

d) ( )( )→−∞

− + + −= =

+ − −

212 7 1 12 3lim2 1 1 4 8 2x

x xx x

e) ( )( ) ( )( )

( )( )( )→ → → →

− ++ − − = − = = = − −− − + + − + + − + +

2

3 2 2 21 1 1 1

1 21 3 1 3 2lim lim lim lim1 11 1 1 1 1 (1 ) 1x x x x

x xx xx xx x x x x x x x x x

( )( )→

− += = −

+ +21

2lim 1

1x

xx x

f) −

→

+ = = −

12

3

5lim 4 161

x

x

xx


104. Calcula los límites siguientes.

a) →

−−

4

2

16lim2x

xx

e) →+∞

+ −−

23 7 5lim2 9x

x xx

b) ( )→+∞− +2lim 4 3

xx x x f) 21

3lim2 1x

xx x→

−− +

c) →

−2

5lim 9x

x g) 2

5lim4 2x

x

x x→+∞

+

− +

d) ( )→

+ −

+ 20

5 3 1lim1

x

x

xx

h) 2

2

7 10lim2x

x xx→

− +−

a) ( ) ( )( ) ( ) ( )

→ → →

+ − +−= = + + = =

− −

242

2 2 2

4 2 216lim lim lim 4 2 8·4 322 2x x x

x x xx x xx x

b) ( ) ( )( )( ) ( )→+∞ →+∞ →+∞

− + + + − −− + = = = −∞

+ + + +

2 2 22

2 2

4 3 4 3 3 3lim 4 3 lim lim4 3 4 3x x x

x x x x x x x xx x xx x x x x x

c) →

− = − =2 2

5lim 9 5 9 4x

x

d) ( )→

+ − + −= =

+ 20

5 3 1 1 0 1lim 011

x

x

xx

e) →+∞

+ −=

−

23 7 5 3lim2 9 2x

x xx

f) ( )→ →

− −= = −∞

− + −2 21 1

3 3lim lim2 1 1x x

x xx x x

g) →+∞

+=

− +2

5 1lim24 2x

x

x x

h) ( )( ) ( )→ → →

− −− += = − = −

− −

2

2 2 2


x xx x xx x

105. La función ( )f x está definida en por: ( )2 1 si 2

si 2x xf xa x x

− ≤=

− >

a) Calcula el valor de a para que f sea continua en .

b) Calcula el valor de a para que la función tenga en x = 2 un salto de 3 unidades hacia arriba.

c) Calcula el valor de a para que la función tenga en x = 2 un salto de 5 unidades hacia abajo.

a) Miremos qué ocurre en x = 2:

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

2 22

2 2

lim lim 1 3 2lim :

lim lim 2x x

xx x

f x x ff x

f x a x a− −

+ +

→ →→

→ →

= − = = = − = −

⇒ Para que sea continua debe ser a − 2 = 3 ⇒ a = 5.

b) Para que tenga un salto de tres unidades hacia arriba debe ser a − 2 = 6 ⇒ a = 8.

c) Para que tenga un salto de cinco unidades hacia abajo debe ser a − 2 = −2 ⇒ a = 0.


106. Estudia si la función ( )2 1

1xf xx

−=

− es continua en x = 1.

La función no está definida en x = 1 por lo que no es continua.

Calculando los límites laterales obtenemos:

( ) ( ) ( )

( )( )

2

1 1 1 1

1 11lim lim lim lim 1 21 1x x x x

x xxf x xx x− − − −→ → → →

− +−= = = − + = −

− − −

( ) ( ) ( )

( )( )

2

1 1 1 1

1 11lim lim lim lim 1 21 1x x x x

x xxf x xx x+ + + −→ → → →

− +−= = = + =

− −

Luego la función tiene una discontinuidad de salto finito en x = 1.

CUESTIONES

107. Dadas las funciones ( ) 11

f xx

=−

y ( ) 12

g xx

=−

, se verifica que:

( ) ( ) 1 21 31

2

xf g xx

x

−= =

−−−

¿Es correcto afirmar que ( ) { }3D f g = − .

No es correcto decir ( ) { }= − 3D f g pues 2 no está en ( )D f g ya que no existe ( )2g . ( ) { }= − 3,2D f g .

108. Determina el dominio de la función: ( ) ( )1 ln 1f x x x= − + − .

Un número x estará en ( )D f si x − 1 ≥ 0 y 1 − x > 0, es decir: x ≥ 1 y x < 1. Como esas dos condiciones son

incompatibles, no hay ningún número x que esté en ( )D f .

109. ¿Existen valores de a y b para los que la función ( )

2 si 1si 1 3

4 si 3

x ax xf x bx x

ax x

+ ≤= < ≤ + >

sea continua en ?

Para que f sea continua en debe serlo, en particular, en x = 1 y en x = 3.

La exigencia de continuidad en x =1 nos obliga a escribir ( ) ( )1 1

lim limx x

f x f x− +→ →

= , es decir: 1 + a = b y la continuidad

en x = 3, ( ) ( )3 3

lim limx x

f x f x− +→ →

= o sea: 3b = 3a + 4

Como no es posible que se verifiquen simultáneamente las ecuaciones 1 + a = b y 3a + 4 = 3b, no hay valores de a y b que hagan que f sea continua en .

110. Escribe dos funciones f y g, ambas con dominio , tales que ( ) ( )2 2

lim limx x

f x g x→ →

= y ( ) ( )2 2f g≠ .

Basta con que una de ellas sea discontinua en x = 2. Por ejemplo ( )2 2 si 2

27 si 2

x x xf x xx

− − ≠= − =

y ( ) 1g x x= + .


111. En la siguiente función:

( )2

21 si 3

6 81 3 si 3

x xf x x xx x

−≤= − +

− >

¿Para cuántos números reales a se verifica que el límite de ( )f x cuando x tiende a a por algún lado es más infinito o menos infinito? Si x2 − 6x + 8 = 0, x = 4 o x = 2.

Pero al ser f(x) = 1 − 3x si x > 3, el único número a para el que se cumpla lo pedido es a = 2.

112. Si f es continua en x = 2 y su gráfica pasa por el punto ( )2,0A , ¿cuál es el valor de [ ]( )2

2lim 3 ( )x

f x→

+ ?

Al ser f continua en x = 2, lo es la función ( ) ( )( )23g x f x= + , por lo que [ ]( ) ( )2 2 2

2lim 3 ( ) 3 2 3 0 3x

f x f→

+ = + = + = .

113. Sean las funciones:

( ) 221 7f x xx

= + + ( ) 21 2 7g x x= + +

¿Podemos afirmar que ( ) ( )f x g x= ?

No es cierto que ( ) ( )=f x g x si x < 0. Por ejemplo: ( )− = − = −1 1 9 2f y ( )− = + =1 1 9 4g .

La razón, está en que 2 22

22 7 7x xx

+ = +

, si x ≠ 0, no es 22 7xx

+ sino 22 7xx

+ , pero aún siendo así

( ) { }0D f = − y ( )D g = .

114. Escribe una función racional ( ) ( )( )

p xf x

q x= tal que ( )1 0p = cuyo límite cuando x tiende a 1 por algún lado

sea más infinito o menos infinito.

( ) ( ) ( )

( )

2

2 2

1 1 12 11

x x xf xx xx

− + −= =

− +−

115. Razona si se puede asegurar que la ecuación ( ) 2 0f x − = tiene alguna solución en [ ]1,4 sabiendo que:

1. f es continua en el intervalo [ ]1,4 .

2. ( )1 0f = y ( )4 3f = .

Sí, se puede asegurar que la ecuación ( ) 2 0f x − = tiene alguna solución en [ ]1, 4 .

La función ( ) ( ) 2F x f x= − cumple las condiciones del teorema de Bolzano en el intervalo [ ]1, 4 ya que es

continua allí y ( )1 2 0F = − < y ( )4 1 0F = > por lo que existe al menos un c en [ ]1, 4 con ( ) 0F c = , y, por tanto, c es una solución de la ecuación planteada.


116. ¿Hay algún valor de k para el que la función ( )2

si 11

si 1

xx xf x xk x

− ≠ −= + = −

sea continua en ?

( )

2

1 1lim lim

1x x

xf x xx− −→− →−

= − = +∞ +

por lo que, al no existir el límite lateral, la función no es continua en x = −1 sea

cual sea el valor de k.

PROBLEMAS

117. Una bombonería elabora diariamente x kg de bombones. El coste diario, en euros, de producción depende de dicha cantidad según la siguiente relación:

( ) 5 22,5C x x= +

Se estima que si se elaboran x kg diarios, un kg debe venderse a 60 − 0,5x2 €. Si cada día se vende toda la producción, encuentra una función que exprese los beneficios diarios de dicha bombonería si se cumplen las indicaciones dadas.

Si cada kilo se vende a 60 – 0,5x2 €, por los x kg producidos en un día se obtendrán unos ingresos de

( )260 0,5x x− €. Los beneficios son los ingresos menos los costes de producción. Así pues, la función que nos da

los beneficios es ( ) ( ) ( )2 360 0,5 5 22,5 0,5 37,5 5B x x x x x x= − − + = − + − €.

118. El balance económico mensual, en miles de euros, de una compañía vinícola viene dado por

( ) 53 ,2

f xx

= −+

x ≥ 0, donde x es el tiempo en años desde que se fundó la compañía. ¿A qué valor

tienden sus ganancias o pérdidas a largo plazo?

( ) 5lim 3 3

2xf x

x→+∞= − =

+. Las ganancias tienden a 3000 euros mensuales.

119. Una pieza es sometida a un proceso de modificación mediante calor durante 4 horas. La temperatura T en grados centígrados, que adquiere la pieza en función del tiempo x, en horas, viene dada por la expresión:

( ) 2 0 4T x Ax Bx x= − ≤ ≤

Se sabe que a las dos horas de comenzado el proceso la temperatura es de 40 ºC y que al acabar el proceso (T = 4) la pieza está a 0 ºC. Determinar las constantes A y B.

Sabemos que ( ) = − =2 2 4 40T A B y ( ) = − =4 4 16 0T A B .

Resolviendo el sistema obtenemos A = 40 y B = 10 y la función que nos da la temperatura en función del tiempo es ( ) 240 10T x x x= − , 0 4x≤ ≤ .


120. El precio unitario que los consumidores aceptan pagar por cierto artículo depende de la cantidad x de dichos artículos que salen a la venta, siguiendo este modelo de demanda:

( ) 565

d xx

=+

, con ( )d x en euros y x en miles de unidades.

¿Cuál es el precio unitario de este artículo en el punto de equilibrio si el modelo de oferta es ( ) 3 2o x x= + ?

Se calculan las unidades que deben ponerse a la venta para conseguir el punto de equilibrio:

( ) ( ) ( ) ( ) 256 233 2 56 3 2 5 3 17 46 0 2, x5 3

d x o x x x x x x xx

= ⇒ = + ⇒ = + + ⇒ + − = ⇒ = = −+

(que no tiene

sentido en este contexto.

Luego el punto de equilibrio se consigue poniendo a la venta 2000 unidades

El precio unitario es ( )2 3 2 2 8o = ⋅ + = euros.

121. La concentración de ozono contaminante, en microgramos por metro cúbico, en una ciudad, viene dada por la función ( ) 290 15 0,6C t t t= + − ; donde t es el tiempo transcurrido desde el 1 de enero de 1990, contado en años.

a) ¿Hasta qué año está creciendo la concentración de ozono?

b) ¿Cuál es la concentración máxima de ozono que alcanza esa ciudad?

a) Como la función de la concentración es una parábola, crecerá hasta el vértice ( )12,5;183,75V

Luego ocurrirá a mediados del año 2002 y será de 183,75 microgramos por metro cúbico.

b) La concentración máxima que alcanza esa ciudad es de 183,75 microgramos por metro cúbico.

122. Un grupo de suricatos huye de una fuerte sequía que asola su hábitat y comienza su peregrinaje en busca de agua en el instante t = 0. El número de individuos de la población sigue esta ley ( ) 2140 4P t t t= − − , donde t se mide en meses.

a) ¿Cuántos suricatos había al principio de la huida?

b) Demuestra que la población va siempre disminuyendo.

c) Finalmente no encontraron zona con agua. ¿Cuándo desapareció la población completamente?

a) ( )0 140P = . Al comienzo había 140 individuos.

b) Al ser la función una parábola cóncava hacia abajo, a la derecha del vértice que está en ( )2,144V − es siempre decreciente, luego la población va disminuyendo siempre.

c) ( ) 20 140 4 0P t t t= ⇒ − − = ⇒ t = −14 y t = 10. La población desapareció a los 10 meses de comenzar el peregrinaje.


123. El coste mensual de las llamadas telefónicas de cierta compañía se obtiene sumando una cantidad fija (en concepto de alquiler de línea) con otra proporcional a la duración de las llamadas. En dos meses distintos se han pagado 21,14 € por 13 horas y 27 minutos de llamadas y 23,60 € por 15 horas y media de llamadas.

a) Encuentra la función que nos da el coste en función de los minutos hablados.

b) ¿Cuántos céntimos cobran por cada minuto hablado?

a) ( )C t a bt= + , donde a es la cantidad fija, y b, el precio por minuto. Para hallar a y b resolvemos el sistema:

{21,14 80723,60 930

a ba b

= += +

La solución del sistema es a = 5 y b = 0,02.

( ) 5 0,02C t t= + , con t medido en minutos.

b) Cobran 0,02 céntimos por minuto.

124. El servicio de traumatología de un hospital va a implantar un nuevo sistema que pretende reducir a corto plazo las listas de espera. Se prevé que a partir de ahora, la siguiente función indicará en cada momento (t, medido en meses) el porcentaje de pacientes que podrá ser operado sin necesidad de entrar en lista de espera:

( )2 8 50 si 0 10

38 100 si 100,4

t t tP t t t

t

− + ≤ ≤= −

>

a) Confirma que dicha función es continua y que, por tanto, no presenta un salto en t = 10.

b) Por mucho tiempo que pase, ¿a qué porcentaje no se llegará nunca?

a) Si t ≠ 10, la función es continua por estar definida por un polinomio o un cociente de polinomios con

denominador no nulo en su dominio de definición.

( )( ) ( )

( )

2

10 10

10

10 10

lim lim 8 50 70 10lim : 38 100lim lim 70

0,4

t t

t

t t

P t t t fP t tP t

t

− −

+ +

→ →

→

→ →

= − + = = −

= =

⇒ Luego ( )P t es continua en t = 10.

b) ( )→+∞ →+∞

−= = =

38 100 38lim lim 950,4 0,4t t

tP tt

Nunca se llegará al 95 % de pacientes operados sin necesidad de entrar en lista de espera.

125. En el mar hay una mancha producida por una erupción submarina. La superficie afectada, en km2, viene

dada por la función ( ) 11 202

tf tt

+=

+, siendo t el tiempo transcurrido desde que empezamos a observarla.

a) ¿Cuál es la superficie afectada inicialmente, cuando empezamos a medirla?

b) ¿Tiene algún límite la extensión de la superficie de la mancha?

a) ( ) 200 102

f = = . La superficie inicialmente afectada es de 10 km2.

b) ( ) 11 20lim lim 112t t

tf tt→+∞ →+∞

+= =

+. Con el tiempo la extensión se aproximará a los 11 km2.


126. Tenemos que invertir en un fondo de inversión una cantidad de dinero mayor o igual que 1000 € y menor o igual que 9000 €. El beneficio B que se obtiene depende de la cantidad invertida x, en miles de euros, de la manera siguiente:

( ) 2

1 si 1 410 21 si 4 9

x xB x

x x x− ≤ <

= − + − ≤ ≤

a) Estudiar la continuidad de la función B en el intervalo ( )1,9 .

b) ¿Para qué valores de [ ]1,9x ∈ el beneficio es positivo?

a) ( ) ( )− −→ →

= − =4 4

lim lim 1 3x x

B x x y ( ) ( ) ( )+ +→ →

= − + − = =2

4 4lim lim 10 21 3 4

x xB x x x f por lo que la función es continua en

( )1,9 .

b) x − 1 > 0 si x > 1 por lo que en ( )1,4 la función es positiva.

( )( )− + − = − − −2 10 21 7 3x x x x es positiva en ( )3,7 y, por tanto lo es en [ )4,7

Los beneficios son positivos en el intervalo ( )1, 7 .

127. Los beneficios mensuales de un artesano, expresados en euros, que vende x objetos, se ajustan a la función ( ) 20,5 50 800B x x x= − + − , donde 20 ≤ x ≤ 60. Demuestra que las funciones beneficio y beneficio medio tienen un máximo.

La función beneficio es una parábola cóncava hacia abajo y, por tanto, alcanza su máximo en el vértice

( )50,450V .

Como 20 ≤ 50 ≤ 60, el máximo beneficio se obtiene vendiendo 50 objetos y es de 450 euros.

El beneficio medio es 20,5 50 800x x

x− + − . Como la función es continua en el intervalo [20, 60], usando el teorema

del máximo y del mínimo, concluimos que en dicho intervalo alcanza el máximo aunque aún no sabemos hallarlo.

128. Un comercio abre sus puertas a las nueve de la mañana y las cierra cuando se han marchado todos los clientes. El número de clientes viene dado por la función: ( ) 2 8C t t t= − + , siendo t el número de horas transcurridos desde la apertura. El gasto por cliente (en euros) también depende de t y decrece a medida que pasan las horas siguiendo la función: ( ) 300 25G t t= − .

a) ¿A qué hora se produce la mayor afluencia de clientes?

b) ¿A qué hora se cierra el comercio?

c) ¿Cuánto gasta el último cliente que abandonó el local?

d) Encuentra la función que nos da la recaudación dependiendo del tiempo.

e) ¿Cuándo hay mayor recaudación, a cuarta o a quinta hora?

a) Al ser ( ) 2 8C t t t= − + una parábola, su máximo lo alcanza en el vértice, que es ( )4,16V , luego la máxima

afluencia se produce a 4 horas de abrir, esto es, a las 13:00, y es de 16 clientes.

b) El negocio cierra cuando ( ) 2 8 0C t t t= − + = , a las 8 horas de abrir, o sea, a las 17:00.

c) El último cliente abandona el local cuando t = 8 y gasta ( )8 300 25 8 100G = − ⋅ = euros.

d) La recaudación en una hora es el producto del número de clientes en esa hora por el gasto de cada cliente en esa hora. Así pues, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 8 300 25R t C t G t t t t= = − + − .

e) ( ) ( ) ( )= − + ⋅ − ⋅ =24 4 8 4 300 25 4 3200R euros. ( ) ( ) ( )= − + ⋅ − ⋅ =25 5 8 5 300 25 5 2625R euros.

La recaudación es mayor en la cuarta hora que en la quinta.


129. Se ha estimado que la población de un barrio periférico de una gran ciudad evolucionará siguiendo el

modelo: ( ) 240 2016

tP tt

+=

+ en miles de habitantes, donde t indica los años transcurridos desde su creación

en el año 2005.

a) ¿Qué población tenía dicho barrio en el año 2005?

b) ¿Qué población tendrá dicho barrio en el año 2015?

c) ¿Será posible que la población del barrio duplique a la población inicial?

d) A largo plazo, ¿la población se estabilizará o no?

a) ( ) 2400 1516

P = = . El barrio tenía 15 000 habitantes en 2005.

b) ( ) 240 20010 16,92326

P += . En 2015 el barrio tendrá 16 923 habitantes aproximadamente.

c) Para ello debería existir t con 240 20 3016

tt

+=

+ ⇒ 240 + 20t = 480 + 30t ⇒ t = −24. No, no es posible ya que la

ecuación planteada solo tiene una solución negativa y t ≥ 0.

d) ( ) 240 20lim lim 2016t t

tP tt→+∞ →+∞

+= =

+. Si, la población se estabilizará en 20 000 habitantes.

130. Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos y gastos en euros vienen dados respectivamente por las funciones:

( ) 228 36 000I x x x= + ( ) 244 12 000 700 000G x x x= + +

Donde x representa la cantidad de unidades vendidas.

Determina:

a) La función que define el beneficio anual en euros.

b) La cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea máximo.

c) El beneficio máximo.

a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= − = + − + + = − + −2 2 228 36 000 44 12 000 700 000 16 24 000 700 000B x I x G x x x x x x x .

b) Al ser la función de beneficios una parábola, el máximo se alcanzará en el vértice, que es ( )750,8 300 000V .

Los máximos beneficios se obtienen produciendo 750 unidades y son de 8 300 000 euros.

c) El beneficio máximo es de 8 300 000 euros.

131. La función de beneficios de una empresa es ( ) 3 61

tB tt

−=

+ donde t representa los años de vida de la

empresa ( 0t ≥ ) y ( )B t está expresado en millones de euros. Se pide:

a) Determinar cuándo la empresa tiene ganancias, y cuándo, pérdidas.

b) ¿Están los beneficios limitados? Razona la respuesta. Si lo están, ¿cuál es su límite?

a) Como si t ≥ 0 el denominador de −+

3 61

tt

es positivo, la función es negativa si 3t − 6 < 0, es decir si t < 2. La

empresa tuvo pérdidas los dos primeros años de vida y el resto del tiempo tendrá ganancias.

b) ( )→+∞ →+∞

−= =

+3 6lim lim 3

1t t

tB tt

y como t > 0 − + −= = − <

+ + +3 6 3 3 9 93 3

1 1 1t tt t t

por lo que los beneficios no superarán

nunca los tres millones de euros.


Autoevaluación

Comprueba qué has aprendido

1. La gráfica de ( )2

ax bf xx

+=

+ corta al eje horizontal en el punto ( )3,0A y ( )lim 2

xf x

→+∞= . Calcula ( )1f .

Al ser ( ) =3 0f , tenemos que 3a + b = 0 y al ser lim 22x

ax bx→+∞

+=

+, resulta a = 2, así que b = −6 y ( ) 2 6

2xf xx

−=

+ con

lo que ( ) 413

f = − .

2. Considera la función ( )2

2

1

2 3

xf xx

−=

− +. Escribe otra función ( )g x que coincida con ( )f x en todos los

puntos salvo en x = 1 (donde f no está definida) y calcula posteriormente ( )1

limx

f x→

.

( )( ) ( )

( )( ) ( )2 2 2 2

2

222

1 2 3 1 2 3114 32 3

x x x xxf xxxx

− + + − + +−= = =

−− +− +

( ) ( ) ( )= = − + +22 3f x g x x si x ≠ 1.

La función ( )y g x= coincide con f en todos los números de ( )D f .

Entonces ( ) ( ) ( )→ →

= = − + + = −2

1 1lim lim 2 1 3 4x x

f x g x .

3. Si x es un número positivo, calcula 0

limh

x h xh→

+ − .

( ) ( )( ) ( )

1x h x x h xx h x x h xh x h xh x h x h x h x

+ − + ++ − + −= = =

+ ++ + + + si h ≠ 0.

Así pues → →

+ −= =

+ +0 0

1 1lim lim2h h

x h xh x h x x

.

4. Calcula ( )3

0

2 8limh

hh→

+ −.

( ) ( ) ( )→ → → →

+ ++ − + + + −= = = + + =

23 2 32

0 0 0 0

12 62 8 8 12 6 8lim lim lim lim 12 6 12h h h h

h h hh h h h h hh h h


5. Calcula ( )2lim 3x

x x x→−∞

+ + .

( ) ( ) ( ) ( )2 2

2 22 2

2 2

3 3 3lim 3 lim 3 lim lim3 3x x x x

x x x x x x x x xx x x x x xx x x x x x→−∞ →+∞ →+∞ →+∞

− − − + − −+ + = − − = = =

− + − +

→+∞ →+∞

− −= = −

− + − +2

3 3 3lim lim233 1 1x x

x x

x x xx

.

6. Calcula 24 32 7lim

2 6

x x

x

xx

+ −

→+∞

+ −

.

+ −− −+ − + −

−

+ = + = + − −

2

2 24 3

2 6 2 64 3 4 3 1313

2 613

2 7 13 11 12 6 2 6

x xx xx x x x

xxx x

2 613

2 613

1lim 1

x

xxe

−

−→+∞

+ =

y

( )

2 2

2 6 213

4 3 4 3lim lim 13 132 6xx x

x x x xx−→+∞ →+∞

+ − + −= =

−.

Así que el resultado del límite pedido es e13.

7. ¿Es continua la función ( ) 11

xf xx

+=

+? Calcula los límites en más infinito y en menos infinito.

La función ( ) 11

xf xx

+=

+ es continua en pues es cociente de dos funciones continuas y el denominador nunca

se anula.

Definiéndola a trozos:

( )1 si 01

1 si 0

x xf x xx

+ <= − + ≥

Así que ( )→−∞

= −lim 1x

f x y ( )→+∞

=lim 1x

f x .


8. Dada la función ( )2

24 si 2

5 63 si 2

x xf x x xx m x

−<= − +

+ ≥

, calcula el valor de m para que f sea continua en x = 2.

( ) ( )

22 lim 6

xf f x m

+→= = +

( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 2


x x xf xx x x− − −→ → →

+ − += = = −

− − −

Para que f sea continua en x = 2, debe ocurrir que 6 + m = −4 ⇒ m = −10.

9. En la función ( )2

si 03 si 0

4 3

xe xf x a x x

x x

<= +

≥ − +

, estudia la continuidad de f en x = 0 para los distintos valores

del parámetro a.

( )03af = , ( )

0lim 1

xf x

−→= y ( )

0lim

3x

af x+→

=

Así pues si a = 3, f es continua en x = 0 y si a ≠ 3, f no es continua en x = 0.

10. ¿Es continua en x = 0 la función ( ) 11 si 0

20 si 0

x

xf x e

x

≠= +

=

?

Estudiemos ( )

→0limx

f x :

( )− −→ →

= =

+10 0

1 1lim lim2

2x x

x

f xe

pues 1

0lim 0x

xe

−→= .

( )+ +→ →

= =

+10 0

1lim lim 02

x xx

f xe

pues 1

0lim x

xe

+→= +∞ .

Así pues dicha función no es continua en x = 0 por no existir límite en dicho punto.


Relaciona y contesta Elige la única respuesta correcta en cada caso

1. Se consideran las funciones f, g y h, definidas en , tales que para todo número real x se tiene que ( ) ( ) ( )f x g x h x≤ ≤ .

Si además ( )limx

g x→+∞

= +∞ , se puede deducir:

A. ( )→+∞

= +∞limx

f x C. ( )→+∞

= +∞limx

h x

B. ( )→−∞

= +∞limx

f x D. ( )→−∞

= +∞limx

g x

La respuesta correcta es la C porque como ( ) ( ) ( )f x g x h x≤ ≤ para todo x entonces

( ) ( ) ( )lim lim limx x x

f x g x h x→+∞ →+∞ →+∞

≤ ≤ .

Para descartar las opciones A, B y D basta considerar las funciones ( ) 1f x = para todo x, ( ) 2 2g x x= + y

( ) 2 4h x x= +

2. Considera la función ( )2 3xf x e− += . Entonces, ( )lim

xf x

→−∞ es igual a:

A. +∞ B. 0 C. e3 D. No existe.

Sin más que observar que ( )2lim 3x

x→−∞

− + = −∞ obtenemos que la respuesta es B.


3. Sea f la función definida en ( )2,− +∞ por la fórmula ( ) 132

f xx

= ++

. Entonces:

A. La gráfica de f corta al eje Y en 72

. C. ( )+→−

=2

lim 3x

f x

B. ( ) > 3f x en todo ( )∈x D f . D. ( ) ( )lim limx x

f x f x→+∞ →−∞

=

A. Es verdadera, pues ( ) = + =+1 70 3

0 2 2f .

B. Es verdadera, pues 1 02x

>+

si x > −2.

C. Es falsa, ( )+→−

= +∞2

limx

f x .

D. Es falsa, pues la función no está definida si x ≤ −2 y por tanto no podemos calcular ( )limx

f x→−∞

.


4. Sea g la función definida en ( )0,+∞ mediante la fórmula ( ) 2lng xx

= . Entonces:

A. ( )→+∞

= −∞limx

g x

B. La gráfica de ( )g x no corta al eje X.

C. La gráfica de ( )g x corta dos veces al eje Y.

D. El conjunto de números reales soluciones de la inecuación ( ) 0g x ≤ es [ )2,+∞ .

A. Es verdadera, pues ( ) ( )→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

= = − = − = −∞2lim lim ln lim ln2 ln ln2 lim ln

x x x xg x x x

x.

B. Es falsa, ( ) =2 0g .

C. Es falsa, pues ( ) 0g x = si ( )ln2 ln x= , cuya única solución es x = 2.

D. Es verdadera, ( ) 0g x ≤ ln2 ln x≤ y esto ocurre si 2 ≤ x.

5. Sea f la función ( ) 2f x x x x= − + .

A. ( )D f = C. f es continua en todos los puntos de su dominio.

B. ( )→+∞

= +∞limx

f x D. ( )( )→+∞

− =lim 2 0x

f x x

A. Es falsa. x2 − x ≥ 0 si x ≤ 0 ó 1 ≤ x luego ( ) ( ] [ ),0 1,D f = −∞ ∪ +∞ .

B. Es verdadera.

C. Es verdadera pues es suma de dos funciones continuas.

D. Es falsa. ( )( )( ) ( )2 2

2

2

1lim 2 lim lim lim211 1

x x x x

x x x x x x xf x x x x xx x x x

x

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

− − − + −− = − − = = = −

− + − +


Elige la relación correcta entre las dos afirmaciones dadas 6. Considera la función ( ) ( )f x xg x= :

1. La gráfica de f pasa por el origen de coordenadas.

2. g es continua en 0.

A. 1 ⇒ 2, pero 2 1⇒/ C. 1 ⇔ 2

B. 2 ⇒ 1, pero 1 2⇒/ D. 1 y 2 se excluyen entre sí.

La relación correcta es B. Como ( )g x es continua en x = 0, existe ( )0g y ( ) ( )= ⋅ =0 0 0 0f g . Luego la función

pasa por ( )0,0 . Para ver que 1 no implica 2 basta considerar la función ( ) 0 si 01 si 0

xg x

x≤= >

.


7. Para demostrar si ( )4

limx

f x→

= +∞ , donde ( )( ) ( ) ( ) ( )2

14 df x

x a x b x c x=

− − − −, con a, b, c y d enteros

positivos nos dan estos datos:

1. El valor de a 3. El valor de c

2. El valor de b 4. El valor d

A. Puede eliminarse el dato 1. C. Puede eliminarse el dato 3.

B. Puede eliminarse el dato 2. D. Puede eliminarse el dato 4.

La respuesta correcta es D. Puede eliminarse el valor de d pues solo nos interesa el signo de la expresión.

Para hallarlo necesitamos saber el signo de ( )x a− , ( )x b− , ( ) ( )24 dx c x− − cuando x se aproxima a 4. Para

saber los tres primeros necesitamos conocer a, b y c pero ( )24 dx − es siempre positivo por ser 2d par.

234 Unidad 6| Derivadas

6 Derivadas



4. Calcula la derivada de la función ( ) 1f xx

= en x = 1.

( ) ( ) ( )( )0 0 0 0 0

1 11 1 1 11 1 1' 1 lim lim lim lim lim 1

1 1 1h h h h h

hf h f hh hf

h h h h h h→ → → → →

−−+ − − − −+ += = = = = = = −

+ +.

5. Encuentra las ecuaciones de las rectas tangentes a las gráficas de las siguientes funciones.

a) ( ) 21

3f x

x=

− en el punto de abscisa x = 2. b) ( ) 22 1f x x x= + − en el punto de abscisa x = −1.

a) La pendiente de la recta tangente es:

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )→ → → →

− +−−+ − + − − ++ += = = = = −

+ +

2 22

20 0 0 0

1 1 42 32 2 2 3 41 4' 2 lim lim lim lim 4

1 4h h h h

h hf h f h hh hf

h h h h h

Como la recta pasa por el punto de tangencia ( )( ) ( )=2, 2 2, 1A f A , la ecuación de la recta tangente es:

( )1 4 2 4 9y x y x− = − − ⇒ = − +

b) La pendiente de la recta tangente es:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )→ → →

− + − − − + + − + − − −− = = = = −

2

0 0 0

1 1 2 1 1 1 0 2 3' 1 lim lim lim 3

h h h

f h f h h h hf

h h h

Como la recta pasa por el punto de tangencia ( )( ) ( )− − = −1, 1 1, 0A f A , la ecuación de la recta tangente es:

( )0 3 1 3 3y x y x− = − + ⇒ = − −

6. Encuentra la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función ( ) ( )21 2f x x= − , que es paralela a la recta y = 4x + 5. ¿Hay más de una recta que cumpla la condición anterior?

La pendiente de la recta tangente es 4 porque es paralela a y = 4x + 5.

Debemos ahora encontrar el punto de tangencia, ( )( ),A a f a , que debe cumplir que ( )' 4f a = .

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 2

0 0 0

1 2 1 2 4 2 1' lim lim lim 4 2 1 8 4

h h h

a h af a h f a h h af a a a

h h h→ → →

− + − −+ − + −= = = = − = −

Como 8a − 4 = 4, a = 1. El punto de tangencia es ( )( ) ( )1, 1 1,1A f A= .

La recta tangente es ( )1 4 1 4 3y x y x− = − ⇒ = − .

Además la recta es única porque existe un único punto de tangencia.

Derivadas | Unidad 6 235

7. La emisión de gases en toneladas en una fábrica, viene dada por la función ( ) ( )3 0,25n t t t= − con 0 10t≤ ≤ (t en horas). Calcula la tasa de variación media de ( )n t entre t = 5 y t = 7 horas, y la tasa de variación instantánea en t = 5 horas.

[ ] ( ) ( )7 5 8,75 8,755,7 07 5 2

n nTVMn

− −= = =

−

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

5 3 0,25 5 5 3 0,25 55 55 lim lim

h h

h hn h nTVIn

h h→ →

+ − + − − ⋅ + − = = =

( )2

0 0

0,5 0,25lim lim 0,5 0,25 0,5h h

h h hh→ →

−= = − =


10. Halla la función derivada de la función identidad, ( )f x x= .

( ) ( ) ( )0 0 0

' lim lim lim 1h h h

f x h f x x h x hf xh h h→ → →

+ − + −= = = =

11. En cada caso, determina la función derivada.

a) ( )f x ax b= + b) ( )f x x= c) ( ) 2f x x−= d) ( ) 1f xax b

=+

a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0

' lim lim limh h h

f x h f x a x h b ax b ahf x ah h h→ → →

+ − + + − += = = =

b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )0 0 0 0

' lim lim lim limh h h h

x h x x h xf x h f x x h x x h xf xh h h x h x h x h x→ → → →

+ − + ++ − + − + −= = = = =

+ + + +

( )0 0

1 1 1lim lim2h h

hx h x x x xh x h x→ →

= = = =+ + ++ +

c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )

2 2 22

2 22 20 0 0 0

1 12

' lim lim lim limh h h h

xf x h f x x h x x h h x hf x

h h hx x h hx x h→ → → →

−+ − + − + − −

= = = = =+ +

( )

( )2 4 320

2 2 2limh

x h xx xx x h→

− − − −= = =

+

d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )0 0 0

1 1

' lim lim limh h h

ax b a x h bf x h f x a x h b ax bf x

h h h a x h b ax b→ → →

−+ − + + + − + + + = = = =

+ + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )20 0

lim limh h

ah a ah a x h b ax b a x h b ax b ax b→ →

− − −= = =

+ + + + + + +


12. En cada caso, encuentra los valores de los parámetros que hacen que las funciones dadas sean derivables en todo .

a) ( )2 1 si 2

si 2x xf xax x

+ ≤= >

b) ( )2 si 1

3 si 1ax bx xg xax x

+ ≤ −= − > −

a) Para que se derivable en x = 2, debe ser obligatoriamente continua en x = 2, aunque esto no sea suficiente.

Imponemos, pues, la condición de continuidad en x = 2: los límites laterales en dicho punto han de coincidir con el valor de la función:

( ) ( )2

2 2lim lim 1 5

x xf x x

− −→ →= + = ( )

2 2lim lim 2

x xf x ax a

+ +→ →= = ( )2 5f =

Así pues, para que f sea continua en x = 2 debe ser 52 52

a a= ⇒ = .

La función es, por tanto, ( )2 1 si 2

5 si 22

x xf x

x x

+ ≤=

>

. Estudiamos ahora si esta función es derivable en x = 2.

La derivada de la función para x distinto de 2 es: ( )<

= >

2 si 25 si 22

x xf x

x

Para x = 2 vemos que: ( )2 2

lim ' lim 2 4x x

f x x− −→ →

= = ( )2 2

5 5lim ' lim2 2x x

f x+ +→ →

= =

Como los límites laterales de la función derivada no coinciden en x = 2, f no es derivable en ese punto.

Por tanto, no existe ningún valor de a para el que la función sea derivable en x = 2.

b) Imponemos primero la condición de continuidad. Dentro de cada tramo no hay problemas porque se trata de funciones polinómicas. Hay que asegurar pues la continuidad en x = −1: los límites laterales en dicho punto han de coincidir con el valor de la función:

( ) ( )2

1 1lim lim

x xg x ax bx a b

− −→− →−= + = − ( ) ( )

1 1lim lim 3 3

x xg x ax a

+ +→− →−= − = − − ( )1g a b− = −

Así pues, para que g sea continua en x = −1 debe ser 3 2 3a b a a b− = − − ⇒ − = − .

Estudiamos ahora si esta función es derivable en x = −1.

La derivada de la función para x distinto de −1es: ( ) + < −= > −

2 si 1'

si 1ax b x

g xa x

Para x = −1 vemos que: ( ) ( )1 1

lim ' lim 2 2x x

g x ax b a b− −→− →−

= + = − + ( )1 1

lim ' limx x

g x a a+ +→− →−

= =

Para que g sea derivable en x = −1, debe cumplirse que − + = ⇒ =2 3a b a b a .

Ya tenemos el sistema formado: − = −

=

2 33

a bb a

cuya solución es a = 3, b = 9.

Para que g sea derivable en todo , debe cumplirse que a = 3 y b = 9.



15. Deriva las siguientes funciones.

a) ( ) 43 1

1xf x

x−

=+

b) ( ) ( )77 7f x x x= + c) ( )3

22

3 1xf x

x

= +

d) ( ) ( ) 212 3

1f x x

x= +

+

a) ( )( ) ( )

( ) ( )

4 3 4 3

2 24 4

3 1 3 1 4 9 4 3'1 1

x x x x xf xx x

+ − − − + += =

+ +

b) ( ) ( ) ( )67 6' 7 7 7 7f x x x x= + +

c) ( )( )( ) ( ) ( )

+ −+ − −

= = = + + + +

2 222 3

2 2 2 42 2 2

1 3 1 122 3 1 2 6 122 12 1082' 3

3 1 3 1 3 1 3 1

x xx x x xx x xx xf x

x x x x x

d) ( )( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

⋅ + − ++ − += + ⋅ = =+ + +

+ ++ − − − − +

= =

+ ++ +

222

2 22 222 2

2 2 2

2 22 22 2

12 1 2 2 31 2 3 2 1' 21 1 112 1

1 12 1 4 6 2 6 2

1 11 11 1

x x xx x xf xx x x

x xx x x x x

x xx x

16. Dada la función ( ) ( )2 32 1 2 32

f x x xx

= − ⋅ + ⋅−

, halla ( )' 5f .

Podemos considerar la función como producto de dos funciones: ( ) ( )22 33 2 1

2x

f x xx

+= − ⋅

−

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

2 2

2

2 3 4 2 3 2 2 32' 3 2 122 2 1 2

x x x xf x x

xx x

+ + − − + = ⋅ + − ⋅

− − −

(no hace falta simplificar la expresión porque basta con sustituir la x por 5).

( )2 21 13 4 13 3 13 130' 5 3 3

3 3 9 3f

⋅ ⋅ −= ⋅ + ⋅ =

17. Determina las derivadas de estas funciones: ( ) 22

1xf x

x=

+ y ( ) ( )2

211

xg x

x+

=+

. ¿Qué observas?

( )( )

( ) ( )

2 2

2 22 2

2 1 2 2 2 2'1 1

x x x xf xx x

+ − − += =

+ + ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

22 2

2 22 2

2 1 1 1 2 2 2'1 1

x x x x xg xx x

+ + − + − += =

+ +

La derivada es la misma ya que:

( ) ( ) ( )2 2 2

2 2 2

1 2 1 2 2 1 11 1 1

x x x x x xg x f xx x x

+ − + + − +− = = = =

+ + +

Es decir, ( ) ( ) 1g x f x= + , por tanto, ambas funciones tienen la misma derivada.


18. Calcula la derivada de las siguientes funciones y encuentra después para qué valores de x se anulan.

a) ( ) 213

xf xx

−=

+ b) ( ) 5

8xf xx

−=

+ c) ( )

2

214

xf xx

+=

−

a) ( )( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 22 2

1 3 1 2 2 3'3 3

x x x x xf xx x

+ − − − + += =

+ +

Esta derivada se anula si ( ) 2' 0 2 3 0f x x x= ⇒ − + + = , es decir, si x = −1 y si x = 3.

b) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2

1 8 5 1 13'8 8

x xf x

x x

+ − −= =

+ +

Esta derivada se anula si ( )' 0 13 0f x = ⇒ = , es decir, nunca.

c) ( )( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 22 2

2 4 1 2 10'4 4

x x x x xf xx x

− − + −= =

− −

Esta derivada se anula si ( )' 0 10 0f x x= ⇒ − = , es decir, si x = 0.

19. Calcula las derivadas de las siguientes funciones.

a) ( ) 21f x x= − c) ( ) xf x xe−= e) ( ) ( )903 2f t t= +

b) ( ) 72 xf x −= d) ( ) ( )1001f t t= + f) ( ) 2 12 xf x −=

a) ( )2 2

2'2 1 1

x xf xx x

− −= =

− − d) ( ) ( ) ( )99

99 50 11' 100 12

tf t t

t t

+= + =

b) ( ) 7 1' 2 ln22

xf xx

−= e) ( ) ( ) ( )= + = +89 893 2 2 3' 90 2 3 270 2f t t t t t

c) ( ) ( )1 1 2' 12 2

x x x xf x e xe ex x

− − − − = + − =

f) ( ) 2 1 2' 2 ln2 2 2 ln2x xf x −= ⋅ =

20. Utiliza las reglas de derivación para determinar las derivadas de las siguientes funciones.

a) ( ) −θθ =

+1

1f

e b) ( ) z

zf ze

= c) ( )2ye

f y e =

a) ( )( )2'1

efe

−θ

−θθ =

+

b) ( ) 2

1 1 21 22 2'2

z z

z z z

ze zezz zf z

e e ze

−−

−= = =

c) ( )2

2' 2

yeyf y e e y

=



22. Calcula las derivadas de las siguientes funciones.

a) ( ) cos tgf t t t t= + f) ( ) 4senf x x=

b) ( ) 1 cosf x x= − g) ( ) ( )3cos 1xf x e= −

c) ( ) cosxf x e= h) ( ) ( )77 7sen 1f x x = +

d) ( ) ( )tgf x x= i) ( ) ( )arcsen 2f eββ = β

e) ( ) arctgf x x= h) ( ) ( )tg zf z e=

a) ( ) ( ) 2 21 1' cos sen cos sen

cos cosf t t t t t t t

t t= + − + = − +

b) ( ) sen'2 1 cos

xf xx

=−

c) ( ) ( )cos cos' sen senx xf x e x e x= − = −

d) ( )21 tg'

2xf x

x+

=

e) ( )2 2

1 1 1( )12 arctg 2 1 arctg

f xxx x x

′ = ⋅ =+ +

f) ( ) 3' 4sen cosf x x x=

g) ( ) ( ) ( )2' 3cos 1 sen 1x x xf x e e e= − − −

h) ( ) ( ) ( ) ( )7 7 66 7 7 7 6' 7sen 1 cos 1 7 1 7f x x x x x = + + +

i) ( ) ( )( )

( )β β β β = β + = β + − β− β

2 2

2 2' arcsen 2 arcsen 21 41 2

f e e e

j) ( ) 2'cos

z

zef z

e=


23. Determina las derivadas de estas funciones.

a) ( )( )cos x

x

x x ef x

e

+= c) ( ) 1 cosln

1 cosxf xx

+ = −

b) ( ) 2arccos 1

5 1xf x

x−

=+

d) ( )2

21tg1

xf xx

−= +

a) ( ) ( )cos sen cos'

x

x

x e x x xf x

e+ − +

=

b) ( )( )( )

−⋅ + − −

− −=+

2

22

1 1 5 1 10 arccos 12 1 2'

5 1

x x xx xf x

x

c) ( ) ( ) ( )ln 1 cos ln 1 cosf x x x= + − −

( ) 2 2sen sen sen sen cos sen sen cos 2sen 2'

1 cos 1 cos sen1 cos senx x x x x x x x xf xx x xx x

− − + − − − −= − = = =

+ − −

d) ( )( ) ( )

( ) ( )

2 22 22 2

2 2 2 22 2

2 1 1 21 1 4' 1 tg 1 tg1 11 1

x x x xx x xf xx xx x

+ − − − −= + = + + + + +



27. Investiga si las siguientes funciones tienen extremos relativos y, en su caso, determinarlos.

a) ( ) 3 23 6 1f x x x x= + + +

b) ( ) sen cos 3 1g x x x x= − − +

a) La derivada de f es ( ) 2' 3 6 6f x x x= + + .

La ecuación ( ) 2' 0 3 6 6 0f x x x= ⇒ + + = no tiene solución, por lo que la función f no presenta extremos relativos.

b) La derivada de g es ( )' cos sen 3g x x x= + − .

La ecuación ( )' 0 cos sen 3 0 cos sen 3g x x x x x= ⇒ + − = ⇒ + = no tiene solución ya que + ≤cos sen 2.x x


28. Estudia el crecimiento y los extremos relativos de las funciones:

a) ( ) 5 4 3 21 2 4 15

f x x x x x x= − + + − + b) ( ) ( ) ( )21 2ln 1f x x x= + − +

a) ( )D f = , ( ) ( ) ( ) ( )24 3 2' 4 3 4 4 2 1 1f x x x x x x x x= − + + − = − + − , ( )' 0f x = ⇒ x = 2, x = 1, x = −1

x ( ), 1−∞ − −1 ( )1,1− 1 ( )1,2 2 ( )2,+∞ Signo de 'f + 0 − 0 + 0 +

Comportamiento de f Creciente Máximo

relativo Decreciente Mínimo relativo Creciente Creciente

La función es creciente en ( ) ( )−∞ − ∪ +∞, 1 1, . La función es decreciente en ( )1,1− .

El punto ( )( ) 241, 1 1,5

A f A − − = −

es un máximo relativo. El punto ( )( ) 41, 1 1,5

B f B = −

es un mínimo relativo.

b) ( ) ( )1,D f = − +∞ ,

( ) ( ) ( ) ( )2 22 1 2 2 22 2 4' 2 11 1 1 1

x x xx xf x xx x x x

+ − ++= + − = = =

+ + + +, ( ) ( )' 0 0, 2f x x x D f= ⇒ = = − ∉

x ( )1,0− 0 ( )0,+∞

Signo de 'f − 0 +

Comportamiento de f Decreciente Mínimo

relativo Creciente

La función es creciente en ( )0,+∞ . La función es decreciente en ( )1,0− .

El punto ( )( ) ( )0, 0 0,1A f A= es un mínimo relativo (también es absoluto).


30. La suma de dos números no negativos es 14. Calcúlalos para que su producto sea el mayor posible. 1. Se definen las variables, x, y, que son los dos números.

2. Se escribe la relación entre ellas: x + y = 14, y se despeja una en función de la otra: y = 14 − x.

3. La función que hay que minimizar es el producto de los números, P = xy.

Luego, ( ) ( ) 214 14P x x x x x= − = − + .

4. Se halla el dominio de la función. Como deben ser no negativos, [ ]0,14x ∈ .

5. Se calculan los valores de x que anulan la derivada de ( ) 2 14P x x x= − + en [ ]0,14 :

( )' 2 14 0 7P x x x= − + = ⇒ =

6. Se halla el valor de ( )P x en el valor que anula la derivada y se compara con los de los extremos del intervalo de definición:

( )7 49P = ( )0 0P = ( )14 0P =

Por tanto, el máximo se alcanza para x = 7, con lo que los números serán 7 y 7. Su producto es 49.


31. Queremos escribir un texto que ocupe 96 cm2, tal que deje 2 cm en cada margen lateral de la hoja en la que está escrito y 3 cm de margen arriba y abajo. Calcula las dimensiones de la hoja más pequeña posible que se puede utilizar. Se determinan las variables, que son las dimensiones de la hoja:

x son los cm que mide la base e, y, los cm que mide la altura.

Se relacionan las variables: el texto escrito debe ser 96 cm2.

Así pues ( ) ( )4 6 96x y− − = , y operando se obtiene:

( ) ( ) ( ) 72 64 6 96 6 4 24 96 4 72 64xx y xy x y y x x y

x+

− − = ⇒ − − + = ⇒ − = + ⇒ =−

La función que se quiere minimizar es la superficie de la hoja:

S = xy ⇒ ( )272 6 72 6

4 4x x xS x x

x x+ +

= =− −

Se busca el intervalo en el que se mueve la variable x. En este caso, x debe estar en el intervalo abierto ( )4,+∞ .

Se busca el mínimo de ( )272 6

4x xS xx

+=

− en ( )4,+∞ .

La derivada ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )

2 2

2 2 2

72 12 4 72 6 6 12 46 48 288'4 4 4

x x x x x xx xS xx x x

+ − − + − +− −= = =

− − − se anula si x = 12.

La solución negativa no aporta nada.

Si 0 < x < 12, la derivada es negativa y la función decrece; si x > 12, la derivada es positiva y la función crece.

Así pues, en x = 12 está el mínimo.

La altura, y, mide 72 6 1212 4

y + ⋅=

− cm.

Las dimensiones de la hoja más pequeña posible son: 12 cm de base y 18 cm de altura.

32. Una empresa alquila 65 estudios. Alquilando cada uno por 600 €, conseguiría alquilarlos todos y por cada 20 € que aumente el alquiler, alquilaría 1 menos. Si cada estudio tiene 60 € mensuales de gastos, ¿a cuánto debe alquilarlos para obtener el máximo beneficio? Llamando x al número de estudios que deja de alquilar por aumento de precio, la función que da los beneficios es:

( ) ( ) ( ) ( )65 600 20 60 65B x x x x= − + − − , donde 65 − x son los estudios que alquila, y 600 + 20x, el precio de

alquiler de cada estudio. La función beneficio, después de operar, es:

( ) 220 760 35100B x x x= − + + , siendo x un valor del intervalo cerrado [0, 65].

( )' 40 760B x x= − + , y los valores de x que la anulan: −40x + 760 = 0 ⇒ x = 19.

Se compara el valor de la función en ese punto y en los extremos del intervalo de definición:

( )0 35100B = ( )65 0B = ( )19 42320B =

Así pues, la función alcanza el máximo en x = 19.

Por tanto, deberá alquilar 65 − x = 65 − 19 = 46 estudios a un precio de 600 + 20x = 600 + 20 · 19 = 980 euros.

El beneficio máximo es de ( )19 42320B = euros.




35. ¿Cuáles son las abscisas de los puntos de inflexión de una función f en la que ( ) ( ) ( )2'' 1 3f x x x= − − ?

La derivada segunda se anula en x = 1 y en x = 3.

En x = 1, como ( )'' 0f x < en ( ),1−∞ y ( )'' 0f x > en ( )1,3 la función tiene un punto de inflexión de abscisa 1.

En x = 3 no hay un punto de inflexión, pues no hay cambio de curvatura (a derecha y a izquierda la segunda derivada es positiva).

36. Determina la curvatura y los puntos de inflexión de las siguientes funciones.

a) ( ) 3 26 5f x x x= + − c) ( ) xf x xe=

b) ( )1

xef xx

=+

d) ( ) cosf x x= , en [0, 2π]

a) ( )D f = , ( ) 2' 3 12f x x x= + , ( ) ( )'' 6 12 6 12f x x x= + = + , ( ) ( )'' 0 6 2 0 2f x x x= ⇒ + = ⇒ = −

x ( ), 2−∞ − −2 ( )2,− +∞

Signo de ''f − 0 +

Curvatura de f ∩ Punto de inflexión ∪

b) ( ) { }1D f = − − , ( )( )2'

1

xxef xx

=+

, ( )( )

( )

2

3

1''

1

xx ef x

x

+=

+, ( ) ( )2'' 0 1 0xf x x e= ⇒ + = ⇒ la derivada segunda no

se anula nunca.

x ( ), 1−∞ − −1 ( )1,− +∞

Signo de ''f − ( )1 D f− ∉ +

Curvatura de f ∩ ∪

c) ( )D f = , ( ) ( )' 1 xf x x e= + , ( ) ( )'' 2 xf x x e= + , ( )'' 0 2 0 2f x x x= ⇒ + = ⇒ = −

x ( ), 2−∞ − −2 ( )2,− +∞

Signo de ''f − 0 +

Curvatura de f ∩ Punto de inflexión ∪

d) ( ) [ ]0,2D f = π , ( )' senf x x= − , ( )'' cosf x x= − , ( ) 3'' 0 cos 0 ,2 2

f x x x xπ π= ⇒ − = ⇒ = =

x 0,2π

2π

3,2 2π π

32π 3 ,2

2π π

Signo de ''f − 0 + 0 −

Curvatura de f ∩ Punto de inflexión ∪ Punto de

inflexión ∩


37. De una cierta función f se conoce su derivada:

( ) ( ) ( )' 1 2xf x e x= − −

Obtén las abscisas de los posibles extremos relativos de f y determina su carácter de máximo o mínimo aplicando el test de la segunda derivada. Los posibles extremos serán los valores de x que anulan la derivada de f son:

1 0 1 0x xe e x− = ⇒ = ⇒ = x − 2 = 0 ⇒ x = 2

La derivada segunda es ( ) ( )'' 1 1xf x e x= − − .

Evaluamos en los puntos anteriores:

x = 0: ( ) ( )0'' 0 0 1 1 2 0f e= − − = − < ⇒ en x = 0 hay un máximo relativo.

x = 2: ( ) ( )2 2'' 2 2 1 1 1 0f e e= − − = − > ⇒ en x = 2 hay un mínimo relativo.

38. Encuentra los valores de a y b en ( ) 3 22 5f x ax x x b= + − + para que tenga un punto de inflexión en el punto ( )1,3A

Calculamos su segunda derivada: ( ) ( )2' 3 4 5 '' 6 4f x ax x f x ax= + − ⇒ = +

Al ser ( )1,3A un punto de inflexión: ( ) 2'' 1 0 6 4 03

f a a= ⇒ + = ⇒ = −

Como ( )1,3A pertenece a la gráfica de f: ( ) 2 201 3 2 5 3 6 63 3

f a b b a = ⇒ + − + = ⇒ = − = − − =

.

39. Utiliza el teorema de Rolle para demostrar que la gráfica de la función ( ) 53 7 1f x x x= + + no puede cortar 2 veces al eje horizontal. Si la función cortara dos veces al eje horizontal, en a y b, tendría que ocurrir que ( ) ( ) 0f a f b= = y, por el teorema de Rolle, la derivada de f se anularía entre a y b.

Pero la derivada es ( ) 4' 15 7f x x= + y, como se aprecia, no se anula nunca.

Luego la función no puede cortar al eje horizontal dos veces.

40. De una cierta función f derivable se sabe que ( )0 1f = y ( )3 7f = . ¿Se puede asegurar que hay alguna tangente a su gráfica paralela a la recta 2x − y + 5 = 0? El teorema del valor medio nos asegura la existencia de dicho punto ( )( ),C c f c , con 0 < c < 3 tal que:

( ) ( ) ( )3 0 7 1 6' 23 0 3 3

f ff c

− −= = = =

−

La pendiente de la recta y = 2x + 5 es m = 2, que es precisamente el valor de ( )' 2f c = . Luego, la tangente a f en

el punto ( )( ),C c f c tiene también pendiente 2 y es, por tanto, paralela a la recta dada.



42. Utiliza las diferenciales para aproximar e0,01. Se considera la función ( ) xf x e= . Hay que aproximar ( )f x h+ para h = ∆x = dx = 0,01 y x = 0.

Así pues, ( ) ( ) ( )'f x h f x f x dx+ + .

( )' xf x e= con lo que ( )' 0 1f = . Por otra parte, ( )0 1f =

Entonces, ( ) ( ) ( )0 0 ' 0 0,01f h f f+ + ⋅ , es decir, ( )0 1 1 0,01 1,01f h+ + ⋅ = .

Con la calculadora se obtiene el valor e0,01 = 1,0100502. Así pues, utilizando diferenciales, la aproximación es realmente buena.

43. Calcula aproximadamente: ( ) ( )25sen 0,01 2cos 0,01− .

Se considera la función ( ) 25sen 2cosf x x x= − y se aproxima ( )f x h+ para h = ∆x = dx = 0,01 y x = 0.

La derivada de la función es ( )' 5cos 4cos senf x x x x= + , de modo que ( )' 0 5f = .

El valor de la función en x = 0, ( )0 2f = − .

Como la aproximación lineal es ( ) ( ) ( ) ( )0,01 0 ' 0 0,01 0f f f= + ⋅ − , se obtiene:

( )0,01 2 5 0,01 1,95f = − + ⋅ = −

Con la calculadora se obtiene 5 · sen (0,01) − 2 cos2 (0,01) = −1,9498008... Por tanto, la aproximación es muy buena.



EJERCICIOS Derivada de una función en un punto. Interpretación geométrica

53. Calcula la derivada, por definición, de las siguientes funciones en los puntos indicados.

a) ( ) 23 4f x x x= − en x = 1

b) ( ) 13

f xx

=+

en x = −1

c) ( ) 2 1f x x= + en x = 4

a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

0 0 0

1 1 3 1 4 1 1 3 2' 1 lim lim lim 2

h h h

f h f h h h hf

h h h→ → →

+ − + − + − − += = = =

b) ( ) ( ) ( )( ) ( )0 0 0 0

1 11 1 1 12 2' 1 lim lim lim lim

2 2 2 2 4h h h h

f h f hhfh h h h h→ → → →

−− + − − − −+− = = = = = −+ +

c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )0 0 0 0

9 2 3 9 2 34 4 9 2 3 2' 4 lim lim lim lim9 2 3 9 2 3h h h h

h hf h f h hfh h h h h h→ → → →

+ − + ++ − + −= = = = =

+ + + +

0

2 1lim39 2 3h h→

= =+ +

54. Si la recta tangente ( )y f x= en el punto ( )5,3A pasa por el punto ( )0,1 , calcula ( )' 5f .

La derivada ( )' 5f es la pendiente de la recta que pasa por los puntos ( )5,3A y ( )0,1 , es decir: ( ) 3 1 2' 55 0 5

f −= =

−.

55. Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de las siguientes funciones en el punto indicado.

a) ( ) 2 1f x x= + en x = 3 b) ( ) 11

f xx

=+

en x = 0

a) La pendiente de la recta tangente es ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

0 0 0

3 3 3 1 10 6' 3 lim lim lim 6

h h h

f h f h h hf

h h h→ → →

+ − + + − += = = = .

El punto de tangencia es ( )( ) ( )3, 3 3,10A f A= .

La recta tangente es ( ) ( ) ( )3 ' 3 3y f f x− = − , o sea: ( )10 6 3y x− = − , es decir, y = 6x − 8

b) La pendiente de la recta tangente es: ( ) ( ) ( )( )0 0 0 0

1 10 11' 0 lim lim lim lim 11 1h h h h

f h f hhfh h h h h→ → → →

−− − −+= = = = = −+ +

El punto de tangencia es ( )( ) ( )0, 0 0,1C f C= .

La recta tangente es ( ) ( ) ( )0 ' 0 0y f f x− = − , o sea: y − 1 = −x, es decir, y = −x + 1


56. Calcula las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de la función y = x2 trazadas desde el punto ( )1, 2P − . Representa gráficamente la parábola y las dos tangentes obtenidas.

La pendiente de la recta tangente en el punto ( )2,A a a es ( )' 2f a a= .

La ecuación de la recta tangente a la parábola en ese punto es ( )2 2y a a x a− = − ,

es decir, y = 2ax − a2.

Si queremos que pase por el punto ( )1, 2P − , debe ser −2 = 2a − a2, cuyas

soluciones son 1 3a = + y 1 3a = − , y las tangentes buscadas son:

( ) ( )2 1 3 2 2 3y x= + − + ( ) ( )2 1 3 2 2 3y x= − − −

Continuidad y derivabilidad

57. Si existen, halla las derivadas laterales en x = 1 y decide si las siguientes funciones son derivables en dicho punto.

a) ( )( )( )

3

2

1 si 1

1 si 1

x xf x

x x

− ≤= − >

b) ( )2 si 1

2 si 1x xf xx x

≤= >

a) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 32

0 0 00

1 1 1 1 0' 1 lim lim lim lim 0

h h hh

f h f h hf hh h h−

−

→ → →→

+ − + − −= = = = =

( ) ( ) ( ) ( )2 3 2

0 0 00

1 1 1 1 0' 1 lim lim lim lim 0

h h hh

f h f h hf hh h h+

+

→ → →→

+ − + − −= = = = =

Como las derivadas laterales en x = 1 coinciden, la función es derivable en ese punto y ( )' 1 0f = .

b) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

0 0 0

1 1 1 1 1 2 1' 1 lim lim limh h h

f h f h h hfh h h− − −

−

→ → →

+ − + − + + −= = = =

( ) ( )2

0 0 0

22lim lim lim 2 2h h h

h hh h hh h− − −→ → →

++= = = + =

( ) ( ) ( ) ( )0 0 0

1 1 2 1 1 1 2' 1 lim lim limh h h

f h f h hfh h h+ + +

+

→ → →

+ − + − += = = =

0 0 0 0

1 2 1 12 2 1lim lim lim lim 21 1h h h h

hh h h h

h hh

+ + + +→ → → →

+ + + = = = = + = +∞

La función no es derivable en x = 1. Se observa que ni siquiera es continua en x = 1.


58. A Rocío le han pedido que calcule, si existe, ( )' 3f , siendo f la función ( ) 2

2 si 35 si 3

x xf x

x x x− <

= − >

.

Ella trabaja así: calcula la derivada de la función para valores distintos de 3, esto es,

( ) 1 si 3' .

2 5 si 3x

f xx x

<= − >

Concluye, que como ( )3

lim ' 1x

f x−→

= y ( )3

lim ' 2 3 5 1x

f x+→

= ⋅ − = , entonces, ( )' 3 1.f =

¿Dónde está el error de Rocío?

El error de Rocío consiste en que se ha saltado el primer paso: estudiar la continuidad de la función en x = 3. Su método solo sería válido si la función fuera continua en x = 3.

Como se observa, ( )3

lim 1x

f x−→

= y ( )3

lim 6x

f x+→

= − , lo cual indica que la función no es continua en x = 3 y, por tanto,

no es derivable en x = 3. Además, no existe f(3).

¡El primer paso para estudiar la derivabilidad es asegurarse de la continuidad!

59. Sea la función ( )2

2

2 3 si 01 si 0

x x a xf x

x bx x − + ≤=

+ + >.

Halla los valores de a y b para que sea continua y derivable en todo su dominio. Como los polinomios son funciones continuas, solo falta estudiar qué ocurre en el valor x = 0.

Para que la función sea continua en x = 0, los límites laterales en ese punto deben ser iguales y coincidir con el valor de la función:

( ) ( )2

0 0lim lim 2 3

x xf x x x a a

− −→ →= − + = , ( ) ( )2

0 0lim lim 1 1

x xf x x bx

+ +→ →= + + = , ( )0f a=

Igualando los límites laterales se obtiene que para que f sea continua en x = 0 debe ser a = 1.

La función es, por tanto: ( )2

2

2 3 1 si 01 si 0

x x xf x

x bx x

− + ≤= + + >

Como también ha de ser derivable en x = 0, las derivadas laterales en dicho punto deben ser iguales:

La derivada de la función para x distinto de 0 es: ( ) − <= + >

4 3 si 0'

2 si 0x x

f xx b x

( ) ( )0 0

lim ' lim 4 3 3x x

f x x− −→ →

= − = − ( ) ( )0 0

lim ' lim 2x x

f x x b b+ +→ →

= + =

Por tanto, para que f sea derivable en x = 0 debe ser b = −3.

Respondemos: ( )f x es continua y derivable en , si a = 1 y b = −3.

60. Calcula las derivadas laterales de la función ( ) 2 4f x x x= − + en el punto x = 2. ¿Es la función derivable en dicho punto? Esboza su gráfica.

( ) ( )2 4 si 2 4 si 23 4 si 22 4 si 2

x x x x xf x

x xx x x− − + < − <= = − ≥− + ≥

( ) ( ) ( ) ( )0 0 0

2 2 4 2 2' 2 lim lim lim 1

h h h

f h f h hfh h h− − −

−

→ → →

+ − − + − −= = = = −

( ) ( ) ( ) ( )0 0 0

2 2 3 2 4 2 3' 2 lim lim lim 3h h h

f h f h hfh h h+ + +

+

→ → →

+ − + − −= = = =

Al no coincidir las derivadas laterales, la función no es derivable en x = 2.


61. Estudia la continuidad y derivabilidad de la función:

( )2 1 si 1

1 si 1x xf xx x

− ≤=

− >

Como la función es polinómica en el interior de los tramos de definición, basta estudiar qué sucede en x = 1.

Continuidad en x = 1: Se estudian los límites laterales en dicho punto y el valor de la función.

( ) ( )2

1 1lim lim 1 0

x xf x x

− −→ →= − = , ( ) ( )

1 1lim lim 1 0

x xf x x

+ +→ →= − = , ( )1 0f =

La función es continua en x = 1, ya que ( ) ( )1

lim 1x

f x f→

= .

Derivabilidad en x = 1: La derivada de la función para x distinto de 1 es ( ) 2 si 1'

1 si 1x x

f xx

<= >.

Las derivadas laterales en x = 1: ( )1 1

lim ' lim 2 2x x

f x x− −→ →

= = , ( )1 1

lim ' lim 1 1x x

f x+ +→ →

= =

Como ( ) ( )1 1

lim ' lim 'x x

f x f x− +→ →

≠ , la función f no es derivable en x = 1.

Por tanto, la función es continua, pero no derivable en x = 1.

62. Determina los valores que han de tomar a y b para que ( )2 7 si 1

4 si 1x ax xf xx b x

− + − <=

− ≥, sea derivable en x = 1.

Primero hay que asegurarse de la continuidad de f en x = 1. Los límites laterales en dicho punto y el valor de la función han de coincidir:

( ) ( )2

1 1lim lim 7 8

x xf x x ax a

− −→ →= − + − = − , ( ) ( )

1 1lim lim 4 4

x xf x x b b

+ +→ →= − = − , ( )1 4f b= −

Así pues, debe cumplirse que a − 8 = 4 − b.

La derivada de la función para x distinto de 1 es: ( ) − + <= >

2 si 1'

4 si 1x a x

f xx

( ) ( )1 1

lim ' lim 2 2x x

f x x a a− −→ →

= − + = − + , ( )1 1

lim ' lim 4 4x x

f x+ +→ →

= =

Así pues, para que f sea derivable en x = 1 debe ser −2 + a = 4 ⇒ a = 6.

Y ya podemos calcular b, a − 8 = 4 − b ⇒ 6 − 8 = 4 − b ⇒ b = 6

Para que f sea derivable en x = 1 debe cumplirse que a = b = 6.


63. Se sabe que la función [ ]: 0,5f → dada por ( )2 si 0 21 si 2 5

ax bx xf x

c x x

+ ≤ <= + − ≤ ≤

, es derivable en el intervalo

( )0,5 y además verifica que ( ) ( )0 5f f= . ¿Cuánto valen a, b y c?

En primer lugar, como ( ) ( )0 5f f= , 0 = c + 2, es decir, c = −2. La función es ( )2 si 0 2

2 1 si 2 5

ax bx xf x

x x

+ ≤ <= − + − ≤ ≤

Como debe ser continua en x = 2, los límites laterales en dicho punto deben ser iguales y además coincidir con el valor de la función:

( ) ( )2

2 2lim lim 2 4

x xf x ax bx a b

− −→ →= + = + , ( ) ( )

2 2lim lim 2 1 1

x xf x x

+ +→ →= − + − = − , ( )2 1f = −

Así pues, para que f sea continua en x = 2, debe ser 2a + 4b = −1.

Para que sea derivable en x = 2, las derivadas laterales en ese punto deben ser iguales.

La derivada de la función para x distinto de 2, 0 y 5 es: ( )2 si 0 2

' 1 si 2 52 1

a bx xf x

xx

+ ≤ <= ≤ ≤ −

( ) ( )2 2

lim ' lim 2 4x x

f x a bx a b− −→ →

= + = + , ( )2 2

1 1lim ' lim22 1x x

f xx+ +→ →

= =−

. Así pues, para que f sea derivable en x = 2

debe ser + =142

a b . Con las ecuaciones obtenidas se plantea un sistema y se resuelve:

2 4 1 2 4 1 1 1 1 34 2 , 4 21 2 8 14 2 2 2 22

a b a bb b a b

a ba b

+ = − + = − ⇒ ⇒ − = − ⇒ = = − = − = − − − = −+ =

Para que la función f cumpla las condiciones del enunciado, a = 32

− , b = 12

y c = −2.

64. Dada la función ( )2 si 1

si 1x ax b xf xcx x

+ + <=

≥. Calcula a, b y c para que f sea derivable en x = 1, sabiendo

que ( ) ( )0 4f f= .

La función debe ser continua, y para ello, los límites laterales en x = 1 han de ser iguales y coincidir con el valor de la función en el punto:

( ) ( )2

1 1lim lim 1

x xf x x ax b a b

− −→ →= + + = + + , ( )

1 1lim lim

x xf x cx c

+ +→ →= = , ( )1f c= . Entonces, 1 + a + b = c.

Para que sea derivable en x = 1, las derivadas laterales tienen que ser iguales.

Las derivadas de la función para x distinto de 1 son: ( ) + <= >

2 si 1'

si 1x a x

f xc x

Las derivadas laterales en x = 1: ( ) ( )1 1

lim ' lim 2 2x x

f x x a a− −→ →

= + = + , ( )1 1

lim ' limx x

f x c c+ +→ →

= =

Como han de ser iguales, a + 2 = c y, como ( ) ( )0 4f f= , debe ser b = 4c.

Con las tres ecuaciones se plantea un sistema:

1

24

a b ca cb c

+ + = + = =

⇒ 1 + c − 2 + 4c = c ⇒ 4c = 1 ⇒ c = 14

⇒ b = 1 ⇒ a = 74

−

Se cumplen las condiciones del enunciado para la función f si a = 74

− , b = 1, c = 14

.


Derivada de las operaciones con funciones

65. Dadas ( ) 2 2 1f x x x= + + y ( ) 3 1g x x= − , calcula:

a) ( ) ( )'2f x c) ( ) ( )'2 3f g x−

b) ( )'g x

f

d) ( )

'

25 xg

En primer lugar, ( )' 2 2f x x= + y ( )' 3g x =

a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )'2 22 ' 2 2 1 2 2f x f x f x x x x= = + + +

b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2' 2

2 2 22 2

3 2 1 3 1 2 2' ' 3 2 5

2 1 2 1

x x x xg x f x g x f xg x xxf f x x x x x

+ + − − +− − + + = = = + + + +

c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )'2 3 2 ' 3 ' 2 2 2 9 4 5f g x f x g x x x− = − = + − = −

d) ( ) ( )( )( ) ( )

− −= =

−

'

2 3 3

10 '5 303 1

g xx

g xg x

66. Sabiendo que ( )2 1f = ; ( )' 2 3f = ; ( )2 2g = ; ( )' 2 5g = y ( )' 1 0g = , calcula:

a) ( ) ( )' 2f g c) ( ) ( )'

2g e) ( )'1 2g

f

b) ( ) ( )'2 2f g d) ( ) ( )' 2g f f) ( ) ( )

'2nf

a) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )' 2 ' 2 ' 2 ' 2 5 3 5 15f g f g g f= = ⋅ = ⋅ =

b) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )'2 2 2 2 ' 2 ' 2 2 2 ' 2 5 2 1 3 5 30f g f g f g g f f= = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =

c) ( ) ( ) ( )( )

' ' 2 5 5 2242 22 2

gg

g= = =

d) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )' 2 ' 2 ' 2 ' 1 3 0 3 0g f g f f g= = ⋅ = ⋅ =

e) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( )( )

( ) ( )( )( )

' '

2 2 2

' 2 ' 21 1 32 2 ' 2 ' 2 5 5 15122

f g fg g g g

f f ff g

= = − = − ⋅ = − ⋅ = −

f) ( ) ( ) ( ) ( )' 1 12 2 ' 2 1 3 3n n nf nf f n n− −= = ⋅ ⋅ =

67. Calcula aplicando la regla de la cadena las derivadas de las siguientes funciones.

a) ( ) ( )5f x x x= + b) ( )

335

xf xx

+ = −

a) ( ) ( )4 1' 5 12

f x x xx

= + +

b) ( )

( )( )

( )

22

2 4

24 33 8' 35 5 5

xxf xx x x

++ − = = − − − −


Derivada de las funciones elementales

68. ¿Para qué valores de x se anula la derivada de ( )3

22 53xf x x x= − − ?

La derivada es ( ) 2' 4 5f x x x= − − . Para hallar los valores de x que la anulan, se iguala a 0 y se resuelve la ecuación:

x2 − 4x − 5 = 0 ⇒ 4 16 20 4 62 2

x ± + ±= = ⇒ x = −1, x = 5. Por tanto, la derivada de f se anula si x = −1 o x = 5.

69. Calcula la derivada de estas funciones.

a) ( ) 2 12

xf xx

+=

+ b) ( )

1xf x

x=

+ c) ( )

2 11

xf xx

+=

− d) ( ) 1xf x

x+

=

a) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

+ − + + − −= = =

+ + +2 2 2

2 2 2 1 2 4 2 1 3'2 2 2

x x x xf xx x x

b) ( ) ( )

( )

2

2

11 1'

2 2 11 1

x xx

f xx xx

x x

+ −

+= =

++ +

c) ( )( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

2 1 1 2 1'1 1

x x x x xf xx x

− − + − −= =

− −

d) ( )( )

2

2

11'

1 12 2

x xxf xx xx

x x

− +−

= =+ +

70. Calcula la derivada de estas funciones (te será útil manejar las propiedades de los logaritmos).

a) ( ) 1lnf xx

=

c) ( ) = lnf x x

b) ( ) 2lnf x x= d) ( ) ( ) ( )2ln 5 2 1f x x x = + −

a) ( ) ( )1 1ln ln1 ln ln 'f x x x f xx x

= = − = − ⇒ = −

c) ( ) ( )1 1ln ln '2 2

f x x x f xx

= = ⇒ =

b) ( ) ( ) ( )2 2ln 2ln 'f x x x f xx

= = ⇒ = d) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 4ln 5 2ln 2 1 '5 2 1

f x x x f xx x

= + + − ⇒ = ++ −

71. Se considera la función ( ) 3 lnf x ax b x= + , siendo a y b parámetros reales. Determina los valores de a y b sabiendo que ( )1 2f = y que ( )' 1f se anula.

Como ( )1 2f = , 32 1 ln1a b a= ⋅ + = . Por tanto, a = 2, y la función es ( ) 32 lnf x x b x= + .

La derivada es ( ) 2' 6 bf x xx

= + , y como se anula en x = 1, ( ) 20 ' 1 6 1f b= = ⋅ + . Por tanto, b = −6.

Para que se cumplan las condiciones, los valores de a y b han de ser a = 2 y b = −6.


72. Calcula ( )' 0,5f − siendo f la función dada por:

( ) 22

1 53 150f x x xx

= + − + , (x ≠ 0)

La función derivada es ( ) 32' 2 53f x xx

= − − , y entonces, ( ) ( )( )

− = ⋅ − − − = − + − = −− 3

2' 0,5 2 0,5 53 1 16 53 380,5

f .


a) ( ) 2 186xf x x

x= − + h) ( )

lnxf xx

=

b) ( ) 3xf x xe= i) ( ) 5 lnf x x=

c) ( ) ( )425f x x x= − j) ( )2

23 1xf x

x=

+

d) ( )3

84xf x = − k) ( )

5

66 xf x

x−

=

e) ( )3xf x e= l) ( ) 2 lnf x x x= −

f) ( ) 2 xf x x e= − m) ( ) 3f x x=

g) ( )( )

( )23 ln 1

2 5f x x

x= + −

− n) ( ) 3 1

xef xx

=+

a) ( ) 21 1' 166

f x xx

= − − h) ( )( ) ( )2 2

1ln ln 1'ln ln

x x xxf xx x

− −= =

b) ( ) ( )3 3 3' 3 1 3x x xf x e xe e x= + = + i) ( ) 5'2 ln

f xx x

=

c) ( ) ( ) ( )= − −32 2' 5 5 9f x x x j) ( )

( )( ) ( )

2 2

2 22 2

2 3 1 6 2'3 1 3 1

x x x x xf xx x

+ −= =

+ +

d) ( )23'

4xf x = k) ( ) ( )6 7 2

6 1 36 1'f x f xxx x x

= − ⇒ = − +

e) ( )32' 3 xf x x e= l) ( ) 1 1'f x

xx= −

f) ( )' 2 xf x x e= − m) ( ) ( )3 12 23 3'

2 2xf x x f x x= ⇒ = =

g) ( )( )3

12 1'12 5

f xxx

−= −

−− n) ( )

( )( )

( )( )

3 2 3 2

2 23 3

1 3 3 1'

1 1

x x xe x x e e x xf x

x x

+ − − += =

+ +


74. Halla la derivada de estas funciones.

a) ( ) 7 1xf x e −= e) ( )2 3 2x xf x e e e−= ⋅ ⋅

b) ( ) xf x e= f) ( )2 3

1

x x

xe ef x

e+

=+

c) ( )3

21

xef xx

=+

g) ( ) 52

12 xf xx

= +

d) ( ) ( )2ln 1 3f x x x = + h) ( ) lnxf x e x−= ⋅

a) ( ) 7 1' 7 xf x e −=

b) ( )'22

x x

x

e ef xe

= =

c) ( )( )

( )( )( )

3 2 3 3 2

2 22 2

3 1 2 3 2 3'

1 1

x x xe x e x e x xf x

x x

+ − − += =

+ +

d) ( ) ( ) ( ) ( )2

2 33

1 9ln 1 3 ln 3 '3xf x x x x x f x

x x+ = + = + ⇒ = +

e) ( ) ( ) ( )− − + − += = ⇒ = −2 2 23 2 3 2 3 2' 2 3x x x x x xf x e e e e f x x e

f) ( )( )

( )22 3

2 21

' 21 1

x xx xx x

x x

e ee ef x e f x ee e

++= = = ⇒ =

+ +

g) ( ) = ⋅ ⋅ −53

2' 5 2 ln2xf xx

h) ( ) − − − = − + = − +

1 1' ln lnx x xf x e x e e xx x



a) ( ) ( )= − +2sen 3 5 1f x x x g) ( ) = sen xf x e

b) ( ) sen cosf x x x= ⋅ h) ( ) ( )2ln cosf x x=

c) ( ) sen cosxsen cos

xf xx x

+=

− i) ( ) arctg

arctg 1xf x

x=

+

d) ( ) =+

3

2cos1

xf xx

j) ( ) 1arcsen xf xx+ =

e) ( ) ( )tg 3 2f x x x= + k) ( ) arccos 2 5f x x= +

f) ( ) ( )= −3 2cos 5xf x e x l) ( ) ( )2arctg 2 1f x x x= − +

a) ( ) ( ) ( )2' 6 5 cos 3 5 1f x x x x= − − +

b) ( ) ( ) 2 2' cos cos sen sen cos sen cos2f x x x x x x x x= ⋅ + ⋅ − = − =

c) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )

− − − + + −= =

− −2 2

cos sen sen cos sen cos cos sen 2'sen cos sen cos

x x x x x x x xf x

x x x x

d) ( )( )

( )

2 3 2 3

22

3 cos 1 2 cos'

1

x x x x xf x

x

⋅ + −=

+

e) ( ) ( ) ( )( )2' tg 3 2 3 1 tg 3 2f x x x x= + + + +

f) ( ) ( ) ( )[ ]( )= − − − −2 2 2' 3cos 5 sen 5 10x x xf x e x e x e x

g) ( ) sen' cos xf x x e= ⋅

h) ( )2

22 sen'cosx xf x

x−

=

i) ( )( )

( ) ( ) ( )2 2

2 22

1 1arctg 1 arctg 11 1'arctg 1 1 arctg 1

x xx xf x

x x x

+ − ⋅+ += =

+ + +

j) ( ) 22

1 1'11

f xxx

x

−= ⋅

+ −

k) ( )( )1 1'

2 51 2 5f x

xx= − ⋅

+− +

l) ( )( )22

2 2'1 2 1

xf xx x

−=

+ − +


76. Determina ( )' 3g siendo ( ) 3 12 xg x xe −= .

La función derivada es ( ) 3 1 3 1' 2 6x xg x e xe− −= + y entonces, ( ) 8 8 8' 3 2 18 20 .g e e e= + =

77. Calcula la ecuación de la recta tangente en x = −1 a la función ( ) 3 23f x x x= − .

La derivada de la función es ( ) 2' 3 6f x x x= − , y la pendiente de la recta tangente es ( )' 1 9f − = .

El punto de tangencia es ( )( ) ( )1, 1 1, 4A f A− − = − − .

Así pues, la recta tangente es ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 ' 1 1 4 9 1 9 5y f f x y x y x− = − − − ⇒ − − = + ⇒ = + .

78. Dibuja la parábola ( ) 2 6 8f x x x= − + .

a) ¿En qué punto de la gráfica la tangente es horizontal?

b) Halla la ecuación de la tangente a f en el punto ( )2,0P .

a) Para que la tangente sea paralela al eje de abscisas, su pendiente tiene que

ser 0. Como la pendiente de la recta tangente es la derivada de la función en el punto de tangencia, hay que encontrar el valor de x que anula la primera derivada, ( )' 2 6f x x= − , que se anula si x = 3.

Entonces, el punto ( )( ) ( )3, 3 3, 1A f A= − es el punto de la parábola cuya tangente es paralela al eje de abscisas (coincide con su vértice).

b) La recta pedida tiene por ecuación ( ) ( )0 ' 2 2y f x− = − , es decir,

( )2 2y x= − − .

Por tanto, y = −2x + 4.

79. Dada la función ( ) 3f x ax bx

= + + , calcula a y b de manera que la gráfica de f pase por el punto ( )3,4A y

tenga tangente horizontal en dicho punto.

= ⇒ + + =(3) 4 3 1 4f a b

Además, ( )' 3f debe ser 0 y, como la derivada es ( ) 23'f x ax

= − , entonces, − =1 03

a . Despejando, 13

a = .

Al sustituir el valor de a en la primera ecuación se obtiene que 13 1 4 23

b b⋅ + + = ⇒ = .

Por tanto, 13

a = y b = 2.


80. ¿Para qué valores de x se anula la derivada de las siguientes funciones?

a) ( ) 5 3f x x= − e) ( ) 23 5 1f x x x= − +

b) ( ) 23

xf xx

=+

f) ( )2

1xf x

x=

+

c) ( ) 2xf x e= g) ( )2 6x xf x e −=

d) ( ) ( )ln 3 7f x x= + h) ( ) ( )2ln 2f x x x= −

a) ( )' 5f x = . No se anula para ningún valor de x.

b) ( ) ( )( ) ( )2 2

2 3 2 6'3 3

x xf x

x x

+ −= =

+ +. No se anula para ningún valor de x.

c) ( ) 2' 2 xf x e= . No se anula para ningún valor de x.

d) ( ) 3'3 7

f xx

=+

. No se anula para ningún valor de x.

e) ( )' 6 5f x x= − . ( ) 5' 0 6 5 06

f x x x= ⇒ − = ⇒ = .

f) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

2 2

2 2 2

2 1 22'1 1 1

x x x x xx xf xx x x

+ − ++= = =

+ + +. ( ) ( )' 0 2 0f x x x= ⇒ + = ⇒ x = 0 o x = −2

g) ( ) ( )2 6' 2 6 x xf x x e −= − . ( )' 0 2 6 0f x x= ⇒ − = ⇒ x = 3.

h) ( ) 22 2'

2xf x

x x−

=−

. ( )' 0 2 2 0f x x= ⇒ − = ⇒ x = 1, pero x = 1 no pertenece al ( ) [ )= −∞ ∪ + ∞( ) , 0 2,D f , luego

( )'f x no se anula para ningún valor de ∈ ( )x D f .

81. Halla los valores de a y b para que la recta tangente a la gráfica de ( ) 2f x ax b= − en el punto ( )1,5 sea la recta y = 3x + 2. Se sabe que ( )' 1 3f = porque es la pendiente de su recta tangente.

Como ( )' 2f x ax= , entonces, ( )3 ' 1 2f a= = , de donde 32

a = .

La función es ( ) 232

f x x b= − .

También se sabe que el punto (1, 5) pertenece a la gráfica de dicha función, por tanto, ( )1 5f = , ( ) 35 12

f b= = − y

entonces, 3 752 2

b = − = − .

Por tanto, 32

a = y 72

b = − .


82. Considera la función ( ) ( ) ( )h x f x g x= donde las gráficas de f y g son las que se dan a continuación.

I. a) Calcula ( )2h − y ( )3h .

b) Calcula aproximadamente ( )' 2f − , ( )' 3f , ( )' 2g − y ( )' 3g .

c) Calcula aproximadamente ( )' 2h − y ( )' 3h .

II. Con las mismas gráficas del apartado anterior, sea ( ) ( )c x f g x= .

a) Calcula ( )2c − y ( )3c .

b) ¿Es ( )' 3c − positivo, negativo o cero? ¿Y ( )' 1c − ? Explica en cada caso, cómo puedes saberlo.

I. a) ( ) ( ) ( )− = − − = ⋅ =2 2 2 1 3 3h f g

( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 0 3 0h f g g= = ⋅ =

b) Imaginándose las rectas tangentes y estimando su pendiente:

( )' 2 1f − = − , ( ) = −' 3 2f , ( )' 2 0g − = y ( ) 1' 32

g =

c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' 2 ' 2 2 2 ' 2 1 3 1 0 3h f g f g− = − − + − − = − ⋅ + ⋅ = −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + = − ⋅ − + ⋅ =1' 3 ' 3 3 3 ' 3 2 1 0 22

h f g f g

II. a) ( ) ( )( ) ( )2 2 3 0c f g f− = − = =

( ) ( )( ) ( ) 13 3 14

c f g f= = − =

b) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )− = − − = −' 3 ' 3 ' 3 ' 2,5 ' 3c f g g f g

( )' 2,5f es negativo (la tangente tiene pendiente negativa en ese punto), y ( )' 3g − es positivo.

Luego ( )' 3c − es negativo ( )− ⋅ + = − .

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )− = − − = −' 1 ' 1 ' 1 ' 2,5 ' 1c f g g f g

Como ( ) <' 2,5 0f y ( )− <' 1 0g , entonces ( )− >' 1 0.c


83. Se considera la función ( )2xf x

a bx=

−, siendo a y b parámetros reales. Determina los valores de los

parámetros a y b para los que ( )2 4f = − , y la recta tangente a la gráfica de ( )f x en x = 6 sea horizontal.

( ) 42 4 4 2 12

f a ba b

= − ⇒ = − ⇒ − = −−

La derivada de la función es ( ) ( )( )

2

2

2'

x a bx bxf x

a bx

− +=

−.

Como se sabe que ( )' 6 0f = , entonces: ( ) ( )( )2

12 6 360 ' 6 12 36 0 3 0

6

a b bf a b a b

a b

− += = ⇒ − = ⇒ − =

−.

Se resuelve el sistema obtenido: ( )2 1 2 11, 3 3 1 3

3 0 3 0a b a b

b a ba b a b

− = − − = − ⇒ ⇒ = − = = ⋅ − = − − = − + =

Por tanto, a = −3 y b = −1.

Crecimiento y decrecimiento. Extremos relativos

84. Determina los máximos y mínimos relativos de la función ( ) 4 23 6f x x x= − .

La derivada es ( ) ( ) ( ) ( )3 2' 12 12 12 1 12 1 1f x x x x x x x x= − = − = − + y se anula en x = 0, x = 1 y x = −1.

x ( ), 1−∞ − −1 ( )1,0− 0 ( )0,1 1 ( )1,+∞ Signo de 'f − = 0 + = 0 − = 0 +

Comportamiento de f Decreciente Mínimo

relativo Creciente Máximo relativo Decreciente Mínimo

relativo Creciente

La función tiene mínimos relativos, que también son absolutos en los puntos ( )1, 3A − − y ( )1, 3B − tiene un máximo

relativo en el punto ( )0,0C


85. Estudia el crecimiento y los extremos relativos de:

a) ( ) 11

xf xx

−=

+ d) ( ) ln xf x

x= g) ( ) 12

2f x x

x= +

b) ( ) ( )21x

xf x

e+

= e) ( )( )2

12

f xx

=−

h) ( ) ( )−=

−

2

2

11

x xf x

x

c) ( )21 xf x e −= f) ( ) ( )3 2f x x x= + i) ( )

2x

f xx

=−

En todos los casos hay que estudiar para qué valores se anula la derivada y el signo de la misma en los intervalos definidos por dichos puntos y los que no pertenezcan al dominio.

a) El dominio de ( )f x es ( ) { }1D f = − − . La derivada es ( )( )2

2'1

f xx

=+

. Es siempre positiva, por lo que la

función es creciente en todo su dominio y no tiene extremos relativos.

b) El dominio de ( )f x es .

Su derivada es ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2

2 2 2

1 2 12 1 1 1 1'

xx x x

x x x

x e xx e x e x x ef x

e e e

+ − ++ − + + −= = = , que se anula si

( ) ( )1 1 0xx x e+ − = ⇒ x = −1, x = 1.

x ( ), 1−∞ − −1 ( )1,1− 1 ( )1,+∞

Signo de 'f − = 0 + = 0 −

Comportamiento de f Decreciente Mínimo relativo Creciente Máximo

relativo Decreciente

La función es decreciente en ( ) ( ), 1 1,−∞ − ∪ +∞ y creciente en ( )1,1− .

Tiene un mínimo relativo, que es también absoluto, en ( )1,0A − , y tiene un máximo relativo en

41,Be

.

c) El dominio de ( )f x es . Su derivada es ( )21' 2 xf x xe −= − , que se anula si x = 0. Para valores negativos, la

derivada es positiva, la función crece, y para valores positivos, la derivada es negativa, la función decrece. Por tanto, la función es creciente en ( ),0−∞ y decreciente en ( )0,+∞ .

Tiene un máximo relativo, que también es absoluto, en el punto ( )0,A e .

d) El dominio de ( )f x es ( )0,+∞ . Su derivada, ( ) 21 ln' xf x

x−

= , se anula si 1 − ln x = 0, es decir, si x = e.

A la izquierda de e, la derivada es positiva y a la derecha es negativa. Por tanto, ( )f x es creciente en ( )0, e y

decreciente en ( ),e +∞ . Tiene un máximo relativo, que también es absoluto, en el punto 1,A ee

.

e) El dominio de ( )f x es ( ) { }2D f = − . Su derivada es ( )( )3

2'2

f xx

−=

−, que no se anula nunca. Por tanto, la

función no tiene extremos relativos.

x ( )−∞, 2 2 ( )2,+∞

Signo de 'f + ( )'D f∉ −

Comportamiento de f Creciente Asíntota vertical Decreciente

La función crece en ( ),2−∞ y decrece en ( )2,+∞ . La recta x = 2 es una asíntota vertical.


f) El dominio de ( )f x es . Su derivada es ( ) ( )3 2 2' 4 6 2 2 3f x x x x x= + = + y se anula si x = 0 o si 32

x = − .

x 3,2

−∞ −

32

− 3 ,02

−

0 ( )0,+∞

Signo de 'f − = 0 + = 0 +

Comportamiento de f Decreciente Mínimo relativo Creciente Creciente

La función es decreciente en 3,2

−∞ −

y creciente en 3 ,2

− +∞

. Tiene un mínimo en 3 27,2 16

A − −

.

g) El dominio de ( )f x es ( ) { }0D f = − . Su derivada es ( ) 21' 2

2f x

x= − y se anula si 1

2x = − o si 1

2x = .

x 1,2

−∞ −

12

− 1 ,02

−

0 10,2

12

1 ,2

+∞

Signo de 'f + = 0 − ( )'D f∉ − = 0 + Comportamiento

de f Creciente Máximo relativo Decreciente Asíntota

vertical Decreciente Mínimo relativo Creciente

La función es creciente en 1 1, ,2 2

−∞ − ∪ +∞

y decreciente en 1 1,0 0,2 2

− ∪

. Tiene un máximo relativo en

el punto 1 , 22

A − −

y un mínimo relativo en 1 ,22

B

. La recta x = 0 es una asíntota vertical.

h) El dominio de ( )f x es ( ) { }1,1D f = − − . ( ) ( )( )

− +=

+ 2

2'

1

x xf x

x y se anula si x = 0 o x = −2.

x ( ), 2−∞ − −2 ( )2, 1− − −1 ( )1,0− 0 ( )0,1 1 ( )+∞1, Signo de

'f − = 0 + ( )'D f∉ + = 0 − ( )D f∉ −

Comporta-miento de f

Decre-ciente

Mínimo relativo Creciente Asíntota

vertical Creciente Máximo relativo

Decre-ciente

Disc. evitable

Decre-ciente

La función es decreciente en ( ) ( ) ( ), 2 0,1 1,−∞ − ∪ ∪ +∞ y creciente en ( ) ( )− − ∪ −2, 1 1, 0 . Tiene un mínimo

relativo en el punto ( )2,4A − y un máximo relativo en el punto ( )0,0B . En el punto x = 1 hay una

discontinuidad evitable porque ( )1

1lim2x

f x→

= − . La recta x = −1 es una asíntota vertical.

i) El dominio de ( )f x es ( ) { }2D f = − . Se expresa como función definida a trozos a trozos y su derivada es,

( )( )

( )

− < −= > −

2

2

2 si 02

'2 si 0

2

xx

f xx

x

, que no está definida para x = 0, ya que ( )0

1lim '2x

f x−→

= − y ( )0

1lim '2x

f x+→

= .

Además, si x ≠ 0, ( )'f x no se anula; por tanto, no tiene extremos con tangente horizontal.

x ( ),0−∞ 0 ( )0,2 2 ( )2,+∞

Signo de 'f − ( )∉ 'D f + ( )D f∉ + Comportamiento de

f Decreciente Punto anguloso Creciente Asíntota

vertical Creciente

La función decrece en ( ),0−∞ y crece en ( ) ( )0,2 2,∪ +∞ . En x = 0 hay un punto anguloso que es un mínimo relativo. La recta x = 2 es una asíntota vertical.


86. Determina dónde se alcanza el mínimo de la función ( ) 23 6f x x x a= − + . Calcula el valor de a para que el valor mínimo de la función sea 5.

La derivada de la función es ( )' 6 6f x x= − , que se anula si x = 1. Como la función es una parábola cóncava hacia

arriba (el coeficiente de x2 es positivo), en x = 1 se encuentra su vértice, que es, por tanto, un mínimo absoluto, ( )( )1, 1V f , que ha de cumplir que ( )1 5f = ; entonces, 3 · 12 − 6 · 1 + a = 5 y, por tanto, a = 8.

87. *Halla los extremos relativos de ( ) ( )21x

xf x

e−

+= .

La función es continua en todo . Su derivada es ( ) ( )( )−

+ +=

1 3' x

x xf x

e, y se anula si x = −1 o si x = −3.

x ( )−∞ −, 3 −3 ( )− −3, 1 −1 ( )− +∞1,

Signo de 'f + = 0 − = 0 + Comportamiento de

f Creciente Máximo relativo Decreciente Mínimo

relativo Creciente

La función tiene un máximo relativo, en el punto ( )( ) − − = − 3

43, 3 3,A f Ae

. Obsérvese que la función f no es

negativa nunca. Tiene un mínimo relativo, que también es absoluto, en el punto ( )( ) ( )− − = −1, 1 1,0B f B .

88. Para cada h se considera la función ( ) 3 22 3f x x x h= − + .

a) Halla los puntos en los que f alcanza sus valores máximos y mínimos.

b) Encuentra h para que el valor de f en el mínimo local hallado antes sea 0.

a) La derivada es ( ) ( )2' 6 6 6 1f x x x x x= − = − y se anula si x = 0 o x = 1.

La segunda derivada es ( )'' 12 6f x x= − .

Como ( )'' 0 6 0f = − < , el punto ( )0,A h es un máximo relativo.

Como ( )'' 1 6 0f = > , el punto ( )1, 1B h− + es un mínimo relativo.

b) Para que −1 + h = 0, debe cumplirse que h = 1.


89. De dos funciones, f y g, se sabe que la representación gráfica de sus funciones derivadas es una recta que pasa por los puntos de ( )0,2A y ( )2,0B , en el caso de 'f , y una parábola que corta al eje X en ( )0,0O y

( )4,0C y tiene por vértice ( )2,1V , en el caso de 'g . Utilizando las gráficas de tales derivadas:

a) Estudia el crecimiento y decrecimiento de f y g.

b) Determina, si existen, los máximos y mínimos de f y g.

a) La derivada de f es la recta de la gráfica.

Se observa que ( )' 0f x > si x < 2 y ( )' 0f x < si x > 2.

Así pues, la función f es creciente en ( ),2−∞ y decreciente en ( )2,+∞ .

La derivada de g es la parábola cóncava hacia abajo de la gráfica.

Se observa que ( )' 0g x < si x < 0 o si x > 4 y ( )' 0g x > si 0 < x < 4.

Así pues, la función g es decreciente en ( ) ( ),0 4,−∞ ∪ +∞ y creciente

en ( )0,4 .

b) La función f tiene un máximo relativo (que también es absoluto) en el punto ( )( )2, 2A f y no tiene mínimos.

La función g tiene un mínimo relativo en el punto ( )( )0, 0B g y un máximo relativo en el punto ( )( )4, 4C g .

Problemas de optimización

90. En cada caso, averigua razonadamente dónde alcanza el máximo absoluto la función dada.

a) ( ) 2 4f x x= + si 0 ≤ x ≤ 4 b) ( ) 2 4f x x= − si 4 < x ≤ 8

a) La derivada de f es ( )' 2f x = , que no se anula nunca.

Como ( )0 4f = y ( )4 12f = , el máximo absoluto se alcanza en el punto ( )4,12A .

b) La derivada de f es ( )' 2f x x= , que se anula si x = 0, pero no pertenece a (4, 8].

( )4

lim 12x

f x+→

= y ( )8 60f = , el máximo absoluto se alcanza en el punto ( )8,60B .


91. Una cadena de montaje está especializada en la producción de un modelo de motocicleta. Los costes de producción en euros, ( )C x , se relacionan con el número de motocicletas fabricadas, x mediante la expresión:

( ) 210 2000 250 000C x x x= + +

Si el precio de venta de cada motocicleta es de 8000 euros y se venden todas las fabricadas, se pide:

a) Define la función de ingresos que obtiene la cadena de montaje en función de las unidades vendidas.

b) ¿Qué función expresa los beneficios de la cadena?

c) ¿Cuántas motocicletas debe fabricar para maximizar beneficios? ¿A cuánto ascenderán los mismos?

a) Ingresos: ( ) 8000I x x=

b) Beneficios = Ingresos − Costes:

( ) ( ) ( ) ( )2 28000 10 2000 250 000 10 6000 250 000B x I x C x x x x x x= − = − + + = − + −

c) La función beneficios es una parábola cóncava hacia abajo cuyo máximo absoluto se encuentra en el vértice. Su derivada es ( )' 20 6000B x x= − + y sea anula si x = 300. Fabricando 300 motocicletas se maximizan los

beneficios que ascenderán a ( )300 650 000B = euros.

92. En una planta depuradora de aguas residuales la expresión que determina el coste de funcionamiento anual en función de la cantidad de agua depurada es:

( ) 235 140 2600C x x x= − +

donde ( )C x son los costes expresados en euros y x es el volumen de agua depurada en un año en miles de metros cúbicos. Determina:

a) La cantidad de agua depurada que hace mínimo el coste.

b) El valor de dicho coste mínimo.

c) El coste de la depuración de agua de una localidad de 2000 habitantes, si cada uno genera al año 8 metros cúbicos de agua para depurar.

a) La función ( )C x es una parábola cóncava hacia arriba que tiene su mínimo absoluto en el vértice. Si

derivamos, ( )' 70 140C x x= − , e igualamos a cero, ( )' 0 70 140 0C x x= ⇒ − = ⇒ x = 2. Con 2000 m3 se minimiza el coste.

b) El coste mínimo son ( )2 2460C = euros.

c) En la ciudad se generan ⋅ =8 2000 16 000 m3 de agua para depurar. El coste será

( ) = ⋅ − ⋅ + =216 35 16 140 16 2600 9320C euros.


93. En una empresa la relación entre la producción x (en miles de toneladas) y el coste medio de fabricación ( )C x (en miles de euros) es de la forma:

( ) 92C x xx

= + + 1 ≤ x ≤ 10

a) Calcula la cantidad de producción que minimiza el coste medio y cuál es dicho coste mínimo.

b) Calcula la cantidad de producción que maximiza el coste medio y cuál es dicho coste máximo.

c) Si no se desea superar los 12 mil euros de coste medio, ¿entre qué valores deberá estar comprendida la producción?

La función derivada es ( ) 29' 1C xx

= − , que se anula si ( ) 22

9' 0 1 0 9 0C x xx

= ⇒ − = ⇒ − = ⇒ x = 3. (la solución

negativa se descarta por la naturaleza del problema).

Comparamos:

( )1 12C = ( )3 8C = ( )10 12,9C =

a) El coste mínimo medio es de 8000 euros y se consigue con una producción de 3000 toneladas.

b) El coste máximo medio es de 12 900 euros y se consigue con una producción de 10 000 toneladas.

c) Debemos resolver esta inecuación ( ) ( )2912 2 12 10 9 0 1,9C x x x x xx

< ⇒ + + < ⇒ − + < ⇒ ∈ .

La producción debe moverse entre 1000 y 9000 toneladas.

94. Se quiere abrir un tragaluz de forma rectangular en el techo de un recinto cuya superficie sea de 162 m2 y rematar la obra con un marco, de perfil de aluminio, de solo tres lados ya que uno de los lados del tragaluz da al exterior y no necesita marco.

a) ¿Qué dimensiones debe tener el rectángulo para emplear la mínima longitud posible de perfil de aluminio?

b) ¿Cuántos metros de perfil de aluminio son necesarios?

a) 1. Sea x la longitud en metros del tramo doble e y la longitud en metros del

tramo que está enfrente del que no necesita marco como indica la figura.

2. La función coste que hay que minimizar es L = 2x + y.

3. Como la superficie de la ventana es de 162 m2, x e y deben cumplir que

x · y = 162 ⇒ 162yx

= .

Así se obtiene la función coste en función de una sola variable. ( ) 1622L x xx

= + .

4. La única restricción para x es que sea positiva.

5. Se calcula el mínimo de ( ) 1622L x xx

= + en el intervalo ( )0,+∞ . La derivada es ( ) 2162' 2L xx

= − , que se

anula si 2 22

1622 0 2 162 0 81x xx

− = ⇒ − = ⇒ = ⇒ x = 9 (la solución negativa se descarta por la naturaleza

del problema). Como a la izquierda de 9 la derivada es negativa, y a la derecha es positiva, el punto ( )( ) ( )9, 9 9,36A L A= es el mínimo.

Las dimensiones de la ventana de coste mínimo son 9 metros para los lados dobles y 18 metros el tramo único.

b) Se necesitan un total de ( )9 36C = metros de aluminio.


95. Nos dicen que la función ( ) 2f t t= − es la derivada de la inflación en función del tiempo en un país, con 0 5t≤ ≤ .

a) Determina el valor de t para el que la inflación alcanza el valor mínimo y halla el valor de ese mínimo.

b) Determina cuándo la inflación es máxima y su valor.

a) La derivada, ( ) 2f t t= − , se anula si t = 2. A la izquierda de 2 es negativa (la inflación decrece), y a la derecha

de 2 es positiva (la inflación crece). En t = 2 se tiene la inflación mínima.

Dado que la función inflación tiene una expresión del tipo ( )2

22tF t t C= − + , que es una parábola cóncava

hacia arriba, se sabe que alcanza su mínimo absoluto en su vértice, que se encuentra en t = 2.

El valor que tiene en ese punto es ( )222 2 2 2

2F C C= − ⋅ + = − + .

b) Para hallar la inflación máxima hay que comparar el valor de F en los extremos del intervalo [0, 5]:

( )0F C= ( )25 55 2 5

2 2F C C= − ⋅ + = +

Está claro que ( ) ( )5 0F F> , así pues, la inflación máxima se alcanza para t = 5 y vale 52

C+ .

96. Tenemos que invertir en un fondo de inversión una cantidad de dinero mayor o igual que 1000 € y menor o igual que 9000 €. El beneficio B que se obtiene depende de la cantidad invertida x de la siguiente manera:

( ) 2

1 si1 410 21 si4 9

x xB x

x x x− ≤ <

= − + − ≤ ≤

donde tanto x como B se expresan en miles de euros.

a) Estudia la continuidad de la función B en ( )1,9 .

b) ¿Para qué valores de [ ]1,9x ∈ el beneficio positivo.?

c) Encuentra el máximo valor que alcanza el beneficio con [ ]4,9x ∈

a) Como la función es polinómica en el interior de los tramos de definición, basta estudiar qué sucede en el punto

de cambio x = 4.

( ) ( )4 4

lim lim 1 3x x

B x x− −→ →

= − = , ( ) ( )2

4 4lim lim 10 21 3

x xB x x x

+ +→ →= − + − = , ( )4 3B =

Como los tres valores coinciden, concluimos que la función B es continua en el intervalo abierto ( )1,9 .

b) Debemos resolver la inecuación ( ) 0B x > :

1er tramo, [1, 4]: ( ) 0 1 0B x x> ⇒ − > ⇒ x > 1 , luego el beneficio es positivo en el intervalo ( ]1,4 .

2º tramo, [4, 9]: ( ) 20 10 21 0B x x x> ⇒ − + − > ⇒ 3 < x < 7, luego el beneficio es positivo en el intervalo ( )4,7 .

Así pues el beneficio es positivo en el intervalo ( )1,7 , o sea, si la inversión está entre 1000 y 7000 euros.

c) En el segundo la derivada es ( )' 2 10B x x= − + si ( )4,9x ∈ , que únicamente se anula en x = 5.

Comparamos:

( )4 3B = ( )5 4B = ( )9 12B = −

El beneficio máximo en [4, 9] es de 4000 euros y se consigue invirtiendo 5000 euros.


97. Una fábrica de televisores vende cada aparato a 300 €. Los gastos de fabricar x televisores son ( ) 2200D x x x= + , donde 0 ≤ x ≤ 80.

a) Suponiendo que se venden todos los televisores que se fabrican, halla la función de los beneficios que se obtienen después de fabricar y vender x televisores.

b) Determina el número de aparatos que conviene fabricar para obtener el beneficio máximo, así como dicho beneficio máximo.

a) Beneficio = Ingresos − Gastos. Luego ( ) ( )2300 200B x x x x= − + con 0 ≤ x ≤ 80.

b) ( )' 100 2 0B x x= − = si x = 50. Comparamos:

( )0 0B = ( )50 2500B = ( )80 1600B =

Los beneficios máximos son de 2500 € y se obtienen fabricando 50 televisores.

98. Una persona amante de las matemáticas desea donar sus 3600 libros a dos bibliotecas A y B. En las instrucciones de donación, deja fijado que los lotes de libros se hagan de modo que el producto del número de libros destinados a la biblioteca A por el cubo del número de libros destinados a la biblioteca B sea máximo. Determina la cantidad de libros recibida por cada biblioteca. Si llamamos x al número de libros que hay en el lote destinado a B, entonces habrá 3600 − x libros en A y la función que debemos maximizar es ( ) ( ) 3 4 33600 3600F x x x x x= − = − + , en la que su variable x se mueve en el

intervalo cerrado [ ]0,3600 .

Su derivada es ( ) ( )3 2 2' 4 10 800 4 2700F x x x x x= − + = − + .

Dicha derivada se anula si ( ) ( )2' 0 4 2700 0F x x x= ⇒ − + = ⇒ x = 0 o si x = 2700.

Comparamos:

( )0 0F = ( )2700 0F > ( )3600 0F =

Es claro que el máximo se consigue si x = 2700, por lo que la biblioteca A recibió 900 libros, y la B, 2700 libros.


Curvatura y puntos de inflexión

99. Estudia la curvatura y halla los puntos de inflexión de las siguientes funciones.

a) ( ) 11

xf xx

−=

+ d) ( ) ( )3 2f x x x= + g) ( ) ( )2

2

11

x xf x

x−

=−

b) ( ) ( )21x

xf x

e+

= e) ( ) 122

f x xx

= + h) ( )21 xf x e −=

c) ( )( )2

12

f xx

=−

f) ( ) 1 lnf x xx

= + i) ( ) ln xf xx

=

a) ( )( )3

4''1

f xx

= −+

es positiva si x < −1, y negativa si x > −1. Por tanto, f es cóncava hacia arriba en el intervalo

( ), 1−∞ − y cóncava hacia abajo en ( )1,− +∞ . En x = −1 tiene una asíntota vertical.

b) ( ) ( ) ( )21 4 1 2'' 0 1 2x

x xf x x

e+ − + +

= = ⇒ = − o 1 2x = + . La función es cóncava hacia arriba en

( ) ( ),1 2 1 2,−∞ − ∪ + +∞ y cóncava hacia abajo en ( )1 2,1 2− + . Son puntos de inflexión

( )( ) 1 2

6 4 21 2, 1 2 1 2,A fe −

−− − = −

y ( )( ) 1 2

6 4 21 2, 1 2 1 2,B fe +

++ + = +

.

c) ( )( )4

6''2

f xx

=−

es siempre positiva. Es cóncava hacia arriba en { }2− . En x = 2 hay una asíntota vertical.

d) ( ) ( )'' 12 1 0f x x x= + = ⇒ x = 0 o x = −1. La función es cóncava hacia arriba en ( ) ( ), 1 0,−∞ − ∪ +∞ y cóncava

hacia abajo en ( )1,0− . Tiene puntos de inflexión en ( )1, 1A − − y en ( )0,0B .

e) ( ) 31'f xx

= . La función es cóncava hacia abajo en ( ),0−∞ y cóncava hacia arriba en ( )0,+∞ . En x = 0 hay una

asíntota vertical.

f) ( ) 32'' 0xf xx−

= = ⇒ x = 2. La función es cóncava hacia arriba en ( )0,2 y cóncava hacia abajo en ( )2,+∞ .

Tiene un punto de inflexión en ( )( ) 12, 2 2, ln22

A f A = +

.

g) ( )( )3

2''1

f xx

−=

+. Como ( ) { }1,1D f = − − , se estudia el signo de la derivada segunda en ( ), 1−∞ − , ( )1,1− y

( )1,+∞ . La función es cóncava hacia arriba en ( ), 1−∞ − y cóncava hacia abajo en ( ) { }1, 1− +∞ − . En x = −1 tiene una asíntota vertical, y en x = 1, una discontinuidad evitable.

h) ( ) ( )21 2 2' 4 2 02

xf x e x x−= − = ⇒ = − o 22

x = . La función es cóncava hacia arriba en

2 2, ,2 2

−∞ − ∪ +∞

y cóncava hacia abajo en 2 2,

2 2

−

. Son puntos de inflexión

2 2 2, ,2 2 2

A f A e − − = −

y 2 2 2, ,2 2 2

B f B e

= .

i) ( )32

32ln 3'' 0xf x x e

x−

= = ⇒ = . La función es cóncava hacia abajo en ( )320, e y cóncava hacia arriba en

( )32 ,e + ∞ . Tiene un punto de inflexión en

3 3 32 2 2 3, ,

2A e f e A e

e e

=

.


100. Si ( ) ( ) ( ) ( )2'' 1 3 7f x x x x= + − − , determina la curvatura y la abscisa de los puntos de inflexión de ( )f x .

La derivada segunda se anula en x = −1, x = 3 y x = 7.

Como ( )'' 0f x < en ( ) ( )1,3 3,7− ∪ y ( )'' 0f x > en ( ) ( ), 1 7,−∞ − ∪ +∞ , la función tiene dos puntos de inflexión: uno en el punto de abscisa x = −1 y otro en el punto de abscisa x = 7.

En x = 3 no hay un punto de inflexión, pues no hay cambio de curvatura.

101. a) Halla los puntos de inflexión de ( ) 2 1xf x

x=

+.

b) Halla la recta tangente a la gráfica de f en su punto de inflexión de abscisa positiva.

a) ( )( )

( )( )

( )

22

2 32 2

2 31' '' 01 1

x xxf x f xx x

−−= ⇒ = = ⇒

+ + x = 0, 3x = − o 3x = .

Como la derivada segunda es positiva en ( ) ( )3,0 3,− ∪ +∞ y negativa en ( ) ( ), 3 0, 3−∞ − ∪ , la función

tiene tres puntos de inflexión: 33,4

A

− −

, ( )0,0B y 33,4

C

.

b) Para hallar la recta tangente en 33,4

C

hay que calcular ( ) 1' 38

f = − .

La ecuación de la recta tangente es ( ) ( ) ( ) ( )3 13 ' 3 3 34 8

y f f x y x− = − ⇒ − = − − .

Por tanto, 1 3 38 8

y x= − +

102. La gráfica que se muestra en la figura representa la derivada de cierta función ( )f x .

A partir de ella, deduce los intervalos de crecimiento y decrecimiento de ( )f x , así como sus extremos relativos, su curvatura y sus puntos de inflexión. La función derivada es positiva en ( ) ( ), 1 3,−∞ − ∪ +∞ . Por tanto, es creciente en esos intervalos y es negativa en

( )1,3− , donde la función es decreciente.

Como la derivada se anula en x = −1 y en x = 3, y en esos puntos cambia de signo, la función tiene un máximo para x = −1 y un mínimo para x = 3.

Además, la función derivada tiene un mínimo en x = 1, luego en ese valor se anula la derivada segunda. Como la función derivada decrece en ( ), 1−∞ − , la derivada segunda es negativa en ese intervalo y, por tanto, la función es

cóncava hacia abajo en él. En ( )1,+∞ , la función derivada es creciente, luego la derivada segunda es positiva en ese intervalo y, por tanto, la función es cóncava hacia arriba en él.

Dado que en x = 1 se anula la segunda derivada de la función y cambia su curvatura, tiene un punto de inflexión en el punto de abscisa x = 1.


103. Demuestra que la función 4 3 2 1y x x x x= − + − + no tiene ningún punto de inflexión.

3 2' 4 3 2 1y x x x= − + − 2'' 12 6 2y x x= − +

La derivada segunda no se anula, luego la curva no tiene ningún punto de inflexión.

104. Utiliza el criterio de la segunda derivada para hallar los máximos y mínimos relativos de estas funciones.

a) ( ) ( )3 2f x x x= − b) ( ) 3 22 15 36f x x x x= − +

a) ( ) 3 2' 4 6 0f x x x= − = si x = 0 o 32

x =

Se halla ( ) 2'' 12 12f x x x= − y se estudia su signo en x = 0 y 32

x = .

( )'' 0 0f = . Por tanto, no se puede afirmar si es o no un extremo relativo, tenemos que recurrir a estudiar el

crecimiento de la función. Estudiamos el signo de la primera derivada a izquierda y derecha de x = 0, ( )' 0f − y

( )' 0f + son negativos. Entonces, en x = 0 no hay ni máximo ni mínimo.

3 3 3 3 27'' 9 0 , ,2 2 2 2 16

f A f A = > ⇒ = − es un mínimo.

b) ( ) 2' 6 30 36 0f x x x= − + = si x = 2 o x = 3. Se halla ( )'' 12 30f x x= − y se estudia su signo en x = 2 y x = 3.

( )'' 2 6 0f = − < ⇒ la función tiene un máximo en ( )( ) ( )2, 2 2,28A f A= .

( )'' 3 6 0f = > ⇒ la función tiene un mínimo en ( )( ) ( )3, 3 3,27B f B= .

105. Halla los valores de m que hacen que la función ( ) 4 3 24 3 2f x x x mx x= + + + − sea siempre cóncava hacia arriba.

( ) 3 2' 4 12 2 3f x x x mx= + + + ( ) 2'' 12 24 2f x x x m= + +

La función es siempre cóncava hacia arriba si ( )'' 0f x ≥ , es decir, si 2 212 24 2 0 6 12 0x x m x x m+ + ≥ ⇒ + + ≥ , para

lo cual, la ecuación 26 12 0x x m+ + = tiene como máximo una solución real, es decir, 144 24 0m− ≤ .

Por tanto, 144 624

m ≥ = .

Teoremas sobre funciones derivables

106. Determina cuántas veces corta al eje horizontal la gráfica de:

( ) 4 3 25 2f x x x x= − + −

La función corta al eje horizontal al menos dos veces, pues ( )10 0f − > , ( )0 0f < , ( )10 0f > y f es continua.

Por otra parte, ( ) 3 2 2' 4 3 10 (4 3 10) 0f x x x x x x x= − + = − + = solo en x = 0, por lo que f se anula dos veces, ya que, según el teorema de Rolle, entre cada dos ceros de la función existe un punto donde se anula la derivada.


107. Sea ( ) ( ) ( )3 21 2 3f x x x= + − + . Demuestra que la ecuación ( )' 0f x = tiene alguna solución en [ ]1,2− .

La función es continua en [ ]1,2− y derivable en ( )1,2− .

Además, ( ) ( )1 2 3f f− = = .

Por el teorema de Rolle, existe c en ( )1,2− ( ) ( ) ( )( )

2 1' 0

2 1f f

f c− −

= =− −

.

108. Aplicando el teorema de Rolle, justifica que la gráfica de la función ( ) 53 7 1f x x x= + + no puede cortar 2 veces al eje horizontal. Si la función cortara dos veces al eje horizontal, en a y b, tendría que ocurrir que ( ) ( ) 0f a f b= = y, por el teorema de Rolle, la derivada de f se anularía entre a y b.

Se halla la derivada ( ) 4' 15 7f x x= + y se comprueba que no se anula nunca.

Luego la función no puede cortar al eje horizontal dos veces.

109. Sin calcular la derivada, ¿puedes asegurar que existe algún punto de la gráfica de ( ) 2 2f x x x= − cuya tangente sea paralela a la recta que une los puntos ( )0,0A y ( )3,3B ?

Se trata de la interpretación geométrica del teorema del valor medio.

Como ( )0 0f = y ( )3 3f = , se puede afirmar que existe un número c entre 0 y 3 con ( ) ( ) ( )3 0 3 0' 13 0 3

f ff c

− −= = =

−

El punto es aquel en el que la derivada vale 1: ( )' 2 2 1f x x= − = si 32

x = .

Por tanto, el punto es 3 3,2 4

C −

.


Aproximación lineal de una función. Diferencial

110. Sabiendo que ln2 0,69315 , obtén la aproximación lineal de la función ( ) 2logf x x= en x = 2 y úsala para

obtener los valores aproximados de ( )f x en x = 2,01; x = 1,9 y x = 2,9.

( ) 2lnlogln2

xf x x= = . La aproximación lineal de una función ( )f x es: ( ) ( ) ( )'f x h f x f x dx+ + .

En este caso, para cada valor pedido, x = 2 y dx es 0,01, −0,1 y 0,9, respectivamente.

( )2 1f = ( ) ( )1 1' ' 2ln2 2 ln2

f x fx

= ⇒ =⋅

Entonces:

( ) 1 0,012,01 1 0,01 1 1,007212 ln2 2 0,69315

f = + ⋅ = + =⋅ ⋅

Con la calculadora se obtiene log2 2,01 = 1,007195501.

( ) ( )1 0,11,9 1 0,1 1 0,927862 ln2 2 0,69315

f = + ⋅ − = − =⋅ ⋅


( ) 1 0,92,9 1 0,9 1 1,649212 ln2 2 0,69315

f = + ⋅ = + =⋅ ⋅


Se aprecia que a medida que nos alejamos del 2, la aproximación lineal va siendo peor.

111. Obtén con la calculadora el valor de 5 32,3 y, posteriormente, obtenlo también utilizando la aproximación lineal de la función mediante la diferencial.

Con la calculadora: 5 32,3 2,003736=

Se considera la función ( ) 5f x x= . Su aproximación lineal es: ( ) ( ) ( )5 32,3 32 ' 32 0,3f f f+ ⋅ .

( )32 2f = ( ) ( )5 4

1 1' ' 32805

f x fx

= ⇒ =

Entonces: ( )5 132,3 2 0,3 2,0037580

f + ⋅ = , una aproximación bastante aceptable.

112. En el dibujo se muestra parte de la gráfica de cierta función f y la recta tangente a

dicha gráfica en el punto ( )2,2A .

Se quieren calcular los valores de ( )2,05f y de ( )1,87f pero se desconoce la expresión analítica de la función f.

Ayudándote de la aproximación lineal y calculando previamente la ecuación de la recta tangente, estima los valores de ( )2,05f y de ( )1,87f .

La recta tangente en el punto ( )2,2A es x + y = 4, es decir, y = −x + 4, cuya pendiente es –1, y, por tanto,

sabemos que ( )' 2 1f = − . Aplicamos la fórmula ya conocida y aproximamos ( )f x mediante:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )'f x L x f a f a x a= + −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2,05 2 ' 2 2,05 2 2 1 2,05 2 1,95 2,05L f f f= + ⋅ − = + − ⋅ − =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1,87 2 ' 2 1,87 2 2 1 1,87 2 2,13 1,87L f f f= + ⋅ − = + − ⋅ − =


CUESTIONES 113. Si ( ) ( ) 3 5f x g x x x= + , ¿puede existir algún punto en el que se anulen simultáneamente 'f y 'g ?

( ) ( )( ) 2' 3 5f x g x x= + , es decir, siempre es positiva.

Por otra parte ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ' 'f x g x f x g x f x g x= + . Si hubiera algún valor a de x en el que se anularan

simultáneamente ( )'f x y ( )'g x , para ese valor a, sería ( ) ( )( ) ' 0f a g a = , contradicción con lo expresado arriba.

Así pues, no hay ningún punto en el que se anulen simultáneamente las derivadas de f y de g.

114. Justifica que si c > 1, la función ( ) 3 23 3f x x x cx= − + es creciente en .

( ) ( ) ( ) ( )22 2 2' 3 6 3 3 2 3 2 1 1 3 1 1f x x x c x x c x x c x c = − + = − + = − + + − = − + − .

Si c > 1, c − 1 > 0, por lo que ( )' 0f x > con lo que f es creciente en .

115. Si la gráfica de ( )'f x es la de la figura, ¿cuántos máximos y mínimos presenta la gráfica de f?

La derivada se anula dos veces. En a, el menor de los dos, ( )'f x es negativa tanto a la izquierda como a la

derecha de a por lo que f es decreciente en a. En el otro valor, b, ( )'f x es negativa a la izquierda, con lo que f es

decreciente, y ( )'f x es positiva a la derecha, así que f presenta un mínimo relativo en b.

Es decir, f solo presenta un extremo: un mínimo relativo.

116. Justifica que para cualesquiera números reales A y B la función x xy Ae Bxe− −= + cumple la ecuación '' 2 ' 0y y y+ + = .

Si ( )x x xy Ae Bxe e A Bx− − −= + = +

( ) ( ) ( )' x x xy e B e A Bx e B A Bx− − −= + − + = − −

( ) ( ) ( ) ( )'' 2x x x xy e B e B A Bx e B B A Bx e Bx A B− − − −= − − − − = − − + + = + −

Así pues, ( ) ( ) ( )'' 2 ' 2 2x x xy y y e Bx A B e B A Bx e A Bx− − −+ + = + − + − − + + =

( )2 2 2 2 0 0x xe Bx A B B A Bx A Bx e− −= + − + − − + + = ⋅ =

117. ¿Para qué valores de r la función y = erx satisface la ecuación '' 2 ' 0y y y+ + = ?

Si y = erx, ' rxy re= , 2'' rxy r e= , así que ( )2 2'' 2 ' 2 2 1rx rx rx rxy y y r r re e e r r+ + = + + = + +

Como erx ≠ 0 sea cual fuere r, deberá ocurrir que r2 + 2r + 1 = 0, es decir r = −1.


118. Usa la definición de derivada para calcular ( )0

ln 1limh

hh→

+.

( ) ( ) ( )

0 0

ln 1 ln 1 ln1lim lim ' 1x x

h hf

h h→ →

+ + −= = si ( ) lnf x x= .

Así pues, ( ) 1'f xx

= y ( ) ( )0

ln 1lim ' 1 1x

hf

h→

+= = .

119. Escribe una función polinómica de tercer grado que tenga un máximo y un mínimo, y otra que no tenga extremos relativos. Para que tenga un máximo y un mínimo su derivada debe anularse dos veces.

Por ejemplo, ( ) 2' 3 3f x x= − y ( ) 3 3f x x x= − .

La derivada se anula para x = −1 y para x = 1 y el signo de la derivada es:

Si x < −1, ( )' 0f x > . Si −1 < x < 1, ( )' 0f x < . Si x > 1, ( )' 0f x >

Por lo tanto, ( )1f − es un máximo relativo y ( )1f es un mínimo relativo.

Para que no tenga extremos relativos su derivada no puede anularse nunca.

Por ejemplo, ( ) 2' 3 1f x x= + y ( ) 3f x x x= + .

120. Justifica que si ( ) 2f x x x= + , entonces ( )'f x no es 2 1x +

La función ( ) 2f x x x= + , no es derivable ni en x = 0, ni x = −1 pues ( )

2

2 2

2

si 1si 1 0.si 0

x x xf x x x x x x

x x x

+ < −

= + = − − − ≤ ≤ + >

Así que es continua en pero ( )2 1 si 1

' 2 1 si 1 02 1 si 0

x xf x x x

x x

+ < −= − − − < < + >

, por lo que no existe ( )' 1f − pues:

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1

lim ' lim 2 1 1 lim ' lim 2 1 1x x x x

f x x f x x− − + +→− →− →− →−

= + = − ≠ = − − =

Análogamente, no existe ( )' 0f :

( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0

lim ' lim 2 1 1 lim ' lim 2 1 1x x x x

f x x f x x− − + +→ → → →

= − − = − ≠ = + =

En cambio, ( ) 2 1g x x= + está definida en , en particular en x = −1 y en x = 0.


121. Comprueba que la derivada de la función ( )si 0

1 si 01

xe xf x

xx

≤=

> +

no se anula nunca. ¿Se puede asegurar

que f no presenta máximos ni mínimos en ?

En primer lugar, asegurémonos de que la función es continua en .

Para eso basta estudiar la continuidad en x = 0, ya que en el interior de cada tramo, f sí es continua:

( ) ( ) ( )0

0 0 0 0

1lim lim 1 0 lim lim1

x

x x x xf x e f e f x

x− − + +→ → → →

= = = = = = +

Por tanto, f es continua en . Su derivada, para valores diferentes de x = 0 es: ( )( )2

si 01' si 01

xe xf x x

x

< −= > +

En x = 0 la función no es derivable ya que ( ) ( )( )20 0 0 0

1lim ' lim 1 lim ' lim 1.1

x

x x x xf x e f x

x− − + +→ → → →

− = = ≠ = = − +

Así pues, ( )'f x no se anula nunca pues ( )' 0f no existe y ( )' 0f x > si x < 0 y negativa si x > 0.

Pero la afirmación anterior nos dice que f es creciente en ( ),0−∞ y decreciente en ( )0, ,+∞ por lo que en el punto

( )0,1A presenta un máximo absoluto (aunque su tangente no sea horizontal).

122. ¿Es posible encontrar una función polinómica de tercer grado que no tenga ningún punto de inflexión?

Como al derivar dos veces una función polinómica de grado tres se obtiene un polinomio de grado uno, que se anula para algún valor de x, se puede afirmar que cualquier función de este tipo tiene siempre un punto de inflexión.

123. Halla el valor que debe tener el parámetro a para que sea derivable en todo la función:

( )2

si 11

6 si 1

x ax a xf x xx

− + ≠= − =

Si f es derivable en x = 1, entonces debe ser continua en x = 1, es decir, ( ) ( )

1lim 1 6x

f x f→

= = .

Pero ( )1

limx

f x+→

= +∞ y ( )1

limx

f x−→

= −∞ , por lo que no existe el límite. Así pues no hay ningún valor de a para el que

f sea derivable en .


PROBLEMAS 124. El coste de producción de x unidades viene dado por la función ( ) 20,06 4,2 75C x x x= − + .

En economía, se llama coste marginal, al coste ocasionado por la producción de un unidad suplementaria y se calcula hallando la derivada en dicho punto. Halla el coste marginal al producir la unidad número 81 de las dos formas indicadas y después compara el resultado.

a) ( )80 1C + b) ( )' 80C

a) ( ) ( ) ( ) ( )80 1 80 81 80 128,46 123 5,46C C C C+ − = − = − = unidades monetarias

b) La función derivada es ( )' 0,12 4,2C x x= − , por tanto, ( )' 80 0,12 80 4,2 5,4C = ⋅ − = unidades monetarias.

Los resultados son bastante similares, difieren en seis centésimas.

125. Consideremos las funciones ( ) ( )3f x x a= − y ( ) 2g x x bx c= − + + . Determina los valores de los parámetros que hacen que las dos curvas tengan la misma tangente en el punto ( )2,1A .

Como ambas funciones pasan por el punto ( )2,1A , sabemos que ( )2 1f = y ( )2 1g = :

( ) ( )32 1 2 1 2 1 1f a a a= ⇒ − = ⇒ − = ⇒ = . Así pues, la primera función es ( ) ( )31f x x= − .

( ) 22 1 2 2 1 2 5g b c b c= ⇒ − + + = ⇒ + =

Como además comparten tangente en el punto ( )2,1A , sabemos que ( ) ( )' 2 ' 2f g= :

( ) ( ) ( )2' 3 1 1 ' 2 3f x x f= − = ⇒ = ( ) ( )' 2 ' 2 4 3 7g x x b g b b= − + ⇒ = − + = ⇒ =

Sustituyendo en 2 5 2 7 5 9b c c c+ = ⇒ ⋅ + = ⇒ = −

Por tanto, los valores de los parámetros son a = 1, b = 7, c = −9.

126. En el mar hay una mancha producida por una erupción submarina. La superficie afectada, en km2, viene

dada por la función ( ) 11 202

tf tt

+=

+, siendo t el tiempo transcurrido desde que empezamos a observarla.

a) ¿Cuál es la superficie afectada inicialmente?

b) Estudia si la mancha crece o decrece con el tiempo.

c) ¿Tiene algún límite la extensión de la mancha?

a) La superficie afectada inicialmente, es decir, cuando t = 0, son ( )0 10f = km2.

b) Hay que estudiar el crecimiento de la función para t > 0.

( ) ( ) ( )( ) ( )2 2

11 2 11 20 2' 02 2

t tf t

t t

+ − += = >

+ +, por tanto, f es creciente, es decir, la mancha crece indefinidamente.

c) ( ) 11 20lim lim 112t t

tf tt→+∞ →+∞

+= =

+.

A pesar de que la mancha crece indefinidamente, su extensión nunca llegará a los 11 km2.


127. Sea la función ( ) 3 si 2.20 si 2

xax xf x xx

+ + ≠= − =

a) Halla el valor de a para el que la pendiente m de la tangente a la gráfica de f en el punto ( )0,3A vale 1.

b) Para a = 1, estudia la continuidad de f y determina sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.

a) Para x diferente de 2, la derivada es ( )( )2

2'2

f x ax

= −−

.

Por el enunciado, sabemos que ( ) 11 ' 02

m f a= = = − , es decir, a = 32

.

b) La función es ( ) 3 si 2.20 si 2

xx xf x xx

+ + ≠= − =

La función presenta una discontinuidad en x = 2 ya que ( )2 2

lim lim 32x x

xf x xx− −→ →

= + + = −∞ − .

Observa además que ( )2

limx

f x+→

= +∞ .

(El denominador que aparece en el primer tramo, 2

xx −

, no ofrece problemas porque se anula en un valor que

no pertenece a su dominio).

La derivada, para x distinto de 2, es ( )( )2

2' 12

f xx

= −−

, que se anula si:

( )

( )22

21 0 2 2 2 22

x xx

− = ⇒ − = ⇒ = −−

o 2 2x = +

Si ( ) ( ), 2 2 2 2, '( ) 0x f x∈ −∞ − ∪ + + ∞ ⇒ > ⇒ f es creciente.

Si ( ) ( )2 2, 2 2, 2 2 '( ) 0x f x∈ − ∪ + ⇒ < ⇒ f es decreciente.

128. La cotización de las acciones de una determinada sociedad, suponiendo que la Bolsa funciona todos los días de un mes de 30 días, responde a la siguiente ley:

( ) 3 245 243 30000,C x x x x= − + + con x el número de días.

a) ¿Cuál ha sido la cotización en Bolsa el día 2?

b) Determina los días en que alcanza las cotizaciones máxima y mínima.

c) Calcula esas cotizaciones máxima y mínima.

a) En el día 2 la cotización es ( )2 30314C = unidades monetarias.

b) Hay que hallar los extremos de ( )C x en el intervalo cerrado [ ]0,30 . Es decir, un problema de optimización.

La derivada, ( ) 2' 3 90 243C x x x= − + , se anula si x = 3 o si x = 27.

Evaluamos:

( )0 30000C = ( )3 30351C = ( )27 23439C = ( )30 23790C =

La cotización máxima se alcanza en el tercer día y la mínima en el día 27.

c) La cotización máxima es de 30 351 u.m. y la mínima de 23 439 u.m.


129. Miguel ha invertido en acciones de cierta compañía durante los últimos 10 años. El valor de su cartera a lo largo del tiempo (miles de euros en dinero invertido más beneficios) viene dado por la expresión:

( ) ( ) ( )22 1 2 252 116f x x x x= − − + + , 0 ≤ x ≤ 10 (x en años)

a) Determina los intervalos de tiempo en los que el valor de la cartera creció y aquellos en que decreció.

b) Miguel retira sus ingresos transcurridos los 10 años. ¿Cuál hubiera sido realmente el mejor momento para retirarlos? ¿Cuánto pierde por no haberlo hecho en el momento óptimo?

a) La función es ( ) 3 22 9 240 120f x x x x= − + + + , y su derivada, ( ) 2' 6 18 240f x x x= − + + , que se anula si x = 8 o

si x = −5. Como x representa años, debe ser positivo y, por tanto, la solución negativa no tiene sentido.

La derivada es positiva en el intervalo ( )0,8 , luego la cartera crece desde el inicio hasta los 8 años, y negativa

en ( )8,10 , por lo que decrece desde los 8 hasta los 10 años.

b) Hay que comparar el valor de la cartera a los 8 años, al inicio y al final:

( )8 1592f = ( )0 120f = ( )10 1420f =

El mejor momento para retirar sus ingresos habría sido a los 8 años.

Ha perdido 1 592 000 − 1 420 000 = 172 000 euros.

130. Un artista ha adquirido un listón de 6 m de largo del que quiere colgar dos grandes telas rectangulares, una a continuación de la otra y que ocupen todo el listón: la primera ha de ser naranja y el lado que está sobre el listón debe ser un tercio del lado que cuelga; y la otra será verde y debe tener forma de cuadrado. ¿Qué dimensiones deben tener las telas para que su superficie sea la mínima posible?

La función a minimizar es 2 23S x y= + , cuyas variables deben ser ambas positivas y estar sujetas a la relación 6x y+ = .

Al sustituir y en S se obtiene: ( )223 6S x x= + − con [ ]0,6x ∈ .

( ) ( ) ( ) [ ]3' 6 2 6 1 8 12 0 0,62

S x x x x x= + − ⋅ − = − = ⇒ = ∈ .

Comparando los valores de ( )0 36S = , ( )6 108S = y 3 272

S =

,se obtiene que para que la superficie sea

mínima, la tela naranja debe medir 1,5 · 4,5 m y la verde debe ser un cuadrado de 4,5 m de lado.


131. Un equipo de trabajadores debe hacer la cosecha de un campo de manzanos y únicamente puede trabajar durante un día. Si se hace la cosecha el 1 de octubre, se recogerán 60 toneladas y el precio será de 2000 €/tonelada. A partir de ese día, la cantidad que se podría recoger aumentará en una tonelada cada día, pero el precio de la tonelada disminuirá en 20 €/día.

a) Determina la fórmula que expresa los ingresos que se obtienen en función del número de días que se dejan pasar a partir del 1 de octubre para hacer la cosecha.

b) Halla cuántos días deben pasar para que los ingresos por la cosecha sean máximos.

c) Indica cuál es el valor máximo de los ingresos.

d) Halla cuántos días deben pasar para que los ingresos sean los mismos que si se cosechara el día 1 de octubre.

a) Llamando x al número de días que se dejan pasar a partir del 1 de octubre, los ingresos, ( )f x en euros, vienen

dados por la función ( ) ( ) ( ) 260 2000 20 20 800 120 000f x x x x x= + − = − + + .

b) Como ( )f x es una parábola cóncava hacia abajo, el máximo es su vértice. La derivada es ( )' 40 800f x x= − + , que se anula si x = 20. Así pues, si se dejan pasar 20 días, se obtendrán los máximos beneficios.

c) El valor máximo de los ingresos es ( )20 128 000f = euros.

d) Los ingresos obtenidos el 1 de octubre son ( )0 60 2000 120 000f = ⋅ = euros.

Si x es el número de días transcurridos para que los ingresos sean de 120 000 euros, entonces:

−20x2 + 800x + 120 000 = 120 000, es decir, ( )220 800 0 20 40 0x x x x− + = ⇒ − − = , cuyas soluciones son x = 0 (corresponde al 1 de octubre) y x = 40. Así pues, deben pasar 40 días.

132. El número de individuos, en millones, de una población viene dado por la función ( )( )

2

215

1tP t

t+

=+

donde t

mide los años transcurridos desde t = 0. Halla:

a) La población inicial.

b) El año en que se alcanzará la mínima población. ¿Cuál será su tamaño?

c) ¿Cuál será el tamaño de la población a largo plazo?

a) La población inicial es el valor de la función para t = 0: ( )0 15P = , es decir, 15 millones de individuos.

b) Para calcular el mínimo se halla la derivada:

( )( )

( )( ) ( )

( )( )( )

2 2

4 4 3

2 ( 1) 15 2( 1) 2 1 15 2 15'

1 1 1

t t t t t t tP t

t t t

+ − + + + − −= = =

+ + +

( )' 0P t = cuando t = 15.

A la izquierda de 15, ( )' 0f x < , y a la derecha, ( )' 0f x > . Por tanto, la mínima población se alcanza a los 15

años y su tamaño es ( )15 0,9375P = , es decir, 937 500 individuos.

c) Hay que calcular el límite cuando el tiempo tiende a infinito:

( )

2

215lim 1

1t

tt→+∞

+=

+, es decir, tiende a estabilizarse en un millón de habitantes.


133. Una empresa de compra y venta de automóviles ha hecho un estudio sobre sus beneficios/pérdidas en miles de euros, a lo largo de los últimos 10 años y ha comprobado que se ajustan a

( ) 3 218 81 3F t t t t= − + − , 0 10t≤ ≤ . Se pide, justificando la respuesta:

a) ¿En qué años se dan los valores máximos y mínimos de F?

b) Sus periodos de crecimiento y decrecimiento.

c) ¿Cuáles son sus beneficios máximos?

d) ¿Qué resultados obtuvo la empresa en el último año?

a) Hay que calcular el máximo y el mínimo de la función ( )F t en [ ]0,10 .

La derivada de la función es ( ) 2' 3 36 81F t t t= − + , que se anula si t = 3 o si t = 9.

Se comparan: ( )3 105F = , ( )9 3F = − , ( )0 3F = − y ( )10 7F =

El máximo se alcanza en el año 3, y el mínimo, en los años 0 y 9.

b) Estudiando el signo de la derivada se observa que F es creciente en ( ) ( )0,3 9,10∪ y decreciente en ( )3,9 .

c) Sus beneficios máximos son de ( )3 105F = , es decir, 105 000 euros.

d) En el último año, t = 10, obtuvo unos beneficios de ( )10 7F = , esto es, 7000 euros.

134. Se sabe que los costes totales de fabricar x unidades de un determinado producto vienen dados por la expresión:

( ) 23 27 108C x x x= − +

a) ¿Cuántas unidades hay que producir para minimizar el coste medio ( ) ( ) ?C x

M xx

=

b) ¿Cuál es el valor del coste medio mínimo?

c) Justifica que la función que define el coste medio, ( )M x , no tiene puntos de inflexión.

a) Coste medio: ( ) ( ) 1083 27C x

M x xx x

= = − + .

Su derivada es : ( ) 2108' 3M xx

= − . Esta derivada se anula si 22

1083 0 3 108xx

− = ⇒ = ⇒ x = 6 (solo es válida

la solución positiva porque x representa el número de unidades de un producto).

Si x < 6, entonces ( )' 0M x < , es decir, ( )M x decrece. Si x > 6, entonces ( )' 0M x > , ( )M x crece.

Por tanto, para x = 6 se obtiene el mínimo.

Así pues, se obtiene el mínimo coste medio produciendo 6 unidades.

b) Valor del coste medio mínimo: ( ) ( ) 26 3 6 27 6 1086 96 6

CM ⋅ − ⋅ +

= = = u. m.

c) Se calcula la derivada segunda de ( )M x : ( ) 3216''M xx

=

Como no se anula nunca, la función ( )M x no puede tener puntos de inflexión.


135. En una empresa, se han modelizado los beneficios obtenidos, en miles de euros, por la venta de x cientos de objetos mediante la función f, definida en ( )0,+∞ por la función:

( ) ( )22 1 1 ln 2f x x e x= − + − +

a) Comprueba que ( )1 0f = y que ( )2 0f e = .

b) Obtén el valor de x redondeado a la unidad, para el que se obtiene el beneficio máximo.

a) ( ) ( )21 2 1 ln1 2 0f e= − + − ⋅ + =

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 22 1 ln 2 2 2 1 2 0f e e e e e e= − + − + = − + − + =

b) Se calculan los valores que anulan ( )'f x : ( )2 21 2 1' 2 e x ef xx x− − + −

= − + =

( )2 22 1 1' 0 0

2x e ef x x

x− + − −

= ⇒ = ⇒ =

Se calcula ( )2

21'' ef x

x− +

= .

Como 2 1'' 02

ef −

<

, entonces el beneficio es máximo para 2 1 32

ex −=

136. Una partícula está recorriendo la curva y = x2. En cierto momento la abandona y comienza a desplazarse por la tangente trazada por el punto en el que abandonó la curva.

¿En qué momento debe dejar la curva para que su trayectoria pase por el punto 394,4

A

?

Como 394,4

A

no es un punto de la curva y es un punto de la trayectoria, entonces es un punto de la tangente a

la curva por el punto en el que la partícula abandona dicha curva.

Se calcula el punto donde la partícula abandona la curva y la recta tangente a la curva en ese punto es:

( ) ( ) ( )0 0 0'y y x y x x x− = − .

Luego:

( )2 20 0 0 0 0 0 0

39 3 132 4 4 32 39 0 ,4 2 2

x x x x x x x− = − ⇒ − + = ⇒ = =

Por tanto, abandona la curva en el momento que pase por los puntos 13 9,2 4

B

o 213 169,2 4

B

, dependerá del

sentido en el que la partícula recorre la curva.


AUTOEVALUACIÓN

Comprueba qué has aprendido

1. Determina los valores de k para que las tangentes a la curva ( )23 7 18y kx kx x= − + − en los puntos de abscisas 1 y 2 sean paralelas.

2 2' 3 2 7y kx k x= − +

Así pues:

( ) 2' 1 3 2 7y k k= − + ( ) 2' 2 12 4 7y k k= − +

Nos piden que ( ) ( )' 1 ' 2y y= , es decir:

2 2 23 2 7 12 4 7 2 9 0 0k k k k k k k− + = − + ⇒ − = ⇒ = y 92

k = .

Luego los valores de k buscados son 0 y 92

2. Sabiendo que :f → es una función continua cuya expresión es

( ) 2

si 16 si 1 4

8 si 4

x xf x Ax x B x

x x

<= + + ≤ <− + ≥

:

a) Determina A y B.

b) ¿Es derivable f en ?

a) Al ser f continua en (lo asegura el enunciado) debe serlo en x = 1, luego:

( ) ( )1 1

lim lim 6 1 5x x

f x f x A B A B+ −→ →

= ⇒ + + = ⇒ + = −

Análogamente, debe serlo en x = 4, por tanto:

( ) ( )4 4

lim lim 16 24 4 16 20x x

f x f x A B A B+ −→ →

= ⇒ + + = ⇒ + = −

Resolviendo el sistema 5

16 20A B

A B+ = −

+ = − se tiene A = −1, B = −4.

b) ( ) 2

si 16 4 si 1 4

8 si 4

x xf x x x x

x x

<= − + − ≤ <− + ≥

, por lo que ( )1 si 1

' 2 6 si 1 41 si 4

xf x x x

x

<= − + < <− >

Como f es continua en x = 1 y x = 4, estudiemos ( )1

lim 'x

f x→

y ( )4

lim 'x

f x→

.

( )1

lim ' 1x

f x−→

= y ( )1

lim ' 4x

f x+→

= , por lo que f no es derivable en x = 1.

Por tanto, f no es derivable en .


3. El coste de producción de x unidades de un determinado artículo, en euros, es 21 40 400050

x x− + y el

precio de venta de cada uno de ellos es 150100

x− . ¿Calcula el número de unidades que hay que fabricar

para obtener el máximo beneficio y cuál es el valor de este?

El precio de venta de x artículos es 21 150 50 .100 100

x x x x − = −

Luego el beneficio obtenido al producir y vender x artículos es:

( )2

2 21 350 40 4000 90 4000100 50 100xB x x x x x x = − − − + = − + −

( )B x es una parábola y su punto más alto es su vértice que tiene por abscisa 1500 y ordenada 63 500.

Así pues, el máximo beneficio es 63500 euros y se obtiene produciendo y vendiendo 1500 artículos.

4. Justifica que la función ( )ln 1ln

xx−

es estrictamente creciente en todo su dominio.

Si ( ) ( )ln 1ln

xf x

x−

= entonces:

( )( )

( )

( )

( )2 2

ln 1 ln 11 lnln1 1'

ln ln

x xxxx x x xf x

x x

− −− − −

− −= =

Estudiemos el signo del numerador pues el del denominador es positivo.

( ) ( ) ( )( )

ln 1 ln 1 ln 1ln1 1

x x x x xxx x x x

− + − −− =

− −

Como el dominio de f está formado por los números tales que 1 − x > 0 y x > 0, es decir 0 < x < 1, el denominador de la expresión anterior es negativo y al ser x > 0, ln x < 0, 1 − x > 0, ln (1 − x) < 0.

El numerador también es negativo, por lo que ( )' 0f x > en ( )0,1 y f es estrictamente creciente en todo su dominio.


5. Esboza la gráfica de f sabiendo que ( )0 0f = y que la gráfica de 'f es la de la figura.

( )' 0f x < en ( ),0−∞ y ( )' 0f x > en ( )0,+∞ . Luego f es decreciente en ( ),0−∞ y creciente en ( )0,+∞ .

Por tanto, en x = 0 presenta un mínimo relativo, es decir, ( )( ) ( )0, 0 0,0 .A f A=

Además, ( )' 2f x = si x ≥ 1.

Luego un esbozo de su gráfica podría ser el de la figura:

6. Determina cuántos extremos relativos y cuántos puntos de inflexión tiene la gráfica de ( ) 5 45 1f x x x= − + .

La derivada es ( ) ( )4 3 3' 5 20 5 4f x x x x x= − = − y se anula si x = 0 o si x = 4.

Si x < 0, ( )' 0f x > . Si 0 < x < 4, ( )' 0f x < Si x > 4, ( )' 0f x >

Por lo tanto, ( )0f es un máximo relativo y ( )4f es un mínimo relativo.

La segunda derivada es ( ) ( )3 2 2'' 20 60 20 3f x x x x x= − = − y se anula x = 0 o si x = 3.

Si x < 0, ( )'' 0f x < . Si 0 < x < 3, ( )' 0f x < Si x > 3, ( )'' 0f x >

El único punto de inflexión es ( )( )3, 3A f .


7. Halla las ecuaciones de las tangentes a la curva y = x2 trazadas desde el punto ( )0, 1P − .

Una tangente trazada desde ( )0, 1P − toca a la curva en el punto ( )2,A a a , así que su pendiente es 2 1aa+ . Dicha

pendiente debe ser 2a, por lo que 2 1 2a aa+

= , nos lleva a a2 = 1, es decir, a = ±1 y los puntos de tangencia serían

( )1,1,B (el de la figura) y ( )1,1C − .

Luego las ecuaciones de las tangentes pedidas son ( )1 2 1y x− = − e ( )1 2 1y x− = − + .

8. Determina el intervalo donde es cóncava hacia abajo la función ( )2xf x e−= y después esboza su gráfica.

( )2. x' 2f x xe −= − ( ) ( )2 2 22 2'' 2 4 4 2x x xf x e x e e x− − −= − + = −

La función será cóncava hacia abajo donde la segunda derivada se negativa, o sea, si 24 2 0x − < , es decir:

2 1 2 22 2 2

x x< ⇒ − < <


Relaciona y contesta Elige la única respuesta correcta en cada caso

1. Sea f y g funciones derivables definidas en .

A. Si ( ) ( )2 3f f> , entonces ( ) ( )' 2 ' 3f f≥ .

B. Si es siempre ( ) ( )' 'f x g x≥ , entonces es siempre ( ) ( ) 0f x g x− ≥ .

C. Si ( ) ( )3 1g x f x= + , entonces ( ) ( )3' ' 1g x f x= + .

D. Si ( )' 2f x ≥ para todo x, en ningún punto de la gráfica de ( ) ( )f f x la tangente es paralela a y = 3x + 1.

La respuesta correcta es la D, puesto que ( ) ( ) ( )( ) ( )' ' ' 4f f x f f x f x= ≥ : para que la recta tangente a la curva sea

paralela a la recta y = 3x + 1, su derivada debe ser igual a 3, pero la derivada es mayor o igual que 4 y, por tanto, es imposible que eso ocurra.

2. Sean las funciones ( ) ( ) ( )1 3f x x x= − − y ( ) ( )lng x f x= .

A. g es positiva en su dominio de definición.

B. La tangente a ( )g x en x = 2 es paralela a y = x.

C. ( )2

lim 1x

g x→

=

D. ( ) ( )1,3D g =

La respuesta correcta es la D, ya que ( )f x es positiva en el intervalo ( )1,3 y por tanto, en dicho intervalo está definido el logaritmo.


3. Sea f la función definida en ( ],1−∞ mediante la fórmula ( ) 2 1f x x x= − , y T, la tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa 0.

A. Para todo x de ( ),1−∞ se verifica ( )' 0f x > .

B. La ecuación de T es y = 2x.

C. f tiene un único punto con tangente horizontal.

D. Si 2 13

a b< < < , entonces ( ) ( )f b f a< .

Son correctas las afirmaciones B, C y D.

4. Sea la función ( ) 6 32 1f x x x= − + .

A. La ecuación ( ) 0f x = tiene una única solución en .

B. La ecuación ( ) 1f x = tiene solo dos soluciones en [ )1,− +∞ .

C. Si [ ]1,1x ∈ − , entonces ( ) 4f x ≤ .

D. Si x < 0, la gráfica de f es cóncava hacia abajo.

Las respuestas correctas son A, B y C.


5. Sea f la función definida en por:

( )2

2

si 01 si 0

x xf x

x x− ≤=

+ >

A. f es derivable en 0 y ( )' 0 0f = .

B. f es estrictamente creciente en .

C. Para cualquier número real a, la ecuación ( )f x a= admite una única solución.

D. f no tiene ni máximos ni mínimos relativos.

Las respuestas correctas son B y D.


6. Sea f una función definida en , derivable.

1. ( )' 0f x > 2. f es estrictamente creciente en .

A. 1 ⇔ 2 C. 2 ⇒ 1, pero 1 2⇒/

B. 1 ⇒ 2, pero 2 1⇒/ D. 1 y 2 se excluyen entre sí.

La respuesta correcta es B.


7. Para encontrar el número que mide la diferencia entre los valores máximo y mínimo en el intervalo [ ]1,d de

la función ( ) ( )2 lnf x ax bx cx= + + se tienen los datos siguientes:

1. El valor de a 3. El valor de c

2. El valor de b 4. El valor d

A. Puede eliminarse el dato 1. C. Puede eliminarse el dato 3.

B. Puede eliminarse el dato 2. D. No puede eliminarse ningún dato.

La respuesta correcta es C.

El solucionario de Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales II de 2.º de Bachillerato forma parte del Proyecto Editorial de Educación de SM. En su realización ha participado el siguiente equipo:

Autoría Fernando Alcaide, Joaquín Hernández, María Moreno, Esteban Serrano

Edición José Miguel Gómez, Fernando de Blas, Oiana García, Arturo García

Corrección científica Juan Jesús Donaire

Corrección Javier López

Ilustración Juan Antonio Rocafort; Bartolomé Seguí

Diseño de cubierta e interiores Estudio SM

Responsable de proyecto Arturo García

Coordinación editorial de Matemáticas Josefina Arévalo Dirección de Arte del proyecto Mario Dequel

Dirección editorial Aída Moya

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